专题06 反比例函数（6基础题型+5提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（深圳专用）

专题06 反比例函数 反比例函数定义 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）已知函数：(1)xy=9；(2)y=；(3)y=-；(4)y=；(5) y=，其中反比例函数的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）已知是反比例函数上一点，下列各点不在上的是（ ） A． B． C． D． 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 反比例函数图象及其性质 1. （18-19九年级上·广东深圳·期末）已知反比例函数的图象过点则该反比例函数的图象位于（    ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 2. （23-24九年级上·广东深圳·期末）关于反比例函数，点在它的图像上，下列说法中错误的是（    ） A．当时，y随x的增大而增大 B．图象位于第二、四象限 C．点和都在该图像上 D．当时， 3. （20-21九年级上·广东深圳·期末）关于函数，下列判断正确的是（    ） A．点该函数的图像上 B．该函数的图像在第二、四象限 C．若点和在该函数图像上，则 D．若点在该函数的图像上，则点也在该函数的图像上 4. （23-24九年级上·广东深圳·期末）已知反比例函数，点，都在其图象上，下列说法不正确的是（   ） A．图象分布在第二、四象限 B．当时，随的增大而增大 C．图象经过点 D．若，则 5. （20-21九年级上·广东深圳·期末）若反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（　　） A．k＜﹣2 B．k＜2 C．k＞﹣2 D．k＞2 6. （23-24九年级上·广东深圳·期末）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 7. （23-24九年级上·广东深圳·期末）已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8. （17-18九年级上·广东深圳·期末）已知点分别在反比例函数的图象上，若点与点关于轴对称，则的值为 ． 9. （21-22九年级上·广东深圳·期末）小明为探究反比例函数y＝的性质，他想先画出它的图象，然后再观察、归纳得到． (1)他列出y与x的几组对应值如表： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣0.5 0.5 1 b 3 4 … y … ﹣1 ﹣ a ﹣4 ﹣8 8 4 2 1 … 表格中，a＝　 　，b＝　 　； (2)结合表，在如图所示的平面直角坐标系xOy中，画出当x＞0时的函数y的图象； (3)①若（6，m），（10，n）在该函数的图象上，则m　 　n（填“＞”，“＝”或“＜”）； ②若（x1，y1），（x2，y2）在该函数的图象上，且x1＜x2＜0，则y1　 　y2（填“＞”，“＝”或“＜”）． 10. （23-24九年级上·广东深圳·期末）已知一个矩形的面积为6，长为x，宽为y． (1)y与x之间的函数表达式为　　　　； (2)在图中画出该函数的图象； 列表： x … 1 2 3 4 6 … y … 6 3 m 1.5 1 … 上面表格中m的值是 　 　； 描点：在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点； 连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得到该函数的图象． (3)若点与点是该函数图象上的两点，试比较和的大小． 反比例函数图象判断 1. （18-19九年级上·广东深圳·期末）表示的图象的是　　 A． B． C． D． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）一台印刷机每年可印刷的书本数量y（万册）与它的使用时间x（年）成反比例关系，当时，，则y与x的函数图象大致是（　　） A．   B．   C．   D．   3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）当k＜0时，反比例函数和一次函数y＝kx＋2的图象大致是（    ） A．B．C． D． 4. （23-24九年级上·广东深圳·期末）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致（    ） A．  B．  C．  D．   5. （20-21九年级上·广东深圳·期末）反比例函数与一次函数在同一坐标系的图像可能是（    ） A． B． C． D． 6. （22-23九年级上·广东深圳·期末）函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B．C．D． 7. （22-23九年级上·广东深圳·期末）函数y＝kx﹣k与y在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 反比例函数系数k的几何意义 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，点P是反比例函数图像上的一点，轴于F点，且面积为4．若点也是该图像上的一点，则m的值为（    ） A．－2 B．－4 C．2 D．4 2. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图所示，A，B是函数的图象上关于原点O的任意一对对称点，AC平行于y轴，BC平行于x轴，△ABC的面积为S，则（ ） A．S=1 B．S=2 C．1<S<2 D．S>2 3. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，已知点A是反比例函数的图像上一点，AB∥x轴交另一个反比例函数的图像于点B，C为x轴上一点，若S△ABC=2，则k的值为（    ） A．4 B．2 C．3 D．1 4. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，点A是函数（）图象上一点，点B是（，）图象上一点，点C在x轴上，连结，，．若轴，，则（    ）． A．4 B．2 C．2.5 D．5 5. （21-22九年级上·广东深圳·期末）如图，正比例函数y＝kx和y＝ax（a＞0）的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象分别相交于A点和C点．若Rt△AOB和Rt△COD的面积分别为S1和S2，则S1与S2的关系是（    ） A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定 已知图形面积求反比例系数 1. （19-20九年级上·广东广州·期末）如图，CD⊥x轴，垂足为D，CO，CD分别交双曲线y＝于点A，B，若OA＝AC，△OCB的面积为6，则k的值为（　　）    A．2 B．4 C．6 D．8 2. （23-24九年级上·广东广州·期末）如图，反比例函数图象经过正方形的顶点A，边与y轴交于点D，若正方形的面积为12，，则k的值为（   ） A．3 B． C． D． 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，连接．若四边形的面积为3，则 ． 4. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在矩形中，，，是上的一个动点（不与，重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，若时，则 ． 5. （22-23九年级上·广东广州·期末）如图，点A在x轴的负半轴上，点C在反比例函数的图象上，交y轴于点B，若点B是的中点，的面积为，则k的值为 ． 6. （22-23九年级上·广东广州·期末）如图，点A在双曲线上，点C在双曲线上，轴，过点A作轴，垂足为点B，连接，，与x轴交于点D，若，面积为6，则的值为 ． 反比例函数与一次函数综合 1. （23-24九年级上·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于两点，一次函数的图像与y轴交于点C． (1)求一次函数的解析式： (2)根据函数的图像，直接写出不等式的解集； (3)点P是x轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标． 2. （22-23九年级上·广东广州·期末）如图，一次函数 与反比例函数 的图象相交于，两点，连接，，延长交反比例函数图象于点C． (1)求一次函数的表达式与反比例函数的表达式； (2)当时，直接写出自变量x的取值范围为______； (3)点P是x轴上一点，当时，请求出点P的坐标． 3. （23-24九年级上·广东广州·期末）如图，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于，两点． (1)求A、B两点的坐标和反比例函数的表达式； (2)连接、，求的面积； (3)在x轴上找一点P，使的值最小，求满足条件的点P的坐标． 4. （23-24九年级上·广东广州·期末）如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，且与反比例函数的图象在第二象限内的部分交于点C，垂直于x轴，垂足为D，其中． (1)直接写出A，B两点的坐标； (2)求这两个函数的关系式； (3)若点P在x轴上，且，请直接写出点P的坐标． 5. （22-23九年级上·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知反比例函数与一次函数的图象相交于点和．    (1)分别求反比例函数和一次函数的表达式； (2)请直接写出当时，的解集 (3)横纵坐标均为整数的点叫整点，我们把A，B之间的双曲线和线段AB围成的封闭图形（不含边界）记作区域G，直接写出区域G整点的坐标． 6. （22-23九年级上·广东广州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点两点． (1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式： (2)根据图象，直接写出满足的的取值范围； (3)连接BO并延长交双曲线于点C，连接AC，求ABC的面积． 7. （19-20九年级上·广东深圳·期末）一次函数y=k1x+b和反比例函数的图象相交于点P（m−1，n+1），点Q（0，a）在函数y=k1x+b的图象上，且m，n是关于x的方程ax2−（3a+1）x+2（a+1）=0的两个不相等的整数根（其中a为整数），求一次函数和反比例函数的解析式． 8. （22-23九年级上·广东深圳·期末）某数学建模小组在综合实践课上探究面积为4，周长为m的矩形问题时，发现矩形的面积与周长存在一定的关系．他们在解决此问题时通常采用“代数”的方法解决，但也可以从“图形”的角度来研究它． (1)构建模型： 当时，设矩形的长和宽分别为x，y，则，，满足要求的可以看成反比例函数的图象与一次函数在第一象限内的交点坐标．从图①中观察到，交点坐标为______，即满足当矩形面积为4时，周长是10的矩形是存在的； (2)问题探究： 根据（1）的结论，当，时，满足要求的，可以看成反比例函数的图象与一次函数______的交点坐标，而此一次函数图象可由直线平移得到．请在图②的平面直角坐标系中直接画出直线．当直线平移到与反比例函数的图象有唯一交点时，周长m的值为______； (3)拓展应用： 写出周长m的取值范围． 反比例函数综合应用 1. （23-24九年级上·广东深圳·期末）【教材再现】：北师大版九年级上册数学教材第122页第21题：“怎样把一块三角形的木板加工成一个面积最大的正方形桌面？”某小组同学对此展开了思考． （1）若木板的形状是如图（甲）所示的直角三角形，，，根据“相似三角形对应的高的比等于相似比”可以求得此时正方形的边长是________． 【问题解决】：若木板是面积仍然为的锐角三角形，按照如图（乙）所示的方式加工，记所得的正方形的面积为，如何求的最大值呢？某学习小组做了如下思考： 设，，边上的高，则，，由得：，从而可以求得，若要内接正方形面积最大，即就是求的最大值，因为为定值，因此只需要分母最小即可． （2）小组同学借鉴研究函数的经验，令．探索函数的图象和性质： ①下表列出了与的几组对应值，其中________． … 1 2 3 4 … … 4 4 … ②在如图（丙）所示的平面直角坐标系中画出该函数的大致图象； ③结合表格观察函数图象，以下说法正确的是 A．当时，随的增大而增大． B．该函数的图象可能与坐标轴相交． C．该函数图象关于直线对称． D．当该函数取最小值时，所对应的自变量的取值范围在之间． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，如图1，即），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图2）．制作方法如下：第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点，并用细麻绳固定，在支点左侧10cm的处固定一个金属吊钩，作为秤钩；第二步：取一个质量为1kg的金属物体作为秤砣．（备注：秤钩与称砣绳长的重量忽略不计） (1)图2中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点右侧的处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为 kg，的长为 cm．则关于的函数解析式是______；若，则的取值范围是______． (2)调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点右侧的处，使秤杆平衡，如图3．设重物的质量为kg，的长为 cm．完成下列问题： ①关于的函数解析式是______； ②完成下表： /kg … 0.25 0.5 1 2 4 … /cm … ______ ______ ______ ______ ______ … ③在直角坐标系中画出该函数的图象． 3. （23-24九年级下·广东深圳·期末）【项目式学习】 项目主题：守护生命，“数”说安全． 项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，'数'说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考察测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究． 任务一：考察测量 （1）如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为，则 ； 任务二：模拟探究 如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过． （2）创新小组用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现： ①当时（如图1），线段能通过直角弯道； ②当时，必然存在线段的中点E与点B重合的情况，线段恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，的度数是　 　； ③当时，线段不能通过直角弯道． （3）如图3，创新小组用矩形模拟汽车通过宽均为的直角弯道，发现当的中点E与点B重合，且时，矩形恰好不能通过该弯道．若，且矩形能通过该直角弯道，求a的最大整数值． 任务三：成果迁移 （4）如图4，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数的图象，其对称轴交图象于点A．弯道内侧的顶点B在射线上，两边分别与x轴，y轴平行， ．创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道类似．有一辆长为，宽为的汽车需要安全通过该弯道，则b的最大整数值为　　　　．（参考数据：） 反比例函数与几何综合 1. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，点A 在反比例函数的图象上，轴于点B，，． (1)求反比例函数的表达式； (2)若直线垂直平分线段，交于点D，交y轴于点C，交x轴于点E，求线段的长． 2. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴的正半轴上，．对角线相交于点，反比例函数的图象经过点，分别与交于点．    (1)若，求的值； (2)若，求反比例函数关系式． 3. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，已知，点在轴上，，，，反比例函数的图象经过的中点，交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)点是轴上的一个动点，请直接写出使为直角三角形的点坐标． 4. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，直线：与坐标轴交于A、D两点，以为边在右侧作正方形，过C作轴于G点．过点C的反比例函数与直线交于E、F两点．    (1)求证：； (2)求E、F两点坐标； (3)填空：不等式的取值范围是______． 5. （20-21九年级上·广东深圳·期末）点A（﹣3，1），B（﹣2，2），反比例函数y＝（k＜0，x＜0）的图象记为L． （1）若L经过点A． ①图象L的解析式为　 　． ②点B在图象L上，还是在图象L的上方或下方？为什么？ （2）如图在（1）的条件下，L上纵坐标为3的点P与点C关于原点O对称，PQ⊥x轴于点Q，CD⊥x轴于点D．求△QCD的面积． （3）若L与线段AB有公共点，直接写出k的取值范围． 反比例函数与几何图形综合（填选） 1. （19-20九年级上·广州深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，以为边在第一象限作正方形，点在双曲线上，则的值是（    ）    A． B． C． D． 2. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，已知函数的图象与轴交于点A，与函数的图象交于C、D两点，以OC、OD为邻边作平行四边形OCED．下列结论中：①OC=OD；②若，则当时，；③若，则平行四边形OCED的面积为3；④若∠COD=45°，则.其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，在△ABC中，BC∥x轴，点A在x轴上，AB=AC=5，点M、N分别是线段BC与BA上两点(与三角形顶点不重合)，当△BMN≌△ACO，时，反比例函数（k>0，x>0）的图象经过点M，则k的值是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．6 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，点A是双曲线上一动点，连接，作，且使，当点A在双曲线上运动时，点B在双曲线上移动，则k的值为 ． 5. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，直线交轴于点B，交轴于点C，以BC为边的正方形ABCD的顶点A（-1，a）在双曲线上，D点在双曲线上，则的值为 .    6. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，对角线BDx轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0）、D（0，4），则反比例函数的解析式为 ． 7. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，直线y＝x﹣2交双曲线y（x＞0）于点A，交x轴于点B，直线y＝3x交双曲线y（x＞0）于点C，若OA＝OC，则k的值为 ． 8. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，矩形的顶点，点A，C在坐标轴上，E是边上一点，将沿折叠，点B刚好与边上点D重合，过点E的反比例函数的图象与边交于点F，则线段的长为 ． 9. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴，，将沿所在的直线翻折后，点B落在点C处，且轴，反比例函数的图象经过点C，则k的值为 ． 10. （21-22九年级上·广东深圳·期末）如图，正方形OABC，ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB上，点B，E在函数y＝（x＞0）的图象上，则： （1）点B的坐标是 ； （2）点E的坐标是 ． 11. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，直线y＝x+4与x轴、y轴交于A、B两点，AC⊥AB，交双曲线y＝（x＜0）于C点，且BC交x轴于M点，BM=2CM，则k= ．    12. （21-22九年级上·广东深圳·期末）如图，已知一次函数y＝2x+4的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点B的横坐标是1，过点A作AC⊥y轴于点C，连接BC，则△ABC的面积是 ． 13. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，等边的边与轴交于点，点是反比例函数图像上的一点，且，则等边的边长为 .    14. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，已知直线：分别与轴、轴交于点，，双曲线与直线不相交，为双曲线上一动点，过点作轴于点，轴于点，分别与直线交于点，，且，则 15. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，为反比例函数（其中)图象上的一点，在轴正半轴上有一点，．连接，，且．过点作，交反比例函数（其中)的图象于点，连接交于点，则的值为 ．      16. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，已知直线交轴于点，交反比例函数于点，过点作交反比例函数于点，若，则的值为 ． 17. （18-19九年级上·广东深圳·期末）如图所示，等腰三角形，，，…，（为正整数）的一直角边在轴上，双曲线经过所有三角形的斜边中点，，，…，，已知斜边，则点的坐标为 ． 反比例函数与几何图形面积问题探究 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，点在反比例函数的图象上，轴，且交y轴于点C，交反比例函数于点B，已知． （1）求直线的解析式； （2）求反比例函数的解析式； （3）点D为反比例函数上一动点，连接交y轴于点E，当E为中点时，求的面积． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图：为等腰直角三角形，斜边在轴上，，一次函数的图象经过点A交轴于点，反比例函数的图象也经过点A． (1)求反比例函数的解析式： (2)若，求的面积； (3)当时对应的自变量的取值范围是__________（请直接写出答案） 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，直线轴于点，与反比例函数和一次函数的图象分别相交于点、，连接、，    (1)求出b和k； (2)求证：是等腰直角三角形； (3)在y轴上是否存在点P，使，若存在，请求出P的坐标，若不存在，请说明理由． 4. （23-24九年级上·广东深圳·期末）小华同学学习函数知识后，对函数通过列表﹣描点﹣连线，画出了如图所示的图象． 请根据图象解答： (1)【观察发现】 ①完成描点，把图象补充完整； ②表格中： ______， ______； ③写出函数的一条性质：______； ④若函数图象上的两点，满足，则．______（填“对或错”） (2)【延伸探究】如图2，将过，两点的直线向下平移n（）个单位长度后，得到直线l与函数的图象交于点P，连接，． ①求当时，直线l的解析式和的面积； ②直接用含n的代数式表示的面积．    反比例函数与几何综合探究 1. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图1，已知点，，且a、b满足，的边与y轴交于点E，且E为中点，双曲线经过C、D两点． (1)求k的值； (2)如图2，点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点P、Q的坐标； (3)如图3，以线段为对角线作正方形，点T是边上一动点，M是的中点，，交于N，当T在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点坐标为，反比例函数的图象分别与，交于点，，点为线段上的动点，反比例函数的图象经过点，交于点，连接．    (1)求直线的函数表达式； (2)将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在直线上时，求的值； (3)当点为线段中点时，将绕点旋转得到，其中，的对应点分别为，，当时，求点的坐标． 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图1，直线l与坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，与反比例函数（）的图像交于C，D两点（点C在点D的左边），过点C作轴于点E，过点D作轴于点F，与交于点G（4，3）． (1)当点D恰好是中点时，求此时点C的横坐标； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，将沿折叠，点G恰好落在边上的点H处，求此时反比例函数的解析式． 4. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，直线y=ax+b(a≠0)与双曲线(k≠0)交于一、三象限内的A，B两点与x轴交于点C，点A的坐标为(2，m)，点B的坐标为(−1，n)，cos∠AOC=. (1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)点Q为y轴上一点，△ABQ是以AB为直角边的直角三角形，求点Q的坐标； (3)点P(s，t)(s>2)在直线AB上运动，PM∥x轴交双曲线于M，PN∥y轴交双曲线于N，直线MN分别交x轴，y轴于E，D，求的值.    5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点A、点C，与正比例函数的图像交于点B、点D，设点A、D的横坐标分别为s，t()． (1)如图1，若点A坐标为(2，4)． ①求m，k的值； ②若点D的横坐标为4，连接AD，求△AOD的面积． (2)如图2，依次连接AB，BC，CD，DA，若四边形ABCD为矩形，求mn的值． (3)如图3，过点A作轴交CD于点E，以AE为一边向右侧作矩形AEFG，若点D在边GF上，试判断点D是否为线段GF的中点？并说明理由． 6. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（3，0），四边形OABC为平行四边形，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点C，与边AB交于点D，若OC=2，tan∠AOC=1． (1)求反比例函数解析式； (2)点P（a，0）是x轴上一动点，求|PC-PD|最大时a的值； (3)连接CA，在反比例函数图象上是否存在点M，平面内是否存在点N，使得四边形CAMN为矩形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 7. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图1，已知点，，且、满足，平行四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过、两点． （1）_____，_____．点的坐标______． （2）点在双曲线上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点的坐标． （3）以线段为对角线作正方形（如图3），点是边上一动点，是的中点，，交于，当在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 反比例函数 反比例函数定义 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）已知函数：(1)xy=9；(2)y=；(3)y=-；(4)y=；(5) y=，其中反比例函数的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】直接根据反比例函数的定义判定即可． 【详解】解：反比例函数有：xy=9；y=；y=-． 故答案为C． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，即形如y=（k≠0）的函数关系叫反比例函数关系． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）已知是反比例函数上一点，下列各点不在上的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】先求出k的值，再分别判断即可． 【详解】∵是反比例函数上一点， ∴； A．，故在上； B． ，故不在上； C． ，故在上； D． ，故在上； 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，熟记是解题的关键． 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可，根据点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 故选：B． 反比例函数图象及其性质 1. （18-19九年级上·广东深圳·期末）已知反比例函数的图象过点则该反比例函数的图象位于（    ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断反比例函数图象所在象限 【分析】先根据点的坐标求出k值，再利用反比例函数图象的性质即可求解． 【详解】解：∵反比例函数（k≠0）的图象经过点P（2，-3）， ∴k=2×（-3）=-6＜0， ∴该反比例函数经过第二、四象限． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质．反比例函数（k≠0）的图象k＞0时位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；k＜0时位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． 2. （23-24九年级上·广东深圳·期末）关于反比例函数，点在它的图像上，下列说法中错误的是（    ） A．当时，y随x的增大而增大 B．图象位于第二、四象限 C．点和都在该图像上 D．当时， 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，根据题意，利用反比例函数图像与性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、由于，反比例函数图像在第二、四象限，在每一个象限内，随的增大而增大，该选项说法正确，不符合题意； B、由于，反比例函数图像在第二、四象限，该选项说法正确，不符合题意； C、由于点在函数的图像上，则，从而点和都在函数的图像上，该选项说法正确，不符合题意； D、当时，，由于反比例函数图像在第二、四象限，则当时，，该选项说法错误，符合题意； 故选：D． 3. （20-21九年级上·广东深圳·期末）关于函数，下列判断正确的是（    ） A．点该函数的图像上 B．该函数的图像在第二、四象限 C．若点和在该函数图像上，则 D．若点在该函数的图像上，则点也在该函数的图像上 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】根据k=1>0，则双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，反比例函数图象上的点横纵坐标之积=k可得答案. 【详解】点(1，-1)代入y=并不成立，因此不在图象上，故A选项错误； ∵k=1>0 ∴图象过一、三象限，故B选项错误； 当x=-2时，y1=，当x=1时，y2=1，则y1<y2，故C选项错误； 若点 (a，b) 在该函数的图像上，则点 (b，a) 也在该函数的图像上，故Ｄ选项正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是熟练掌握反比例函数的图像和性质． 4. （23-24九年级上·广东深圳·期末）已知反比例函数，点，都在其图象上，下列说法不正确的是（   ） A．图象分布在第二、四象限 B．当时，随的增大而增大 C．图象经过点 D．若，则 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断反比例函数图象所在象限、判断反比例函数的增减性、根据反比例函数的定义求参数 【分析】根据反比例函数的性质分别判断各选项即可解答． 【详解】解：反比例函数，点，都在其图象上， A、，图像分布在第二、四象限，正确，故本选项不符合题意； B、，当时，y随x的增大而增大，正确，故本选项不符合题意； C、，则图像经过点，正确，故本选项不符合题意； D、点，都在其图象上但不一定在同一象限，若，则错误，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握：反例函数，当时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大． 5. （20-21九年级上·广东深圳·期末）若反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（　　） A．k＜﹣2 B．k＜2 C．k＞﹣2 D．k＞2 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】根据反比例函数的图象和性质，由2﹣k＜0即可解得答案． 【详解】解：∵反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限， ∴2﹣k＜0， 解得k＞2， 故选择：D． 【点睛】本题考查反比例函数的性质．掌握“反比例函数，当时，图象经过第一、三象限；当时，图象经过第二、四象限” ． 6. （23-24九年级上·广东深圳·期末）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】把点A（-2，y1），B（-1，y2），C（3，y3）代入反比例函数的关系式求出y1，y2，y3，比较得出答案． 【详解】解：把点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）代入反比例函数的关系式得， y1＝﹣1.5，y2＝﹣3，y3＝1， ∴y2＜y1＜y3， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法． 7. （23-24九年级上·广东深圳·期末）已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】先判断出反比例函数图象所在的象限和增减性，再由各点横坐标的大小判断出各点纵坐标大小，进而可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数中k＝﹣m2﹣1＜0， ∴此函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y的值随x的增大而增大， ∵2＞0，﹣3＜﹣1＜0， ∴B （2，y2）位于第四象限，点A（﹣1，y1），C （﹣3，y3）位于第二象限， ∴y1＞y3＞y2． 故选：B． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 8. （17-18九年级上·广东深圳·期末）已知点分别在反比例函数的图象上，若点与点关于轴对称，则的值为 ． 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】求反比例函数值 【分析】根据题意，设出点C和点D的坐标，再根据点C与点D关于x轴对称，即可求得p的值 【详解】解：∵点分别在反比例函数的图象上， ∴设点C的坐标为，点D的坐标为， ∵点与点关于轴对称， ∴ ∴p=1 故答案为：1 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标特点，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答． 9. （21-22九年级上·广东深圳·期末）小明为探究反比例函数y＝的性质，他想先画出它的图象，然后再观察、归纳得到． (1)他列出y与x的几组对应值如表： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣0.5 0.5 1 b 3 4 … y … ﹣1 ﹣ a ﹣4 ﹣8 8 4 2 1 … 表格中，a＝　 　，b＝　 　； (2)结合表，在如图所示的平面直角坐标系xOy中，画出当x＞0时的函数y的图象； (3)①若（6，m），（10，n）在该函数的图象上，则m　 　n（填“＞”，“＝”或“＜”）； ②若（x1，y1），（x2，y2）在该函数的图象上，且x1＜x2＜0，则y1　 　y2（填“＞”，“＝”或“＜”）． 【答案】(1)-2，2 (2)见解析 (3)①＞；②＞ 【难度】0.65 【知识点】判断（画）反比例函数图象、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】（1）把（-4，-1）代入y＝解方程得到反比例函数的解析式为y＝，把x=-2，把y=2时，分别代入反比例函数的解析式即可得到答案； （2）根据题意画出图象即可； （3）根据反比例函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：把（-4，-1）代入y＝得，-1＝， ∴k=4， ∴反比例函数的解析式为y＝， 当x=-2时，y==-2，即a=-2； 当y=2时，2=，则x=2，即b=2； 故答案为：-2，2； （2）如图所示， （3）∵反比例函数的解析式为y＝， ∴k=4＞0， ∴在每个象限内y随x的增大而减小， ①若（6，m），（10，n）在该函数的图象上， ∵6＜10， ∴m＞n； 故答案为：＞； ②若（x1，y1），（x2，y2）在该函数的图象上， ∵x1＜x2＜0， ∴y1＞y2， 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，反比例函数的图象，正确的作出图象是解题的关键． 10. （23-24九年级上·广东深圳·期末）已知一个矩形的面积为6，长为x，宽为y． (1)y与x之间的函数表达式为　　　　； (2)在图中画出该函数的图象； 列表： x … 1 2 3 4 6 … y … 6 3 m 1.5 1 … 上面表格中m的值是 　 　； 描点：在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点； 连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得到该函数的图象． (3)若点与点是该函数图象上的两点，试比较和的大小． 【答案】(1) (2)，画图见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】求反比例函数解析式、判断（画）反比例函数图象、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题主要考查反比例函数的解析式，图象的画法以及性质，解决本题的关键是熟练掌握这些知识点并能灵活运用． （1）利用矩形的面积公式可以得到与之间的函数关系式； （2）将代入到（1）中的解析式即可得到答案；然后按照描点，再用光滑的曲线顺次连接即可画出图象； （3）根据反比例函数的单调性即可得到答案． 【详解】（1）根据题意得：， 所以， 则与之间的函数表达式为． 故答案为：． （2） （3）由图象可知，在第一象限内随着的增大而减小， ， ． 反比例函数图象判断 1. （18-19九年级上·广东深圳·期末）表示的图象的是　　 A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】判断（画）反比例函数图象 【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断哪个选项中的式子符合题意． 【详解】解：， 该函数的图象在第四象限，y随x的增大而增大， 故选B． 【点睛】本题考查反比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）一台印刷机每年可印刷的书本数量y（万册）与它的使用时间x（年）成反比例关系，当时，，则y与x的函数图象大致是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断（画）反比例函数图象、求反比例函数解析式 【分析】根据反比例函数的解析式是，然后将，代入即可求得k的值，然后注意观察双曲线的形状和x的取值范围． 【详解】A、反比例函数的取值范围是，故不存在第三象限的部分图像，此选项错误； B、反比例函数的图像是曲线型，不是直线型，此选项错误； C、点不在图示的函数图像上，此选项错误； D、点是满足函数的图像上的点，且是在第一象限的双曲线型，此选项正确． 故选：D． 【点睛】反比例函数的图象是双曲线，设，根据当时，，求出k，即可得出y与x的函数图象．解题的关键是：注意本题中，所以只取双曲线的第一象限的一支． 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）当k＜0时，反比例函数和一次函数y＝kx＋2的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断反比例函数图象所在象限、判断一次函数的图象 【分析】根据一次函数与反比例函数图象的特点与系数的关系解答即可． 【详解】当k＜0时，反比例函数的图象在二四象限，同时一次函数y＝kx＋2经过第一、二、四象限，只有B选项的图象满足要求， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限． 4. （23-24九年级上·广东深圳·期末）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】D 【难度】0.85 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，解题的关键是明确两函数图象的分布与其解析式对应系数的关系． 【详解】当时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的的图象在第一、三象限，选项中没有符合条件的图象； 当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的的图象在第二、四象限，D选项的图象符合要求． 故选D． 5. （20-21九年级上·广东深圳·期末）反比例函数与一次函数在同一坐标系的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】分别根据反比例函数与一次函数的性质对各选项进行逐一分析，即可获得答案． 【详解】解：A、由反比例函数的图像可知，，由一次函数的图像可知，两结论矛盾，故本选项错误，不符合题意； B、由反比例函数的图像可知，，由一次函数的图像可知，故本选项正确，符合题意； C、由反比例函数的图像可知，，由一次函数的图像可知，两结论矛盾，故本选项错误，不符合题意； D、由反比例函数的图像可知，，由一次函数的图像可知，但由一次函数图像与轴交点可知，与题目不符，故本选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像与一次函数的图像，熟练掌握一次函数的性质和反比例函数的性质是解题的关键． 6. （22-23九年级上·广东深圳·期末）函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B．C．D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可以解答本题． 【详解】∵反比例函数和一次函数 ∴当时，函数在第一、三象限，一次函数经过一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确； 当时，函数在第二、四象限，一次函数经过一、二、三象限，故选项C错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答． 7. （22-23九年级上·广东深圳·期末）函数y＝kx﹣k与y在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】分两种情况讨论，当k＞0时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出k＜0时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案． 【详解】分类讨论①当时，的图象过第一、二、四象限， 的图象过第一、三象限， ②当时，的图象过第一、三、四象限， 的图象过经过第二、四象限． 综上，符合题意的选项为C． 故答案为：C． 【点睛】此题考查的是反比例函数和一次函数的综合题型，掌握反比例函数和一次函数的图象所经过的象限与各项系数的关系是解决此题的关键． 反比例函数系数k的几何意义 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，点P是反比例函数图像上的一点，轴于F点，且面积为4．若点也是该图像上的一点，则m的值为（    ） A．－2 B．－4 C．2 D．4 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】直接利用反比例函数的系数的几何意义得出 ，即可求出． 【详解】解：， ， ， 在该图像上， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查反比例函数系数的几何意义，正确表示出时解题的关键． 2. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图所示，A，B是函数的图象上关于原点O的任意一对对称点，AC平行于y轴，BC平行于x轴，△ABC的面积为S，则（ ） A．S=1 B．S=2 C．1<S<2 D．S>2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求关于原点对称的点的坐标、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】设点A(m，)，则根据对称的性质和垂直的特点，可以表示出B、C的坐标，根据坐标关系得出BC、AC的长，从而得出△ABC的面积． 【详解】设点A(m，) ∵A、B关于原点对称 ∴B(－m，) ∴C(m，) ∴AC=，BC=2m ∴=2 故选：B 【点睛】本题考查反比例函数和关于原点对称点的求解，解题关键是表示出A、B、C的坐标，从而得出△ABC的面积． 3. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，已知点A是反比例函数的图像上一点，AB∥x轴交另一个反比例函数的图像于点B，C为x轴上一点，若S△ABC=2，则k的值为（    ） A．4 B．2 C．3 D．1 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】延长AB交y轴于点D，连接OA、OB，如图，则AD⊥y轴，由反比例函数系数k的几何意义可得：，，易得S△AOB= S△ABC=2，于是可得关于k的方程，解方程即得答案． 【详解】解：延长AB交y轴于点D，连接OA、OB，如图，则AD⊥y轴， ∴，（k＞0）， ∵S△ABC=2，AB∥x轴, ∴S△AOB=2， ∴，解得：k=2． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，属于常考题型，熟练掌握系数k的几何意义是解题关键． 4. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，点A是函数（）图象上一点，点B是（，）图象上一点，点C在x轴上，连结，，．若轴，，则（    ）． A．4 B．2 C．2.5 D．5 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，读懂题意，数形结合是解决问题的关键． 连接，如图所示，得到，再结合反比例函数的几何意义即可得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： 轴， ， ， ，解得， 故选：D． 5. （21-22九年级上·广东深圳·期末）如图，正比例函数y＝kx和y＝ax（a＞0）的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象分别相交于A点和C点．若Rt△AOB和Rt△COD的面积分别为S1和S2，则S1与S2的关系是（    ） A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】由于A、C两点在反比例函数图象上，则直角三角形AOB与直角三角形COD的面积都为|k|，相等． 【详解】解：由题意得：A、C两点在反比例函数图象上，则过两点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|． 因此，直角三角形AOB与直角三角形COD的面积S1＝S2＝|k|． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数中比例系数的几何意义：过反比例函数图象上任意一点分别作轴、轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为． 已知图形面积求反比例系数 1. （19-20九年级上·广东广州·期末）如图，CD⊥x轴，垂足为D，CO，CD分别交双曲线y＝于点A，B，若OA＝AC，△OCB的面积为6，则k的值为（　　）    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】设A（m，n），根据题意则C（2m，2n），根据系数k的几何意义，k=mn，△BOD面积为k，即可得到S△ODC=•2m•2n=2mn=2k，即可得到6+k=2k，解得k=4． 【详解】设A（m，n）， ∵CD⊥x轴，垂足为D，OA＝AC， ∴C（2m，2n）， ∵点A，B在双曲线y＝上， ∴k＝mn， ∴S△ODC＝×2m×2n＝2mn＝2k， ∵△OCB的面积为6，△BOD面积为k， ∴6+k＝2k，解得k＝4， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|． 2. （23-24九年级上·广东广州·期末）如图，反比例函数图象经过正方形的顶点A，边与y轴交于点D，若正方形的面积为12，，则k的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、正方形性质理解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、反比例函数与几何综合 【分析】过点A作轴于点E，过点A作轴于点G，过点B作于点G，过点C作轴于点F，过点B作轴于点M，过点C作轴于点N，，根据已知条件分别证明，，四边形，四边形和四边形为矩形，即可得出，，，根据已知条件可以证明，得出，设点A的坐标为：，即可得出，得出，根据勾股定理，结合正方形的面积，列出，最后将代入求出k的值即可． 【详解】解：过点A作轴于点E，过点A作轴于点G，过点B作于点G，过点C作轴于点F，过点B作轴于点M，过点C作轴于点N，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， ∵轴，轴， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ，， ∴， ∴， ， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， 同理可得：四边形和四边形为矩形， ，，， 设点A的坐标为：， ，， ， ，即， ∵正方形的面积为12， ， 在中，由勾股定理得，即， 把代入得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，矩形的判定和性质，勾股定理，反比例函数与几何综合，相似三角形的性质与判定等等，设出点A的坐标，找出m与k的两个关系式，是解题的关键． 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，连接．若四边形的面积为3，则 ． 【答案】6 【难度】0.65 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查反比例函数中的几何意义的应用，读懂题意，数形结合，将所求代数式准确用的几何意义对应的图形面积表示出来是解决问题的关键． 根据反比例函数中的几何意义：反比例函数图象上点向坐标轴作垂线，与原点构成的直角三角形面积等于，数形结合可以得到，根据图象均在第一象限可知，再由四边形的面积为3，得到，即可得到答案． 【详解】解：矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点， 由反比例函数中的几何意义知，， 矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点， 由反比例函数中的几何意义知，， 四边形的面积为3， 由图可知，， 即，解得， ， 故答案为：6． 4. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在矩形中，，，是上的一个动点（不与，重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，若时，则 ． 【答案】80 【难度】0.65 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义的应用，三角形面积的同底问题的应用．连接，利用同底面积比等于高之比，得到点坐标，再利用反比例函数的关系式的求法计算即可． 【详解】解：连接， 由题意得：， ， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：80． 5. （22-23九年级上·广东广州·期末）如图，点A在x轴的负半轴上，点C在反比例函数的图象上，交y轴于点B，若点B是的中点，的面积为，则k的值为 ． 【答案】6 【难度】0.85 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】根据全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式可得，进而得出，由系数k的几何意义可得答案． 【详解】解：如图，过点C作轴于D， ∴， ∵点B是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义以及全等三角形的判定和性质，理解反比例函数系数k的几何意义，掌握全等三角形的判定和性质是正确解答的前提． 6. （22-23九年级上·广东广州·期末）如图，点A在双曲线上，点C在双曲线上，轴，过点A作轴，垂足为点B，连接，，与x轴交于点D，若，面积为6，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由平行判断成比例的线段、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】设轴的垂足为点E，点，则，根据，，得到，根据，得到，故点，结合题意，得到，，，解得，，计算的值即可． 【详解】解：设轴的垂足为点E，点，则， 因为轴，轴， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以点， 因为点A在双曲线上，点C在双曲线上， 所以，， 因为面积为6， 所以， 所以， 所以，， 所以． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，线段与坐标的关系，平行线分线段成比例定理，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 反比例函数与一次函数综合 1. （23-24九年级上·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于两点，一次函数的图像与y轴交于点C． (1)求一次函数的解析式： (2)根据函数的图像，直接写出不等式的解集； (3)点P是x轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【难度】0.65 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、求一次函数解析式、反比例函数与一次函数的综合、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】（1）利用待定系数法求出，的坐标即可解决问题． （2）观察图象写出一次函数的图象不在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围即可解决问题． （3）根据，求出的面积，设 ，构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴， 把A、B的坐标代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：观察图象，不等式的解集为：或； （3）解：连接，由题意， ， 设， 由题意， 解得， ∴或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标，注意数形结合思想的应用． 2. （22-23九年级上·广东广州·期末）如图，一次函数 与反比例函数 的图象相交于，两点，连接，，延长交反比例函数图象于点C． (1)求一次函数的表达式与反比例函数的表达式； (2)当时，直接写出自变量x的取值范围为______； (3)点P是x轴上一点，当时，请求出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题、利用待定系数法求函数解析式；熟练的利用数形结合的方法解题是关键； （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据图象求解即可； （3）先求得，再根据，求得，根据中心对称的性质得出，可得，从而求得，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入得 ， 解得 ， ∴一次函数为， 将代入 得， 解得， ∴反比例函数的解析式为 ； （2）解：由图象可知，当时， 自变量x的取值范围为或， 故答案为：或； （3）解：如图，由题意可知，， ∴， 把代入得，， 解得， ∴， ， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴或， 3. （23-24九年级上·广东广州·期末）如图，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于，两点． (1)求A、B两点的坐标和反比例函数的表达式； (2)连接、，求的面积； (3)在x轴上找一点P，使的值最小，求满足条件的点P的坐标． 【答案】(1)、； (2)4 (3) 【难度】0.65 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断、求反比例函数解析式、求一次函数解析式 【分析】（1）把，两点的坐标代入一次函数的解析式即可求出m、n的值，再把B的坐标代入反比例函数的解析式即可求出k的值； （2）求得C的坐标，然后根据求得即可； （3）作B点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，则，利用两点之间线段最短可判断此时的值最小，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后求出直线与x轴的交点坐标即可得到P点坐标． 【详解】（1）解：把，两点的坐标代入， 得， ，解得， 则、， 把代入，得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵一次函数的图象与y轴交于点C， ∴， ∴， ∵、， ∴； （3）解：作B点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，则， ∵， ∴此时的值最小， 设直线的解析式为， 把点，的坐标代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，，解得：， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，最短路径问题，解题的关键，（1）是熟练掌握待定系数法，（2）利用割补法，（3）是作出点B关于x轴的对称点，求得对称点的坐标． 4. （23-24九年级上·广东广州·期末）如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，且与反比例函数的图象在第二象限内的部分交于点C，垂直于x轴，垂足为D，其中． (1)直接写出A，B两点的坐标； (2)求这两个函数的关系式； (3)若点P在x轴上，且，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)，； (2)，； (3)或． 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、由平行截线求相关线段的长或比值、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】（1）根据，求解即可； （2）将，代入直线方程求解即可，求得点坐标，代入反比例函数，求解即可； （3）设，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，分别为轴的正半轴， ∴，； （2）解：将，代入中，可得 ，解得，即， ∵轴 ∴， ∴， ∴，解得，， 由题意可得：，即 ∴， 将代入可得，，解得， 即； （3）解：设，则， 由题意可得：， 解得或， 即点P的坐标为或 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，涉及了平行线分线段成比例的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 5. （22-23九年级上·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知反比例函数与一次函数的图象相交于点和．    (1)分别求反比例函数和一次函数的表达式； (2)请直接写出当时，的解集 (3)横纵坐标均为整数的点叫整点，我们把A，B之间的双曲线和线段AB围成的封闭图形（不含边界）记作区域G，直接写出区域G整点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)和 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）用待定系数法即可求得反比例函数和一次函数的表达式 （2）根据两个函数的图象的交点即可求得的解集 （3）先由、，确定区域（不含边界）内的点的横坐标的取值范围是，即确定的取值为或，然后再确定纵坐标的值，即可求得区域内的点的坐标 【详解】（1）将点代入反比例函数得：， 解得：， ∴， 将点代入反比例函数得：， ∴， 将点、分别代入一次函数得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式是：，一次函数的表达式是 （2）∵由（1）知点、点， ∴观察图象，当时，或 （3）∵、， ∴反比例函数与一次函数的图象围成的区域（不含边界）内的点的横坐标的取值范围是， ∴的取值为整数时，或， 当时，该区域内的点的纵坐标的最大值不能大于，最小值不能小于， ∴横、纵坐标均为整数的点只能是； 当时，该区域内的点的纵坐标的最大值不能大于，最小值不能小于， ∴横、纵坐标均为整数的点只能是； ∴区域G整点的坐标为和 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的综合应用，熟练掌握两个函数的性质是解决问题的关键 6. （22-23九年级上·广东广州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点两点． (1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式： (2)根据图象，直接写出满足的的取值范围； (3)连接BO并延长交双曲线于点C，连接AC，求ABC的面积． 【答案】(1)反比例函数解析式为 ，次函数解析式为 (2)x≥4或-1≤x＜0 (3) 【难度】0.4 【知识点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求反比例函数的解析式，把B的坐标代入求出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数即可求出函数的解析式； （2）根据函数的图象和A、B的坐标即可得出答案； （3）过C点作CDy轴，交直线AB于D，求出D的坐标，即可求得CD，然后根据 即可求出答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数y＝的图象经过点A（4，1）， ∴ ， ∴反比例函数解析式为 ， 又点B（﹣1，n）在反比例函数上， ∴ ， ∴B的坐标为（-1，-4）， 把A（4，1），B（﹣1，-4）代入 ， 得 ， 解得 ， ∴一次函数解析式为 ； （2）解：由图象及交点坐标可知： 当x≥4或-1≤x＜0时，k1x+b≥﹣； （3）解：过C点作CDy轴，交直线AB于D， ∵B（-1，-4），B、C关于原点对称， ∴C（1，4）， 把x=1代入y=x-3，得y=-2， ∴D（1，-2），CD=6， ∴． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，以及数形结合思想的运用． 7. （19-20九年级上·广东深圳·期末）一次函数y=k1x+b和反比例函数的图象相交于点P（m−1，n+1），点Q（0，a）在函数y=k1x+b的图象上，且m，n是关于x的方程ax2−（3a+1）x+2（a+1）=0的两个不相等的整数根（其中a为整数），求一次函数和反比例函数的解析式． 【答案】一次函数：或；反比例函数：或 【难度】0.4 【知识点】求反比例函数解析式、求一次函数解析式、因式分解法解一元二次方程 【分析】根据点Q在一次函数上，可得a与b的关系，解一元二次方程，可解得，，然后根据方程的两根不等且为整数，可得出的值，从而得出P的坐标，代入可得解析式． 【详解】∵点Q(0，a)在函数y=k1x+b的图象上 ∴代入得：a=b ax2−（3a+1）x+2（a+1）=0化简得：[ax－(a+1)](x-2)=0 ∴， ∵方程的2个根都是整数 ∴a=1时，；a=－1时， ∵方程的2个根不相等 ∴， 情况一：m=2，n=0 则P(1，1) 则一次函数为：y=2x－1，反比例函数为： 情况二：m=0，n=2 则P(－1，3) 则一次函数为：y=－4x－1，反比例函数为： 【点睛】本题考查求一元二次方程的整数解，解题关键是根据2个根为整数且不等分析得出方程的2个根的数值． 8. （22-23九年级上·广东深圳·期末）某数学建模小组在综合实践课上探究面积为4，周长为m的矩形问题时，发现矩形的面积与周长存在一定的关系．他们在解决此问题时通常采用“代数”的方法解决，但也可以从“图形”的角度来研究它． (1)构建模型： 当时，设矩形的长和宽分别为x，y，则，，满足要求的可以看成反比例函数的图象与一次函数在第一象限内的交点坐标．从图①中观察到，交点坐标为______，即满足当矩形面积为4时，周长是10的矩形是存在的； (2)问题探究： 根据（1）的结论，当，时，满足要求的，可以看成反比例函数的图象与一次函数______的交点坐标，而此一次函数图象可由直线平移得到．请在图②的平面直角坐标系中直接画出直线．当直线平移到与反比例函数的图象有唯一交点时，周长m的值为______； (3)拓展应用： 写出周长m的取值范围． 【答案】(1)， (2)， (3) 【难度】0.65 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、坐标与图形、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】(1)由图即可得到两交点的坐标，即可求解； (2) 由得，直接画出的图象，根据两图象只有一个交点时，一元二次方程有两个相等的实数解，据此即可求解； (3) 当面积为4，周长为m的矩形存在，即两函数图象有交点，一元二次方程有实数解，据此即可求解． 【详解】（1）解：从图①中观察到，交点坐标为，； 故答案为：，； （2）解：由得， 故满足要求的，可以看成反比例函数的图象与一次函数的交点坐标， 画出直线如下： ，得， 直线平移到与反比例函数的图象有唯一交点， ， 解得或(舍去)； 故答案为：，； （3）解：当面积为4，周长为m的矩形存在，即两函数图象有交点， ， 解得或(舍去)， 故周长m的取值范围为． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与交点问题，一元二次方程根的判别式，函数图象的平移，此类探究题，通常按照题设条件依次求解． 反比例函数综合应用 1. （23-24九年级上·广东深圳·期末）【教材再现】：北师大版九年级上册数学教材第122页第21题：“怎样把一块三角形的木板加工成一个面积最大的正方形桌面？”某小组同学对此展开了思考． （1）若木板的形状是如图（甲）所示的直角三角形，，，根据“相似三角形对应的高的比等于相似比”可以求得此时正方形的边长是________． 【问题解决】：若木板是面积仍然为的锐角三角形，按照如图（乙）所示的方式加工，记所得的正方形的面积为，如何求的最大值呢？某学习小组做了如下思考： 设，，边上的高，则，，由得：，从而可以求得，若要内接正方形面积最大，即就是求的最大值，因为为定值，因此只需要分母最小即可． （2）小组同学借鉴研究函数的经验，令．探索函数的图象和性质： ①下表列出了与的几组对应值，其中________． … 1 2 3 4 … … 4 4 … ②在如图（丙）所示的平面直角坐标系中画出该函数的大致图象； ③结合表格观察函数图象，以下说法正确的是 A．当时，随的增大而增大． B．该函数的图象可能与坐标轴相交． C．该函数图象关于直线对称． D．当该函数取最小值时，所对应的自变量的取值范围在之间． 【答案】（1）；（2）①；②见解析；③D 【难度】0.65 【知识点】判断（画）反比例函数图象、判断反比例函数的增减性、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）利用勾股定理以及面积法求得各边长和斜边上的高，设正方形的边长为，根据，利用“相似三角形对应的高的比等于相似比”列式计算即可求解； （2）①将代入计算即可求解； ②描点、连线，即可画出图象； ③结合表格观察函数图象即可判断． 【详解】解：（1）作交于点N，交于点M， 设正方形的边长为，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 此时正方形的边长是， 故答案为：； 解：（2）①当时，， 故答案为：； ②描点、连线，图象如图所示， ③由图可知： A、当时，随的增大，先减小后增大，原说法错误； B、a不能为零，可知与y轴无交点，a为正数可知，,与横轴无交点，即该函数的图象不可能与坐标轴相交，原说法错误； C、该函数图象没有对称轴，原说法错误； D、当，函数值先减少后增加，故当该函数取最小值时，所对应的自变量的取值范围在之间，说法正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，函数的图象和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，如图1，即），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图2）．制作方法如下：第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点，并用细麻绳固定，在支点左侧10cm的处固定一个金属吊钩，作为秤钩；第二步：取一个质量为1kg的金属物体作为秤砣．（备注：秤钩与称砣绳长的重量忽略不计） (1)图2中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点右侧的处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为 kg，的长为 cm．则关于的函数解析式是______；若，则的取值范围是______． (2)调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点右侧的处，使秤杆平衡，如图3．设重物的质量为kg，的长为 cm．完成下列问题： ①关于的函数解析式是______； ②完成下表： /kg … 0.25 0.5 1 2 4 … /cm … ______ ______ ______ ______ ______ … ③在直角坐标系中画出该函数的图象． 【答案】(1)， (2)； 40，20，10，5，2.5；画出图如图所示． 【难度】0.65 【知识点】用描点法画函数图象、求一次函数解析式、求反比例函数解析式 【分析】（1）根据阻力×阻力臂＝动力×动力臂即可求出关系式，再根据的范围即可求得的范围； （2）根据阻力×阻力臂＝动力×动力臂即可求得关系式；根据中求得的关于的解析式为：，将的值分别取0.25,0.5,1，2,4代入解析式求出的值即可；在图中根据算出来的坐标值，进行描点连线即可． 【详解】（1）解：阻力×阻力臂＝动力×动力臂， ， 即， 关于的解析式为：， ， ， ， 的取值范围为：． （2）解：阻力×阻力臂＝动力×动力臂， ， 即， ， 关于的函数解析式是：； 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，； 画出图如图所示： 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，以及列表、描点、连线、画函数图象的方法，求出函数解析式是解答本题的关键． 3. （23-24九年级下·广东深圳·期末）【项目式学习】 项目主题：守护生命，“数”说安全． 项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，'数'说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考察测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究． 任务一：考察测量 （1）如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为，则 ； 任务二：模拟探究 如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过． （2）创新小组用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现： ①当时（如图1），线段能通过直角弯道； ②当时，必然存在线段的中点E与点B重合的情况，线段恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，的度数是　 　； ③当时，线段不能通过直角弯道． （3）如图3，创新小组用矩形模拟汽车通过宽均为的直角弯道，发现当的中点E与点B重合，且时，矩形恰好不能通过该弯道．若，且矩形能通过该直角弯道，求a的最大整数值． 任务三：成果迁移 （4）如图4，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数的图象，其对称轴交图象于点A．弯道内侧的顶点B在射线上，两边分别与x轴，y轴平行， ．创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道类似．有一辆长为，宽为的汽车需要安全通过该弯道，则b的最大整数值为　　　　．（参考数据：） 【答案】（1）；（2）；（3）a的最大整数值为7；（4）10 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】（1）延长内侧交外侧于点，则，根据勾股定理，即可求解； （2）根据等腰直角三角形的性质，即可求解； （3）解法一：设与相交于点G，根据题意得：，证明，可得到，即可求解；解法二：设直线分别与直线相交于点I，H，根据等腰直角三角形的性质，以及勾股定理可得，即可求解； （4）过点A作轴于点，求出反比例函数的解析式，设直线与的交点为P，则，过点P作轴于点，延长交x轴于点K，求出，，可求出直线的解析式，从而得到的长，即可求解． 【详解】解：（1）如图1，延长内侧交外侧于点，则， ∴， ∴， 故答案为：； （2）由图形可知是等腰直角三角形，则， 故答案为：； （3）解法一、如图3（1），设与相交于点G，根据题意得：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， ∴根据实际情况得：a的最大整数值为7． 解法二：如图3（2），设直线分别与直线相交于点I，H， ∵四边形为矩形， ∴， ， 又∵， ∴， ∴， ∴根据实际情况得：a的最大整数值为7． （4）如图4，过点A作轴于点， 由勾股定理可得， ∴， 把代入，得：， ∴反比例函数的解析式为； 设直线与的交点为P，则， 过点P作轴于点，延长交x轴于点K，则，是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 令， 解得：， ， ∴， ∵， ∴的最大整数值为10． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数与一次函数的图象和性质，勾股定理等知识，利用类比思想和数形结合思想解答是解题的关键． 反比例函数与几何综合 1. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，点A 在反比例函数的图象上，轴于点B，，． (1)求反比例函数的表达式； (2)若直线垂直平分线段，交于点D，交y轴于点C，交x轴于点E，求线段的长． 【答案】(1) (2)5 【难度】0.65 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由题意可得点A的坐标为，代入，求出的值即可； （2）连接，过点A作于点，由直线为线段的垂直平分线可得，设线段的长为，则，，由勾股定理得，即，求出的值即可． 【详解】（1）解：轴， ， ∵，， 点A的坐标为， 将代入， 得， 反比例函数的表达式为． （2）解：连接，过点A作于点，如图所示： ∵直线为线段的垂直平分线， ， 设线段的长为，则， 点A的坐标为， ，， ∴， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得：， 线段的长为． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数解析式、线段垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴的正半轴上，．对角线相交于点，反比例函数的图象经过点，分别与交于点．    (1)若，求的值； (2)若，求反比例函数关系式． 【答案】(1)28 (2) 【难度】0.65 【知识点】根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合 【分析】（1）先利用矩形的性质和线段中点坐标公式得到 ,然后把 点坐标代入 ,可求得 的值; （2）利用勾股定理计算出 ,则 5 ，所以 ， 设 ，则 , ，利用反比例函数图象上点的坐标得到 ，解得 ，从而得到反比例函数解析式为 ； 【详解】（1）矩形的顶点在轴的正半轴上，， ， 对角线相交于点， 点为的中点， 如图，过作于点，则为的中点，    易得点的坐标为，把代人，得． （2） ， ， 设，则， 反比例函数的图象经过点， ，解得， 反比例函数关系式为． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数 图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，也考查了反比例函数的性质 3. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，已知，点在轴上，，，，反比例函数的图象经过的中点，交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)点是轴上的一个动点，请直接写出使为直角三角形的点坐标． 【答案】(1)； (2)面积为； (3)点的坐标为或． 【难度】0.4 【知识点】坐标与图形、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、用勾股定理解三角形 【分析】（1）解直角三角形求得，作于，根据平行线分线段成比例定理和三角形中位线的性质求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式； （2）补形法，求出各点坐标，； （3）分两种情形：，，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ ， 作于， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵反比例函数的图象经过的中点， ∴， ∴， ∴反比例函数的关系式为； （2）∵， ∴的横坐标为， 代入得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ； （3）如图， 当时，点的横坐标与点的横坐标相等， ∵， ∴， 当时， ∵， ∴ ∵， ∴，则有， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】此题考查了一次函数、反比例函数的综合应用，列出关于、的方程组是解答问题（）的关键，分类讨论是解答问题（）的关键． 4. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，直线：与坐标轴交于A、D两点，以为边在右侧作正方形，过C作轴于G点．过点C的反比例函数与直线交于E、F两点．    (1)求证：； (2)求E、F两点坐标； (3)填空：不等式的取值范围是______． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)或 【难度】0.65 【知识点】反比例函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、正方形性质理解、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）根据正方形的性质，得，，结合轴，得，则，证明； （2）根据直线：与坐标轴交于A、D两点，易得，，结合，得，，所以，即可作答； （3）结合（2）中的，，由图象知，不等式的取值范围是或． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ （2）解：依题意，直线：， 令，则， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴，， ∴， 故将点C代入反比例函数中， 得， ∴反比例函数的解析式为， ∵直线的解析式为， 联立①②得， 解得或， ∴， （3）解：由图象知，结合（2）中的，， 不等式的取值范围是或． 【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的应用，一次函数与反比例函数的交点问题，涉及正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 5. （20-21九年级上·广东深圳·期末）点A（﹣3，1），B（﹣2，2），反比例函数y＝（k＜0，x＜0）的图象记为L． （1）若L经过点A． ①图象L的解析式为　 　． ②点B在图象L上，还是在图象L的上方或下方？为什么？ （2）如图在（1）的条件下，L上纵坐标为3的点P与点C关于原点O对称，PQ⊥x轴于点Q，CD⊥x轴于点D．求△QCD的面积． （3）若L与线段AB有公共点，直接写出k的取值范围． 【答案】（1）①； ②点B在图象L的上方，理由见解析；（2）；（3） 【难度】0.4 【知识点】反比例函数与几何综合、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】（1）①将点A坐标代入图象L的解析式，即可求出结果； ②将代入解析式，求出，再与2比较大小，即可得出结果； （2）先求出点P坐标，根据对称关系得到点C坐标，再由点D和点Q坐标得到三角形的边长，即可求出面积 （3）求出图象L经过点A和点B时的k值，再求出图象L与线段AB相切时的k值，即可得出结果． 【详解】解：（1）①∵L经过点A， ∴，解得， ∴图象L的解析式为：； ②当时，， ∵， ∴点B在图象L的上方； （2）当时，， ∴， ∵点P与点C关于原点O对称， ∴， ∵，， ∴，， ∴； （3）当图象L过点A时，由（1）知，， 当图象L过点B时， 将点B坐标代入解析式，得，解得， 当线段AB与图象L相切时， 设直线AB的解析式为， 由待定系数法得，，解得， ∴直线AB的解析式为， 联立直线AB的解析式和图象L的解析式，得， 化为关于x的一元二次方程， ∴，解得， 综上，． 【点睛】本题考查反比例函数综合题，解题的关键是掌握待定系数法，三角形面积公式，对称点的性质，以及函数图象交点问题转换成方程解的问题． 反比例函数与几何图形综合（填选） 1. （19-20九年级上·广州深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，以为边在第一象限作正方形，点在双曲线上，则的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、直角三角形的两个锐角互余、求反比例函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】作轴于点，先求出点和点的坐标，证明，得到，，得到的坐标是，代入求出即可． 【详解】解：如图，作轴于点，    在中， 令，则，即点的坐标是． 令，则， 解得：，即点的坐标是． ，， 四边形是正方形， ，， ， 又在中，， ， 在和中， ， ， ，， 点的坐标是， 将点代入得：， 解得：， 故选：D． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，求反比例函数的解析式，关键点在于寻找全等三角形，利用距离相等，从而求得交点的坐标，进而求得解析式． 2. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，已知函数的图象与轴交于点A，与函数的图象交于C、D两点，以OC、OD为邻边作平行四边形OCED．下列结论中：①OC=OD；②若，则当时，；③若，则平行四边形OCED的面积为3；④若∠COD=45°，则.其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】根据反比例函数与一次函数求出交点C、D的坐标，再根据长度公式，三角形面积进行计算即可. 【详解】解：设直线AB解析式为 把A（3，0），B（0，3）代入得 ∴ ∴ 设 则 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ =0 ∴ ∴OC=OD，故①正确 当k=2时 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴C（2，1），D（1，2） ∴当1<x<2时 ∴②正确 ∵O（0，0），D（1，2），C（2，1） ∴ ∴ 故③正确 由于∠BOD无法推出∠BOD=∠AOC，故△BOD与△AOC不全等，故BD≠AC 若k=2则D（1，2）C（1，2）故BD=AC 两者矛盾,故④错误 故正确个数有3个 故选：C 【点睛】此题考查了待定系数法求函数的解析式、一次函数与反比例函数交点问题以及平行四边形的性质.此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应 用. 3. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，在△ABC中，BC∥x轴，点A在x轴上，AB=AC=5，点M、N分别是线段BC与BA上两点(与三角形顶点不重合)，当△BMN≌△ACO，时，反比例函数（k>0，x>0）的图象经过点M，则k的值是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】由 可知 ，过A作 ，可求得 的长，从而可求得CM的长，可求得M点的坐标，代入可求得k． 【详解】解： ,且,， 则， 过A作 于点D，如图，    , ， 又 ∴M点坐标为， 故答案为：C. 【点睛】本题考查反比例函数综合题，解题关键在于对线段的等量代换，进而求出点M的坐标即可. 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，点A是双曲线上一动点，连接，作，且使，当点A在双曲线上运动时，点B在双曲线上移动，则k的值为 ． 【答案】﹣9 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】首先根据反比例函数的比例系数k的几何意义求得△AOC的面积，然后证明△OAC∽△BOD，根据相似三角形的面积的性质求得△BOD的面积，依据反比例函数的比例系数k的几何意义即可求解． 【详解】解：如图作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D． ∵ ∴= ∵点A是双曲线上 ∴S△OAC= ∵∠AOB=90°， ∴∠AOC+∠BOD=90°， 又∵直角△AOC中，∠AOC+∠CAO=90°， ∴∠BOD=∠OAC， 又∵∠ACO=∠BDO=90°， ∴△OAC∽△BOD， ∴= ∴ ∴=9 ∵函数图像位于第四象限 ∴ｋ＝﹣9 故答案为：﹣9 【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，证明△OAC∽△BOD是解题关键． 5. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，直线交轴于点B，交轴于点C，以BC为边的正方形ABCD的顶点A（-1，a）在双曲线上，D点在双曲线上，则的值为 .    【答案】6 【难度】0.65 【知识点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】先确定出点A的坐标，进而求出AB，再确定出点C的坐标，利用平移即可得出结论． 【详解】∵A(−1,a)在反比例函数y=上， ∴a=2， ∴A(−1,2)， ∵点B在直线y=kx−1上， ∴B(0,−1)， ∴AB=， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=AB=， 设B(m,0)， ∴， ∴m=−3(舍)或m=3， ∴C(3,0)， ∴点B向右平移3个单位，再向上平移1个单位， ∴点D是点A向右平移3个单位，再向上平移1个单位， ∴点D(2,3),将点D的坐标代入反比例函数y=中， ∴k=6 故答案为：6. 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题突破口是确定出点A的坐标. 6. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，对角线BDx轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0）、D（0，4），则反比例函数的解析式为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设B（x，4）．利用矩形的性质得出E为BD中点，∠DAB＝90°．根据线段中点坐标公式得出E（x，4）．由勾股定理得出AD2+AB2＝BD2，列出方程求出x，得到E点坐标，即可求得反比例函数的解析式． 【详解】解：∵BD∥x轴，D（0，4）， ∴B、D两点纵坐标相同，都为4， ∴可设B（x，4）． ∵矩形ABCD的对角线的交点为E， ∴E为BD中点，∠DAB＝90°． ∴E（x，4）． ∵∠DAB＝90°， ∴AD2+AB2＝BD2， ∵A（2，0），D（0，4），B（x，4）， ∴22+42+（x﹣2）2+42＝x2， 解得：x＝10， ∴E（5，4）． ∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点E， ∴k＝5×4＝20， ∴反比例函数的解析式为：y＝ 故答案为：y＝． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，线段中点坐标公式等知识，求出E点坐标是解题的关键． 7. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，直线y＝x﹣2交双曲线y（x＞0）于点A，交x轴于点B，直线y＝3x交双曲线y（x＞0）于点C，若OA＝OC，则k的值为 ． 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】反比例函数与一次函数的综合、求反比例函数解析式 【分析】设C（m，3m），A（n，n−2），根据勾股定理得到OC2，OA2，由OA＝OC及A，C在双曲线y（x＞0）上，推出k＝2k＋4，即可得到结论． 【详解】解：设C（m，3m），A（n，n−2）， ∴OC2＝m2＋（3m）2，OA2＝n2＋（n−2）2， ∵OA＝OC， ∴m2＋（3m）2＝n2＋（n−2）2，即10m2＝2n2−4n+4， ∵A，C在双曲线y（x＞0）上， ∴m•3m＝k，n（n−2）＝k，即m2＝，n2－2n＝k， ∴k＝2k＋4， ∴k＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，函数的图象，主要考查学生的理解能力和计算能力，难度适中． 8. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，矩形的顶点，点A，C在坐标轴上，E是边上一点，将沿折叠，点B刚好与边上点D重合，过点E的反比例函数的图象与边交于点F，则线段的长为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】反比例函数与几何综合、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】此题主要考查了翻折变换（折叠问题），要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．此题还考查了反比例函数图象上点的坐标特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 首先根据翻折变换的性质，可得，；然后设点E的坐标是，在中，根据勾股定理，求出的长度，进而求出k的值，再把F点的纵坐标代入解析式可求得F点的坐标，即可求得的长． 【详解】解：沿折叠，点B刚好与边上点D重合， ，， ，， ， ， 设点E的坐标是， 则，， ， ， 解得， ∴点E的坐标是， 设反比例函数， ， ∴反比例函数解析式为， ∵F点纵坐标为8， ，解得，即， ， 故答案为：． 9. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴，，将沿所在的直线翻折后，点B落在点C处，且轴，反比例函数的图象经过点C，则k的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】反比例函数与几何综合、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题主要考查翻折的性质、反比例函数的性质以及勾股定理，延长交x轴于点D，则，设，则，由翻折的性质得，，利用勾股定理求得，得到点C的坐标为，结合点C在反比例函数图象上，可求得，进一步求得，在中利用勾股定理求得a，即可求得答案． 【详解】解：延长交x轴于点D，如图所示： 设，则， ∵轴， ∴， ∵， ∴， 由翻折的性质得：，， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴点C的坐标为， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 在中，，，， 由勾股定理得：， ∴， 解得：，或（不合题意，舍去）， ∴． 故答案为：． 10. （21-22九年级上·广东深圳·期末）如图，正方形OABC，ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB上，点B，E在函数y＝（x＞0）的图象上，则： （1）点B的坐标是 ； （2）点E的坐标是 ． 【答案】 （1，1） 【难度】0.65 【知识点】反比例函数与几何综合、公式法解一元二次方程 【分析】（1）设正方形ADEF的边长是a，则B（a，a），把B的坐标代入y＝即可得到B的坐标； （2）设点E的纵坐标为y，则点E的横坐标为（1+y），代入反比例函数的解析式即可求得y的值，从而求得E的坐标． 【详解】解：（1）设正方形ADEF的边长是a，则B（a，a）， ∵点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上， ∴a2＝1， ∴a＝1， ∴点B的坐标为（1，1）． （2）设点E的纵坐标为y， ∴点E的横坐标为（1+y）， ∴y×（1+y）＝1， 即y2+y﹣1＝0， 即y＝， ∵y＞0， ∴y＝， ∴点E的横坐标为1+＝． ∴E（，）． 故答案为（1，1），（，）． 【点睛】此题考查了正方形及反比例函数的性质，以及求解一元二次方程等知识，解题的思路是设出点B、E的坐标，然后利用点B、E在反比例函数图像上，列出方程求解． 11. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，直线y＝x+4与x轴、y轴交于A、B两点，AC⊥AB，交双曲线y＝（x＜0）于C点，且BC交x轴于M点，BM=2CM，则k= ．    【答案】14 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、反比例函数与几何综合 【分析】作CD⊥OA于D，先确定A点坐标为（-8，0），B点坐标为（0，4），得到OB=4，OA=8，易证得Rt△BMO∽Rt△CMD，则，而BM=2CM，OB=4，则可计算出CD=2，然后再证明Rt△BAO∽Rt△ACD，利用相似比可计算出AD，于是可确定C点坐标，然后把C点坐标代入反比例函数解析式中即可得到k的值． 【详解】解：作CD⊥OA于D，如图，    把x=0代入得y=4，把y=0代入得，解得x=-8， ∴B点坐标为（0，4），A点坐标为（-8，0），即OB=4，OA=8， ∵CD⊥OA， ∴∠CDM=∠BOM=90°， 而∠CMD=∠BMO， ∴Rt△BMO∽Rt△CMD， ∴， 而BM=2CM，OB=4， ∴CD=2， ∵AC⊥AB， ∴∠BAO+∠CAD=90°， 而∠CAD+∠ACD=90°， ∴∠BAO=∠ACD， ∴Rt△BAO∽Rt△ACD， ∴，即， ∴AD=1， ∴OD=OA-DA=8-1=7， ∴C点坐标为（-7，-2）， 把C（-7，-2）代入得k=14． 故答案为14． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征；熟练运用相似比进行几何计算． 12. （21-22九年级上·广东深圳·期末）如图，已知一次函数y＝2x+4的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点B的横坐标是1，过点A作AC⊥y轴于点C，连接BC，则△ABC的面积是 ． 【答案】12 【难度】0.85 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、反比例函数与几何综合 【分析】由一次函数解析式求得B的坐标，代入求得k，然后两个解析式联立成方程组，解方程组求得A的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可． 【详解】解：∵一次函数y=2x+4的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点B的横坐标是1， ∴把x=1代入y=2x+4得，y=6， ∴B（1，6）， ∴6=，解得k=6， ∴反比例函数的解析式为， 解得：或， ∴A（-3，-2）， ∵AC⊥y轴于点C， ∴AC=3， ∴S△ABC=×3×(6+2)=12． 故答案为：12． 【点睛】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形面积等，数形结合是解本题的关键． 13. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，等边的边与轴交于点，点是反比例函数图像上的一点，且，则等边的边长为 .    【答案】 【难度】0.4 【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合 【分析】设等边三角形的边长为b，过点A作x轴的平行线交y轴于点M，设AM=a 过点B作y轴的平行线交AM的延长线于点E，过点O作ON⊥AB与点N，AN=AB=b，ON= b，AN=b，AC=b，则CN=AN-AC=b，CM∥BE，则 ，则 ，则AE=3a，可证△ONC∽△AEB， ，即 ，解得：BE= ，AB2=AE2+BE2，则b2=a2+9a2=a2，点A（a， ），则AB2=a2+ ，即可求解． 【详解】设等边三角形的边长为b，过点A作x轴的平行线交y轴于点M，设AM=a 过点B作y轴的平行线交AM的延长线于点E，过点O作ON⊥AB与点N，    则AN=AB=b，ON=b，AC=b， 则CN=AN-AC=b， ∵CM∥BE， ∴ ，即 ， ∴AE=3a， ∵∠OCN=∠ACM=∠ABE， ∴△ONC∽△AEB， ∴，即， 解得：BE= ∵AB2=AE2+BE2，即b2=a2+9a2=a2， ∵点A（a，）， 则AB2=a2+ 解得：a2=3，则b=2 ， 故答案为2 【点睛】本题为反比例函数综合运用，涉及到三角形相似、平行线分线段成比例、等腰三角形的性质等，综合性很强，难度很大． 14. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，已知直线：分别与轴、轴交于点，，双曲线与直线不相交，为双曲线上一动点，过点作轴于点，轴于点，分别与直线交于点，，且，则 【答案】8 【难度】0.65 【知识点】坐标与图形、已知两点坐标求两点距离、相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】求出点A、B的坐标分别为、，可得，证明，根据相似三角形的性质可得，然后设点，表示出点和点，再分别求出、和，代入求出即可． 【详解】解：在一次函数中，当时，；当时，， ∴点A、B的坐标分别为、， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设点，则，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴点，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，坐标与图形性质，勾股定理的应用等知识点，关键是通过设定点E的坐标，确定相关线段的长度，进而求解． 15. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，为反比例函数（其中)图象上的一点，在轴正半轴上有一点，．连接，，且．过点作，交反比例函数（其中)的图象于点，连接交于点，则的值为 ．      【答案】 【难度】0.85 【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过点作轴，垂足为点，交于点，根据三线合一可得，，，利用平行线即可求出MH从而求出AM，再根据平行线即可证出，列出比例式即可求出的值． 【详解】解：过点作轴，垂足为点，交于点，如图所示．    ，， ，， ， ， ， ， ． 故答案为    【点睛】此题考查的是反比例函数与图形题，掌握利用反比例函数求点的坐标和相似三角形的判定及性质是解决此题的关键． 16. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，已知直线交轴于点，交反比例函数于点，过点作交反比例函数于点，若，则的值为 ． 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】证明△BMC∽△ANB，则，进而求解． 【详解】过点B作y轴的平行线交x轴于点N，交过点C与x轴的平行线于点M，设直线AB交y轴于点D，如图．　 令x=0，=1， ∴D（0，1）， ∴OD=1， 令y=0，=0，解得x=-2， ∴A（-2，0）， ∴OA=2， 在Rt△ANB中，tan∠BAN＝=， 在Rt△ABN中，设BN＝t，则AN＝2t， ∵∠CBM＋∠ABN＝90°，∠ABN＋∠BAN＝90°， ∴∠CBM＝∠BAN， 而∠BMC＝∠ANB＝90°， ∴△BMC∽△ANB， ∵BC＝AB， 则△BMC和△ANB相似比为1：2， 则， 则CM＝t，BM＝t， 则点B、C的坐标分别为（−2＋2t，t）、（−2＋2t−t，2t）， ∵点B、C在反比例函数上，故（−2＋2t）×t＝（−2＋2t−t）×2t，解得t＝2， 则点B的坐标为（2，2）， 则k＝2×2＝4， 故答案为4． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，涉及到三角形相似．当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强． 17. （18-19九年级上·广东深圳·期末）如图所示，等腰三角形，，，…，（为正整数）的一直角边在轴上，双曲线经过所有三角形的斜边中点，，，…，，已知斜边，则点的坐标为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】先求出双曲线的解析式，设=2，=2，分别求出和的值，从中找到规律表示出的值，据此可求得点的坐标. 【详解】解：∵，是等腰三角形， ∴==4， ∴的坐标是（-4，4）， ∴的坐标是（-2，2）， ∴双曲线解析式为， 设=2，则=2， ∴的坐标是（-4-2，2）， ∴的坐标是（-4-，）， ∴（-4-）=-4， ∴=（负值舍去）， ∴=， 设=2，则=2， 同理可求得=， ∴=， ……， 依此类推=， ∴==， ∴=+++……+ =4+++……+ = ∴的坐标是（，）， 故答案是：（，）. 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了等腰直角三角形的性质． 反比例函数与几何图形面积问题探究 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，点在反比例函数的图象上，轴，且交y轴于点C，交反比例函数于点B，已知． （1）求直线的解析式； （2）求反比例函数的解析式； （3）点D为反比例函数上一动点，连接交y轴于点E，当E为中点时，求的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【难度】0.65 【知识点】反比例函数与一次函数的综合、求反比例函数解析式、坐标与图形 【分析】（1）先求解的坐标，再把的坐标代入正比例函数，解方程即可得到答案； （2）利用 先求解的坐标，再利用待定系数法求解解析式即可； （3）设 而为的中点，利用中点坐标公式求解的坐标，再利用，计算即可得到答案. 【详解】解：（1） 点在反比例函数的图象上， 则 设直线为： 则 所以直线为： （2） 轴， ． 所以反比例函数为： （3）设 而为的中点， 【点睛】本题考查的利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，图形与坐标，中点坐标公式，熟练应用以上知识解题是关键. 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图：为等腰直角三角形，斜边在轴上，，一次函数的图象经过点A交轴于点，反比例函数的图象也经过点A． (1)求反比例函数的解析式： (2)若，求的面积； (3)当时对应的自变量的取值范围是__________（请直接写出答案） 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）过点A作，求出,进而即可求解； （2）先证明，可得，进而即可求解； （3）根据A的坐标和函数图象直接写出答案即可． 【详解】（1）解：过点A作， ∵为等腰直角三角形，斜边在轴上，， ∴，， ∴， ∴, ∵反比例函数的图象也经过点A． ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴的面积=； （3）解：∵， ∴当时对应的自变量的取值范围：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，反比例函数与一次函数综合，相似三角形的性质和判定，求出函数图像的交点坐标，掌握相似三角形的判定和性质是关键． 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，直线轴于点，与反比例函数和一次函数的图象分别相交于点、，连接、，    (1)求出b和k； (2)求证：是等腰直角三角形； (3)在y轴上是否存在点P，使，若存在，请求出P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3， (2)见解析 (3)存在，（0，），（0，） 【难度】0.4 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合、求一次函数解析式 【分析】（1）将已知点的坐标代入到两个函数的解析式即可求得和的值； （2）根据直线与一次函数交于点，求得点，根据直线与反比例函数交于点确定点，从而确定，然后根据勾股定理的逆定理确定是直角三角形，从而确定是等腰直角三角形； （3）过点作，交轴于，则，根据，确定直线的解析式为，然后设直线的解析式为，把代入可求，求得，作关于轴的对称点，利用，确定． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过点 ， 即， 又反比例函数的图象经过点， ； （2）证明：直线轴于点则直线解析式为， 直线与一次函数交于点，则， 直线与反比例函数交于点， 则， 过点作直线于点， ，，， ，，，， 又， 由勾股定理得：， 又， ， ， 由勾股定理逆定理得：是直角三角形， 又， 是等腰直角三角形； （3）过点作，交轴于，则 ，， 直线的解析式为， 设直线的解析式为，把代入可求， ， 作关于轴的对称点，则， 故； 即存在，．    【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积，一次函数与反比例函数的交点问题等知识点的应用，用了数形结合思想． 4. （23-24九年级上·广东深圳·期末）小华同学学习函数知识后，对函数通过列表﹣描点﹣连线，画出了如图所示的图象． 请根据图象解答： (1)【观察发现】 ①完成描点，把图象补充完整； ②表格中： ______， ______； ③写出函数的一条性质：______； ④若函数图象上的两点，满足，则．______（填“对或错”） (2)【延伸探究】如图2，将过，两点的直线向下平移n（）个单位长度后，得到直线l与函数的图象交于点P，连接，． ①求当时，直线l的解析式和的面积； ②直接用含n的代数式表示的面积．    【答案】(1)①见解析；②，；③函数有最大值为4（答案不唯一）；④错； (2)①，；②． 【难度】0.65 【知识点】一次函数图象平移问题、一次函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象的性质，待定系数法求函数解析式，平移的性质，三角形的面积等知识，利用平行线进行等面积转化是解题的关键． （1）①根据表格描点连线即可；②把x，代入函数解析式分别求得a、b的值；③根据函数图象可得性质；④观察表格，当时，，求得，代入解析式求得，进行验证即可求解； （2）①首先利用待定系数法求出直线的解析式，当时，直线的解析式为设直线与轴交于，利用平行线之间的距离相等，可得的面积的面积，从而得出答案；②设直线与轴交于，同理得的面积的面积，即可解决问题． 【详解】（1）解：①根据表格描点连线，如图： ②把x，代入函数解析得， ∴； 把代入函数解析式得y， ∴； 故答案为：，； ③由图象知：函数有最大值为4，当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）； 故答案为：函数有最大值为4（答案不唯一）； ④观察表格，当时，， ∵， ∴， ∴， ∴不成立； 故答案为：错； （2）解：①设直线的表达式为，则， 解得． ∴直线的表达式为， 当时，直线l的表达式为， 设直线与y轴交于，则的面积的面积， ∴， ∴的面积为；    ②．设直线与轴交于， ∵， ∴的面积的面积，    由题意知，， ∴ ， ∴． 反比例函数与几何综合探究 1. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图1，已知点，，且a、b满足，的边与y轴交于点E，且E为中点，双曲线经过C、D两点． (1)求k的值； (2)如图2，点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点P、Q的坐标； (3)如图3，以线段为对角线作正方形，点T是边上一动点，M是的中点，，交于N，当T在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明． 【答案】(1) (2)，或，或， (3)，不发生改变，理由见解析 【难度】0.4 【知识点】求反比例函数解析式、添一个条件成为平行四边形、斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质证明 【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，故可得出A、B两点的坐标，设，由，可知，再根据反比例函数的性质求出t的值即可； （2）由（1）知可知反比例函数的解析式为，再由点P在双曲线上，点Q在y轴上，设，，再分以为边和以为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标； （3）连接、、，易证，故，，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：， ，解得：， ，， E为中点， ， 设， 又， ， ， ， ； （2）解：由（1）知， 反比例函数的解析式为， 点P在双曲线上，点Q在y轴上， 设，， ①当为边时： 如图1，若为平行四边形， 则，解得， 此时，； 如图2，若为平行四边形， 则，解得， 此时，； ②如图3，当为对角线时， ，且； ，解得， ，； 综上：，或，或，； （3）解：的值不发生改变， 理由：如图4，连接、、， 是线段的垂直平分线， ， 四边形是正方形， ， 在与中， ， （）， ，, ， 四边形中，，而， 所以，，   因为，四边形内角和为， 所以， ， ， 即的值不发生改变． 【点睛】本题考查了非负数的性质，待定系数法求反比例函数解析式，平行四边形的存在性问题，正方形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，四边形的内角和，直角三角形的性质等知识点，有一定的难度，解决本题的关键是熟练掌握相关知识点并能灵活运用． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点坐标为，反比例函数的图象分别与，交于点，，点为线段上的动点，反比例函数的图象经过点，交于点，连接．    (1)求直线的函数表达式； (2)将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在直线上时，求的值； (3)当点为线段中点时，将绕点旋转得到，其中，的对应点分别为，，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【难度】0.4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解、反比例函数与几何综合、求一次函数解析式 【分析】（1）根据反比例函数的图象分别与，交于点，，求得的坐标，然后待定系数法求解析式即可； （2）连接交于点，求得直线的解析式为，则，根据翻折的性质可得，，，根据点、分别为、的中点，建立方程，解方程求解即可； （3）①如图，过点作于点，过点作于点，证明，，根据相似三角形的性质求得，，根据即可求得的坐标，②如图，过点作于点，过点作于点，方法同①，根据即可求得的坐标． 【详解】（1）解：反比例函数的图象分别与，交于点，， ，，，， 设直线的函数表达式为， 则，解得：， 直线的函数表达式为； （2）如图，连接交于点，    反比例函数的图象交于点，交于点， ，，，， ，， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， ， 将沿所在直线翻折得到， ，， ， 点、分别为、的中点， ，解得：； （3）①如图，过点作于点，过点作于点，    ，，点为线段中点 ，，， 在中，， 由旋转得：， ，，，， ， ， ， ， ， ， ，即， ，， ， ， ， ， ，即， ，， ， 点的横坐标为：，纵坐标为：， ； ②如图，过点作于点，过点作于点，    ，， ， ， ， ， ， ， ，即， ，， ， ， ， ， ，即， ，， ， 点的横坐标为：，纵坐标为：， ； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形、一次函数，待定系数法求解析式，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键． 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图1，直线l与坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，与反比例函数（）的图像交于C，D两点（点C在点D的左边），过点C作轴于点E，过点D作轴于点F，与交于点G（4，3）． (1)当点D恰好是中点时，求此时点C的横坐标； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，将沿折叠，点G恰好落在边上的点H处，求此时反比例函数的解析式． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据点坐标求出点坐标，代入表达式即可；（2）根据点坐标表示线段长度，证明即可；（3）过点作轴的垂线，构造一线三直角模型，根据相似列比例式，解出比例式即可． 【详解】（1）解：点D是FG中点 点D（4，）， 将点D的坐标代入反比例函数表达式得： 即反比例函数的表达式为： 当时，解得： 即此时点C的横坐标是2 （2）解：设点D（4，），C（，）， 则 则 同理可得： ∴ （3）解：过点C作于点N， 设， 则， 即点C、D的坐标分别为（，3）、（4，） 则① ∵∠CHD＝90° ∴， ∴ ∴ ∴② 联立①②并解得： 则点D（4，） 将点D的坐标代入反比例函数表达式得： 故反比例函数的表达式为： 【点睛】本题考查了反比例函数与矩形的综合，相关知识点有：相似三角形的判定与性质，待定系数法求表达式等，找到相似三角形是解题关键． 4. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，直线y=ax+b(a≠0)与双曲线(k≠0)交于一、三象限内的A，B两点与x轴交于点C，点A的坐标为(2，m)，点B的坐标为(−1，n)，cos∠AOC=. (1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)点Q为y轴上一点，△ABQ是以AB为直角边的直角三角形，求点Q的坐标； (3)点P(s，t)(s>2)在直线AB上运动，PM∥x轴交双曲线于M，PN∥y轴交双曲线于N，直线MN分别交x轴，y轴于E，D，求的值.    【答案】（1），（2）Q（0，）或（0，）（3）1 【难度】0.65 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】(1)连接AO，根据，点A横坐标为2，可以得出点A的纵坐标，把A的坐标代入反比例函数就可得出其解析式,求出A、B坐标分别代入一次函数可求出一次函数表达式； (2)根据点Q在y轴正半轴和负半轴两种情况去构建直角三角形借助于勾股定理求出点Q坐标即可； (3)根据题意求出M、N的坐标分别用s、t表示，然后求出PM和PN的长，根据进而求出答案. 【详解】解：(1)连接AO，根据，点A横坐标为2，    得：,得, 即：，把其代入反比例表达式 ，进而得出：， 把、两点代入一次函数表达式： ，解得：， . (2)如图所示：    ①当点位于y轴正半轴的时候： 此时 即： 解得：， ； ②当点位于y轴负半轴的时候： 此时 即： 解得：， ， 综合得：或. (3)根据题意可得：，    点，则， 进而得出：，， ， 而点P在直线，即：， 两边除以t得：， 综合上述可得：， 故答案为：1 【点睛】本题考查的是反比例函数和一次函数的综合题，解题关键在于巧妙的构造辅助线求出各个解析式，然后通过等量代换进行解题即可. 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点A、点C，与正比例函数的图像交于点B、点D，设点A、D的横坐标分别为s，t()． (1)如图1，若点A坐标为(2，4)． ①求m，k的值； ②若点D的横坐标为4，连接AD，求△AOD的面积． (2)如图2，依次连接AB，BC，CD，DA，若四边形ABCD为矩形，求mn的值． (3)如图3，过点A作轴交CD于点E，以AE为一边向右侧作矩形AEFG，若点D在边GF上，试判断点D是否为线段GF的中点？并说明理由． 【答案】(1)①，；②6 (2)1 (3)D为线段GF的中点，理由见解析 【难度】0.4 【知识点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、反比例函数与一次函数的综合、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】(1)①把A(2,4)分别代入入y1=(k＞0)和y2=mx，即可求得答案； ②如图1，延长DA交y轴于点K，利用待定系数法求得直线AD的解析式为y=-x+6，得出K(0,6)，再由S△AOD=S△DOK-S△AOK，即可求得答案； (2)由题意得：A(s,ms)，D(t，nt)，k=ms2=nt2①，再根据矩形性质可得OA=OD，即s2+m2s2=t2+n2t2②，①②联立即可求得答案； (3)由题意得：A(s,)，D(t,)，C(-s,-)，运用待定系数法可得直线CD的解析式为y=x+-，得出E(s,-)，再由矩形性质可得：FG∥AE∥y轴，EFAGx轴，进而得出F(t,-)，G(t,)，即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵点A(2，4)在上， ∴，； ∵点A(2,4)在上， ∴， ②∵点D的横坐标为4， ∴当时，， ∴D(4,2) 分别过点A、D作x轴的垂线交x轴于点H、K， ∵，， ∴； （2）解：∵直线AC，BD经过原点且与反比例函数分别交于点A，C，B，D，反比例函数的图像关于原点中心对称， ∴点A，C关于原点对称，点B、D关于原点对称， ∴，， ∴四边形ABCD为平行四边形． 当时，四边形ABCD是矩形． ∵点A，D的横坐标分别为s，t()， ∴点A的坐标为(s,)，点D的坐标为(t,)， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴ 又∵A(s,)在上， ∴， ∴ D(t，在上， ∴， ∴． （3）解：由(2)知，，，则 设CD的表达式为 ，解得， ∴CD的表达式为， ∵轴交CD于点E， ∴当时， ∴E(s，)， ∵四边形AEFG是矩形 ∴ ∴， ∴ ∴D为线段GF的中点． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的图像和性质，待定系数法，三角形面积，矩形的判定和性质，线段的中点坐标，反比例函数与正比例函数图像交点问题等，掌握反比例函数的图像及其性质是解题的关键. 6. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（3，0），四边形OABC为平行四边形，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点C，与边AB交于点D，若OC=2，tan∠AOC=1． (1)求反比例函数解析式； (2)点P（a，0）是x轴上一动点，求|PC-PD|最大时a的值； (3)连接CA，在反比例函数图象上是否存在点M，平面内是否存在点N，使得四边形CAMN为矩形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)|PC−PD|最大时a的值为6 (3)存在，点M的坐标为（，） 【难度】0.65 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、相似三角形的判定与性质综合、反比例函数与几何综合 【分析】（1）先确定出OE=CE=2，即可得出点C坐标，最后用待定系数法即可得出结论； （2）先求出OC解析式，由平行四边形的性质可得BC=OA=3，BC∥OA，AB∥OC，利用待定系数法可求AB解析式，求出点D的坐标，再根据三角形关系可得出当点P，C，D三点共线时，|PC-PD|最大，求出直线CD的解析式，令y=0即可求解； （3）若四边形CAMN为矩形，则△CAM是直角三角形且AC为一条直角边，根据直角顶点需要分两种情况，画出图形分别求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过点C作CE⊥x轴于E， ∴∠CEO=90°， ∵tan∠AOC=1， ∴∠COA=45°， ∴∠OCE=45°， ∵OC=2， ∴OE=CE=2， ∴C（2，2）， ∵点C在反比例函数图象上， ∴k=2×2=4， ∴反比例函数解析式为y=； （2）解：∵点C（2，2），点O（0，0）， ∴OC解析式为：y=x， ∵四边形OABC是平行四边形，点A坐标为（3，0）， ∴BC=OA=3，BC∥OA，AB∥OC， ∴点B（5，2）， ∴设AB解析式为：y=x+b， ∴2=5+b， ∴b=-3， ∴AB解析式为：y=x-3， 联立方程组可得：， ∴或（舍去）， ∴点D（4，1）； 在△PCD中，|PC-PD|＜CD，则当点P，C，D三点共线时，|PC-PD|=CD，此时，|PC-PD|取得最大值， 由（1）知C（2，2），D（4，1），设直线CD的解析式为：y=mx+n， ∴，解得， ∴直线CD的解析式为：y=x+3， 令y=0，即x+3=0，得x=6， ∴|PC-PD|最大时a的值为6； （3）（3）存在，理由如下： 若四边形CAMN为矩形，则△CAM是直角三角形， 则①当点A为直角顶点时，如图2，过点A作AC的垂线与y=交于点M，分别过点C，M作x轴的垂线，垂足分别为点F，G， 由“一线三等角”模型可得△AFC∽△MGA， 则AF：MG=CF：AG， ∵C（2，2），A（3，0）， ∴OF=CF=2，AF=1， ∴1：MG=2：AG，即MG：AG=1：2， 设MG=t，则AG=2t， ∴M（2t+3，t）， ∵点M在反比例函数y=的图象上， 则t（2t+3）=4， 解得t=，（负值舍去）， ∴M（，）； ②当点C为直角顶点时，这种情况不成立； 综上，点M的坐标为（，）． 【点睛】本题考查了反比例函数综合问题，涉及矩形的判定与性质，相似三角形的性质与判定．第一问的关键是求出点C的坐标，第二问的关键是知道当点P，C，D三点共线时，|PC-PD|取得最大值，第三问的关键是利用矩形的内角是直角进行分类讨论，利用相似三角形的性质建立等式． 7. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图1，已知点，，且、满足，平行四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过、两点． （1）_____，_____．点的坐标______． （2）点在双曲线上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点的坐标． （3）以线段为对角线作正方形（如图3），点是边上一动点，是的中点，，交于，当在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明． 【答案】（1）；；的坐标为；（2）点坐标为，，；（3）的值不发生改变，值为 【难度】0.15 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题、反比例函数与几何综合 【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，故可得出A、B两点的坐标，设D（1，t），由DC∥AB，可知C（2，t-2），再根据反比例函数的性质求出t的值即可； （2）由（1）知k=4可知反比例函数的解析式为y=，再由点P在双曲线y＝上，点Q在y轴上，设Q（0，y），P（x，），再分以AB为边和以AB为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标； （3）连NH、NT、NF，易证NF=NH=NT，故∠NTF=∠NFT=∠AHN，∠TNH=∠TAH=90°，MN=HT，由此即可得出结论． 【详解】解：（1），且，． 解得： ， 为中点， ，设， 又四边形是平行四边形， 。 ，， （2）在双曲线上， 反比例函数的解析式为 点在双曲线上，点在轴上， 设， ①当为边时：如图1所示： 若为平行四边形，则，解得：． 此时， 如图2所示，若为平行四边形，则 解得：，此时， ②如图3所示：当为对角线时：且． ，解得：． ， 综上所述，，， （3）如图4，连接，，， 是线段的垂直平分线， 四边形是正方形， ， 在与中， ， 四边形， 而， 所以， 四边形内角和为， ∴， ， 即的定值为． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到用待定系数法求反比例函数的解析式、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，难度较大． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$