1.3不共线的三点确定二次函数表达式（教学课件）数学湘教版九年级下册

1.3 不共线的三点确定二次函数表达式 主讲： 湘教版数学九年级下册 第1章 二次函数 学习目标 目标 1 目标 2 1．掌握用待定系数法确定二次函数的表达式.（重点） 2．知道满足何种条件的三点确定一个二次函数.（难点） 自学指导 阅读教材P21-22。用5分钟的时间看谁又快又好地解决以下问题： 1、请同学们仔细看P21,回顾用待定系数法求一次函数解析式,看例题1掌握给定三点用待定系数法求二次函数解析式的方法，熟知解题格式与步骤。 2、看例题2，知道给定三点应该满足什么条件才能确定一个二次函数？学会判断一个二次函数是否经过给定的三点的方法，了解给定共线三点不能确定二次函数解析式。 知识回顾 1、一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？ 2个 通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？ 2个 2、一次函数y= (k≠0)有几个待定系数？ 通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？ 1个 1个 3、求函数表达式的方法是什么？ 它的一般步骤是什么？ 待定系数法 (1)设：（表达式） (2)代：（坐标代入） (3)解：方程（组） (4)写：（写表达式） 导入新课 思考: 如果确定二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0）的关系式时，通常又需要几个条件？ 已知一个二次函数的图象经过三点 (1，3)，(-1，-5)，(3，-13) ，求这个二次函数的表达式. 解： 设这个二次函数的表达式是 y = ax2 + bx + c，将三点坐标 (1，3)，(-1，-5)，(3，-13) 分别代入函数表达式，得 a-b+c=-5， 9a+3b+c=-13， 解得 因此，所求的二次函数的表达式是y = -3x2+4x+2. a+b+c=3， a=-3，b=4，c=2. 例1 例题讲解 这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法. 其步骤是： ①设函数表达式为y=ax2+bx+c； ②代入后得到一个三元一次方程组； ③解方程组得到a,b,c的值； ④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式. 归纳总结 一般式法求二次函数表达式的方法 例2 例题讲解 已知三个点的坐标，是否有一个二次函数，它的图象经过这三个点？ (1) P(1，-5)， Q(-1，3)， R(2，-3)； (2) P(1，-5)， Q(-1，3)， M(2，-9). 解（1）设有二次函数y=ax2+bx+c，它的图象经过P，Q，R三点，则得到关于a，b，c的三元 一次方程组： a+b+c=-5， a-b+c=3， 4a+2b+c =-3， 解得 a=2，b=-4，c=-3. 因此，二次函数y=2x2-4x-3的图象经过P，Q，R 三点. (2)设有二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点P，Q，M 三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组： a+b+c=-5， a-b+c=3， 4a+2b+c =-9， 解得 a=0，b=-4，c=-1. 因此，一次函数y=-4x-1的图象经过P，Q，M 三点. 这说明没有一个这样的二次函数，它的图象能经过P，Q，M三点. 二次函数y=ax2+bx+c的图象上任意三个不同的点都不在一条直线上. 若给定不共线三点的坐标，且它们的横坐标两两不等，则可以确定唯一的一个二次函数，它的图象经过这三点. 例 2 说明了什么？ 1. 下列各组中的三个点的坐标，能够确定一个二次函数的表达式的是（ ） A. (1，4)，(2，5)， (-2，1) B. (1，4)，(2，5)， (1，-6) C. (2，5)，(2，-5)，(-2，1) D. (2，5)，(3，6)，(1，-6) D 解析：A中三点均在同一条直线y=x+3上，B，C中都有两点的横坐标相同，C中三点不共线且横坐标两两不等，故C中三点能够确定一个二次函数的表达式，故选C. 基础检测 基础检测 2. 下列条件中，不能确定二次函数的表达式的是（ ） A. 已知顶点(1，4)及图象上一点(2，5) B. 已知顶点(2，3)及图象与y轴的交点(0，-5) C. 已知对称轴x=1与图象x轴的交点(-2，0)，(4，0) D. 已知图象上三点(2，4)，(3，5)，(1，-6) C 3.二次函数的图象如图所示,则它的表达式是(　 　) A.y＝2x2-4x B.y＝-x(x-2) C.y＝-(x-1)2+2 D.y＝-2x2+4x D 4.已知二次函数y＝x2＋bx－2的图象与x轴的一个交点坐标为(1，0)，则该二次函数的表达式为( ) A．y＝x2－2x B．y＝x2＋x－1 C．y＝x2＋x－2 D．y＝x2－x－2 C 基础检测 6.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是 . x y O 1 2 -1 -2 -3 -4 -2 2 1 -1 3 4 5 5.已知二次函数图象的顶点是（-1，1），且经过点（1，-3），则这个二次函数的表达式为 . y=-x2-2x 7.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式是 . y=-2(x-1)2+6 基础检测 一展身手 1. 已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过三点A(0，2)，B(1，3)，C(-1，-1)，求这个二次函数的表达式. 解 ∵函数y=ax²+bx+c的图象经过三点A(0，2)，B(1，3)，C(-1，-1)， ∴ 解得 a=-1，b=2，c=2，则表达式为y=-x²+2x+2. 已知任意三点坐标求二次函数表达式的方法叫作一般式法. 其步骤是： ①设函数表达式为y=ax2+bx+c； ②代入后得到一个三元一次方程组； ③解方程组得到a，b，c的值； ④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式. 一般式法求二次函数表达式的方法 一展身手 一展身手 2、 一个二次函数的图象经点 (0, 1)，它的顶点坐标为(8,9)，求这个二次函数的表达式. 解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，因此，可以设函数表达式为 y=a(x-8)2+9. 又由于它的图象经过点(0 ,1)，可得 1=a(0-8)2+9. 解得 ∴所求的二次函数的表达式是 已知抛物线的顶点坐标求二次函数表达式的方法叫作顶点法. 其步骤是： ①设函数表达式为y=a(x-h)2+k； ②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入方程求出a的值； ④把a用数字换掉，写出函数表达式. 顶点法求二次函数表达式的方法 一展身手 3、已知一个二次函数的图象过点（-1，0）、（3，0）、（1，-4）三点，求这个函数的表达式？ 分析：二次函数的交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),给出三点，其中两点为函数图象与x轴的交点(x1,0),(x2,0)时可利用此式来求. 解：∵二次函数的图象过点（-1，0）、（3，0） ∴设该二次函数表达式为y=a(x+1)(x-3)． 将（1，-4）代入函数表达式，可得： -4=a(1+1)(1-3) 解得 a=1. ∴所求的二次函数的表达式为y=(x+1)(x-3)，即 y=x2-2x-3 ． 一展身手 已知抛物线与x轴的交点求二次函数表达式的方法叫作交点法. 其步骤是： ①设函数表达式为y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标x1，x2代入，得到关于a的一元一次方程； ③将第三点坐标代入方程求出a的值； ④把a用数字换掉，写出函数表达式. 交点法求二次函数表达式的方法 一展身手 挑战自我 1.（分类讨论题）已知抛物线过点 A（2,0）,B（-1,0）,与 y 轴交于点 C, 且 OC ＝2, 则这条抛物线的表达式为（ ） A．y＝x2－x－2 B．y＝－x2＋x＋2 C．y＝x2－x－2 或 y＝－x2＋x＋2 D．y＝－x2－x－2 或 y＝x2＋x＋2 C 挑战自我 2、如图，已知抛物线的图象经过，， 三点. （1）求抛物线的函数表达式； 解：，为抛物线与 轴的交点，因此设抛物线 的函数表达式为，将 代入，得 ，解得 . 抛物线的函数表达式为 ，即 . （2）点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设 的面 积为，求关于的函数表达式（指出自变量的取值范围）和 的最大值. 解：如答图，过点作轴，交于点 . 第10题答图 设直线的函数表达式为 ， 挑战自我 把点，代入 中， 得解得 直线的函数表达式为 . 由题意，得点的坐标为 ， 则点的坐标为 ， ， 即关于的函数表达式为 ， 当时，取得最大值，最大值为 . 挑战自我 ①已知三点坐标 ②已知顶点坐标或对称轴或最值 ③已知抛物线与x轴的两个交点 已知条件 所选方法 用一般式法：y=ax2+bx+c 用顶点法：y=a(x-h)2+k 用交点法：y=a(x-x1)(x-x2) (x1，x2为交点的横坐标) 待定系数法 求二次函数的表达式 课堂小结 主讲： 感谢聆听 湘教版九年级下册 $$