精品解析：江西省九江市田家炳实验中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试题

九江市田家炳实验中学2024~2025学年度上学期第二次月考试卷 年级：高一年级 科目：数学 满分：150分 命题人：曾佳玲 审题人：张志 考试时长：120分钟 第I卷（选择题，共58分） 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由交集的运算求解即可. 【详解】，， 所以， 故选：D. 2. “”是“一元二次方程”有实数解”的 A. 充分非必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分非必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：方程有解，则．是的充分不必要条件．故A正确． 考点：充分必要条件 3. 设函数，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对数函数的单调性求解不等式即可. 【详解】函数，, 所以，所以，即， 故选：A 4. 函数的单调减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，求得函数的定义域，本题即求在定义域内的单调减区间，利用二次函数的性质可得在定义域 内的单调减区间． 【详解】令，求得，故函数的定义域为， 本题即求在内的减区间． 利用二次函数的性质开口向下，对称轴，可得在内的减区间为， 即函数的单调减区间为， 故选:B． 5. 设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数函数与幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】， 因为在上单调递增，且， 所以，故， 是减函数，且， 所以，即， 故， 故选：A. 6. 若，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对数的运算求得，然后利用的代换结合基本不等式求解即可. 【详解】由，所以， 所以，即， 所以，即，由，可知， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故选：A 7. 下列函数零点不宜用二分法求出的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定. 【详解】对于A选项，在上单调递增，且与轴有唯一交点，交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解； 对于B选项，在单调递增，且与轴有唯一交点，交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解； 对于C选项，由题意可知只有一个零点， 且在该零点左右两边的函数值都大于零，故不宜用二分法求解该零点； 对于D选项，，在单调递增，单调递减，所以， 则零点处的两侧函数值异号，可用二分法求解， 故选：C 8. 已知函数，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，由图可得，不等式的解集是，分类讨论求解不等式即可. 【详解】的图象如图所示： 令，由图可得，不等式的解集是， 即， 当时，不等式无解；当时， 由，得，即，解得， 所以的解集为. 故选：A. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由对数的运算性质求解判断即可. 【详解】，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确； 故选：ABC 10. 有如下命题，其中为真命题的是（ ） A. 若幂函数的图象过点，则 B. 函数（且）的图象恒过定点 C. 函数有两个零点 D. 若函数在区间上的最大值为4，最小值为3，则实数的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据幂函数的定义判断选项A，由指数的性质判断选项B，由零点存在性定理的应用判断选项C，由二次函数的图象和性质判断选项D． 【详解】设幂函数，代入，得到，∴，∴，则，故A错误； 由于恒过定点，因此令，即时，恒有， 即图象恒过定点，故B正确； 转化，即， 函数与在同一直角坐标系下的图象如图1所示， 两个函数只有一个交点，故函数只有一个零点，故C错误. 函数中，得，， 如图2所示，可得若函数在区间上的最大值为4，最小值为3， 则实数的取值范围是，故D正确. 故选：BD. 11. 给出下列四个选项中，其中正确的选项有（ ） A. 若实数满足，则 B. 设都是正数，且，则 C. 若函数的值域为，则实数的取值范围是 D. 若在单调递减，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】由对数函数与幂函数的单调性即可判断选项A；设，则，运算求解即可判断选项B；由对数型函数的性质结合一元二次方程根与系数的关系即可判断选项C；由对数型复合函数的单调性求解参数的取值范围即可判断选项D. 【详解】，所以，故，设， 则，故，故A正确； 设，则， 故，，所以，故B正确； 函数的值域为，所以，所以或，故C正确； 二次函数开口向上，对称轴为：， 所以在上单调递减， 要使在单调递减， 根据复合函数单调性同增异减可知，且，故， 故D错误； 故选：ABC 第II卷（非选择题，共92分） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若函数的定义域为，则的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由抽象函数的定义域的求法求解即可. 【详解】函数的定义域为， 所以，所以， 所以由，且， 解得， 故答案为： 13. 已知函数则满足的的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题中所给的分段函数的解析式，分和两种情况讨论，求解指数和对数不等式求得结果. 【详解】根据题意得，或， 综上：的取值范围是. 故答案为： 14. 设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】求得在区间，上的解析式，画出的图象，结合图象列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】时，，而时，， 所以 又，所以当时，， 当时，， 作出示意图如下图所示： 要使，则需，结合上图， 由，解得，所以， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：所给的抽象函数关系式，如本题中的，然后要关注题目所给的已知区间的函数解析式，结合这两个条件来求得其它区间的函数解析式. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 设，且. （1）求的值及集合； （2）设全集，求. 【答案】（1）-5； （2） 【解析】 【分析】（1）根据交集的定义将2代入方程中求出a的值，进而求出集合A、B； （2）求出A与B的并集，进而求出A的补集与B的补集，找出两补集的并集即可． 【小问1详解】 因为， 所以2既是方程的解，又是方程的解， 所以， 【小问2详解】 由（1）得， 所以 16. 已知函数，且满足. （1）求的值； （2）解不等式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据代入解方程即可 （2）由指数函数的单调性可得结论． 【小问1详解】 因为且， 所以 故的值为 【小问2详解】 不等式，即， 因为在上单调递减，所以， 所以不等式解集为. 17. 已知幂函数的图像关于轴对称. （1）求实数的值； （2）设函数，求的定义域和单调递增区间. 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）由题知，进而解方程并根据图像关于y轴对称求解即可； （2）由（1）可得，求出定义域结合复合函数的单调性可得解. 【小问1详解】 由，解得或， 又因为的图像关于y轴对称，所以为偶函数， 所以为偶数，所以， 【小问2详解】 由（1）得，所以， 由或， 所以的定义域为， 令，则， 根据复合函数的单调性可得，单调递增区间即是时单调递增区间， 即且，所以， 所以的单调递增区间是. 18. 已知，函数. （1）当时，解不等式； （2）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围. 【答案】（1）. （2） 【解析】 【分析】（1）当时，等价于，转化为一元二次不等式求解即可； （2）先判断出在上单调递减，转化为对任意恒成立，求解参数的取值范围即可. 【小问1详解】 当时，， 即，所以，等价于， 解得或. 故的解集为：. 【小问2详解】 当时，， 则，所以在上单调递减， 所以对任意，在区间上单调递减， 所以，， 所以， 即对任意恒成立， 因为，所以在单调递增， 所以时，，解得， 所以的取值范围为： 19. 对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数. （1）当时，求函数的不动点； （2）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，若的两个不动点为，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）和 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据不动点定义得到方程，解方程求得结果； （2）将问题转化为有两个不等实根，利用判别式得到满足的不等式，将其看做关于的一元二次不等式恒成立，由判别式得到关于的不等式，求解得到结果； （3）利用已知得到，根据对勾函数的性质求得最值即可得到所求范围. 【小问1详解】 当时，， 所以，解得或， 所以函数的不动点为和. 【小问2详解】 函数恒有两个相异的不动点，即方程有两个不等的实根， 即方程有两个不等的实根， 恒成立，即恒成立， 所以，解得， 故当时，函数恒有两个相异的不动点，则的取值范围为. 【小问3详解】 ∵ ， 所以， 因为，所以， 由于对勾函数在单调递增， 所以， 所以.故的取值范围为. 【点睛】方法点睛：本题考查了函数问题中的新定义问题，搞清楚不动点是方程的根，不动点的个数即为方程的根的个数，从而构造方程在求解参数范围的过程中，要根据不同的函数模型，利用二次函数，对勾函数求解对应模型的最值.对于转化与化归的思想要求较高. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九江市田家炳实验中学2024~2025学年度上学期第二次月考试卷 年级：高一年级 科目：数学 满分：150分 命题人：曾佳玲 审题人：张志 考试时长：120分钟 第I卷（选择题，共58分） 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，那么等于（ ） A. B. C. D. 2. “”是“一元二次方程”有实数解”的 A. 充分非必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分非必要条件 3. 设函数，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的单调减区间为（ ） A. B. C. D. 5. 设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. D. 7. 下列函数零点不宜用二分法求出的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则的解集为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 有如下命题，其中为真命题的是（ ） A. 若幂函数的图象过点，则 B. 函数（且）的图象恒过定点 C. 函数有两个零点 D. 若函数在区间上的最大值为4，最小值为3，则实数的取值范围是 11. 给出下列四个选项中，其中正确的选项有（ ） A. 若实数满足，则 B. 设都是正数，且，则 C. 若函数的值域为，则实数的取值范围是 D. 若在单调递减，则 第II卷（非选择题，共92分） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若函数的定义域为，则的定义域为__________. 13. 已知函数则满足的的取值范围是__________. 14. 设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是________ 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 设，且. （1）求的值及集合； （2）设全集，求. 16. 已知函数，且满足. （1）求的值； （2）解不等式. 17. 已知幂函数的图像关于轴对称. （1）求实数的值； （2）设函数，求的定义域和单调递增区间. 18. 已知，函数. （1）当时，解不等式； （2）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围. 19. 对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数. （1）当时，求函数的不动点； （2）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，若的两个不动点为，且，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $