01导数的概念及其意义——2025年高二数学寒假自学讲义（选择性必修第二册课程）（人教2019A版专用）

01导数的概念及其意义（人教2019A版专用） 目录 【自学概念】 2 【自学考点】 3 考点一：变化率问题 3 考点二：导数的概念及其几何意义 6 考点三：公切线问题 12 【自学检测】 17 自学概念 1. 瞬时速度与瞬时变化率 (1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. (2)函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率，当Δx→0时的极限，即＝. 2. 曲线的切线斜率 (1)设P0(x0，f(x0))，P(x，f(x))是曲线y＝f(x)上任意不同两点，则平均变化率＝为割线P0P的斜率. (2)当P点沿着曲线逐渐靠近P0点，即当Δx→0时，瞬时变化率__就是y＝f(x)在x0处的切线的斜率，即k＝__. 3. 函数平均变化率 对于函数y＝f(x)，从x1到x2的平均变化率： (1)自变量的改变量：Δx＝x2－x1. (2)函数值的改变量：Δy＝f(x2)－f(x1). (3)平均变化率＝＝. 4. 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝. 5. 切线的概念 在曲线y＝f(x)上任取一点P(x，f(x))，如果当点P(x，f(x))沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0(x0，f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置P0T称为曲线y＝f(x)在点P0处的切线. 6. 导数的几何意义 当点P沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，割线P0P的斜率k无限趋近于函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，因此，函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝＝f′(x0). 7. 函数的单调性与导数的关系 若f′(x0)＝0，则函数在x＝x0处切线斜率k＝0； 若f′(x0)>0，则函数在x＝x0处切线斜率k≥0，且函数在x＝x0附近单调递增，且f′(x0)越大，说明函数图象变化的越快； 若f′(x0)<0，则函数在x＝x0处切线斜率k<0，且函数在x＝x0附近单调递减，且越大，说明函数图象变化的越快. 8. 导函数 对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，则当x变化时，f′(x)就是x的函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称导数)，即f′(x)＝y′＝. 自学考点 考点一：变化率问题 一、单选题 1．（24-25高三上·北京海淀·期中）大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（    ） A．由上图推测，甲地的绿化好于乙地 B．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D．当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 2．（23-24高二下·江西萍乡·期中）已知甲､乙两个小区在这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论，其中正确结论的个数为（    ） ①在这段时间内，甲小区比乙小区的分出量增长得慢； ②在这段时间内，乙小区比甲小区的分出量增长得快； ③在时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长得慢； ④乙小区在时刻的分出量比时刻的分出量增长得快． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高二下·河南·期中）若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、多选题 4．（23-24高二·全国·课后作业）已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则（    ） A．该物体当1≤t≤3时的平均速度是28 B．该物体在t＝4时的瞬时速度是56 C．该物体位移的最大值为43 D．该物体在t＝5时的瞬时速度是70 三、填空题 5．（23-24高二下·上海·期中）已知函数在处的切线斜率为，且，则 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 C D D ABD 1．C 【分析】结合图中数据分析一一判断各选项即可. 【详解】对于A，由图可知，甲地的气温日较差明显小于乙地气温日较差， 所以甲地的绿化好于乙地，故A正确； 对于B，由图可知，甲乙两地的平均变化率为正数，且乙地的变化趋势更大， 所以甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率，故B正确； 对于C，由图可知，甲乙两地的平均变化率为负数，且乙地的变化趋势更大， 所以甲地气温的平均变化率大于乙地气温的平均变化率，故C错误； 对于D，由图可知，存在一个时刻，使得甲、乙两地气温的瞬时变化率相同，故D正确. 故选：C. 2．D 【分析】根据图象的性质，结合图象的变化快慢，即可判断选项. 【详解】①在这段时间内，甲小区比乙小区的分出量增长得慢，故①正确； ②在这段时间内，乙小区比甲小区的分出量增长得快,故②正确； ③在时刻，乙的图象比甲的图象陡，所以乙的瞬时增长快，故③正确； ④乙小区在时刻比在时刻陡，所以在时刻的分出量比时刻的分出量增长得快，故④正确. 故选：D 3．D 【分析】根据导数的定义计算即可求解. 【详解】由题意知，， 则. 故选：D 4．ABD 【分析】结合平均速度、瞬时速度、位移等知识对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】该物体在时的平均速度是，A正确. ，B正确. 当时，，C错误. ，D正确. 故选：ABD 5． 【分析】根据导数的定义可得答案. 【详解】因为函数在处的切线斜率为， 且，则. 故答案为：. 考点二：导数的概念及其几何意义 一、单选题 1．（24-25高三上·四川遂宁·期中）若已知函数，角为函数在点处的切线的倾斜角，则（ ） A． B． C． D． 2．（2022·河南焦作·二模）函数的图象在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）过点且与曲线相切的切线斜率不可能为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·北京朝阳·期中）已知函数若直线与函数的图象有且只有一个公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·湖南·模拟预测）已知函数的图象在处的切线的斜率为，则（    ） A．的最小值为6 B．的最大值为6 C．的最小值为4 D．的最大值为4 二、多选题 7．（22-23高二下·全国·课后作业）（多选题）已知函数满足，，则下列关于的图象描述正确的是（    ） A．的图象在处的切线斜率大于 B．的图象在处的切线斜率小于 C．的图象在处位于轴上方 D．的图象在处位于轴下方 8．（2023·全国·模拟预测）若的图象在处的切线分别为，且，则（    ） A． B．的最小值为2 C．在轴上的截距之差为2 D．在轴上的截距之积可能为 三、填空题 9．（2024高二下·全国·专题练习）曲线过点的切线方程为 . 10．（2024·广东珠海·一模）直线与曲线相切，则 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D B A C BC AC 1．C 【分析】根据导数几何意义，求出的值，再根据同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】因为，所以， 故函数在点处切线的斜率为，即. 故. 故选：C. 2．B 【分析】利用导数，由切点和斜率求得切线方程. 【详解】由题意，函数，可得， 所以，， 所以在处的切线方程为，即. 故选：B 3．D 【分析】设切点，结合导数的几何意义可得切线方程，根据切线过点，可得，进而确定切线斜率. 【详解】由，得， 设切点为， 则切线斜率， 即切线方程为， 又切线过点， 则， 整理可得， 解得或或， 则切线斜率为或或， 故选：D． 4．B 【分析】通过导数求出直线与分段函数各段相切对应的值，并结合图象即可求解. 【详解】当时，函数，则， 令，解得， 故直线与相切，即. 当时，函数，则， 令，解得， 故直线与相切，即. 如图所示，当或时，直线与分段函数有且仅有一个公共点. 故实数的取值范围为或. 故选：B. 5．A 【分析】首先求平行于直线与曲线相切的切点坐标，再代入点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由函数，可得，，令，解得、或（舍去）， 单调递增 单调递减 设，，所以图象向上凹， 如图画出函数的图象，以及直线得到图象，以及平移直线与函数相切的直线， 则， 即平行于直线的直线与曲线相切的切点坐标为， ，所以切点在直线的左侧， 曲线上任意一点到直线距离的最小值为点到直线的距离， 由点到直线的距离公式，可得点P到直线l的距离为． 故选：A 6．C 【分析】求导，结合基本不等式即可求解. 【详解】，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为4． 故选：C 7．BC 【分析】结合，，利用导数的相关知识即可判断. 【详解】因为，则的图象在处的切线斜率小于； 因为，所以的图象在处位于轴上方． 故选：BC. 8．AC 【分析】根据及导数的几何意义得，再借助基本不等式即可判断A，B；写出的方程，得到在轴上的截距分别为，由此判断C，D． 【详解】对于A，B：由题意可得，当时，，当时，， 所以的斜率分别为， 因为，所以，得， 因为，所以， 故A正确，B错误． 对于C，D：的方程为，即， 令，得，所以在轴上的截距为， 的方程为，可得在轴上的截距为， 所以在轴上的截距之差为， 在轴上的截距之积为，故C正确，D错误． 故选：AC 9．或 【分析】先利用导数的定义求出，设切线的切点是，则由导数的几何意义可得切线的斜率为，再由切线过点和，表示出切线的斜率，从而列方程可求出，则可求出斜率，进而可求出切线方程. 【详解】， 因为点不在曲线上， 所以设切线的切点是，则切线的斜率， 又切线过点和， 所以， 所以， 化简得， 因为，所以或. 所以，或， 所以所求切线方程是或， 即或. 故答案为：或. 10． 【分析】设切点坐标为，由导数的几何意义求解即可. 【详解】设切点坐标为，由于， 所以切线的斜率为：， 所以曲线在处的切线方程为：，即， 所以，， 故答案为：. 考点三：公切线问题 一、单选题 1．（23-24高二下·云南楚雄·期末）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·安徽合肥·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 二、多选题 3．（22-23高二上·江苏连云港·期末）关于切线，下列结论正确的是（    ） A．与曲线和圆都相切的直线l的方程为 B．已知直线与抛物线相切，则a等于 C．过点且与曲线相切的直线l的方程为 D．曲线在点处的切线方程为． 4．（22-23高二下·安徽亳州·阶段练习）若存在过点的直线l与曲线和都相切，则a的值可以是（    ） A．1 B． C． D． 三、填空题 5．（24-25高三上·辽宁·期中）已知直线是曲线和的公切线，则的值为 . 6．（2024·广东江苏·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 B D ABD AB 1．B 【分析】分别设两曲线上的两个切点坐标，然后利用导数求斜率，用斜率相等建立方程①，再利用两点坐标求斜率再次利用斜率相等建立方程②，解方程组即可求得切点横坐标，最后求得切点与斜率即可得解. 【详解】由，得，由，得． 设直线与曲线切于点，与曲线切于点， 则，又， 由方程①②解得，所以直线过点，斜率为1， 即的方程为． 故选：B. 2．D 【分析】求导，与直线垂直，求出的值. 【详解】由，求导， 则在点处的切线的斜率为， 而在点处的切线与直线垂直, 则，故. 故选：D 3．ABD 【分析】对A，由导数法求出曲线在切点处的切线方程，再由直线与圆相切与圆心到直线距离的关系列式即可求； 对B，直线与抛物线相切，即两方程联立有唯一解； 对C，点不在曲线上，设切点坐标为，结合导数法建立方程组求出切点坐标，即可进一步求出切线方程； 对D，由导数法直接求切线方程即可. 【详解】对A，设直线l与曲线相切于点，则由知曲线在点P处的切线方程为，即直线l的方程为． 由直线l与圆相切得，解得. 故直线l的方程为．A正确； 对B，由消去y得，所以解得．B正确； 对C，因为点不在曲线上，所以设切点坐标为. 又因为，所以解得 所以切点坐标为，所以，所以直线l的方程为，即．C错误； D中， ，所以，所以切线方程为，即．D正确． 故选：ABD 4．AB 【分析】根据题意，分点是切点与点不是切点，两种情况讨论，然后结合切线方程的求解方法，得到相应的切线方程，从而得到的值. 【详解】由题意可得，， 因为在直线l上，当为的切点时， 则，所以直线l的方程为， 又直线l与相切， 所以满足，得； 当不是的切点时， 设切点为， 则， 所以，得， 所以，所以直线的方程为. 由，得， 由题意得，所以. 综上得或. 故选:AB 5． 【分析】利用导数的几何意义求解即可. 【详解】令，则， 因为直线是曲线的切线， 所以由解得，此时 所以在处的切线为，所以， 又是的切线， 联立得， 令解得， 所以， 故答案为： 6． 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 自学检测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·辽宁·开学考试）如图，有一个无盖的盛水的容器，高为，其可看作将两个完全相同的圆台面积较大的底面去掉后对接而成.现从顶部向该容器中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水的体积相等，记容器内水面的高度随时间变化的函数为，则下列函数图象中最有可能是图象的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）在抛物线上任取A、B两点，若过A、B点作抛物线的切线斜率分别为－2，4，则直线AB的斜率为（    ） A．1 B．3 C．－1 D．－3 3．（2022·安徽黄山·二模）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2024高三·全国·专题练习）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 5．（24-25高三上·四川成都·期中）若对，函数的函数值都不超过函数的函数值.则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2024·山西·模拟预测）已知函数若对任意，曲线在点和处的切线互相平行或重合，则实数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（21-22高二下·河南·期末）已知点P在函数的图象上，点Q在直线上，记，则（    ）． A．M的最小值为 B．当M最小时，点Q的横坐标为 C．M的最小值为 D．当M最小时，点Q的横坐标为 8．（22-23高三上·山东淄博·阶段练习）已知定义在R上的函数和，导函数的定义域也为R．若为偶函数，，，则下列不正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为R，若是奇函数，，且对任意，，则（    ） A． B． C．是周期为3的函数 D． 10．（24-25高三·上海·随堂练习）下列结论中，正确的有（    ）． A．是函数在附近的平均变化率 B．函数与在处的切线相同 C．求时，可先求，再求 D．曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点 11．（23-24高三上·湖北·期末）设，点是直线上的任意一点，过点作函数图象的切线，可能作（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024·四川宜宾·一模）设曲线在处的切线与直线垂直，则 13．（2024·福建宁德·三模）已知曲线和圆有2个交点，则实数的取值范围是 . 14．（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知直线是曲线与的公切线，则 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高三上·安徽六安·阶段练习）函数. (1)求函数在处的切线方程; (2)求出方程的解的个数. 16. (15分) （24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)求曲线上任意一点处的切线斜率； (2)求曲线在点处的切线方程． 17. (15分) （23-24高二下·湖北孝感·阶段练习）已知函数的图象在点处的切线方程为． (1)求函数的解析式； (2)求函数图象上的点到直线的距离的最小值． 18. (17分) （23-24高二下·河北·开学考试）已知函数（，）的图象过点，且． (1)求，的值； (2)求曲线过点的切线方程． 19. (17分) （23-24高三上·上海闵行·期中）已知函数，若点是函数的图像的两条互相垂直的切线的交点，则点是函数的“特征点”，记的所有“特征点”的集合为； (1)若，求； (2)若，求证：函数的所有“特征点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程； (3)若，记函数的所有点组成的集合为，且，求实数的取值范围． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A C C C B C ACD BD 题号 11 答案 BC 1．D 【分析】考虑函数增长速度得到结论可得正确的选项. 【详解】因为单位时间内注水的体积不变，结合容器的形状， 在单位时间内，高度变化率先由快变慢，后由慢变快. 故选：D. 2．A 【分析】借助导数，运用导数几何意义，结合在某点处的切线可解. 【详解】求导，得到,设，， 则，， 由于， 两式子相加得到,则. 故. 故选：A. 3．A 【分析】首先求导得到，从而得到，再利用导数的几何意义求解切线方程即可. 【详解】由，得， 所以，得，所以，， 所以，切点为. ， 所以所求切线方程为，即. 故选：A 4．C 【分析】设切点为，利用导数的几何意义及点斜式直线方程求出切线方程，根据过点建立方程，求得切点的个数即为切线的条数. 【详解】设切点为，由，所以，得， 所以切线方程为，即． 因为切线过点，所以，解得或， 所以过点作曲线的切线可以作2条. 故选：C 5．C 【分析】在同一平面直角坐标系中作出的图象，然后考虑临界位置：经过点以及与相切，分析此时的取值，通过平移的图象可求解出的取值范围. 【详解】在同一平面直角坐标系中作出，的图象如下图所示： 且，即与轴交于， 当位于其对称轴左侧的图象经过时，此时在的图象上，所以，解得； 当位于其对称轴右侧的图象经过时，此时在的图象上，所以， 接下来分析当与相切时的情况： ，令，解得（舍去），， 所以切点坐标为，所以，解得； 由上可知，当时，经过且与相切， 结合图象，通过平移的图象可知，当时，恒成立， 综上所述，实数的取值范围是， 故选：C. 6．C 【分析】求得，根据题意转化为为偶函数，即可求解. 【详解】由函数， 可得， 因为曲线在点和处的切线互相平行或重合， 可得为偶函数，所以，解得. 故选：C. 7．B 【分析】先判定与直线平行且与的图象相切的直线的位置，切点到直线的距离即为M的最小值，再利用导数的几何意义求出切点坐标和M的最小值，再联立直线方程求出Q的横坐标. 【详解】将化为， 即直线l的斜率为， 因为，所以， 令，得， ∴当M最小时，点P的坐标为， 此时点P到直线的距离为， 所以M的最小值为； 过点P且垂直于的直线方程为， 联立，得， 即点Q的横坐标为. 故选:B． 8．C 【分析】容易分析知在轴两侧的一段区域内单调性相反，；再经过赋值法可以依次判断ACD是否正确. 【详解】依题意：为偶函数，导函数的定义为R，，B对； 令代入A对； 又又， D对； 又为偶函数，为奇函数； 由又， 也为周期为4的函数， C错； 故选：C 9．ACD 【分析】根据函数的性质和导函数的运算法则，结合赋值法可得相关结论. 【详解】对于A：令，得， 因为，所以，A正确； 对于B：令，得 ①， 所以， 因为是奇函数，， 所以，即是偶函数， 所以②， 由①②，得， 即， 所以， 所以，是周期为3的函数， 所以，所以B错误，C正确； 对于D：因为， 在①中令得，， 所以，， 所以D正确． 故选：ACD． 10．BD 【分析】对于A，根据的几何意义判断，对于B，根据导数的几何意分析判断，对于C，根据导数的意义分析判断，对于D，举例判断. 【详解】对于A，表示在处的瞬时变化率，所以A错误； 对于B，由，得，则切线的斜率为0，所以在处的切线为， 由，得，则切线的斜率为0，所以在处的切线为， 所以B正确； 对于C，因为是常数，所以再给求导，其值为零， 而先求，再代入求值，其值不一定为零，所以C错误； 对于D，如下图，曲线在点处的切线与曲线有两个公共点，所以D正确 故选：BD 11．BC 【分析】设为直线上任意一点，切点为求出切线方程，将代入切线方程，转化为根的个数求解即可. 【详解】设为直线上任意一点， 过点作的切线，切点为， 则函数图象在点B处的切线方程为， 即，   整理得，， 解得1或 当时，，方程仅有一个实根，切线仅可以作1条； 当时，，方程有两个不同实根，切线可以作2条. 故选：. 12．1 【分析】由直线的斜率求出切线的斜率，导函数在切点处的值即为切线斜率，建立等式，求得的值. 【详解】直线的斜率， ∵切线与直线垂直，∴切线的斜率， ，当时，，∴， 故答案为：1. 13． 【分析】分，，，几种情况，结合图象的变换知识可求的取值范围. 【详解】当时，由图象的变换可得，与一定有两个交点， 当，过点， 求导可得，，所以在处的切线方程为， 此时的圆心到直线的距离， 所以直线与圆只有一个公共点， 此时与只有一个交点， 当向左移动时，即时，与一定没有交点， 当时，与一定有两个交点， 故曲线与有两个交点时的取值范围为. 故答案为：. 14．1 【分析】设出公切线与两曲线的切点坐标，分别求出在切点处的切线方程，利用斜率相等及切线在轴上的截距相等即可求解. 【详解】设直线 与 的图象相切于点 与 的图象相切于点 , 又 , 且. 曲线 在点 处的切线方程为 , 曲线 在点 处的切线方程为 . 故， 解得 ， 故 故答案为：1 15．(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，得到切点处切线的斜率，得到切线方程； （2）作出函数图像，由函数图像与直线交点个数确定方程解的个数. 【详解】（1）定义域为：， ∵ ∴ ∴切线方程为：. （2）方程解的个数等价于于的交点个数. 所以在上递减，在上递增， 且时,, 作出与的图象， 由图可知当时，方程的解为0个 当或时，方程的解为1个 当时，方程的解为2个 16．(1) (2) 【分析】（1）根据导数的定义得出导数的几何意义得出切点的斜率； （2）先求导函数的函数值得出斜率再点斜式求出切线方程. 【详解】（1）由导数的几何意义可知曲线上任意一点处的切线斜率为， 则由导数的定义，可得 ． 即曲线上任意一点处的切线斜率为． （2），由（1）知，曲线在点处的切线斜率为， 所以切线方程为，即． 17．(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义，根据和，求函数的解析式； （2）根据，在点处的切线与直线平行，转化为点到直线的距离. 【详解】（1）由，可得， ∴，∴， 又，故，， 可知函数的解析式为． （2）由（1）可知， 函数图象上的点到直线的距离的最小值，满足点到直线的距离， 可得． 18．(1)，． (2) 【分析】（1）根据题意可得，由， 可得，联立即可得解； （2）由可设曲线上的切点为，利用导数的几何意义可得切线斜率为，利用点斜式可得切线方程，带入点，即可得解. 【详解】（1）因为函数的图象过点，所以①． 又，，所以②， 由①②解得，． （2）由（1）知， 设所求切线在曲线上的切点为，则， 所以切线方程为， 又切线过点，所以， 可得， ， ，解得， 所以切点为，切线方程为． 故曲线过点的切线方程为． 19．(1)； (2)证明见解析， (3) 【分析】（1）假设存在，求出导函数，利用导数的几何意义推出矛盾即可判断； （2）设“特征点”是在和处的切线的交点，求出切线方程，即可求出交点坐标，由切线互相垂直求出，即可得解； （3）依题意不存在图象上的点，使得该点是“特征点”，先利用反证法证明：对任意的实数，若图象上的点是“特征点”，则该点本身一定是切点，假设，，处切线互相垂直，不妨令是两条切线的交点，即可得方程对无解，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】（1）假设存在“特征点”，则存在两条互相垂直的切线， 设为和处的切线， 因为，所以， 所以不存在“特征点”，所以. （2）设“特征点”是在和处的切线的交点， 因为，所以， 所以在和处的切线方程为，， 联立解得，即， 因为两条切线相互垂直，所以， 所以，所以的所有“特征点”在一条定直线上. （3）因为，所以由题意可知不存在图象上的点，使得该点是“特征点”， 先证明：对任意的实数，若图象上的点是“特征点”，则该点本身一定是切点， 反证法：假设该点不是切点，则存在切线， 它与函数图象交于点，所以， 化简得，因为，所以， 同理可得，所以，两条切线重合，矛盾，所以该点本身一定是切点； 假设，处切线互相垂直，不妨令是两条切线的交点， 则由前文可知，所以，， 因为， 所以，即， 设， 则有， 由题意可知图象上的点都不是“特征点”，即不存在这样的点， 所以方程对无解， 设，其对称轴为， 所以当时取最小值， 要使得无解，只需，解得. 【点睛】关键点睛：本题解答的关键是理解定义，利用导数、反证法相关知识进行解答，以达到转化的目的. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 01导数的概念及其意义（人教2019A版专用） 目录 【自学概念】 2 【自学考点】 3 考点一：变化率问题 3 考点二：导数的概念及其几何意义 4 考点三：公切线问题 6 【自学检测】 7 自学概念 1. 瞬时速度与瞬时变化率 (1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. (2)函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率，当Δx→0时的极限，即＝. 2. 曲线的切线斜率 (1)设P0(x0，f(x0))，P(x，f(x))是曲线y＝f(x)上任意不同两点，则平均变化率＝为割线P0P的斜率. (2)当P点沿着曲线逐渐靠近P0点，即当Δx→0时，瞬时变化率__就是y＝f(x)在x0处的切线的斜率，即k＝__. 3. 函数平均变化率 对于函数y＝f(x)，从x1到x2的平均变化率： (1)自变量的改变量：Δx＝x2－x1. (2)函数值的改变量：Δy＝f(x2)－f(x1). (3)平均变化率＝＝. 4. 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝. 5. 切线的概念 在曲线y＝f(x)上任取一点P(x，f(x))，如果当点P(x，f(x))沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0(x0，f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置P0T称为曲线y＝f(x)在点P0处的切线. 6. 导数的几何意义 当点P沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，割线P0P的斜率k无限趋近于函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，因此，函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝＝f′(x0). 7. 函数的单调性与导数的关系 若f′(x0)＝0，则函数在x＝x0处切线斜率k＝0； 若f′(x0)>0，则函数在x＝x0处切线斜率k≥0，且函数在x＝x0附近单调递增，且f′(x0)越大，说明函数图象变化的越快； 若f′(x0)<0，则函数在x＝x0处切线斜率k<0，且函数在x＝x0附近单调递减，且越大，说明函数图象变化的越快. 8. 导函数 对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，则当x变化时，f′(x)就是x的函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称导数)，即f′(x)＝y′＝. 自学考点 考点一：变化率问题 一、单选题 1．（24-25高三上·北京海淀·期中）大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（    ） A．由上图推测，甲地的绿化好于乙地 B．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D．当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 2．（23-24高二下·江西萍乡·期中）已知甲､乙两个小区在这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论，其中正确结论的个数为（    ） ①在这段时间内，甲小区比乙小区的分出量增长得慢； ②在这段时间内，乙小区比甲小区的分出量增长得快； ③在时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长得慢； ④乙小区在时刻的分出量比时刻的分出量增长得快． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高二下·河南·期中）若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、多选题 4．（23-24高二·全国·课后作业）已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则（    ） A．该物体当1≤t≤3时的平均速度是28 B．该物体在t＝4时的瞬时速度是56 C．该物体位移的最大值为43 D．该物体在t＝5时的瞬时速度是70 三、填空题 5．（23-24高二下·上海·期中）已知函数在处的切线斜率为，且，则 . 考点二：导数的概念及其几何意义 一、单选题 1．（24-25高三上·四川遂宁·期中）若已知函数，角为函数在点处的切线的倾斜角，则（ ） A． B． C． D． 2．（2022·河南焦作·二模）函数的图象在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）过点且与曲线相切的切线斜率不可能为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·北京朝阳·期中）已知函数若直线与函数的图象有且只有一个公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·湖南·模拟预测）已知函数的图象在处的切线的斜率为，则（    ） A．的最小值为6 B．的最大值为6 C．的最小值为4 D．的最大值为4 二、多选题 7．（22-23高二下·全国·课后作业）（多选题）已知函数满足，，则下列关于的图象描述正确的是（    ） A．的图象在处的切线斜率大于 B．的图象在处的切线斜率小于 C．的图象在处位于轴上方 D．的图象在处位于轴下方 8．（2023·全国·模拟预测）若的图象在处的切线分别为，且，则（    ） A． B．的最小值为2 C．在轴上的截距之差为2 D．在轴上的截距之积可能为 三、填空题 9．（2024高二下·全国·专题练习）曲线过点的切线方程为 . 10．（2024·广东珠海·一模）直线与曲线相切，则 ． 考点三：公切线问题 一、单选题 1．（23-24高二下·云南楚雄·期末）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·安徽合肥·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 二、多选题 3．（22-23高二上·江苏连云港·期末）关于切线，下列结论正确的是（    ） A．与曲线和圆都相切的直线l的方程为 B．已知直线与抛物线相切，则a等于 C．过点且与曲线相切的直线l的方程为 D．曲线在点处的切线方程为． 4．（22-23高二下·安徽亳州·阶段练习）若存在过点的直线l与曲线和都相切，则a的值可以是（    ） A．1 B． C． D． 三、填空题 5．（24-25高三上·辽宁·期中）已知直线是曲线和的公切线，则的值为 . 6．（2024·广东江苏·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 自学检测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·辽宁·开学考试）如图，有一个无盖的盛水的容器，高为，其可看作将两个完全相同的圆台面积较大的底面去掉后对接而成.现从顶部向该容器中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水的体积相等，记容器内水面的高度随时间变化的函数为，则下列函数图象中最有可能是图象的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）在抛物线上任取A、B两点，若过A、B点作抛物线的切线斜率分别为－2，4，则直线AB的斜率为（    ） A．1 B．3 C．－1 D．－3 3．（2022·安徽黄山·二模）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2024高三·全国·专题练习）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 5．（24-25高三上·四川成都·期中）若对，函数的函数值都不超过函数的函数值.则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2024·山西·模拟预测）已知函数若对任意，曲线在点和处的切线互相平行或重合，则实数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（21-22高二下·河南·期末）已知点P在函数的图象上，点Q在直线上，记，则（    ）． A．M的最小值为 B．当M最小时，点Q的横坐标为 C．M的最小值为 D．当M最小时，点Q的横坐标为 8．（22-23高三上·山东淄博·阶段练习）已知定义在R上的函数和，导函数的定义域也为R．若为偶函数，，，则下列不正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为R，若是奇函数，，且对任意，，则（    ） A． B． C．是周期为3的函数 D． 10．（24-25高三·上海·随堂练习）下列结论中，正确的有（    ）． A．是函数在附近的平均变化率 B．函数与在处的切线相同 C．求时，可先求，再求 D．曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点 11．（23-24高三上·湖北·期末）设，点是直线上的任意一点，过点作函数图象的切线，可能作（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024·四川宜宾·一模）设曲线在处的切线与直线垂直，则 13．（2024·福建宁德·三模）已知曲线和圆有2个交点，则实数的取值范围是 . 14．（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知直线是曲线与的公切线，则 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高三上·安徽六安·阶段练习）函数. (1)求函数在处的切线方程; (2)求出方程的解的个数. 16. (15分) （24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)求曲线上任意一点处的切线斜率； (2)求曲线在点处的切线方程． 17. (15分) （23-24高二下·湖北孝感·阶段练习）已知函数的图象在点处的切线方程为． (1)求函数的解析式； (2)求函数图象上的点到直线的距离的最小值． 18. (17分) （23-24高二下·河北·开学考试）已知函数（，）的图象过点，且． (1)求，的值； (2)求曲线过点的切线方程． 19. (17分) （23-24高三上·上海闵行·期中）已知函数，若点是函数的图像的两条互相垂直的切线的交点，则点是函数的“特征点”，记的所有“特征点”的集合为； (1)若，求； (2)若，求证：函数的所有“特征点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程； (3)若，记函数的所有点组成的集合为，且，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$