专题01 特殊平行四边形（8基础题型+6提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（深圳专用）

专题01 特殊平行四边形 菱形性质 1. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在菱形中，，连接，若，则菱形的周长为（　　）    A．24 B．30 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长 【分析】先根据菱形的性质可得，再证是等边三角形，由此可得，进而得菱形的边长为6，由此可求出菱形的周长． 本题主要考查了等边三角形的判定和性质以及菱形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】∵四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ， ∴菱形的周长为： ， 故选：A． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，菱形中，E，F分别是，的中点．若菱形的周长为32，则线段的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】利用菱形的性质求线段长、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】先由菱形的性质求出菱形的边长，再根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：∵菱形的周长为32， ∴， ∴， ∵E，F分别是，的中点． ∴是的中位线， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查菱形的性质，三角形中位线的判定与性质，熟练掌握菱形的性质，三角形中位线的性质是解题的关键． 3. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，四边形和都是菱形，点E，F在对角线上，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】含30度角的直角三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，由菱形的性质可得，由直角三角形的性质可求解． 【详解】如图，连接，交于O，    ∵四边形和都是菱形，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：C． 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，点E、F分别为AO、AB的中点，则EF的长度为(     ) A．4 B．3 C．2 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、含30度角的直角三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【详解】试题解析：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∠ABO=∠ABC=30°， ∴OA=AB=2， ∴OB=， ∵点E、F分别为AO、AB的中点， ∴EF为△AOB的中位线， ∴EF=OB=． 故选D． 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，菱形中，点是边的中点，垂直交的延长线于点，若，，则菱形的边长是 ． 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】过C作延长线于M，根据设，由菱形的性质表示出，，根据勾股定理列方程计算即可． 【详解】过C作延长线于M， ∵ ∴设 ∵点E是边的中点 ∴ ∵菱形 ∴， ∵⊥，CM⊥AB ∴四边形是矩形 ∴， ∴ 在中， ∴， 解得或（舍去） ∴ 故答案为：4． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，关键在于熟悉各个知识点在本题的灵活运用． 6. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF．若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF= cm． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【详解】如图，连接AO交EF于点P， 由菱形和折叠对称的性质，知四边形AEOF是菱形，且AP=OP． ∵点A恰好落在菱形的对称中心O处， ∴AE=BE． ∵AB=2，∠A=120°， ∴Rt△AEP中，AE=1，∠AEP=30°． ∴， ∴， ∴EF＝． 7. （22-23九年级上·广东深圳·期末）已知一个菱形的两条对角线的长分别为10和24，则这个菱形的周长为 ． 【答案】52 【难度】0.85 【知识点】利用菱形的性质求线段长 【详解】解：已知AC=10cm，BD=24cm，菱形对角线互相垂直平分， ∴AO=5，BO=12cm， ∴AB==13cm， ∴BC=CD=AD=AB=13cm， ∴菱形的周长为4×13=52cm 8. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DEAC，CEBD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为 ． 【答案】10 【难度】0.65 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】由菱形的性质和勾股定理求出CD＝20，证出平行四边形OCED为矩形，得OE＝CD＝10即可． 【详解】解：∵DEAC，CEBD， ∴四边形OCED为平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8， ∴∠DOC＝90，CD＝＝＝10， ∴平行四边形OCED为矩形， ∴OE＝CD＝10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质以及平行四边形判定与性质等知识；熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键． 菱形面积计算 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，菱形的对角线与相交于点O，过点O的直线分别交，于点E，F．若阴影部分的面积为5，则菱形的面积为（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用菱形的性质求面积、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】根据菱形的性质得，，，，可利用ASA证明，可得，即可得，即可得． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，， 在和中， ∴（ASA）， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，解题的关键是理解题意，掌握菱形的性质． 2. （21-22九年级上·广东深圳·期末）已知菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则菱形的面积为（    ） A．20 B．24 C．26 D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用菱形的性质求面积 【分析】由菱形的面积公式对角线乘积的一半可求解． 【详解】解：菱形的面积=×6×8=24（cm2）， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的面积公式是本题的关键． 3. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图所示，菱形的对角线、相交于点．若，，，垂足为，则的长为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理．利用菱形的面积公式：，即可解决问题． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， 故答案为：． 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，四边形ABCD是边长为cm的菱形，其中对角线BD的长为2cm，则菱形ABCD的面积为 cm2． 【答案】4 【难度】0.94 【知识点】利用菱形的性质求面积、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理构造图形解决问题 【分析】首先根据菱形的性质可得BO＝DO，AC⊥DB，AO＝CO，然后再根据勾股定理计算出AO长，进而得到答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BO＝DO，AC⊥DB，AO＝CO， ∵BD＝2cm， ∴BO＝1cm， ∵AB＝cm， ∴AO＝ ＝＝2（cm）， ∴AC＝2AO＝4cm． ∴S菱形ABCD＝（cm2）． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及勾股定理；解题的关键是熟悉菱形的面积公式和直角三角形三边之间的关系． 5. （23-24九年级上·广东深圳·期末）已知：菱形的面积为，一条对角线长为，则该菱形的边长为 ． 【答案】5 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求面积 【分析】根据菱形的面积求出另一条对角线的长，再由对角线互相垂直且平分，可得直角三角形，利用勾股定理可得出边长． 【详解】解：如图，四边形是菱形，，则，， 菱形的面积为， 菱形的面积 ， ， 在中，， 菱形的边长为 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，关键是利用菱形的面积求出的长． 菱形的判定及性质 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在，对角线与相交于点O，点E在的延长线上，且，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的周长为22，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【难度】0.65 【知识点】证明四边形是菱形、利用菱形的性质求面积、利用平行四边形性质和判定证明、用勾股定理解三角形 【分析】由可得，由是平行四边形，推导是平行四边形，可得即，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得以证明； 由是平行四边形和，得到四边形是平行四边形，可以得到，，在中，利用勾股定理求出，利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求得． 【详解】（1）证明是平行四边形， ， ， ，， 是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形，， ，， 四边形是平行四边形， 四边形的周长为22， ， ， ， 在中， ， ． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握菱形面积等于对角线乘积的一半． 2. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE． （1）求证：CE＝DE． （2）当BE＝2，CE＝1时，求菱形的边长． 【答案】（1）见解析   （2） 【难度】0.85 【知识点】利用菱形的性质证明、全等三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】（1）证△ABE≌△CBE（SAS），即可得出结论； （2）连接AC交BD于H，先由菱形的性质可得AH⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，求出BH、EH的长，由勾股定理求出AH的长，再由勾股定理求出AB的长，即可得出结果． 【详解】（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABE＝∠CBE，AB＝CB， 在△ABE和△CBE中， ， ∴△ABE≌△CBE， ∴AE＝CE， ∵AE＝DE， ∴CE＝DE； （2）如图，连接AC交BD于H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AH⊥BD，BH＝DH，AH＝CH， ∵CE＝DE＝AE＝1， ∴BD＝BE+DE＝2+1＝3， ∴BH＝BD＝，EH＝BE﹣BH＝2﹣＝， 在Rt△AHE中，由勾股定理得：AH＝＝＝， 在Rt△AHB中，由勾股定理得：AB＝＝＝， ∴菱形的边长为． 【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和勾股定理是解题的关键． 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）EF是平行四边形ABCD的对角线BD的垂直平分线，EF与边AD，BC分别交于点E，F． （1）求证：四边形BFDE是菱形； （2）若ED=5，BD=8，求菱形BFDE的面积． 【答案】（1）见解析；（2）24 【难度】0.65 【知识点】根据菱形的性质与判定求面积、证明四边形是菱形 【分析】（1）证△EOD≌△FOB，得出EO=OF，根据四边形BFDE对角线垂直且相互平分得出菱形； （2）先根据菱形的性质，得出EF的长，然后利用菱形面积公式求解即可． 【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC ∴∠EDO=∠FBO，∠DEO=∠BFO ∵EF是BD的垂直平分线 ∴DO=BO，EF⊥BD ∴△EOD≌△FOB(AAS) ∴EO=OF ∵BO=OD，EF⊥BD ∴四边形BFDE是菱形 （2）∵四边形BFDE是菱形，BD=8 ∴BO=OD=4 ∵ED=5，EF⊥BD ∴在Rt△EOD中，EO=3 ∴OF=3，∴EF=6 ∴ 【点睛】本题考查菱形的证明和求菱形的面积，解题关键是通过全等得出EO=OF，从而证四边形EBFD是菱形． 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在四边形中，，，平分，连接交于点O，过点C作交延长线于点E．    (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.85 【知识点】角平分线的有关计算、根据等角对等边证明边相等、用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，然后由菱形面积公式得，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， 即的长为． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识．掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键． 5. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，过点B、点C分别作BE∥CD，CE∥BD． （1）求证：四边形BECD是菱形； （2）若∠A=60°，AC=，求菱形BECD的面积. 【答案】（1）见解析；（2）面积= 【难度】0.65 【知识点】证明四边形是菱形、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】（1）先证明四边形BECD是平行四边形，再根据直角三角形中线的性质可得CD=BD，再根据菱形的判定即可求解； （2）根据图形可得菱形BECD的面积=直角三角形ACB的面积，根据三角函数可求BC，根据直角三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵BE∥CD，CE∥BD， ∴四边形BECD是平行四边形， ∵Rt△ABC中点D是AB中点， ∴CD=BD， ∴四边形BECD是菱形； （2）解：∵Rt△ABC中，∠A=60°，AC=， ∴BC=AC=3， ∴直角三角形ACB的面积为3×÷2=， ∴菱形BECD的面积是. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力． 6. （18-19九年级上·广东深圳·期末）如图，在中，，过点C的直线，D在边上一点．过点D作，交直线于E，垂足为F，连接、．    (1)求证：； (2)当点D在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是菱形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（1）由可知，进而可证四边形是平行四边形，进而可得； （2）由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，证是等腰三角形，由等腰三角形的性质可得，即为中点，可知是的中位线，则，由四边形是平行四边形，可得，进而有，进而可判断四边形的形状； 【详解】（1）证明：由题意知，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：四边形是菱形；理由如下： ∵在中，D在中点， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴为中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是菱形； 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，菱形的判定，中位线，等腰三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 7. （22-23九年级上·广东深圳·期末）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2) 【难度】0.65 【知识点】根据菱形的性质与判定求面积、证明四边形是菱形、斜边的中线等于斜边的一半、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）先通过得到，得到四边形为平行四边形，再根据，即可求证； （2）由题意可得四边形的面积，求解即可． 【详解】（1）证：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，是的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴平行四边形为菱形； （2）解：， 由题意可得：， ， 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定，直角三角形斜边中线的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 矩形的性质 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）矩形、菱形都具有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直且相等 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】矩形性质理解、利用菱形的性质证明 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质．由矩形的性质和菱形的性质可直接求解． 【详解】解：∵菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分且相等， ∴矩形、菱形都具有的性质是对角线互相平分， 故选：A． 2. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，已知O是矩形ABCD的对角线的交点，∠AOB=60°，作DE∥AC，CE∥BD，DE、CE相交于点E.四边形OCED的周长是20，则BC=（     ） A．5 B．5 C．10 D．10 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据矩形的性质与判定求线段长、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC=OD，得出四边形OCED是菱形，求出菱形的边长，进一步求出AC与AB的长，再利用勾股定理求BC． 【详解】证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形． ∵四边形ABCD是矩形， ∴OC=OD=OA=OB， ∴四边形OCED是菱形； ∵四边形OCED的周长是20 ∴OD=5 ∵∠AOB=60°， ∴∠COD=60° 又∵OC=OD ∴△COD是等边三角形， ∴OC=OD=CD=5 ∴AC=2OC=10 ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD=5，∠ABC=90° ∴在Rt△ABC中， 故答案选B. 【点睛】此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形CODE是菱形是解此题的关键． 3. （18-19九年级·广东深圳·期末）如图，已知矩形ABCD，按照下列操作作图：①以A为圆心，AC长为半径画弧交AD的延长线于点E；②以E为圆心，EC长为半径画弧交DE的延长线于点F；③分别以C，F为圆心，大于CF的长为半径画弧，两弧相交于点N；④作射线EN，根据作图，若∠ACB＝72°，则∠FEN的度数为（　　） A．54° B．63° C．72° D．75° 【答案】B 【难度】0.85 【分析】由题意可得AE=AC，△AEC为等腰三角形，∠CAE=∠ACB＝72°，可得△FEN≌△CEN，∠FEN= ∠CEN可得∠FEN的度数. 【详解】解：由题意得：AE=AC,△AEC为等腰三角形， ∠ACB＝72°，四边形ABCD为矩形, ∠CAE=72°, ∠CEA==54， 由以E为圆心，EC长为半径画弧交DE的延长线于点F；分别以C，F为圆心，大于CF的长为半径画弧，两弧相交于点N，可得EF=CE,FN=CN,又EN=EN, △FEN≌△CEN, ∠FEN= ∠CEN ∠FEN==63 故选B. 【点睛】本题主要考查矩形与圆的性质、等腰三角形的性质及三角形全等的判定与性质，综合性大. 4. （23-24九年级上·广东深圳·期末）将两个完全相同的矩形和矩形按如图所示的位置摆放，使点，，在同一条直线上，点在边上，连结，，．若，，则的面积为（    ） A．13 B．26 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】全等三角形的性质、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】首先根据矩形的性质和勾股定理求出，然后得到，然后利用三角形面积公式求解即可． 此题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 【详解】∵将两个完全相同的矩形和矩形按如图所示的位置摆放， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴的面积为． 故选：D． 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，矩形的对角线相交于点O，点E是的中点，若，则BC的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据矩形的性质求线段长、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】根据矩形的性质可得，从而得到是的中位线，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∵， ∴． 故选：D 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握矩形的性质，三角形中位线定理是解题的关键． 6. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在矩形中，已知于，，，则的长为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据矩形的性质求线段长、含30度角的直角三角形 【分析】根据矩形的性质可得，因为，所以，再根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半即可求得答案． 【详解】解：四边形为矩形，， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 7. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C 恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】矩形与折叠问题 【分析】设CE=x，则BE=3-x由折叠性质可知，EF=CE=x，DF=CD=AB=5，所以AF=4，BF=AB-AF=5-4=1，在Rt△BEF中，由勾股定理得(3-x)2+12=x2，解得x的值即可． 【详解】解：设CE=x，则BE=3-x， 由折叠性质可知， EF=CE=x，DF=CD=AB=5 在Rt△DAF中，AD=3，DF=5， ∴AF=， ∴BF=AB-AF=5-4=1， 在Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2， 即(3-x)2+12=x2， 解得x=， 故选：D． 【点睛】本题考查了与矩形有关的折叠问题，熟练掌握矩形的性质以及勾股定理是解题的关键． 8. （21-22九年级上·广东深圳·期末）如图，矩形ABCD中，AC的垂直平分线MN与AB交于点E，连接CE．若∠CAD＝70°，则∠DCE＝ °． 【答案】40 【难度】0.85 【知识点】利用矩形的性质求角度、线段垂直平分线的性质 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EC=EA，根据矩形的性质得到∠DCA=∠EAC=20°，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：∵MN是AC的垂直平分线， ∴EC=EA， ∴∠ECA=∠EAC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，∠D=90°， ∴∠DCA=∠EAC=90°-70°=20°， ∴∠DCE=∠DCA+∠ECA=20°+20°=40°， 故答案为：40． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 9. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，若∠AOD＝110°，则∠CDE＝ °． 【答案】35 【难度】0.85 【知识点】三角形的外角的定义及性质、利用矩形的性质求角度 【分析】先根据三角形外角的性质和矩形的性质得到∠OCD的度数，再根据DE⊥AC即可得到∠CDE的度数． 【详解】∵∠AOD＝110°， ∴∠ODC+∠OCD=110°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OC=OD， ∴∠ODC=∠OCD=55°， 又∵DE⊥AC， ∴∠CDE=180°-∠OCD-∠DEC=180°-55°-90°=35°， 故答案为：35． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形内角和，三角形外角的性质，掌握知识点是解题关键． 10. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点，，垂足为点，，且，则的长为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】设DE=x，则OE=2x，根据矩形的性质可得OC=OD=3x，在直角三角形OEC中：可求得CE=x，即可求得x=，即DE的长为. 【详解】∵四边形ABCD是矩形 ∴OC=AC=BD=OD 设DE=x，则OE=2x， OC=OD=3x， ∵， ∴∠OEC=90° 在直角三角形OEC中 =5 ∴x= 即DE的长为. 故答案为： 【点睛】本题考查的是矩形的性质及勾股定理，掌握矩形的性质并灵活的使用勾股定理是解答的关键. 矩形的性质及判定 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，过矩形对角线的交点O，且分别交、于E、F，矩形内的一个动点P落在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据矩形的性质求面积、根据概率公式计算概率 【分析】根据矩形的性质可得，利用ASA可证明，可得阴影部分的面积，根据等底等高的两个三角形面积相等可得，即可得出，利用概率公式即可得答案． 【详解】∵四边形为矩形， ∴，AB//CD， ∴∠EBO=∠FDO， 在与中，， ∴， ∴阴影部分的面积， ∵与等底等高， ∴， ∵， ∴． ∴矩形内的一个动点P落在阴影部分的概率是， 故答案为： 【点睛】本题考查了几何概率、矩形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形当性质并熟练掌握概率公式是解题关键． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，DG⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为G，F． (1)求证：四边形DEFG为矩形； (2)若AB＝AC＝2，EF＝2，求CF的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【难度】0.65 【知识点】证明四边形是矩形、矩形性质理解、证明四边形是平行四边形、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据中位线的性质及平行线的判定可证得DE∥AC，EF∥DG，则可证得四边形DEFG是平行四边形，在利用可证得结论． （2）根据直角三角形斜边的中线性质可得DE＝AD，根据矩形的性质，GF＝DE，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵点D是AB的中点，E点是BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴， ∵DG⊥AC，EF⊥AC， ∴， ∴四边形DEFG是平行四边形， 又∵， ∴四边形DEFG为矩形． （2）∵AB＝AC＝2，EF＝2，D点是BC的中点， ∴DE＝ADAB， 由（1）知，四边形DEFG为矩形，则GF＝DE， 在直角△ADG中，EF＝2，AD， 由勾股定理得： ∵AB＝AC＝2，FG＝ED， ∴CF＝AC－AG－GF＝211． 【点睛】本题考查了矩形的判定及性质、平行四边形的判定、中位线的性质及勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定及矩形的判定及性质是解题的关键． 3. （18-19九年级·广东深圳·期末）如图，在平行四边形ABCD中，，延长DA于点E，使得，连接BE． 求证：四边形AEBC是矩形； 过点E作AB的垂线分别交AB，AC于点F，G，连接CE交AB于点O，连接OG，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）． 【难度】0.65 【知识点】矩形的判定定理理解、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，推出四边形AEBC是平行四边形，求得∠CAE＝90°，于是得到四边形AEBC是矩形； （2）根据三角形的内角和得到∠AGF＝60°，∠EAF＝60°，推出△AOE是等边三角形，得到AE＝EO，求得∠GOF＝∠GAF＝30°，根据直角三角形的性质得到OG＝2，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：四边形ABCD是平行四边形， ，， ， ，， 四边形AEBC是平行四边形， ， ， ， 四边形AEBC是矩形； ， ， ， ，， 四边形AEBC是矩形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在中，是上的一点，是的中点，过点作，交的延长线于点，且，连接． （1）求证：是的中点； （2）若，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2）矩形，证明见解析 【难度】0.65 【知识点】证明四边形是矩形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）可证△AFE≌△DBE，得出AF=BD，进而根据AF=DC，得出D是BC中点的结论； （2）若AB=AC，则△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质知AD⊥BC；而AF与DC平行且相等，故四边形ADCF是平行四边形，又AD⊥BC，则四边形ADCF是矩形． 【详解】解：（1）证明：∵E是AD的中点， ∴AE=DE． ∵AF∥BC， ∴∠FAE=∠BDE，∠AFE=∠DBE． 在△AFE和△DBE中， ， ∴△AFE≌△DBE（AAS）． ∴AF=BD． ∵AF=DC， ∴BD=DC． 即：D是BC的中点． （2）四边形ADCF是矩形； 证明：∵AF=DC，AF∥DC， ∴四边形ADCF是平行四边形． ∵AB=AC，BD=DC， ∴AD⊥BC即∠ADC=90°． ∴平行四边形ADCF是矩形． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形、矩形的判定等知识综合运用． 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD到点F，使DF=CE，连接AF. (1)求证:四边形ABEF是矩形； (2)连接OF，若AB=6，DE=2，∠ADF=45°，求OF的长度. 【答案】(1)见解析；(2) OF =. 【难度】0.65 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD=BC，等量代换得到BC=EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据直角三角形斜边中线可得：OF=AC，利用勾股定理计算AC的长，可得结论． 【详解】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD，AB∥CD. ∵DF=CE， ∴DF+DE=CE+ED， 即:FE=CD. ∵点F、E在直线CD上 ∴AB=FE，AB∥FE. ∴四边形ABEF是平行四边形   又∵BE⊥CD，垂足是E， ∴∠BEF=90°. ∴四边形ABEF是矩形.   (2)解:∵四边形ABEF是矩形O， ∴∠AFC=90°，AB=FE. ∵AB=6，DE=2， ∴FD=4. ∵FD=CE， ∴CE=4. ∴FC=10.   在Rt△AFD中，∠AFD=90°. ∵∠ADF=45°， ∴AF=FD=4.   在Rt△AFC中，∠AFC=90°. ∴. ∵点O是平行四边形ABCD对角线的交点， ∴O为AC中点 在Rt△AFC中，∠AFC=90°.O为AC中点. ∴OF=AC=. 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 直角三角形斜边中线的性质 1. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，周长为28的菱形中，对角线、交于点，为边中点，的长等于(    ) A．3.5 B．4 C．7 D．14 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用菱形的性质求线段长、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】根据菱形的周长求出其边长，再根据菱形的性质得出对角线互相垂直，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可. 【详解】∵四边形是菱形，周长为28 ∴AB=7,AC⊥BD ∴OH= 故选：A 【点睛】本题考查的是菱形的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握菱形的性质是关键. 2. （23-24九年级上·广东深圳·期末）在中，若，，，且D，E分别为，边上的中点，则的周长为 ． 【答案】6 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】利用勾股定理求得边的长度，然后结合三角形中位线定理以及斜边中线的性质，则易求的周长． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 又∵点D、E分别是，的中点， ∴，是的中位线，是斜边的中线， ∴，， ∴的周长． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、斜边的中线的性质和勾股定理．根据勾股定理求得的长度是解题的关键． 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，将一副三角板和拼在一起，为的中点，将沿翻折得到，连接，若，则 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】折叠问题、斜边的中线等于斜边的一半、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】设与相交于点，由直角三角形的性质及折叠的性质得出，，三点在一条直线上，求出和的长，则可得出答案． 【详解】解：设与相交于点， 由题意知，， ， 为的中点， ， 和为等边三角形， ， ， ， ， ， 点是的中点， 又为等腰直角三角形， ， ，，三点共线， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，含特殊角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 特殊四边形中命题辨析 1. （23-24九年级上·广东深圳·期末）下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【难度】0.85 【知识点】证明四边形是菱形 【分析】根据菱形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：A、根据等角对等边可得平行四边形的两条邻边相等，即可得到平行四边形为菱形，不符合题意； B、根据三角形的内角和定理，得到平行四边形的对角线互相垂直，即可得到平行四边形为菱形，不符合题意； C、根据同旁内角互补，两直线平行，不能得到平行四边形是菱形，符合题意； D、根据平行四边形的对边平行，两直线平行，内错角相等，以及等角对等边可得平行四边形的两条邻边相等，即可得到平行四边形为菱形，不符合题意；    故选C． 【点睛】本题考查菱形的判定．熟练掌握菱形的判定方法，是解题的关键． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）在四边形中，，不能判定四边形为矩形的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【分析】根据矩形的判定条件逐项进行分析判断即可； 【详解】解：A、∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意； B、∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，∠A+∠B＝180°， ∵∠A＝∠B， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意； C、∵AD∥BC， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°， ∵∠A＝∠C， ∴∠B＝∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形，不能判定四边形为矩形，故选项C符合题意； D、∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴四边形ABCD是矩形， ∴选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，准确分析判断是解题的关键． 3. （20-21九年级上·广东深圳·期末）下列命题中，正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．平行四边形的对角线平分且相等 D．顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】证明四边形是平行四边形、矩形的判定定理理解、添一个条件使四边形是菱形 【分析】根据矩形、菱形的判定和平行四边形的性质判断即可． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题，不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意； C、平行四边形的对角线平分，原命题是假命题，不符合题意； D、顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形，是真命题，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）下列命题中正确的是（    ） A．菱形的对角线相等 B．矩形的对角线互相垂直平分 C．对角线平分对角的平行四边形是菱形 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】矩形性质理解、矩形的判定定理理解、利用菱形的性质证明、证明四边形是菱形 【分析】分别根据矩形的性质与判断、菱形的判断与性质对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A． 菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，故A不符合题意； B． 矩形的对角线相等且互相平分，不一定互相垂直，故B不符合题意； C． 对角线平分对角的平行四边形是菱形，描述正确，故C符合题意； D． 对角线相等的四边形不一定是矩形，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质、菱形的判定与性质，熟知以上图形的基本性质与判定是解题关键． 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）顺次连接矩形四边中点所得的四边形（    ） A．一定是菱形 B．一定是矩形 C．一定是等腰梯形 D．是不规则图形 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明、证明四边形是菱形 【分析】根据题意画出图形即可进行解答． 【详解】解：如图：矩形，长为，宽为，点E、F、G、H为边的中点， ∵四边形为矩形， ∴， ∵点E、F、分别边的中点， ∴， 根据勾股定理可得：， 同理可得：， ∴顺次连接矩形四边中点所得的四边形为菱形． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定定理，解题的关键在掌握四边相等的四边形是菱形． 6. （22-23九年级上·广东深圳·期末）要检验一个四边形画框是否为矩形，可行的测量方法是（    ） A．测量四边形画框的两个角是否为 B．测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分 C．测量四边形画框的一组对边是否平行且相等 D．测量四边形画框的四边是否相等 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】矩形的判定定理理解 【分析】按照有一个角是直角是平行四边形是矩形，有三个角是直角是四边形是矩形，两条对角线相等的平行四边形是矩形，逐一分析判定． 【详解】A.测量四边形画框的两个角是否为， ∵有三个角是直角的四边形是矩形， ∴此测量方法不可行，不合题意； B.测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分， ∵对角线相等且互相平分的四边形是矩形， ∴此测量方法可行，符合题意； C.测量四边形画框的一组对边是否平行且相等， ∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，不一定是矩形， ∴此测量方法不可行，不合题意； D.测量四边形画框的四边是否相等， ∵四边相等的四边形可能是菱形，不是矩形， ∴此测量方法不可行，不合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，解决问题的关键是熟练掌握矩形的定义和判定定理． 7. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如果证明平行四边形为正方形，那么我们需要进一步证明（　　） A．且 B．且 C．且 D．和互相垂直平分 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】证明四边形是正方形、正方形的判定定理理解 【分析】根据正方形的判定对各个选项进行分析从而得到最后的答案． 【详解】解：A、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，所以能判断四边形是正方形； B、根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，或者对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能判断平行四边形是正方形； C、一组邻角相等的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形也是矩形，即只能证明四边形是矩形，不能判断四边形是正方形； D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以不能判断四边形是正方形． 故选：A 【点睛】此题考查了正方形判别的方法，判别一个四边形是正方形主要根据正方形的概念，途径有两种：①说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角是直角． 8. （18-19九年级上·广东深圳·期末）下列说法正确的是（　　） A．有一个角是直角的四边形是正方形 B．有一组邻边相等的四边形是正方形 C．有一组邻边相等的矩形是正方形 D．四条边都相等的四边形是正方形 【答案】C 【难度】0.85 【分析】利用正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、有一个角是直角的菱形是正方形，故本选项错误； B、有一组邻边相等的矩形是正方形，故本选项错误； C、本选项正确； D、四条边都相等的矩形是正方形，故本选项错误； 故选C． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定，正方形的判定方法： ①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； ②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角； ③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定． 9. （22-23九年级上·广东深圳·期末）下列判断错误的是（    ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．四个内角都相等的四边形是矩形 C．四条边都相等的四边形是菱形 D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】正方形的判定定理理解、证明四边形是菱形、证明四边形是矩形、证明四边形是平行四边形 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，说法正确，不符合题意； B、四个内角都相等的四边形是矩形，说法正确，不符合题意； C、四条边都相等的四边形是菱形，说法正确，不符合题意； D、两条对角线垂直且平分且相等的四边形是正方形，原说法错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定方法．熟练掌握平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定方法是解题的关键． 10. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（　　） A．AC⊥BD B．AB＝CD C．AB∥CD D．AC＝BD 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】中点四边形、添一条件使四边形是矩形、与三角形中位线有关的证明 【分析】根据三角形中位线定理得到EF=AC，EF∥AC，GH=AC，GH∥AC，EH∥BD，得到四边形EFGH为平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答即可． 【详解】解：∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点， ∴EF=AC，EF∥AC，GH=AC，GH∥AC，EH∥BD， ∴EF=GH，EF∥GH， ∴四边形EFGH为平行四边形， 当AC⊥BD时，EF⊥EH，则四边形EFGH为矩形， 故选：A． 【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、矩形的判定定理是解题的关键． 11. （23-24九年级上·广东深圳·期末）下列选项中，不能被边长为2的正方形及其内部所覆盖的图形是（    ） A．长度为的线段 B．边长为2的等边三角形 C．斜边为2的直角三角形 D．面积为4的菱形 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据正方形的性质求线段长、利用菱形的性质求面积、等边三角形的判定和性质 【分析】先计算出正方形的对角线长，即可逐项进行判定求解． 【详解】解：A、正方形的边长为2， 对角线长为， 长度为的线段能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故不符合题意； B、边长为2的等边三角形能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故不符合题意； C、斜边为2的直角三角形能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故不符合题意； D、而面积为4的菱形对角线长可以为8，故不能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故符合题意， 故选：D． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，等边三角形的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是掌握相关图形的特征进行判断． 正方形的性质 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E是边CD的中点，F在BC边上，且，连接EF，则BF的长为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据旋转的性质求解、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，首先证明△AFE≌△AGE，进而得到EF＝FG，问题即可解决． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD， ∴把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图： ∴∠BAF＝∠DAG，AB=AG ∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠BAF＋∠DAE＝∠DAG＋∠DAE=45°， ∴∠EAF＝∠EAG， ∵∠ADG＝∠ADC＝∠B＝90°， ∴∠EDG＝180°，点E、D、G共线， 在△AFE和△AGE中， AG＝AF，∠FAE＝∠EAG，AE＝AE， ∴△AFE≌△AGE（SAS）， ∴EF＝EG， 即：EF＝EG＝ED＋DG， ∵E为CD的中点，边长为6的正方形ABCD， ∴CD＝BC＝6，DE＝CE＝3，∠C＝90°， ∴设BF＝x，则CF＝6−x，EF＝3＋x， 在Rt△CFE中，由勾股定理得： EF2＝CE2＋CF2， ∴（3＋x）2＝32＋（6−x）2， 解得：x＝2， 即BF＝2， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及其性质的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 2. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在正方形中，E为上一点，连接，交对角线于点F，连接，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据正方形的性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】由正方形的性质可得BC=CD，∠BAC=∠ACB=∠ACD=45°，由“SAS”可证△BCF≌△DCF，可得∠CFD=∠CFB=75°． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=CD，∠BAC=∠ACB=∠ACD=45°， ∵∠ABE=30°， ∴∠BFC=∠ABE+∠BAC=75°， 在△BCF和△DCF中， ， ∴△BCF≌△DCF（SAS）， ∴∠CFD=∠CFB=75°， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质是解题的关键． 3. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，已知四边形ABCD是正方形，E是AB延长线上一点，且BE=BD，则∠BDE的度数是（     ） A．22.5° B．30° C．45° D．67.5° 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据正方形的性质与判定证明 【分析】由条件可得BE＝BD，即得∠BED＝∠BDE，根据正方形的性质得∠ABD＝45°，∠BED+∠BDE＝∠ABD＝45°，从而求得∠BDE． 【详解】解：∵正方形ABCD，AD＝AB， ∴∠ABD＝45°， ∵BE＝BD， ∴∠BED＝∠BDE， ∴∠BED+∠BDE＝∠ABD＝45°， ∴2∠BDE＝45°， ∴∠BDE＝22.5°， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形底角相等的性质，根据∠BED＝∠BDE和∠BED+∠BDE＝∠ABD＝45°是解题的关键． 4. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，四边形是正方形，以为边向外作等边，则 °． 【答案】45 【难度】0.65 【知识点】根据正方形的性质求角度、等边三角形的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质求得，，是等腰三角形， ，由即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴是等腰三角形， ∴， ∴． 故答案为：45 【点睛】此题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质和判定等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键． 5. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在正方形中，点，分别在，上，，垂足为． (1)求证：； (2)若正方形的边长是8，，点是的中点，求的长． 【答案】(1)见解答； (2) 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判断和性质，勾股定理． （1）根据正方形的性质可得，，结合可得即可得证； （2）由题意知即可求出，则，根据勾股定理即可求出，由是中点可得即可解答． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， 是中点，， ． 6. （18-19九年级上·广东深圳·期末）如图，已知正方形ABCD，E是AB延长线上一点，F是DC延长线上一点，且满足BF＝EF，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得FG，过点B作FG的平行线，交DA的延长线于点N，连接NG． （1）求证：BE＝2CF； （2）试猜想四边形BFGN是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明． 【答案】（1）见解析；（2）四边形BFGN是菱形，理由见解析. 【难度】0.65 【知识点】根据正方形的性质证明 【分析】（1）过F作FH⊥BE于点H，可证明四边形BCFH为矩形，可得到BH＝CF，且H为BE中点，可得BE＝2CF； （2）由条件可证明△ABN≌△HFE，可得BN＝EF，可得到BN＝GF，且BN∥FG，可证得四边形BFGN为菱形． 【详解】（1）证明：过F作FH⊥BE于H点， 在四边形BHFC中，∠BHF＝∠CBH＝∠BCF＝90°， 所以四边形BHFC为矩形， ∴CF＝BH， ∵BF＝EF，FH⊥BE， ∴H为BE中点， ∴BE＝2BH， ∴BE＝2CF； （2）四边形BFGN是菱形． 证明： ∵将线段EF绕点F顺时针旋转90°得FG， ∴EF＝GF，∠GFE＝90°， ∴∠EFH＋∠BFH＋∠GFB＝90° ∵BN∥FG， ∴∠NBF＋∠GFB＝180°， ∴∠NBA＋∠ABC＋∠CBF＋∠GFB＝180°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠NBA＋∠CBF＋∠GFB＝180°−90°＝90°， 由BHFC是矩形可得BC∥HF，∴∠BFH＝∠CBF， ∴∠EFH＝90°−∠GFB−∠BFH＝90°−∠GFB−∠CBF＝∠NBA， 由BHFC是矩形可得HF＝BC， ∵BC＝AB，∴HF＝AB， 在△ABN和△HFE中，， ∴△ABN≌△HFE， ∴NB＝EF， ∵EF＝GF， ∴NB＝GF， 又∵NB∥GF， ∴NBFG是平行四边形， ∵EF＝BF，∴NB＝BF， ∴平行四边NBFG是菱形． 点睛：本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，菱形的判定等，作出辅助线是解决（1）的关键．在（2）中证得△ABN≌△HFE是解题的关键． 7. （19-20九年级上·广东深圳·期末）四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF． （1）求证：△ADE≌△ABF； （2）若BC=12，DE=5，求△AEF的面积． 【答案】（1）见解析；（2）84.5． 【难度】0.65 【知识点】旋转综合题(几何变换)、根据正方形的性质与判定证明 【分析】（1）由正方形的性质得出AD=AB，∠D=∠ABC=∠ABF=90°，依据“SAS”即可证得； （2）根据勾股定理求得AE=13，再由旋转的性质得出AE=AF，∠EAF=90°，从而由面积公式得出答案． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°， 而F是CB的延长线上的点， ∴∠ABF=90°， 在△ADE和△ABF中， ∵ , ∴△ADE≌△ABF（SAS）； （2）∵BC=12，∴AD=12， 在Rt△ADE中，DE=5，AD=12， ∴AE==13，(勾股定理) ∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90°得到， ∴AE=AF，∠EAF=90°， ∴△AEF的面积=AE2=×169=84.5． 【点睛】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质及旋转的性质，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 矩形、菱形性质与判定综合 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相交于点O，与相交于点N，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)20 【难度】0.65 【知识点】根据矩形的性质求线段长、证明四边形是菱形、线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识． （1）由矩形的性质得，则，由垂直平分得，而，即可证明，得，因为，所以，即可证明四边形是菱形； （2）由勾股定理得，而，，所以，求得，则． 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． （2）∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴菱形的面积为20． 2. （21-22九年级上·广东深圳·期末）如图，点E是矩形的边延长线上一点，连接，，交于点G，作交于点F，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、证明四边形是菱形、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明 【分析】（1）根据矩形的性质可得，，从而证明四边形是平行四边形，再根据菱形的判定证明即可； （2）连接，根据菱形的性质证明，再利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：如图，连接，    ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理，得， ∴， 解得． 【点睛】本题考查矩形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 3. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG． (1)求证：四边形CEFG是菱形； (2)若AB=6，AD=10，求四边形CEFG的面积． 【答案】(1)见解析 (2)四边形CEFG的面积为． 【难度】0.65 【知识点】证明四边形是菱形、矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据题意和翻折的性质，可以得到△BCE≌△BFE，再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立； （2）根据题意和勾股定理，可以求得AF的长，进而求得EF和DF的值，从而可以得到四边形CEFG的面积． 【详解】（1）证明：由题意可得， △BCE≌△BFE， ∴∠BEC=∠BEF，FE=CE， ∵FG∥CE， ∴∠FGE=∠CEB， ∴∠FGE=∠FEG， ∴FG=FE， ∴FG=EC， ∴四边形CEFG是平行四边形， 又∵CE=FE， ∴四边形CEFG是菱形； （2）解：∵矩形ABCD中，AB=6，AD=10，BC=BF， ∴∠BAF=90°，AD=BC=BF=10， ∴AF=8， ∴DF=2， 设EF=x，则CE=x，DE=6-x， ∵∠FDE=90°， ∴22+（6-x）2=x2， 解得，x=， ∴CE=， ∴四边形CEFG的面积是：CE•DF=×2=． 【点睛】本题考查翻折变化、菱形的性质和判定、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，对角线，相交于点，过点作且，连接，，． (1)求证：是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、利用平行四边形的性质求解、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）先证四边形是平行四边形．再证平行四边形是矩形，则，得，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）证是等边三角形，得，再由勾股定理得，然后由矩形的在得，，即可解决问题． 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是矩形， ， ， 是菱形； （2）解：四边形是菱形， ，，， ， 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 由（1）可知，四边形是矩形， ，， ， 即的长为． 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，正方形ABCD的边长为2，以BC为边向正方形内作等边△BCE，连接AE、DE． （1）请直接写出∠AEB的度数，∠AEB＝　 　； （2）将△AED沿直线AD向上翻折，得△AFD．求证：四边形AEDF是菱形； （3）连接EF，交AD于点 O，试求EF的长？    【答案】(1)75°;(2)证明见解析；（3） 【难度】0.65 【知识点】四边形其他综合问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、利用菱形的性质证明 【详解】试题分析：（1）由正方形和等边三角形的性质得出∠ABE=30°，AB=BE，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠AEB的度数； （2）先判断出△ABE≌△DCE，得到AE=ED，再由翻折的性质即可得出结论； （3）先由等边三角形的性质求出EH，进而得出OE，借助（2）的结论即可求出EF． 试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=CD， ∵△EBC是等边三角形， ∴BE=BC，∠EBC=60°， ∴∠ABE=90°-60°=30°，AB=BE， ∴∠AEB=∠BAE=（180°-30°）=75°； （2）∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ABC=∠BCD=90°，AB=CD， ∵△BCE为等边三角形， ∴∠BCE=∠EBC=60°，BE=EC， ∴∠ABE=∠DCE=90°-60°=30°， ∴△ABE≌△DCE， ∴AE=ED， ∵△AED沿着AD翻折为△AFD， ∴AE=ED=AF=FD， ∴四边形AEDF是菱形； （3）如图， 由翻折知，AE=AF，∠FAO=∠EAO， ∴EF⊥AD，过点E作EH⊥BC于H， 在等边三角形BCE中，BC=2， ∴EH=BC=， ∴EO=OH-EH=AB-EH=2-， ∴EF=2EO=2（2-）=4-2． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，翻折性质，菱形的判定和性质，解（2）的关键是判断出AE=ED，解（3）的关键是作出辅助线求出EH．是一道中等难度的中考常考题． 特殊平行四边形折叠问题 1. （18-19九年级上·广东深圳·期末）如图，D在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是边AD一个动点，将△ABE沿BE对折成△BEF，则线段DF长的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】矩形与折叠问题 【分析】连接DF、BD，根据DF＞BD−BF可知当点F落在BD上时，DF取得最小值，且最小值为BD−BF的长，然后根据矩形的折叠性质进一步求解即可. 【详解】如图，连接DF、BD， 由图可知，DF＞BD−BF， 当点F落在BD上时，DF取得最小值，且最小值为BD−BF的长， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD=4、BC=6， ∴BD=， 由折叠性质知AB=BF=4， ∴线段DF长度的最小值为BD−BF=， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了矩形的折叠的性质，熟练掌握相关概念是解题关键. 2. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点落在上的点处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点恰好落在上的点处，为折痕，连接并延长交于点，若，，则线段的长等于 ． 【答案】． 【难度】0.4 【知识点】正方形折叠问题 【分析】据折叠可得是正方形，，，，可求出三角形的三边为3，4，5，在中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证∽，三边占比为3：4：5，设未知数，通过，列方程求出待定系数，进而求出的长，然后求的长． 【详解】过点作，，垂足为、， 由折叠得：是正方形，， ，，， ∴， 在中，， ∴， 在中，设，则，由勾股定理得， ， 解得：， ∵，， ∴∽， ∴， 设，则，， ∴，， 解得：， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】考查折叠轴对称的性质，矩形、正方形的性质，直角三角形的性质等知识，知识的综合性较强，是有一定难度的题目． 3. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在正方形中，，点E是边的中点，将沿着翻折，得到，延长交的延长线于点H，则＝ ．    【答案】 【难度】0.15 【知识点】用勾股定理解三角形、正方形折叠问题、折叠问题 【分析】先根据勾股定理求出，根据折叠的性质得到，进而得到，过点D′作于点F，过点C作于点G，则，于是，由三角形内角和定理得到，，由可算出，在中，，则. 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， 在中，， ∵将沿着翻折，得到， ∴， ∴， 如图，过点D′作于点F，过点C作于点G，    则， ∴ ， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∵， ∴ , ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，正确作出辅助线，根据题意推理论证得到是解题关键． 特殊平行四边形性质求解 1. （22-23八年级下·广东深圳·期末）已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB=4，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（　　） A．（0，0） B．（1，） C．（，） D．（，） 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】一次函数与几何综合、利用菱形的性质求线段长 【详解】解：如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K． ∵四边形OABC是菱形， ∴AC⊥OB，GC=AG，OG=BG=，A、C关于直线OB对称， ∴PC+PD=PA+PD=DA， ∴此时PC+PD最短． 在RT△AOG中，AG===， ∴AC=． ∵OA•BK=•AC•OB， ∴BK=4，AK==3， ∴点B坐标（8，4）， ∴直线OB解析式为，直线AD解析式为， 由，解得：， ∴点P坐标（，）． 故选D． 2. （22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，已知点是菱形的对角线延长线上一点，过点分别作、延长线的垂线，垂足分别为点、．若，，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】根据菱形的基性质，得到∠PAE=30°，,利用勾股理求出AC=，则AP= +PC，PE=AP=+PC ，由∠PCF=∠DCA=30°，得到PF=PC ，最后算出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形且∠ABC=120°，AB=2， ∴AB=BC=CD=DA=2，∠BAD=60°，AC⊥BD， ∴∠CAE=30︒， ∵AC⊥BD，∠CAE=30°，AD=2， ∴AC=， ∴AP=+PC， 在直角△AEP中， ∵∠PAE=30°，AP=+PC， ∴PE=AP=+PC， 在直角△PFC中， ∵∠PCF=30°， ∴PF=PC， ∴=+PC-PC=， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质、勾股定理的应用以及在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，关键会在直角三角形中应用30°． 3. （23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在矩形中，过的中点O作交，于点E，F，连接，，若四边形的面积为，，则四边形的周长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】根据垂直平分线的性质得出，根据矩形的性质得出，再利用证明，然后根据全等三角形的性质即可证明四边形为菱形，根据菱形的性质得出，再根据勾股定理及含30度角的直角三角形的性质并利用菱形的面积即可    求得，从而得出答案． 【详解】解：为AC的中点， 四边形为矩形 ， 在和中 四边形为菱形 ， 设，则， 四边形的面积为， （负值不符合题意） 四边形的周长为 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定及性质、勾股定理、全等三角形的判定及性质以及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在矩形中，点是的中点，的平分线交于点，将沿折叠，点恰好落在上点处，延长交于点，则和的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】矩形与折叠问题、角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】根据题意，由折叠的性质可知，，，；根据点是的中点可知，再结合角平分线的性质可知，即可证明，由全等三角形的性质可得，由三角形面积公式即可求得和的面积之比． 【详解】解：根据题意，由折叠的性质可知， ，，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 即和的面积之比为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 5. （22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（ ）    A．①② B．②③ C．①③ D．①④ 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】等边三角形的判定、含30度角的直角三角形、矩形与折叠问题、折叠问题 【详解】解：∵AE=AB， ∴BE=2AE， 由翻折的性质得，PE=BE， ∴∠APE=30°， ∴∠AEP=90°﹣30°=60°， ∴∠BEF=（180°﹣∠AEP）=（180°﹣60°）=60°， ∴∠EFB=90°﹣60°=30°， ∴EF=2BE，故①正确； ∵BE=PE， ∴EF=2PE， ∵EF＞PF， ∴PF＜2PE，故②错误； 由翻折可知EF⊥PB， ∴∠EBQ=∠EFB=30°， ∴BE=2EQ，EF=2BE， ∴FQ=3EQ，故③错误； 由翻折的性质，∠EFB=∠EFP=30°， ∴∠BFP=30°+30°=60°， ∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°， ∴∠PBF=∠PFB=60°， ∴△PBF是等边三角形，故④正确； 综上所述，结论正确的是①④． 故选：D． 6. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，在直角三角形ABC中，，，，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作于点E，于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（    ） A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.5 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形 【分析】先由勾股定理求出，再证四边形CEMF是矩形，得，当时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，然后由三角形面积求出，即可得出答案． 【详解】解：连接CM，如图所示： ∵，，， ∴， ∵，，， ∴四边形CEMF是矩形， ∴， ∵点P是EF的中点， ∴， 当CM⊥AB时，CM最短， 此时EF也最小，则CP最小， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、三角形面积以及最小值等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 7. （18-19九年级上·广东深圳·期末）如图．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是斜边上的中点，点P在AB上，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，若AB=6，BC=3，则PE+PF=（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、勾股定理的应用 【详解】【分析】如图作BM⊥AC于M，连接PD，根据勾股定理可求得AC的长，再根据直角三角形斜边中线的性质可得BD=AD=DC，利用面积法可求得BM的长，再根据S△ABD=S△ADP+S△BDP，即可求得PE+PF的长. 【详解】如图作BM⊥AC于M，连接PD， ∵∠ABC=90°，AD=DC，AB=6，BC=3， ∴BD=AD=DC，AC= , ∵ •AB•BC=•AC•BM， ∴BM=， ∴S△ABD=S△ADP+S△BDP， ∴•AD•BM=•AD•PF+•BD•PE， ∴PE+PF=BM=， 故选A. 【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边中线的性质、等积法的应用，正确添加辅助线是解本题的关键. 8. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，矩形ABCD中，AB=20，AD=30，点E，F分别是AB，BC边上的两个动点，且EF=10，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH、GH，则GH+CH的最小值为 . 【答案】45 【难度】0.65 【知识点】四边形中的线段最值问题、矩形性质理解 【分析】延长BA至点使得,此时三点共线，,此时为最小值. 【详解】解：如图所示： 延长BA至点使得, 当三点共线时， , 点G为EF中点，此时，即：, 此时为最小值, 则：, 故答案为：45 【点睛】本题考查线段相加的最值问题，解题关键找对称点即可. 正方形性质计算（综合） 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°， 分别以AC， BC为边向外作正方形ACDE与正方形BCFG， H为EG的中点，连接DH，FH．记△FGH的面积为S1，△CDH的面积为S2，若S1－S2＝6，则AB的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】根据正方形的性质求线段长 【分析】连接AD交EC于点M，连接BF交CG于点N，设，分别求出，，，，，，，分别求得，，由得，，由勾股定理可得结论． 【详解】解：连接AD交EC于点M，连接BF交CG于点N， ∵四边形ACDE，BCFG是正方形， ∴，， 设， ∵∠， ∴ ∴， ∴， 同理可证：， ∵， ∴， ∵H为EG的中点， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， 整理得，， ∵∠， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH.连结EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P.若GO=GP，则的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积、根据正方形的性质求角度 【分析】证明，得出．设，则，，由勾股定理得出，则可得出答案． 【详解】解：四边形为正方形， ，， ， ， ， 又， ， ， ，， ， ． 设， 为，的交点， ，， 四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”， ， ， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 3. （18-19九年级上·广东深圳·期末）如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点、G分别在边上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】连接AC,根据正方形的性质可得A、E、C三点共线，连接FG交AC于点M，由正方形的性质求和勾股定理可求得EC和FG，AC的长度,从而求得AE,因为的中点，可得PE和AP,再由正方形的性质可得GM和EM ,FG，在Rt△PGM中，求解即可． 【详解】解，如下图，连接AC，连接FG与AC交于点M ∵四边形ABCD和四边形EFCG是正方形，且点、G分别在边上 ∴A、E、C三点共线，，, 在中， 由勾股定理得： ∵AC＞0 ∴ 在中， 由勾股定理得： ∵EC＞0 ∴ ∴ 又∵P是AE的中点，M是EC的中点 ∴ 又∵ 在中，由勾股定理得： 即：= ∵ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理解三角形等知识点，牢记性质和定理内容，并结合图形灵活应用是解题关键． 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在边长为的正方形中，点分别是边的中点，连接点分别是的中点，连接，则的长度为 ． 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长、与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形 【分析】过E作，过G作，过H作，与相交于I，分别求出HI和GI的长，利用勾股定理即可求解． 【详解】过E作，过G作，过H作，垂足分别为P，R，R，与相交于I，如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴， ， ∴四边形AEPD是矩形， ∴， ∵点E，F分别是AB，BC边的中点， ∴， ，， ∵点G是EC的中点， 是的中位线， ， 同理可求：， 由作图可知四边形HIQP是矩形， 又HP=FC，HI=HR=PC， 而FC=PC， ∴ ， ∴四边形HIQP是正方形， ∴， ∴ 是等腰直角三角形， 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定与性质，三角形的中位线与勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答此题的关键． 多结论判断 1. （18-19九年级上·广东深圳·期末）在边长为3的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA边上，且满足EB=FC=GD=HA=1，BD分别与HG、HF、EF相交于M、O、N给出以下结论： ①HO=OF；②OF2=ON•OB；③HM=2MG；④S△HOM=，其中正确的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】四边形其他综合问题 【分析】根据正方形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理一一判断即可． 【详解】作MP⊥AD于P，MQ⊥CD于Q．连接OG． ∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AD=BC． ∵AH=CF，∴DH=BF，∠ODH=∠OBF． ∵∠DOH=∠BOF，∴△DOH≌△BOF，∴OH=OF，故①正确． ∵∠FON=∠FOB，∠OFN=∠OBF=45°，∴△OFN∽△OBF，∴OF2=ON•OB，故②正确． ∵∠MDH=∠MDG，MP⊥AD于P，MQ⊥CD于Q，∴MP=MQ． ∵2，∴HM=2MG，故③正确． ∵正方形EFGH的面积=5，∴S△OHG的面积，∴S△OMH，故④正确． 故选D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质、角平分线的性质定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 2. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，在正方形中，分别在边上，且，连接相交于点．则下列结论：①；②；③；④当为中点时，连接，则；正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据正方形的性质证明 【分析】证明△BCE≌△CDF可判断①；利用△BCE≌△CDF可得S△BCE=S△CDF，从而可判断②；证明△BCG∽△CEG得，可判断③；过D作DM⊥FG于M，证明MD=MG即可判断④，从而可得结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形 ∴BC=CD，∠BCE=∠CDF 又CE=DF ∴△BCE≌△CDF ∴，故①正确； ②∵△BCE≌△CDF ∴S△BCE=S△CDF， ∴S△BCE-S△CGE=S△CDF-S△CG， ∴； ③∵△BCE≌△CDF ∴∠CBE=∠FCD ∵∠BCG+， ∴∠ ∴∠ 又∵∠BGC=∠CGE=90°，∠GBC=∠GCE ∴△BCG∽△CEG ∴, ∴，故③正确； ④过D作DM⊥FG于M，如图所示， 设DF=a，则AD=2a ∵CE=DF ∴ 利用面积法可得 ∴ 同理可得， ∴ ∴MG=CF-FM-CG= ∴MD=MG ∵DMG=90° ∴，故④正确 ∴正确的结论有4个， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了运用正方形的有关性质进行讲明和求解，熟练掌握正方形的性质是解答此题的关键． 3. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝．其中正确结论的个数是(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】根据正方形的性质与判定证明 【分析】由正方形和折叠的性质得出AF＝AB，∠B＝∠AFG＝90°，由HL即可证明Rt△ABG≌Rt△AFG，得出①正确； 设BG＝x，则CG＝BC−BG＝6−x，GE＝GF＋EF＝BG＋DE＝x＋2，由勾股定理求出x＝3，得出②正确； 由等腰三角形的性质和外角关系得出∠AGB＝∠FCG，证出平行线，得出③正确； 根据三角形的特点及面积公式求出△FGC的面积＝，得出④正确． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝DC＝6，∠B＝D＝90°， ∵CD＝3DE， ∴DE＝2， ∵△ADE沿AE折叠得到△AFE， ∴DE＝EF＝2，AD＝AF，∠D＝∠AFE＝∠AFG＝90°， ∴AF＝AB， ∵在Rt△ABG和Rt△AFG中， ， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）， ∴①正确； ∵Rt△ABG≌Rt△AFG， ∴BG＝FG，∠AGB＝∠AGF， 设BG＝x，则CG＝BC−BG＝6−x，GE＝GF＋EF＝BG＋DE＝x＋2， 在Rt△ECG中，由勾股定理得：CG2＋CE2＝EG2， ∵CG＝6−x，CE＝4，EG＝x＋2 ∴（6−x）2＋42＝（x＋2）2 解得：x＝3， ∴BG＝GF＝CG＝3， ∴②正确； ∵CG＝GF， ∴∠CFG＝∠FCG， ∵∠BGF＝∠CFG＋∠FCG， 又∵∠BGF＝∠AGB＋∠AGF， ∴∠CFG＋∠FCG＝∠AGB＋∠AGF， ∵∠AGB＝∠AGF，∠CFG＝∠FCG， ∴∠AGB＝∠FCG， ∴AG∥CF， ∴③正确； ∵△CFG和△CEG中，分别把FG和GE看作底边， 则这两个三角形的高相同． ∴， ∵S△GCE＝×3×4＝6， ∴S△CFG＝×6＝， ∴④正确； 正确的结论有4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形性质、折叠性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、平行线的判定等知识点的运用；主要考查学生综合运用性质进行推理论证与计算的能力，有一定难度． 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，在AB上取一点F，使点B关于直线EF的对称点G落在AD上，连接EG交CD于点H，连接BH交EF于点M，连接CM．则下列结论，其中正确的是（　　） ①∠1＝∠2； ②∠3＝∠4； ③GD＝CM； ④若AG＝1，GD＝2，则BM＝．    A．①②③④ B．①② C．③④ D．①②④ 【答案】A 【难度】0.15 【知识点】角平分线性质定理及证明、全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质与判定证明 【分析】①正确．如图1中，过点B作BK⊥GH于K．想办法证明Rt△BHK≌Rt△BHC（HL）可得结论． ②正确．分别证明∠GBH=45°，∠4=45°即可解决问题． ③正确．如图2中，过点M作MW⊥AD于W，交BC于T．首先证明MG=MD，再证明△BTM≌△MWG（AAS），推出MT=WG可得结论． ④正确．求出BT=2，TM=1，利用勾股定理即可判断． 【详解】解：如图1中，过点B作BK⊥GH于K．    ∵B，G关于EF对称， ∴EB＝EG， ∴∠EBG＝∠EGB， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，AD∥BC， ∴∠AGB＝∠EBG， ∴∠AGB＝∠BGK， ∵∠A＝∠BKG＝90°，BG＝BG， ∴△BAG≌△BKG（AAS）， ∴BK＝BA＝BC，∠ABG＝∠KBG， ∵∠BKH＝∠BCH＝90°，BH＝BH， ∴Rt△BHK≌Rt△BHC（HL）， ∴∠1＝∠2，∠HBK＝∠HBC，故①正确， ∴∠GBH＝∠GBK+∠HBK＝∠ABC＝45°， 过点M作MQ⊥GH于Q，MP⊥CD于P，MR⊥BC于R． ∵∠1＝∠2， ∴MQ＝MP， ∵∠MEQ＝∠MER， ∴MQ＝MR， ∴MP＝MR， ∴∠4＝∠MCP＝∠BCD＝45°， ∴∠GBH＝∠4，故②正确， 如图2中，过点M作MW⊥AD于W，交BC于T．    ∵B，G关于EF对称， ∴BM＝MG， ∵CB＝CD，∠4＝∠MCD，CM＝CM， ∴△MCB≌△MCD（SAS）， ∴BM＝DM， ∴MG＝MD， ∵MW⊥DG， ∴WG＝WD， ∵∠BTM＝∠MWG＝∠BMG＝90°， ∴∠BMT+∠GMW＝90°， ∵∠GMW+∠MGW＝90°， ∴∠BMT＝∠MGW， ∵MB＝MG， ∴△BTM≌△MWG（AAS）， ∴MT＝WG， ∵MC＝TM，DG＝2WG， ∴DG＝CM，故③正确， ∵AG＝1，DG＝2， ∴AD＝AB＝TM＝3，EM＝WD＝TM＝1，BT＝AW＝2， ∴BM＝，故④正确， 故选：A． 【点睛】本题考查正方形的性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 5. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点，连结与相交于点H．给出下列结论， ①△ABE≌△DCF；②△DPH是等腰三角形；③；④， 其中正确结论的个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据正方形的性质证明 【分析】①利用等边三角形的性质以及正方形的性质得出∠ABE=∠DCF=30°，再直接利用全等三角形的判定方法得出答案； ②利用等边三角形的性质结合正方形的性质得出∠DHP=∠BHC=75°，进而得出答案； ③利用相似三角形的判定与性质结合锐角三角函数关系得出答案； ④根据三角形面积计算公式，结合图形得到△BPD的面积=△BCP的面积+△CDP面积-△BCD的面积，得出答案． 【详解】∵△BPC是等边三角形， ∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°， 在正方形ABCD中， ∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90° ∴∠ABE=∠DCF=30°， 在△ABE与△CDF中，， ∴△ABE≌△DCF，故①正确； ∵PC=BC=DC，∠PCD=30°， ∴∠CPD=75°， ∵∠DBC=45°，∠BCF=60°， ∴∠DHP=∠BHC=18075°， ∴PD=DH， ∴△DPH是等腰三角形，故②正确； 设PF=x，PC=y，则DC=AB=PC=y， ∵∠FCD=30°， ∴即， 整理得： 解得：， 则，故③正确； 如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC， 设正方形ABCD的边长是4， ∵△BPC为正三角形， ∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4， ∴∠PCD=30°， ∴， ， S△BPD=S四边形PBCD-S△BCD=S△PBC+S△PDC-S△BCD ， ∴，故④正确； 故正确的有4个， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定等知识，解答此题的关键是作出辅助线，利用锐角三角函数的定义表示出出FE及PC的长是解题关键． 6. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，AE的垂直平分线分别交AD，BC及AB的延长线于点F，G，H，连接HE，HC，OD，连接CO并延长交AD于点M．则下列结论中： ①FG=2AO；②OD∥HE；③；④2OE2=AH•DE；⑤GO+BH=HC 正确结论的个数有（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【难度】0.15 【知识点】四边形其他综合问题、一次函数与几何综合 【分析】建立以B点位坐标原点的平面直角坐标系，分别求出相应直线的解析式和点的坐标，求出各线段的距离，可得出结论. 【详解】解：如图， 建立以B点为坐标原点的平面直角坐标系，设正方形边长为2，可分别得各点坐标， A(0,2),B(0,0),C(2,0),D(2,2), E为CD的中点,可得E点坐标（2，1），可得AE的直线方程，，由OF为直线AE的中垂线可得O点为，设直线OF的斜率为K，得，可得k=2,同时经过点O(),可得OF的直线方程： ，可得OF与x轴、y轴的交点坐标G(,0),H(0,),及F(,2), 同理可得：直线CO的方程为：，可得M点坐标（，2）， 可得：①FG=, AO==, 故FG=2AO，故①正确； ②：由O点坐标，D点坐标（2，2），可得OD的方程：， 由H点坐标(0,)，E点坐标（2，1），可得HE方程：， 由两方程的斜率不相等，可得OD不平行于HE， 故②错误； ③由A(0,2)，M（，2），H(0,)，E（2，1）， 可得：BH=,EC=1,AM=,MD=, 故=， 故③正确； ④：由O点坐标，E（2，1），H(0,)，D(2,2), 可得：, AH=,DE=1,有2OE2=AH•DE， 故④正确； ⑤：由G(,0)，O点坐标，H(0,)，C(2,0), 可得：, BH=,HC=, 可得：GO≠BH+HC, 故正确的有①③④， 故选B． 【点睛】本题主要考查一次函数与矩形的综合，及点与点之间的距离公式，难度较大，灵活建立直角坐标系是解题的关键. 7. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，正方形ABCD中，AB=4，点E是BA延长线上一点，点M、N分别为边AB、BC上的点，且AM=BN=1，连接CM、ND，过点M作MF∥ND与∠EAD的平分线交于点F，连接CF分别与AD、ND交于点G、H，连接MH，则下列结论正确的有（     ）个 ①MC⊥ND；②sin∠MFC=；③(BM+DG)²=AM²+AG²；④S△HMF= A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定证明 【分析】①设MC与DN交点是P，通过证明△MBC≌△NCD得到∠PNC=∠CMB，又证明则∠PNC +∠PCN =90°求出∠NPC=90°，则MC⊥ND，即可得到答案. 故①MC⊥ND正确. ②延长AE，作FQ⊥AF于点Q，利用勾股定理求出MC=5，再通过△MBC∽△FQM得到即，又因为QA=QF，则可以求得QA=QF =3，进而求得，在Rt△FMC中，利用勾股定理得则可以求得sin∠MFC的值. ③设(BM+DG)²=AM²+AG²存在，利用边与边的关系可以求出DG，符合题意，即可求出答案. ④作HI⊥MF于点I,先证△CPN∽△CBM，求出PC，MP=MC-PC=5-，再通过证 四边形MPHI是矩形，求得IH= MP，知道△HMF的底和高，即可求出答案. 【详解】(1) 设MC与ND交于点P，如图所示. ∵四边形ABCD是正方形 ∴CD=BC=AB=4 ∠MBC=∠NCD=90° ∵AM=BN=1 ∴NC=BC-BN=4-1=3 MB=AB-AM=4-1=3 ∴NC=MB 在△MBC与△NCD中， ∴△MBC≌△NCD ∴∠PNC=∠CMB ∵∠MBC =90° ∴∠CMB+∠PCN =90° 则∠PNC +∠PCN =90° ∴∠NPC=180°-（∠PNC +∠PCN）=90° ∴MC⊥ND 故①MC⊥ND正确. （2） 延长AE，作FQ⊥AF于点Q ∵MB=3,BC=4.∠B=90° ∴在Rt△MBC中，利用勾股定理得 ∠BCM+∠BMC =90° ∵MC⊥ND，MF∥ND ∴∠FMC=90° ∴∠QMF+∠BMC=180°-∠FMC=90° ∴∠QMF=∠BCM ∵FQ⊥AF ∠B=90° ∴∠FQM=∠B ∴△MBC∽△FQM ∴即 ∵四边形ABCD是正方形，AF平分∠QAG ∴∠QAF= 又∵∠FQM=90° ∴∠QFA=∠QAF ∴QA=QF ∴变形为解得QA=QF =3 ∴QM=QA+AM=4 ∴在Rt△QMF中，利用勾股定理得 ∴在Rt△FMC中，利用勾股定理得 ∴sin∠MFC=故②正确 （3）设(BM+DG)²=AM²+AG²存在 由上述可知BM=3,AM=1,AG=AD-GD=4-DG， 将其代入(BM+DG)²=AM²+AG² 得：(3+DG)²=1²+（4-DG）² 解得DG=，符合题意，故③正确. （4） 作HI⊥MF于点I ∵∠PCN=∠PCN，∠NPC=∠B=90° ∴△CPN∽△CBM ∴则即 解得 ∴MP=MC-PC=5- ∵∠IMP=∠MPH=∠MIH=90° ∴四边形MPHI是矩形 ∴IH= MP ∴S△HMF=故④正确 综上所述四项全部正确，答案选D 【点睛】本题是考查了全等、相似、勾股定理的综合性题目，难度较大，合适选择辅助线是解答此题的关键. 8. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，分析下列四个结论： ①QB=QF；②BG=；③tan∠BQP=；④S四边形ECFG=2S△BGE，其中正确的是 . 【答案】①③ 【难度】0.85 【知识点】正方形折叠问题 【分析】按照题意依次求解即可，①中可以证明角相等进而得出QB=QF，②中可以根据,在利用勾股定理求出BG长即可，③中可以通过做辅助线QM垂直于BF于点M根据各线段长求出，④中可以利用三角形相似去解答. 【详解】解：①中、 , ,故①对. ②中、根据已知条件可得： , , ,且, 则可得：,故②错. ③中、如图所示： 过点Q做,则, 又 ,根据勾股定理可得： ,即, ,故③对. ④中、根据已知条件可得：, 即相似比为：, 所以：, ,故④错. 故答案为：①③. 【点睛】本题考查几何综合题，解题关键是要明白翻折所产生的三角形的性质是什么样子，进而根据题意去求出答案即可. 特殊四边形综合探究 1. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA＝8，OC＝6，点D是对角线AC的中点，过点D的直线分别交OA、BC边于点E、F． （1）求证：四边形EAFC是平行四边形； （2）当CE＝CF时，求EF的长； （3）在条件（2）的情况下，P为x轴上一点，当以E，F，P为顶点的三角形为等腰三角形时，请求出点P的坐标． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）点P的坐标为（8，0）或（，0）或（﹣，0）或（，0） 【难度】0.65 【知识点】矩形性质理解、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】（1）证明△CDF≌△ADE（AAS），由全等三角形的性质得出DF＝DE，由平行四边形的判定可得出答案； （2）设CE＝AE＝x，由勾股定理得出62+（8﹣x）2＝x2，求出x＝，由勾股定理可得出答案； （3）分三种情况：①若PE＝PF，②若EF＝EP，③若EF＝FP，由等腰三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形OABC是矩形， ∴BC∥OA， ∴∠FCD＝∠DAE，∠CFD＝∠AED， ∵D是AC的中点， ∴CD＝AD， ∴△CDF≌△ADE（AAS）， ∴DF＝DE， ∴四边形EAFC是平行四边形； （2）解：∵四边形EAFC是平行四边形，CE＝CF， ∴四边形EAFC是菱形， ∴CE＝EA，AC⊥EF， 设CE＝AE＝x， ∵OC2+OE2＝CE2， ∴62+（8﹣x）2＝x2， ∴x＝， ∴CE＝， ∵OA＝8，OC＝6， ∴AC＝＝＝10， ∴CD＝AC＝5， ∴ED＝＝＝， ∴EF＝2ED＝； （3）由（2）可知，， 分三种情况： ①若PE＝PF，点P与点A重合， ∴P（8，0）， ②若EF＝EP＝， 当点P在x轴的正半轴上，OP＝OE+PE＝＝， ∴P（，0）， 当点P在x轴的负半轴上，OP＝PE﹣OE＝＝， ∴P（﹣，0）， ③若EF＝FP，过点F作FG⊥AE于点G，则EG＝CF﹣OE＝﹣＝， ∴EP＝9， ∴OP＝OE+EP＝+9＝， ∴P（，0）． 综上可得，点P的坐标为（8，0）或（，0）或（﹣，0）或（，0）． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 2. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发向终点运动；同时点从点出发向终点运动当、两点其中有一点到达终点时，另一点随之停止，点、的速度分别为，，连接、、设点、运动的时间为． (1)如图（1），当为何值时，四边形是矩形？ (2)如图（2），若点为边上一点，当时，四边形可能为菱形吗？若能，请求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形ABCD能成为菱形， 【难度】0.65 【知识点】根据矩形的性质求线段长、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题主要考查矩形的性质，菱形的性质，一元一次方程的应用 （1）根据矩形的性质可得，进而列方程，解方程可求解； （2）根据菱形的性质可得，进而列方程，解方程可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，，则， 若四边形是矩形，则， ， 解得， 故当时，四边形是矩形； （2）如图 由题意得，，则， ∴，，， 显然若要使四边形为菱形，只需保证， ， 解得， 故当时，四边形为菱形． 即四边形ABCD能成为菱形，此时． 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）综合与实践： 问题情境：矩形旋转中的数学 已知在矩形中，，，以点为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点、点、点的对应点分别为点、点、点． 操作猜想： （1）如图①，当点落在边上时，求线段的长度； 深入探究： （2）如图②，当点落在线段上时，与相交于点，连接，求线段的长度； （3）请从，两题中任选一题作答，我选______题． 题：如图③，设点为边的中点，连接，，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由． 题：如图④，设点为矩形对角线交点，连接，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由． 【答案】（1）CE= 2-；（2）DH=；（3）A题：存在最大值+1；B题：存在最大值． 【难度】0.65 【知识点】利用矩形的性质证明、旋转综合题(几何变换) 【分析】（1）由旋转的性质可得AE=AB，利用勾股定理可求出DE的长，即可得CE的长； （2）如图，由旋转的性质及矩形性质可得AE=CD，∠AEF=∠B=90°，根据点落在线段上可得AE⊥CF，利用HL可证明△ACD≌△CAE，可得∠CAH=∠ACH，即可证明AH=CH，在Rt△ADH中，利用勾股定理列方程求出DH的长即可； （3）A题：如图，连接PA，作BM⊥PE，交PE延长线于M，由点P为FG中点可得PF=PG=1，利用勾股定理可得PA=PE=，即可得出S△BEP=PE·BM=BM，可得当BM最大时，△BEP的面积最大，根据三角形的三边关系及直角三角形的性质求出BM的最大值即可得答案； B题：如图，过点B作BM⊥FA，交FA延长线于M，利用勾股定理可求出AF的长，根据矩形性质可求出PF的长，可得出S△BFP=PF·BM，可得BM最大时△BFP的面积最大，利用三角形的三边关系得出BM的最大值即可得答案． 【详解】（1）∵以点为旋转中心，逆时针旋转矩形，得到矩形，，， ∴AE=AB=CD=2，AD=BC=1， ∴DE==， ∴CE=CD-DE=2-． （2）以点为旋转中心，逆时针旋转矩形，得到矩形，，， ∴AE=AB=CD=2，∠AEF ∵点落在线段上， ∴∠AEC=90°， 在Rt△ACD和Rt△CAE中，， ∴Rt△ACD≌Rt△CAE， ∴∠CAH=∠ACH， ∴AH=CH， 在Rt△ADH中，AH2=DH2+AD2， ∴（CD-DH）2=DH2+AD2，即（2-DH）2=DH2+12， 解得：DH=． （3）A题： 如图，连接PA，作BM⊥PE，交PE延长线于M， ∵点P为GF中点， ∴PG=PF=1， ∴PA=PE==， ∴S△BEP=PE·BM=BM， ∴当BM最大时，△BEP的面积最大， ∵BM≤BP，BP≤AB+AP=2+， ∴BM≤2+，即BM的最大值为2+， ∴△BEP的面积的最大值为：BM=×（2+）=+1． B题： 如图，过点B作BM⊥FA，交FA延长线于M， ∵AB=2，BC=1，矩形AEFG由矩形ABCD旋转所得， ∴AF==， ∴PF=AF=， ∴S△BFP=PF·BM=BM， ∴当BM最大时，△BFP的面积最大， ∵BM≤AB， ∴BM的最大值为AB=2， ∴△BFP的面积的最大值为BM=×2=． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、矩形的性质及全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是掌握：旋转前、后的图形全等． 4. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝11cm，点P从点D出发向终点A运动；同时点Q从点B出发向终点C运动．当P、Q两点其中有一点到达终点时，另一点随之停止，点P、Q的速度分别为1cm/s，2cm/s，连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为t（s）． (1)如图（1），当t为何值时，四边形ABQP是矩形？ (2)如图（2），若点E为边AD上一点，当AE＝3cm时，四边形EQCP可能为菱形吗？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)t＝时，四边形ABQP是矩形 (2)t＝3时，四边形EQCP为菱形 【难度】0.65 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、根据矩形的性质与判定求线段长、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据矩形对边相等的性质列一元一次方程，解此方程即可； （2）根据菱形的邻边相等列一元一次方程，解此方程即可解答． 【详解】（1）解：若四边形ABQP是矩形，则AP＝BQ， ∴11﹣t＝2t， 解得t＝， 故当t＝时，四边形ABQP是矩形； （2）由题意得，PE=8-t，CQ=11-2t，CP2=CD2+DP2=16+t2 若四边形EQCP是菱形，则PE=CQ=CP， t2+16=（8-t）2=（11-2t）2 解得t=3， 故当t＝3时，四边形EQCP为菱形． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的判定与性质、解一元一次方程等知识，掌握相关知识是解题关键． 5. （21-22九年级上·广东深圳·期末）问题背景 如图（1），在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，∠BAD＝α，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交BC，CD于点E，F，且∠EAFα，连接EF，试探究：线段BE，DF，EF之间的数量关系． （1）特殊情景 在上述条件下，小明增加条件“当∠BAD＝∠B＝∠D＝90°时”如图（2），小明很快写出了：BE，DF，EF之间的数量关系为______． （2）类比猜想 类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题 如图（3），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD，请直接写出DE的长． 【答案】（1）BE+DF＝EF；（2）成立；（3）DE 【难度】0.4 【知识点】根据正方形的性质与判定证明 【分析】（1）将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，由旋转的性质可得AE＝AG，BE＝DG，∠BAE＝∠DAG，根据∠EAF=∠BAD可得∠BAE+∠DAF＝45°，即可得出∠∠EAF＝∠FAG，利用SAS可证明△AFE≌△AFG，可得EF=FG，进而可得EF=BE+FD；（2）将△ABE绕点A逆时针旋转α得到△ADH，由旋转的性质可得∠ABE＝∠ADH，∠BAE＝∠DAH，AE＝AH，BE＝DH，根据∠BAD＝α，∠EAFα可得∠BAE+∠FADα，进而可证明∠FAH＝∠EAF，利用SAS可证明△AEF≌△AHF，可得EF=FH=BE+FD；（3）将△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△AE′B，连接DE′，由旋转的性质可得BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝4，即可求出∠E′BD＝90°，利用SAS可证明△AEF≌△AHF，可得DE＝DE′，利用勾股定理求出DE的长即可的答案. 【详解】解：（1）BE+DF＝EF， 如图1，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG， ∵∠ADC＝∠B＝∠ADG＝90°， ∴∠FDG＝180°，即点F，D，G共线． 由旋转可得AE＝AG，BE＝DG，∠BAE＝∠DAG． ∵∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣∠BAD=90°-45°＝45°， ∴∠DAG+∠DAF＝45°，即∠FAG=45°， ∴∠EAF＝∠FAG， ∴△AFE≌△AFG（SAS）， ∴EF＝FG． 又∵FG＝DG+DF＝BE+DF， ∴BE+DF＝EF， 故答案为BE+DF＝EF． （2）成立． 如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转α得到△ADH， 可得∠ABE＝∠ADH，∠BAE＝∠DAH，AE＝AH，BE＝DH． ∵∠B+∠ADC＝180°， ∴∠ADH+∠ADC＝180°， ∴点C，D，H在同一直线上． ∵∠BAD＝α，∠EAFα， ∴∠BAE+∠FADα， ∴∠DAH+∠FADα， ∴∠FAH＝∠EAF， 又∵AF＝AF， ∴△AEF≌△AHF（SAS）， ∴EF＝FH＝DF+DH＝DF+BE； （3）DE， 如图3，将△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△AE′B，连接DE′． 可得BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB， 在Rt△ABC中，∵AB＝AC＝4，∠BAC=90°， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝4， ∴CD=BC=BD=3， ∴∠ABC+∠ABE′＝90°，即∠E′BD＝90°， ∴E′B2+BD2＝E′D2． 易证△AE′D≌△AED， ∴DE＝DE′， ∴DE2＝BD2+EC2，即DE2， 解得． 【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，旋转后不改变图形的大小和形状，并且对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角等于旋转角，熟练掌握旋转的性质及全等三角形的判定定理是解题关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 特殊平行四边形 菱形性质 1. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在菱形中，，连接，若，则菱形的周长为（　　）    A．24 B．30 C． D． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，菱形中，E，F分别是，的中点．若菱形的周长为32，则线段的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 3. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，四边形和都是菱形，点E，F在对角线上，，则（    ）    A． B． C． D． 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，点E、F分别为AO、AB的中点，则EF的长度为(     ) A．4 B．3 C．2 D． 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，菱形中，点是边的中点，垂直交的延长线于点，若，，则菱形的边长是 ． 6. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF．若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF= cm． 7. （22-23九年级上·广东深圳·期末）已知一个菱形的两条对角线的长分别为10和24，则这个菱形的周长为 ． 8. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DEAC，CEBD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为 ． 菱形面积计算 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，菱形的对角线与相交于点O，过点O的直线分别交，于点E，F．若阴影部分的面积为5，则菱形的面积为（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 2. （21-22九年级上·广东深圳·期末）已知菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则菱形的面积为（    ） A．20 B．24 C．26 D． 3. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图所示，菱形的对角线、相交于点．若，，，垂足为，则的长为 ． 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，四边形ABCD是边长为cm的菱形，其中对角线BD的长为2cm，则菱形ABCD的面积为 cm2． 5. （23-24九年级上·广东深圳·期末）已知：菱形的面积为，一条对角线长为，则该菱形的边长为 ． 菱形的判定及性质 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在，对角线与相交于点O，点E在的延长线上，且，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的周长为22，，求菱形的面积． 2. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE． （1）求证：CE＝DE． （2）当BE＝2，CE＝1时，求菱形的边长． 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）EF是平行四边形ABCD的对角线BD的垂直平分线，EF与边AD，BC分别交于点E，F． （1）求证：四边形BFDE是菱形； （2）若ED=5，BD=8，求菱形BFDE的面积． 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在四边形中，，，平分，连接交于点O，过点C作交延长线于点E．    (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的长． 5. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，过点B、点C分别作BE∥CD，CE∥BD． （1）求证：四边形BECD是菱形； （2）若∠A=60°，AC=，求菱形BECD的面积. 6. （18-19九年级上·广东深圳·期末）如图，在中，，过点C的直线，D在边上一点．过点D作，交直线于E，垂足为F，连接、．    (1)求证：； (2)当点D在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由． 7. （22-23九年级上·广东深圳·期末）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 矩形的性质 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）矩形、菱形都具有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直且相等 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 2. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，已知O是矩形ABCD的对角线的交点，∠AOB=60°，作DE∥AC，CE∥BD，DE、CE相交于点E.四边形OCED的周长是20，则BC=（     ） A．5 B．5 C．10 D．10 3. （18-19九年级·广东深圳·期末）如图，已知矩形ABCD，按照下列操作作图：①以A为圆心，AC长为半径画弧交AD的延长线于点E；②以E为圆心，EC长为半径画弧交DE的延长线于点F；③分别以C，F为圆心，大于CF的长为半径画弧，两弧相交于点N；④作射线EN，根据作图，若∠ACB＝72°，则∠FEN的度数为（　　） A．54° B．63° C．72° D．75° 4. （23-24九年级上·广东深圳·期末）将两个完全相同的矩形和矩形按如图所示的位置摆放，使点，，在同一条直线上，点在边上，连结，，．若，，则的面积为（    ） A．13 B．26 C． D． 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，矩形的对角线相交于点O，点E是的中点，若，则BC的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 6. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在矩形中，已知于，，，则的长为（    ） A．3 B．2 C． D． 7. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C 恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（   ） A．1 B． C． D． 8. （21-22九年级上·广东深圳·期末）如图，矩形ABCD中，AC的垂直平分线MN与AB交于点E，连接CE．若∠CAD＝70°，则∠DCE＝ °． 9. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，若∠AOD＝110°，则∠CDE＝ °． 10. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点，，垂足为点，，且，则的长为 . 矩形的性质及判定 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，过矩形对角线的交点O，且分别交、于E、F，矩形内的一个动点P落在阴影部分的概率是 ． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，DG⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为G，F． (1)求证：四边形DEFG为矩形； (2)若AB＝AC＝2，EF＝2，求CF的长． 3. （18-19九年级·广东深圳·期末）如图，在平行四边形ABCD中，，延长DA于点E，使得，连接BE． 求证：四边形AEBC是矩形； 过点E作AB的垂线分别交AB，AC于点F，G，连接CE交AB于点O，连接OG，若，，求的面积． 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在中，是上的一点，是的中点，过点作，交的延长线于点，且，连接． （1）求证：是的中点； （2）若，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD到点F，使DF=CE，连接AF. (1)求证:四边形ABEF是矩形； (2)连接OF，若AB=6，DE=2，∠ADF=45°，求OF的长度. 直角三角形斜边中线的性质 1. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，周长为28的菱形中，对角线、交于点，为边中点，的长等于(    ) A．3.5 B．4 C．7 D．14 2. （23-24九年级上·广东深圳·期末）在中，若，，，且D，E分别为，边上的中点，则的周长为 ． 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，将一副三角板和拼在一起，为的中点，将沿翻折得到，连接，若，则 ． 特殊四边形中命题辨析 1. （23-24九年级上·广东深圳·期末）下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（    ） A．   B．   C．   D．   2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）在四边形中，，不能判定四边形为矩形的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 3. （20-21九年级上·广东深圳·期末）下列命题中，正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．平行四边形的对角线平分且相等 D．顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）下列命题中正确的是（    ） A．菱形的对角线相等 B．矩形的对角线互相垂直平分 C．对角线平分对角的平行四边形是菱形 D．对角线相等的四边形是矩形 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）顺次连接矩形四边中点所得的四边形（    ） A．一定是菱形 B．一定是矩形 C．一定是等腰梯形 D．是不规则图形 6. （22-23九年级上·广东深圳·期末）要检验一个四边形画框是否为矩形，可行的测量方法是（    ） A．测量四边形画框的两个角是否为 B．测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分 C．测量四边形画框的一组对边是否平行且相等 D．测量四边形画框的四边是否相等 7. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如果证明平行四边形为正方形，那么我们需要进一步证明（　　） A．且 B．且 C．且 D．和互相垂直平分 8. （18-19九年级上·广东深圳·期末）下列说法正确的是（　　） A．有一个角是直角的四边形是正方形 B．有一组邻边相等的四边形是正方形 C．有一组邻边相等的矩形是正方形 D．四条边都相等的四边形是正方形 9. （22-23九年级上·广东深圳·期末）下列判断错误的是（    ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．四个内角都相等的四边形是矩形 C．四条边都相等的四边形是菱形 D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 10. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（　　） A．AC⊥BD B．AB＝CD C．AB∥CD D．AC＝BD 11. （23-24九年级上·广东深圳·期末）下列选项中，不能被边长为2的正方形及其内部所覆盖的图形是（    ） A．长度为的线段 B．边长为2的等边三角形 C．斜边为2的直角三角形 D．面积为4的菱形 正方形的性质 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E是边CD的中点，F在BC边上，且，连接EF，则BF的长为（    ） A．2 B． C．3 D． 2. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在正方形中，E为上一点，连接，交对角线于点F，连接，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 3. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，已知四边形ABCD是正方形，E是AB延长线上一点，且BE=BD，则∠BDE的度数是（     ） A．22.5° B．30° C．45° D．67.5° 4. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，四边形是正方形，以为边向外作等边，则 °． 5. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在正方形中，点，分别在，上，，垂足为． (1)求证：； (2)若正方形的边长是8，，点是的中点，求的长． 6. （18-19九年级上·广东深圳·期末）如图，已知正方形ABCD，E是AB延长线上一点，F是DC延长线上一点，且满足BF＝EF，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得FG，过点B作FG的平行线，交DA的延长线于点N，连接NG． （1）求证：BE＝2CF； （2）试猜想四边形BFGN是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明． 7. （19-20九年级上·广东深圳·期末）四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF． （1）求证：△ADE≌△ABF； （2）若BC=12，DE=5，求△AEF的面积． 矩形、菱形性质与判定综合 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相交于点O，与相交于点N，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 2. （21-22九年级上·广东深圳·期末）如图，点E是矩形的边延长线上一点，连接，，交于点G，作交于点F，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 3. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG． (1)求证：四边形CEFG是菱形； (2)若AB=6，AD=10，求四边形CEFG的面积． 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，对角线，相交于点，过点作且，连接，，． (1)求证：是菱形； (2)若，，求的长． 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，正方形ABCD的边长为2，以BC为边向正方形内作等边△BCE，连接AE、DE． （1）请直接写出∠AEB的度数，∠AEB＝　 　； （2）将△AED沿直线AD向上翻折，得△AFD．求证：四边形AEDF是菱形； （3）连接EF，交AD于点 O，试求EF的长？    特殊平行四边形折叠问题 1. （18-19九年级上·广东深圳·期末）如图，D在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是边AD一个动点，将△ABE沿BE对折成△BEF，则线段DF长的最小值为 ． 2. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点落在上的点处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点恰好落在上的点处，为折痕，连接并延长交于点，若，，则线段的长等于 ． 3. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在正方形中，，点E是边的中点，将沿着翻折，得到，延长交的延长线于点H，则＝ ．    特殊平行四边形性质求解 1. （22-23八年级下·广东深圳·期末）已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB=4，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（　　） A．（0，0） B．（1，） C．（，） D．（，） 2. （22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，已知点是菱形的对角线延长线上一点，过点分别作、延长线的垂线，垂足分别为点、．若，，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 3. （23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在矩形中，过的中点O作交，于点E，F，连接，，若四边形的面积为，，则四边形的周长为（    ）    A． B． C． D． 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在矩形中，点是的中点，的平分线交于点，将沿折叠，点恰好落在上点处，延长交于点，则和的面积之比为（    ） A． B． C． D． 5. （22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（ ）    A．①② B．②③ C．①③ D．①④ 6. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，在直角三角形ABC中，，，，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作于点E，于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（    ） A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.5 7. （18-19九年级上·广东深圳·期末）如图．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是斜边上的中点，点P在AB上，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，若AB=6，BC=3，则PE+PF=（　　） A． B． C． D． 8. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，矩形ABCD中，AB=20，AD=30，点E，F分别是AB，BC边上的两个动点，且EF=10，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH、GH，则GH+CH的最小值为 . 正方形性质计算（综合） 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°， 分别以AC， BC为边向外作正方形ACDE与正方形BCFG， H为EG的中点，连接DH，FH．记△FGH的面积为S1，△CDH的面积为S2，若S1－S2＝6，则AB的长为（    ） A． B． C． D． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH.连结EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P.若GO=GP，则的值是（  ） A． B． C． D． 3. （18-19九年级上·广东深圳·期末）如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点、G分别在边上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为 . 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在边长为的正方形中，点分别是边的中点，连接点分别是的中点，连接，则的长度为 ． 多结论判断 1. （18-19九年级上·广东深圳·期末）在边长为3的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA边上，且满足EB=FC=GD=HA=1，BD分别与HG、HF、EF相交于M、O、N给出以下结论： ①HO=OF；②OF2=ON•OB；③HM=2MG；④S△HOM=，其中正确的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，在正方形中，分别在边上，且，连接相交于点．则下列结论：①；②；③；④当为中点时，连接，则；正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 3. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝．其中正确结论的个数是(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，在AB上取一点F，使点B关于直线EF的对称点G落在AD上，连接EG交CD于点H，连接BH交EF于点M，连接CM．则下列结论，其中正确的是（　　） ①∠1＝∠2； ②∠3＝∠4； ③GD＝CM； ④若AG＝1，GD＝2，则BM＝．    A．①②③④ B．①② C．③④ D．①②④ 5. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点，连结与相交于点H．给出下列结论， ①△ABE≌△DCF；②△DPH是等腰三角形；③；④， 其中正确结论的个数是（　　） A． B． C． D． 6. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，AE的垂直平分线分别交AD，BC及AB的延长线于点F，G，H，连接HE，HC，OD，连接CO并延长交AD于点M．则下列结论中： ①FG=2AO；②OD∥HE；③；④2OE2=AH•DE；⑤GO+BH=HC 正确结论的个数有（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 7. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，正方形ABCD中，AB=4，点E是BA延长线上一点，点M、N分别为边AB、BC上的点，且AM=BN=1，连接CM、ND，过点M作MF∥ND与∠EAD的平分线交于点F，连接CF分别与AD、ND交于点G、H，连接MH，则下列结论正确的有（     ）个 ①MC⊥ND；②sin∠MFC=；③(BM+DG)²=AM²+AG²；④S△HMF= A．1 B．2 C．3 D．4 8. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，分析下列四个结论： ①QB=QF；②BG=；③tan∠BQP=；④S四边形ECFG=2S△BGE，其中正确的是 . 特殊四边形综合探究 1. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA＝8，OC＝6，点D是对角线AC的中点，过点D的直线分别交OA、BC边于点E、F． （1）求证：四边形EAFC是平行四边形； （2）当CE＝CF时，求EF的长； （3）在条件（2）的情况下，P为x轴上一点，当以E，F，P为顶点的三角形为等腰三角形时，请求出点P的坐标． 2. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发向终点运动；同时点从点出发向终点运动当、两点其中有一点到达终点时，另一点随之停止，点、的速度分别为，，连接、、设点、运动的时间为． (1)如图（1），当为何值时，四边形是矩形？ (2)如图（2），若点为边上一点，当时，四边形可能为菱形吗？若能，请求出的值；若不能，请说明理由． 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）综合与实践： 问题情境：矩形旋转中的数学 已知在矩形中，，，以点为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点、点、点的对应点分别为点、点、点． 操作猜想： （1）如图①，当点落在边上时，求线段的长度； 深入探究： （2）如图②，当点落在线段上时，与相交于点，连接，求线段的长度； （3）请从，两题中任选一题作答，我选______题． 题：如图③，设点为边的中点，连接，，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由． 题：如图④，设点为矩形对角线交点，连接，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由． 4. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝11cm，点P从点D出发向终点A运动；同时点Q从点B出发向终点C运动．当P、Q两点其中有一点到达终点时，另一点随之停止，点P、Q的速度分别为1cm/s，2cm/s，连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为t（s）． (1)如图（1），当t为何值时，四边形ABQP是矩形？ (2)如图（2），若点E为边AD上一点，当AE＝3cm时，四边形EQCP可能为菱形吗？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由． 5. （21-22九年级上·广东深圳·期末）问题背景 如图（1），在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，∠BAD＝α，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交BC，CD于点E，F，且∠EAFα，连接EF，试探究：线段BE，DF，EF之间的数量关系． （1）特殊情景 在上述条件下，小明增加条件“当∠BAD＝∠B＝∠D＝90°时”如图（2），小明很快写出了：BE，DF，EF之间的数量关系为______． （2）类比猜想 类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题 如图（3），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD，请直接写出DE的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$