专题03 概率（4题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（深圳专用）

专题03 概率 求概率（包括列表法、树状图法求概率） 1. （22-23九年级上·广州深圳·期末）从甲、乙、丙三名同学中随机抽取两名同学去参加义务劳动，则甲与乙恰好被选中的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】列举法求概率 【分析】根据题意用列举法求概率即可． 【详解】解：随机抽取两名同学所能产生的所有结果， 它们是：甲与乙，甲与丙，乙与丙， 所有可能的结果共3种， 并且出现的可能性相等， 甲与乙恰好被选中的概率：． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了用列举法求概率，能正确列举出所有等可能结果是做出本题的关键． 2. （23-24九年级上·广州深圳·期末）将长度为8厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米．如果截成的三段木棍长度分别相同算作同一种截法（如：5，2，1和1，5，2），那么截成的三段木棍能构成三角形的概率是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】构成三角形的条件、列举法求概率 【详解】解：因为将长度为8厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米， 共有5种情况，分别是1，2，5；1，3，4；2，3，3；4，2，2；1,1,6； 其中能构成三角形的是：2，3，3一种情况， 所以截成的三段木棍能构成三角形的概率是． 3. （23-24九年级上·广州深圳·期末）如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了白色和红色两个区域，任意转动转盘一次， 当转盘停止转动时（若指针停在边界处，则重新转动转盘），指针落在红色区域内的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】几何概率 【分析】认真审题, 仔细观察和分析题干中的已知条件和所给的图形.根据概率的应用, 据此计算后选择求解. 【详解】解: 转盘被等分成红、白二个扇形，且红色区域的圆心角为， 指针落在红色区域的概率是P== 故选C. 【点睛】解决这个问题的关键之处在于认真审题, 仔细观察和分析题干中的已知条件和所给的图形.根据概率的定义和公式的运用, 据此计算后求解. 4. （23-24九年级上·广东深圳·期末）学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°．同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．若小赵同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】先求出在B盘中，相当于把B盘平均分为3份，一份蓝色，两份红色，再画树状图，然后由概率公式求解即可． 【详解】解：∵B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是， ∴B盘红色扇形区域所占的圆心角是， ∴相当于把B盘平均分为3份，一份蓝色，两份红色， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色的有3种情况， ∴小赵同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是， 故选：C． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】根据题意画树状图，再利用概率公式，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 一共有12种情况，被抽到的2名同学都是男生的情况有6种， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了列表法或画树状图法求概率，熟练掌握概率公式是解题关键． 6. （19-20九年级上·广东深圳·期末）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“绿”“水”“山”“青”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先找拌均匀再摸球． (1)若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“绿”的概率为多少？ (2)甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图的方法，求出甲取出的两个球上的汉字恰能组成“绿水”或“青山”的概率P． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查概率公式、树状图法，熟练掌握概率公式与树状图法是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种可能的结果，其中球上的汉字刚好是“绿”的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）画树状图，共有12种可能的结果，其中甲取出的两个球上的汉字恰能组成“绿水”或“青山”的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解∶由题意知，共有4种可能的结果，其中球上的汉字刚好是“绿”的结果有1种， ∴从中任取一个球，球上的汉字刚好是“绿”的概率为． （2）解：画树状图如下∶ 共有12种等可能的结果，其中甲取出的两个球上的汉字恰能组成“绿水”或“青山”的结果有∶(绿，水)，(水，绿)，(山，青)，(青，山)，共4种， ∴．甲取出的两个球上的汉字恰能组成“绿水”或“青山”的概率． 7. （18-19九年级上·广东深圳·期末）某同学报名参加学校秋季运动会，有以下 5 个项目可供选择：径赛项目：100m、200m、1000m（分别用 A1、A2、A3 表示）；田赛项目：跳远，跳高（分别用 T1、T2 表示）． （1）该同学从 5 个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率 P 为 ； （2）该同学从 5 个项目中任选两个，求恰好是一个径赛项目和一个田赛项目的概率 P1，利用列表法或树状图加以说明； （3）该同学从 5 个项目中任选两个，则两个项目都是径赛项目的概率 P2 为 ． 【答案】（1）；（2） ；（3）； 【难度】0.65 【知识点】列举法求概率、列表法或树状图法求概率 【分析】（1）直接根据概率公式求解； （2）先画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出一个径赛项目和一个田赛项目的结果数，然后根据概率公式计算一个径赛项目和一个田赛项目的概率P1； （3）找出两个项目都是径赛项目的结果数，然后根据概率公式计算两个项目都是径赛项目的概率P2． 【详解】解：（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率P=； （2）画树状图为： 共有20种等可能的结果数，其中一个径赛项目和一个田赛项目的结果数为12， 所以一个径赛项目和一个田赛项目的概率P1==； （3）两个项目都是径赛项目的结果数为6， 所以两个项目都是径赛项目的概率P2==． 故答案为． 考点：列表法与树状图法． 8. （23-24九年级上·广东深圳·期末）深圳蕴藏丰富的旅游文化资源．为促进深港两地学生交流，某校开展“美丽深圳，深港同行”主题活动，景点有三个：A．梧桐烟云，B．莲花春早，C．梅沙踏浪．每位参加交流的学生都可以从中随机选择一个景点． (1)参加此次交流活动的小军选择的景点为“梧桐烟云”的概率是　　　　； (2)请用列表或画树状图的方法，求小明和小颖选择的景点都是“莲花春早”的概率． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件的结果数目m，然后利用概率公式计算事件的概率． （1）由随机事件发生的概率即可求得结果； （2）从树状图中找到小明和小颖的景点都是“莲花春早”结果数，利用概率公式求解可得． 【详解】（1）解：∵有A．梧桐烟云，B．莲花春早，C．梅沙踏浪三个选项， ∴小军选择的景点为“梧桐烟云”的概率为， 故答案为：． （2）根据题意画树状图如图所示， 共有9种等可能的结果，其中小明和小颖选择的景点都是“莲花春早”的结果有1种， ∴， 则小明和小颖选择的景点都是“莲花春早”的概率为． 9. （22-23九年级上·广东深圳·期末）小明的口袋中有5把相似的钥匙，其中只有2把钥匙能打开教室前门锁，但他忘了是哪两把钥匙，于是小明决定随机地从中选一把去逐一试开（不放回）． (1)小明从口袋中随机摸出一把钥匙就能打开教室前门锁的概率是 　 　； (2)请用树状图或列表等方法，求出小明至多试开两次就能打开教室前门锁的概率． 【答案】(1) (2)小明至多试开两次就能打开教室前门锁的概率为 【难度】0.65 【知识点】列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率 【分析】（1）根据概率公式计算即可； （2）画树状图（A、B表示能打开教室前门锁，C、D、E表示不能打开教室前门锁）展示出20种可能的结果，找出小明至多试开两次就能打开教室前门锁的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】（1）小明从口袋中随机摸出一把钥匙就能打开教室前门锁的概率为； 故答案为：； （2）画树状图为：（A、B表示能打开教室前门锁，C、D、E表示不能打开教室前门锁） 共有20种可能的结果，其中小明至多试开两次就能打开教室前门锁的结果数为14， ∴小明至多试开两次就能打开教室前门锁的概率． 【点睛】本题考查了运用树状图法求概率，理解题意是解决本题的关键． 10. （22-23九年级上·广东深圳·期末）某医院计划选派护士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，其中甲是共青团员，其余3人均是共产党员．医院决定用随机抽取的方式确定人选． (1)随机抽取1人，甲恰好被抽中的概率是______； (2)若需从这4名护士中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护士都是共产党员的概率． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率 【分析】（1）根据随机事件的定义即可解决问题； （2）从甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，设甲是共青团员用T表示，其余3人均是共产党员用G表示．从这4名护士中随机抽取2人，所有可能出现的结果共有12种，然后利用树状图即可解决问题． 【详解】（1）解：若从四个人中随机抽取一人，共有四种可能：团员、党员、党员、党员，抽到共青团员的概率． 故答案为：． （2）解：如图， 共有：团党、团党、团党、党团、党党、党党、党团、党党、党党、党团、党党、党党十二种可能，所以两名护士都是党员的概率为：． 答：随机抽取2人，被抽到的两名护士恰好都是党员的概率为， 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，随机事件．解决本题的关键是掌握列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 11. （19-20九年级上·广东深圳·期末）深圳国际马拉松赛事设有A“全程马拉松”，B“半程马拉松”，C“嘉年华马拉松”三个项目，小智和小慧参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到三个项目组． (1)小智被分配到A“全程马拉松”项目组的概率为　 　． (2)用树状图或列表法求小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的概率． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，可得共有9种等可能性的情况，其中小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的情况有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：小智被分配到A“全程马拉松”项目组的概率为， 故答案为； （2）解：画树状图如下： 由图可知共有9种等可能性的情况，其中小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的情况有3种， ∴小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的概率为． 【点睛】本题考查的是列表法与树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件，解题的关键是熟练掌握概率=所求情况数与总情况数之比． 12. （22-23九年级上·广东深圳·期末）一个不透明的口袋里装有三个小球，分别标有汉字“爱”、“祖”、“国”，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先摇均匀． (1)若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“爱”的概率是__________． (2)从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉字能组成“祖国”的概率． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率 【分析】（1）根据题意，结合一步概率问题解法，直接利用概率公式即可得到答案； （2）根据题意，结合两步概率问题解法，采用列表法结合概率公式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：一个不透明的口袋里装有三个小球，分别标有汉字“爱”、“祖”、“国”，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先摇均匀，若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“爱”的概率是， 故答案为：； （2）解：列表如下 爱 祖 国 爱 —— （爱，祖） （爱，国） 祖 （祖，爱） —— （祖，国） 国 （国，爱） （国，祖） —— 由表可知，共有6种等可能的结果，其中，能组成“祖国”的有2种结果， 取出的两个球上的汉字能组成“祖国”的概率． 【点睛】本题考查概率问题，涉及一步概率、两步概率的解法，熟练掌握概率公式以及列举法求两步概率问题是解决问题的关键． 频率估计概率 1. （19-20九年级上·广东深圳·期末）某人从一袋黄豆中取出25粒染成蓝色后放回袋中并混合均匀，接着抓出100粒黄豆，数出其中有5粒蓝色的黄豆，则估计这袋黄豆约有（　　） A．380粒 B．400粒 C．420粒 D．500粒 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】由频率估计概率 【分析】用蓝色黄豆的数量除以所抽取样本中蓝色黄豆所占比例即可得． 【详解】解：估计这袋黄豆约有25÷＝500（粒）， 故选：D． 【点睛】本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法． 2. （20-21九年级上·广东深圳·期末）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由频率估计概率 【分析】根据红球出现的频率和球的总数，可以计算出红球的个数． 【详解】解：由题意可得， 20×0.3=6（个）， 即袋子中红球的个数最有可能是6个， 故选：C． 【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，计算出红球的个数． 3. （23-24九年级上·广东深圳·期末）小鄂在数学书中看到了斐波那契曲线，于是将曲线画在了纸上小明看到后想计算阴影部分面积于是他们决定在纸上随机戳点，并记录数据于下表 总点数 10 20 40 100 阴影部分点数 4 11 23 47 若正方形的边长为4，则阴影部分面积约为（    ） A．4.7 B．7.52 C．7.98 D．8 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】几何概率、由频率估计概率 【分析】本题考查利用频率估计概率，几何概率，根据频率估计出概率，再利用几何概率进行求解即可． 【详解】解：由表格数据可知：点落在阴影部分的概率为， ∵正方形的边长为4， ∴正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为：； 故选：B． 4. （23-24九年级上·广东深圳·期末）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（    ） A．8 B．12 C．0.4 D．0.6 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知概率求数量、由频率估计概率、几何概率 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，理解并熟练运用概率公式是解题关键． 【详解】解：∵经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在阴影部分的概率为， 设阴影部分面积为S，则， 即：， ∴黑色阴影的面积为12， 故选：B． 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（    ） 实验次数 100 200 300 500 800 1000 2000 频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333 A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 B．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5 C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” D．抛一枚硬币，出现反面的概率 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由频率估计概率 【分析】根据利用频率估计概率得到实验的概率在0.33左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行判断． 【详解】解：A、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为，不符合题意； B、抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5的概率为，不符合题意； C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率是，符合题意； D、抛一枚硬币，出现反面的概率为，不符合题意， 故选C． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 6. （20-21九年级上·广东深圳·期末）小明在一次用“频率估计概率”的实验中，把对联“海水朝朝朝朝朝朝朝落，浮云长长长长长长长消”中的每个汉字分别写在同一种卡片上，然后把卡片无字的面朝上，随机抽取一张，并统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能是（　　） A．抽出的是“朝”字 B．抽出的是“长”字 C．抽出的是独体字 D．抽出的是带“氵”的字 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求某事件的频率 【分析】根据利用频率估计概率得到实验的概率在0.2左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行判断． 【详解】根据拆线图知：概率在0.2左右， A：抽出的是“朝”字的概率是，不符合题意； B：抽出的是“长”字的概率是，不符合题意； C：抽出的是独体字的概率是，不符合题意； D：抽出的是带“氵”的字的概率为，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 7. （22-23九年级上·广东深圳·期末）一个不透明的盒子中装有个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验次，其中有次摸到白球，由此估计盒子中的白球大约有 个． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】用频率估计概率的综合应用、分式方程的实际应用 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解． 【详解】解：设盒子中共有白球个， 根据题意，得：， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， ∴估计盒子中的白球大约有个． 故答案为：． 【点睛】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．解题的关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．也考查了分式方程的应用． 8. （21-22九年级上·广东深圳·期末）深圳某商场为吸引顾客，设置了一种游戏，其规则如下：在一个不透明的纸箱中装有红球和白球共10个，这些球除颜色外都相同．凡参与游戏的顾客从纸箱中随机摸出一个球，如果摸到红球就可免费得到一个吉祥物，摸到白球没有吉祥物．据统计，参与这种游戏的顾客共有5000人，商场共发放了吉祥物1500个．则该纸箱中红球的数量约有 个． 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】用频率估计概率的综合应用 【分析】先求出得到吉祥物的频率，再设纸箱中红球的数量为x个，根据题意列出方程，解之即可． 【详解】解：由题意可得： 参与该游戏可免费得到吉祥物的频率为=， 设纸箱中红球的数量为x个， 则， 解得：x=3， 所以估计纸箱中红球的数量约为3个， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 9. （22-23九年级上·广东深圳·期末）在一个不透明的箱子中装有形状、大小都一样的小球，其中红色小球有个，蓝色小球有个． (1)从箱子中任意摸出一个小球，恰好是红色的概率为______ ； (2)从箱子中任意摸出两个小球，两个小球颜色恰好不同的概率为______ ； (3)将摸出的小球全部放回后，又放入个蓝色小球，摇晃均匀后任意摸出一个，记下颜色后放回，经过大量反复地实验，发现摸到蓝色小球的频率约为，则 ______． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】列表法或树状图法求概率、由频率估计概率 【分析】（1）由于是任意摸出一个小球，根据红色小球和蓝色小球的个数，即可得到结论 （2）列表得出所有等可能的结果，从中找出符合条件的结果数，再利用概率公式求解即可 （3）根据概率公式列出方程，解方程即可 【详解】（1）从箱子中任意摸出一个小球，恰好是红色的概率为， 故答案为：； （2）列表如下： 红 红 红 蓝 红 红，红 红，红 蓝，红 红 红，红 红，红 蓝，红 红 红，红 红，红 蓝，红 蓝 红，蓝 红，蓝 红，蓝 由表知，共有种等可能结果，其中两个小球颜色恰好不同的有种结果， 所以两个小球颜色恰好不同的概率为， 故答案为：． （3）根据题意得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了概率公式及用频率估计概率，熟练掌握概率公式及列出等可能事件的个数是解题的关键 游戏公平性 1. （20-21九年级上·广东深圳·期末）在一个不透明的口袋里装有四个分别标有1、2、3、4的小球，它们的形状、大小等完全相同．小明先从口袋里随机不放回地取出一个小球，记下数字为；小红在剩下的三个小球中随机取出一个小球，记下数字为，点坐标记作． （1）画树状图或列表，写出点所有的坐标； （2）计算由、确定的点在函数图象上的概率； （3）小明、小红约定做一个游戏，其规则是：若、满足，则小明胜；若、满足，则小红胜．这个游戏公平吗？说明理由；若不公平，怎么修改规则才对双方公平？ 【答案】（1）见解析，，，，，，，，，，，，；（2）；（3）不公平，见解析，这个游戏规则可改为：若、满足，则小明胜；若、满足，则小红胜 【难度】0.85 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】（1）根据题意画树形图，展示所有可能的12种结果； （2）在题（1）结果中有点满足条件，根据概率公式计算即可； （3）先根据概率公式分别计算出P（小明胜）和P（小红胜），判断游戏规则不公平，然后修改游戏规则，使它们的概率相等． 【详解】解：（1）画树状图为： 共有12种等可能的结果数，它们是：，，，，，，，，，，，． （2）点在函数图象上， ∴点在函数图象上的概率； （3）这个游戏不公平．理由如下： （小明胜），（小红胜）， ∵（小明胜）（小红胜）． ∴这种游戏方案设计对双方不公平． 这个游戏规则可改为：若、满足，则小明胜；若、满足，则小红胜． 【点睛】本题考查了关于游戏公平性的问题：先利用图表或树形图展示所有可能的结果数，然后计算出两个事件的概率，若它们的概率相等，则游戏公平；若它们的概率不相等，则游戏不公平． 2. （18-19九年级·广东深圳·期末）有3张正面分别写有数字，0，1的卡片，它们的背面完全相同，现将这3张卡片背面朝上洗匀，小明先从中任意抽出一张卡片记下数字为x；小亮再从剩下的卡片中任意取出一张记下数字为y，记作． 用列表或画树状图的方法列出所有可能的点P的坐标； 若规定：点在第二象限小明获胜；点在第四象限小亮获胜，游戏规则公平吗？ 【答案】（1）见解析；（2）此游戏规则公平，见解析. 【难度】0.85 【知识点】列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】（1）通过列表展示所有6种等可能情况； （2）利用第二、四象限的点的坐标特点得到对应的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：根据题意，列表如下： 1 0 1 0 一共有6种等可能情况； 由表知，点P在第二象限有1种结果，在第四象限的有1种结果， 小明获胜的概率为，小亮获胜的概率为， 因此此游戏规则公平． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 3. （22-23九年级·广东深圳·期末）小王和小刘两人在玩转盘游戏时，游戏规则：同时转动A，B两个转盘，当两转盘停止后，若指针所指两个区域的数字之和为2的倍数，则小王获胜；若指针所指两个区域的数字之积为2的倍数，则小刘获胜，如果指针落在分割线上，则视为无效，需重新转动转盘． （1）请用列表或画树状图的方法表示所有可能的结果． （2）这个游戏规则对双方公平吗？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）不公平，理由见解析 【难度】0.85 【知识点】列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】（1）根据列表法求得所有可能结果； （2）根据列表分别求得小王和小刘获胜的概率进而可得结论 【详解】（1）列表如下 1 2 3 1 和为2，积为1 和为3，积为2 和为4，积为3 2 和为3，积为2 和为4，积为4 和为5，积为6 （2）不公平，理由如下，根据列表可知，共有6种等可能情形，其中和为2的倍数有3种情形，小王获胜的概率为； 积为2的倍数有4种情形，小刘获胜的概率为 两者概率不一致，故不公平 【点睛】本题考查了概率的应用，列表法求概率是解题的关键． 4. （19-20九年级·广东深圳·期末）小明和小亮玩一个游戏：取三张大小、质地都相同的卡片，上面分别标有数字（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和． (1)请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为的概率． (2)如果和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．你认为这个游戏规则对双方公平吗？做出判断，并说明理由． 【答案】(1)； (2)这个游戏规则对双方不公平，理由见解析． 【难度】0.65 【知识点】列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】（）列出表格，根据表格即可求解； （）分别求出和为奇数和偶数的概率即可判断求解； 本题考查了用树状图或列表法求概率，游戏的公平性，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】（1）解：列表如下： 由表可知，共有种等结果，其中和为的结果有种， ∴这两数和为的概率为； （2）解：这个游戏规则对双方不公平，理由如下： 由表可得，，， ∵， ∴这个游戏规则对双方不公平． 统计与概率综合 1. （23-24九年级上·广东深圳·期末）我校开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： (1)本次被调查的学生有_______名，补全条形统计图； (2)扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是_______； (3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或面树状图法分析甲和乙同学同时被选中的概率． 【答案】(1)本次被调查的学生人数为名；补全条形统计图见解析； (2)； (3)甲和乙同学同时被选中的概率为． 【难度】0.65 【知识点】列表法或树状图法求概率、画条形统计图、求扇形统计图的圆心角、条形统计图和扇形统计图信息关联 【分析】此题考查了条形统计图和扇形统计图以及概率公式的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键，理解条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （）根据篮球的人数和占所占的百分比求出总人数；用总人数乘以足球所占百分比，即可求出足球的人数，从而补全统计图； （）用排球的人数除以总人数再乘以360°即可求出扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数的值； （）根据题意先画出树状图得出所有等可能的情况数和同时选中甲和乙的情况数，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】（1）本次被调查的学生人数为（名）， 选择“足球”的人数为（名），补全条形统计图如下： （2）扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是： （3）画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有种， ∴（甲和乙同学同时被选中） ， 答：甲和乙同学同时被选中的概率为． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）“此生无悔入华夏，来世再做中国人！”自疫情暴发以来，我国成功地研发出了多种“新冠”疫苗，某小区管理人员对小区居民进行了抽样调查，按接种情况可分如下四类：A类——接种了只需要注射一针的疫苗，B类——接种了需要注射二针，且二针之间要间隔一定时间的疫苗；C类——接种了要注射三针；D类——还没有接种．图1与图2是根据此次调查得到的统计图（不完整），请根据统计图回答下列问题：    (1)此次抽样调查的人数是 人； (2) ； ； (3)为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集2名志愿宣传者，现有3男2女共5名居民报名，求恰好抽到一男和一女的概率是多少？ 【答案】(1)200 (2)40，30 (3) 【难度】0.65 【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率 【分析】（1）用A类人数除以对应的百分比即可得到抽样调查的人数； （2）用B类人数除以抽样调查的人数即可得到B类人数对应的百分比，即可得到m的值，用C类人数的百分比乘以抽样调查的人数即可得到n的值； （3）列出表格，用满足题意的情况数除以总的情况数即可得到答案． 【详解】（1）解：（人）， 故答案为：200； （2）解：B类人数对应的百分比为：， ∴， C类人数为：， ∴， 故答案为：40，30； （3）列表如下： 男1 男2 男3 女1 女2 男1 男2，男1 男3，男1 女1，男1 女2，男1 男2 男1，男2 男3，男2 女1，男2 女2，男2 男3 男1，男3 男2，男3 女1，男3 女2，男3 女1 男1，女1 男2，女1 男3，女1 女2，女1 女2 男1，女2 男2，女2 男3，女2 女1，女2 共有20种等可能的结果，恰好抽到一男和一女的有12种， ∴恰好抽到一男一女的概率为． 【点睛】此题考查了树状图或列表法求概率、条形统计图和扇形统计图信息关联等知识，读懂题意和熟练掌握树状图或列表法求概率是解题的关键． 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）为了解班级学生参加课后服务的学习效果，张老师对本班部分学生进行了为期一个月的追踪调查，他将调查结果分为四类：A：很好；：较好；：一般；D：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题： (1)此次调查的总人数为__________人； (2)条形统计图缺少组女生和组男生的人数，请将它补充完整； (3)该校九年级共有学生1000名，请你估计“达标”的共有___________人． (4)为了共同进步，张老师准备从被调查的A类和类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习．请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是相同性别的概率． 【答案】(1)20； (2)见详解 (3)900 (4) 【难度】0.65 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、列表法或树状图法求概率、条形统计图和扇形统计图信息关联 【分析】（1）根据A等级的人数和所占的百分比即可得出答案； （2）用总人数分别乘“一般”和“不达标”所占的百分比求出C、D类的男女生人数和，然后求出C等级的女生和D等级的男生，最后补全统计图即可； （3）用总人数×达标人数比例即可求解； （4）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】（1）解：调查的总人数为：（人）， 故答案为：20； （2）， （人）， D等级的男生人数有：（人）， C等级的人数有：（人）， C等级的女生人数有：（人）， 补全统计图如下： （3）（人）， 故答案为：900； （4）由题意画树形图如下： 从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选两位同学恰好是相同性别的结果共有3种． 所以． 【点睛】此题考查条形统计图和扇形统计图，用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．掌握概率的求解公式：概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 4. （23-24九年级上·广东深圳·期末）某学校在推进新课改的过程中，开设的体育社团活动课有：A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了如图所示的两幅不完整的统计图． (1)则该班的总人数为______人，其中学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数是______度； (2)补全条形统计图； (3)该班班委4人中，2人选修篮球，1人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中选2人了解他们对体育社团活动课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率． 【答案】(1)50，72 (2)见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、列表法或树状图法求概率、求扇形统计图的圆心角、根据概率公式计算概率 【分析】（1）利用“选A：篮球”的学生人数除以其所占的百分比即可求得该班学生的总人数，再利用学生选D“羽毛球”的人数除以总人数，再乘以，即可求得结果； （2）利用选足球的学生的百分比乘以总人数求得选足球的人数，再利用总人数减去其他课程的人数求得选乒乓球的学生人数，即可补全条形统计图； （3）画出树状图可得共有12种等可能的情况，其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的情况有4种，再利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得：该班的总人数为：（人）， 学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数为：， 故答案为：50；72； （2）解：由题意可得： 选“B：足球”的学生人数为：（人）， 选“E：乒乓球”的学生人数为：（人） 补全条形统计图如下； （3）解：画树状图如下： 共有12种等可能的情况，其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的情况有4种； ∴选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率为． 【点睛】本题考查用样本估计总体、画条形统计图、求扇形统计图的圆心角、用列表法或树状图求概率及概率公式，熟练掌握用列表法或树状图求概率及概率公式是解题的关键． 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）为了解学生一周劳动情况，我市某校随机调查了部分学生的一周累计劳动时间，将他们一周累计劳动时间t（单位：时）划分为A：，B：，C：，D：四个组，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所给信息解答下列问题： (1)这次抽样调查共抽取_____________人，条形统计图中的_____________； (2)在扇形统计图中，求B组所在扇形圆心角的度数，并将条形统计图补充完整； (3)已知该校有1300名学生，根据调查结果，请你估计该校一周累计劳动时间达到3小时及3小时以上的学生共有多少人？ (4)学校准备从一周累计劳动时间较长的两男两女四名学生中，随机抽取两名学生为全校学生介绍劳动体会，请用列表法或画树状图法求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)100；42 (2)72°；条形统计图见解析 (3)910； (4) 【难度】0.65 【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联、求扇形统计图的圆心角、由样本所占百分比估计总体的数量、列表法或树状图法求概率 【分析】（1）用D组的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用调查的总人数乘以C组人数所占的百分比得到m的值； （2）用360°乘以B组人数所占的百分比得到B组所在扇形圆心角的度数，再计算出B组人数，然后补全条形统计图； （3）用1300乘以样本中C组和D组的人数所占百分比的和即可； （4）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】（1）解：这次抽样调查的总人数为（人）， 所以； 故答案为：100；42； （2）解：B组所在扇形圆心角的度数为； B组人数为（人）， 条形统计图补充完整为： （3）解：（人）， 所以估计该校一周累计劳动时间达到3小时及3小时以上的学生共有910人； （4）解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8， 所以恰好抽取到一名男生和一名女生的概率． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图． 6. （22-23九年级上·广东深圳·期末）为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出上面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题： (1)本次共调查了______名学生；并将条形统计图补充完整； (2)C组所对应的扇形圆心角为_______度； (3)若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是__________； (4)现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生．要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率． 【答案】(1)40，图见解析 (2)72 (3)560 (4) 【难度】0.65 【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率、由样本所占百分比估计总体的数量、画条形统计图 【分析】（1）由A组人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去A、B、D人数求出C组人数即可补全图形； （2）用360°乘以C组人数所占比例即可； （3）总人数乘以样本中B组人数所占比例即可； （4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）本次调查总人数为（名）， C组人数为（名）， 补全图形如下： 故答案为：40； （2）， 故答案为：72； （3）（人）， 故答案为：560； （4）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好是1名男生与1名女生的结果共有6种， ∴选出的2名学生恰好是1名男生与1名女生的概率为． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体及用列表法或树状图法求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 7. （22-23九年级上·广东深圳·期末）某工厂进行厂长选拔，从中抽出一部分人进行筛选，其中有“优秀”，“良好”，“合格”，“不合格”． (1)本次抽查总人数为 ，“合格”人数的百分比为 ． (2)补全条形统计图． (3)扇形统计图中“不合格人数”的度数为 ． (4)在“优秀”中有甲乙丙三人，现从中抽出两人，则刚好抽中甲乙两人的概率为 ． 【答案】(1)50人，； (2)见解析 (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率、画条形统计图、求扇形统计图的圆心角 【分析】（1）由优秀人数及其所占百分比可得总人数，根据百分比之和为1可得合格人数所占百分比； （2）总人数乘以不合格人数所占百分比求出其人数，从而补全图形； （3）用乘以样本中“不合格人数”所占百分比即可得出答案； （4）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：本次抽查的总人数为（人， “合格”人数的百分比为， 故答案为：50人，； （2）解：不合格的人数为：； 补全图形如下： （3）解：扇形统计图中“不合格”人数的度数为， 故答案为：； （4）解：列表如下： 甲 乙 丙 甲 （乙，甲） （丙，甲） 乙 （甲，乙） （丙，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） 由表知，共有6种等可能结果，其中刚好抽中甲乙两人的有2种结果， 所以刚好抽中甲乙两人的概率为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率、扇形统计图与条形统计图的关联，读懂统计图中的信息、画出树状图或列表是解题的关键． 8. （23-24九年级上·广州深圳·期末）某校在开展“网络安全知识教育周”期间，在八年级中随机抽取了20名学生分成甲、乙两组，每组各10人，进行“网络安全”现场知识竞赛．把甲、乙两组的成绩进行整理分析（满分100分，竞赛得分用x表示：为网络安全意识非常强，为网络安全意识强，为网路安全意识一般）．收集整理的数据制成如下两幅统计图： 分析数据： 平均数 中位数 众数 甲组 a 80 80 乙组 83 b c 根据以上信息回答下列问题： (1)填空：_______，_______，_________； (2)已知该校八年级有500人，估计八年级网络安全意识非常强的人数一共是多少？ (3)现在准备从甲乙两组满分人数中抽取两名同学参加校际比赛，求抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率． 【答案】(1)83，85，70 (2)200人 (3) 【难度】0.65 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、频数分布直方图、求众数、列表法或树状图法求概率 【分析】（1）根据平均数，中位数与众数的含义分别求解即可； （2）由500乘以得分为所占的百分比即可得到答案； （3）记甲组满分的同学为A，乙组满分的两位同学分别为B，C，再利用列表的方法得到所有的等可能的情况有6种，符合条件的有4种，从而可得答案． 【详解】（1）解：甲组的平均数为：（分）， 乙组10个数据分别为：70，70，70，70，80，90，90，90，100，100， 排在第5个，第6个分别为：80，90， 所以中位数（分）， 而70出现的次数最多，所以众数（分）， 故答案为：83，85，70； （2）由题意得：（人）， 所以八年级网络安全意识非常强的人数一共有200人． （3）记甲组满分的同学为A，乙组满分的两位同学分别为B，C， 列表如下： A B C A A，B A，C B B，A B，C C C，A C，B 所以所有的等可能的情况有6种，符合条件的有4种， 所以抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为 【点睛】本题考查的是频数直方图，折线图，平均数，众数，中位数的含义，利用样本估计总体，利用列表或画树状图求解简单随机事件的概率，熟练的掌握统计与概率的基础知识是解本题的关键． 9. （23-24九年级上·广州深圳·期末）河南某中学准备在感恩节向全校学生征集书画作品，美术田老师从全校随机抽取了四个班级记作A、B、C、D，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．    (1)田老师抽查的四个班级共征集到作品多少件？ (2)请把图2的条形统计图补充完整． (3)若全校参展作品中有五名同学获奖，其中有二名男生、三名女生、现在要在其中抽三名同学去参加学校书画座谈会，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一名男生、两名女生的概率． 【答案】(1)件 (2)补图见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】由扇形统计图求总量、列表法或树状图法求概率、画条形统计图 【分析】用B班的人数除以该班的作品所占的比例即可; 计算出C班的作品数，再补全条形统计图即可; 恰好抽中一名男生、两名女生的概率，即为不参加学校书画座谈会的获奖选手为一名男生、一名女生的概率.画树状图，共有种等可能的结果，恰好一名男生、一名女生不参加学校书画座谈会的结果有种，再由概率公式求解即可. 【详解】（1）(件), 即田老师抽查的四个班级共征集到作品件； （2）班级的作品数为： (件), 把图2的条形统计图补充完整如下：    （3）恰好抽中一名男生、两名女生的概率，即为不参加学校书画座谈会的获奖选手为一名男生、一名女生的概率． 不参加学校书画座谈会的获奖选手情况画树状图如下：    共有种等可能的结果，恰好一名男生、一名女生不参加学校书画座谈会的结果有种， ∴恰好抽中一名男生、两名女生的概率为 【点睛】此题考查的是用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件； 解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验.用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比.也考查了条形统计图和扇形统计图. 10. （23-24九年级上·广州深圳·期末）某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展．学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？（要求必须选修一门且只能选修一门）”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：请结合上述信息，解答下列问题： (1)共有_______名学生参与了本次问卷调查； (2)“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是_______度； (3)小刚和小强分别从“礼仪”“陶艺”“编程”这三门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率． 【答案】(1) (2) (3)小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为 【难度】0.85 【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率、求扇形统计图的圆心角 【分析】（1）用“礼仪”的人数除以占比得到总人数； （2）用“陶艺”的人数除以总人数再乘以即可求解； （3）用画树状图法求得概率即可求解． 【详解】（1）解：（人） 故答案为：． （2）“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是， 故答案为：． （3）把“礼仪”“陶艺”“编程”三门校本课程分别记为A、B、C 共有9种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有3种， ∴小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，用列表法或画树状图法求概率；列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比．能对图表信息进行具体分析和熟练掌握概率公式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 概率 求概率（包括列表法、树状图法求概率） 1. （22-23九年级上·广州深圳·期末）从甲、乙、丙三名同学中随机抽取两名同学去参加义务劳动，则甲与乙恰好被选中的概率是（　　） A． B． C． D． 2. （23-24九年级上·广州深圳·期末）将长度为8厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米．如果截成的三段木棍长度分别相同算作同一种截法（如：5，2，1和1，5，2），那么截成的三段木棍能构成三角形的概率是 ． 3. （23-24九年级上·广州深圳·期末）如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了白色和红色两个区域，任意转动转盘一次， 当转盘停止转动时（若指针停在边界处，则重新转动转盘），指针落在红色区域内的概率是（   ） A． B． C． D． 4. （23-24九年级上·广东深圳·期末）学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°．同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．若小赵同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是（　　） A． B． C． D． 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（　　　） A． B． C． D． 6. （19-20九年级上·广东深圳·期末）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“绿”“水”“山”“青”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先找拌均匀再摸球． (1)若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“绿”的概率为多少？ (2)甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图的方法，求出甲取出的两个球上的汉字恰能组成“绿水”或“青山”的概率P． 7. （18-19九年级上·广东深圳·期末）某同学报名参加学校秋季运动会，有以下 5 个项目可供选择：径赛项目：100m、200m、1000m（分别用 A1、A2、A3 表示）；田赛项目：跳远，跳高（分别用 T1、T2 表示）． （1）该同学从 5 个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率 P 为 ； （2）该同学从 5 个项目中任选两个，求恰好是一个径赛项目和一个田赛项目的概率 P1，利用列表法或树状图加以说明； （3）该同学从 5 个项目中任选两个，则两个项目都是径赛项目的概率 P2 为 ． 8. （23-24九年级上·广东深圳·期末）深圳蕴藏丰富的旅游文化资源．为促进深港两地学生交流，某校开展“美丽深圳，深港同行”主题活动，景点有三个：A．梧桐烟云，B．莲花春早，C．梅沙踏浪．每位参加交流的学生都可以从中随机选择一个景点． (1)参加此次交流活动的小军选择的景点为“梧桐烟云”的概率是　　　　； (2)请用列表或画树状图的方法，求小明和小颖选择的景点都是“莲花春早”的概率． 9. （22-23九年级上·广东深圳·期末）小明的口袋中有5把相似的钥匙，其中只有2把钥匙能打开教室前门锁，但他忘了是哪两把钥匙，于是小明决定随机地从中选一把去逐一试开（不放回）． (1)小明从口袋中随机摸出一把钥匙就能打开教室前门锁的概率是 　 　； (2)请用树状图或列表等方法，求出小明至多试开两次就能打开教室前门锁的概率． 10. （22-23九年级上·广东深圳·期末）某医院计划选派护士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，其中甲是共青团员，其余3人均是共产党员．医院决定用随机抽取的方式确定人选． (1)随机抽取1人，甲恰好被抽中的概率是______； (2)若需从这4名护士中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护士都是共产党员的概率． 11. （19-20九年级上·广东深圳·期末）深圳国际马拉松赛事设有A“全程马拉松”，B“半程马拉松”，C“嘉年华马拉松”三个项目，小智和小慧参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到三个项目组． (1)小智被分配到A“全程马拉松”项目组的概率为　 　． (2)用树状图或列表法求小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的概率． 12. （22-23九年级上·广东深圳·期末）一个不透明的口袋里装有三个小球，分别标有汉字“爱”、“祖”、“国”，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先摇均匀． (1)若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“爱”的概率是__________． (2)从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉字能组成“祖国”的概率． 频率估计概率 1. （19-20九年级上·广东深圳·期末）某人从一袋黄豆中取出25粒染成蓝色后放回袋中并混合均匀，接着抓出100粒黄豆，数出其中有5粒蓝色的黄豆，则估计这袋黄豆约有（　　） A．380粒 B．400粒 C．420粒 D．500粒 2. （20-21九年级上·广东深圳·期末）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是（    ） A． B． C． D． 3. （23-24九年级上·广东深圳·期末）小鄂在数学书中看到了斐波那契曲线，于是将曲线画在了纸上小明看到后想计算阴影部分面积于是他们决定在纸上随机戳点，并记录数据于下表 总点数 10 20 40 100 阴影部分点数 4 11 23 47 若正方形的边长为4，则阴影部分面积约为（    ） A．4.7 B．7.52 C．7.98 D．8 4. （23-24九年级上·广东深圳·期末）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（    ） A．8 B．12 C．0.4 D．0.6 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（    ） 实验次数 100 200 300 500 800 1000 2000 频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333 A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 B．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5 C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” D．抛一枚硬币，出现反面的概率 6. （20-21九年级上·广东深圳·期末）小明在一次用“频率估计概率”的实验中，把对联“海水朝朝朝朝朝朝朝落，浮云长长长长长长长消”中的每个汉字分别写在同一种卡片上，然后把卡片无字的面朝上，随机抽取一张，并统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能是（　　） A．抽出的是“朝”字 B．抽出的是“长”字 C．抽出的是独体字 D．抽出的是带“氵”的字 7. （22-23九年级上·广东深圳·期末）一个不透明的盒子中装有个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验次，其中有次摸到白球，由此估计盒子中的白球大约有 个． 8. （21-22九年级上·广东深圳·期末）深圳某商场为吸引顾客，设置了一种游戏，其规则如下：在一个不透明的纸箱中装有红球和白球共10个，这些球除颜色外都相同．凡参与游戏的顾客从纸箱中随机摸出一个球，如果摸到红球就可免费得到一个吉祥物，摸到白球没有吉祥物．据统计，参与这种游戏的顾客共有5000人，商场共发放了吉祥物1500个．则该纸箱中红球的数量约有 个． 9. （22-23九年级上·广东深圳·期末）在一个不透明的箱子中装有形状、大小都一样的小球，其中红色小球有个，蓝色小球有个． (1)从箱子中任意摸出一个小球，恰好是红色的概率为______ ； (2)从箱子中任意摸出两个小球，两个小球颜色恰好不同的概率为______ ； (3)将摸出的小球全部放回后，又放入个蓝色小球，摇晃均匀后任意摸出一个，记下颜色后放回，经过大量反复地实验，发现摸到蓝色小球的频率约为，则 ______． 游戏公平性 1. （20-21九年级上·广东深圳·期末）在一个不透明的口袋里装有四个分别标有1、2、3、4的小球，它们的形状、大小等完全相同．小明先从口袋里随机不放回地取出一个小球，记下数字为；小红在剩下的三个小球中随机取出一个小球，记下数字为，点坐标记作． （1）画树状图或列表，写出点所有的坐标； （2）计算由、确定的点在函数图象上的概率； （3）小明、小红约定做一个游戏，其规则是：若、满足，则小明胜；若、满足，则小红胜．这个游戏公平吗？说明理由；若不公平，怎么修改规则才对双方公平？ 2. （18-19九年级·广东深圳·期末）有3张正面分别写有数字，0，1的卡片，它们的背面完全相同，现将这3张卡片背面朝上洗匀，小明先从中任意抽出一张卡片记下数字为x；小亮再从剩下的卡片中任意取出一张记下数字为y，记作． 用列表或画树状图的方法列出所有可能的点P的坐标； 若规定：点在第二象限小明获胜；点在第四象限小亮获胜，游戏规则公平吗？ 3. （22-23九年级·广东深圳·期末）小王和小刘两人在玩转盘游戏时，游戏规则：同时转动A，B两个转盘，当两转盘停止后，若指针所指两个区域的数字之和为2的倍数，则小王获胜；若指针所指两个区域的数字之积为2的倍数，则小刘获胜，如果指针落在分割线上，则视为无效，需重新转动转盘． （1）请用列表或画树状图的方法表示所有可能的结果． （2）这个游戏规则对双方公平吗？请说明理由． 4. （19-20九年级·广东深圳·期末）小明和小亮玩一个游戏：取三张大小、质地都相同的卡片，上面分别标有数字（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和． (1)请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为的概率． (2)如果和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．你认为这个游戏规则对双方公平吗？做出判断，并说明理由． 统计与概率综合 1. （23-24九年级上·广东深圳·期末）我校开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： (1)本次被调查的学生有_______名，补全条形统计图； (2)扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是_______； (3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或面树状图法分析甲和乙同学同时被选中的概率． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）“此生无悔入华夏，来世再做中国人！”自疫情暴发以来，我国成功地研发出了多种“新冠”疫苗，某小区管理人员对小区居民进行了抽样调查，按接种情况可分如下四类：A类——接种了只需要注射一针的疫苗，B类——接种了需要注射二针，且二针之间要间隔一定时间的疫苗；C类——接种了要注射三针；D类——还没有接种．图1与图2是根据此次调查得到的统计图（不完整），请根据统计图回答下列问题：    (1)此次抽样调查的人数是 人； (2) ； ； (3)为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集2名志愿宣传者，现有3男2女共5名居民报名，求恰好抽到一男和一女的概率是多少？ 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）为了解班级学生参加课后服务的学习效果，张老师对本班部分学生进行了为期一个月的追踪调查，他将调查结果分为四类：A：很好；：较好；：一般；D：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题： (1)此次调查的总人数为__________人； (2)条形统计图缺少组女生和组男生的人数，请将它补充完整； (3)该校九年级共有学生1000名，请你估计“达标”的共有___________人． (4)为了共同进步，张老师准备从被调查的A类和类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习．请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是相同性别的概率． 4. （23-24九年级上·广东深圳·期末）某学校在推进新课改的过程中，开设的体育社团活动课有：A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了如图所示的两幅不完整的统计图． (1)则该班的总人数为______人，其中学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数是______度； (2)补全条形统计图； (3)该班班委4人中，2人选修篮球，1人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中选2人了解他们对体育社团活动课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率． 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）为了解学生一周劳动情况，我市某校随机调查了部分学生的一周累计劳动时间，将他们一周累计劳动时间t（单位：时）划分为A：，B：，C：，D：四个组，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所给信息解答下列问题： (1)这次抽样调查共抽取_____________人，条形统计图中的_____________； (2)在扇形统计图中，求B组所在扇形圆心角的度数，并将条形统计图补充完整； (3)已知该校有1300名学生，根据调查结果，请你估计该校一周累计劳动时间达到3小时及3小时以上的学生共有多少人？ (4)学校准备从一周累计劳动时间较长的两男两女四名学生中，随机抽取两名学生为全校学生介绍劳动体会，请用列表法或画树状图法求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率． 6. （22-23九年级上·广东深圳·期末）为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出上面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题： (1)本次共调查了______名学生；并将条形统计图补充完整； (2)C组所对应的扇形圆心角为_______度； (3)若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是__________； (4)现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生．要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率． 7. （22-23九年级上·广东深圳·期末）某工厂进行厂长选拔，从中抽出一部分人进行筛选，其中有“优秀”，“良好”，“合格”，“不合格”． (1)本次抽查总人数为 ，“合格”人数的百分比为 ． (2)补全条形统计图． (3)扇形统计图中“不合格人数”的度数为 ． (4)在“优秀”中有甲乙丙三人，现从中抽出两人，则刚好抽中甲乙两人的概率为 ． 8. （23-24九年级上·广州深圳·期末）某校在开展“网络安全知识教育周”期间，在八年级中随机抽取了20名学生分成甲、乙两组，每组各10人，进行“网络安全”现场知识竞赛．把甲、乙两组的成绩进行整理分析（满分100分，竞赛得分用x表示：为网络安全意识非常强，为网络安全意识强，为网路安全意识一般）．收集整理的数据制成如下两幅统计图： 分析数据： 平均数 中位数 众数 甲组 a 80 80 乙组 83 b c 根据以上信息回答下列问题： (1)填空：_______，_______，_________； (2)已知该校八年级有500人，估计八年级网络安全意识非常强的人数一共是多少？ (3)现在准备从甲乙两组满分人数中抽取两名同学参加校际比赛，求抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率． 9. （23-24九年级上·广州深圳·期末）河南某中学准备在感恩节向全校学生征集书画作品，美术田老师从全校随机抽取了四个班级记作A、B、C、D，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．    (1)田老师抽查的四个班级共征集到作品多少件？ (2)请把图2的条形统计图补充完整． (3)若全校参展作品中有五名同学获奖，其中有二名男生、三名女生、现在要在其中抽三名同学去参加学校书画座谈会，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一名男生、两名女生的概率． 10. （23-24九年级上·广州深圳·期末）某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展．学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？（要求必须选修一门且只能选修一门）”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：请结合上述信息，解答下列问题： (1)共有_______名学生参与了本次问卷调查； (2)“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是_______度； (3)小刚和小强分别从“礼仪”“陶艺”“编程”这三门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$