专题04 图形的相似（10基础题型+6提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（深圳专用）

专题04 图形的相似 比例的性质 1. （23-24九年级上·广东深圳·期末）若，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质．根据比例的性质即可得出答案． 【详解】解：， ． 故答案为：． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）若，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】比例的性质 【分析】根据比例的性质，求解即可． 【详解】解：由可得，设， 则， 故答案为：． 【点睛】此题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质． 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）若，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】比例的性质 【分析】本题主要考查了比例的性质，先根据已知条件得到，再把代入所求式子中求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）已知 ，则 的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】比例的性质 【分析】根据比例的性质设 ，则 ，代入原式即可求解． 【详解】解：设 ，则 ， ∴ ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）已知、、满足，、、都不为0，则 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】比例的性质、分式的求值 【分析】设，则，，，代入求解即可． 【详解】解：设，则，，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解答本题的关键． 成比例线段及黄金分割点 1. （19-20九年级上·广东深圳·期末）若a、b、c、d是成比例线段，其中a=5cm，b=2.5cm，c=10cm，则线段d的长为（   ） A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】成比例线段 【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义ad=cb，将a，b及c的值代入即可求得d． 【详解】已知a，b，c，d是成比例线段， 根据比例线段的定义得：ad=cb， 代入a=5cm，b=2.5cm，c=10cm， 解得：d=5. 故线段d的长为5cm. 故选：C. 【点睛】本题主要考查成比例线段，解题突破口是根据定义ad=cb，将a，b及c的值代入计算. 2. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如果一个矩形的宽与长的比等于黄金比，则称该矩形为黄金矩形.如图，已知矩形ABCD是黄金矩形，且AD>AB，AD=2，点E是AD上一点，点G是CD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，使点A落在BC边上的点F处，再将△DEG沿直线EG折叠，使点D落在EF上的点H处，则FH的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】比例线段、成比例线段 【分析】根据黄金比求出AB后得出AE、EH、FH的长 【详解】解：∵矩形ABCD是黄金矩形，且AD>AB， ∴ ∵AD=2 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选 D 【点睛】本题考查了黄金分割的实际应用,属于简单题,熟悉黄金分割的概念是解题关键 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）已知线段是线段和线段的比例中项，若，，则 ． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】比例线段 【分析】根据比例中项的定义，若是和的比例中项，则，进行计算即可得到答案． 【详解】解：线段是线段和线段的比例中项， ， ，， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了线段的比例中项的定义，熟练掌握此知识点是解题的关键，注意线段不能为负． 4. （23-24九年级上·广东深圳·期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点为的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度为 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：点为的黄金分割点，， ， ， 故答案为：． 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，学校元旦晚会的舞台的长为米，主持人小明学习了相关的数学知识后，认为站在点C处更自然得体（已知点C是线段上靠近点B的黄金分割点），则此时小明与点A的距离为 米． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】黄金分割 【分析】根据黄金分割点的定义得，再将的值代入进行计算即可得． 【详解】解：∵舞台的长为米，点C是线段上靠近点B的黄金分割点， ∴（米）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割点的定义． 平行线分线段成比例 1. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，已知直线，直线、与、、分别交于点、、和、、，，，，（　　）    A．7 B． C．8 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式解答即可． 【详解】∵ ∴ ， 即： ， ∴ ， 故选：D． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在菱形中，是的中点，，交于点，如果，那么菱形的周长为（    ） A．24 B．18 C．16 D．8 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、利用菱形的性质求线段长、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】易得长为长的2倍，那么菱形的周长，问题得解． 【详解】解：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 即， ∴是的中位线， ∴， ∴菱形的周长是，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例定理，菱形的周长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 3. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图．AB∥CD∥EF，AF、BE交于点G，下列比例式错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】根据平行线分线段成比例定理进行判断即可． 【详解】A、由AB∥CD∥EF，则，所以A选项的结论正确； B、由AB∥CD∥EF，则，所以B选项的结论正确； C、由AB∥CD∥EF，则，所以C选项的结论正确； D、由AB∥CD∥EF，则，所以D选项的结论错误； 故选D． 【点睛】考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 4. （23-24九年级上·广东深圳·期末）一段加固后的护栏如图所示，该护栏竖直部分是由等距（任意相邻两根木条之间的距离相等）且平行的木条构成．已知，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，解决本题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例并灵活运用．由平行线分线段成比例可得出答案． 【详解】解：过点作交于点，交于点， ， ， ， ． 故选：C 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，与相交于点G，且，则＝（　　） A．5：3 B．1：3 C．3：5 D．2：3 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】先根据线段的和差求得,然后再根据平行线分线段成比例定理列出比例式即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准线段的对应关系是解题的关键． 6. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，l1l2l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】直接利用平行线分线段成比例定理得出，再将已知数据代入求出即可． 【详解】解：∵l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，属于基础题，熟练掌握平行线成比例定理是解答本题的关键． 7. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，已知直线l1l2l3，直线AC分别与直线l1，l2，l3，交于A、B、C三点，直线DF分别与直线l1，l2，l3交于D、E、F三点，AC与DF交于点O，若BC＝2AO＝2OB，OD＝1．则OF的长是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果． 【详解】∵BC＝2AO＝2OB， ∴OC＝3AO， ∵直线l1∥l2∥l3， ∴， ∴＝， ∵OD＝1， ∴OF＝3， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是分清楚对应线段. 8. （21-22九年级上·广东深圳·期末）在△ABC中，DB＝CE，DE的延长线交BC的延长线于P，求证：AD•BP＝AE•CP． 【答案】见解析 【难度】0.85 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】过点C作CG∥DP交AB于G，根据平行线分线段成比例定理可得，，变形比例式表示DG，得，又BD＝EC，得到，化为等积式即可． 【详解】解：过点C作CG∥DP交AB于G， ∴，， ∴，， ∴， ∵BD＝EC， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了平行线分线段成比例的性质，解题的关键是根据题意作出合适的辅助线，利用性质和等量关系求解． 相似性质求解 1. （21-22九年级上·广东广州·期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点F为边CD上一点，且FE⊥AB交AB于点E，若AD＝2，BC＝8，四边形AEFD～四边形EBCF，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】成比例线段、相似多边形的性质 【分析】根据相似多边形的对应边成比例，可得出，先求出EF的长度，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形AEFD～四边形EBCF， ∴， 即：， ∴EF=4（舍去负值）， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查相似多边形的性质，比例的性质等，掌握相似多边形的基本性质，准确计算比例式是解题关键． 2. （21-22九年级上·广东深圳·期末）已知，若，，则的度数是（   ） A．35° B．65° C．80° D．100° 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】根据相似三角形的性质得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键． 3. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，梯形ABCD中，AC交BD于点O，已知AD∥BC，AD=2，BC=4，S△AOD=1，则梯形ABCD的面积为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用相似三角形的性质求解 【分析】先根据AD∥BC，得到△AOD∽△COB，从而得出△COB的面积，再根据△AOB与△COB等高，从而得出△AOB的面积，同理得出△DOC的面积即可得出梯形ABCD的面积． 【详解】解：∵AD∥BC， ∴△AOD∽△COB ∵AD=2，BC=4， ∴ ∴ ∴ =4 ∵△AOB与△COB等高， 又∵ ∴ ∴ =2 同理，=2 ∴= =1+4+2+2=9． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方． 4. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H，∠E＝60°，若CG＝3，AH＝7，则菱形ABCD的边长为（　　） A．8 B．9 C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】连接AC，首先证明△ABC是等边三角形，再证明△BGH∽△CAG，推出，由此构建方程即可解决问题． 【详解】解：连接AC． ∵菱形ABCD∽菱形AEFG， ∴∠B＝∠E＝∠AGF＝60°，AB＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， 设AB＝BC＝AC＝a，则BH＝a﹣7，BG＝a﹣3， ∵∠AGB＝∠AGH+∠BGH＝∠ACG+∠CAG，∠AGH＝∠ACG＝60°， ∴∠BGH＝∠CAG， ∵∠B＝∠ACG， ∴△BGH∽△CAG， ∴， ∴， ∴a2﹣10a+9＝0， ∴a＝9或1（舍去）， ∴AB＝9， 故选：B． 【点睛】 此题考查等边三角形的判定及性质，菱形的性质，相似三角形的判定及性质，连接AC证明△ABC是等边三角形是解题的关键． 5. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，在△ABC中，AD=AC，延长CD至B，使BD=CD，DE⊥BC交AB于点E，EC交AD于点F．下列四个结论：①EB=EC；②BC=2AD；③△ABC∽△FCD；④若AC=6，则DF=3．其中正确的个数有（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】三线合一、利用相似三角形的性质求解 【分析】根据垂直平分线的性质可证①；②是错误的；推导出2组角相等可证△ABC∽△FCD，从而判断③；根据△ABC∽△FCD可推导出④． 【详解】∵BD=CD，DE⊥BC ∴ED是BC的垂直平分线 ∴EB=EC，△EBC是等腰三角形，①正确 ∴∠B=∠FCD ∵AD=AC ∴∠ACB=∠FDC ∴△ABC∽△FCD，③正确 ∴ ∵AC=6，∴DF=3，④正确 ②是错误的 故选：C 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和相似的证明求解，解题关键是推导出三角形EBC是等腰三角形． 6. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，∽，、分别是的高和中线，、分别是的高和中线，且，，，则的长为（    ）．      A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】利用相似三角形对应高的比、对应中线的比都等于相似比，进行求解即可． 【详解】解：∵△ABC∽△A′B′C′，AD、BE分别是△ABC的高和中线，A′D′、B′E′分别是△A′B′C′的高和中线， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 故选择：D. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形对应高的比、对应中线的比都等于相似比是解题的关键. 7. （21-22九年级上·广东深圳·期末）如图，在△ABC中，E是AC边的中点，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若BF＝3EF，则S△ABD：S△ACD＝（　　） A．3：1 B．3：2 C．4：3 D．2：1 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】过E点作EHBC交AD于H，如图，先证明△AEH∽△ACD，利用相似比得到CD＝2HE，再证明△EHF∽△BDF，利用相似比得到BD＝3EH，所以BD：CD＝3：2，然后根据三角形面积公式得到S△ABD：S△ACD． 【详解】解：过E点作EHBC交AD于H，如图， ∵E是AC边的中点 ∴AE ∵EHCD， ∴， ∴△AEH∽△ACD， ∴ ， ∴CD＝2HE， ∵HEBD， ∴， ∴△EHF∽△BDF， ∴， ∴BD＝3EH， ∴BD：CD＝3EH：2EH＝3：2， ∴S△ABD：S△ACD＝3：2． 故选：B 【点睛】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．也考查了相似三角形的判定与性质． 相似三角形与网格作图 1. （23-24九年级上·广东深圳·期末）由边长相等的小正方形组成的网格，以下各图中点A、B、C、D都在格点上． (1)在图1中，______； (2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图2，在上找点P，使得； ②如图3，在上找点P，使得． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、格点作图题 【分析】本题考查了作图-应用与设计，相似三角形的判定，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）根据网格性质可得，进而可得，即得； （2）①仿照（1）的图形构造相似比为的相似三角形即可； ②利用对称，即可图形转化为（1）的形式． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）①如图中，点P即为所求； ②如图中，点P即为所求； 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上． (1)在图①中，　 　． (2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图②，在上找一点P，使． ②如图③，在上找一点P，使． 【答案】(1) (2)图见解析 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、在网格中画与已知三角形相似的三角形 【分析】（1）根据两条直线平行，对应线段成比例即可得结论； （2）①根据勾股定理得的长为5，利用格点，再根据相似三角形的判定及性质即可找到点P； ②作点A的对称点，连接与的交点即为要找的点P，使． 【详解】（1）解：图1中， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：①在网格图②中，， 如图2所示，连接，交于点P， ∵， ∴， 解得：， ∴点P即为所要找的点； ②如图3所示，作点A的对称点， 连接，交于点P， ∵， ∴， ∴点P即为所要找的点． 【点睛】本题考查了作图—相似变换，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，利用格点构造相似三角形． 相似三角形的性质 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末），且相似比为，则它们的面积比等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到答案． 【详解】解：∵，且相似比为， ∴它们的面积比等于， 故选：C 2. （19-20九年级上·广东深圳·期末）若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积比是，则△ABC与△DEF的对应高的比为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，再结合相似三角形的对应高的比等于相似比解答即可． 【详解】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积比是， ∴△ABC与△DEF的相似比为， ∴△ABC与△DEF对应高的比为， 故选：D． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 3. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，直线∥∥，△ABC的边AB被这组平行线截成四等份，△ABC的面积为32，则图中阴影部分四边形DFIG的面积是（     ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：∵直线∥∥，△ABC的边AB被这组平行线截成四等份， ∴△ADG∽△ABC，△AFI∽△ABC ∴ ∴ ∴ 故选B. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题关键是掌握：相似三角形的面积比等于相似比平方． 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】在网格中画与已知三角形相似的三角形 【分析】先证明两个三角形相似，再根据相似三角形的周长比等于相似比，得出周长比的值便可． 【详解】解：∵， ， ， ∴， ∴△ABC∽△DEF， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，勾股定理，本题关键是证明三角形相似． 相似三角形的判定和性质 1. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在正方形中，在边上取中点，连接，过点作交于点、交的延长线于点． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【难度】0.65 【知识点】根据平行线判定与性质证明、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据正方形的性质得出，根据平行线的性质得出，再根据相似三角形的判定得出即可； （2）根据正方形的性质得出，求出，根据勾股定理求出，根据相似得出比例式，代入求出即可． 【详解】（1）证明：四边形是正方形，， ， ， ． （2）四边形是正方形， ． 为的中点， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得． 【点睛】本题考查了平行线的性质，勾股定理，正方形的性质，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键. 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，四边形是菱形，点是延长线上一点，连接，分别交、于点、，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)当时，判断与有何等量关系？并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)，证明见解析 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用菱形的性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据平行线判定与性质证明 【分析】（1）根据菱形的性质，可得到，，证明两三角形全等，可得到对应角相等，进而得到答案； （2）根据已知条件可以找到两个三角形的三个对应角相等，因此可证明出相似； （3）根据（1）（2）中的已知条件可以找到相等的边，再根据相似三角形对应边成比例可得出最终结果． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， 在中， ， ∴（SAS）， ∴； （2）证明：由（1）可得， ∵四边形是菱形，点是延长线上一点， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 在中， ， ∴； （3）解：当时，，证明如下： 由（2）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， 整理可得． 【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形、相似三角形，解题的关键是找到各个角度、各个边长之间的关系． 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）已知：在正方形中，点分别是延长线上的点，且，连接交于点．   (1)如图1，当在一直线上时，求证：点为中点； (2)如图2，当，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明、利用平行四边形性质和判定证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）连接，根据正方形的性质得到，得出，根据全等三角形的判定和性质即可得； （2）根据正方形的性质得到，根据相似三角形的性质得到 ，根据已知条件得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，等量代换得到，于是得到结论． 【详解】（1）证明：连接，∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即点为中点 （2）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴  ， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴ 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识并运用是解题的关键． 4. （21-22九年级上·广东深圳·期末）如图，在菱形中，点E、F分别在上，连接，且，延长交于点G． (1)若，求证：； (2)连接，交于点H，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.85 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用菱形的性质证明 【分析】（1）根据菱形的性质可得，从而得到，进而得到，可证得，可得到，再由，即可求证； （2）根据菱形的性质可证得，，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：四边形ABCD是菱形， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∴． 解得． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，菱形的性质是解题的关键． 5. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在矩形ABCD的BC边上取一点E，连接AE，使得AE＝EC，在AD边上取一点F，使得DF＝BE，连接CF．过点D作DG⊥AE于G．    （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若AB＝4，BE＝3，求DG的长． 【答案】（1）见解析；（2）DG＝． 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据矩形的性质判定四边形AECF是平行四边形，根据AF=FC，即可得结论； （2）根据矩形和菱形的性质证明△ADG∽△EAB，对应边成比例即可求出DG的长． 【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵BE＝DF， ∴AD﹣DF＝BC﹣BE， 即AF＝EC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AE＝EC， ∴四边形AECF是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，AD＝BC， 在Rt△ABE中，AB＝4，BE＝3， 根据勾股定理，得 AE＝＝＝5， ∵四边形AECF是菱形， ∴EC＝AE＝5， ∴AD＝BC＝BE+EC＝3+5＝8， ∵AD∥BC， ∴∠EAD＝∠AEB， ∵DG⊥AE， ∴∠DGA＝∠B＝90°， ∴△ADG∽△EAB， ∴＝，即＝， ∴DG＝． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 6. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，在▱ABCD中，点G是对角线AC上一点，DE垂直平分CG，交GC于点O，交BC于点E，作GF∥AD交DE于点F，连接FC． （1）求证：四边形GFCE是菱形； （2）点H为线段AO上一点，连接HD，HF，当∠1＝∠2时，若AD＝6，CF＝2，求AH•CH的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）12 【难度】0.4 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是菱形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】(1) 由线段垂直平分线的性质可得GO=CO，由“AAS” 可证△GFO≌△CEO，可得GF=EC，由菱形的判定可证四边形GECF是菱形； (2)通过证明△ADH∽△CHF可得可得结论 . 【详解】(1)四边形GECF是菱形， 证明：∵DE垂直平分CG， ∴ EG=EC，GO=CO， ∵GF// AD，AD// BC， ∴GF // BC， ∴∠FGO=∠ECO，∠GFO=∠CEO， 在△GFO与△CEO中， ∴△GFO≌△CEO (AAS)， ∴GF=EC， ∴四边形GFCE是平行四边形， 又EG=EC， ∴平行四边形GFCE是菱形； (2)∠DHC=∠1+∠ADH=∠2+∠FHC，∠1=∠2， ∴∠ADH=∠FHC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD// BC， ∴∠l=∠ACB， ∵四边形GFCE是菱形， ∴CE=CF，∠HCF=∠ACB， ∴∠HCF=∠DAH， ∴△ADH∽△CHF， ∴AH·CH=AD·FC=6×2=12. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，证明△ADH∽△CHF是本题的关键. 相似三角形与实际应用 1. （20-21九年级上·广东深圳·期末）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到位置，已知，，垂足分别为，，，，，则栏杆端应下降的垂直距离为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【详解】分析：根据题意得△AOB∽△COD，根据相似三角形的性质可求出CD的长. 详解：∵，， ∴∠ABO=∠CDO, ∵∠AOB=∠COD, ∴△AOB∽△COD， ∴ ∵AO=4m ，AB=1.6m ，CO=1m， ∴. 故选C. 点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，正确得出△AOB∽△COD是解题关键． 2. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，小颖身高为160cm，在阳光下影长AB=240cm，当她走到距离墙角（点D）150cm处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子DE的长度为（    ） A．50 B．60 C．70 D．80 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】证明三角形的对应线段成比例 【分析】过E作EF⊥CG于F，利用相似三角形列出比例式求出投射在墙上的影子DE长度即可． 【详解】过E作EF⊥CG于F， 设投射在墙上的影子DE长度为x,由题意得：△GFE∽△HAB， ∴AB:FE=AH:(GC−x)， 则240:150=160:(160−x)， 解得：x=60. 故选B. 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解题突破口是过E作EF⊥CG于F. 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用相似三角形的性质求解、相似三角形实际应用 【分析】根据题意，画出示意图，易得F，进而可得，代入数据求解即可得答案． 【详解】解：根据题意做出示意图，则，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴（负值舍去）． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，能够将实际问题转化为相似三角形的问题是解题的关键． 4. （23-24九年级下·广东深圳·期末）如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．先证得出，再证，根据相似三角形的对应边成比例得出，即可求出的长． 【详解】解：由题意得，，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，广场上有一盏路灯挂在高的电线杆顶上，记电线杆的底部为．把路灯看成一个点光源，一名身高的女孩站在点处，，则女孩的影子长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】根据相似三角形的判定和性质定理得到，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，∵， ∴， ∴，即， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键． 6. （22-23九年级上·广东深圳·期末）同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离为，当蜡烛火焰的高度是它在光屏上所成的像高度的一半时，带“小孔”的纸板距离光屏（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】利用蜡烛焰AB是像A′B′的一半，得出AB距离O与A′B′到O的距离比值为1：2，进而求出答案． 【详解】解：设带“小孔”的纸板距离光屏x， 根据题意可得：， 解得：x=， 则带“小孔”的纸板距离光屏， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，根据题意得出正确比例关系是解题关键． 7. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，小颖为测量学校旗杆AB的高度，她在E处放置一块镜子，然后退到C处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度CD＝1.5m，她离镜子的水平距离CE＝0.5m，镜子E离旗杆的底部A处的距离AE＝2m，且A、C、E三点在同一水平直线上，则旗杆AB的高度为（　　） A．4.5m B．4.8m C．5.5m D．6 m 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】根据题意得出△ABE∽△CDE，进而利用相似三角形的性质得出答案． 【详解】解：由题意可得：AE＝2m，CE＝0.5m，DC＝1.5m， ∵△ABC∽△EDC， ∴， 即， 解得：AB＝6， 故选D． 【点睛】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，根据题意得出△ABE∽△CDE是解答此题的关键． 8. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得，点E在上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得，则河的宽度等于 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．易证，即可求得． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 即 故答案为： 9. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，小亮要测量一座钟塔的高度，他在与钟塔底端处在同一水平面上的地面放置一面镜子，当他站在B处时，看到钟塔的顶端在镜子中的像与标记E重合．已知B、E、D在同一直线上，，，，则钟塔的高度为 m．    【答案】 【难度】0.85 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】证明，得出，即，求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，证明． 10. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成一个正方形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上．则该正方形的边长是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、相似三角形实际应用 【分析】设与的交点为，设，由题意可得，，则，则，求解即可． 【详解】解：设与的交点为，如下图： 设，则， 由题意可得，， ∴， ∴，即 解得，即 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 11. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，利用标杆测量楼高，点，，在同一直线上，，，垂足分别为，．若测得，，，楼高是 m． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】证明，利用对应边对应成比例进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 即：， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．解题的关键是证明两个三角形相似． 12. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，路灯（P点）距地面8米，小明在距路灯的底部（O点）20米的A点时，测得此时他的影长为5米．    (1)求小明的身高； (2)小明沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 【答案】(1)米 (2)变短了，变短了米 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． （1）通过证明，得出，即可解答； （2）通过证明，得出，求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵米，米， ∴米， ∵，， ∴， ∴，即 解得，． 即小明的身高为米． （2）解：∵米，米， ∴米， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴（米）， ∴小明的身影变短了，变短了米． 13. （22-23九年级上·广东深圳·期末）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为16米，的影长为20米，小明的影长为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且，．已知小明的身高为1.8米． (1)求建筑物OB的高度； (2)求旗杆的高AB． 【答案】(1)12米 (2)3米 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据题意利用相似三角形的判定和性质得出，，然后代入求解即可； （2）根据题意利用相似三角形的判定和性质得出，，得出，再结合（1）中结论求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴， ， ∴， ∴，即， ∴米； （2）根据题意得：， ∴， ， ∴， ∴，即， ∴米， 由（1）得米， ∴（米）， ∴旗杆的高是米． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键掌握相似三角形的判定． 位似 1. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的位似比为2：1．点P（﹣6，9）在①号“E”上，则点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为（　　） A．（﹣3，） B．（﹣2，3） C．（﹣，3） D．（﹣3，2） 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵①号“E”与②号“E”是位似图形，位似比为2：1，点P（﹣6，9）， ∴点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为（﹣6×，9×），即（﹣3，）， 故选：A． 【点睛】此题考查了位似变换的性质：如果两个图形位似，那么任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比，任意一组对应边都互相平行（或在一条直线上），熟记性质是解题的关键． 2. （20-21九年级上·广东深圳·期末）△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′位似比是1∶2，已知△ABC的面积是10，则△A′B′C′的面积是（　　） A．10 B．20 C．40 D．80 【答案】C 【难度】0.85 【分析】由位似变换的性质得△ABC∽△A′B′C′，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行求解． 【详解】∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′位似比是1∶2， ∴△ABC∽△A′B′C′，相似比为1∶2， ∴ ∵△ABC的面积是10， ∴△A′B′C′的面积是40. 故选：C． 【点睛】本题考查位似变换，掌握位似比和面积比之间的关系是解题的关键． 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（　　） A． B．点C、点O、点三点在同一直线上 C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】位似图形的识别、位似图形相关概念辨析、求两个位似图形的相似比 【分析】此题考查了位似变换，根据位似图形的性质，对选项逐个判断即可． 【详解】解：∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， ∴与是位似图形， ∴，A选项说法正确，不符合题意； 点C、点O、点三点在同一直线上，B选项说法正确，不符合题意； ，C选项说法正确，不符合题意； ，D选项说法错误，符合题意； 故选：D． 4. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断位似中心、在坐标系中画位似中心 【分析】根据位似中心的定义，连接位似图形的对应点，交点即为位似中心． 【详解】解：连接C1C，B1B，A1A并延长，交点P即为所求，由图可知：位似中心的坐标是：(0,−1)， 故选：C． 【点睛】此题考查的是位似图形及位似中心的定义，掌握位似中心的确定方法：位似图形的各个对应点连线的交点即为位似中心是解决此题的关键． 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若OA'∶AA'＝1∶2，则△A'B'C'的周长与△ABC的周长比是（    ） A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．4∶9 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比 【分析】根据位似变换的概念得到A′B′∥AB，△A′B′C′∽△ABC，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵OA′：A′A=1：2， ∴OA′：OA=1：3， ∵△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的， ∴A′B′∥AB，△A′B′C′∽△ABC， ∴△OA′B′∽△OAB， ∴， ∴△A′B′C′的周长与△ABC的周长比为1：3， 故选：B． 【点睛】本题考查了位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似的两个图形必须是相似形、对应边平行是解题的关键． 6. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点，，已知与位似，位似中心是原点O，且的面积是面积的4倍，则点A对应点的坐标为（    ）    A． B．或 C． D．或 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】等边三角形的性质、求位似图形的对应坐标、求两个位似图形的相似比 【分析】根据题意可得，如图：过A作轴于C，再根据等边三角形的性质可得，即可确定点，再根据题意可得与位似为2比1，然后根据位似变换的性质进行计算即可解答． 【详解】解：∵等边三角形的顶点， ∴， 过A作轴于C，    ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∵与位似，位似中心是原点O，且的面积是面积的4倍， ∴与位似比为2比1， ∴点A的对应点的坐标是或． 故选：D． 【点睛】本题考查主要考查了位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 7. （21-22九年级上·广东深圳·期末）如图，已知△A′B′C′与△ABC是位似图形，点O是位似中心，若A′是OA的中点，则△A′B'C′与△ABC的面积比是（　　） A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】根据位似图形的概念得到△A′B′C′∽△ABC，A′B′∥AB，根据△OA′B′∽△OAB，求出，根据相似三角形的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵△A′B′C′与△ABC是位似图形， ∴△A′B′C′∽△ABC，A′B′∥AB， ∴△OA′B′∽△OAB， ∴， ∴△A′B'C′与△ABC的面积比为1：4， 故选：A． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 8. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点O是位似中心．若，则点F的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】根据位似图形的性质得出求出，根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵与位似， ∴， ∴与的位似比为1：3， ∵点， ∴F点的坐标为， 即F点的坐标为（3，9）， 故选：C． 【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据相似三角形的性质求出与的位似比是解题的关键． 9. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，已知△AOB与△A1OB1是以点O为位似中心的位似图形．且相似比为1：2，点B的坐标为（﹣2，4），则点B1的坐标为（　　） A．（4，﹣8） B．（2，﹣4） C．（﹣1，8） D．（﹣8，4） 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，即可求得答案． 【详解】解：∵△AOB与△A1OB1是以点O为位似中心的位似图形． 且相似比为，点B的坐标为， 可得： ∴点B1的坐标为： 故选：A． 【点睛】本题考查的是位似的变换的坐标特点，掌握位似变换的坐标特点是解题的关键． 10. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】先根据位似的性质得到与的位似比为，再利用比例性质得到，然后利用相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：与是位似图形，点O为位似中心， 且， ， ， 又， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的相关性质是解题的关键． 11. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，且位似比为1∶2，下列结论不正确的是（　　） A．AC∥DF B． C．BC是△OEF的中位线 D．S△ABC：S△DEF=1：2 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、位似图形相关概念辨析、相似多边形的性质 【分析】根据位似图形的性质、中位线的定义、相似多边形的性质判断即可； 【详解】解：∵位似图形的对应线段平行且比相等；位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离比等于位似比； ∴AC∥DF，AB∶DE=OA∶OD=1∶2，即A、B选项正确； ∵BC∥EF，BC∶EF=1∶2， ∴BC是△OEF的中位线；即C选项正确； ∵位似图形是相似图形， ∴△ABC∽△DEF， ∵相似多边形的面积比等于相似比的平方， ∴S△ABC：S△DEF =1：4，即D选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查位似图形的性质、相似多边形的性质和中位线的定义；掌握位似图形的性质是解题关键． 12. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则= ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】由，可得，然后根据位似的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵四边形与四边形位似， ∴=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形对应线段的比等于相似比是解答本题的关键． 位似作图 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出与关于轴对称的； (2)以原点为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为，并写出点，，的坐标． (3)若方格中每个小正方形的边长为1个单位长度，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)，，；图见解析； (3)8． 【难度】0.65 【知识点】在网格中画与已知三角形相似的三角形、坐标与图形、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到的坐标，然后描点即可； （2）把A、B、C的坐标都乘以得到的坐标，然后描点即可； （3）用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图，△为所作； （2）解：如图，为所作，，，； （3）的面积． 【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．也考查了轴对称变换． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)在图1中，以C为位似中心，位似比为；请画出放大后的． (2)在图2中，线段上作点M，利用格点作图使得． (3)在图3中，利用格点在边上作－个点D，使得． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定综合、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、由平行判断成比例的线段、格点作图题 【分析】本题考查了作位似图形，平行线分线段成比例定理在作图中的应用，相似三角形在作图中的应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据位似图形的定义，延长到点，使得，延长到点，使得，连结，可证明与位似，位似比为，所以即为所求； （2）在点C的左侧作水平线段个单位长度，连结，在上取点N，使个单位长度，过点N沿格点线作，交于点M，根据平行线分线段成比例定理，可得，所以点M就是所求的点； （3）过点A作，使得，点E恰为格点，过点B作，使得，点F恰为格点，与交于点D，则，同时可证得，由此即可证明，所以点D就是所求的点． 【详解】（1）如图，即为所求作的三角形； （2）如图，点M就是所求的点； （3）如图，点D就是所求的点． 3. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如果方格中，三角形的顶点和的位置用数对表示分别为、．    (1)在方格中过点画出边的平行线． (2)画出三角形绕点顺时针方向旋转后的图形，并涂上阴影． (3)用数对分别表示新三角形中的位置分别是：（_____，_____）、（_____，_____） (4)①以点为位似中心，在位似中心的同侧画出的位似图形，使它与的位似比为，并涂上阴影． ②缩小后的面积是原来面积的___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)13，8；9，8 (4)①见解析；② 【难度】0.65 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、画旋转图形、求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查作图位似变换、平行线的判定和性质，利用旋转设计图案，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）根据平移的性质画出图形即可； （2）根据旋转的性质画出图形即可； （3）根据、的位置即可得到结论； （4）①根据位似图形的性质，画图即可； ②结合相似图形的性质可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求；    （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：、， 故答案为：13，8；9，8； （4）解：①如图所示； ②缩小后的面积是原来面积的． 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为．    (1)画出绕点A顺时针旋转后得到的； (2)的面积是____________（直接填结果）； (3)在网格内以原点O为位似中心，画出将三条边放大为原来的2倍后的． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3)见解析 【难度】0.65 【知识点】坐标与图形、在坐标系中画位似图形、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【分析】（1）利用网格特点和旋转的旋转画出点A、B、C的对应点，从而得到； （2）利用面积计算公式计算即可； （3）延长到使，则点A为点的对应点，同样方法作出的对应点，从而得到； 【详解】（1）画出绕点A顺时针旋转后得到的，如下图 （2） （3）在网格内以原点O为位似中心，画出将三条边放大为原来的2倍后的，如下图    【点睛】本题考查了作图-位似变换：先确定位似中心再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形；也考查了旋转变换 相似三角形与四边形综合 1. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，正方形的边长为4，动点P在边上从点B沿向点A运动（点P不与点A，B重合），连接．过点P作，交于点Q． (1)求证：； (2)若，求的长度； (3)连接．试判断当点P运动到边的什么位置时，？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)当点P运动到边的中点时，，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握三角形的判定和性质是解题的关键． （1）利用等角的余角相等得到，再证明三角形相似即可； （2）根据相似的性质可得，设，则，求出x的值即可求； （3）根据，求出，即可分别求出，再由，，可得到． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， 设，则， ， 解得， ； （3）解：当点P运动到边的中点时，，理由如下： P是的中点， ， ， ，即， ， ， ， 又， ． 2. （23-24九年级上·广州深圳·期末）（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．    【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 【答案】（1）见解析    （2）见解析    （3）3 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题、利用菱形的性质证明、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定综合 【分析】（1）由矩形的性质可得，则，再由，可得，则，根据等角的余角相等得，即可得证； （2）利用“”证明，可得，由，可得，利用“”证明，则，由正方形的性质可得，根据平行线的性质，即可得证； （3）延长到点，使，连接，由菱形的性质可得，，则，推出，由全等的性质可得，，进而推出是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，延长到点，使，连接，   四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题的关键． 3. （23-24九年级上·广州深圳·期末）（1）在菱形中，，点P在边边上，连接，点Q在的延长线上，连接，，求证：； （2）菱形中，点P、Q分别是,上的动点，且满足，当时，求与的面积之和． （3）平行四边形中，，P是上一动点，Q是上一动点，且满足，，，当时，求的长度． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）4 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）连接，证明即可得证． （2）延长到H使得，连接，证明，判定三角形是等边三角形，得到，计算即可． （3）延长到H使得，证明，再证明是等边三角形，解答即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，， ∴，都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． （2）解：延长到H使得，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，，． ∵，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． （3）解：延长到H使得， ∵， ， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 4. （23-24九年级上·广州深圳·期末）（1）如图1，四边形是正方形，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，，则与的数量关系是______． （2）如图2，四边形是矩形，，，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，．判断线段与，有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，点E是从点A运动D点，则点G的运动路径长度为______； （4）如图3，在（2）的条件下，连接BG，则的最小值为______．    【答案】（1）；（2）．理由见解析；（3）2；（4） 【难度】0.4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明、根据矩形的性质与判定求线段长、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）通过证明全等，得到； （2）通过证明得到，，延长相交于点H．可以证明； （3）作于点N，交的延长线于点M，交的延长线于点J，证明，得出，求出，得出点G的运动轨迹是直线，当点E从点A运动到点D的过程中，点G从点J运动到点M，求出结果即可； （4）作点D关于直线的对称点，连接交于G，根据两点之间线段最短，得出此时的值最小，最小值为，根据，得出，即，从而得出的最小值就是的最小值． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：．理由如下： 延长相交于点H．    ∵矩形、矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：作于点N，交的延长线于点M，交的延长线于点J，如图所示：    则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴点G的运动轨迹是直线，当点E从点A运动到点D的过程中，点G从点J运动到点M， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴点G的运动路径长度为2， 故答案为：2． （4）解：作点D关于直线的对称点，连接交于G，如图所示：    根据解析（3）可知，点G的运动轨迹是直线， ∵， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时的值最小，最小值为， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴的最小值就是的最小值， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．在判断全等和相似时出现“手拉手”模型证角相等．这里注意利用三边关系来转化线段的数量关系求出最小值． 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）数学小组在探究题目：矩形中，，点E是边的中点，连接，过点E作的垂线，与矩形的外角平分线交于点F．如图（1），当时，求证：； (1)小明在实验操作过程中发现：如图，在上截取，连接．构造三角形的全等可以解决问题．请帮助小明画好辅助线完成证明过程． (2)【类比探究】如图（2），当时，求的值（用含k的式子表示）； (3)【拓展运用】如图（3），当时，P为边上一点，连接，，，，求的长． (4)【拓展延伸】如图（4），当题目变为：平行四边形中，，，点E是边的中点，连接，过点E作，与平行四边形的外角平分线交于点F．则的值__________（用含k的式子表示）； 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【难度】0.4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、四边形其他综合问题 【分析】（1）如图，在上截取，连接，证明可得结论； （2）在上截取，连接，证明，可得，从而可得结论； （3）设，则，，延长、交于Q，证明，作交N，证明，可得，，作交于N，证明，，证明，，可得，从而可得答案； （4）在上截取，连接．证明，可得，设，可得，，从而可得答案． 【详解】（1）证明：如图，在上截取，连接． ∵，∴． ∵，， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵，∴， ∵，∴， ∵，，∴， ∴， ∴； （2）在上截取，连接． ∵，， ∴，∴， ∵平分，， ∴，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∴， ∴， ∵，E是边的中点， ∴，∴， ∴； （3）设，则，， 延长、交于Q， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 作交N， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 作交于N， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵由（2）得：，则， ∴，， ∴， ∴， ∴． （4）在上截取，连接． ∵，， ∴，， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵是平行四边形的外角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， ∴， ∵，E是边的中点， ∴，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是平行四边形，矩形，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，本题综合程度高，难度大，属于中考压轴题，解题的关键是把从特殊图形中的获得的解题思路灵活应用． 6. （22-23九年级上·广东深圳·期末）【探究发现】 如图，在矩形中，E为边上一点，且．将矩形沿折叠，使点A恰好落在 边上的点F，求线段的长． 【类比迁移】 如图，在矩形中，E为边上一点，且．将沿着折叠得到，延长交边于点G，延长交边于点H，且，求线段的长． 【拓展应用】 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，对角线交于点D．P为轴上一动点，连接，将沿着直线折叠得到，当直线轴时，求点P的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、矩形与折叠问题、勾股定理与折叠问题、坐标与图形 【分析】（1）由折叠的性质可得，利用矩形的性质和勾股定理求出，则，设，则，由勾股定理得到，据此求解即可； （2）利用折叠的性质得到，设，则，利用勾股定理得到，求出，则，证明，由相似三角形的性质求出，，再由，求出，则； （3）分点P在点A左侧时，当点在D上方和下方两种情况以及点P在点A右侧，总共三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）由折叠的性质可知， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； （2）∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）如图1所示，当点P在点A左侧且点在点D上方时， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， 由折叠的性质可知，， ∵轴， ∴， 设点P的坐标为，则， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； 如图2所示，当点P在点A左侧且点在点D下方时， 同理可得，， 设点P的坐标为， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 当点P在点A右侧时，不可能存在轴这种情况； 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，坐标与图形，相似三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 7. （22-23九年级上·广州深圳·期末）（1）如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，若，则的值为_________； （2）如图2，在矩形中，，，点是上的一点，连接，，若，则的值为_________； 【类比探究】 （3）如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证： 【拓展延伸】 （4）如图4，在中，，，，将沿翻折，点落在点处，得到，点，分别在边，上，连接，，若，则的值为_________． 【答案】（1）1；（2）；（3）见解析；（4） 【难度】0.15 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、四边形其他综合问题 【分析】（1）通过证明△AED△DFC得到ED=FC，结论可得； （2）通过证明△EDC△DCB，得到 ，利用矩形的性质结论可得； （3）过点F作FH⊥BC于点H，则四边形ABHF为矩形；类比（2）的方法证明△AED△HCF，即可得出结论； （4）过点C作CM⊥AD于点M，连接AC，交BD与点H，利用勾股定理和相似三角形的性质求得AH，BH，AC，DH的长度，利用三角形的面积公式求得CM的长度，类比（2）的方法证明△AED△FMC，利用相似三角形的性质即可得出结论 【详解】（1）解：∵ 四边形是正方形， ∴，， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴ ∴ 故答案为：1． （2）∵四边形是矩形， ∴． ∴． ∵， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴ ． 故答案为：． （3）证明：过点作于点，如图， ∵ ，， ∴ 四边形为矩形． ∴， ∴ ∵， ∴． ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ （4）过点作于点，连接，交于点，如图， 由题意：与关于轴对称， ∴垂直平分， 即，． ∵，， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴． ∵， ∴． ∵， ∴ ∴ ． ∵， ∴ ∵， ∴ ∴． ∵， ∴． ∴ 【点睛】本题是相似三角形的综合题，主要考查了正方形，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，三角形的面积，利用类比的方法解答是解题的关键． 相似三角形与旋转变换综合 1. （23-24九年级上·广东深圳·期末）【模型发现】如图 1，，求证：． 【深入探究】如图2，等边中，，是上的动点，连接，将绕着点逆时针旋转得到，连接，当点从运动到时，求点的运动路径长． 【应用拓展】如图3，等腰中，，于，是上的一点，连接，将绕着点逆时针旋转得到，交于点，连接，若，则的值为_______．    【答案】模型发现：详见解析 深入探究：点E的运动路径长为3 应用拓展： 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】模型发现：由相似三角形的性质可得，，易得，即可证明； 深入探究：连接，证明是等边三角形，，，证明，得到，即点的运动路径与点的路径等长，即可得到答案； 应用拓展：连接，结合等腰直角三角形的性质可得，，，，即可证明，结合相似三角形的性质可得，证明，由相似三角形的性质并结合已知条件可得，然后进行计算即可． 【详解】模型发现： 证明：， ，， ， ， ； 深入探究： 解：如图，连接，   是等边三角形， ，， 将绕着点逆时针旋转得到， ， 是等边三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ，即点的运动路径与点的路径等长， 为等边三角形，， ， 点从运动到的运动路径长为3， 点的运动路径长为3； 应用拓展： 解：如图，连接，   ，为等腰直角三角形，， ，， ， ，即， 绕着点逆时针旋转得到， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ，即， ， ，即， ， ， ，即， ，为等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，综合性强，解题的关键是正确作出辅助线，熟练掌握相似三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质． 2. （23-24九年级上·广东深圳·期末）【问题呈现】 如图1，和都是等边三角形，连接．求证：． 【类比探究】 如图2，和都是等腰直角三角形，．连接．请直接写出的值． 【拓展提升】 如图3，和都是直角三角形，，且．连接．延长交于点F，交于点G．求的值． 【答案】【问题呈现】见详解；【类比探究】；【拓展提升】 【难度】0.4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、等边三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】［问题呈现］ 通过证，即可得证； ［类比探究］ 先求出，再证明，根据相似三角形的性质即可求出； ［拓展提升］ 先证明，，再证，，最后求出即可求解； 【详解】［问题呈现］证明：和都是等边三角形， ，， ，即 ［类比探究］ 解：和都是等腰直角三角形，， ，， ， ，即 ， ； ［拓展提升］ 解： 和都是直角三角形，，且， ， ， ，即， ， ， ， ， ， 设，则， 【点睛】本题考查了三角形的全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，正确理解全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解本题的关键 ． 3. （23-24九年级上·广东深圳·期末）【发现问题】      （1）如图1，已知和均为等边三角形，在上，在上，易得线段和的数量关系是______． （2）将图1中的绕点旋转到图2的位置，直线和直线交于点． ①判断线段和的数量关系，并证明你的结论； ②图2中的度数是______． （3）【探究拓展】如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点，分别写出的度数，线段、间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①，证明见解析；②； （3）度，，理由见解析． 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定以及性质， 相似三角形的判定以及性质等知识． （1）由等边三角形的性质可求解； （2）①由“SAS”可证，可得； ②由全等三角形的性质可得，即可解决问题． （3）结论：，．证明，可得，，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：∵和均为等边三角形， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）如图2中，    ∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴（SAS）， ∴； ②∵， ∴， 设交于点． ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）结论：，． 理由： ∵，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 4. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图（1），把两个大小完全相同的矩形和拼成“L”形图案，若，，连接、． (1)线段和线段的数量关系为________．（填空） (2)保持矩形不动的条件下，将矩形绕点按顺时针方向旋转． ①如图（2），第（1）问的结论是否仍然成立；若成立，证明之；若不成立，说明理由； ②如图（3），直线与相交于点，连接，当时，求的长度． 【答案】(1) (2)①成立；② 【难度】0.4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题 【分析】（1）连， 根据题意以及矩形性质得证明，根据勾股定理解出，即可得出，证明，根据相似三角形对应边之比等于相似比得，即可解答； （2）①连， 根据题意以及矩形性质得根据旋转性质得证明，根据勾股定理解出，即可得出，证明，根据相似三角形对应边之比等于相似比得，即可解答； ②连交于P，根据①中相似可得证明， 得出，即可证，，得出证出，根据可得出，根据勾股定理列方程算出，即可求解； 【详解】（1）连， 和为矩形，大小完全相同， ， ， ，， ， ， ， （2）①连， 和为矩形，大小完全相同， ， ， 根据旋转性质可得，， ， ②连交于P， 由①知，， ， ， ， ， ， 是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形“三线合一”的性质，勾股定理以及旋转的性质，做出正确辅助线证明三角形相似是解题的关键． 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末） (1)【问题发现】 如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF．填空： ①线段CF与DG的数量关系为 ； ②直线CF与DG所夹锐角的度数为 ． (2)【拓展探究】 如图②，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明． (3)【解决问题】 如图③，和都是等腰直角三角形，，，O为AC的中点．若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D的运动过程中，线段OE长的最小值为 （直接写出结果）． 【答案】(1)①CF＝DG；②45° (2)结论不变．理由见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）连接AF．易证A，F，C三点共线．易知AF＝AG．AC＝AD，推出CF＝AC﹣AF＝（AD﹣AG）＝DG． （2）连接AC，AF，延长CF交DG的延长线于点K，AG交FK于点O．证明△CAF∽△DAG即可解决问题． （3）证明△BAD≌△CAE，推出∠ACE＝∠ABC＝45°，可得∠BCE＝90°，推出点E的运动轨迹是在射线OCE上，当OE⊥CE时，OE的长最短． 【详解】（1）解：如图①中，①线段CF与DG的数量关系为CF＝DG； ②直线CF与DG所夹锐角的度数为45°． 理由：如图①中，连接AF．易证A，F，C三点共线． ∵AF＝AG．AC＝AD， ∴CF＝AC﹣AF＝（AD﹣AG）＝DG． 故答案为CF＝DG，45°． （2）解：结论不变． 理由：连接AC，AF，延长CF交DG的延长线于点K，AG交FK于点O． ∵∠CAD＝∠FAG＝45°， ∴∠CAF＝∠DAG， ∵AC＝AD，AF＝AG， ∴＝＝， ∴△CAF∽△DAG， ∴＝＝，∠AFC＝∠AGD， ∴CF＝DG，∠AFO＝∠OGK， ∵∠AOF＝∠GOK， ∴∠K＝∠FAO＝45°． （3）解：如图3中，连接EC． ∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠ACB＝45°， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ACE＝∠ABC＝45°， ∴∠BCE＝90°， ∴点E的运动轨迹是在射线CE上，当OE⊥CE时，OE的长最短， ∵AB=AC=10 ∴OA=OC=5 ∵ 当OE⊥CE时，为等腰直角三角形 则 ∴ ∴OE= ∴OE的最小值为， 故答案为： ， 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形或全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 6. （22-23九年级上·广东深圳·期末）【模型发现】如图 1，，求证：． 【深入探究】如图2，等边中，，是上的动点，连接，将绕着点逆时针旋转得到，连接，当点从运动到时，求点的运动路径长． 【应用拓展】如图3，等腰中，，于，是上的一点，连接，将绕着点逆时针旋转得到，交于点，连接，若，则的值为_______．    【答案】模型发现：见解析；深入探究：3；应用拓展： 【难度】0.15 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】模型发现：由相似三角形的性质可得，，易得，即可证明； 深入探究：连接，证明是等边三角形，，，证明，得到，即点的运动路径与点的路径等长，即可得到答案； 应用拓展：连接，结合等腰直角三角形的性质可得，，，，即可证明，结合相似三角形的性质可得，证明，由相似三角形的性质并结合已知条件可得，然后进行计算即可． 【详解】模型发现： 证明：， ，， ， ， ； 深入探究： 解：如图，连接，   ， 是等边三角形， ，， 将绕着点逆时针旋转得到， ， 是等边三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ，即点的运动路径与点的路径等长， 为等边三角形，， ， 点从运动到的运动路径长为3， 点的运动路径长为3； 应用拓展： 解：如图，连接，   ， 为等腰直角三角形，， ，， ， ，即， 绕着点逆时针旋转得到， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ，即， ， ，即， ， ， ，即， ，为等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，综合性强，解题的关键是正确作出辅助线，熟练掌握相似三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质． 相似三角形与折叠问题 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）【推理】 如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G． （1）求证：． 【运用】 （2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若，，求线段DE的长． 【拓展】 （3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或 【难度】0.4 【知识点】矩形与折叠问题、正方形折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据ASA证明； （2）由（1）得，由折叠得，进一步证明，由勾股定理得，代入相关数据求解即可； （3）如图，连结HE，分点H在D点左边和点在点右边两种情况，利用相似三角形的判定与性质得出DE的长，再由勾股定理得，代入相关数据求解即可． 【详解】（1）如图，由折叠得到， ， ． 又四边形ABCD是正方形， ， ， ， 又 正方形 ， ． （2）如图，连接， 由（1）得， ， 由折叠得，， ． 四边形是正方形， ， ， 又， ， ． ，， ，． ， ， （舍去）． （3）如图，连结HE， 由已知可设，，可令， ①当点H在D点左边时，如图， 同（2）可得，， ， 由折叠得， ， 又， ， ， 又， ， ， ， ， ， ． ， ， ， （舍去）． ②当点在点右边时，如图， 同理得，， 同理可得， 可得，， ， ， （舍去）． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． ． 2. （21-22九年级下·广东深圳·期末）折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，如折小花、飞机、小船等，在折纸过程中，我们通过研究图形的性质发展空间观念，在思考问题的过程中建立几何直观． 【操作发现】（1）如图1将一个正方形先沿EF折叠得到图2，再将图2进行第二次折叠，使点E和点F重合，折痕与正方形的边交于点M、N，如图3，打开这张正方形的纸得到两条折痕EF和MN，如图4这两条折痕的位置关系为 　 　，＝　 　． 【探究证明】（2）如图5，将AB＝1，AD＝3的长方形按（1）的方式进行折叠，同样得到两条折痕EF和MN，（1）中的结论是否还成立，如果成立请证明，如果不成立请说明理由． 【拓展延伸】（3）Rt△ABC中，BC＝1，AC＝3，将△ABC沿着斜边AB翻折后得的三角形与原来三角形组合成一个四边形ACBD，将四边形ACBD分别沿着顶点A和顶点D折叠得到两条互相垂直的折痕，交四边形的另两条边于点M和点N，＝　 　． 【答案】（1）垂直，1；（2）位置关系成立，＝1不成立，理由见解析（3） 【难度】0.4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、矩形与折叠问题、勾股定理与折叠问题、全等三角形综合问题 【分析】(1）过点没M作MG⊥BC于G，过点E作EH⊥CD于H，利用ASA证明△EHF≌△MGN，得MN=EF，即可得出答案； (2）过点M作MG⊥BC于G，过点E作EH⊥CD于H，根据两个角相等证明△EHF∽△MGN，得； (3）连接CD，交AB于G，则AB垂直平分CD，证明△DCM∽△ABN，得，利用勾股定理求出AB，利用等积法求出CG，从而得出CD，即可解决问题． 【详解】解：（1）如图，过点M作MG⊥BC于G，过点E作EH⊥CD于H， 则MG＝EH=AB=BC，∠EHF＝∠MGN，MG⊥EH， 由折叠知，∠MOE＝90°， ∴∠GMN＝∠HEF， ∴△EHF≌△MGN（ASA）， ∴MN＝EF， ∴＝1， 故答案为：垂直，1； （2）位置关系成立，＝1不成立， 过点M作MG⊥BC于G，过点E作EH⊥CD于H， 则∠EHF＝∠MGN＝90°，MG⊥EH， 由折叠知，∠MOE＝90°， ∴∠GMN＝∠HEF， ∴△EHF∽△MGN， ∴； （3）连接CD，交AB于G， ∵AC＝AD，BC＝BD， ∴AB垂直平分CD， ∵AN⊥DM， ∴∠BAN＝∠CDM， ∵∠ACB＝∠CGB＝90°， ∴∠MCD＝∠ABN， ∴△DCM∽△ABN， ∴， ∵Rt△ABC中，BC＝1，AC＝3， ∴AB＝， ∴CG＝＝， ∴CD＝2CG＝， ∴＝， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形和矩形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握十字架模型是解题的关键． 3. （20-21九年级上·广东深圳·期末）（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E、Q分别在边BC、AB上，DQ⊥AE于点O，点G、F分别在边CD、AB上，GF⊥AE． ①填空：DQ　 　AE（填“＞”“＜”或“＝”）； ②推断的值为　 　； （2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当k＝时，若＝，GF＝2，求CP的长． 【答案】（1）①＝    ②1    （2）＝k；理由见解析   （3） 【难度】0.4 【知识点】四边形其他综合问题、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】（1）①由正方形的性质得AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAH．所以∠HAO+∠OAD＝90°，又知∠ADO+∠OAD＝90°，所以∠HAO＝∠ADO，于是△ABE≌△DAH，可得AE＝DQ．②证明四边形DQFG是平行四边形即可解决问题； （2）结论：＝k．如图2中，作GM⊥AB于M．然后证明△ABE∽△GMF即可解决问题； （3）如图2中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．利用相似三角形的性质求出PM，CM即可解决问题． 【详解】（1）①解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ． ∴∠QAO+∠OAD＝90°． ∵AE⊥DQ， ∴∠ADO+∠OAD＝90°． ∴∠QAO＝∠ADO． ∴△ABE≌△DAQ（ASA）， ∴AE＝DQ． 故答案是：＝； ②解：∵DQ⊥AE，FG⊥AE， ∴DQ∥FG， ∵FQ∥DG， ∴四边形DQFG是平行四边形， ∴FG＝DQ， ∵AE＝DQ， ∴FG＝AE， ∴＝1． 故答案为：1． （2）解：结论：＝k． 理由：如图2中，作GM⊥AB于M． ∵AE⊥GF， ∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°， ∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°， ∴∠BAE＝∠FGM， ∴△ABE∽△GMF， ∴＝， ∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°， ∴四边形AMGD是矩形， ∴GM＝AD， ∴＝＝＝k． （3）解：如图2中，作PM⊥BC交BC的延长线于M． 由＝ ，可以假设BE＝3k，BF＝4k，EF＝AF＝5k， ∵＝ ，FG＝2， ∴AE＝3， ∴（3k）2+（9k）2＝（3）2， ∴k＝1或﹣1（舍弃）， ∴BE＝3，AB＝9， ∵BC：AB＝2：3， ∴BC＝6， ∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6， ∵∠EBF＝∠FEP＝∠PME＝90°， ∴∠FEB+∠PEM＝90°，∠PEM+∠EPM＝90°， ∴∠FEB＝∠EPM， ∴△FBE∽△EMP， ∴＝＝， ∴ ＝＝， ∴EM＝ ，PM＝ ， ∴CM＝EM﹣EC＝﹣3＝， ∴PC＝＝． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了特殊的平行四边形正方形、矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 多结论判断 1. （19-20九年级上·广东深圳·期末）在正方形ABCD中，AB＝3，点E在边CD上，且DE＝1，将△ADE沿AE对折到△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．下列结论，其中正确的有（　　）个． （1）CG＝FG；（2）∠EAG＝45°；（3）S△EFC＝；（4）CF＝GE    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、正方形折叠问题、根据正方形的性质证明、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】（1）根据翻折可得AD＝AF＝AB＝3，进而可以证明△ABG≌△AFG，再设CG＝x，利用勾股定理可求得x的值，即可证明CG＝FG； （2）由（1）△ABG≌△AFG，可得∠BAG＝∠FAG，进而可得∠EAG＝45°； （3）过点F作FH⊥CE于点H，可得FH∥CG，通过对应边成比例可求得FH的长，进而可求得S△EFC＝； （4）根据（1）求得的x的长与EF不相等，进而可以判断CF≠GE. 【详解】解：如图所示： （1）∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝AB＝BC＝CD＝3，∠BAD＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°， 由折叠可知： AF＝AD＝3，∠AFE＝∠D＝90°，DE＝EF＝1，则CE＝2， ∴AB＝AF＝3，AG＝AG， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）， ∴BG＝FG， 设CG＝x，则BG＝FG＝3﹣x， ∴EG＝4﹣x，EC＝2， 根据勾股定理，得 在Rt△EGC中，（4﹣x）2＝x2+4， 解得x＝，则3﹣x＝， ∴CG＝FG， 所以（1）正确； （2）由（1）中Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）， ∴∠BAG＝∠FAG， 又∠DAE＝∠FAE， ∴∠BAG+∠FAG+∠DAE+∠FAE＝90°， ∴∠EAG＝45°， 所以（2）正确； （3）过点F作FH⊥CE于点H， ∴FH∥BC， ∴, 即1：（+1）＝FH：（）， ∴FH＝， ∴S△EFC＝×2×＝， 所以（3）正确； （4）∵GF＝，EF＝1， 点F不是EG的中点，CF≠GE， 所以（4）错误. 所以（1）、（2）、（3）正确. 故选：C.    【点睛】此题考查正方形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理求线段长度，平行线分线段成比例，正确掌握各知识点并运用解题是关键. 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，正方形中，E为BC中点，连接于点F，连接交于点G，下列结论：①；②G为中点；③；④，其中结论正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过点C作于点M，可证得，可得，再证明，可得，故①正确；分别证得，，可得，即G为中点，故②正确；再根据，可得，故③正确；设，则， 分别求出，，故④正确，即可． 【详解】解：如图，过点C作于点M， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即G为中点，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故选：D 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 3. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，已知E，F分别为正方形的边的中点，与交于点M，O为的中点，则下列结论：①，②，③，④．其中正确结论的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，证明，得出，通过导角证明，可判断①；根据可判断②；证明，根据对应边成比例可判断③；过点M作于点N，证明，结合勾股定理可判断④． 【详解】解：在正方形中，，， E，F分别为边的中点， ． 在和中，， ， ． ， ， 故①正确； 是的中线， ， ， 故②错误； 设正方形的边长为，则， 在中，． ，， ， ，即， 解得，， ， ， 故③正确； 如图，过点M作于点N， ，， ， ，即， 解得，， ． 根据勾股定理，得， ，， ． 故④正确． 综上所述，正确的结论有①③④共3个， 故选B． 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在矩形中，过点作对角线的垂线并延长，与的延长线交于点，与交于点，垂足为点，连接，且，则下列结论正确的有（    ）个：①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】①通过证明即可求证；②根据题意可得，由可得，即，即可判定；③通过证明，得到，即可求证；④过点作，交延长线于点，通过证明和即可求证． 【详解】解：①由题意可得：，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，①正确； ②由题意可得：， ∴， ∴，即， ∴，即，②错误； ③由题意可得：， ∴， ∴，即 又∵， ∴，③正确； ④过点作，交延长线于点，如下图： 由题意可得：，， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理可得：， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴，即，④正确； 正确的个数为3， 故选：C 【点睛】此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 5. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下面四个结论：①CF＝2AF；②AD＝CD；③DF＝DC；④△AEF∽△CAB；⑤S四边形CDEF＝S△ABF．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】四边形其他综合问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】依据△AEF∽△CBF，即可得出CF＝2AF；依据△BAE∽△ADC，即可得到AD＝CD；过D作DM∥BE交AC于N，依据DM垂直平分CF，即可得出DF＝DC；依据∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，即可得到△AEF∽△CAB；设△AEF的面积为s，则△ABF的面积为2s，△CEF的面积为2s，△CDE的面积为3s，四边形CDEF的面积为5s，进而得出⑤结论． 【详解】解：∵AD∥BC， ∴△AEF∽△CBF， ∴， ∵AE＝AD＝BC， ∴， ∴CF＝2AF，故①正确； 设AE＝a，AB＝b，则AD＝2a， ∵BE⊥AC，∠BAD＝90°， ∴∠ABE＝∠ADC，而∠BAE＝∠ADC＝90°， ∴△BAE∽△ADC， ∴， 即b＝a， ∴AD＝CD， 故②正确； 如图，过D作DM∥BE交AC于N， ∵DE∥BM，BE∥DM， ∴四边形BMDE是平行四边形， ∴BM＝DE＝BC， ∴BM＝CM， ∴CN＝NF， ∵BE⊥AC于点F，DM∥BE， ∴DN⊥CF， ∴DM垂直平分CF， ∴DF＝DC，故③正确； ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC， ∵BE⊥AC于点F， ∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°， ∴△AEF∽△CAB，故④正确； 如图，连接CE， 由△AEF∽△CBF，可得， 设△AEF的面积为s，则△ABF的面积为2s，△CEF的面积为2s， ∴△ACE的面积为3s， ∵E是AD的中点， ∴△CDE的面积为3s， ∴四边形CDEF的面积为5s， ∴S四边形CDEF＝S△ABF，故⑤正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及特殊平行四边形综合，熟练掌握相似三角形的性质与判定及矩形、平行四边形的性质是解题的关键． 6. （18-19九年级上·广东深圳·期末）如图，已知在矩形 中，，，点 从点 出发，沿 方向以每秒 个单位的速度向点 运动，点 从点 出发，沿射线 以每秒 个单位的速度运动，当点 运动到点 时，， 两点停止运动．连接 ，过点 作 ，垂足为 ，连接 ，交 于点 ，交 于点 ，连接 ．给出下列结论： ① ； ② ； ③ ； ④ 的值为定值 ． 上述结论中正确的个数为 （      ） 个． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明、相似多边形的性质 【分析】根据，可以判断①正确；根据△DCB∽△ECF可以判断②正确；根据△EDC∽△EHG得，由AB=DC可知③错误；根据△DEH∽△DBA求出故④正确． 【详解】作 ，连接 ． 设运动时间为 ． 四边形 是矩形，，， ， ，， ， ， ，故①正确， ， ， ， ， ， ， ， ，故②正确， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故③错误， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，故④正确． 综上所述，①②④正确． 故选C. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理等知识，综合性较强，利用同角的余角相等证明角相等是解题的关键． 7. （21-22九年级上·广东深圳·期末）如图，正方形ABCD和正方形CGFE的顶点C，D，E在同一条直线上，顶点B，C，G在同一条直线上．O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接FH交EG于点M，连接OH．以下四个结论：①GH⊥BE；②△EHM∽△GHF；③﹣1；④＝2﹣，其中正确的结论是（　　）    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质与判定证明、相似三角形的综合问题 【分析】由四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，得出△BCE≌△DCG，推出∠BEC+∠HDE=90°，从而得GH⊥BE；由GH是∠EGC的平分线，得出△BGH≌△EGH，再由O是EG的中点，利用中位线定理，得HO∥BG且HO=BG；由△EHG是直角三角形，因为O为EG的中点，所以OH=OG=OE，得出点H在正方形CGFE的外接圆上，根据圆周角定理得出∠FHG=∠EHF=∠EGF=45°，∠HEG=∠HFG，从而证得△EHM∽△GHF；设HN=a，则BC=2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC=b，CD=2a，由HO∥BG，得出△DHN∽△DGC，即可得出，得到 ，即a2+2ab-b2=0，从而求得，设正方形ECGF的边长是2b，则EG=2b，得到HO=b，通过证得△MHO∽△MFE，得到，进而得到，进一步得到. 【详解】解：如图，    ∵四边形ABCD和四边形CGFE是正方形， ∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCE＝∠DCG， 在△BCE和△DCG中， ∴△BCE≌△DCG（SAS）， ∴∠BEC＝∠BGH， ∵∠BGH+∠CDG＝90°，∠CDG＝∠HDE， ∴∠BEC+∠HDE＝90°， ∴GH⊥BE． 故①正确； ∵△EHG是直角三角形，O为EG的中点， ∴OH＝OG＝OE， ∴点H在正方形CGFE的外接圆上， ∵EF＝FG， ∴∠FHG＝∠EHF＝∠EGF＝45°，∠HEG＝∠HFG， ∴△EHM∽△GHF， 故②正确； ∵△BGH≌△EGH， ∴BH＝EH， 又∵O是EG的中点， ∴HO∥BG， ∴△DHN∽△DGC， 设EC和OH相交于点N． 设HN＝a，则BC＝2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC＝b，CD＝2a， 即a2+2ab﹣b2＝0， 解得：a＝b＝（﹣1+）b，或a＝（﹣1﹣）b（舍去）， 故③正确； ∵△BGH≌△EGH， ∴EG＝BG， ∵HO是△EBG的中位线， ∴HO＝BG， ∴HO＝EG， 设正方形ECGF的边长是2b， ∴EG＝2b， ∴HO＝b， ∵OH∥BG，CG∥EF， ∴OH∥EF， ∴△MHO△MFE， ∴， ∴EM＝OM， ∴， ∴ ∵EO＝GO， ∴S△HOE＝S△HOG， ∴ 故④错误， 故选A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确求得两个三角形的边长的比是解决本题的关键． 8. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF=．在以上4个结论中，其中一定成立的 （把所有正确结论的序号都填在横线上）    【答案】①②④． 【难度】0.65 【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定综合 【详解】解：由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°， ∴∠DFG=∠A=90°， ∴△ADG≌△FDG，①正确； ∵正方形边长是12， ∴BE=EC=EF=6， 设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12-x， 由勾股定理得：EG2=BE2+BG2， 即：（x+6）2=62+（12-x）2， 解得：x=4 ∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，②正确； BE=EF=6，△BEF是等腰三角形， 则△GED不是等腰三角形， △GDE与△BEF不相似， ③错误； S△GBE=×6×8=24，S△BEF=S△GBE=×24=，④正确. 故答案为：①②④ 相似三角形的判定与性质综合（难度较大的填选） 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，正方形 中， 是 的中点，， 是线段 上的动点，则 的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、垂线段最短 【分析】当时，最短，利用相似三角形的判定与性质、勾股定理即可求得最小值． 【详解】解：当时，最短， ； 四边形为正方形， ，， ， ， ∴， ； ∵为 的中点，， ； ，即， 在中，由勾股定理得：， 解得：； 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，确定垂直最短，从而运用相似三角形的判定与性质是关键． 2. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在矩形中，为边上一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点处，，，则的长为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】先证得△ABF∽△FCE，再根据矩形的性质及翻折变换的性质推出BC=AD=AF=4，从而利用勾股定理求得BF=2，进而结合线段之间的和差关系利用相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=∠C=∠D=90°， 又△ADE沿AE翻折得到△AFE， ∴∠D=∠AFE=90°， ∵∠BAF+∠AFB=90°，∠EFC+∠AFB=90°， ∴∠BAF=∠EFC， ∴△ABF∽△FCE； ∵AB=，AD=4， ∴BC=AD=AF=4， 在Rt△ABF中， ， ∴CF=BC-BF=4-2=2， 又∵△ABF∽△FCE， ∴，即， 解得：， 故选择：A 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质及翻折变换（折叠问题），解题的关键是利用翻折的性质得出∠D=∠AFE=90°，AD=AF，注意运用数形结合的思想方法，从图形中寻找边之间的关系． 3. （23-24九年级下·广东深圳·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点D作于点F，交于点E．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先证明，求出，然后通过，进一步求出即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴， 故选：B． 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在菱形中，过点分别作边上的高，连接交于点,若点是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据菱形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】作交于，可证得，又通过平行和角度关系可得，即和，即，设，则，，，根据比例关系即可求出的值． 【详解】解：如图所示：作交于， ， ， ， ， ， 同理： ， ， ， ， ，   设，则，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质及应用，相似三角形的判定和性质，作出辅助线，找出边之间的比例关系是解题的关键． 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在平行四边形中，点在边上，将沿着直线翻折得到，点的对应点恰好落在线段上，线段的延长线交边于点，如果点为边的中点，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】延长AB、DE交于点H，如图所示，根据平行四边形的性质，结合中点定义，利用两个三角形全等的判定得到，从而，，，，根据翻折性质得到，，再结合两个三角形相似的判定得到，根据相似三角形性质得到即可得到答案． 【详解】解：延长AB、DE交于点H，如图所示： 在平行四边形中，，， ， 点为边的中点， ， 在和中， ， ， ，， 设，， ，， 将沿着直线翻折得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即． 【点睛】本题考查利用三角形相似求线段比值，涉及平行四边形性质、中点定义、两个三角形全等的判定与性质、翻折的性质、两个三角形相似的判定与性质等知识，熟练掌握相关性质及判定是解决问题的关键． 6. （21-22九年级上·广东深圳·期末）如图，矩形ABCD中，点E，点F分别是BC，CD的中点，AE交对角线BD于点G，BF交AE于点H．则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】取的中点，连接，交于点，则，，由，得，由，得，，则，，从而解决问题． 【详解】解：矩形中，点，点分别是，的中点， ，，， 取的中点，连接，交于点，如图， 则是的中位线， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， ，， ，， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质表示出和的长是解题的关键． 7. （23-24九年级下·广东深圳·期末）如图，在四边形中，，，，对角线与相交于点，若，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了勾股定理的应用．若图中有等边三角形，常用辅助线作法是做出一边上的高．把所求线段放在一个直角三角形中当斜边也是常用辅助线作法．，，可得为等边三角形．作于点，可得为的中点，可求得的长，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得为的一半．作于点，则 为直角三角形的斜边，利用平行线分线段成比例定理可得的长，利用勾股定理可得的长，进而根据勾股定理可得的长． 【详解】解：过点作于点，过点作于点，连接． ， ． ， ． ，， 为等边三角形， ． ， ． ． ． ． ， ． ． ． 故答案为：． 8. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，等腰中，，点在上，且，连接，过点作于点，连接，则的值是 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过点作，交延长线于点，利用得到，设，根据相似三角形的判定与性质以及勾股定理，得到，，即可求解． 【详解】解：过点作，交延长线于点，如下图： 由题意可得：，， ∴ ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，作辅助线构造出全等三角形和相似三角形． 9. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，是等腰直角三角形，，D为边上一点，连接，过点B作，交的延长线于点E．若，则的值为 ． 【答案】/0.6 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】设，则，证明，用k表示即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴可以假设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，正确寻找相似三角形解决问题． 10. （21-22九年级上·广东深圳·期末）如图，已知△ABC与△ADE均是等腰直角三角形，∠BAC＝∠ADE＝90°，AB＝AC＝1，AD＝DE＝，点D在直线BC上，EA的延长线交直线BC于点F，则FB的长是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据等边对等角证明、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过点A作AH⊥BC于点H，根据等腰直角三角形的性质可得DH=，CD=，再证明△ABF∽△DCA，进而对应边成比例即可求出FB的长． 【详解】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H， ∵∠BAC=90°，AB=AC=1， ∴BC=， ∵AH⊥BC， ∴BH=CH=， ∴AH=， ∵AD=DE=， ∴DH=， ∴CD=DH-CH=， ∵∠ABC=∠ACB=45°， ∴∠ABF=∠ACD=135°， ∵∠DAE=45°， ∴∠DAF=135°， ∵∠BAC=90°， ∴∠BAF+∠DAC=45°， ∵∠BAF+∠F=45°， ∴∠F=∠DAC， ∴△ABF∽△DCA， ∴， ∴， ∴BF=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形，解决本题的关键是得到△ABF∽△DAC． 11. （20-21九年级上·广东深圳·期末）已知矩形，是边上一点且是边的中点，连接相交于两点，则的面积是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】如图，过点F作FG//BC，交DE于点G，过点M作MHFG，过点N作PNFG，根据题意及中位线性质，解得CE、BE的长，再根据相似三角形的判定方法，可证明，，然后结合相似三角形对应边成比例，分别解得N到FG的距离、M到FG的距离，继而根据三角形面积公式解题即可． 【详解】如图，过点F作FG//BC，交DE于点G，过点M作MHFG，过点N作PNFG， 在矩形中，， , FG//BC，F是边的中点， ， N到FG的距离 ， 同理可得， M到FG的距离， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查相似三角形的判断与性质、矩形的性质、中位线性质、三角形面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 12. （18-19九年级上·广东深圳·期末）如图，若内一点满足，则称点为的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮．已知中，，，为的布罗卡尔点，若，则 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】作CH⊥AB于H．首先证明，再证明△PAB∽△PBC，可得，即可求出PA、PC. 【详解】解：作CH⊥AB于H． ∵CA=CB，CH⊥AB，∠ACB=120°， ∴AH=BH，∠ACH=∠BCH=60°，∠CAB=∠CBA=30°， ∴BC=2CH, ∴AB=2BH=2= ， ∵∠PAC=∠PCB=∠PBA， ∴∠PAB=∠PBC， ∴△PAB∽△PBC， ， ∵， ∴PA=，PC=, ∴PA+PC=， 故答案为：. 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题． 相似三角形判定和性质综合（其他问题） 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）阅读下列材料，填空： (1)如图，已知点为线段的中点，求证：． 证明：过点作交延长线于点，则______，． 为中点， ， ． ． ， ______ ． ． (2)如图，为的中线，为线段上一点，，为线段上一点，且． 求证：． 若，，当是以为腰的等腰三角形时，求线段的长． 【答案】(1)， (2)①见解析；②或 【难度】0.4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）构造出，进而判断出，即可得出结论 （2）利用等式的性质判断出，同（1）的方法得，即可得出结论； Ⅰ、当时，可得到，求出，即可得出结论： Ⅱ、当时，先判断出点E，F重合，再判断出，然后用勾股定理求解，即可得出结论 【详解】（1）， （2），， ， ， ， 同（1）的方法得， ， ， ； 为的中线， ，， 是以为腰的等腰三角形， Ⅰ、当时， ， ， 由知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； Ⅱ、当时，如图， 是的中线， ，，， 是的垂直平分线， ， 点，重合， 由知，， ， ， 设，则， ， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题是相似三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理，构造出直角三角形是解题的关键 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）定义： 如图1，关于直线PQ同侧有两点M，N，点T在直线PQ上，若，则称点M，N为关于直线PQ在T处的反射点． (1)理解： 如图2，在中，P，Q分别是AB，AC上的点，，．求证：C，Q为关于直线AB在P处的反射点． (2)应用： 如图3，在中，，D，E分别是AB，AC上的中点，且点C，E是关于直线AB在D处的反射点，求∠B的度数． (3)拓展： 如图4，BD是矩形ABCD的对角线，E是边BC延长线上一点，且，连接AE交CD于点F，交BD于点P，连接BF，CP． ①求证：点A，B为关于直线CD在F处的反射点； ②若点C，F为关于直线BD在P处的反射点，，求AB的长． 【答案】(1)见解析 (2)60° (3)①见解析；② 【难度】0.4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、线段垂直平分线的性质、全等三角形综合问题 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和平行线的性质证明即可； （2）根据直角三角形上的中线等于斜边的一半可得，从而得∠，再证明是△的中位线，可得出∠再证明∠和∠即可得到结论； （3）①证明△得∠由∠得∠从而进一步可得出结论；②证明得所以，由得从而得，再证明△求得AP，PF的长，再由勾股定理可得结论． 【详解】（1）∵ ∴∠ ∵ ∴∠ ∴∠ ∴C，Q为关于直线AB在P处的反射点． （2）∵在中，为斜边的中点， ∴ ∴∠ ∵分别为的中点， ∴是△的中位线， ∴ ∴∠ ∵ ∵∠, ∴∠ ∵点是关于直线在处的反射点， ∴∠ ∴∠ ∴∠ （3）①在矩形中，∠ ∴∠ ∵ ∴△ ∴∠ ∵∠ ∴∠ ∴点A，B为关于直线CD在F处的反射点； ②∵四边形ABCD是矩形， ∴ ∵ ∵ ∴ 又∵点是关于直线在处的反射点， ∴∠ ∴△ ∴ ∴ ∴ 在中， 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 3. （20-21九年级上·广东深圳·期末）（1）基础巩固：如图1，已知正方形中，E是边的延长线上一点，过点C作，交于点F．求证：． （2）尝试应用：如图2，已知正方形的边长为1，M是边所在直线上一点，N是边所在直线上一点，且．记，．请直接写出y与x之间的函数关系式． （3）应用拓广：如图3，已知菱形是一个菱长为的森林生态保护区，，沿保护区的边缘、已修建好道路和，现要从保护区外新修建一条道路，将道路、连通．已知，求道路的最短路程． 【答案】（1）见解析；（2）或；（3） 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用菱形的性质求线段长、四边形其他综合问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质定理即可得出CE＝CF； （2）分别讨论当点M在线段上和点M在线段的延长线上和点M在线段的延长线上，利用相似三角形的性质和判定证明得出CK的值，全等三角形的判定和性质以及三角形面积公式解答即可； （3）以CD为边作∠DCG＝120°，交射线AP于点G，过点C作CH⊥PA于点H，利用菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ （2）解：当点M在线段上时，如图1， 过点C作，交于点K，连接，由（1）得 ∵，∴ ∵四边形是正方形， ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 当点M在线段的延长线上时，同理得 当点M在线段的延长线上时，同理得． （3）以为一边作，交射线于点G，过点C作于点H，如图 ∵ ∴ ∵四边形是菱形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∴道路的长度 ∴当最短，即当时，道路的长度最短 ∵ ∴ ∴道路的最短路程是． 【点睛】此题考查四边形的综合题，关键是根据相似三角形和全等三角形的判定和性质以及菱形的性质解答． 4. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x+b经过点A（﹣1，0），与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点C，且BC＝2AB，BD∥x轴交反比例函数y＝（x＞0）于点D，连接AD．    （1）求b、k的值； （2）求△ABD的面积； （3）若E为射线BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作EF∥BD，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点F，且EF＝BD，求m的值． 【答案】（1）b＝3，k＝18；（2）9；（3）m的值为1或 【难度】0.15 【知识点】公式法解一元二次方程、一次函数与几何综合、反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）作CH⊥y轴于点H，把点A坐标代入直线解析式中求出b，求出点B坐标，再用相似三角形的性质求出CH、BH，求出点C坐标，即可求出k； （2）先求出点D坐标，求出BD，根据三角形的面积公式计算，得到答案； （3）先求出EF=2，设出点E坐标，分0＜m＜2、m＞2两种情况，表示出点F坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征建立方程求解，即可得出结论． 【详解】解：（1）作CH⊥y轴于点H，    ∵直线y＝3x+b经过点A（﹣1，0）， ∴﹣1×3+b＝0， 解得，b＝3， 对于直线y＝3x+3，当x＝0时，x＝3， ∴点B的坐标为（0，3），即OB＝3， ∵CH∥OA， ∴△AOB∽△CHB， ∴，即， 解得，CH＝2，BH＝6， ∴OH＝OB+BH＝9， ∴点C的坐标为（2，9）， ∴k＝2×9＝18； （2）∵BD∥x轴， ∴点D的纵坐标为3， ∴点D的横坐标为＝6，即BD＝6， ∴△ABD的面积＝×6×3＝9； （3）EF＝BD＝×6＝2， 设E（m，3m+3）， 当0＜m＜2时，点F的坐标为（m+2，3m+3）， ∵点F在反比例函数y＝上， ∴（m+2）（3m+3）＝18， 解得，m1＝﹣4（舍去），m2＝1， 当m＞2时，点F的坐标为（m﹣2，3m+3）， ∵点F在反比例函数y＝上， ∴（m﹣2）（3m+3）＝18， 解得，m3＝（舍去），m4＝， 综上所述，m的值为1或． 【点睛】本题考查的是反比例函数知识的综合运用，主要考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式、相似三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图1，在平面直角坐标系内，直线交x轴于点A，交y轴于点B，交直线于第一象限的点C，点D在y轴上，平分． (1)点D的坐标为______； (2)若与相似，求k的值； (3)在（2）的条件下，如图2，已知点，平移直线交x轴于点E，交y轴于点F，平面内是否存在点N，使得四边形是正方形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3)存在，或 【难度】0.4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质求线段长、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】(1)可求得，，，，，过点D作于点M，可证得，可得，，设，则，，，根据勾股定理即可求得； (2)根据相似三角形的性质，可得，可得，过点C作轴于点N，可证得，根据相似三角形的性质，即可求得点C的坐标为，把点C的坐标代入，即可求得k的值； (3)设直线平移后的解析式为，则，，则，，可求得，过点M作轴于点G，可求得，假设存在点N，使得四边形是正方形，则，可得，可证得，，，分两种情况分别计算，即可求解． 【详解】（1）解：在中， 令，则，故，， 令，则，故，， ， 如图：过点D作于点M， ， 平分， ， 在与中， ， ，， 设，则，，， 在中，， 即， 解得， 故点D的坐标为， 故答案为：； （2）解： ，， ， ， ，得， 解得， ， 如图：过点C作轴于点N， ， ，得， 解得， 点C的纵坐标为， 当时，， 解得， 点C的坐标为， 把点C的坐标代入，得 ，解得， 故当与相似时，k的值为2； （3）解：存在， 设直线平移后的解析式为， 则，， 则，， ， 如图：过点M作轴于点G， 则，， ， 假设存在点N，使得四边形是正方形， 则， 则， 得， ， ， 在与中， ， ，， 当时，，   解得（舍去）或， 当时，， 解得或（舍去）， 综上，或 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形，正方形的性质，作出辅助线是解决本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 图形的相似 比例的性质 1. （23-24九年级上·广东深圳·期末）若，则 ． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）若，则 ． 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）若，则 ． 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）已知 ，则 的值为 ． 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）已知、、满足，、、都不为0，则 ． 成比例线段及黄金分割点 1. （19-20九年级上·广东深圳·期末）若a、b、c、d是成比例线段，其中a=5cm，b=2.5cm，c=10cm，则线段d的长为（   ） A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm 2. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如果一个矩形的宽与长的比等于黄金比，则称该矩形为黄金矩形.如图，已知矩形ABCD是黄金矩形，且AD>AB，AD=2，点E是AD上一点，点G是CD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，使点A落在BC边上的点F处，再将△DEG沿直线EG折叠，使点D落在EF上的点H处，则FH的长为（     ） A． B． C． D． 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）已知线段是线段和线段的比例中项，若，，则 ． 4. （23-24九年级上·广东深圳·期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点为的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度为 ． 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，学校元旦晚会的舞台的长为米，主持人小明学习了相关的数学知识后，认为站在点C处更自然得体（已知点C是线段上靠近点B的黄金分割点），则此时小明与点A的距离为 米． 平行线分线段成比例 1. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，已知直线，直线、与、、分别交于点、、和、、，，，，（　　）    A．7 B． C．8 D． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在菱形中，是的中点，，交于点，如果，那么菱形的周长为（    ） A．24 B．18 C．16 D．8 3. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图．AB∥CD∥EF，AF、BE交于点G，下列比例式错误的是（　　） A． B． C． D． 4. （23-24九年级上·广东深圳·期末）一段加固后的护栏如图所示，该护栏竖直部分是由等距（任意相邻两根木条之间的距离相等）且平行的木条构成．已知，则的长度为（　　） A． B． C． D． 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，与相交于点G，且，则＝（　　） A．5：3 B．1：3 C．3：5 D．2：3 6. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，l1l2l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 7. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，已知直线l1l2l3，直线AC分别与直线l1，l2，l3，交于A、B、C三点，直线DF分别与直线l1，l2，l3交于D、E、F三点，AC与DF交于点O，若BC＝2AO＝2OB，OD＝1．则OF的长是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8. （21-22九年级上·广东深圳·期末）在△ABC中，DB＝CE，DE的延长线交BC的延长线于P，求证：AD•BP＝AE•CP． 相似性质求解 1. （21-22九年级上·广东广州·期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点F为边CD上一点，且FE⊥AB交AB于点E，若AD＝2，BC＝8，四边形AEFD～四边形EBCF，则的值是（　　） A． B． C． D． 2. （21-22九年级上·广东深圳·期末）已知，若，，则的度数是（   ） A．35° B．65° C．80° D．100° 3. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，梯形ABCD中，AC交BD于点O，已知AD∥BC，AD=2，BC=4，S△AOD=1，则梯形ABCD的面积为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 4. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H，∠E＝60°，若CG＝3，AH＝7，则菱形ABCD的边长为（　　） A．8 B．9 C． D． 5. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，在△ABC中，AD=AC，延长CD至B，使BD=CD，DE⊥BC交AB于点E，EC交AD于点F．下列四个结论：①EB=EC；②BC=2AD；③△ABC∽△FCD；④若AC=6，则DF=3．其中正确的个数有（） A．1 B．2 C．3 D．4 6. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，∽，、分别是的高和中线，、分别是的高和中线，且，，，则的长为（    ）．      A． B． C． D． 7. （21-22九年级上·广东深圳·期末）如图，在△ABC中，E是AC边的中点，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若BF＝3EF，则S△ABD：S△ACD＝（　　） A．3：1 B．3：2 C．4：3 D．2：1 相似三角形与网格作图 1. （23-24九年级上·广东深圳·期末）由边长相等的小正方形组成的网格，以下各图中点A、B、C、D都在格点上． (1)在图1中，______； (2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图2，在上找点P，使得； ②如图3，在上找点P，使得． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上． (1)在图①中，　 　． (2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图②，在上找一点P，使． ②如图③，在上找一点P，使． 相似三角形的性质 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末），且相似比为，则它们的面积比等于（   ） A． B． C． D． 2. （19-20九年级上·广东深圳·期末）若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积比是，则△ABC与△DEF的对应高的比为（  ） A． B． C． D． 3. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，直线∥∥，△ABC的边AB被这组平行线截成四等份，△ABC的面积为32，则图中阴影部分四边形DFIG的面积是（     ） A．12 B．16 C．20 D．24 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于 ． 相似三角形的判定和性质 1. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在正方形中，在边上取中点，连接，过点作交于点、交的延长线于点． (1)求证：． (2)若，求的长． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，四边形是菱形，点是延长线上一点，连接，分别交、于点、，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)当时，判断与有何等量关系？并证明你的结论． 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）已知：在正方形中，点分别是延长线上的点，且，连接交于点．   (1)如图1，当在一直线上时，求证：点为中点； (2)如图2，当，求证：． 4. （21-22九年级上·广东深圳·期末）如图，在菱形中，点E、F分别在上，连接，且，延长交于点G． (1)若，求证：； (2)连接，交于点H，若，，求的长． 5. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在矩形ABCD的BC边上取一点E，连接AE，使得AE＝EC，在AD边上取一点F，使得DF＝BE，连接CF．过点D作DG⊥AE于G．    （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若AB＝4，BE＝3，求DG的长． 6. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，在▱ABCD中，点G是对角线AC上一点，DE垂直平分CG，交GC于点O，交BC于点E，作GF∥AD交DE于点F，连接FC． （1）求证：四边形GFCE是菱形； （2）点H为线段AO上一点，连接HD，HF，当∠1＝∠2时，若AD＝6，CF＝2，求AH•CH的值． 相似三角形与实际应用 1. （20-21九年级上·广东深圳·期末）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到位置，已知，，垂足分别为，，，，，则栏杆端应下降的垂直距离为(    ) A． B． C． D． 2. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，小颖身高为160cm，在阳光下影长AB=240cm，当她走到距离墙角（点D）150cm处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子DE的长度为（    ） A．50 B．60 C．70 D．80 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（    ） A． B． C． D． 4. （23-24九年级下·广东深圳·期末）如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为（　　） A． B． C． D． 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，广场上有一盏路灯挂在高的电线杆顶上，记电线杆的底部为．把路灯看成一个点光源，一名身高的女孩站在点处，，则女孩的影子长为（    ） A． B． C． D． 6. （22-23九年级上·广东深圳·期末）同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离为，当蜡烛火焰的高度是它在光屏上所成的像高度的一半时，带“小孔”的纸板距离光屏（    ） A． B． C． D． 7. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，小颖为测量学校旗杆AB的高度，她在E处放置一块镜子，然后退到C处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度CD＝1.5m，她离镜子的水平距离CE＝0.5m，镜子E离旗杆的底部A处的距离AE＝2m，且A、C、E三点在同一水平直线上，则旗杆AB的高度为（　　） A．4.5m B．4.8m C．5.5m D．6 m 8. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得，点E在上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得，则河的宽度等于 ． 9. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，小亮要测量一座钟塔的高度，他在与钟塔底端处在同一水平面上的地面放置一面镜子，当他站在B处时，看到钟塔的顶端在镜子中的像与标记E重合．已知B、E、D在同一直线上，，，，则钟塔的高度为 m．    10. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成一个正方形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上．则该正方形的边长是 ． 11. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，利用标杆测量楼高，点，，在同一直线上，，，垂足分别为，．若测得，，，楼高是 m． 12. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，路灯（P点）距地面8米，小明在距路灯的底部（O点）20米的A点时，测得此时他的影长为5米．    (1)求小明的身高； (2)小明沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 13. （22-23九年级上·广东深圳·期末）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为16米，的影长为20米，小明的影长为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且，．已知小明的身高为1.8米． (1)求建筑物OB的高度； (2)求旗杆的高AB． 位似 1. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的位似比为2：1．点P（﹣6，9）在①号“E”上，则点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为（　　） A．（﹣3，） B．（﹣2，3） C．（﹣，3） D．（﹣3，2） 2. （20-21九年级上·广东深圳·期末）△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′位似比是1∶2，已知△ABC的面积是10，则△A′B′C′的面积是（　　） A．10 B．20 C．40 D．80 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（　　） A． B．点C、点O、点三点在同一直线上 C． D． 4. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若OA'∶AA'＝1∶2，则△A'B'C'的周长与△ABC的周长比是（    ） A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．4∶9 6. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点，，已知与位似，位似中心是原点O，且的面积是面积的4倍，则点A对应点的坐标为（    ）    A． B．或 C． D．或 7. （21-22九年级上·广东深圳·期末）如图，已知△A′B′C′与△ABC是位似图形，点O是位似中心，若A′是OA的中点，则△A′B'C′与△ABC的面积比是（　　） A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1 8. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点O是位似中心．若，则点F的坐标是（    ） A． B． C． D． 9. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，已知△AOB与△A1OB1是以点O为位似中心的位似图形．且相似比为1：2，点B的坐标为（﹣2，4），则点B1的坐标为（　　） A．（4，﹣8） B．（2，﹣4） C．（﹣1，8） D．（﹣8，4） 10. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是（　　）    A． B． C． D． 11. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，且位似比为1∶2，下列结论不正确的是（　　） A．AC∥DF B． C．BC是△OEF的中位线 D．S△ABC：S△DEF=1：2 12. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则= ． 位似作图 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出与关于轴对称的； (2)以原点为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为，并写出点，，的坐标． (3)若方格中每个小正方形的边长为1个单位长度，求的面积． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)在图1中，以C为位似中心，位似比为；请画出放大后的． (2)在图2中，线段上作点M，利用格点作图使得． (3)在图3中，利用格点在边上作－个点D，使得． 3. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如果方格中，三角形的顶点和的位置用数对表示分别为、．    (1)在方格中过点画出边的平行线． (2)画出三角形绕点顺时针方向旋转后的图形，并涂上阴影． (3)用数对分别表示新三角形中的位置分别是：（_____，_____）、（_____，_____） (4)①以点为位似中心，在位似中心的同侧画出的位似图形，使它与的位似比为，并涂上阴影． ②缩小后的面积是原来面积的___________． 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为．    (1)画出绕点A顺时针旋转后得到的； (2)的面积是____________（直接填结果）； (3)在网格内以原点O为位似中心，画出将三条边放大为原来的2倍后的． 相似三角形与四边形综合 1. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，正方形的边长为4，动点P在边上从点B沿向点A运动（点P不与点A，B重合），连接．过点P作，交于点Q． (1)求证：； (2)若，求的长度； (3)连接．试判断当点P运动到边的什么位置时，？并说明理由． 2. （23-24九年级上·广州深圳·期末）（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．    【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 3. （23-24九年级上·广州深圳·期末）（1）在菱形中，，点P在边边上，连接，点Q在的延长线上，连接，，求证：； （2）菱形中，点P、Q分别是,上的动点，且满足，当时，求与的面积之和． （3）平行四边形中，，P是上一动点，Q是上一动点，且满足，，，当时，求的长度． 4. （23-24九年级上·广州深圳·期末）（1）如图1，四边形是正方形，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，，则与的数量关系是______． （2）如图2，四边形是矩形，，，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，．判断线段与，有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，点E是从点A运动D点，则点G的运动路径长度为______； （4）如图3，在（2）的条件下，连接BG，则的最小值为______．    5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）数学小组在探究题目：矩形中，，点E是边的中点，连接，过点E作的垂线，与矩形的外角平分线交于点F．如图（1），当时，求证：； (1)小明在实验操作过程中发现：如图，在上截取，连接．构造三角形的全等可以解决问题．请帮助小明画好辅助线完成证明过程． (2)【类比探究】如图（2），当时，求的值（用含k的式子表示）； (3)【拓展运用】如图（3），当时，P为边上一点，连接，，，，求的长． (4)【拓展延伸】如图（4），当题目变为：平行四边形中，，，点E是边的中点，连接，过点E作，与平行四边形的外角平分线交于点F．则的值__________（用含k的式子表示）； 6. （22-23九年级上·广东深圳·期末）【探究发现】 如图，在矩形中，E为边上一点，且．将矩形沿折叠，使点A恰好落在 边上的点F，求线段的长． 【类比迁移】 如图，在矩形中，E为边上一点，且．将沿着折叠得到，延长交边于点G，延长交边于点H，且，求线段的长． 【拓展应用】 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，对角线交于点D．P为轴上一动点，连接，将沿着直线折叠得到，当直线轴时，求点P的坐标． 7. （22-23九年级上·广州深圳·期末）（1）如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，若，则的值为_________； （2）如图2，在矩形中，，，点是上的一点，连接，，若，则的值为_________； 【类比探究】 （3）如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证： 【拓展延伸】 （4）如图4，在中，，，，将沿翻折，点落在点处，得到，点，分别在边，上，连接，，若，则的值为_________． 相似三角形与旋转变换综合 1. （23-24九年级上·广东深圳·期末）【模型发现】如图 1，，求证：． 【深入探究】如图2，等边中，，是上的动点，连接，将绕着点逆时针旋转得到，连接，当点从运动到时，求点的运动路径长． 【应用拓展】如图3，等腰中，，于，是上的一点，连接，将绕着点逆时针旋转得到，交于点，连接，若，则的值为_______．    2. （23-24九年级上·广东深圳·期末）【问题呈现】 如图1，和都是等边三角形，连接．求证：． 【类比探究】 如图2，和都是等腰直角三角形，．连接．请直接写出的值． 【拓展提升】 如图3，和都是直角三角形，，且．连接．延长交于点F，交于点G．求的值． 3. （23-24九年级上·广东深圳·期末）【发现问题】      （1）如图1，已知和均为等边三角形，在上，在上，易得线段和的数量关系是______． （2）将图1中的绕点旋转到图2的位置，直线和直线交于点． ①判断线段和的数量关系，并证明你的结论； ②图2中的度数是______． （3） 【探究拓展】如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点，分别写出的度数，线段、间的数量关系，并说明理由． 4. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图（1），把两个大小完全相同的矩形和拼成“L”形图案，若，，连接、． (1)线段和线段的数量关系为________．（填空） (2)保持矩形不动的条件下，将矩形绕点按顺时针方向旋转． ①如图（2），第（1）问的结论是否仍然成立；若成立，证明之；若不成立，说明理由； ②如图（3），直线与相交于点，连接，当时，求的长度． 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末） (1)【问题发现】 如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF．填空： ①线段CF与DG的数量关系为 ； ②直线CF与DG所夹锐角的度数为 ． (2)【拓展探究】 如图②，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明． (3)【解决问题】 如图③，和都是等腰直角三角形，，，O为AC的中点．若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D的运动过程中，线段OE长的最小值为 （直接写出结果）． 6. （22-23九年级上·广东深圳·期末）【模型发现】如图 1，，求证：． 【深入探究】如图2，等边中，，是上的动点，连接，将绕着点逆时针旋转得到，连接，当点从运动到时，求点的运动路径长． 【应用拓展】如图3，等腰中，，于，是上的一点，连接，将绕着点逆时针旋转得到，交于点，连接，若，则的值为_______．    相似三角形与折叠问题 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）【推理】 如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G． （1）求证：． 【运用】 （2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若，，求线段DE的长． 【拓展】 （3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）． ． 2. （21-22九年级下·广东深圳·期末）折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，如折小花、飞机、小船等，在折纸过程中，我们通过研究图形的性质发展空间观念，在思考问题的过程中建立几何直观． 【操作发现】（1）如图1将一个正方形先沿EF折叠得到图2，再将图2进行第二次折叠，使点E和点F重合，折痕与正方形的边交于点M、N，如图3，打开这张正方形的纸得到两条折痕EF和MN，如图4这两条折痕的位置关系为 　 　，＝　 　． 【探究证明】（2）如图5，将AB＝1，AD＝3的长方形按（1）的方式进行折叠，同样得到两条折痕EF和MN，（1）中的结论是否还成立，如果成立请证明，如果不成立请说明理由． 【拓展延伸】（3）Rt△ABC中，BC＝1，AC＝3，将△ABC沿着斜边AB翻折后得的三角形与原来三角形组合成一个四边形ACBD，将四边形ACBD分别沿着顶点A和顶点D折叠得到两条互相垂直的折痕，交四边形的另两条边于点M和点N，＝　 　． 3. （20-21九年级上·广东深圳·期末）（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E、Q分别在边BC、AB上，DQ⊥AE于点O，点G、F分别在边CD、AB上，GF⊥AE． ①填空：DQ　 　AE（填“＞”“＜”或“＝”）； ②推断的值为　 　； （2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当k＝时，若＝，GF＝2，求CP的长． 多结论判断 1. （19-20九年级上·广东深圳·期末）在正方形ABCD中，AB＝3，点E在边CD上，且DE＝1，将△ADE沿AE对折到△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．下列结论，其中正确的有（　　）个． （1）CG＝FG；（2）∠EAG＝45°；（3）S△EFC＝；（4）CF＝GE    A．1 B．2 C．3 D．4 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，正方形中，E为BC中点，连接于点F，连接交于点G，下列结论：①；②G为中点；③；④，其中结论正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，已知E，F分别为正方形的边的中点，与交于点M，O为的中点，则下列结论：①，②，③，④．其中正确结论的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在矩形中，过点作对角线的垂线并延长，与的延长线交于点，与交于点，垂足为点，连接，且，则下列结论正确的有（    ）个：①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 5. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下面四个结论：①CF＝2AF；②AD＝CD；③DF＝DC；④△AEF∽△CAB；⑤S四边形CDEF＝S△ABF．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6. （18-19九年级上·广东深圳·期末）如图，已知在矩形 中，，，点 从点 出发，沿 方向以每秒 个单位的速度向点 运动，点 从点 出发，沿射线 以每秒 个单位的速度运动，当点 运动到点 时，， 两点停止运动．连接 ，过点 作 ，垂足为 ，连接 ，交 于点 ，交 于点 ，连接 ．给出下列结论： ① ； ② ； ③ ； ④ 的值为定值 ． 上述结论中正确的个数为 （      ） 个． A． B． C． D． 7. （21-22九年级上·广东深圳·期末）如图，正方形ABCD和正方形CGFE的顶点C，D，E在同一条直线上，顶点B，C，G在同一条直线上．O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接FH交EG于点M，连接OH．以下四个结论：①GH⊥BE；②△EHM∽△GHF；③﹣1；④＝2﹣，其中正确的结论是（　　）    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 8. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF=．在以上4个结论中，其中一定成立的 （把所有正确结论的序号都填在横线上）    相似三角形的判定与性质综合（难度较大的填选） 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，正方形 中， 是 的中点，， 是线段 上的动点，则 的最小值是（　　） A． B． C． D． 2. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在矩形中，为边上一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点处，，，则的长为（    ） A． B．1 C． D． 3. （23-24九年级下·广东深圳·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点D作于点F，交于点E．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在菱形中，过点分别作边上的高，连接交于点,若点是的中点，则（    ） A． B． C． D． 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在平行四边形中，点在边上，将沿着直线翻折得到，点的对应点恰好落在线段上，线段的延长线交边于点，如果点为边的中点，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6. （21-22九年级上·广东深圳·期末）如图，矩形ABCD中，点E，点F分别是BC，CD的中点，AE交对角线BD于点G，BF交AE于点H．则的值是（　　） A． B． C． D． 7. （23-24九年级下·广东深圳·期末）如图，在四边形中，，，，对角线与相交于点，若，则 ． 8. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，等腰中，，点在上，且，连接，过点作于点，连接，则的值是 ． 9. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，是等腰直角三角形，，D为边上一点，连接，过点B作，交的延长线于点E．若，则的值为 ． 10. （21-22九年级上·广东深圳·期末）如图，已知△ABC与△ADE均是等腰直角三角形，∠BAC＝∠ADE＝90°，AB＝AC＝1，AD＝DE＝，点D在直线BC上，EA的延长线交直线BC于点F，则FB的长是 ． 11. （20-21九年级上·广东深圳·期末）已知矩形，是边上一点且是边的中点，连接相交于两点，则的面积是 ． 12. （18-19九年级上·广东深圳·期末）如图，若内一点满足，则称点为的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮．已知中，，，为的布罗卡尔点，若，则 ． 相似三角形判定和性质综合（其他问题） 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）阅读下列材料，填空： (1)如图，已知点为线段的中点，求证：． 证明：过点作交延长线于点，则______，． 为中点， ， ． ． ， ______ ． ． (2)如图，为的中线，为线段上一点，，为线段上一点，且． 求证：． 若，，当是以为腰的等腰三角形时，求线段的长． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）定义： 如图1，关于直线PQ同侧有两点M，N，点T在直线PQ上，若，则称点M，N为关于直线PQ在T处的反射点． (1)理解： 如图2，在中，P，Q分别是AB，AC上的点，，．求证：C，Q为关于直线AB在P处的反射点． (2)应用： 如图3，在中，，D，E分别是AB，AC上的中点，且点C，E是关于直线AB在D处的反射点，求∠B的度数． (3)拓展： 如图4，BD是矩形ABCD的对角线，E是边BC延长线上一点，且，连接AE交CD于点F，交BD于点P，连接BF，CP． ①求证：点A，B为关于直线CD在F处的反射点； ②若点C，F为关于直线BD在P处的反射点，，求AB的长． 3. （20-21九年级上·广东深圳·期末）（1）基础巩固：如图1，已知正方形中，E是边的延长线上一点，过点C作，交于点F．求证：． （2）尝试应用：如图2，已知正方形的边长为1，M是边所在直线上一点，N是边所在直线上一点，且．记，．请直接写出y与x之间的函数关系式． （3）应用拓广：如图3，已知菱形是一个菱长为的森林生态保护区，，沿保护区的边缘、已修建好道路和，现要从保护区外新修建一条道路，将道路、连通．已知，求道路的最短路程． 4. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x+b经过点A（﹣1，0），与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点C，且BC＝2AB，BD∥x轴交反比例函数y＝（x＞0）于点D，连接AD．    （1）求b、k的值； （2）求△ABD的面积； （3）若E为射线BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作EF∥BD，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点F，且EF＝BD，求m的值． 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图1，在平面直角坐标系内，直线交x轴于点A，交y轴于点B，交直线于第一象限的点C，点D在y轴上，平分． (1)点D的坐标为______； (2)若与相似，求k的值； (3)在（2）的条件下，如图2，已知点，平移直线交x轴于点E，交y轴于点F，平面内是否存在点N，使得四边形是正方形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$