02导数在研究函数中的应用——2025年高二数学寒假自学讲义（选择性必修第二册课程）（人教2019A版专用）

02导数在研究函数中的应用（人教2019A版专用） 目录 【自学概念】 2 【自学考点】 3 考点一：函数的单调性 3 考点二：函数的极值 5 考点三：函数的最值 7 【自学检测】 9 自学概念 1. 函数的导数与单调性的关系 在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系： 导数 函数的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 f′(x)＝0 常函数 2. 函数图象与导函数图象的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) 3. 区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系 函数的单调性 导数 单调递增 f′(x)≥0 单调递减 f′(x)≤0 常函数 f′(x)＝0 4. 函数的极值与导数 (1)极小值点与极小值 如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值 如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值. 5. 函数最值的定义 (1)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值. 6. 函数图象的画法 函数f(x)的图象直观地反映了函数f(x)的性质.通常，按如下步骤画出函数f(x)的大致图象： (1)求出函数f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)及导函数f′(x)的零点； (3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值； (4)确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势； (5)画出f(x)的大致图象. 7. 用导数解决优化问题的基本思路 用导数解决优化问题的基本思路 自学考点 考点一：函数的单调性 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·湖北孝感·阶段练习）函数的单调递减区间为，则（    ） A． B．1 C． D． 4．（22-23高二下·北京海淀·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（22-23高三上·辽宁抚顺·开学考试）已知函数的导函数的图象如图所示，那么下列图象中不可能是函数的图象的是（    ）.    A．   B．   C．   D．   6．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，若在区间上单调递减，则可以取到的整数值有（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 三、填空题 7．（23-24高二·全国·课后作业）函数的单调减区间是 . 8．（2024·山西太原·二模）函数的单调递增区间是 ． 四、解答题 9．（24-25高三上·上海·开学考试）已知，曲线在点处的切线斜率为. (1)求的值； (2)求不等式的解集. 10．（24-25高三·上海·课堂例题）已知函数． (1)若的单调减区间是，求实数的值； (2)若在上为严格减函数，求实数的取值范围． 11．（24-25高三上·天津静海·阶段练习）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的值，并求函数的单调区间； (2)若函数在定义域上单调递增，求的取值范围. 12．（23-24高二下·湖北·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围. 考点二：函数的极值 一、单选题 1．（23-24高二下·广东湛江·阶段练习）已知函数，其导数的图象如下图所示，则（    ） A．在上为增函数 B．在处取得极小值 C．在处取得极大值 D．在上为增函数 2．（23-24高二下·江苏常州·期中）已知函数的导函数为，定义域为，且函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ）    A．有极小值，极大值 B．仅有极小值，极大值 C．有极小值和，极大值和 D．仅有极小值，极大值 3．（22-23高三上·江西南昌·阶段练习）已知在处有极值，则（    ） A．或 B．或 C． D． 4．（24-25高三上·四川·开学考试）函数的极值点个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 5．（2024高三·全国·专题练习）（多选）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ）    A．有两个极值点 B．为函数的极大值 C．有两个极小值 D．为的极小值 6．（2024·广东广州·模拟预测）设函数，则（   ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 三、填空题 7．（24-25高三上·重庆·期中）若函数在其定义域的一个区间内不单调，则实数的取值范围是 . 8．（24-25高三上·安徽·阶段练习）若函数在时取得极小值，则的极大值为 ． 四、解答题 9．（24-25高三上·北京·期中）已知函数在处有极值-1. (1)求实数a，b的值; (2)求函数的单调区间. 10．（24-25高三上·上海松江·期中）已知函数. (1)求函数在上的单调减区间； (2)若函数在区间上有且只有两个极大值点，求实数的取值范围. 考点三：函数的最值 一、单选题 1．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知函数为连续可导函数，的图象如图所示，以下命题正确的是（    ） A．是函数的最小值 B．是函数的极小值 C．在区间上单调递增 D．在处的切线的斜率大于0 2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2024·浙江杭州·一模）已知函数，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则在上单调递减 D．若，则在上单调递增 4．（24-25高三上·湖南益阳·阶段练习）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数存在三个不同的零点 B．函数既存在极大值又存在极小值 C．若时，，则t的最大值为2 D．当时，方程有且只有两个实根 三、填空题 5．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若对任意恒成立，则的最大值为 ． 6．（2024高三·全国·专题练习）若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是 ． 四、解答题 7．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，求的单调性； (2)若函数在处取得极小值，求实数的取值范围． 8．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）已知函数（其中，）. (1)当，时，证明：是增函数； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)已知，设函数，若对任意的恒成立，求的最小值. 自学检测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知函数的单调递增区间为，则的值为（    ） A．6 B．3 C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·福建福州·开学考试）设函数，则下列说法错误的是（    ） A．是的极大值点 B． C．当时， D．当时， 4．（23-24高三下·重庆·阶段练习）若函数在时有极小值，则（    ） A． B． C． D． 5．（21-22高二下·贵州遵义·期末）函数的导函数为的图象如图所示，关于函数，下列说法不正确的是（    ） A．函数，上单调递增 B．函数在，上单调递减 C．函数存在两个极值点 D．函数有最小值，但是无最大值 6．（2024高三·全国·专题练习）函数，若存在，使有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三·上海·课堂例题）函数（为常数）在上有最大值3，则在上的最小值为（    ） A．-37 B．-5 C．1 D．5 8．（23-24高二下·四川眉山·阶段练习）函数在区间上的最小值是（         ） A． B． C． D．0 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024高三·全国·专题练习）（多选）函数的导函数的图象如图所示，则（   ） A．为的极大值点 B．为的极小值点 C．为的极大值点 D．为的极小值点 10．（21-22高二下·湖南·阶段练习）已知为自然对数的底数，函数，，则下列结论正确的有（    ） A．若曲线与相切于点，则， B．若，，则曲线与相切 C．若，则恒成立 D．若，且的最小值为0，则 11．（24-25高三上·江苏淮安·开学考试）设函数，则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．在R上是单调函数 C．的最小值为1 D．当时， 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）若函数在处有极小值，则 . 13．（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知函数在处取得极小值，则的值为 ． 14．（23-24高二下·湖北·阶段练习）若函数在内有最小值，则实数的取值范围是 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数在区间上的单调性，并说明理由． 16. (15分) （24-25高三·上海·随堂练习）设函数，其中， (1)求； (2)若在是严格增函数，求实数a的取值范围； (3)若在上存在单调递减区间，求实数a的取值范围． 17. (15分) （24-25高三上·贵州黔东南·开学考试）已知奇函数在处取得极大值16. (1)求的解析式； (2)求经过坐标原点并与曲线相切的切线方程. 18. (17分) （23-24高二下·上海·阶段练习）已知函数 (1)求的单调增区间和单调减区间 (2)若在区间上的最小值为，求实数的值 19. (17分) （2024·湖北·一模）已知. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间内存在极小值点，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 02导数在研究函数中的应用（人教2019A版专用） 目录 【自学概念】 2 【自学考点】 3 考点一：函数的单调性 3 考点二：函数的极值 11 考点三：函数的最值 18 【自学检测】 26 自学概念 1. 函数的导数与单调性的关系 在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系： 导数 函数的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 f′(x)＝0 常函数 2. 函数图象与导函数图象的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) 3. 区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系 函数的单调性 导数 单调递增 f′(x)≥0 单调递减 f′(x)≤0 常函数 f′(x)＝0 4. 函数的极值与导数 (1)极小值点与极小值 如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值 如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值. 5. 函数最值的定义 (1)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值. 6. 函数图象的画法 函数f(x)的图象直观地反映了函数f(x)的性质.通常，按如下步骤画出函数f(x)的大致图象： (1)求出函数f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)及导函数f′(x)的零点； (3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值； (4)确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势； (5)画出f(x)的大致图象. 7. 用导数解决优化问题的基本思路 用导数解决优化问题的基本思路 自学考点 考点一：函数的单调性 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·湖北孝感·阶段练习）函数的单调递减区间为，则（    ） A． B．1 C． D． 4．（22-23高二下·北京海淀·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（22-23高三上·辽宁抚顺·开学考试）已知函数的导函数的图象如图所示，那么下列图象中不可能是函数的图象的是（    ）.    A．   B．   C．   D．   6．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，若在区间上单调递减，则可以取到的整数值有（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 三、填空题 7．（23-24高二·全国·课后作业）函数的单调减区间是 . 8．（2024·山西太原·二模）函数的单调递增区间是 ． 四、解答题 9．（24-25高三上·上海·开学考试）已知，曲线在点处的切线斜率为. (1)求的值； (2)求不等式的解集. 10．（24-25高三·上海·课堂例题）已知函数． (1)若的单调减区间是，求实数的值； (2)若在上为严格减函数，求实数的取值范围． 11．（24-25高三上·天津静海·阶段练习）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的值，并求函数的单调区间； (2)若函数在定义域上单调递增，求的取值范围. 12．（23-24高二下·湖北·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D D B B BCD AB 1．D 【分析】导数研究函数单调性，利用单调性解不等式求解集. 【详解】由定义域为， 因为，所以在上单调递减， 所以不等式等价于，解得或， 所以不等式的解集为． 故选：D 2．D 【分析】利用导数求解函数的单调区间即可. 【详解】由题意，函数的定义域为，则， 当时；当时， 显然的单调递增区间为． 故选：D 3．B 【分析】根据的单调递减区间为，而的定义域为，的一个极值点为1，利用即可得解，然后再代入验证是否满足题意即可. 【详解】， 因为的单调递减区间为，而的定义域为， 所以的一个极值点为1， 所以，解得． 所以，， 令，，解得， 所以的单调递减区间为，符合题意， 综上， 故选：B． 4．B 【分析】先求出函数的导函数，分析单调性求解实数的取值范围即可. 【详解】因为的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 若函数在上不单调，即，，可得， 所以实数的取值范围是. 故选：B 5．BCD 【分析】结合图象可得函数的单调区间，进而判断选项即可. 【详解】由图象可知， 当时，，则在单调递增，故CD项错误； 当时，，则在单调递减，故B项也错误； 当时，，则在单调递增. 而A选项图象均满足上述单调性，可能是的图象. 故选：BCD. 6．AB 【分析】根据条件，将问题转化成在区间上恒成立，构造函数，求出的最小值，即可得出结果. 【详解】因为，所以， 由题知在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令，则在区间上恒成立， 即在区间上单调递增，所以，故，即， 故选：AB. 7．(a，a+1) 【分析】求出函数f(x)的导数，再求出不等式的解集即可. 【详解】依题意，函数f(x)的定义域为R，， 由解得a<x<a+1，即f(x)在(a，a+1)上单调递减， 所以f(x)的单调减区间是(a，a＋1). 故答案为：(a，a＋1) 8．/ 【分析】求导，令求解即可. 【详解】因为的定义域为，则， 且，令，则，解得， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为： 9．(1) (2) 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得参数值； （2）根据导数判断函数单调性，再结合函数的奇偶性解不等式即可. 【详解】（1）由已知，得， 又函数在点处的切线斜率为， 即， 解得； （2）由（1）得，， 则恒成立， 即在上单调递增， 又， 即函数为奇函数， 由，可知， 即，解得， 即不等式的解集为. 10．(1) (2) 【分析】（1）对函数求导后，由题意可得的解集为，从而可求出实数的值； （2）由题意可得在上恒成立，转化为在上恒成立，利用函数的范围，从而可求出的取值范围． 【详解】（1）由， 得， 因为的单调减区间是， 所以的解集为， 所以方程的两个根为0和4，且， 所以，解得； （2）因为在上为严格减函数， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 因为在上单调递减， 所以，所以， 因为，所以， 即实数的取值范围为. 11．(1)的单调递增区间为,单调递减区间为. (2) 【分析】（1）由题可知在点处的切线的斜率为2，根据切线的几何意义即可求解的值，然后利用导数研究函数的单调性即可; （2）根据题意在上恒成立，只需，利用基本不等式即可求解最小值. 【详解】（1）,曲线在点处的切线与直线平行, , 当或时，,当时，, 函数的单调递增区间为,单调递减区间为. （2）由题可知在上恒成立， 只需即可, 因为，所以, 当且仅当，即时等号成立， 所以，解得. 12．(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导，对进行分类讨论，由导数符号与函数单调性的关系即可得解； （2）方法一：对分类讨论；方法二：参变分离，转换成不等式恒成立求参数，构造适当的函数，利用导数求最值即可得解. 【详解】（1）因为，，所以. 若，则恒成立， 此时的单调递增区间为，无单调递减区间. 若，则当时，，当时，， 此时的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）方法一：当时，，不符合恒成立. 当时，由（1）可知，. 因为恒成立，所以，解得，故a的取值范围为. 方法二：恒成立等价于恒成立. 令，则. 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 则，故a的取值范围为. 考点二：函数的极值 一、单选题 1．（23-24高二下·广东湛江·阶段练习）已知函数，其导数的图象如下图所示，则（    ） A．在上为增函数 B．在处取得极小值 C．在处取得极大值 D．在上为增函数 2．（23-24高二下·江苏常州·期中）已知函数的导函数为，定义域为，且函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ）    A．有极小值，极大值 B．仅有极小值，极大值 C．有极小值和，极大值和 D．仅有极小值，极大值 3．（22-23高三上·江西南昌·阶段练习）已知在处有极值，则（    ） A．或 B．或 C． D． 4．（24-25高三上·四川·开学考试）函数的极值点个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 5．（2024高三·全国·专题练习）（多选）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ）    A．有两个极值点 B．为函数的极大值 C．有两个极小值 D．为的极小值 6．（2024·广东广州·模拟预测）设函数，则（   ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 三、填空题 7．（24-25高三上·重庆·期中）若函数在其定义域的一个区间内不单调，则实数的取值范围是 . 8．（24-25高三上·安徽·阶段练习）若函数在时取得极小值，则的极大值为 ． 四、解答题 9．（24-25高三上·北京·期中）已知函数在处有极值-1. (1)求实数a，b的值; (2)求函数的单调区间. 10．（24-25高三上·上海松江·期中）已知函数. (1)求函数在上的单调减区间； (2)若函数在区间上有且只有两个极大值点，求实数的取值范围. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D C D B BC BCD 1．D 【分析】根据导函数的图象判断出其符号分布情况，进而可求出函数的单调区间及极值点，即可得解. 【详解】由导函数的图象可知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 在和处取得极小值，在处取得极大值， 故ABC错误，D正确. 故选：D. 2．C 【分析】根据函数的图象，得出导函数符号的分布情况，再根据极值的定义即可得解. 【详解】由函数的图象， 得当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以函数有极小值，极大值和. 故选：C. 3．D 【分析】由极值点和极值，列出关于的方程组，再验证条件，即可求解. 【详解】根据题意，， 函数在处有极值0， 且， 或， 时恒成立，此时函数无极值点， 当时，， 此时是函数的极值，满足条件， ，. 故选：D 4．B 【分析】对分段函数中的每一段的函数分别探究其单调性情况，再进行综合考虑即得. 【详解】当时，， 此时函数在上单调递减，在上单调递增，故此时函数有一个极小值点为2； 当时，，因恒成立，故函数在上单调递减， 结合函数在上单调递减，可知0不是函数的极值点. 综上，函数的极值点只有1个. 故选：B. 5．BC 【分析】利用函数图象判断符号，从而判断的单调性，进而根据极值点、极值的概念判断即可. 【详解】由题图知，当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以. 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 所以有三个极值点，为函数的极大值，和为的极小值. 故AD错误，BC正确. 故选：BC 6．BCD 【分析】对于A，先证明，再说明是的极大值点即可得到A错误；对于B，分别利用和两个表达式即可证明结论；对于C，使用作差法比较和即可；对于D，使用作差法比较和即可. 【详解】对于A，由于，故 . 所以，从而对有，所以是的极大值点，故A错误； 对于B，当时，由于，故 ， 且由，，可得. 故B正确； 对于C，当时，由于，故由，可知 ， 所以，故C正确； 对于D，当时，有，故 ， 所以，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用不同的方向去研究函数的性质，方可解决相应的问题. 7． 【分析】只需函数的极值点在区间内，再利用为定义域的真子集即可求出实数的取值范围. 【详解】解：函数的定义域是， 所以，即. 因为， 所以在上单调递增， 由，可得 若函数在区间内不单调， 则，解之可得， 又因为，所以. 故答案为：. 8． 【分析】由题意得，则可求得，再结合导数即可求得极大值. 【详解】由题意可得，，解得， 所以， 故当或时，,当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值为． 故答案为：. 9．(1) (2)的单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】（1）由题意，解出的值再检验即可； （2）直接求导，根据导数符合与单调性的关系即可得解. 【详解】（1）已知函数，则， 由题意，解得 ， 当时，，， 当或时，，当时，， 所以在上均单调递增，在上单调递减， 所以在处有极小值，满足题意， 综上所述，符合题意； （2）由题意，则， 当时，，当时，， 所以的单调递增区间为，的单调递减区间为. 10．(1) (2) 【分析】（1）根据三角恒等变换公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）由的取值范围求出的取值范围，依题意可得，解得即可. 【详解】（1）因为 ， 由，则， 令，解得， 所以函数在上的单调递减区间为； （2）由，则， 因为函数在区间上有且只有两个极大值点， 所以，解得， 即实数的取值范围. 考点三：函数的最值 一、单选题 1．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知函数为连续可导函数，的图象如图所示，以下命题正确的是（    ） A．是函数的最小值 B．是函数的极小值 C．在区间上单调递增 D．在处的切线的斜率大于0 2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2024·浙江杭州·一模）已知函数，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则在上单调递减 D．若，则在上单调递增 4．（24-25高三上·湖南益阳·阶段练习）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数存在三个不同的零点 B．函数既存在极大值又存在极小值 C．若时，，则t的最大值为2 D．当时，方程有且只有两个实根 三、填空题 5．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若对任意恒成立，则的最大值为 ． 6．（2024高三·全国·专题练习）若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是 ． 四、解答题 7．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，求的单调性； (2)若函数在处取得极小值，求实数的取值范围． 8．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）已知函数（其中，）. (1)当，时，证明：是增函数； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)已知，设函数，若对任意的恒成立，求的最小值. 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 D A ACD BCD 1．D 【分析】根据图象得到的单调性，并结合极值的定义和导数的几何意义求出答案. 【详解】C选项，由图象可看出当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，C错误； A选项，是函数的极小值，但无法确定是不是最小值，A错误； B选项，是函数的极大值，B错误； D选项，由于，故在处的切线的斜率大于0，D正确. 故选：D 2．A 【分析】根据函数与方程的关系，将问题等价为函数图象求交点，利用导数研究函数的单调性与最值，作出图象，可得答案. 【详解】函数有两个零点等价于直线与函数的图象有两个交点． 对求导得，令，解得， 则当时，，单调递减且，当时，，单调递增， 则，作出函数的大致图象和直线，如图所示： 故的取值范围为． 故选：A． 3．ACD 【分析】由，可得是的极小值点，即可判断AB；求导，再根据导函数的符号即可判断CD. 【详解】对于AB，， 因为，所以是的极小值点， 则，解得， 此时， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故A正确，B错误； 对于C，若，则， 当时，，所以在上单调递减，故C正确； 对于D，若，则， 当时，，所以在上单调递增，故D正确. 故选：ACD. 4．BCD 【分析】求得，得到函数的单调性和极值，以及时，，当时，，作出函数的图象，如图所示，结合图象，逐项判定，即可求解. 【详解】由函数，可得， 令，解得或， 当时，；当时，；当时，， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 当，函数取得极小值； 当，函数取得极大值， 当时，，当时，， 作出函数的图象，如图所示，结合图象得： 对于A中，函数存在两个不同的零点，所以A不正确； 对于B中，函数既存在极大值又存在极小值，所以B正确； 对于C中，当时，，可得，所以t的最大值为，所以C正确； 对于D中，若方程有且只有两个实根， 即与的图象有两个不同的交点，可得，所以D正确. 故选：BCD. 5．1 【分析】可判断时不合题意，时研究的条件，可得， 进而，构造最大值即可得到的最大值. 【详解】解：，当时，恒成立， 所以在上单调递减，不满足，故， 因此由，解得， 所以在单调递减，在单调递增， ， 所以，所以， 令，则， 因此在上单调递增，在上单调递减，， 所以的最大值为． 故答案为：. 6． 【分析】利用导数研究函数的单调区间和极值，结合已知区间存在最大值，列不等式组求参数范围. 【详解】由，则， 令，解得；令，解得或， 所以在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数， 故函数在处有极大值，在处有极小值， 所以，解得． 故答案为： 7．(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）在时，对函数求导后分解因式，根据导函数的正负即可判断原函数的单调性； （2）对函数求导后，对，，，的情况进行讨论，由题意即得参数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 则， 令，解得或． 令，解得，所以在上单调递减； 令，解得或，即在，上单调递增． 综上，函数在，上单调递增，在上单调递减． （2）由求导得， ① 当时，恒成立， 令，解得，即在上单调递减； 令，解得，即在上单调递增， 故时，函数在处取得极小值，符合题意； ②当时，令，解得，，且， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 所以函数在处取得极小值，符合题意． ③ 当时，令，解得，此时恒成立且不恒为0， 单调递增，故函数无极值，不符合题意． ④ 当时，令，解得，，且， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，不符合题意． 综上，实数的取值范围是． 8．(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）利用即可得证； （2）利用即可证明； （3）分和两种情况研究函数的最值情况，当时求出的最小值，从而将对任意的恒成立转化成恒成立，再构造函数求出的最小值即可求解. 【详解】（1）证明：当，时，， 所以恒成立， 所以函数是增函数. （2）证明：因为 ， 所以曲线关于点对称，即曲线是中心对称图形. （3）由题函数， 所以为增函数，因为， 所以当时，恒成立，所以在R上单调递增， 且当时，，故，不符合； 当时，令， 所以当时，，故函数在上单调递减， 当时，，故函数在上单调递增， 所以，因为对任意的恒成立， 所以只需即恒成立， 所以， 所以， 所以当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以.故，当且仅当时等号成立， 所以时的最小值为. 【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题，一般采取参变分离，转化为不含参函数的最值问题，或者利用参数表示出函数最值，然后求解关于参数的不等式即可. 自学检测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知函数的单调递增区间为，则的值为（    ） A．6 B．3 C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·福建福州·开学考试）设函数，则下列说法错误的是（    ） A．是的极大值点 B． C．当时， D．当时， 4．（23-24高三下·重庆·阶段练习）若函数在时有极小值，则（    ） A． B． C． D． 5．（21-22高二下·贵州遵义·期末）函数的导函数为的图象如图所示，关于函数，下列说法不正确的是（    ） A．函数，上单调递增 B．函数在，上单调递减 C．函数存在两个极值点 D．函数有最小值，但是无最大值 6．（2024高三·全国·专题练习）函数，若存在，使有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三·上海·课堂例题）函数（为常数）在上有最大值3，则在上的最小值为（    ） A．-37 B．-5 C．1 D．5 8．（23-24高二下·四川眉山·阶段练习）函数在区间上的最小值是（         ） A． B． C． D．0 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024高三·全国·专题练习）（多选）函数的导函数的图象如图所示，则（   ） A．为的极大值点 B．为的极小值点 C．为的极大值点 D．为的极小值点 10．（21-22高二下·湖南·阶段练习）已知为自然对数的底数，函数，，则下列结论正确的有（    ） A．若曲线与相切于点，则， B．若，，则曲线与相切 C．若，则恒成立 D．若，且的最小值为0，则 11．（24-25高三上·江苏淮安·开学考试）设函数，则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．在R上是单调函数 C．的最小值为1 D．当时， 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）若函数在处有极小值，则 . 13．（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知函数在处取得极小值，则的值为 ． 14．（23-24高二下·湖北·阶段练习）若函数在内有最小值，则实数的取值范围是 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数在区间上的单调性，并说明理由． 16. (15分) （24-25高三·上海·随堂练习）设函数，其中， (1)求； (2)若在是严格增函数，求实数a的取值范围； (3)若在上存在单调递减区间，求实数a的取值范围． 17. (15分) （24-25高三上·贵州黔东南·开学考试）已知奇函数在处取得极大值16. (1)求的解析式； (2)求经过坐标原点并与曲线相切的切线方程. 18. (17分) （23-24高二下·上海·阶段练习）已知函数 (1)求的单调增区间和单调减区间 (2)若在区间上的最小值为，求实数的值 19. (17分) （2024·湖北·一模）已知. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间内存在极小值点，求的取值范围. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D B C A A A AB ACD 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】求出函数的定义域与导函数，分、两种情况讨论，求出函数的单调递增区间，从而得到方程，解得即可. 【详解】函数的定义域为， 又， 当时恒成立，所以没有单调递增区间，不符合题意； 当时，单调递增，令，解得， 所以的单调递增区间为（或）， 依题意可得，解得. 故选：C 2．A 【分析】利用导数求出的单调递减区间，由定义域及不等式求得的取值范围. 【详解】函数，则. 因为在区间上单调递减，则在区间上恒成立， 即，解得，所以是的子区间， 所以，解得. 故选：A. 3．D 【分析】利用导数求其单调性，进而可知其极值点，进而判断A;再利用其单调性来比较大小，进而判断BCD. 【详解】的定义域为， 令得, 当时,, 当时,, 在单调递增， 在单调递减. 对于A,是的极大值点，故A正确; 对于B,, 而在单调递减， ， 即,故B正确； 对于C,当时,， 而在单调递减， , 即,故C正确； 对于D,当时,, ， 而在单调递增, ,故D错误. 故选:D. 4．B 【分析】先求出，再根据极值的定义列等式求出和，然后检验此时在时是否有极小值，即可确定和的值，进而得到. 【详解】，因为在时有极小值， 所以，即，解得， 此时， 或时，，时，， 在时有极小值成立，所以，，. 故选：B. 5．C 【分析】利用导函数图象，得到原函数单调性即可判断AB，利用极值点的定义判断C，利用函数的单调性及最值的概念判断D. 【详解】根据的图象可知， 函数在和上，单调递增，A选项正确； 函数在和上，单调递减，B选项正确； 所以的极小值点为，3，极大值点为1，C选项错误； 由上述分析可知，函数的最小值是和两者中较小的一个，没有最大值，D选项正确. 故选：C 6．A 【分析】构造函数，利用导数求最值，进而得的取值范围. 【详解】若存在，使得有解，即． 设，，则． 令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以． 故的取值范围为． 故选：A 7．A 【分析】对函数进行求导，判断其单调性和最值，根据最大值为3求出，进而根据单调性可得其最小值. 【详解】由，得， 故当时，，在区间上单调递增， 当时，，在区间上单调递减， 故当时，取得最大值，即，此时， 当，，当时， 故最小值为. 故选：A. 8．A 【分析】对函数求导，判断函数单调性，结合所给区间，即得函数最小值. 【详解】由求导得，， 则当时，，单调递增；当时，，单调递减. 故当时， 又由，可得， 故 故选：A. 9．AB 【分析】根据导函数的图象求出函数的极大值和极小值点即可. 【详解】由图象可知，当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增， 且，，， 所以和是函数的极小值点，是函数的极大值点. 故选：AB． 10．ACD 【分析】利用导数的几何意义，以及利用导数求函数的单调性，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对，， 对A：当时，，又，故在处的切线方程为， 即，故此时，故A正确； 对B：令，解得，又，故此时在处的切线方程为：， 即，此时，故错误； 对C：令，则， 则当时，，单调递减；当时，，单调递增. 故，故，则正确； 对D：若，则， ，当时，恒成立，故单调递增，不存在最小值，故舍去； 当时，当时，，单调递减；当时，，单调递增. 故，又其最小值为0 故，解得，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性和最值，属综合基础题. 11．ABD 【分析】A选项，根据定义域为R 且得到A正确；B选项，求导，结合基本不等式得到，在R上单调递增，B正确；C选项，由B选项知，C错误；D选项，根据函数单调性得到. 【详解】A选项，定义域为R，且， 故为奇函数，A正确； B选项，， 故在R上单调递增，B正确； C选项，由B选项知，在R上单调递增，无最小值，C错误； D选项，由B选项知，在R上单调递增，当时，，D正确. 故选：ABD 12． 【分析】首先求函数的导数，根据，求的取值，再代入验证，即可求解. 【详解】，因为在处有极小值，所以， 即，解得或； 当时，， 当或时，，当时，， 函数在处取得极大值；故不成立， 当时，， 当或时，，当时，， 函数在处取得极小值，所以. 故答案为：3 13． 【分析】将函数求导，依题可得，求得或，代入函数式，进行检验，舍去，即得结论. 【详解】由求导，， 依题意，，即，解得或. 当，时，，， ， 当时，，在上单调递减，当时，，在单调递增， 即时，函数取得极小值，符合题意，此时； 当，时，，， 因 ， 即函数在上为增函数，无极值，与题意不符，舍去. 故答案为：. 14． 【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值点，从而得到关于的不等式组，解得即可. 【详解】函数的定义域为， ， 令可得或（舍）， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，即最小值， 又因为函数在内有最小值，故，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 15．(1) (2)函数在区间上单调递增．理由见解析 【分析】（1）求导得到导函数，根据导函数计算切线斜率，得到直线方程. （2）求导得到导函数，根据导函数大于零恒成立即可求解. 【详解】（1）由，得，所以切线方程为． （2）函数在区间上单调递增．理由如下： 因为，所以，因此，又，故恒成立，故在区间上单调递增． 16．(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）利用导数的求导法则直接计算即可； （2）由题意得在上恒成立，然后分离参数可求得答案； （3）由题意得在上有解，转化为在上有解，从而可求出答案. 【详解】（1）由， 得， 所以， （2）由题意得，在上恒成立， 即在恒成立， 因为在上递减，所以的最大值为， 所以，即实数a的取值范围为； （3）由题意得，在上有解，即在上有解， 因为在上递减， 所以， 所以， 即实数a的取值范围为． 17．(1) (2) 【分析】（1）先由是奇函数求得，再结合在处取得极大值16构成方程组即可求得a和c，则解析式可求； （2）先设切点坐标为，再结合导数的几何意义即可求出切线方程. 【详解】（1）因为是奇函数，所以， 即，则， 从而，. 因为在处取得极大值16， 所以解得 经检验知此时在处取得极大值， 故. （2）由（1）可设切点坐标为，则， 切线方程为. 因为切线经过坐标原点，所以，解得， 故经过坐标原点并与曲线相切的切线方程为. 18．(1)单调递增区间是，单调递减区间是和； (2) 【分析】（1）首先求函数的导数，根据导数与函数单调性的关系，即可求解； （2）根据（1）的单调性，计算端点值和极值，根据最小值求实数的值. 【详解】（1），令，得或， 如图，的变化关系如下表， 0 0 单调递减 单调递增 单调递减 所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是和； （2）根据（1）的结果，得到如下表， 4 0 0 单调递减 单调递增 单调递减 如表可知，的最小值为，得. 19．(1) (2) 【分析】（1）当时，，求导可得，又，可求切线方程； （2）求导得，分，，三种情况讨论函数的单调性，判断极小值点在内可求得的取值范围. 【详解】（1）当时，，可得 所以，又， 所以切线方程：，即. （2）由已知得 1.若，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以在取得最小值，符合题意. 2.若， i）若即， 当，所以在上单调递减， 当，所以在上单调递增， 所以在取得最小值， ii）当，，所以无极值，不符合题意， iii）当即， 当，所以在上单调递减， 当，所以在上单调递增， 所以在取得极小值符合. 3.若， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 在取得极小值，符合题意； 综上所述：的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$