13事件的相互独立性及频率与概率——2025年高一数学寒假自学讲义（必修第二册课程）（人教2019A版专用）

13事件的相互独立性及频率与概率（人教2019A版专用） 目录 【自学概念】 2 【自学考点】 2 考点一：事件的相互独立性 2 考点二：频率的稳定性 9 考点三：随机模拟 13 【自学检测】 16 自学概念 1. 事件的相互独立性 (1)相互独立事件的概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. (2)相互独立事件的性质：若事件A，B独立，则A与，与B，与也独立. 2. 频率的稳定性 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此我们可以用频率fn(A)估计概率P(A). 3. 用随机模拟估计概率 (1)产生随机数的方法 ①利用计算器或计算机软件产生随机数. ②构建模拟试验产生随机数. (2)随机模拟方法(蒙特卡洛方法) 利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到的频率来估计概率，这种用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡洛方法. 自学考点 考点一：事件的相互独立性 一、单选题 1．（2024·上海嘉定·一模）假定生男生女是等可能的，设事件：一个家庭中既有男孩又有女孩；事件家庭中最多有一个女孩.针对下列两种情形：①家庭中有2个小孩；②家庭中有3个小孩，下面说法正确是（    ）. A．①中事件与事件相互独立､②中的事件与事件相互独立 B．①中事件与事件不相互独立､②中的事件与事件相互独立 C．①中事件与事件相互独立､②中的事件与事件不相互独立 D．①中事件与事件不相互独立､②中的事件与事件不相互独立 2．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）如图，甲乙做游戏，两人通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先到达第3格，并规定从0格出发，每次划拳赢的一方往右前进一格，输的一方原地不动，平局时两人都往右前进一格．如果一方连续赢两次，那么他将额外获得右前进一格的奖励，除非已经到达第3格，当有任何一方到达第3格时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为（    ） 0 1 2 3 A． B． C． D． 3．（22-23高二下·湖北孝感·开学考试）已知，，，则事件A与B的关系是（   ） A．A与B互斥不对立 B．A与B对立 C．A与B相互独立 D．A与B既互斥又相互独立 4．（23-24高二下·山西太原·阶段练习）概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲､乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局.双方约定，各出赌金150枚金币，先赢3局者可获得全部赎金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局.向这300枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是（   ） A．甲150枚，乙150枚 B．甲225枚，乙75枚 C．甲200枚，乙100枚 D．甲240枚，乙60枚 二、多选题 5．（22-23高二下·山东青岛·期中）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为0.6．0.5．0.4，则（    ） A．该棋手三盘三胜的概率为0.12 B．若比赛顺序为甲乙丙，则该棋手在赢得第一盘比赛的前提下连赢三盘的概率为0.4 C．若比赛顺序为甲乙丙，则该棋手连赢2盘的概率为0.26 D．记该棋手连赢2盘为事件A，则当该棋手在第二盘与甲比赛最大 6．（2024高三·全国·专题练习）甲、乙两人准备进行一场乒乓球比赛，规定每球交换发球权，通过抛硬币决定谁先发球．已知两人在自己发球时得分的概率均为，则（    ） A．第二次由乙发球的概率为 B．甲先得一分的概率为 C．前两次发球都由乙得分的概率为 D．前两次发球甲、乙各得1分的概率为 7．（24-25高二上·河北邢台·开学考试）下列命题正确的是（    ） A．设是两个随机事件，且，，若，则是相互独立事件 B．若三个事件两两独立，则满足 C．若，，则事件相互独立与互斥一定不能同时成立 D．若事件相互独立，，，则 三、填空题 8．（21-22高一下·山东青岛·期末）某传媒机构举办闯关答题比赛，比赛分两轮，每轮共有4道题，参赛者必须从前往后逐道题回答．在第一轮中，若中途回答错误，立马淘汰，若四道题全部回答正确，就能获得一枚复活币并进入下一轮答题，这枚复活币在下一轮答题中最多只能使用一次；在第二轮中，若首次遇到某一道题回答错误时，系统会自动使用第一轮获得的一枚复活币复活一次，即视为答对该道题，其后若回答错误，和第一轮一样，立马淘汰；两轮都通过就可以获得优胜者纪念奖章．对于每轮的4道题，若某参赛者从前往后每道题回答正确的概率均依次为，，，，且每道题回答正确与否不受其它题的影响，则该参赛者能进入第二轮答题的概率为 ；该参赛者能获得优胜者纪念奖章的概率为 ． 9．（24-25高二上·广东韶关·期中）为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求的拔尖学生，教育部启动了“强基计划”.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙两名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是，则甲､乙两人中至少有一人通过面试的概率是 . 10．（22-23高二下·北京·期中）已知甲、乙两人投篮的命中率分别为0.5和0.8，且两人投篮相互没有影响.若投进一球得2分，未进得0分，则每人投篮一次，得分相等的概率为 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B D C B ACD BD ACD 1．B 【分析】分别写出①②对应的样本空间，再利用相互独立事件计算判断. 【详解】若家庭中有两个小孩，样本空间为(男,男)，(男,女)，(女,男)，(女,女)，共4种情况， (男,女)，(女,男)(男,男)，(男,女)，(女,男)(男,女)，(女,男)， 则，，，事件与事件不相互独立，AC错误； 若家庭中有三个小孩，样本空间为(男,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)， (男,女,女)，(女,男,女)，(女,女,男)，(女,女,女)，共8种情况， (男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)，(男,女,女)，(女,男,女)，(女,女,男)， (男,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)， ，，，事件与事件相互独立，B正确，D错误. 故选：B 2．D 【分析】游戏结束时，有可能是甲到达第3格，也有可能是乙到达第3格，根据每一步的情况，结合独立事件和互斥事件概率公式，即可求解. 【详解】设事件“第次划拳甲赢”为，事件“第次划拳甲平局”为，事件“第次划拳甲输”为， 则， 则游戏结束时恰好划拳3次的概率为 故选：D 3．C 【分析】由互斥事件加法公式和独立事件乘法公式可得答案. 【详解】因，则. 注意到： ， 则A与B不互斥，不对立，则ABD错误； 又. 因，则事件A与事件B相互独立，则C正确； 故选：C 4．B 【分析】根据题意，求得甲乙获胜的概率均为，且游戏最多再进行2局即可分出胜负，求得甲获胜的概率，进而得到答案. 【详解】由题可知，对单独每一局游戏，甲乙获胜的概率均为， 若游戏继续进行，最多再进行2局即可分出胜负， ①第四局甲赢，比赛结束，甲胜出，概率为； ②第四局乙赢，第五局甲赢，比赛结束，甲胜出，概率为； ③第四局乙赢，第五局乙赢，比赛结束，乙胜出，概率为； 则甲胜出的概率为，则甲应该分得赌金的， 所以枚，乙分得赌金枚. 故选：B. 5．ACD 【分析】对A，根据独立事件乘法公式即可判断，对B，转化为求连赢后两盘的概率，对C，分情况计算即可，对D，分别计算出第2盘与甲、乙、丙比赛连胜两盘的概率，比较大小即可. 【详解】对于A，棋手胜三盘的概率为，故A正确； 对于B，棋手在胜甲的前提下连胜3盘的事件就是余下两盘连胜乙，丙的事件， 其概率为，故B错误； 对于C，连胜两盘事件的概率为，故C正确； 对于D，第2盘与甲比赛连胜两盘的概率， 第2盘与乙比赛连胜两盘的概率， 第2盘与丙比赛连胜两盘的概率， 因此，故D正确. 故选：ACD. 6．BD 【分析】A直接判断，BC根据独立事件，互斥事件同时发生的概率公式即可求解，D根据对立事件的概率公式求解. 【详解】A，若第一次由甲发球，则第二次由乙发球，故第二次由乙发球的概率为，故A错误； B，甲先得一分的概率为，故B正确； C，前两次发球都由乙得分的概率为，故C错误； D，前两次发球都由甲得分的概率为， 则前两次发球甲、乙各得一分的概率为，故D正确． 故选：BD 7．ACD 【分析】根据利用独立事件的概率性质可判断ABC的正误，根据独立事件的性质及概率公式计算后可判断D的正误. 【详解】对于A，因，故是相互独立事件，故A正确. 对于B，考虑投掷两个骰子，记事件第一个骰子的点数为奇数， 事件第二个骰子点数为奇数，事件两个骰子的点数之和为奇数， 于是有，， ，可以看出事件两两独立，但不互相独立， 所以，B错误； 对于C，若事件相互独立与互斥同时成立，则 而，矛盾，故事件相互独立与互斥不能同时成立，故C正确. 对于D，由，，则，， 又事件，相互独立， 则 ， 故D选项正确； 故选：ACD. 8． 【分析】由相互独立事件的概率乘法公式先求出第一轮4个人问题全答对的概率；然后第二轮去全对或恰好有一个问题答错，由互斥事件的加法公式和独立事件的乘法公式可得出答案. 【详解】该参赛者能进入第二轮答题的概率为 该参赛者能获得优胜者纪念奖章的概率： 故答案为：， 9． 【分析】根据独立事件同时发生的概率乘法公式及对立事件的概率公式得解. 【详解】由题意，甲没有通过面试的概率， 乙没有通过面试的概率， 所以甲、乙都没有通过面试的概率为， 所以甲､乙两人中至少有一人通过面试的概率是. 故答案为： 10．/ 【分析】根据独立事件同时发生的概率公式，即可求解. 【详解】若两人都没有投进，概率, 若两人都投进，概率， 则得分相等的概率. 故答案为： 考点二：频率的稳定性 一、单选题 1．（24-25高一上·四川成都·开学考试）某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中合格产品约有（    ） A．1万件 B．18万件 C．19万件 D．20万件 2．（2024·上海徐汇·一模）一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同.每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子.经过重复摸球足够多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.1左右，则据此估计盒子中红球的个数约为（    ） A．40个 B．45个 C．50个 D．55个 3．（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为（    ） A．4.33% B．3.33% C．3.44% D．4.44% 二、多选题 4．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．小胡同学在罚球线投篮8次，命中6次，则小胡同学每次投篮的命中率一定为 B．频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小 C．某类种子发芽的概率为0.85，若我们抽取2000粒种子试种，一定会有1700粒种子发芽 D．随着试验次数足够多，频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 三、填空题 5．（21-22高二上·浙江宁波·期末）在下列三个问题中： ① 甲乙二人玩胜负游戏：每人一次抛掷两枚质地均匀的硬币，如果规定：同时出现正面或反面算甲胜，一个正面､一个反面算乙胜，那么这个游戏是公平的； ② 掷一枚骰子，估计事件“出现三点”的概率，当抛掷次数很大时，此事件发生的频率接近其概率； ③ 如果气象预报1日—30日的下雨概率是，那么1日—30日中就有6天是下雨的； 其中，正确的是 .（用序号表示） 6．（2024高一下·全国·专题练习）有以下说法： ①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的； ②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖； ③做10次抛硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为； ④某厂产品的次品率为2%，但该厂的50件产品中可能有2件次品． 其中错误说法的序号是 . 7．（23-24高二上·河北衡水·阶段练习）为了了解学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在某学校进行了如下的随机调查:向被调查者提出两个问题:（1）你的学号是奇数吗?（2）在过路口的时候你是否闯过红灯?要求被调查者背对调查人抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第（1）个问题;否则就回答第（2）个问题.被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需要回答“是”或“不是”，因为只有被调查本人知道回答了哪个问题，所以都如实做了回答.如果被调查的600人(学号从1到600)中有180人回答了“是”，由此可以估计在这600人中闯过红灯的人数是 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 C B B BD 1．C 【分析】确定这类产品的合格率是95%，然后利用样本估计总体的思想，即可求出该厂这20万件产品中合格品的件数． 【详解】因为某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格， 所以合格的有95件， 所以合格率为， ∴估计该厂这20万件产品中合格品约为万件， 故选C. 2．B 【分析】因为重复摸球次数足够多，所以将频率视为概率，应用古典概型概率的计算公式计算即可. 【详解】设红球个数为， 由题意可得：，解得：. 故选：B 3．B 【分析】推理出回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，故回答服用过兴奋剂的人有5人，从而得到答案. 【详解】因为抛硬币出现正面朝上的概率为，大约有150人回答第一个问题， 又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的， 在回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”， 共有80个“是”的回答，故回答服用过兴奋剂的人有5人， 因此我们估计这群人中，服用过兴奋剂的百分率大约为3.33%. 故选：B 4．BD 【分析】运用频率和概率概念，以及频率与概率的关系逐个判断即可. 【详解】对于A，小胡同学在罚球线投篮8次，命中6次，则小胡同学每次投篮的频率为，不是命中率，故A错误； 对于B，D,运用频率的定义，概率与频率的关系可判断都正确. 对于C， 某类种子发芽的概率为0.85，若我们抽取2000粒种子试种，不一定会有1700粒种子发芽.故C错误. 故选：BD. 5．①② 【分析】以甲乙获胜概率是否均为来判断游戏是否公平，并以此来判断① 的正确性；以频率和概率的关系来判断② ③的正确性. 【详解】① 中：甲乙二人玩胜负游戏：每人一次抛掷两枚质地均匀的硬币， 可得4种可能的结果：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反） 则“同时出现正面或反面”的概率为，“一个正面､一个反面”的概率为 即甲乙二人获胜的概率均为，那么这个游戏是公平的.判断正确； ② 中：“掷一枚骰子出现三点”是一个随机事件，当抛掷次数很大时，此事件发生的频率会稳定于其概率值，故此事件发生的频率接近其概率.判断正确； ③ 中：气象预报1日—30日的下雨概率是，那么1日—30日每天下雨的概率均是，每天都有可能下雨也可能不下雨，故1日—30日中出现下雨的天数是随机的，可能是0天，也可能是1天、2天、3天……，不一定是6天. 判断错误. 故答案为：① ② 6．①②③ 【分析】根据概率的概念、概率与频率的关系逐一判断即可. 【详解】①中降水概率为95%，仍有不降水的可能，故①错误； ②中“彩票中奖的概率是1%”表示在设计彩票时，有1%的机会中奖，但不一定买100张彩票一定有1张会中奖，故②错误； ③中正面朝上的频率为，概率仍为，故③错误； ④中次品率为2%，但50件产品中可能没有次品，也可能有1件或2件或3件…50次品，故④正确. 故答案为：①②③ 7．60 【解析】设闯红灯的概率为，根据已知中的调查规则，我们分析出回答“是”的两种情况，进而计算出回答是的概率，又由被调查的600人（学号从1到中有180人回答了“是”，我们易构造关于的方程，解方程求出值，进而得到这600人中闯过红灯的人数． 【详解】解：设闯红灯的概率为， 由已知中被调查者回答的两个问题， （1）你的学号是奇数吗？（2）在过路口的时候你是否闯过红灯？ 再由调查人抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第（1）个问题；否则就回答第（2）个问题 可得回答是有两种情况： ①正面朝上且学号为奇数，其概率为； ②反面朝上且闯了红灯，其概率为． 则回答是的概率为 解得． 所以闯灯人数为． 故答案为：60 【点睛】本题考查的知识点是用样本的数字特征估计总体的数字特征，其中计算出闯红灯的概率为，并根据频数频率（概率）样本容量，求出满足条件的人数是解答本题的关键． 考点三：随机模拟 一、单选题 1．（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 412        451        312        531        224        344        151        254        424        142     435        414        135        432        123        233        314        232        353        442 据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（   ） A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.55 2．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，用计算机产生之间的随机数，当出现、、时表示一局比赛甲获胜，当出现4、5时表示一局比赛乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，现产生20组随机数，结果如下： 423  123  423  344  114  453  525  332  152  342 534  443  512  541  125  432  334  151  314  354 则估计在本次比赛中甲获得冠军的概率是（   ） A．0.35 B．0.55 C．0.6 D．0.65 3．（23-24高二上·湖北荆州·期末）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为．我们通过设计模拟实验的方法求概率，利用计算机产生之间的随机数： 425123423344144435525332152342 534443512541135432334151312354 若用1，3，5表示下雨，用2，4表示不下雨，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（22-23高三下·重庆南岸·阶段练习）现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率；先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了10组随机数： 7527          0293          7140          9857          0347 4373          8636          6947          1417          4698 根据以上数据估计射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 ． 5．（23-24高二上·四川成都·期中）在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数： 192  907  966  925  271  932  812  458  569  683 257  393  127  556  488  730  113  537  989  431 据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为 . 6．（23-24高二上·湖北荆门·期末）在一次羽毛球男子单打比赛中，运动员甲、乙进入了决赛．比赛规则是三局两胜制．根据以往战绩，每局比赛甲获胜概率为0.4，乙获胜概率为0.6，利用计算机模拟实验，产生内的整数随机数，当出现随机数1或2时，表示一局比赛甲获胜，现计算机产生15组随机数为：421，231，344，114，522，123，354，535，425，232，233，351，122，153，533，据此估计甲获得冠军的概率为 ． 参考答案： 题号 1 2 3 答案 C D D 1．C 【分析】找出代表事件“一年内没有1台设备需要维修”的数组，利用古典概型的概率公式可求得结果. 【详解】由题意可知，代表事件“一年没有1台设备需要维修”的数组有：224，344，254，424，435，432，233，232，353，442，共10组，则由古典概型概率公式计算， 知道估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为 故选：C. 2．D 【分析】根据题意，由随机数组来确定胜负情况，根据20组数据中满足条件的数组个数，除以总数即可得解. 【详解】表示甲获得冠军的数有423，123，423，114，332，152，342，512，125，432， 334，151，314共13组数，故估计该场比赛甲获胜的概率为. 故选：D 3．D 【分析】由样本数据，利用频率近似估计概率. 【详解】设事件“三天中至少有两天下雨”，20个随机数中， 至少有两天下雨有， 即事件发生了13次，用频率估计事件的概率近似为． 故选：D． 4． 【分析】根据数据统计击中目标的次数，再用古典概型概率公式求解． 【详解】由数据得射击4次至少击中3次的次数有8个， 所以射击4次至少击中3次的概率为. 故答案为：． 5．0.75/ 【分析】先求出三只豚鼠都没被感染的随机数的组数求出其概率，再根据对立事件的概率性质即可得出三只豚鼠中至少一只被感染的概率. 【详解】由题意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染， 随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有907，966，569，556，989共5个， 故三只豚鼠都没被感染的概率为， 则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为. 故答案为：. 6． 【分析】根据题意，由随机数组来确定胜负情况，根据15组数据中满足条件的数组个数，除以总数即可得解. 【详解】由计算机产生的15组数据中，甲获得冠军的数据有421，231，114，522，123，232，122，共7组， 据此估计甲获得冠军的概率为． 故答案为：. 自学检测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）设、是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（    ） A．事件，则 B．若和互斥，则和可能相互独立 C．若事件、满足，则与是对立事件 D．事件与事件中至少有一个发生的概率不一定比与中恰有一个发生的概率大 2．（22-23高一下·河北衡水·期末）下列说法正确的是（    ） A．若A，B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的充分不必要条件 B．若A，B为两个事件，且，则A与B互斥 C．若，，则事件A，B相互独立与事件A，B互斥可以同时成立 D．若事件A，B满足，则A与B相互对立 3．（2024高三·全国·专题练习）2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古自治区四子王旗预定区域，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回．某校以此为契机开展航天科普知识竞答，比赛共分为两轮，已知学生甲在第一轮比赛中获胜的概率是，在第二轮比赛中获胜的概率是，两轮均获胜的概率为，则甲参加两轮比赛，恰好有一轮获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·海南·模拟预测）在高二选科前，高一某班班主任对该班同学的选科意向进行了调查统计，根据统计数据发现：选物理的同学占全班同学的80%，同时选物理和化学的同学占全班同学的60%，且该班同学选物理和选化学相互独立.现从该班级中随机抽取一名同学，则该同学既不选物理也不选化学的概率为（    ） A．0.125 B．0.1 C．0.075 D．0.05 5．（24-25高三上·重庆·阶段练习）甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为，，则谜题没被破解出的概率为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·浙江宁波·期末）电信网络诈骗作为一种新型犯罪手段，已成为社会稳定和人民安全的重大威胁．2023年11月17日外交部发言人毛宁表示，一段时间以来，中缅持续加强打击电信诈骗等跨境违法犯罪合作，取得显著成效．此前公安部通过技术手段分析电信诈骗严重的地区，在排查过程，若某地区有10人接到诈骗电话，则对这10人随机进行核查，只要有一人被骗取钱财，则将该地区确定为“诈骗高发区”．假设每人被骗取钱财的概率为且相互独立，若当时，至少排查了9人才确定该地区为“诈骗高发区”的概率取得最大值，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·青海海南·期末）某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．某人抽奖100次，一定能中奖15次 B．某人抽奖200次，至少能中奖3次 C．某人抽奖1次，一定不能中奖 D．某人抽奖20次，可能1次也没中奖 8．（23-24高一下·吉林·期末）下列说法正确的是（    ） A．同时发生的概率一定比中恰有一个发生的概率小 B．若，则事件与是对立事件 C．当不互斥时，可由公式计算的概率 D．某事件发生的概率是随着实验次数的变化而变化的 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·四川德阳·阶段练习）设是两个概率大于0的随机事件，则下列结论正确的是（    ） A．若A和互斥，则A和一定相互独立 B．若事件，则 C．若A和相互独立，则A和一定不互斥 D．不一定成立 10．（24-25高二上·湖北·阶段练习）甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中概率为0.7，乙每次命中概率为0.8，甲和乙是否命中互不影响，甲、乙各投篮一次，则（   ） A．两人都命中的概率为0.56 B．恰好有一人命中的概率为0.38 C．两人都没有命中的概率为0.6 D．至少有一人命中的概率为0.7 11．（2024·四川内江·一模）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，记随机事件“点数为”，其中，则下列论述正确的是（   ） A． B．若“点数大于”，则 C．若连续抛掷骰子次，记“点数之和为”，则 D．若重复抛掷骰子，则事件发生的频率等于事件发生的概率 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·四川·期中）盒子中有四个大小质地完全相同的小球，分别写有“安”、“宁”、“联”、“盟”四个字，有放回地从中任取一个小球， 将三次抽取后“联”、“盟”两个字都抽取到记为事件.用随机模拟的方法估计事件发生的概率，利用电脑随机产生整数四个随机数，分别代表“安”、“宁”、“联”、“盟”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数：233，103，122，320，031，231，133，130，231，001，220，132，021，123，023，230，321，232，由此可以估计，事件发生的概率为 . 13．（23-24高一下·安徽黄山·期末）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，每轮比赛甲、乙各射击一次，已知甲中靶的概率，乙中靶的概率为，每轮比赛中甲、乙两人射击的结果互不影响，若在一轮射击中，恰好有一人中靶的概率为，则 . 14．（2024高三·全国·专题练习）甲、乙两个小朋友各有一个不透明的袋子，甲小朋友的袋子中装有3个白球和2个黄球，乙小朋友的袋子中装有2个白球和3个黄球，甲、乙两个小朋友分别从自己的袋子中摸出一个球，若两个球的颜色相同，则甲小朋友获胜，被两个小朋友摸出的两个小球放入甲小朋友的袋子中，否则乙小朋友获胜，被两个小朋友摸出的两个小球放入乙小朋友的袋子中．两个小朋友在摸球时互不影响．根据上述规则，在第二次摸球时，乙小朋友获胜的概率为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一下·安徽亳州·期末）某企业有A，B两个车间生产同一种型号的产品，检验小组对两个车间各生产的100件产品均随机抽取6件检测、获得质量指标值（满分值为10，8分为合格品），如下表所示： A车间产品质量指标 10 9 7 8 10 10 B车件产品质量指标 10 6 10 10 9 9 (1)以频率作为概率，估计A，B两车间生产该批次产品的合格率； (2)分别求出6件产品的平均数与方差，以此为依据，判断哪个车间生产质量更好？ 16. (15分) （23-24高一下·福建厦门·期末）甲每次投篮投进的概率是0.7，连续投篮三次，每次投篮结果互不影响，记事件A为“甲至少投进两球 (1)用表示甲第次的投篮结果，则表示试验的样本点.用1表示“投进”，0表示“未投进”，写出该试验的样本空间，判断其是否为古典概型，并说明理由； (2)用计算机产生之间的整数随机数，当出现随机数时，表示“投进”，出现7，8，9时表示“未投进”，以每3个随机数为一纽，代表甲三次投篮结果，产生20组随机数： 利用该模拟试验，估计事件A的概率，并判断事件A的概率的精确值与估计值是否存在差异，并说明理由 17. (15分) （23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）有一名高二学生盼望2025年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条件之一均可录取：①2025年2月通过考试进入国家数学奥赛集训队（集训队从2024年10月市数学竞赛一等奖中选拔）；②2025年3月自主招生考试通过并且达到2025年6月高考重点分数线；③2025年6月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于重点线）；该学生具备参加市数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如下表： 市数学竞赛一等奖 自主招生通过 高考达重点线 高考达该校分数线 0.5 0.6 0.9 0.7 若该学生数学竞赛获市一等奖，则该学生估计进入国家集训队的概率是.若进入国家集训队，则提前录取，若未被录取，则再按②、③顺序依次录取：前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录取.（注：自主招生考试通过且高考达重点线才能录取） (1)求该学生参加自主招生考试的概率； (2)求该学生被该校录取的概率. 18. (17分) （24-25高二上·贵州·期中）在某次学科知识竞赛的初赛中，共有两道试题，两道题都答对者才能进入决赛．现有甲、乙、丙三名学生去参加初赛，他们答对第一题的概率分别是，，，答对第二题的概率分别是，，．已知甲和丙都答对第一题的概率为，且他们三人是否答对各道题之间是互不影响的． (1)求甲进入决赛的概率； (2)求甲、乙、丙这三名学生中恰有两人进入决赛的概率． 19. (17分) （24-25高一下·全国·单元测试）溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次有关安全知识的竞赛.在某次淘汰赛中，甲、乙两个中学代表队（每队3人）狭路相逢，规定每队每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.假设甲队每人回答正确的概率分别为，，，乙队每人回答正确的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响. (1)分别求乙队总得分为3分与1分的概率； (2)求甲队得分与乙队得分为的概率. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A D C B D C BC AB 题号 11 答案 AC 1．D 【分析】根据事件的包含关系可判断A，利用互斥事件和相互独立事件的概念可判断B，利用对立事件的概念可判断C和D. 【详解】对于A，若事件，则，故A错误； 对于B，若事件、互斥，则， 若事件、相互独立，则， 所以若和互斥，则和不可能相互独立，故B错误； 对于C，若掷一枚骰子掷出的点数为奇数，掷一枚骰子掷出的点数大于3， 满足，但明显事件、不是对立事件，故C错误； 对于D，若事件与事件是对立事件， 则事件与事件中至少有一个发生的概率和与中恰有一个发生的概率相等，故D正确. 故选：D. 2．B 【分析】根据互斥事件、对立事件和独立事件的定义和性质逐个分析判断即可. 【详解】对于A，当事件A与B互斥时，A与B不一定相互对立，但A与B相互对立时，A与B一定互斥，故“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，故A错误； 对于B，若A，B为两个事件，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，，若事件A，B相互独立，则，故事件A，B不互斥，若事件A，B互斥，则，，故事件A，B不独立，故C错误； 对于D，抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是，抛掷一枚硬币，正面向上的概率是，满足，但是A与B不对立，故D错误． 故选：B． 3．A 【分析】记事件“甲在第一轮中获胜”，“甲在第二轮中获胜”，由独立事件的概率公式计算即可； 【详解】记事件“甲在第一轮中获胜”，“甲在第二轮中获胜”， 则，，， 故， 故恰好有一轮获胜的概率． 故选：A. 4．D 【分析】借助相互独立事件的性质与乘法公式计算即可得. 【详解】设事件“选物理”，“选化学”， 则有，， 由该班同学选物理和选化学相互独立， 即，则， 故，, 则. 故选：D. 5．C 【分析】根据相互独立事件的乘法公式即可得解． 【详解】设“甲独立地破解出谜题”为事件，“乙独立地破解出谜题”为事件， ， 故，， 所以， 即谜题没被破解的概率为． 故选：C． 6．B 【分析】根据相互独立事件同时发生的概率写出概率公式，再用导数的方法确定的值. 【详解】设至少排查了9人才确定该地区为“诈骗高发区”的概率为， 则. 因为：. 由，得：. 所以在上递增，在上递减. 所以当时，取得最大值.即. 故选：B 7．D 【分析】中奖的概率为，只能说有中奖的可能性，但不能确定一定中奖还是不中奖，分析判断即可. 【详解】中奖的概率为，与抽的次数无关，只是有中奖的可能性， 故选：D． 8．C 【分析】根据概率的性质判判断A，根据对立事件的概率性质判断B，根据概率加法公式判断C，根据概率的性质判判断D. 【详解】对于A，对于两个不可能事件来说，同时发生的概率与恰有一个发生的概率相等，均为零，故A中说法错误； 对于B，在条件下，事件与事件不一定互斥，故事件A与B不一定是对立事件，故B中说法错误； 对于C，根据概率的性质可知，当，不互斥时，，故C中说法正确； 对于D，某事件发生的概率只与该事件本身有关，与实验次数无关，故D中说法错误. 故选：C. 9．BC 【分析】对于AC：根据互斥事件和独立事件分析判断即可；对于B：根据事件间关系分析判断即可；对于D：举反例说明即可. 【详解】由题意可知：， 对于选项A：若A和互斥，则， 显然，所以A和一定不相互独立，故A错误； 对于选项B：若事件，则，故B正确； 对于选项C：若A和相互独立，则， 所以A和一定不互斥，故C正确； 对于选项D：因为， 若A和互斥，则，则，故D错误； 故选：BC. 10．AB 【分析】记“甲命中”，“乙命中”，“甲不命中”，“乙不命中”，根据独立事件的乘法公式和对立事件的概率公式计算，依次判断选项即可. 【详解】记“甲命中”，“乙命中”，“甲不命中”，“乙不命中”， 则，，两两独立. ， ，. 对于选项A：“两人都命中”，，故A正确； 对于选项B：“恰好有一人命中”， ，故B正确； 对于选项C：“两人都没有命中”，，故错误； 对于选项D：“至少有一人命中”是“两人都没有命中”的对立事件，概率为，故D错误. 故选：AB. 11．AC 【分析】分析可知，，可判断A选项；利用对立事件的概率公式可判断B选项；利用古典概型的概率公式可判断C选项；利用频率与概率的关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，，则，A对； 对于B选项，若“点数大于”，则，B错； 对于C选项，若连续抛掷骰子次，记“点数之和为”， 基本事件总数为，若抛掷骰子，第一次向上的点数为，第二次向上的点数为， 以作为一个基本事件，则事件包含的基本事件有：、、，共个基本事件， 由古典概型的概率公式可得，C对； 对于D选项，若重复抛掷骰子，则事件发生的频率在事件发生的概率值附近波动，D错. 故选：AC. 12． 【分析】依题意由事件代表的随机数计算出符合题意的随机数组数，由古典概型公式计算可得结果. 【详解】根据题意可知“联”、“盟”两个字都抽取到，代表三个数字中同时出现数字2和3， 观察发现组随机数中有233，320，231，231，132，123，023，230，321，232，共10组， 再由古典概型公式计算可得事件发生的概率为. 故答案为： 13．/ 【分析】利用独立事件同时发生的概率公式，即可求解. 【详解】由题意可知，，解得：. 故答案为： 14． 【分析】分两类讨论结合独立事件的乘法概率公式，最后应用互斥事件和概率公式计算即可. 【详解】分两类讨论： （1）第一次摸球甲小朋友获胜，第二次摸球乙小朋友获胜： ①第一次摸球，两个小朋友摸出的球均为白球，则第二次摸球，乙小朋友获胜的概率； ②第一次摸球，两个小朋友摸的球均为黄球，则第二次摸球，乙小朋友获胜的概率； （2）第一次摸球乙小朋友获胜，第二次摸球乙小朋友获胜： ①第一次摸球，甲小朋友摸到白球、乙小朋友摸到黄球，则第二次摸球，乙小朋友获胜的概率； ②第一次摸球，甲小朋友摸到黄球、乙小朋友摸到白球，则第二次摸球，乙小朋友获胜的概率． 综上所述，在第二次摸球时，乙小朋友获胜的概率． 故答案为：. 15．(1) (2)B车间,理由见解析 【分析】（1）根据题意算出频率，以频率作为概率即可求解； （2）根据平均数和方差的计算公式即可求解. 【详解】（1）从数据可知，在随机抽取6件产品中， A车间生产该批次产品的合格量为，频率为，B车间生产该批次产品的合格量为，频率为， 以频率作为概率，A，B两车间生产该批次产品的合格率均为； （2）A车间生产随机抽取6件产品的平均数为， 方差为， B车间生产随机抽取6件产品的平均数为， 方差为， 因为，所以A车间生产的产品质量比B车间生产的产品质量更稳定，故选A车间生产的产品更好. 16．(1)样本空间见解析，不是古典概型，理由见解析 (2)事件A的概率的估计值为0.9，存在差异，理由见解析 【分析】（1）直接写出样本空间即可，根据样本点和的概率即可结合古典概型定义进行判断. （2）20组随机数中事件A发生了18次，则事件A的频率为，所以事件A的概率的估计值为0.9，再求出事件A的概率的精确值结合试验的特点以及频率与概率的特征和关系即可比较判断和说明. 【详解】（1）该试验的样本空间为 ， 共有8个样本点， 样本点的概率为，样本点的概率为，这两个样本点的概率不相等，所以这个试验不是古典概型. （2）产生20组随机数相当于做了20次重复试验，其中事件A发生了18次， 则事件A的频率为，所以事件A的概率的估计值为0.9. 设事件“甲第次投进”，，则 因为. 又因为每次投篮结果互不影响，所以与相互独立，与相互独立，与相互独立，与相互独立且两两互斥， 所以 所以事件A的概率的估计值和有差异.原因如下： ①随机事件发生的频率具有随机性，频率和概率有一定的差异； ②重复试验次数为20，样本量较少，频率偏离概率的幅度大的可能性更大. 17．(1)0.9 (2)0.838 【分析】（1）分别计算该同学未获得市级一等奖的概率与获得市级一等奖且未进入国家集训队的概率，求和即可； （2）分别计算该同学参加市数学竞赛获一等奖并参加国家集训队的概率，自主招生通过并且高考达到重点分数线录取的概率及自主招生未通过但高考达到该校录取分数线录取的概率求和即可. 【详解】（1）设该学生参加市数学竞赛获一等奖、参加国家集训队的事件分别为， 学生参加自主招生考试包括两种情况： ①未获得市级一等奖，概率． ②获得市级一等奖且未进入国家集训队，概率 则该学生参加自主招生考试的概率 （2）设该学生自主招生通过并且高考达到重点分数线录取，自主招生未通过但高考达到该校录取分数线录取的事件分别为． ， ， ， 所以该学生被该校录取的概率为． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据独立事件乘法公式计算即可； （2）应用独立事件乘法公式结合对立事件及互斥事件的概率公式计算求解. 【详解】（1）由题知：甲和丙都答对第一题的概率为，则； 记“甲进入决赛”为事件，由题知：； （2）记“乙进入决赛”为事件，记“丙进入决赛”为事件， 由题知：；； 则甲、乙、丙三位学生中恰有两人进入决赛的概率为 . 19．(1)， (2) 【分析】（1）分析乙队总得分为3分与1分的答题情况，再此利用相互独立事件概率乘法公式即可得解； （2）根据题意分析得甲乙两队的得分情况，再利用相互独立事件概率乘法公式即可得解. 【详解】（1）记“队总得分为3分”为事件，“乙队总得分为1分”为事件. 乙队得3分，即三人都回答正确，其概率. 乙队得1分，即三人中只有1人答对，其余两人都答错， 其概率. （2）依题意可知甲队总得分为1分，乙队总得分为2分， 记“甲队总得分为1分”为事件，“乙队总得分为2分”为事件. 事件即甲队三人中只有1人答对，其余2人答错， 则， 事件即乙队三人中只有2人答对，剩余1人答错， 则， 则甲队得分与乙队得分为的概率. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13事件的相互独立性及频率与概率（人教2019A版专用） 目录 【自学概念】 2 【自学考点】 2 考点一：事件的相互独立性 2 考点二：频率的稳定性 9 考点三：随机模拟 13 【自学检测】 16 自学概念 1. 事件的相互独立性 (1)相互独立事件的概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. (2)相互独立事件的性质：若事件A，B独立，则A与，与B，与也独立. 2. 频率的稳定性 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此我们可以用频率fn(A)估计概率P(A). 3. 用随机模拟估计概率 (1)产生随机数的方法 ①利用计算器或计算机软件产生随机数. ②构建模拟试验产生随机数. (2)随机模拟方法(蒙特卡洛方法) 利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到的频率来估计概率，这种用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡洛方法. 自学考点 考点一：事件的相互独立性 一、单选题 1．（2024·上海嘉定·一模）假定生男生女是等可能的，设事件：一个家庭中既有男孩又有女孩；事件家庭中最多有一个女孩.针对下列两种情形：①家庭中有2个小孩；②家庭中有3个小孩，下面说法正确是（    ）. A．①中事件与事件相互独立､②中的事件与事件相互独立 B．①中事件与事件不相互独立､②中的事件与事件相互独立 C．①中事件与事件相互独立､②中的事件与事件不相互独立 D．①中事件与事件不相互独立､②中的事件与事件不相互独立 2．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）如图，甲乙做游戏，两人通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先到达第3格，并规定从0格出发，每次划拳赢的一方往右前进一格，输的一方原地不动，平局时两人都往右前进一格．如果一方连续赢两次，那么他将额外获得右前进一格的奖励，除非已经到达第3格，当有任何一方到达第3格时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为（    ） 0 1 2 3 A． B． C． D． 3．（22-23高二下·湖北孝感·开学考试）已知，，，则事件A与B的关系是（   ） A．A与B互斥不对立 B．A与B对立 C．A与B相互独立 D．A与B既互斥又相互独立 4．（23-24高二下·山西太原·阶段练习）概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲､乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局.双方约定，各出赌金150枚金币，先赢3局者可获得全部赎金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局.向这300枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是（   ） A．甲150枚，乙150枚 B．甲225枚，乙75枚 C．甲200枚，乙100枚 D．甲240枚，乙60枚 二、多选题 5．（22-23高二下·山东青岛·期中）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为0.6．0.5．0.4，则（    ） A．该棋手三盘三胜的概率为0.12 B．若比赛顺序为甲乙丙，则该棋手在赢得第一盘比赛的前提下连赢三盘的概率为0.4 C．若比赛顺序为甲乙丙，则该棋手连赢2盘的概率为0.26 D．记该棋手连赢2盘为事件A，则当该棋手在第二盘与甲比赛最大 6．（2024高三·全国·专题练习）甲、乙两人准备进行一场乒乓球比赛，规定每球交换发球权，通过抛硬币决定谁先发球．已知两人在自己发球时得分的概率均为，则（    ） A．第二次由乙发球的概率为 B．甲先得一分的概率为 C．前两次发球都由乙得分的概率为 D．前两次发球甲、乙各得1分的概率为 7．（24-25高二上·河北邢台·开学考试）下列命题正确的是（    ） A．设是两个随机事件，且，，若，则是相互独立事件 B．若三个事件两两独立，则满足 C．若，，则事件相互独立与互斥一定不能同时成立 D．若事件相互独立，，，则 三、填空题 8．（21-22高一下·山东青岛·期末）某传媒机构举办闯关答题比赛，比赛分两轮，每轮共有4道题，参赛者必须从前往后逐道题回答．在第一轮中，若中途回答错误，立马淘汰，若四道题全部回答正确，就能获得一枚复活币并进入下一轮答题，这枚复活币在下一轮答题中最多只能使用一次；在第二轮中，若首次遇到某一道题回答错误时，系统会自动使用第一轮获得的一枚复活币复活一次，即视为答对该道题，其后若回答错误，和第一轮一样，立马淘汰；两轮都通过就可以获得优胜者纪念奖章．对于每轮的4道题，若某参赛者从前往后每道题回答正确的概率均依次为，，，，且每道题回答正确与否不受其它题的影响，则该参赛者能进入第二轮答题的概率为 ；该参赛者能获得优胜者纪念奖章的概率为 ． 9．（24-25高二上·广东韶关·期中）为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求的拔尖学生，教育部启动了“强基计划”.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙两名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是，则甲､乙两人中至少有一人通过面试的概率是 . 10．（22-23高二下·北京·期中）已知甲、乙两人投篮的命中率分别为0.5和0.8，且两人投篮相互没有影响.若投进一球得2分，未进得0分，则每人投篮一次，得分相等的概率为 . 考点二：频率的稳定性 一、单选题 1．（24-25高一上·四川成都·开学考试）某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中合格产品约有（    ） A．1万件 B．18万件 C．19万件 D．20万件 2．（2024·上海徐汇·一模）一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同.每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子.经过重复摸球足够多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.1左右，则据此估计盒子中红球的个数约为（    ） A．40个 B．45个 C．50个 D．55个 3．（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为（    ） A．4.33% B．3.33% C．3.44% D．4.44% 二、多选题 4．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．小胡同学在罚球线投篮8次，命中6次，则小胡同学每次投篮的命中率一定为 B．频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小 C．某类种子发芽的概率为0.85，若我们抽取2000粒种子试种，一定会有1700粒种子发芽 D．随着试验次数足够多，频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 三、填空题 5．（21-22高二上·浙江宁波·期末）在下列三个问题中： ① 甲乙二人玩胜负游戏：每人一次抛掷两枚质地均匀的硬币，如果规定：同时出现正面或反面算甲胜，一个正面､一个反面算乙胜，那么这个游戏是公平的； ② 掷一枚骰子，估计事件“出现三点”的概率，当抛掷次数很大时，此事件发生的频率接近其概率； ③ 如果气象预报1日—30日的下雨概率是，那么1日—30日中就有6天是下雨的； 其中，正确的是 .（用序号表示） 6．（2024高一下·全国·专题练习）有以下说法： ①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的； ②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖； ③做10次抛硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为； ④某厂产品的次品率为2%，但该厂的50件产品中可能有2件次品． 其中错误说法的序号是 . 7．（23-24高二上·河北衡水·阶段练习）为了了解学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在某学校进行了如下的随机调查:向被调查者提出两个问题:（1）你的学号是奇数吗?（2）在过路口的时候你是否闯过红灯?要求被调查者背对调查人抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第（1）个问题;否则就回答第（2）个问题.被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需要回答“是”或“不是”，因为只有被调查本人知道回答了哪个问题，所以都如实做了回答.如果被调查的600人(学号从1到600)中有180人回答了“是”，由此可以估计在这600人中闯过红灯的人数是 . 考点三：随机模拟 一、单选题 1．（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 412        451        312        531        224        344        151        254        424        142     435        414        135        432        123        233        314        232        353        442 据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（   ） A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.55 2．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，用计算机产生之间的随机数，当出现、、时表示一局比赛甲获胜，当出现4、5时表示一局比赛乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，现产生20组随机数，结果如下： 423  123  423  344  114  453  525  332  152  342 534  443  512  541  125  432  334  151  314  354 则估计在本次比赛中甲获得冠军的概率是（   ） A．0.35 B．0.55 C．0.6 D．0.65 3．（23-24高二上·湖北荆州·期末）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为．我们通过设计模拟实验的方法求概率，利用计算机产生之间的随机数： 425123423344144435525332152342 534443512541135432334151312354 若用1，3，5表示下雨，用2，4表示不下雨，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（22-23高三下·重庆南岸·阶段练习）现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率；先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了10组随机数： 7527          0293          7140          9857          0347 4373          8636          6947          1417          4698 根据以上数据估计射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 ． 5．（23-24高二上·四川成都·期中）在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数： 192  907  966  925  271  932  812  458  569  683 257  393  127  556  488  730  113  537  989  431 据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为 . 6．（23-24高二上·湖北荆门·期末）在一次羽毛球男子单打比赛中，运动员甲、乙进入了决赛．比赛规则是三局两胜制．根据以往战绩，每局比赛甲获胜概率为0.4，乙获胜概率为0.6，利用计算机模拟实验，产生内的整数随机数，当出现随机数1或2时，表示一局比赛甲获胜，现计算机产生15组随机数为：421，231，344，114，522，123，354，535，425，232，233，351，122，153，533，据此估计甲获得冠军的概率为 ． 自学检测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）设、是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（    ） A．事件，则 B．若和互斥，则和可能相互独立 C．若事件、满足，则与是对立事件 D．事件与事件中至少有一个发生的概率不一定比与中恰有一个发生的概率大 2．（22-23高一下·河北衡水·期末）下列说法正确的是（    ） A．若A，B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的充分不必要条件 B．若A，B为两个事件，且，则A与B互斥 C．若，，则事件A，B相互独立与事件A，B互斥可以同时成立 D．若事件A，B满足，则A与B相互对立 3．（2024高三·全国·专题练习）2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古自治区四子王旗预定区域，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回．某校以此为契机开展航天科普知识竞答，比赛共分为两轮，已知学生甲在第一轮比赛中获胜的概率是，在第二轮比赛中获胜的概率是，两轮均获胜的概率为，则甲参加两轮比赛，恰好有一轮获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·海南·模拟预测）在高二选科前，高一某班班主任对该班同学的选科意向进行了调查统计，根据统计数据发现：选物理的同学占全班同学的80%，同时选物理和化学的同学占全班同学的60%，且该班同学选物理和选化学相互独立.现从该班级中随机抽取一名同学，则该同学既不选物理也不选化学的概率为（    ） A．0.125 B．0.1 C．0.075 D．0.05 5．（24-25高三上·重庆·阶段练习）甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为，，则谜题没被破解出的概率为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·浙江宁波·期末）电信网络诈骗作为一种新型犯罪手段，已成为社会稳定和人民安全的重大威胁．2023年11月17日外交部发言人毛宁表示，一段时间以来，中缅持续加强打击电信诈骗等跨境违法犯罪合作，取得显著成效．此前公安部通过技术手段分析电信诈骗严重的地区，在排查过程，若某地区有10人接到诈骗电话，则对这10人随机进行核查，只要有一人被骗取钱财，则将该地区确定为“诈骗高发区”．假设每人被骗取钱财的概率为且相互独立，若当时，至少排查了9人才确定该地区为“诈骗高发区”的概率取得最大值，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·青海海南·期末）某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．某人抽奖100次，一定能中奖15次 B．某人抽奖200次，至少能中奖3次 C．某人抽奖1次，一定不能中奖 D．某人抽奖20次，可能1次也没中奖 8．（23-24高一下·吉林·期末）下列说法正确的是（    ） A．同时发生的概率一定比中恰有一个发生的概率小 B．若，则事件与是对立事件 C．当不互斥时，可由公式计算的概率 D．某事件发生的概率是随着实验次数的变化而变化的 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·四川德阳·阶段练习）设是两个概率大于0的随机事件，则下列结论正确的是（    ） A．若A和互斥，则A和一定相互独立 B．若事件，则 C．若A和相互独立，则A和一定不互斥 D．不一定成立 10．（24-25高二上·湖北·阶段练习）甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中概率为0.7，乙每次命中概率为0.8，甲和乙是否命中互不影响，甲、乙各投篮一次，则（   ） A．两人都命中的概率为0.56 B．恰好有一人命中的概率为0.38 C．两人都没有命中的概率为0.6 D．至少有一人命中的概率为0.7 11．（2024·四川内江·一模）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，记随机事件“点数为”，其中，则下列论述正确的是（   ） A． B．若“点数大于”，则 C．若连续抛掷骰子次，记“点数之和为”，则 D．若重复抛掷骰子，则事件发生的频率等于事件发生的概率 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·四川·期中）盒子中有四个大小质地完全相同的小球，分别写有“安”、“宁”、“联”、“盟”四个字，有放回地从中任取一个小球， 将三次抽取后“联”、“盟”两个字都抽取到记为事件.用随机模拟的方法估计事件发生的概率，利用电脑随机产生整数四个随机数，分别代表“安”、“宁”、“联”、“盟”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数：233，103，122，320，031，231，133，130，231，001，220，132，021，123，023，230，321，232，由此可以估计，事件发生的概率为 . 13．（23-24高一下·安徽黄山·期末）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，每轮比赛甲、乙各射击一次，已知甲中靶的概率，乙中靶的概率为，每轮比赛中甲、乙两人射击的结果互不影响，若在一轮射击中，恰好有一人中靶的概率为，则 . 14．（2024高三·全国·专题练习）甲、乙两个小朋友各有一个不透明的袋子，甲小朋友的袋子中装有3个白球和2个黄球，乙小朋友的袋子中装有2个白球和3个黄球，甲、乙两个小朋友分别从自己的袋子中摸出一个球，若两个球的颜色相同，则甲小朋友获胜，被两个小朋友摸出的两个小球放入甲小朋友的袋子中，否则乙小朋友获胜，被两个小朋友摸出的两个小球放入乙小朋友的袋子中．两个小朋友在摸球时互不影响．根据上述规则，在第二次摸球时，乙小朋友获胜的概率为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一下·安徽亳州·期末）某企业有A，B两个车间生产同一种型号的产品，检验小组对两个车间各生产的100件产品均随机抽取6件检测、获得质量指标值（满分值为10，8分为合格品），如下表所示： A车间产品质量指标 10 9 7 8 10 10 B车件产品质量指标 10 6 10 10 9 9 (1)以频率作为概率，估计A，B两车间生产该批次产品的合格率； (2)分别求出6件产品的平均数与方差，以此为依据，判断哪个车间生产质量更好？ 16. (15分) （23-24高一下·福建厦门·期末）甲每次投篮投进的概率是0.7，连续投篮三次，每次投篮结果互不影响，记事件A为“甲至少投进两球 (1)用表示甲第次的投篮结果，则表示试验的样本点.用1表示“投进”，0表示“未投进”，写出该试验的样本空间，判断其是否为古典概型，并说明理由； (2)用计算机产生之间的整数随机数，当出现随机数时，表示“投进”，出现7，8，9时表示“未投进”，以每3个随机数为一纽，代表甲三次投篮结果，产生20组随机数： 利用该模拟试验，估计事件A的概率，并判断事件A的概率的精确值与估计值是否存在差异，并说明理由 17. (15分) （23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）有一名高二学生盼望2025年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条件之一均可录取：①2025年2月通过考试进入国家数学奥赛集训队（集训队从2024年10月市数学竞赛一等奖中选拔）；②2025年3月自主招生考试通过并且达到2025年6月高考重点分数线；③2025年6月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于重点线）；该学生具备参加市数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如下表： 市数学竞赛一等奖 自主招生通过 高考达重点线 高考达该校分数线 0.5 0.6 0.9 0.7 若该学生数学竞赛获市一等奖，则该学生估计进入国家集训队的概率是.若进入国家集训队，则提前录取，若未被录取，则再按②、③顺序依次录取：前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录取.（注：自主招生考试通过且高考达重点线才能录取） (1)求该学生参加自主招生考试的概率； (2)求该学生被该校录取的概率. 18. (17分) （24-25高二上·贵州·期中）在某次学科知识竞赛的初赛中，共有两道试题，两道题都答对者才能进入决赛．现有甲、乙、丙三名学生去参加初赛，他们答对第一题的概率分别是，，，答对第二题的概率分别是，，．已知甲和丙都答对第一题的概率为，且他们三人是否答对各道题之间是互不影响的． (1)求甲进入决赛的概率； (2)求甲、乙、丙这三名学生中恰有两人进入决赛的概率． 19. (17分) （24-25高一下·全国·单元测试）溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次有关安全知识的竞赛.在某次淘汰赛中，甲、乙两个中学代表队（每队3人）狭路相逢，规定每队每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.假设甲队每人回答正确的概率分别为，，，乙队每人回答正确的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响. (1)分别求乙队总得分为3分与1分的概率； (2)求甲队得分与乙队得分为的概率. 学科网（北京）股份有限公司 $$