专题02 一元二次方程及应用（9基础题型+2提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（深圳专用）

专题02 一元二次方程及应用 一元二次方程的定义及方程的解 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）下列方程中，不是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程．逐个判断即可得到结果． 【详解】A：符合一元二次方程的定义，故A选项不符合题意； B：符合一元二次方程的定义，故B选项不符合题意； C：，整理得，符合一元二次方程的定义，故C选项不符合题意； D：不是整式方程，故不符合一元二次方程的定义，故D选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）已知关于的方程（1）（2）（3）（4），其中一元二次方程的个数为（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：（1）ax2+x+1=0中a可能为0，故不是一元二次方程； （2）符合一元二次方程的定义，故是一元二次方程； （3），去括号合并后为，是一元二次方程； （4）x2=0，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程； 所以是一元二次方程的有三个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，即只含有一个未知数且未知数的次数为2的整式方程，注意如果是字母系数的方程必须满足二次项的系数不等于0才可以． 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）已知关于的x方程有一个根是2，则k的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的解 【分析】把代入到方程中得到关于k的方程，解方程即可． 【详解】解：∵关于的x方程有一个根是2， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 4. （21-22九年级上·广东深圳·期末）关于x的方程（a2＋1）x2＋2ax﹣6＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（    ） A．a≠±1 B．a≠0 C．a 为任何实数 D．不存在 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：∵关于x的方程（a2+1）x2+2ax﹣6＝0是一元二次方程，a2+1不可能为0， ∴a 为任何实数． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，理解一元二次方程的定义是解题的关键． 5. （21-22九年级上·广东深圳·期末）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根，则m的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】一元二次方程的解 【分析】把x=1代入方程x2+mx-3=0，得出一个关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：把x=1代入方程x2+mx-3=0得：1+m-3=0， 解得：m=2． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，关键是能根据题意得出一个关于m的方程． 6. （22-23九年级上·广东深圳·期末）把一元二次方程化为一般形式，若二次项系数是1，则常数项是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的一般形式 【分析】先将方程左边展开，再移项，化成一般式，即可得出常数项． 【详解】解：∵ ∴， ∴常数项是， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的一般式，熟练掌握，叫一元二次方程的一般式，其中叫二次项，叫一次项，c是常数项是解题的关键． 7. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如果是关于x的一元二次方程的一个实数根，那么 ； 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的解 【分析】本题考查二元一次方程的解，理解方程解的意义是解题的关键． 把代入方程得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：把代入方程得， 解得． 故答案为：2． 8. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如果是关于的一元二次方程的一个根，那么 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的解 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值把代入原方程中推出，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9. （23-24九年级上·广东深圳·期末）设α、β是方程x2+2020x﹣2＝0的两根，则（α2+2020α﹣1）（β2+2020β+2）＝ ． 【答案】4 【难度】0.94 【知识点】一元二次方程的解 【分析】将两根代入可得α2+2020α＝2，β2+2020β＝2，然后利用整体代入法即可求出结论． 【详解】∵α、β是方程x2+2020x﹣2＝0的两根， ∴α2+2020α﹣2＝0，β2+2020β﹣2＝0 ∴α2+2020α＝2，β2+2020β＝2 ∴（α2+2020α﹣1）（β2+2020β+2） =（2﹣1）（2+2）＝4． 故答案为4． 【点睛】此题考查的是一元二次方程的解，掌握一元二次方程解的定义是解决此题的关键． 10. （21-22九年级上·广东深圳·期末）把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项． (1)（2x﹣1）（3x＋2）＝x2＋2； (2)． 【答案】(1)5x2+x﹣4＝0，二次项系数为5；一次项系数为1；常数项为﹣4 (2)2x2+6x+1＝0，二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为1 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的一般形式 【分析】根据多项式的乘法化简，再化为一元二次方程的一般形式，进而求得二次项系数、一次项系数以及常数项． 【详解】（1）化简后为5x2+x﹣4＝0，因此二次项系数为5；一次项系数为1；常数项为﹣4； （2）化简后为2x2+6x+1＝0，二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为1． 【点睛】本题考查了多项式的乘法，一元二次方程的一般形式，理解一元二次方程的一般形式是解题的关键．一元二次方程的一般形式是：（是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 一元二次方程解法 1. （23-24九年级上·广东深圳·期末）解方程：． 【答案】，． 【难度】0.85 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】利用公式法求解即可． 【详解】解： ，，， ， ， ∴，． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）按照指定方法解下列方程： （1）（配方法）  （2）（公式法） 【答案】（1）；（2） 【难度】0.65 【知识点】解一元二次方程——配方法、公式法解一元二次方程 【分析】（1）先把1移到方程的右边，并合并，再把二次项系数化为1，然后配方求解即可； （2）先求出∆的值，再利用求根公式求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；             （2）∵， ∴∆=16+12＝28，     ∴， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握配方法、求根公式法是解答本题的关键． 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）用指定方法解方程： (1)（公式法） (2)（配方法） 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】配方法的应用、公式法解一元二次方程 【分析】（1）根据公式法解一元二次方程； （2）先将二次项系数化为1，然后根据配方法解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：， ∵，， ∴， 解得：， （2）解：， ∴， 两边加上，， 即， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 4. （23-24九年级上·广东深圳·期末）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查解一元二次方程： （1）方程移项后运用因式分解法求解即可； （2）方程运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）， ， ， ， ， ∴； （2）， ， ， ∴． 5. （23-24九年级上·广东深圳·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）原方程根据公式法求解即可； （2）原方程利用分解因式法求解． 【详解】（1）方程中，， ∴， ∴， ∴； （2）原方程可变形为， ∴或， 解得． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法和分解因式法解方程的方法是解题的关键． 6. （19-20九年级上·广东深圳·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【难度】0.85 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）根据因式分解法即可求解； （2）先移项，使方程右边为零，然后将方程左边进行因式分解，使分解后的两个一次因式分别为零，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则或， 解得，； （2）解：∵， ∴， 则或， 解得，． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，解题方法多样，关键在于熟练掌握解一元二次方程的步骤，第（2）题要特别注意先进行移项使方程右边为零． 7. （21-22九年级上·广东深圳·期末）解方程： (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【难度】0.85 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）把方程分解为两个因式积的形式，进而可得出结论； （2）利用因式分解法解方程． 【详解】（1）， ， 或， 所以，； （2）， ， 或， 所以，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法，因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 8. （23-24九年级上·广东深圳·期末）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【难度】0.85 【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）根据配方法解一元二次方程即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解： 方程两边同时加上5，即 即， ∴， 解得：， （2）解： ∴， ∴， 解得：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 9. （22-23九年级上·广东深圳·期末）解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，， (2)， 【难度】0.65 【知识点】因式分解法解一元二次方程、解一元二次方程——配方法 【分析】（1）直接用因式分解法即可得到答案； （2）根据完全平方公式展开，利用配方法求解即可得到答案． 【详解】（1）解：因式分解得， ， 即或， 解得：，， ∴原方程解为：，； （2）解：原方程变形可得， ， 配方可得， ， 即， 两边开方得， ， ∴方程的解为：，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是选择适当的方法求解． 10. （22-23九年级上·广东深圳·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【难度】0.65 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）利用因式分解法求解一元二次方程即可； （2）将方程化为一般式，再用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： ， 即， 解得，； （2）解： 即 解得：，． 【点睛】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的求解方法． 11. （22-23九年级上·广东深圳·期末）解方程 (1)； (2) 【答案】(1)，； (2)， 【难度】0.65 【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）根据一元二次方程的解法步骤，利用因式分解法直接求解即可得到答案； （2）根据一元二次方程的解法步骤，采用公式法直接求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得或， 一元二次方程的解为，； （2）解： , ， ， 一元二次方程的解为，． 【点睛】本题考查解一元二次方程的，涉及因式分解法解一元二次方程、公式法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程、公式法解一元二次方程的方法步骤是解决问题的关键． 12. （22-23九年级上·广东深圳·期末）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】因式分解法解一元二次方程、公式法解一元二次方程 【分析】（1）利用因式分解法解答，即可求解； （2）利用公式法解答，即可求解． 【详解】（1）解： ∴， ∴， 解得：； （2）解： ∵， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 13. （22-23九年级上·广东深圳·期末）选用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)原方程无解 (3) 【难度】0.85 【知识点】因式分解法解一元二次方程、公式法解一元二次方程、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】（1）利用开平方的方法解方程即可； （2）利用一元二次方程根的判别式可知方程无解； （3）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴原方程无解； （3）解：∵， ∴， ∴或， 解得． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 配方法及应用 1. （23-24九年级上·广东深圳·期末）用配方法解方程时，配方后正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 【详解】， 两边同时加1，得：，即． 故选：C． 【点睛】此题考查了解一元二次方程—配方法，配方法步骤：（1）将二次项系数化为1；（2）常数项移动方程右边；（3）左右两边都加上一次项系数一半的平方；（4）左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数；（5）开方转化为两个一元一次方程来求解． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， 则，即， ∴，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）一元二次方程经过配方后可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】利用完全平方公式进行配方即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键． 4. （19-20九年级上·广东深圳·期末）下列四种说法： ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ②将2020减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，……，依此类推，直到最后减去余下的，最后的结果是1； ③实验的次数越多，频率越靠近理论概率； ④对于任何实数x、y，多项式的值不小于2．其中正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】配方法的应用、举反例、关于频率与概率关系说法的正误 【分析】画图可判断①；将②转化为算式的形式，求解判断；③是用频率估计概率的考查；④中配成平方的形式分析可得． 【详解】如下图，∠1=∠2，∠1+∠3=180°，即两边都平行的角，可能相等，也可能互补，①错误； ②可用算式表示为：，正确； 实验次数越多，则频率越接近概率，③正确； ∵≥0，≥0 ∴≥2，④正确 故选：C 【点睛】本题考查平行的性质、有理数的计算、频率与概率的关系、利用配方法求最值问题，注意②中，我们要将题干文字转化为算式分析． 一元二次方程的判别式及其应用 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）一元二次方程的根的情况为（    ） A．无实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．不能判定 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】利用判别式，判断其结果的符号即可得出结论． 【详解】解：， 有两个不相等的实数根， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键． 2. （23-24九年级上·广东深圳·期末）若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． 且 B． 且 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元二次方程根的判别式．熟练掌握解一元一次方程，一元二次方程根的判别式是解题的关键． 分是一元一次方程，一元二次方程两种情况求解作答即可． 【详解】解：当时，， 解得，； 当时，关于x的方程有实数根， ∴， 解得，， ∴且； 综上所述，关于x的方程有实数根，则k的取值范围是， 故选：D． 3. （23-24九年级上·广东深圳·期末）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（   ） A．4 B． C． D．2 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． 由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：A． 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）已知关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式等知识点，解题的关键是学会构建不等式组解决问题． 5. （21-22九年级上·广东深圳·期末）已知a、b、c是三个不全为0的实数，那么关于x的方程x2＋（a＋b＋c）x＋a2＋b2＋c2＝0的根的情况是（    ） A．有两个负根 B．有两个正根 C．两根一正一负 D．无实数根 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】先计算出Δ＝（a+b+c）2﹣4（a2+b2+c2）＝﹣3a2﹣3b2﹣3c2+2ab+2bc+2ac，然后进行配方得到Δ＝﹣（a﹣c）2﹣（b﹣c）2﹣（a﹣b）2﹣a2﹣b2﹣c2，再根据a、b、c是三个不全为0的实数，即可判断Δ＜0，从而得到方程根的情况． 【详解】解：∵Δ＝（a+b+c）2﹣4（a2+b2+c2） ＝﹣3a2﹣3b2﹣3c2+2ab+2bc+2ac ＝﹣（a﹣c）2﹣（b﹣c）2﹣（a﹣b）2﹣a2﹣b2﹣c2， 而a、b、c是三个不全为0的实数， ∴（a﹣c）2﹣（b﹣c）2﹣（a﹣b）2﹣≤0，-a2﹣b2﹣c2＜0， ∴Δ＜0， ∴原方程无实数根． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2 + bx +c=0(a、 b、 c为常数，a≠0)的根的判别式△=b2-4ac，当△>0，原方程有两个不相等的实数根；当△=0，原方程有两个相等的实数根；当△< 0，原方程没有实数根；将代数式进行合理变形判断△的正负性是解题的关键． 6. （21-22九年级上·广东深圳·期末）若关于x的二次方程（m﹣1）x2＋2mx＋m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】m＞且m≠1 【难度】0.85 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、求不等式组的解集 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到不等式组：，进而即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+3＝0有两个不相等的实数根， ∴， 解得m＞且m≠1． 故答案为：m＞且m≠1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和判别式，根据定义解不等式是解题的关键． 7. （21-22九年级上·广东深圳·期末）不解方程，判断下列方程的根的情况： (1)2x2＋3x﹣4＝0； (2)ax2＋bx＝0（a≠0）． 【答案】(1)方程有两个不相等的实数根 (2)方程有两个实数根 【难度】0.85 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】分别计算根的判别式，利用根的判别式的符号进行判断即可． 【详解】（1）∵Δ＝32﹣4×2×（﹣4）＝41＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）∵a≠0， ∴方程ax2+bx＝0（a≠0）是一元二次方程， ∵Δ＝（﹣b）2﹣4×a×0＝b2≥0， ∴方程有两个实数根． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 8. （22-23九年级上·广东深圳·期末）解答问题： (1)解方程：． (2)已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．求k的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【难度】0.65 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、解一元二次方程——配方法 【分析】（1）根据配方法可以解答本题； （2）根据根的判别式得到，然后解不等式即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等实数根， ∴， ∴， 解得， ∵方程为一元二次方程， ∴， ∴k的取值范围为且． 【点睛】本题考查解一元二次方程−因式分解法，解题的关键是明确解一元二次方程的方法．同时考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 9. （20-21九年级上·广东深圳·期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）在1，2，4三个数中，取一个合适的m值代入方程，并解这个方程． 【答案】（1）；（2）m=1时， 【难度】0.65 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、公式法解一元二次方程 【分析】（1）根据方程有实数根可得△≥0，列式即可得到结果． （2）根据（1）可得m的取值范围，根据m在1，2，4三个数中即可确定m的值，再将m=1代入计算即可． 【详解】解：(1)∵关于x的一元二次方程(m-2)x2-2x+1=0有实数根， ∴△=(-2)2-4(m-2)=4-4m+8=12-4m． ∵12-4m≥0，m-20 ∴m≤3且m≠2． 故m的取值范围为：m≤3且m≠2． (2)∵m≤3且m≠2， ∴在1，2，4三个数中，只有1符合题意， ∴当m=1时，原方程为-x2-2x+1=0， x1=-1-，x2=-1+． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式应用，根据根的情况列式准确判断参数取值是关键． 10. （18-19九年级上·广东深圳·期末）如图四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题： （1）写出一个“勾系一元二次方程”； （2）求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求面积． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）4 【难度】0.65 【知识点】勾股树（数）问题、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可； （2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论； （3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得的值，根据完全平方公式求得的值，从而可求得面积． 【详解】解：（1）当，，时 勾系一元二次方程为； （2）证明：根据题意，得 △ 即△， 勾系一元二次方程必有实数根； （3）当时，有，即， ，即， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】此类题目要读懂题意，根据题目中所给的材料结合勾股定理和根的判别式解题． 一元二次方程根与系数的关系 1. （20-21九年级上·广东深圳·期末）已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，则，再利用根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是一元二次方程的实数根， ， ， ， ，是一元二次方程的两个实数根， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程的解． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）若是方程的两根，则的值为 ． 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求得答案． 【详解】解：是方程的两根， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）若，是一元二次方程的两个实数根，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得：，进而即可求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握两根之和=，两根之积=是解题的关键． 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）已知关于的x方程有一个根是4，则另一个根为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据根与系数关系直接利用两根之积，可求得另外一个根 【详解】∵关于的x方程有一个根是4，设方程的另外一个根是， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系，熟练运用根与系数关系是解题的关键 5. （19-20九年级上·广东深圳·期末）已知方程的两实数根的平方和为，则k的值为 ． 【答案】3 【难度】0.4 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得出和的值，然后将平方和变形为和的形式，代入便可求得k的值． 【详解】∵，设方程的两个解为 则， ∵两实根的平方和为，即= ∴ 解得：k=3或k=－11 ∵当k=－11时，一元二次方程的△＜0，不符，需要舍去 故答案为：3 【点睛】本题考查根与系数的关系，注意在最后求解出2个值后，有一个值不符需要舍去． 6. （22-23九年级上·广东深圳·期末）已知m,n是方程的两个根，则代数式的值是 ． 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】由m，n是方程x2-x-2=0的两个根知m+n=1，m2-m=2，代入到原式=2（m2-m）-（m+n）计算可得． 【详解】解：∵m，n是方程x2-x-2=0的两个根， ∴m+n=1，m2-m=2， 则原式=2（m2-m）-（m+n） =2×2-1 =4-1 =3， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，，x1x2=. 7. （22-23九年级上·广东深圳·期末）关于x的一元二次方程的两个根分别为和，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再由进行求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根是，， ∴，， ∴． 故答案是： ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． 8. （22-23九年级上·广东深圳·期末）已知关于x的方程的一根为4． (1)求的值． (2)求方程的另一根． 【答案】(1)－7 (2)－1 【难度】0.65 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】（1）把代入方程即可得，进而代入所求代数式即可求解； （2）设方程的另一根为m，利用根与系数的关系即可求解另一根m的值． 【详解】（1）解：把代入得： ∴ ∴ （2）解：设方程的另一根为m 则此时方程的两根分别为4、m ∴ ∴ 即方程的另一根为－1 【点睛】本题考查了求代数式的值，一元二次方程的解以及根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 9. （23-24九年级上·广东深圳·期末）已知：关于x的方程． (1)若方程总有两个实数根，求m的取值范围； (2)若两实数根、满足，求m的值． 【答案】(1)； (2)． 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，解题关键是掌握，是方程的两根时，，． （1）由方程求出判别式即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系，用含代数式表示两根之和及两根之积，由此即可求解． 【详解】（1）解：， ∵方程总有两个实数根， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴，整理得，， ∴解得（舍）或． 10. （23-24九年级上·广东深圳·期末）已知：的两邻边，的长是关于的方程的两个实数根． (1)当为何值时，是菱形？ (2)若的长为3，求的周长． 【答案】(1)的值为8； (2)的周长为． 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了根与系数的关系，平行四边形的性质和菱形的判定与性质． （1）根据菱形的判定得到，再利用根的判别式的意义得到，解得，，然后根据根与系数的关系得到，，从而确定的值； （2）利用根与系数的关系得到，，解方程组得到，然后根据平行四边形的性质求解． 【详解】（1）解：当时，，是菱形， 即，的长是关于的方程的两个相等的实数根， ， 解得，， ，， 的值为8； （2）解：， ，， ， 解得， 的周长． 一元二次方程应用（握手、传播问题） 1. （18-19九年级上·广东深圳·期末）某校九年级（1）班在举行元旦联欢会时，班长觉得快要毕业了，决定临时增加一个节目：班里面任意两名同学都要握手一次．小张同学统计了一下，全班同学共握手了465次．你知道九年级（1）班有多少名同学吗？设九年级（1）班有x名同学，根据题意列出的方程是（　　） A．=465 B．=465 C．x（x﹣1）=465 D．x（x+1）=465 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】因为每位同学都要与除自己之外的（x﹣1）名同学握手一次，所以共握手x（x﹣1）次，由于每次握手都是两人，应该算一次，所以共握手x（x﹣1）÷2次，解此方程即可. 【详解】解：设九年级（1）班有x名同学， 根据题意列出的方程是 =465， 故选A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程在实际生活中的应用，明白两人握手应该只算一次并据此列出方程是解题的关键. 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）我国于12月中旬开始放开新冠疫情管控，经专家推算，每轮传播过程中，1个人可以传播给x个人，经过两轮传播后，共有81人被传染．则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】求得每轮传播的人数，再根据题意，列方程即可． 【详解】解：第一轮传了个人，此时有个人被传染， 第二轮传染了，此时有个人被传染， 则， 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出方程． 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）秋冬季节为流感的高发期，有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，依题意得 1+x+x(1+x)=121 ， 即 (1+x)2=121 ， 解方程得 x1=10 ， x2=−12 （舍去） 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是掌握传播问题的列式方法． 一元二次方程应用（增长率问题） 1. （23-24九年级上·广东深圳·期末）据报道，2020年至2022年深圳市居民年人均可支配收入由万元增长至万元，设这两年人均可支配收入的年平均增长率为x，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设这两年人均可支配收入的年平均增长率为x，根据2020年至2022年人均可支配收入由万元增长至万元，列出方程即可． 【详解】解：设这两年人均可支配收入的年平均增长率为x，根据题意得， ， 故选：A． 2. （23-24九年级上·广东深圳·期末）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据月均下降率是x表示出5月份的售价是解答此题的关键．首先根据3月份售价为23万元，月均下降率是x可得出4月份的售价为万元，5月份的售价为万元，据此根据5月份售价为16万元可列出方程，进而可得出答案． 【详解】解：∵3月份售价为23万元，月均下降率是x，5月份售价为16万元， ∴． 故选：B． 3. （23-24九年级上·广东深圳·期末）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，年某款新能源汽车销售量为18万辆，销售量逐年增加，年预估销售量为万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率，可设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】设这款新能源汽车的年平均增长率为x，由题意得等量关系：年销售量×（1＋增长率）年销量，根据等量关系列出方程． 【详解】解：设年平均增长率为x， 由题意，得：， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程． 4. （19-20九年级上·广东深圳·期末）某商品原价为100元，第一次涨价，第二次在第一次的基础上又涨价，设平均每次增长的百分数为x，那么x应满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】设平均每次增长的百分数为x，根据“某商品原价为100元，第一次涨价，第二次在第一次的基础上又涨价”，得到商品现在的价格，根据“某商品原价为100元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为x”，得到商品现在关于x的价格，整理后即可得到答案． 【详解】解：设平均每次增长的百分数为x， ∵某商品原价为100元，第一次涨价，第二次在第一次的基础上又涨价， ∴商品现在的价格为：， ∵某商品原价为100元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为x， ∴商品现在的价格为：， ∴， 整理得：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键． 5. （20-21九年级上·广东深圳·期末）疫情促进了快递行业高速发展，某家快递公司年月份与月份完成投递的快递总件数分别为万件和万件，设该快递公司月到月投递总件数的月平均增长率为，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】利用7月份完成投递的快递总件数=5月份完成投递的快递总件数×（1+x）2，进而得出等式求出答案． 【详解】解：设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x， 根据题意，得100（1+x）2=144， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确用未知数表示出七月份完成投递的快递总件数是解题的关键． 一元二次方程应用（销售问题） 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查，若每千克涨价1元，则日销售量减少20千克，如果超市要保证每天盈利6000元，则每千克应该涨价（    ） A．15元或20元 B．10元或15元 C．10元或20元 D．5元或10元 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】设每千克应该涨价元，根据题意，列一元二次方程，求解即可． 【详解】解：设每千克应该涨价元，由题意可得： ， 解得或 即每千克应该涨价5元或10元． 故选：D 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出方程． 2. （23-24九年级上·广东深圳·期末）某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本．为了吸引消费者，商家决定采取降价措施．经试销统计发现，如果画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本．设这种画册每本降价x元． (1)平均每天的销售量为　　　　本（用含x的代数式表示）； (2)商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2240元，且要求每本售价不低于55元，求每本画册应降价多少元？ 【答案】(1) (2)每本画册应降价4元 【难度】0.65 【知识点】列代数式、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）根据“画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本”列式即可． （2）根据“这种画册的销售利润平均每天达到2240元”列出方程，即每本画册的利润乘以销售量等于总利润，再求解，把不符合题意的舍去； 本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题——利润问题，根据数量关系正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）由题意可知，每天的销售量为本． 故答案为：． （2）由题意可得， ， 整理得， 解得，， ∵要求每本售价不低于55元， ∴符合题意． 故每本画册应降价4元． 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）商店销售某种台灯，平均每天可销售20个，每个盈利44元．调查发现，若每个降价1元，则每天可多售5个．为了减少库存压力，如果每天要盈利1600元，每个台灯应降价多少元？ 【答案】每个台灯应降价36元 【难度】0.65 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】设每个台灯应降价x元，根据利润=单个利润×数量列出方程求解即可． 【详解】解：设每个台灯应降价x元， 由题意得， ∴即， 解得或， 又∵要减少库存压力， ∴， ∴每个台灯应降价36元， 答：每个台灯应降价36元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)写出每日销售量（件）和降价幅度（元）之间的函数关系； (2)若商场每天要获利润元，请计算出每件衬衫应降价多少元？ 【答案】(1)（） (2) 【难度】0.65 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件列等式即可得到答案； （2）根据利润利润单价数量列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得， 且， ∴每日销售量（件）和降价幅度（元）之间的函数关系为：（）； （2）解：由题意可得， ， 解得：， ， ∵尽量减少库存， ∴应该降价元 【点睛】本题考查一次函数解决销售利润问题，一元二次方程解决销售利润问题，解题的关键是找到等量关系式． 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）家具城某门市销售一批实木床，平均每天可售出张，每张盈利元，为扩大销售盈利，该门市决定采取适当的降价措施，但要求每张盈利不少于元，经调查发现．若每张实木床每降价元，则每天可多售出张． (1)若每张实木床降价元，则每天可盈利多少元？ (2)若该门市平均每天盈利元．则每张实木床应降价多少元？ 【答案】(1)1008 (2)10 【难度】0.65 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）根据总利润=单个利润×数量，列出算式求解即可； （2）根据总利润=单个利润×数量，列出方程求解即可； 【详解】（1）解：（元）． 答：每天可盈利1008元． （2）设每张实木床降价元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，每张盈利（元）， 当时，每张盈利（元）， ∵每张盈利不少于元， ∴． 答：每张实木床降价元时，门市每天销售这种实木床可以盈利元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意找出等量关系，列出方程求解． 6. （22-23九年级上·广东深圳·期末）某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个． (1)为减少库存，当这种背包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？ (2)这种背包的销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由． 【答案】(1)当这种青包销售单价为42元时，销售利润是3120元 (2)这种背包的销售利润不可能达到3700元，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）根据总利润每个的利润月均销量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）根据总利润每个的利润月均销量，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出这种书包的销售利润不能达到3700元． 【详解】（1）解：设每个背包的售价为元，则月均销量为个 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：当该这种书包销售单价为42元时，销售利润是3120元． （2）解：依题意，得：， 整理，得：． ， 该方程无解， 这种书包的销售利润不能达到3700元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，找准等量关系，正确列出一元二次方程． 一元二次方程应用（图形问题） 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为尺，下列方程符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，利用勾股定理列方程，解题关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 【详解】解：设门对角线的长为x尺，由题意得： ， 故选：A． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，有一面积为的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长），另三边用竹篱笆围成，其中一边开有的门，竹篱笆的总长为．设鸡场垂直于墙的一边为，则列方程正确的是(   )    A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】求出平行于墙的一边的长度，即可建立一元二次方程． 【详解】解：∵鸡场垂直于墙的一边为 xm ， ∴平行于墙的一边的长度为：m ∴ 故选：A 【点睛】本题考查图形与一元二次方程．正确理解题意是解题关键． 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则所列方程正确的为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】由题意易得该无盖纸盒的底面长为，宽为，然后问题可求解． 【详解】解：设剪去小正方形的边长为， 则由题意可列方程为， 故选A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，长方形花圃面积为，它的一边利用已有的围墙（围墙足够长），另外三边所围的栅栏的总长度是．处开一门，宽度为．设的长度是，根据题意，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据题意可知，栅栏的总长度是，门宽度为，则三边的总长度是，根据长方形的面积公式，列出方程即可． 【详解】解：设的长度是，则的长度是， 列出方程为：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据长方形的面积公式列出方程． 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料造了宽为1米的两个小门． (1)设花圃的宽为x米，请你用含x的代数式表示的长___________米； (2)若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的宽． 【答案】(1) (2)此时花圃的宽为9米 【难度】0.65 【知识点】列代数式、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）用篱笆的总长减去三个的长，然后加上两个门的长即可表示出； （2）根据长方形的面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：设花圃的宽为x米， 则米， 故答案为：； （2）由题意可得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，故舍去； 当时，，符合题意； 答：此时花圃的宽为9米． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，弄清题意，用x表示出是解答本题的关键． 6. （23-24九年级上·广东深圳·期末）园林部门计划在某公园建一个长方形花圃，花圃的一面靠墙（墙足够长），另外三边用木栏围成，如图所示，建成后所用木栏总长米，在图总面积不变的情况下，园林部门在花圃内部设计了一个正方形的网红打卡点和两条宽度相等的小路如图，小路的宽度是正方形网红打卡点边长的，其余部分种植花卉，花卉种植的面积为平方米．    (1)求长方形花圃的长和宽； (2)求出网红打卡点的面积． 【答案】(1)长方形花圃的长为米，宽为米； (2)平方米． 【难度】0.65 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设米，根据三边所用木栏总长米，列方程求解即可； （2）设网红打卡点的边长为米，根据空白的面积=长方形花圃的面积一花卉种植面积，列一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）设米，则米， 根据题意，得：， 解得：， ∴米，米， 答：长方形花圃的长为米，宽为米； （2）设网红打卡点的边长为米， 根据题意，得：， 解得：，(舍去)， ∴网红打卡点的面积为(平方米)， 答：网红打卡点的面积为平方米． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意并根据题意建立等量关系． 一元二次方程应用（增长率、销售问题） 1. （20-21九年级上·广东深圳·期末）某商场销售某款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利81元，平均每天可售出20件． (1)求平均每次降价盈利减少的百分率； (2)为尽快减少库存，商场决定再次降价．每件上衣每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天要盈利2940元，每件应降价多少元？ 【答案】(1)平均每次降价盈利减少的百分率为 (2)每件应降价60元 【难度】0.94 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每次下降的百分率为x，根据题意，得：，即可求解； （2）设每件应降价元，由题意得方程，进而求解． 【详解】（1）解：设平均每次降价盈利减少的百分率为， 依题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：平均每次降价盈利减少的百分率为． （2）设每件应降价元，则每天可售出件， 依题意，得， 解得：，． 要尽快减少库存， ． 答：每件应降价60元． 2. （23-24九年级上·广东深圳·期末）2020年突如其来的新型冠状病毒疫情，给生鲜电商带来了意想不到的流量和机遇，据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是225万元，3月份的销售额是324万元． (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)经市场调查发现，某水果在“盒马鲜生”平台上的售价为24元/千克时，每天能销售300千克，售价每降低2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利4000元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)20% (2)降低4元 【难度】0.65 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设月平均增长率为x，根据题意可列出关于x的一元二次方程，解出x，再舍去不合题意的解即可； （2）设售价应降低y元，根据题意可列出关于y的一元二次方程，解出y，再舍去不合题意的解即可． 【详解】（1）设月平均增长率为x， 依题意，得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：月平均增长率是20%； （2）设售价应降低y元，则每天可售出千克， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，   ∵要尽量减少库存， ∴y＝4． 答：售价应降低4元． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．读懂题意，找出数量关系，列出等式是解题关键． 3. （23-24九年级上·广东深圳·期末）由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包14.4元， (1)求出这两次价格上调的平均增长率； (2)在有关部门调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包，当销售额为315元时，且让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？ 【答案】(1)这两次价格上调的平均增长率为20％． (2)应该降价3元． 【难度】0.85 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设这两次价格上调的平均增长率为x，然后根据题意可列方程进行求解； （2）设降价y元，然后根据题意可列出方程进行求解． 【详解】（1）解：设这两次价格上调的平均增长率为x，由题意得： ， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：这两次价格上调的平均增长率为20％． （2）解：设降价y元，由题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵让顾客获得更大的优惠， ∴； 答：应该降价3元． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 4. （19-20九年级上·广东深圳·期末）因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2020年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2022年春节长假期间，将接待游客达万人次． (1)求东部华侨城景区2020至2022年春节长假期间接待游客人次的平均增长率． (2)东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2022年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？ 【答案】(1) (2)元 【难度】0.65 【知识点】因式分解法解一元二次方程、增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设年平均增长率为x，根据东部华侨城景区在2020年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2022年春节长假期间，将接待游客达万人次．列出方程求解即可； （2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得关于y的方程，解方程并对方程的解作出取舍即可． 【详解】（1）解：设年平均增长率为x，由题意得： ， 解得：，（舍）． 答：年平均增长率为． （2）解：设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得： ， 整理得：， 解得：，． ∵售价不超过20元， ∴． 答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额． 【点睛】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键． 一元二次方程应用（其他问题） 1. （19-20九年级上·广东深圳·期末）已知关于x的方程与都有实数根，若这两个方程有且只有一个公共根，且，则称它们互为“同根轮换方程”．如与互为“同根轮换方程”． (1)若关于x的方程与互为“同根轮换方程”，求m的值； (2)已知方程①：和方程②：，分别是方程①和方程②的实数根，且，．试问方程①和方程②是否能互为“同根轮换方程”？如果能，用含a的代数式分别表示p和q；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)能，①， ②， ③， 【难度】0.65 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）根据方程与互为“同根轮换方程”，得到m、n之间的关系为．然后设t是公共根，则有，，于是得到结论； （2）先求出公共根，再利用根与系数的关系解决问题． 【详解】（1）解：∵方程与互为“同根轮换方程”， ∴ 设t是公共根，则有，， 解得，． ∵．∴． ∴． ∴（0值舍去）． （2）能，理由如下： 当公共解为时，∴，， ∴， ∴当，（）时，方程和互为“同根轮换方程”； 设公共解为时，，，， ∴， ∴当，（）时，方程和互为“同根轮换方程”； 设公共解为， 由题意可得：，，， ∴，，， ∴当，（）时，方程和互为“同根轮换方程”． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解同根轮换方程的定义． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）“双十一”期间，某网店直接从工厂购进，两款保温杯，进货价和销售价如表：（注：利润销售价进货价） 款保温杯 款保温杯 进货价（元/个） 35 28 销售价（元/个） 50 40 (1)若该网店用1540元购进，两款保温杯共50个，求两款保温杯分别购进的个数． (2)“双十一”后，该网店打算把款保温杯降价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出4个，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售出2个，则将款保温杯的销售价定为每个多少元时，才能使款保温杯平均每天的销售利润为96元? 【答案】(1)购进款保温杯20个，款保温杯30个 (2)将款保温杯的销售价定为每个34元或36元时，才能使款保温杯平均每天的销售利润为96元 【难度】0.65 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设购进款保温杯个，款保温杯个，根据用1540元购进，两款保温杯共50个，得到二元一次方程组，求解即可得到答案； （2）设款保温杯的销售价定为元，则单个款保温杯的销售利润为元，再根据每降价1元，平均每天可多售出2个，得到平均每天可售出个，结合使款保温杯平均每天的销售利润为96元，得到一元二次方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：（1）设购进款保温杯个，款保温杯个， 依题意得：，解得， 答：购进款保温杯20个，款保温杯30个； （2）解：设款保温杯的销售价定为元，则每个的销售利润为元，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售出2个， 平均每天可售出个， 依题意得：，即， ，解得，， 答：将款保温杯的销售价定为每个34元或36元时，才能使款保温杯平均每天的销售利润为96元． 【点睛】本题考查二元一次方程组解实际应用题、一元二次方程解实际应用题，读懂题意，找准等量关系列出方程是解决问题的关键． 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）【综合与实践】：阅读材料，并解决以下问题． 【学习研究】：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：，表示边长，，即，遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【类比迁移】：小明根据赵爽的办法解方程，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（ ）=4； 第二步：利用四个面积可用表示为_________的全等矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，标明各边长），并写出完整的解答过程； 第三步： 【拓展应用】：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图2来解，已知图2是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么此方程的系数________，________，求得方程的一个正根为_____________． 【答案】【类比迁移】：，；【拓展应用】2，3， 【难度】0.65 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【详解】解：【类比迁移】：第一步：将原方程变形为，即（）； 第二步：利用四个面积可用表示为的全等矩形构造“空心”大正方形，如图： 第三步： 图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为3的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：， 表示边长， ，即， 故答案为：，； 【拓展应用】∵图2是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4． ∴长方形的长为，宽为x，即：， ∴， ∴，，方程的一个正根为：． 故答案为：2，3，． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的几何意义，读懂题意，根据正方形面积相等列出方程是关键． 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，一个边长为8m的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形中，点分别在上，且，，在，，五边形三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元． (1)试用含有的代数式表示五边形的面积__________； (2)当时，请写出小正方形种植花卉所需的费用__________； (3)当为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？ 【答案】(1) (2)元 (3)当米时，正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元 【难度】0.65 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减的应用、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）根据题意，结合图形，得到，分别求出正方形面积、面积、面积，代入化简即可得到答案； （2）在，，五边形三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元，结合（1）中所求面积表达式，代入得到，，，从而所需费用为元； （3）根据图形，大正方形是四个小正方形中的情况之和，结合大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元，由（1）中所求列出方程，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设米，则米， ∴， ， ∴ ， 故答案为：； （2）解：若，则， ∴，， ∴， ∴所需费用为：（元）， 故答案为：元； （3）解：根据题意得 ， 整理得，解得， 答：当米时，正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元． 【点睛】本题是实际应用题，涉及间接方法求不规则图形面积、列代数式解实际问题、整式混合运算、有理数混合运算、一元二次方程解实际应用题等，读懂题意，数形结合，掌握解决实际应用题的方法步骤是解决问题的关键． 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”，回答下列问题． （1）如图1，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝1，CD＝，∠BCD＝∠DBC，判断四边形ABCD是不是“等邻边四边形”，并说明理由； （2）如图2，RtABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，现将Rt△ABC沿∠ABC的平分线BB′方向平移得到，连结，，若平移后的四边形是“等邻边四边形”，求的长． 【答案】（1）是“等邻边四边形”，理由见详解；（2） 或2或 或 ． 【难度】0.4 【知识点】利用平移的性质求解、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）根据∠BCD＝∠DBC，可得CD=BD=，由勾股定理可得AD=1，即可求证； （2）延长 交AB于点D，根据平移的性质和BB′平分∠ABC，，可得 ，从而，然后分四种情况进行讨论——若 时；若 时；若时；若 时，即可求解． 【详解】解：（1）是“等邻边四边形”，理由如下： ∵∠BCD＝∠DBC，CD＝， ∴CD=BD=， ∵∠A＝90°，AB＝1， 在 中，由勾股定理得： ， ∴AD=AB， ∴四边形ABCD是 “等邻边四边形”； （2）如图2，延长 交AB于点D， ∵将Rt△ABC沿∠ABC的平分线BB′方向平移得到，BC＝1，∠ABC＝90°， ∴ ， ， ， ， ， ∴ ， ∵BB′平分∠ABC， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 设， ∴ ， 若 时， 在 中，由勾股定理得： ， 解得： ，（舍去）， ∴， ∴ ； 若 时， ； 若时， 在 中，由勾股定理得： ； ∴， ∴； 若 时， 在 中，由勾股定理得： ， 即， 解得： 或 （舍去）， ∴ ； 综上所述，若平移后的四边形是“等邻边四边形”， 的长为 或2或 或 ． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，理解“等邻边四边形”的定义是解题的关键． 6. （22-23九年级上·广东深圳·期末）阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解． （1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2= ，x3= ； （2）拓展：用“转化”思想求方程的解； （3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．    【答案】(1)-2，1；（2）x=3；（3）4m. 【难度】0.65 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论； （2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根； （3）设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解， 【详解】解：（1）， ， 所以或或 ，，； 故答案为，1； （2）， 方程的两边平方，得 即 或 ，， 当时，， 所以不是原方程的解． 所以方程的解是； （3）因为四边形是矩形， 所以， 设，则 因为， ， 两边平方，得 整理，得 两边平方并整理，得 即 所以． 经检验，是方程的解． 答：的长为． 【点睛】考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程时注意验根．解决（3）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次方程及应用 一元二次方程的定义及方程的解 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）下列方程中，不是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）已知关于的方程（1）（2）（3）（4），其中一元二次方程的个数为（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）已知关于的x方程有一个根是2，则k的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 4. （21-22九年级上·广东深圳·期末）关于x的方程（a2＋1）x2＋2ax﹣6＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（    ） A．a≠±1 B．a≠0 C．a 为任何实数 D．不存在 5. （21-22九年级上·广东深圳·期末）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根，则m的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 6. （22-23九年级上·广东深圳·期末）把一元二次方程化为一般形式，若二次项系数是1，则常数项是 ． 7. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如果是关于x的一元二次方程的一个实数根，那么 ； 8. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如果是关于的一元二次方程的一个根，那么 ． 9. （23-24九年级上·广东深圳·期末）设α、β是方程x2+2020x﹣2＝0的两根，则（α2+2020α﹣1）（β2+2020β+2）＝ ． 10. （21-22九年级上·广东深圳·期末）把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项． (1)（2x﹣1）（3x＋2）＝x2＋2； (2)． 一元二次方程解法 1. （23-24九年级上·广东深圳·期末）解方程：． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）按照指定方法解下列方程： （1）（配方法）  （2）（公式法） 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）用指定方法解方程： (1)（公式法） (2)（配方法） 4. （23-24九年级上·广东深圳·期末）解下列方程： (1) (2) 5. （23-24九年级上·广东深圳·期末）解方程： (1)； (2)． 6. （19-20九年级上·广东深圳·期末）解下列方程： (1)； (2)． 7. （21-22九年级上·广东深圳·期末）解方程： (1)； (2) 8. （23-24九年级上·广东深圳·期末）解下列方程： (1) (2) 9. （22-23九年级上·广东深圳·期末）解一元二次方程： (1)； (2)． 10. （22-23九年级上·广东深圳·期末）解下列方程： (1)； (2)． 11. （22-23九年级上·广东深圳·期末）解方程 (1)； (2) 12. （22-23九年级上·广东深圳·期末）解方程： (1)； (2) 13. （22-23九年级上·广东深圳·期末）选用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) 配方法及应用 1. （23-24九年级上·广东深圳·期末）用配方法解方程时，配方后正确的是（　　） A． B． C． D． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）一元二次方程经过配方后可变形为（    ） A． B． C． D． 4. （19-20九年级上·广东深圳·期末）下列四种说法： ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ②将2020减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，……，依此类推，直到最后减去余下的，最后的结果是1； ③实验的次数越多，频率越靠近理论概率； ④对于任何实数x、y，多项式的值不小于2．其中正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 一元二次方程的判别式及其应用 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）一元二次方程的根的情况为（    ） A．无实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．不能判定 2. （23-24九年级上·广东深圳·期末）若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． 且 B． 且 C． D． 3. （23-24九年级上·广东深圳·期末）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（   ） A．4 B． C． D．2 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）已知关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5. （21-22九年级上·广东深圳·期末）已知a、b、c是三个不全为0的实数，那么关于x的方程x2＋（a＋b＋c）x＋a2＋b2＋c2＝0的根的情况是（    ） A．有两个负根 B．有两个正根 C．两根一正一负 D．无实数根 6. （21-22九年级上·广东深圳·期末）若关于x的二次方程（m﹣1）x2＋2mx＋m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 7. （21-22九年级上·广东深圳·期末）不解方程，判断下列方程的根的情况： (1)2x2＋3x﹣4＝0； (2)ax2＋bx＝0（a≠0）． 8. （22-23九年级上·广东深圳·期末）解答问题： (1)解方程：． (2)已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．求k的取值范围． 9. （20-21九年级上·广东深圳·期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）在1，2，4三个数中，取一个合适的m值代入方程，并解这个方程． 10. （18-19九年级上·广东深圳·期末）如图四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题： （1）写出一个“勾系一元二次方程”； （2）求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求面积． 一元二次方程根与系数的关系 1. （20-21九年级上·广东深圳·期末）已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（    ） A． B． C． D． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）若是方程的两根，则的值为 ． 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）若，是一元二次方程的两个实数根，则 ． 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）已知关于的x方程有一个根是4，则另一个根为 ． 5. （19-20九年级上·广东深圳·期末）已知方程的两实数根的平方和为，则k的值为 ． 6. （22-23九年级上·广东深圳·期末）已知m,n是方程的两个根，则代数式的值是 ． 7. （22-23九年级上·广东深圳·期末）关于x的一元二次方程的两个根分别为和，则 ． 8. （22-23九年级上·广东深圳·期末）已知关于x的方程的一根为4． (1)求的值． (2)求方程的另一根． 9. （23-24九年级上·广东深圳·期末）已知：关于x的方程． (1)若方程总有两个实数根，求m的取值范围； (2)若两实数根、满足，求m的值． 10. （23-24九年级上·广东深圳·期末）已知：的两邻边，的长是关于的方程的两个实数根． (1)当为何值时，是菱形？ (2)若的长为3，求的周长． 一元二次方程应用（握手、传播问题） 1. （18-19九年级上·广东深圳·期末）某校九年级（1）班在举行元旦联欢会时，班长觉得快要毕业了，决定临时增加一个节目：班里面任意两名同学都要握手一次．小张同学统计了一下，全班同学共握手了465次．你知道九年级（1）班有多少名同学吗？设九年级（1）班有x名同学，根据题意列出的方程是（　　） A．=465 B．=465 C．x（x﹣1）=465 D．x（x+1）=465 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）我国于12月中旬开始放开新冠疫情管控，经专家推算，每轮传播过程中，1个人可以传播给x个人，经过两轮传播后，共有81人被传染．则可列方程为（    ） A． B． C． D． 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）秋冬季节为流感的高发期，有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 一元二次方程应用（增长率问题） 1. （23-24九年级上·广东深圳·期末）据报道，2020年至2022年深圳市居民年人均可支配收入由万元增长至万元，设这两年人均可支配收入的年平均增长率为x，可列方程为（　　） A． B． C． D． 2. （23-24九年级上·广东深圳·期末）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3. （23-24九年级上·广东深圳·期末）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，年某款新能源汽车销售量为18万辆，销售量逐年增加，年预估销售量为万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率，可设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（    ） A． B． C． D． 4. （19-20九年级上·广东深圳·期末）某商品原价为100元，第一次涨价，第二次在第一次的基础上又涨价，设平均每次增长的百分数为x，那么x应满足的方程是（    ） A． B． C． D． 5. （20-21九年级上·广东深圳·期末）疫情促进了快递行业高速发展，某家快递公司年月份与月份完成投递的快递总件数分别为万件和万件，设该快递公司月到月投递总件数的月平均增长率为，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 一元二次方程应用（销售问题） 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查，若每千克涨价1元，则日销售量减少20千克，如果超市要保证每天盈利6000元，则每千克应该涨价（    ） A．15元或20元 B．10元或15元 C．10元或20元 D．5元或10元 2. （23-24九年级上·广东深圳·期末）某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本．为了吸引消费者，商家决定采取降价措施．经试销统计发现，如果画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本．设这种画册每本降价x元． (1)平均每天的销售量为　　　　本（用含x的代数式表示）； (2)商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2240元，且要求每本售价不低于55元，求每本画册应降价多少元？ 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）商店销售某种台灯，平均每天可销售20个，每个盈利44元．调查发现，若每个降价1元，则每天可多售5个．为了减少库存压力，如果每天要盈利1600元，每个台灯应降价多少元？ 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)写出每日销售量（件）和降价幅度（元）之间的函数关系； (2)若商场每天要获利润元，请计算出每件衬衫应降价多少元？ 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）家具城某门市销售一批实木床，平均每天可售出张，每张盈利元，为扩大销售盈利，该门市决定采取适当的降价措施，但要求每张盈利不少于元，经调查发现．若每张实木床每降价元，则每天可多售出张． (1)若每张实木床降价元，则每天可盈利多少元？ (2)若该门市平均每天盈利元．则每张实木床应降价多少元？ 6. （22-23九年级上·广东深圳·期末）某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个． (1)为减少库存，当这种背包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？ (2)这种背包的销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由． 一元二次方程应用（图形问题） 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为尺，下列方程符合题意的是（    ） A． B． C． D． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，有一面积为的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长），另三边用竹篱笆围成，其中一边开有的门，竹篱笆的总长为．设鸡场垂直于墙的一边为，则列方程正确的是(   )    A． B． C． D． 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则所列方程正确的为（ ） A． B． C． D． 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，长方形花圃面积为，它的一边利用已有的围墙（围墙足够长），另外三边所围的栅栏的总长度是．处开一门，宽度为．设的长度是，根据题意，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料造了宽为1米的两个小门． (1)设花圃的宽为x米，请你用含x的代数式表示的长___________米； (2)若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的宽． 6. （23-24九年级上·广东深圳·期末）园林部门计划在某公园建一个长方形花圃，花圃的一面靠墙（墙足够长），另外三边用木栏围成，如图所示，建成后所用木栏总长米，在图总面积不变的情况下，园林部门在花圃内部设计了一个正方形的网红打卡点和两条宽度相等的小路如图，小路的宽度是正方形网红打卡点边长的，其余部分种植花卉，花卉种植的面积为平方米．    (1)求长方形花圃的长和宽； (2)求出网红打卡点的面积． 一元二次方程应用（增长率、销售问题） 1. （20-21九年级上·广东深圳·期末）某商场销售某款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利81元，平均每天可售出20件． (1)求平均每次降价盈利减少的百分率； (2)为尽快减少库存，商场决定再次降价．每件上衣每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天要盈利2940元，每件应降价多少元？ 2. （23-24九年级上·广东深圳·期末）2020年突如其来的新型冠状病毒疫情，给生鲜电商带来了意想不到的流量和机遇，据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是225万元，3月份的销售额是324万元． (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)经市场调查发现，某水果在“盒马鲜生”平台上的售价为24元/千克时，每天能销售300千克，售价每降低2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利4000元，则售价应降低多少元？ 3. （23-24九年级上·广东深圳·期末）由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包14.4元， (1)求出这两次价格上调的平均增长率； (2)在有关部门调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包，当销售额为315元时，且让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？ 4. （19-20九年级上·广东深圳·期末）因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2020年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2022年春节长假期间，将接待游客达万人次． (1)求东部华侨城景区2020至2022年春节长假期间接待游客人次的平均增长率． (2)东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2022年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？ 一元二次方程应用（其他问题） 1. （19-20九年级上·广东深圳·期末）已知关于x的方程与都有实数根，若这两个方程有且只有一个公共根，且，则称它们互为“同根轮换方程”．如与互为“同根轮换方程”． (1)若关于x的方程与互为“同根轮换方程”，求m的值； (2)已知方程①：和方程②：，分别是方程①和方程②的实数根，且，．试问方程①和方程②是否能互为“同根轮换方程”？如果能，用含a的代数式分别表示p和q；如果不能，请说明理由． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）“双十一”期间，某网店直接从工厂购进，两款保温杯，进货价和销售价如表：（注：利润销售价进货价） 款保温杯 款保温杯 进货价（元/个） 35 28 销售价（元/个） 50 40 (1)若该网店用1540元购进，两款保温杯共50个，求两款保温杯分别购进的个数． (2)“双十一”后，该网店打算把款保温杯降价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出4个，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售出2个，则将款保温杯的销售价定为每个多少元时，才能使款保温杯平均每天的销售利润为96元? 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）【综合与实践】：阅读材料，并解决以下问题． 【学习研究】：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：，表示边长，，即，遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【类比迁移】：小明根据赵爽的办法解方程，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（ ）=4； 第二步：利用四个面积可用表示为_________的全等矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，标明各边长），并写出完整的解答过程； 第三步： 【拓展应用】：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图2来解，已知图2是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么此方程的系数________，________，求得方程的一个正根为_____________． 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，一个边长为8m的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形中，点分别在上，且，，在，，五边形三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元． (1)试用含有的代数式表示五边形的面积__________； (2)当时，请写出小正方形种植花卉所需的费用__________； (3)当为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？ 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”，回答下列问题． （1）如图1，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝1，CD＝，∠BCD＝∠DBC，判断四边形ABCD是不是“等邻边四边形”，并说明理由； （2）如图2，RtABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，现将Rt△ABC沿∠ABC的平分线BB′方向平移得到，连结，，若平移后的四边形是“等邻边四边形”，求的长． 6. （22-23九年级上·广东深圳·期末）阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解． （1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2= ，x3= ； （2）拓展：用“转化”思想求方程的解； （3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$