03分类加法计数原理与分步乘法计数原理——2025年高二数学寒假自学讲义（选择性必修第三册课程）（人教2019A版专用）

03分类加法计数原理与分步乘法计数原理（人教2019A版专用） 目录 【自学概念】 2 【自学考点】 2 考点一：分类加法计数原理 2 考点二：分步乘法计数原理 7 考点三：计数原理的简单应用 12 【自学检测】 17 自学概念 1. 分类加法计数原理 一般地，有如下分类加法计数原理： (1)完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法. (2)推广：如果完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法. 2. 分步乘法计数原理 一般地，有如下分步乘法计数原理： (1)完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法. (2)推广：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝m1·m2·…·mn种不同的方法. 3. 两个计数原理的区别与联系 分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题.区别在于： (1)分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事. (2)分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有每一个步骤都完成才算做完这件事. 自学考点 考点一：分类加法计数原理 一、单选题 1．（23-24高二上·辽宁抚顺·阶段练习）书架上有10 本不同的自然科学图书和9本不同的社会科学图书，甲同学想从中选出1本阅读，则不同的选法共有（   ） A．9种 B．10种 C．19种 D．90种 2．（24-25高二上·全国·课后作业）某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地．推选1名优秀团员为总负责人，不同的选法种数是（    ） A．480 B．24 C．14 D．18 3．（23-24高二下·浙江·期中）定义“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116，431，则所有幸运数的个数为（    ） A．18 B．21 C．35 D．36 二、多选题 4．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）下列结论正确的是（　　） A．在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同 B．在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事 C．在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成 D．在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法可以相同 5．（22-23高二下·吉林长春·阶段练习）高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（    ） A．所有可能的方法有种 B．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种 C．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种 D．如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种 6．（22-23高二下·江苏·课后作业）现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，下列说法正确的有（　　） A．从中任选一幅画布置房间，有14种不同的选法 B．从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有70种不同的选法 C．从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法 D．要从5幅不同的国画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有9种不同的挂法 三、填空题 7．（24-25高三上·广东汕头·期中）一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c．三位数中，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134等）若a，b，，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”共 个． 8．（23-24高二下·山东·期中）在2024年巴黎奥运会志愿者活动中，甲、乙、丙、丁4人要参与到，，三个项目的志愿者工作中，每个项目必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一个项目，若甲只能参加项目，那么不同的志愿者分配方案共有 种（用数字表示）. 9．（2024·浙江宁波·二模）某快递公司将一个快件从寄件人甲处揽收开始直至送达收件人乙，需要经过5个转运环节，其中第1，2两个环节各有两种运输方式，第3，4两个环节各有两种运输方式，第5个环节有两种运输方式.则快件从甲送到乙恰用到4种运输方式的不同送达方式有 种. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C B D BC BC ABC 1．C 【分析】由分类加法计数原理，即可解题. 【详解】由分类加法计数原理知，不同的选法种数为. 故选 C. 2．B 【分析】采用分类计数原理，即可求解. 【详解】采用分类计数原理，有种方法. 故选：B 3．D 【分析】运用分类加法原理计算即可. 【详解】按照百位数字进行分类讨论： 当百位数是1，后两位相加为7，有8种；当百位数是2，后两位相加为6，有7种； 当百位数是3，后两位相加为5，有6种；当百位数是4，后两位相加为4，有5种； 当百位数是5，后两位相加为3，有4种；当百位数是6，后两位相加为2，有3种； 当百位数是7，后两位相加为1，有2种；当百位数是8，后两位相加为0，有1种； 总共有种. 故选：D. 4．BC 【分析】根据分类加法和分步乘法计数原理的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法互不相同，故A错误； 对于B，在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事，故B正确； 对于C，在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成，故C正确； 对于D，在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的，故D错误． 故选：BC． 5．BC 【分析】根据分步乘法原理判断A、C，根据间接法判断B，根据分类加法原理和乘法原理判断D. 【详解】对于选项A，安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动， 每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动， 故有种选择方案，错误； 对于选项B，如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有（种），正确； 对于选项C：如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有（种），正确； 对于选项D：如果甲、乙两名同学必须在同一个社区， 再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况，则不同的安排方法共有（种）， 错误. 故选：BC 6．ABC 【分析】根据题意，结合分类计数原理和分步计数原理，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A中，从国画中选一副有5种不同的选法；从油画中选一副有2种不同的选法；从水彩画中选一副有7种不同的选法， 由分类计数原理，共有种不同的选法，所以A正确； 对于B中，从国画、油画、水彩画分别有5种、2种、7种不同的选法， 根据分步计数原理，共有种不同的选法，所以B正确； 对于C中，若其中一幅选自国画，一幅选自油画，则有种不同的选法； 若一幅选自国画，一幅选自水彩画，则有种不同的选法； 若一幅选自油画，一幅选自水彩画，则有种不同的选法， 由分类计数原理，可得共有种不同的选法，所以C正确； 对于D中，从5幅国画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成： 第一步，从5幅画中选1幅挂在左边墙上，有5种选法； 第二步，从剩下的4幅画中选1幅挂在右边墙上，有4种选法， 根据分步计数原理，不同挂法的种数是种不同的选法，所以D错误. 故选：ABC. 7． 【分析】利用“有缘数”的定义，利用分类讨论的思想，求出所有的三位数． 【详解】解：根据题意知在中，能组成有缘数的组合有；； ；；； 由1，2，3组成的三位自然数为123，132，213，231，312，321，“有缘数”共6个； 同理：由1，3，4组成的三位数为“有缘数”是6个； 由1，4，5组成的三位数为“有缘数”是6个； 由2，3，5组成的三位数为“有缘数”是6个； 所以三位数为“有缘数”的个数为：个． 故答案为：． 8．12 【分析】分类讨论，结合排列组合即可求解. 【详解】分两种情况：（1）只有甲参加C项目，则有种分配方案； （2）甲与另外一人共同参与C项目，则有种分配方案. 综上：共有12种分配方案. 故答案为：12 9．16 【分析】根据题意，1，2，3，4个环节必须包含三种不同的运输方式，分为若第1，2个环节运输方式相同，和第1，2个环节运输方式不相同两类，分类分步研究可解. 【详解】快递从甲送到乙有4种运输方式，且第5个环节从d，e两种运输方式中选一种， 1，2，3，4个环节必须包含三种不同的运输方式， 若第1，2个环节运输方式相同，则只能都选，则3，4个环节一个选，一个选， 则有种， 若第1，2个环节运输方式不相同，则已经包含两种运输方式， 则3，4个环节一个选，一个选，或者都选， 则由种， 快递从甲送到乙有4种运输方式的运输顺序共有种. 故答案为：16． 考点二：分步乘法计数原理 一、单选题 1．（2024·云南大理·模拟预测）现有4个同学站成一排，将甲、乙2个同学加入排列，保持原来4个同学顺序不变，不同的方法共有（    ）种 A．10 B．20 C．30 D．60 2．（2024·安徽安庆·三模）A、B、C、D、E 5所学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有甲、乙、丙三个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，且每个基地至少有1所学校去，则A校不去甲地，乙地仅有2所学校去的不同的选择种数共有（    ） A．36种 B．42种 C．48种 D．60种 3．（24-25高三上·上海·单元测试）如题图所示是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（    ）．    A．240种 B．300种 C．360种 D．420种 二、多选题 4．（23-24高二下·山东泰安·阶段练习）下列说法中正确的有（    ） A．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有种报名方法 B．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有种报名方法 C．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），共有种可能结果 D．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），共有种可能结果 5．（23-24高二下·宁夏石嘴山·阶段练习）下列说法正确的有（ ） A．某小组有8名男生，4名女生，要从中选取一名当组长，不同的选法有12种 B．某小组有3名男生，4名女生，要从中选取两名同学，不同的选法有42种 C．两位同学同时去乘坐地铁，一列地铁有6节车厢，两人乘坐车厢的方法共有36种 D．甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，甲乙不相邻的排法有82种 6．（23-24高二上·甘肃白银·期末）用种不同的颜色涂图中的矩形，要求相邻的矩形涂色不同，不同的涂色方法总种数记为，则（    ）    A． B． C． D． 三、填空题 7．（23-24高二下·上海·期末）集合是的子集，且中的元素有完全平方数，则满足条件的集合共有 个． 8．（2024·湖南岳阳·模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊5名大学生实习时，有A，B，C三家企业可供选择，若去C企业最多一人，则不同分配种数是 . 9．（23-24高二下·天津南开·期中）某年某月某日，老师们在校园留下美好合影，然而美好常伴遗憾，当我们回看这张照片（如下左图），才想起那日若我们各手执鲜花当更美丽．现在，你有一次携7种颜色花朵回到过去的机会，请你帮老师们弥补遗憾，为每位老师送上一朵花，若每位老师仅可得到一种颜色的花，而你手中每种颜色的花均足够分配，要求相邻老师不能拿到同色花朵．则你有 种分配花朵的方式．（请用数字作答） 注：各位老师相邻情况如下右图所示． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C B D BC AC AD 1．C 【分析】应用分步乘法原理计算即可. 【详解】4个同学站成一排有5个空，甲加入排列有5种情况，队列变成5个人有6个空，乙加入排列有6种情况， 由分步计数原理得，共有种不同的方法. 故选：C 2．B 【分析】根据给定条件，利用两个原理，结合排列、组合应用列式计算即可. 【详解】①A校去乙地有种； ②A校与另一所学校去丙地有种， ③A校单独去丙地有种， 所以共有种， 故选：B． 3．D 【分析】先安排中心区域A，再从B开始沿逆时针方向进行布置四周的区域，分D与B选用同一种和选用不同种类菊花两种情况，结合计数原理得到答案. 【详解】先布置中心区域A共有5种方法，从B开始沿逆时针方向进行布置四周的区域， 则B有4种布置方法，C有3种布置方法． 如果D与B选用同一种菊花，则E有3种布置方法； 如果D与B选用不同种类菊花，则D有2种布置方法，E有2种布置方法． 按照分步乘法与分类加法计数原理， 则全部的布置方法有（种）. 故选：D． 4．BC 【分析】利用分步乘法计数原理确定所求事件的方法数，由此判断各选项. 【详解】事件“4名同学每人从三个项目中选一项报名”可分为四步完成， 第一步，第一个同学从三个项目中选一个项目报名，有3种方法， 第二步，第二个同学从三个项目中选一个项目报名，有3种方法， 第三步，第三个同学从三个项目中选一个项目报名，有3种方法， 第四步，第四个同学从三个项目中选一个项目报名，有3种方法， 由分步乘法计数原理可得， 完成事件“4名同学每人从三个项目中选一项报名”的方法数为， 所以A错误，B正确， 事件“三个项目冠军的确定”可分为三步完成， 第一步，确定跑步比赛的冠军，有4种方法， 第二步，确定跳高比赛的冠军，有4种方法， 第一步，确定跳远比赛的冠军，有4种方法， 由分步乘法计数原理可得， 完成事件“三个项目冠军的获取”的方法数为种， 所以C正确，D错误， 故选：BC. 5．AC 【分析】根据排列组合的知识逐项判断可得答案. 【详解】对于A，某小组有8名男生，4名女生，要从中选取一名当组长， 不同的选法有种,故A正确； 对于B，某小组有3名男生，4名女生，要从中选取两名同学， 不同的选法有种，故B错误； 对于C，两位同学同时去乘坐地铁，一列地铁有6节车厢， 两人乘坐车厢的方法共有种，故C正确； 对于D，先排列丙、丁、戊有种排法，再让甲、乙去插空位， 有种排法，则甲乙不相邻的排法有种,故D错误. 故选：AC. 6．AD 【分析】利用分类计数原理即可得解. 【详解】当时，分四步： 第一步，涂处，有3种涂色方案；第二步，涂处，有2种涂色方案； 第三步，涂处，有2种涂色方案；第四步，涂处，有1种涂色方案. 所以不同的涂色方法共种数为，所以，故A正确； 当时，分四步： 第一步，涂处，有4种涂色方案；第二步，涂处，有3种涂色方案； 第三步，涂处，有3种涂色方案；第四步，涂处，有2种涂色方案. 所以不同的涂色方法共种数为，所以，故B错误； 当时，分四步： 第一步，涂处，有5种涂色方案；第二步，涂处，有4种涂色方案； 第三步，涂处，有4种涂色方案；第四步，涂处，有3种涂色方案. 所以不同的涂色方法共种数为，所以，故C错误； 当时，分四步： 第一步，涂处，有6种涂色方案；第二步，涂处，有5种涂色方案； 第三步，涂处，有5种涂色方案；第四步，涂处，有4种涂色方案. 所以不同的涂色方法共种数为，所以，故D正确. 故选：AD. 7． 【分析】令，，求出集合的非空子集数，与集合的子集数，再由分步乘法计数原理计算可得. 【详解】集合中的完全平方数有，，， 令，， 则集合的非空子集有个， 集合的子集有个， 则满足条件的集合为集合的非空子集与集合的子集的并集， 故一共有个. 故答案为： 8．112 【分析】根据给定条件，利用两个计数原理列式计算即得. 【详解】求不同分配种数的问题，有两类办法： 没有人去C企业，有种分配方法， 有1人去C企业，有种分配方法， 所以不同分配种数是. 故答案为：112 9． 【分析】先分配、再分配、最后分配和，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】先在7种颜色花朵中选1种给教师，有7种选法； 然后在剩下的6种颜色花朵中选1种给教师，有6种选法； 最后在剩下的5种颜色花朵中选2朵（可以相同）给教师和，有种选法， 由分步乘法计数原理可得，共有种分配花朵的方式． 故答案为：． 考点三：计数原理的简单应用 一、单选题 1．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）用红、黄、蓝等6种颜色给如图所示的五连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，且红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为（    ） A．25 B．630 C．605 D．580 2．（24-25高三上·广东深圳·开学考试）三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练（不能传给自己），由丙开始传，经过5次传递后，球又被传回给丙，则不同的传球方式共有（    ） A．6种 B．10种 C．11种 D．12种 二、多选题 3．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）为弘扬我国古代“六艺”文化，某研学旅行夏令营主办单位计划在暑假开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程，若甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程．则（    ） A．甲乙丙三人选择课程方案有120种方法 B．甲乙丙三人选择同样课程有6种方案 C．恰有三门课程没有被三名同学选中的选课方案有120种 D．若有五名教师教这6门课程，每名老师至少教一门，且老师不教“数”，则有1440种排课方式. 4．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）用n种不同的颜色给如图所示的四块区域A，B，C，D涂色，要求相邻域涂不同颜色，不同的涂色方法的总数记作，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（24-25高二上·江苏·假期作业）在如图的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最大值是 ． 11 21 31 40 12 22 33 42 13 22 33 43 15 24 34 44 6．（23-24高二下·天津·期中）一个长方形，被分为A、B、C、D、E五个区域，现对其进行涂色，有红、黄、蓝、绿四种颜色可用，要求相邻两区域（两个区域有公共顶点就算相邻）涂色不相同，则不同的涂色方法有 种． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 B B BCD CD 1．B 【分析】先计算所有的情况，然后计算不涂红色和只有一个圆涂红色，最后求差即可. 【详解】先涂第一个圆，由6种情况；再涂第二个圆有5种情况；涂第三个圆有5种情况；涂第四个圆有5种情况；涂第五个圆有5种情况，利用计数原理可知，一共有种； 若没有红色， 先涂第一个圆，由5种情况；再涂第二个圆有4种情况；涂第三个圆有4种情况；涂第四个圆有4种情况；涂第五个圆有4种情况，一共有种； 若红色涂一个圆， 当红色涂第一个圆，再涂第二个圆有5种情况；涂第三个圆有4种情况；涂第四个圆有4种情况；涂第五个圆有4种情况，一共有种； 当红色涂第二个圆，再涂第一个圆有5种情况，涂第三个圆有5种情况，涂第四个圆有4种情况；涂第五个圆有4种情况；一共有种； 当红色涂第三个圆，再涂第二个圆有5种情况，涂第四个圆有5种情况，涂第一个圆有4种情况；涂第五个圆有4种情况；一共有种； 当红色涂第四个圆，再涂第三个圆有5种情况，涂第五个圆有5种情况，涂第一个圆有4种情况；涂第二个圆有4种情况；一共有种； 当红色涂第五个圆，再涂第四个圆有5种情况，涂第是三个圆有4种情况，涂第二个圆有4种情况；涂第一个圆有4种情况；一共有种； 所以红色至少涂两个圆的方案有. 故选:B 2．B 【分析】设在第次传球后有种情况球在丙手中，结合题意可推出，即可求得答案. 【详解】设在第次传球后有种情况球在丙手中，即经过n次传球后球又被传回给丙， 在前n次传球中，每次传球都有2种可能，故在前n次传球中共有种传球方法， 故在第n次传球后，球不在丙手中的情况有（种），即球在甲或乙手中， 只有在这些情况时，在第n+1次传球后，球才会被传回给丙， 即，由题意可得，则， ， 故选：B 3．BCD 【分析】根据分步计数原理即可求解A，根据分类加法计数原理可求解B，根据排列组合，结合分类即可求解CD. 【详解】对于A，甲乙丙三人每人都有6种选择，共有种，故A错误， 对于B, 甲乙丙三人选择同样课程有6种方案，故B正确， 对于C,恰有三门课程没有被三名同学选中即3名学生选择了不同的三门，故有种方案，故C正确， 对于D，若老师教2门课程，则有种， 若老师教1门课程，且教2门课的老师教“数”，则有种， 若老师教1门课程，且教2门课的老师不教“数”，则有种， 因此一共有种方案，故D正确， 故选：BCD． 4．CD 【分析】计算出后逐项计算即可得. 【详解】使用种不同颜色时，对区域涂色可用种， 由、相邻，故对区域可用种， 由、、相邻，故对区域可用种， 由、相邻，故对区域可用种， 故不同的涂色方法的总数种， 种，种， 种，种， 故A、B错误，C、D正确. 故选：CD. 5． 24 112 【分析】利用分步乘法原理结合题意分析求解即可． 【详解】第一步，从第一行任选一个数，共有4种不同的选法， 第二步，从第二行中选一个与第一个数不同列的数，共有3种选法， 第三步，从第三行中选一个与第一、二个数不同列的数，共有2种选法， 第四步，从第四行中选一个与第一、二，三个数不同列的数，只有1种选法， 由分乘法原理可知共有种不同的选法； 先按列分析，每列必选出一个数，所以所选4个数的十位数字分别为1，2，3，4， 再按行分析，第一、二、三、四行个位上的数字的最大值分别为1，3，3，5， 所以从第一行选21，从第二行选33，从第三行选43，从第四行选15，此时个位上的数字之和最大， 所以选中方格中的4个数之和的最大值为. 故答案为：24；112． 6．72 【分析】根据分步计数原理与分类计数原理，列出每一步骤及每种情况，计算即可. 【详解】我们需要用四种颜色给五个区域涂色，使得区域的颜色均和区域的颜色不同，区域和，和，和，和每对的颜色都不相同. 那么首先区域有四种涂法，颜色确定后，区域仅可以使用其余三种颜色. 由于这四个区域只能使用三种颜色，故一定存在两个区域同色，而相邻两个区域不能同色，所以同色的区域一定是和，或者和. 如果这两对区域都是同色的，那么和，以及和，分别需要在剩余的三种颜色里选出一种，且颜色不能相同，所以此时的情况数有种； 如果和同色，但和不同色，那么和的颜色有三种选择，选择后，和的颜色只能是剩余的两种，且不相同，但排列顺序有两种，所以此时的情况数有种； 如果和同色，但和不同色，同理，此时的情况数有种. 综上，区域的颜色确定后，剩下四个区域的涂色方式共有种. 而区域的颜色有四种选择，所以总的涂色方法有种. 故答案为：. 自学检测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·江西·阶段练习）某大学开设篮球、足球等5门球类选修课，要求每个学生都必须选择其中的一门课程.现有小明、小强、小豆3位同学进行选课，其中小明不选篮球和足球，则不同的选课方法共有（    ） A．36种 B．60种 C．75种 D．85种 2．（24-25高二下·全国·课后作业）某农学院计划从10种不同的水稻品种和7种不同的小麦品种中，选5种品种种植在如图所示五块实验田中，要求仅选两种小麦品种且需种植在相邻两块实验田中，其他三块实验田选种水稻品种，则不同种法有（    ） 1 2 3 4 5 A．30240种 B．60480种 C．120960 D．241920种 3．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名（没有并列名次），甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”，从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 4．（2023·河北·模拟预测）已知有四个不同的小球A，B，C，D，准备放入四个不同的盒子之中，则小球A，B放入到同一个盒子中的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城市中任选一个前去游玩，其中甲去过北京，所以甲不去北京，则不同的选法有（    ） A．18种 B．48种 C．108种 D．192种 6．（23-24高二下·江苏扬州·期中）学校为丰富高中生的课外生活，开设了兴趣小组，有3名学生想要报名书法、绘画、篮球、羽毛球兴趣小组，每人限报1项、则不同的报名方式种数有（    ） A． B．36 C．24 D． 7．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）某女生有3件不同颜色的衬衣，4件不同花样的裙子，另有3套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（    ） A．24种 B．10种 C．9种 D．15种 8．（23-24高二下·山东临沂·期中）用5种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（    ） A．180 B．240 C．280 D．300 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高二下·山东淄博·期中）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（    ） A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法 B．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法 C．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有72种排法 D．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有504种排法 10．（24-25高三·上海·随堂练习）有4名同学报名参加三个不同的社团，则下列说法中正确的是（    ）． A．每名同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种 B．每名同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种 C．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种 D．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有种 11．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）某市地铁按照乘客乘坐的站数实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如下表：现有小明、小华两位乘客同时从首站乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下地铁的可能性相同，则下列结论正确的是（    ） 站数 票价/元 2 3 4 A．若小明、小华两人共花费5元，则小明、小华下地铁的方案共有9种 B．若小明、小华两人共花费5元，则小明、小华下地铁的方案共有18种 C．若小明、小华两人共花费6元，则小明、小华下地铁的方案共有27种 D．若小明、小华两人共花费6元，则小明比小华先下地铁的方案共有12种（同一地铁站出站不分先后） 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二下·全国·课后作业）现有A，B，C，D，E五个兴趣小组，在劳动实践课上制作的手工艺品，摆放到如图所示桌面上的四个区域，供学生参观，若要求相邻区域不可以放入同一个兴趣小组的手工艺品，每个区域内只能摆放一个兴趣小组的手工艺品，共有 种摆法． 13．（23-24高二下·山东菏泽·期中）某商场举行的“春节合家欢，砸蛋赢现金”活动中，在8个金蛋中分别有一、二、三等奖各1个，其余5个无奖．由4个人参与砸金蛋活动，每人砸2个，不同的获奖情况数为 ． 14．（23-24高二下·山西临汾·期中）如图，这是一面含A，B，C，D，E，F六块区域的墙，现有含甲的五种不同颜色的油漆，一位工人要对这面墙涂色，相邻的区域不同色，则共有 种不同的涂色方法；若区域D 不能涂甲油漆，则共有 种不同的涂色方法.    四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二下·全国·课后作业）现有甲、乙、丙、丁、戊五类不同的书，放入四个窗格的书架中． (1)每个窗格从五类书中选一类放入（书的本数不限），共有多少种放法？ (2)若甲、乙两类书必须放在同一窗格，丙、丁、戊分别放到剩余三个窗格内，共有多少种放法？ 16. (15分) （23-24高二下·青海海南·期中）根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》于2023年11月24日上映，有3名同学和2名家长相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起.求： (1)甲同学必须坐乙同学左边的坐法有多少种？ (2)2名家长互不相邻的坐法有多少种？ (3)2名家长坐一起有多少种？ 17. (15分) （23-24高二下·北京·期中）在10件产品中，有3件次品，从中任取5件： (1)恰有2件次品的抽法有多少种？ (2)至多有2件次品的抽法有多少种？ (3)至少有1件次品的抽法有多少种？ (4)至少有2件次品，2件正品的抽法有多少种？ 18. (17分) （23-24高二下·全国·课堂例题）回答下列问题： (1)5封不同的信投入3个不同的邮筒的投法有多少种？ (2)5个同学争夺3个比赛的冠军，每个比赛冠军只有1人，冠军获得情况共有多少种？ 19. (17分) （23-24高二下·北京丰台·期末）2024年春节期间，全国各大影院热映《第二十条》、《飞驰人生2》、《热辣滚烫》、《熊出没．逆转时空》4部优秀的影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部观看． (1)如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？ (2)如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《第二十条》、《飞驰人生2》，那么共有多少种不同的选择方法？ (3)如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？ 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C B D D D A ABD AC 题号 11 答案 BCD 1．C 【分析】借助分步乘法计数原理计算即可得. 【详解】小明有三种选课方法，小强和小豆各有五种选课方法， 故共有种选课方法. 故选：C. 2．C 【分析】相邻两块实验田分成1和2；2和3；3和4；4和5四类，再分别计算每一类的方法数，可求得结论. 【详解】由题得相邻两块实验田分成1和2；2和3；3和4；4和5四类； 第一类在1和2上种植小麦，“1”有7种选择，“2”有6种选择，剩下3块实验田种植水稻， 分别有种选择，所以共计种； 第二、三、四类和第一类种数相同．综上总计有种方法． 故选：C. 3．C 【分析】由题意可得丙不是第1名，甲乙相邻，先排丙，再排甲，乙，最后再排丁，即可得答案. 【详解】解：由题意可得丙不是第1名，甲，乙相邻； 所以丙是第2名时，甲，乙只能是第3，4名，丁为第1名，此时共2种情况； 丙是第3名时，甲，乙只能是第1，2名，丁为第4名，此时共2种情况； 丙是第4名时，甲，乙有可能是第1，2名，或第2，3名， 当甲，乙是第1，2名时，丁为第3名，此时共2种情况； 当甲，乙是第2，3名时，丁为第1名，此时共2种情况； 所以一共有2+2+2+2=8种情况. 故选：C. 4．B 【分析】先求出四个不同的小球放入四个不同的盒子的方法总数以及小球A，B放入到同一个盒子中的方法总数，由古典概率的公式代入即可得出答案. 【详解】根据题意得四个不同的小球A，B，C，D放入四个不同的盒子中的全部情况有种， 而满足小球A，B放入到同一个盒子中的情况有种， 所以小球A，B放入到同一个盒子中的概率为. 故选：B. 5．D 【分析】由分步乘法计数原理求解即可. 【详解】因甲不去北京，应该分步完成： 第一步，甲在上海、西安、长沙三个城市中任选一个，有3种选法； 第二步，乙、丙、丁从北京、上海、西安、长沙四个城市中分别任选一个，有中选法； 由分步乘法计数原理，可得不同选法有：种． 故选：D． 6．D 【分析】根据题意，分析可得每名学生都有4种选法，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】根据题意，每名学生都可以在书法、绘画、篮球和羽毛球兴趣小组中任选1个， 都有4种选法，由分步计数原理得，共有种不同的选法. 故选：D. 7．D 【分析】利用分类加法和分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】依题意可知，有两类衣服可选， 第一类：选择衬衣和裙子，共有种选择； 第二类：选择连衣裙，共有中选择； 所以共有种选择. 故选：D 8．A 【分析】利用分步乘法计数原理可得答案. 【详解】 如图，先涂，有5种不同的涂色方法，再涂，有4种不同的涂色方法， 然后涂，有3种不同的涂色方法，最后涂，有3种不同的涂色方法， 则不同的涂色方法有种. 故选：A. 9．ABD 【分析】根据题意，由分步、分类计数原理和排列数与组合数公式，分别判断各选项即可 【详解】对于A，某学生从中选2门课程学习，共有种选法，A正确； 对于B，课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有种排法，B正确； 对于C，课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有种排法，C错误； 对于D，课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有种排法，D正确； 故选：ABD. 10．AC 【分析】利用分步乘法计数原理可得答案. 【详解】对于AB选项，第1个同学有3种报法，第2个同学有3种报法， 后面的2个同学也有3种报法，根据分步计数原理共有种结果，A正确，B错误； 对于CD选项，每个社团限报一个人，则第1个社团有4种选择， 第2个社团有3种选择，第3个社团有2种选择， 根据分步计数原理共有种结果，C正确，D错误． 故选：AC. 11．BCD 【分析】利用分类计数原理和分步计数原理可求答案. 【详解】两人共花费5元分为两类：小明花费2元，小华花费3元，此时两人下地铁的方案有种， 同理小明花费3元，小华花费2元时，两人下地铁的方案也是种，所以共有18种，A不正确，B正确. 两人共花费6元分为三类：小明花费2元，小华花费4元，此时两人下地铁的方案有种； 小明花费3元，小华花费3元，此时两人下地铁的方案有种； 小明花费4元，小华花费2元，此时两人下地铁的方案有种， 共有27种，C正确. 小明比小华先下地铁有两类：小明花费2元，小华花费4元，此时两人下地铁的方案有种； 小明和小华均花费3元，小明比小华先下地铁仅有3种方案，所以共有12种方案，D正确. 故选：BCD 12．260 【分析】分两类：第一类，2，3区域放同一兴趣小组的手工艺品，第二类，2，3区域摆放不同兴趣小组的手工艺品，每一类中运用分步计数原理可求每一类的方法数，进而可求总的方法数. 【详解】分两类：第一类，2，3区域放同一兴趣小组的手工艺品： 第一步，第1区域，有5种摆法， 第二步，第2，3区域有4种摆法， 第三步，第4区域有4种摆法，共计有种摆法； 第二类，2，3区域摆放不同兴趣小组的手工艺品： 第一步，第1区域，有5种摆法， 第二步，第2区域，有4种摆法， 第三步，第3区域，有3种摆法，第四步，第4区域，有3种摆法， 共计有5×4×3×3=180种摆法． 故共有80+180=260种摆法． 故答案为：260. 13．60 【分析】根据题意，分两种情况讨论：①一人获得两张奖券，一人获得一张奖券，②三人各获得一张奖券，由加法原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论： ①一人获得两张奖券，一人获得一张奖券，有种获奖情况， ②三人各获得一张奖券，有种获奖情况， 故共有种获奖情况． 故答案为：60． 14． 1200 960 【分析】直接由分类、分步计数原理即可求解. 【详解】 第一空：若C，E的涂色相同，则共有种方法； 若C，E的涂色不相同，则共有种方法. 故共有1200种不同的涂色方法. 第二空：因为区域D不能涂甲油漆，所以区域D 的涂色方法有4种. 若C，E的涂色相同，则共有种方法； 若C，E的涂色不相同，则共有种方法. 故共有960种不同的涂色方法. 故答案为：1200，960. 15．(1)625 (2)24 【分析】（1）每个窗格都有5种，由分步乘法计数原理计算可得； （2）特殊的先放，即甲乙有4种，再依次放剩下的即可，最后由分步乘法计算原理计算即可； 【详解】（1）第1个窗格，从五类书中任选一类，有5种选法， 同理，第2，3，4个窗格也分别有5种选法， 由分步乘法计数原理可得，共有种放法． （2）先放甲、乙，有4种放法； 再放丙，有3种放法； 然后放丁，有2种放法； 最后放戊，剩1种放法． 由分步乘法计数原理可得，共计种放法． 16．(1)60 (2)72 (3)48 【分析】（1）由排列数的意义即可求解； （2）由分步乘法计数原理以及插空法即可求解； （3）由分步乘法计数原理以及捆绑法即可求解. 【详解】（1）因为甲同学必须坐乙同学左边，又一共有5人， 故所求坐法有种. （2）根据题意，先将3名同学排好，有种坐法， 再在这3名同学之间及两头的4个空位中插入2名家长，有种坐法， 由分步乘法计数原理可知，共有种坐法. （3）两名家长捆绑有种，然后与三名学生和整体进行全排，所以有种. 17．(1)105 (2)231 (3)231 (4)126 【分析】（1）利用组合法进行求解； （2）利用分类讨论思想进行求解； （3）利用间接法进行求解； （4）利用分类讨论思想进行求解； 【详解】（1）恰有2件次品的抽法有种. （2）若一件次品都没有则， 若只有1件次品，有， 恰有2件次品的抽法有种， 则至多有2件次品的抽法有种. （3）若一件次品都没有，则， 则至少有1件次品的抽法有种. （4）若恰有2件次品的抽法有种， 若恰有3件次品的抽法有种， 则至少有2件次品，2件正品的抽法有种. 18．(1)243 (2)125 【分析】由分步乘法计数原理运算即可求解. 【详解】（1）5封不同的信投入3个不同的邮筒的投法有种； （2）5个同学争夺3个比赛的冠军，冠军获得情况共有种. 19．(1)24； (2)16； (3)144. 【分析】（1）直接全排列可得； （2）另外2人观影4部电影，用乘法原理计算可得； （3）先选2人观看同一部电影，然后再安排另外2人观看其余的3部电影． 【详解】（1）因为4名同学观看的影片均不相同， 所以不同的选择方法共有种． （2）因为甲、乙2名同学选择观看的影片已确定， 所以不同的选择方法共有种． （3）因为恰有2名同学选择观看同一部影片， 所以不同的选择方法共有种． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 03分类加法计数原理与分步乘法计数原理（人教2019A版专用） 目录 【自学概念】 2 【自学考点】 2 考点一：分类加法计数原理 2 考点二：分步乘法计数原理 4 考点三：计数原理的简单应用 6 【自学检测】 7 自学概念 1. 分类加法计数原理 一般地，有如下分类加法计数原理： (1)完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法. (2)推广：如果完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法. 2. 分步乘法计数原理 一般地，有如下分步乘法计数原理： (1)完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法. (2)推广：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝m1·m2·…·mn种不同的方法. 3. 两个计数原理的区别与联系 分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题.区别在于： (1)分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事. (2)分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有每一个步骤都完成才算做完这件事. 自学考点 考点一：分类加法计数原理 一、单选题 1．（23-24高二上·辽宁抚顺·阶段练习）书架上有10 本不同的自然科学图书和9本不同的社会科学图书，甲同学想从中选出1本阅读，则不同的选法共有（   ） A．9种 B．10种 C．19种 D．90种 2．（24-25高二上·全国·课后作业）某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地．推选1名优秀团员为总负责人，不同的选法种数是（    ） A．480 B．24 C．14 D．18 3．（23-24高二下·浙江·期中）定义“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116，431，则所有幸运数的个数为（    ） A．18 B．21 C．35 D．36 二、多选题 4．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）下列结论正确的是（　　） A．在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同 B．在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事 C．在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成 D．在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法可以相同 5．（22-23高二下·吉林长春·阶段练习）高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（    ） A．所有可能的方法有种 B．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种 C．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种 D．如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种 6．（22-23高二下·江苏·课后作业）现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，下列说法正确的有（　　） A．从中任选一幅画布置房间，有14种不同的选法 B．从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有70种不同的选法 C．从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法 D．要从5幅不同的国画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有9种不同的挂法 三、填空题 7．（24-25高三上·广东汕头·期中）一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c．三位数中，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134等）若a，b，，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”共 个． 8．（23-24高二下·山东·期中）在2024年巴黎奥运会志愿者活动中，甲、乙、丙、丁4人要参与到，，三个项目的志愿者工作中，每个项目必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一个项目，若甲只能参加项目，那么不同的志愿者分配方案共有 种（用数字表示）. 9．（2024·浙江宁波·二模）某快递公司将一个快件从寄件人甲处揽收开始直至送达收件人乙，需要经过5个转运环节，其中第1，2两个环节各有两种运输方式，第3，4两个环节各有两种运输方式，第5个环节有两种运输方式.则快件从甲送到乙恰用到4种运输方式的不同送达方式有 种. 考点二：分步乘法计数原理 一、单选题 1．（2024·云南大理·模拟预测）现有4个同学站成一排，将甲、乙2个同学加入排列，保持原来4个同学顺序不变，不同的方法共有（    ）种 A．10 B．20 C．30 D．60 2．（2024·安徽安庆·三模）A、B、C、D、E 5所学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有甲、乙、丙三个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，且每个基地至少有1所学校去，则A校不去甲地，乙地仅有2所学校去的不同的选择种数共有（    ） A．36种 B．42种 C．48种 D．60种 3．（24-25高三上·上海·单元测试）如题图所示是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（    ）．    A．240种 B．300种 C．360种 D．420种 二、多选题 4．（23-24高二下·山东泰安·阶段练习）下列说法中正确的有（    ） A．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有种报名方法 B．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有种报名方法 C．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），共有种可能结果 D．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），共有种可能结果 5．（23-24高二下·宁夏石嘴山·阶段练习）下列说法正确的有（ ） A．某小组有8名男生，4名女生，要从中选取一名当组长，不同的选法有12种 B．某小组有3名男生，4名女生，要从中选取两名同学，不同的选法有42种 C．两位同学同时去乘坐地铁，一列地铁有6节车厢，两人乘坐车厢的方法共有36种 D．甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，甲乙不相邻的排法有82种 6．（23-24高二上·甘肃白银·期末）用种不同的颜色涂图中的矩形，要求相邻的矩形涂色不同，不同的涂色方法总种数记为，则（    ）    A． B． C． D． 三、填空题 7．（23-24高二下·上海·期末）集合是的子集，且中的元素有完全平方数，则满足条件的集合共有 个． 8．（2024·湖南岳阳·模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊5名大学生实习时，有A，B，C三家企业可供选择，若去C企业最多一人，则不同分配种数是 . 9．（23-24高二下·天津南开·期中）某年某月某日，老师们在校园留下美好合影，然而美好常伴遗憾，当我们回看这张照片（如下左图），才想起那日若我们各手执鲜花当更美丽．现在，你有一次携7种颜色花朵回到过去的机会，请你帮老师们弥补遗憾，为每位老师送上一朵花，若每位老师仅可得到一种颜色的花，而你手中每种颜色的花均足够分配，要求相邻老师不能拿到同色花朵．则你有 种分配花朵的方式．（请用数字作答） 注：各位老师相邻情况如下右图所示． 考点三：计数原理的简单应用 一、单选题 1．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）用红、黄、蓝等6种颜色给如图所示的五连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，且红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为（    ） A．25 B．630 C．605 D．580 2．（24-25高三上·广东深圳·开学考试）三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练（不能传给自己），由丙开始传，经过5次传递后，球又被传回给丙，则不同的传球方式共有（    ） A．6种 B．10种 C．11种 D．12种 二、多选题 3．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）为弘扬我国古代“六艺”文化，某研学旅行夏令营主办单位计划在暑假开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程，若甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程．则（    ） A．甲乙丙三人选择课程方案有120种方法 B．甲乙丙三人选择同样课程有6种方案 C．恰有三门课程没有被三名同学选中的选课方案有120种 D．若有五名教师教这6门课程，每名老师至少教一门，且老师不教“数”，则有1440种排课方式. 4．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）用n种不同的颜色给如图所示的四块区域A，B，C，D涂色，要求相邻域涂不同颜色，不同的涂色方法的总数记作，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（24-25高二上·江苏·假期作业）在如图的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最大值是 ． 11 21 31 40 12 22 33 42 13 22 33 43 15 24 34 44 6．（23-24高二下·天津·期中）一个长方形，被分为A、B、C、D、E五个区域，现对其进行涂色，有红、黄、蓝、绿四种颜色可用，要求相邻两区域（两个区域有公共顶点就算相邻）涂色不相同，则不同的涂色方法有 种． 自学检测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·江西·阶段练习）某大学开设篮球、足球等5门球类选修课，要求每个学生都必须选择其中的一门课程.现有小明、小强、小豆3位同学进行选课，其中小明不选篮球和足球，则不同的选课方法共有（    ） A．36种 B．60种 C．75种 D．85种 2．（24-25高二下·全国·课后作业）某农学院计划从10种不同的水稻品种和7种不同的小麦品种中，选5种品种种植在如图所示五块实验田中，要求仅选两种小麦品种且需种植在相邻两块实验田中，其他三块实验田选种水稻品种，则不同种法有（    ） 1 2 3 4 5 A．30240种 B．60480种 C．120960 D．241920种 3．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名（没有并列名次），甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”，从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 4．（2023·河北·模拟预测）已知有四个不同的小球A，B，C，D，准备放入四个不同的盒子之中，则小球A，B放入到同一个盒子中的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城市中任选一个前去游玩，其中甲去过北京，所以甲不去北京，则不同的选法有（    ） A．18种 B．48种 C．108种 D．192种 6．（23-24高二下·江苏扬州·期中）学校为丰富高中生的课外生活，开设了兴趣小组，有3名学生想要报名书法、绘画、篮球、羽毛球兴趣小组，每人限报1项、则不同的报名方式种数有（    ） A． B．36 C．24 D． 7．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）某女生有3件不同颜色的衬衣，4件不同花样的裙子，另有3套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（    ） A．24种 B．10种 C．9种 D．15种 8．（23-24高二下·山东临沂·期中）用5种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（    ） A．180 B．240 C．280 D．300 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高二下·山东淄博·期中）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（    ） A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法 B．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法 C．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有72种排法 D．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有504种排法 10．（24-25高三·上海·随堂练习）有4名同学报名参加三个不同的社团，则下列说法中正确的是（    ）． A．每名同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种 B．每名同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种 C．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种 D．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有种 11．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）某市地铁按照乘客乘坐的站数实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如下表：现有小明、小华两位乘客同时从首站乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下地铁的可能性相同，则下列结论正确的是（    ） 站数 票价/元 2 3 4 A．若小明、小华两人共花费5元，则小明、小华下地铁的方案共有9种 B．若小明、小华两人共花费5元，则小明、小华下地铁的方案共有18种 C．若小明、小华两人共花费6元，则小明、小华下地铁的方案共有27种 D．若小明、小华两人共花费6元，则小明比小华先下地铁的方案共有12种（同一地铁站出站不分先后） 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二下·全国·课后作业）现有A，B，C，D，E五个兴趣小组，在劳动实践课上制作的手工艺品，摆放到如图所示桌面上的四个区域，供学生参观，若要求相邻区域不可以放入同一个兴趣小组的手工艺品，每个区域内只能摆放一个兴趣小组的手工艺品，共有 种摆法． 13．（23-24高二下·山东菏泽·期中）某商场举行的“春节合家欢，砸蛋赢现金”活动中，在8个金蛋中分别有一、二、三等奖各1个，其余5个无奖．由4个人参与砸金蛋活动，每人砸2个，不同的获奖情况数为 ． 14．（23-24高二下·山西临汾·期中）如图，这是一面含A，B，C，D，E，F六块区域的墙，现有含甲的五种不同颜色的油漆，一位工人要对这面墙涂色，相邻的区域不同色，则共有 种不同的涂色方法；若区域D 不能涂甲油漆，则共有 种不同的涂色方法.    四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二下·全国·课后作业）现有甲、乙、丙、丁、戊五类不同的书，放入四个窗格的书架中． (1)每个窗格从五类书中选一类放入（书的本数不限），共有多少种放法？ (2)若甲、乙两类书必须放在同一窗格，丙、丁、戊分别放到剩余三个窗格内，共有多少种放法？ 16. (15分) （23-24高二下·青海海南·期中）根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》于2023年11月24日上映，有3名同学和2名家长相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起.求： (1)甲同学必须坐乙同学左边的坐法有多少种？ (2)2名家长互不相邻的坐法有多少种？ (3)2名家长坐一起有多少种？ 17. (15分) （23-24高二下·北京·期中）在10件产品中，有3件次品，从中任取5件： (1)恰有2件次品的抽法有多少种？ (2)至多有2件次品的抽法有多少种？ (3)至少有1件次品的抽法有多少种？ (4)至少有2件次品，2件正品的抽法有多少种？ 18. (17分) （23-24高二下·全国·课堂例题）回答下列问题： (1)5封不同的信投入3个不同的邮筒的投法有多少种？ (2)5个同学争夺3个比赛的冠军，每个比赛冠军只有1人，冠军获得情况共有多少种？ 19. (17分) （23-24高二下·北京丰台·期末）2024年春节期间，全国各大影院热映《第二十条》、《飞驰人生2》、《热辣滚烫》、《熊出没．逆转时空》4部优秀的影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部观看． (1)如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？ (2)如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《第二十条》、《飞驰人生2》，那么共有多少种不同的选择方法？ (3)如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？ 学科网（北京）股份有限公司 $$