第03讲 定义，命题，定理（知识串讲+8考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（人教版2024）

第03讲 定义，命题，定理 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解命题，定理及证明的概念，会区分命题的题设和结论 2.会判断真假命题，知道证明的意义及必要性，了解反例的作用，通过讨论、探究、交流等形式，使学生在辩论中获得新知体验 1. 命题 定义：判断一件事情的语句，叫做命题. 组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 表达形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 2.真命题、假命题 内容 举例 注意 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题 ‌对顶角相等 说明一个命题是真命题，需从已知出发,经过一步步推理，最后得出正确结论 假命题 命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题 ‌相等的角是对顶角 判定一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，使它符合命题的题设，但不满足结论即可 【注意】只要是对一件事情作出判断的句子就是命题，与判断的结果正确与否无关，命题一定是陈述句，但是陈述句不一定是命题，而祈使句和疑问句一定不是命题.如语句“对顶角相等”是一个命题，这里的事物是“对顶角”,对它的判断是“相等”.又如语句“a的绝对值与b的绝对值”不是命题，这里没有对事物进行任何判断. 3.公理、定理 公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如：两点之间线段最短. 定理：如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理． 【温馨提示】 1）公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据． 2）由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论． 4.证明 证明：从命题的题设出发，通过推理来判断命题的结论是否成立的过穆叫做证明. 【温馨提示】 1）一般地，要判定一个命题是真命题，必须加以证明， 2）在证明过程中，推理的每一步都要合乎逻辑. 考点一： 判断是否是命题 1．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）下列语句，不是命题的是（    ） A．两点之间线段最短 B．在同一个平面内两直线不平行就相交 C．连接A，B两点 D．对顶角相等 2．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）下面的语句中，哪个不是命题（    ） A．任何一个三角形一定有一个角是直角 B．对顶角相等 C．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 D．过直线m外一点A作m的平行线 3．（23-24七年级下·福建龙岩·期中）下列句子中，是命题的是（    ） A．对顶角相等 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线 4．（23-24七年级下·山东东营·阶段练习）下列句子，是命题的是（ ） A．今天的空气好清新 B．年月日，神舟十二号发射升空 C．作一条长为 的线段 D．同旁内角互补 5．（20-21七年级下·全国·课后作业）下列句子：①爸爸你去哪儿呢?②舌尖上的中国；③中国好声音是选秀节目；④邱波是喀山世锦赛十米跳台的冠军；⑤你不是调皮捣蛋的坏孩子；⑥奔跑吧兄弟!是命题的有 （只填序号）． 6．（22-23七年级下·全国·假期作业）判断下列语句是否是命题，如果是，改写成“如果……那么……”的形式，并分别指出它们的题设和结论，同时判断其真假 （1）作直线AB的垂线． （2）相等的角是对顶角． （3）你喜欢数学吗？ （4）OC平分∠AOB． （5）两直线平行，内错角相等． （6）同角的补角相等． 考点二： 写出命题的题设与结论 7．（20-21七年级下·全国·课后作业）把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式： （1）内错角相等，两直线平行． ． （2）同角的补角相等． ． 8．（23-24七年级下·全国·假期作业）把下列句子改写成“如果……那么……”的形式，并回答题设是什么，结论是什么． (1)和互余； (2)两个互补的角是钝角； (3)互为相反数的两个数的绝对值相等． 9．（23-24七年级下·陕西渭南·阶段练习）请将下列命题改写成“如果……那么……”的形式： (1)等角的补角相等； (2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 10．（23-24七年级下·河北沧州·阶段练习）请指出下列命题的条件和结论，并判断它们的真假． (1)如果两个角是直角，那么这两个角相等； (2)绝对值相等的两个数相等； (3)两个钝角的和一定大于． 11．（22-23七年级下·河南驻马店·期中）指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例． (1)两个角的和等于平角时，这两个角互为补角； (2)内错角相等； (3)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． 12．（20-21八年级上·全国·单元测试）把下列命题改写成“如果…那么…”的形式． （1）两直线平行，内错角相等； （2）同角的补角相等； （3）三条边对应相等的两个三角形全等； （4）等腰三角形的两个底角相等． 考点三： 判断命题的真假 13．（21-22七年级下·北京延庆·期末）已知：在同一平面内，三条直线a，b，c．下列四个命题为真命题的是 ．（填写所有真命题的序号） ①如果ab，，那么；     ②如果，，那么； ③如果ab，cb，那么ac；       ④如果，，那么bc． 14．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）下列命题中：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③若的两边与的两边分别平行，则或；④若，则．其中假命题的是 （填写序号）． 15．（20-21七年级下·江苏南京·阶段练习）下列命题：①如果，那么点是线段的中点；②不相等的两个角一定不是对顶角；③直角三角形的两个锐角互余；④同位角相等；⑤两点之间直线最短，其中是真命题的有 ．(填写序号) 16．（23-24七年级下·全国·假期作业）下列四个命题：①对顶角相等；②同旁内角互补；③邻补角互补；④两直线平行，同位角相等．其中是真命题的是 （填序号）． 17．（21-22七年级下·河北石家庄·期末）在长度为、、、的四条线段中，任取三条线段，可构成 个不同的三角形；如图，有下列三个条件：①；②；③．若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成 个真命题．    18．（22-23七年级下·河北邢台·阶段练习）命题：同位角相等 (1)请将上述命题改写：“如果······，那么·····”，并指出这个命题的条件与结论； (2)判断这个命题是真命题还是假命题． 19．（23-24七年级下·江西新余·阶段练习）如图，①，②平分，③，④平分． (1)若以②③④为条件，①为结论组成一个命题，则这个命题是_______（“真”或“假”）命题； (2)证明（1）中的结论． 考点四： 举例说明真假命题 20．（2024·北京东城·二模）当 ， 时，可以说明“若，则”是假命题（写出一组，的值即可）． 21．（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）命题“如果，那么”是 （真、假）命题． 22．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）能说明命题“若，则”是假命题的一个反例可以是：， （请你填一个符合要求的值） 23．（23-24七年级下·全国·课后作业）对于命题“若，则”，下面四组a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是 ．（填序号） ①；    ②； ③；  ④． 24．（23-24七年级下·山西大同·开学考试）（1）判断下列语句是不是命题，若是，写成“如果……那么……”的形式，并判断其是真命题还是假命题． ①同位角相等，两直线平行； ②延长到点C； ③同角的补角相等． （2）举反例说明下列命题是假命题： ①相等的角是同位角； ②大于的角为钝角． 25．（23-24七年级下·陕西渭南·阶段练习）指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出个反例． (1)两个角的和等于直角时，这两个角互为余角； (2)同旁内角互补． 26．（2023七年级下·江苏·专题练习）判断下列语句是否是命题，若是，写成“如果…那么…”的形式，并判断其是真命题还是假命题． (1)同位角相等，两直线平行； (2)延长到点； (3)同角的补角相等； (4)平方后等于的数是． 27．（22-23七年级下·河北保定·阶段练习）将下列命题改写成“如果…，那么…”的形式，并判断它们是真命题还是假命题，若是假命题，请举出反例． (1)互为相反数的两个数的和为零； (2)同旁内角互补； (3)等角的余角相等． 考点五： 定理与证明 28．（22-23七年级下·河北沧州·阶段练习）“过平面上两点，有且只有一条直线”属于（    ） A．定义 B．定理 C．基本事实 D．以上答案都不对 29．（20-21八年级上·浙江宁波·期中）下列语句中，是定义的是（    ） A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 C．三角形的角平分线是一条线段 D．同角的余角相等 30．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列说法不正确的是（　　） A．证实命题正确与否的推理过程叫做证明 B．定理是命题，而且是真命题 C．“对顶角相等”是命题，但不是定理 D．要证明一个命题是假命题只要举出一个反例即可 31．（23-24七年级下·湖北黄石·阶段练习）“同位角相等，两直线平行”是（　　） A．公理 B．定理 C．定义 D．待证的命题 考点六： 写出一个命题的已知、求证及证明过程 32．（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 33．（21-22八年级上·广西梧州·阶段练习）如图，点在上，直线交于点．请从①，②平分，③中任选两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题，并求证． 已知：______，求证：______．（只须填写序号） 证明： 考点七： 已知证明过程填写理论依据 34．（20-21八年级上·广西百色·期中）补充完成下列证明过程，并填上推理的依据． 已知：如图，．求证： ． 证明：延长交于点，则 ．（             ） 又∵， ∴_______，（等量代换） ∴ ．（                   ）    35．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 36．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 37．（21-22七年级下·山东济宁·期中）推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 考点八： 根据给出的论断组命题并证明 38．（22-23七年级下·吉林·阶段练习）如图，在三角形中，点在边的延长线上，射线在的内部．给出下列信息：①；②平分；③．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个真命题，并说明理由． 39．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，给出三个论断：①；②；③，试回答下列问题： (1)请用其中的两个论断作为条件，另一个作为结论，写出所有的真命题（用序号写出命题，如：如果*，*，那么*）． (2)选择（1）中你写出的任一命题，说明它的正确性． 40．（21-22七年级下·江苏泰州·期末）如图，已知直线，给出下列信息： ①；②平分；③． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数． 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列四个命题：①相等的角是对顶角；②的平方根是；③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；④同旁内角互补；⑤有理数与数轴上的点一一对应；其中真命题的个数是（   ）. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024七年级上·全国·专题练习）有下列说法： ①在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种； ②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④同角或等角的补角相等. 其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（2025七年级下·全国·专题练习）能说明命题“对于任何有理数，”是假命题的一个反例可以是（   ） A． B． C． D． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）给出下列命题：①数轴上的点与有理数一一对应；②同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行；③两点之间，线段最短．其中是假命题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2025七年级下·全国·专题练习）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．如果两个角是直角，那么它们相等 B．若，则 C．两直线平行，内错角相等 D．对顶角相等 6．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列命题中真命题的个数是（  ） ①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②对顶角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（23-24八年级下·重庆南岸·期中）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）命题“两直线平行，同旁内角相等”是 （填“真”或“假”）命题． 9．（23-24七年级下·全国·单元测试）（1）两条直线被第三条直线所截，内错角相等． （2）垂直于同一直线的两条直线平行． （3）一个角的余角一定小于这个角的补角． （4）如果和互余，与的余角互补，那么和互补． （5）两个无理数相加一定是无理数． （6）实数与数轴上的点一一对应． 其中是假命题的是 ． 10．把命题“两直线平行，同位角相等”改写成“如果…那么…”的形式：如果 ，那么 ． 11．（23-24七年级下·北京·阶段练习）对于命题“若，则”，举出能说明这个命题是假命题的一组a，b的值，则 ， ． 12．（23-24七年级下·湖北黄冈·期中）“两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行”这是一个 命题．（填“真”、“假”） 13．（23-24七年级下·吉林松原·期末）下列命题是真命题的个数为 ． ①对顶角相等；②若，，则；③同位角相等；④互补的两个角是邻补角． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）已知命题“对顶角相等”． (1)此命题是真命题还是假命题？如果是真命题．请给予说明；如果是假命题，请举出反例． (2)写出此命题的逆命题，并判断逆命题的真假．如果是真命题，请给予说明；如果是假命题，请举出反例． 15．（23-24七年级下·全国·阶段练习）如图，有三个论断： ① ； ② ； ③． (1)请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； (2)选择（）中的一个真命题加以证明． 16．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图，①，②平分，③平分，④． (1)若以①②③为条件，④为结论组成一个命题，则这个命题是________（“真”或“假”）命题； (2)若（1）为真命题，证明（1）中的结论：若（1）为假命题，请举出反例． 17．（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）探究：如图①，②，与，与交于点，这两个角的两边分别平行，即． (1)分别猜想图①，图②中与的大小关系，并给予证明； (2)一般地，本题“探究”的命题是真命题，请把这个命题写成“如果……，那么……”的形式． 18．（23-24七年级下·河北邯郸·阶段练习）已知命题“两直线平行，同旁内角互补”． (1)写出该命题的题设和结论，并将其改写成“如果……那么……”的形式； (2)嘉淇想证明该命题，下面是她的解题过程，请将其补全，并在括号内填上推理的根据． 如图，已知直线，直线截，于点M，N． 求证　　． 证明：∵（已知）， ∴（ 　　）． ∵　　（平角的定义）， ∴　　（ 　　）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 定义，命题，定理 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解命题，定理及证明的概念，会区分命题的题设和结论 2.会判断真假命题，知道证明的意义及必要性，了解反例的作用，通过讨论、探究、交流等形式，使学生在辩论中获得新知体验 1. 命题 定义：判断一件事情的语句，叫做命题. 组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 表达形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 2.真命题、假命题 内容 举例 注意 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题 ‌对顶角相等 说明一个命题是真命题，需从已知出发,经过一步步推理，最后得出正确结论 假命题 命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题 ‌相等的角是对顶角 判定一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，使它符合命题的题设，但不满足结论即可 【注意】只要是对一件事情作出判断的句子就是命题，与判断的结果正确与否无关，命题一定是陈述句，但是陈述句不一定是命题，而祈使句和疑问句一定不是命题.如语句“对顶角相等”是一个命题，这里的事物是“对顶角”,对它的判断是“相等”.又如语句“a的绝对值与b的绝对值”不是命题，这里没有对事物进行任何判断. 3.公理、定理 公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如：两点之间线段最短. 定理：如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理． 【温馨提示】 1）公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据． 2）由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论． 4.证明 证明：从命题的题设出发，通过推理来判断命题的结论是否成立的过穆叫做证明. 【温馨提示】 1）一般地，要判定一个命题是真命题，必须加以证明， 2）在证明过程中，推理的每一步都要合乎逻辑. 考点一： 判断是否是命题 1．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）下列语句，不是命题的是（    ） A．两点之间线段最短 B．在同一个平面内两直线不平行就相交 C．连接A，B两点 D．对顶角相等 【答案】C 【分析】本题考查了命题：判断一件事情的语句叫做命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．命题都是由题设和结论两部分组成的．根据命题的定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．两点之间线段最短，是命题； B．在同一个平面内两直线不平行就相交，是命题； C．连接A，B两点，为描述性语言，不是命题； D．对顶角相等，是命题． 故选：C． 2．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）下面的语句中，哪个不是命题（    ） A．任何一个三角形一定有一个角是直角 B．对顶角相等 C．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 D．过直线m外一点A作m的平行线 【答案】D 【分析】本题考查了命题的定义，根据判断一件事情的语句，叫做命题，命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由题设事项推出的事项，逐一判断即可． 【详解】解：A、如果一个图形是三角形，那么一定有一个角是直角，是一个假命题，故不符合题意； B、如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，是一个真命题，故不符合题意； C、如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，是一个真命题，故不符合题意； D、过直线m外一点A作m的平行线，这不是命题，故符合题意； 故选：D． 3．（23-24七年级下·福建龙岩·期中）下列句子中，是命题的是（    ） A．对顶角相等 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线 【答案】A 【分析】本题考查了命题的定义：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．分析是否是命题，需要分别分析各选项是否是用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句即可． 【详解】解：A、对顶角相等，符合命题的概念，故本选项符合题意； B、a，b两条直线平行吗，是问句，未做判断，故本选项不符合题意； C、画一个角等于已知角，不符合命题的概念，故本选项不符合题意， D、过一点画已知直线的垂线，不符合命题的概念，故本选项不符合题意； 故选A． 4．（23-24七年级下·山东东营·阶段练习）下列句子，是命题的是（ ） A．今天的空气好清新 B．年月日，神舟十二号发射升空 C．作一条长为 的线段 D．同旁内角互补 【答案】D 【分析】本题考查命题的判断，熟知命题的定义：判断一件事情的句子叫做命题，数学中的命题常可以写成：如果…，那么…，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、今天的空气好清新，没有作出判断，不是命题，不符合题意； B、年月日，神舟十二号发射升空，没有作出判断，不是命题，不符合题意； C、作一条长为 的线段，没有作出判断，不是命题，不符合题意； D、同旁内角互补，作出判断，是命题，符合题意； 故选：D． 5．（20-21七年级下·全国·课后作业）下列句子：①爸爸你去哪儿呢?②舌尖上的中国；③中国好声音是选秀节目；④邱波是喀山世锦赛十米跳台的冠军；⑤你不是调皮捣蛋的坏孩子；⑥奔跑吧兄弟!是命题的有 （只填序号）． 【答案】③④⑤ 【分析】直接根据命题的定义进行判断． 【详解】①是疑问句，没有判断；②没有对事情作出判断；⑥是祈使句，不含判断的意思；只有③④⑤是对某一件事情作出判断的语句． 故答案为：③④⑤． 【点睛】本题考查命题的判断，熟练掌握命题是对一件事情作出判断的语句是解题的关键． 6．（22-23七年级下·全国·假期作业）判断下列语句是否是命题，如果是，改写成“如果……那么……”的形式，并分别指出它们的题设和结论，同时判断其真假 （1）作直线AB的垂线． （2）相等的角是对顶角． （3）你喜欢数学吗？ （4）OC平分∠AOB． （5）两直线平行，内错角相等． （6）同角的补角相等． 【答案】（1）是作图语言，不符合命题的定义，不是命题；（2）是命题；如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；题设是两个角相等；结论是这两个角是对顶角；此命题是假命题；（3）表示疑问的句子，没有对事情做出判断，所以此语句不是命题；（4）陈述了一个事情，没有做出判断，不是命题；（5）是命题；如果两平行线被第三条直线所截，那么内错角相等；题设是两平行线被第三条直线所截，结论是内错角相等；此命题是真命题；（6）是命题；如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等；题设是两个角是同一个角的补角，结论是这两个角相等；此命题是真命题． 【分析】判断语句是否为命题要紧扣两条：（1）命题必须是一个完整的陈述句；（2）必须对某件事情做出肯定或否定的判断．这二者缺一不可． 【详解】（1）是作图语言，不符合命题的定义，不是命题； （2）是命题； 改写：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角； 题设：两个角相等；结论：这两个角是对顶角； 此命题是假命题； （3）表示疑问的句子，没有对事情做出判断，所以此语句不是命题； （4）陈述了一个事情，没有做出判断，不是命题； （5）是命题 改写：如果两平行线被第三条直线所截，那么内错角相等； 题设：两平行线被第三条直线所截；结论：内错角相等； 此命题是真命题； （6）是命题 改写：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等； 题设：两个角是同一个角的补角；结论：这两个角相等； 此命题是真命题． 【点睛】本题考查了命题的概念，判断语句是否为命题的两个条件是做题的关键． 考点二： 写出命题的题设与结论 7．（20-21七年级下·全国·课后作业）把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式： （1）内错角相等，两直线平行． ． （2）同角的补角相等． ． 【答案】 如果两条直线被第三条直线所截，内错角相等，那么这两条直线互相平行 如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 【分析】找出原命题的条件和结论即可得出答案． 【详解】（1）“两条直线被第三条直线所截，内错角相等”是命题的条件，“这两条直线互相平行”是条件的结论． （2）“两个角是同一个角的补角”是命题的条件，“这两个角相等”是条件的结论． 故答案为：（1）如果两条直线被第三条直线所截，内错角相等，那么这两条直线互相平行． （2）如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． 【点睛】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单． 8．（23-24七年级下·全国·假期作业）把下列句子改写成“如果……那么……”的形式，并回答题设是什么，结论是什么． (1)和互余； (2)两个互补的角是钝角； (3)互为相反数的两个数的绝对值相等． 【答案】(1)如果，那么和互余；题设是，结论是和互余 (2)如果两个角互补，那么这两个角是针角；题设是两个角互补，结论是这两个角是钝角 (3)如果两个数互为相反数，那么这两个数的绝对值相等；题设是两个数互为相反数，结论是这两个数的绝对值相等 【分析】本题主要考查命题，熟练掌握命题的形式是解题的关键； （1）根据题意找出题设和结论即可求解； （2）根据题意找出题设和结论即可求解； （3）根据题意找出题设和结论即可求解 【详解】（1）解：如果，那么和互余；题设是，结论是和互余． （2）如果两个角互补，那么这两个角是针角；题设是两个角互补，结论是这两个角是钝角． （3）如果两个数互为相反数，那么这两个数的绝对值相等；题设是两个数互为相反数，结论是这两个数的绝对值相等． 9．（23-24七年级下·陕西渭南·阶段练习）请将下列命题改写成“如果……那么……”的形式： (1)等角的补角相等； (2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 【答案】(1)如果两个角是相等的角的补角，那么这两个角相等（或如果两个角相等，那么这两个角的补角相等） (2)如果在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 【分析】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．根据命题的概念解答即可． 【详解】（1）如果两个角是相等的角的补角，那么这两个角相等（或如果两个角相等，那么这两个角的补角相等）； （2）如果在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 10．（23-24七年级下·河北沧州·阶段练习）请指出下列命题的条件和结论，并判断它们的真假． (1)如果两个角是直角，那么这两个角相等； (2)绝对值相等的两个数相等； (3)两个钝角的和一定大于． 【答案】(1)条件：两个角是直角；结论：这两个角相等；真命题 (2)条件：两个数绝对值相等；结论：这两个数相等；假命题 (3)条件：两个角是钝角；结论：这两个角的和一定大于；真命题 【分析】本题考查命题的真假性，熟知相关概念是解题的关键． （1）根据题意，写出条件和结论，再进行判断真假即可； （2）根据题意，写出条件和结论，再进行判断真假即可； （3）根据题意，写出条件和结论，再进行判断真假即可． 【详解】（1）解：条件：两个角是直角；结论：这两个角相等； 直角为，故原命题是真命题； （2）解：条件：两个数绝对值相等；结论：这两个数相等； 绝对值相等的两个数，还可以互为相反数，不一定相等，故原命题是假命题； （3）解：条件：两个角是钝角；结论：这两个角的和一定大于； 钝角大于，故两个钝角的和一定大于，故原命题是真命题． 11．（22-23七年级下·河南驻马店·期中）指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例． (1)两个角的和等于平角时，这两个角互为补角； (2)内错角相等； (3)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． 【答案】(1)题设：如果两个角的和等于平角时，结论：那么这两个角互为补角；是真命题 (2)题设：如果两个角是内错角，结论：这两个角相等；是假命题，举反例见解析； (3)题设：如果两条平行线被第三条直线所截，结论：那么同旁内角互补．是真命题 【分析】（1）如果引出的部分就是命题的题设，那么引出的部分就是命题的结论，题设成立，结论也成立命题是真命题，否则是假命题，据此结合补角的定义判定即可； （2）两直线平行，内错角才相等，画出不平行的直线形成的内错角即可； （3）利用平行线的性质判定即可； 【详解】（1）解：题设：如果两个角的和等于平角时， 结论：那么这两个角互为补角； 是真命题； （2）解：题设：如果两个角是内错角， 结论：这两个角相等； 是假命题，如图与是内错角，；    （3）解：题设：如果两条平行线被第三条直线所截， 结论：那么同旁内角互补． 是真命题． 【点睛】本题考查了命题，掌握命题的概念和真假命题的判定方法是解题的关键． 12．（20-21八年级上·全国·单元测试）把下列命题改写成“如果…那么…”的形式． （1）两直线平行，内错角相等； （2）同角的补角相等； （3）三条边对应相等的两个三角形全等； （4）等腰三角形的两个底角相等． 【答案】（1）如果两直线平行，那么内错角相等；（2）如果两个角是同角的补角，那么在两个角相等；（3）如果两个三角形三条边对应相等，那么这两个三角形全等；（4）如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等． 【分析】根据如果后面是题设，那么后面是结论把各个命题写成“如果…那么…”的形式． 【详解】解：（1）如果两直线平行，那么内错角相等； （2）如果两个角是同角的补角，那么在两个角相等； （3）如果两个三角形三条边对应相等，那么这两个三角形全等； （4）如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等． 【点睛】本题考查将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解题关键是找到相应的条件和结论． 考点三： 判断命题的真假 13．（21-22七年级下·北京延庆·期末）已知：在同一平面内，三条直线a，b，c．下列四个命题为真命题的是 ．（填写所有真命题的序号） ①如果ab，，那么；     ②如果，，那么； ③如果ab，cb，那么ac；       ④如果，，那么bc． 【答案】①③④ 【分析】分别根据每种情况画出符合条件的图形，再结合垂直的定义，平行线的判定逐一判断即可． 【详解】解：如图，ab，， 则，故①符合题意； 如图，，， 则 故②不符合题意；④符合题意； 如图，ab，cb， 则ac；故③符合题意； 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查的是平面内直线与直线的位置关系，平行线的性质，垂直的定义，命题真假的判断，掌握“平行公理，平面内垂直于同一直线的两直线平行”是解本题的关键． 14．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）下列命题中：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③若的两边与的两边分别平行，则或；④若，则．其中假命题的是 （填写序号）． 【答案】①② 【分析】逐个判断各个命题的真假即可． 【详解】解：①两条平行，同位角相等，故①为假命题，符合题意； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故②为假命题，符合题意； ③若的两边与的两边分别平行，如图：则或；故③为真命题，不符合题意； ④若，则，故④为真命题，不符合题意； 综上：假命题有①②， 故答案为：①②． 【点睛】本题主要考查了判断命题的真假，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质． 15．（20-21七年级下·江苏南京·阶段练习）下列命题：①如果，那么点是线段的中点；②不相等的两个角一定不是对顶角；③直角三角形的两个锐角互余；④同位角相等；⑤两点之间直线最短，其中是真命题的有 ．(填写序号) 【答案】②③/③② 【分析】利用线段中点的定义、对顶角的定义、直角三角形的性质、平行线的性质及线段的性质分别判断后，即可确定正确的选项． 【详解】解：①如果，那么点是线段的中点，或点在线段的垂直平分线上，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ②不相等的两个角一定不是对顶角，正确，是真命题，符合题意； ③直角三角形的两个锐角互余，正确，是真命题，符合题意； ④两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ⑤两点之间线段最短，故原命题错误，是假命题，不符合题意， 真命题有②③． 故答案为：②③． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解线段中点的定义、对顶角的定义、直角三角形的性质、平行线的性质及线段的性质等知识，难度不大． 16．（23-24七年级下·全国·假期作业）下列四个命题：①对顶角相等；②同旁内角互补；③邻补角互补；④两直线平行，同位角相等．其中是真命题的是 （填序号）． 【答案】①③④ 【解析】略 17．（21-22七年级下·河北石家庄·期末）在长度为、、、的四条线段中，任取三条线段，可构成 个不同的三角形；如图，有下列三个条件：①；②；③．若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成 个真命题．    【答案】 【分析】根据三角形三边的关系得到能组成三角形的个数；根据平行线的性质可判断第一个和第二个命题，再根据三角形内角和定理和平角的定义及平行线的判定可判断第三个命题． 【详解】解：∵从长度分别为、、、的四条线段中任取三条，一共有四种情况： ①、、，因为，则此三条线段能构成三角形； ②、、，因为，则此三条线段不能构成三角形； ③、、，因为，则此三条线段不能构成三角形； ④、、，因为，则此三条线段能构成三角形； ∴能组成不同三角形的有：、、；、、，共两种情况， 故答案为：； 在条件①；②；③任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成三个命题： 第一个：如果，，那么； ∵， ∴，， ∵， ∴，则该命题是真命题； 第二个：如果，，那么； ∵， ∴，， ∵， ∴，则该命题是真命题； 第三个：如果，，那么； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，则该命题是真命题； ∴一共能组成个真命题， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的三边关系，命题的定义和真命题的定义，平行线的判定与性质，三角形内角和定理．掌握命题的定义，三角形的三边关系及平行线的判定和性质是解题的关键． 18．（22-23七年级下·河北邢台·阶段练习）命题：同位角相等 (1)请将上述命题改写：“如果······，那么·····”，并指出这个命题的条件与结论； (2)判断这个命题是真命题还是假命题． 【答案】(1)如果两个角是同位角，那么这两个角相等；条件是：两个角是同位角，结论是：这两个角相等； (2)假命题 【分析】（1）根据如果后面为条件，那么后面为结论，进行改写即可； （2）根据平行线的性质进行判断即可． 【详解】（1）解：如果两个角是同位角，那么这两个角相等； 条件是：两个角是同位角，结论是这两个角相等； （2）解：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，所以此命题为假命题． 【点睛】本题主要考查了命题真假的判断，命题条件，结论的定义，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同位角相等． 19．（23-24七年级下·江西新余·阶段练习）如图，①，②平分，③，④平分． (1)若以②③④为条件，①为结论组成一个命题，则这个命题是_______（“真”或“假”）命题； (2)证明（1）中的结论． 【答案】(1)真 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的判定，角平分线的定义： （1）由角平分线的定义得到，再根据已知条件可证明，即可证明，据此可得结论； （2）同（1）证明即可． 【详解】（1）解：当以②③④为条件，①为结论组成一个命题时， ∵平分，平分 ∴， 又∵ ∴， ∴； ∴以②③④为条件，①为结论组成一个命题，这个命题是真命题； 故答案为：真； （2）证明：∵平分，平分 ∴ 又∵， ∴， ∴． 考点四： 举例说明真假命题 20．（2024·北京东城·二模）当 ， 时，可以说明“若，则”是假命题（写出一组，的值即可）． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】本题考查了举例说明命题的真假，由当，时，得出，但，，即，即可得解． 【详解】解：当，时，，但，，即， 故当，时，可以说明“若，则”是假命题， 故答案为：，（答案不唯一）． 21．（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）命题“如果，那么”是 （真、假）命题． 【答案】假 【分析】本题考查了命题的真假，如果能找出一个反例，就能证明是假命题，即可作答． 【详解】解：∵，满足 但，与相矛盾 ∴“如果，那么”是假（真、假）命题， 故答案为：假 22．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）能说明命题“若，则”是假命题的一个反例可以是：， （请你填一个符合要求的值） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了命题与定理，熟记：要判断一个命题是假命题，举出一个反例即可． 作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求求解即可． 【详解】解：当，时， 有，但，故原命题是假命题. 故答案为：，． 23．（23-24七年级下·全国·课后作业）对于命题“若，则”，下面四组a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是 ．（填序号） ①；    ②； ③；  ④． 【答案】② 【分析】本题考查了举例说明假（真）命题，将四组a，b的值代入命题进行验证即可求解． 【详解】解：①，满足，，不能说明命题是假命题．   ②，满足，但不满足，能说明命题是假命题． ③，满足，，不能说明命题是假命题． ④，不满足，不能说明命题是假命题． 故答案为：②． 24．（23-24七年级下·山西大同·开学考试）（1）判断下列语句是不是命题，若是，写成“如果……那么……”的形式，并判断其是真命题还是假命题． ①同位角相等，两直线平行； ②延长到点C； ③同角的补角相等． （2）举反例说明下列命题是假命题： ①相等的角是同位角； ②大于的角为钝角． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了命题： （1）先判断命题的真假，若是真命题，写成“如果……那么……”的形式； （2）根据每个命题写出反例即可． 【详解】解：（1）①是命题、且是真命题，写成“如果……那么……”的形式为：如果两条直线被第三条直线所截得的同位角相等，那么这两条直线平行． ②不是命题． ③是命题，且是真命题，写成“如果……那么……”的形式为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． （2）①反例：对顶角相等，但不是同位角． ②反例：的角不是钝角． 25．（23-24七年级下·陕西渭南·阶段练习）指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出个反例． (1)两个角的和等于直角时，这两个角互为余角； (2)同旁内角互补． 【答案】(1)题设：两个角的和等于直角时，结论：这两个角互为余角．这个命题是真命题 (2)题设：两个角是同旁内角，结论：这两个角互补，这个命题是假命题；详见解析 【分析】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单． （1）根据命题的概念解答即可； （2）根据命题的概念解答即可． 【详解】（1）题设：两个角的和等于直角时，结论：这两个角互为余角． 这个命题是真命题． （2）题设：两个角是同旁内角，结论：这两个角互补， 这个命题是假命题． 反例：如图中与是同旁内角，， 26．（2023七年级下·江苏·专题练习）判断下列语句是否是命题，若是，写成“如果…那么…”的形式，并判断其是真命题还是假命题． (1)同位角相等，两直线平行； (2)延长到点； (3)同角的补角相等； (4)平方后等于的数是． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）根据命题的定义和平行线的判定方法进行判断； （2）根据命题的定义进行判断； （3）根据命题的定义和补角的定义进行判断； （4）根据命题的定义得到平方后等于的数是是命题，然后利用的平方等于判断它为假命题． 【详解】（1）解：同位角相等，两直线平行是真命题，写成“如果…那么…”的形式为：如果两直线被第三条直线所截，同位角相等，那么这两直线平行； （2）延长到点不是命题； （3）同角的补角相等是真命题；写成“如果…那么…”的形式为∶如果两个角都是同一个角的补角，那么这两个角相等； （4）∵，， ∴平方后等于的数是是假命题，写成“如果…那么…”的形式为：如果一个数的平方等于，那么这个数为． 【点睛】本题考查命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．掌握命题的相关概念是解题的关键． 27．（22-23七年级下·河北保定·阶段练习）将下列命题改写成“如果…，那么…”的形式，并判断它们是真命题还是假命题，若是假命题，请举出反例． (1)互为相反数的两个数的和为零； (2)同旁内角互补； (3)等角的余角相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】分析题意，先找出各个命题的条件和结论，再根据如果+条件，那么+结论，即可进行改写，再判断真假． 【详解】（1）解：如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；是真命题； （2）如果两个角是同旁内角，那么它们互补；是假命题， 反例：如图，和是同旁内角， 但两直线不平行，故和不互补； （3）如果两个角相等，那么它们的余角也相等；是真命题． 【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 考点五： 定理与证明 28．（22-23七年级下·河北沧州·阶段练习）“过平面上两点，有且只有一条直线”属于（    ） A．定义 B．定理 C．基本事实 D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】根据定义、定理、基本事实的概念判断即可． 【详解】“过平面上两点，有且只有一条直线”属于基本事实． 故选：C． 【点睛】本题主要考查定义、定理、基本事实的区分，牢记定义、定理、基本事实的概念是解题的关键． 29．（20-21八年级上·浙江宁波·期中）下列语句中，是定义的是（    ） A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 C．三角形的角平分线是一条线段 D．同角的余角相等 【答案】B 【分析】任何定义都由被定义项、定义项和定义联项三部分组成。被定义项是需要明确的概念，定义项是用来明确被定义项的概念，定义联项则是用来联接被定义项和定义项的按定义三项进行排查即可． 【详解】A. 两点确定一条直线是画图语句不是定义， B. 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线是定义，平行线是被定义项，不相交的两条直线是定义项，叫做是定义联项， C. 三角形的角平分线是一条线段说明角平分线的形状不是定义， D. 同角的余角相等是定理不是定义． 故选择：B． 【点睛】本题考查定义问题，掌握定义是由三部分组成被定义项、定义项和定义联项三，能区别语句中的定义，定理，作图语句是解题关键． 30．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列说法不正确的是（　　） A．证实命题正确与否的推理过程叫做证明 B．定理是命题，而且是真命题 C．“对顶角相等”是命题，但不是定理 D．要证明一个命题是假命题只要举出一个反例即可 【答案】C 【分析】本题考查了定理于命题的相关知识点，掌握命题，定理和证明的概念是关键. 【详解】解：证实命题正确与否的推理过程叫做证明，故A正确，不符合题意； 定理是命题，而且是真命题，故B正确，不符合题意； 对顶角相等”是命题，此命题是通过推理证实得出的真命题，所以它是定理，故C错误，符合题意； 要证明一个命题是假命题只要举出一个反例即可，故D正确，不符合题意； 故选：C 31．（23-24七年级下·湖北黄石·阶段练习）“同位角相等，两直线平行”是（　　） A．公理 B．定理 C．定义 D．待证的命题 【答案】A 【分析】本题考查的是命题和定理，根据公理的概念判断即可． 【详解】解：“同位角相等，两直线平行”是基本事实，是公理， 故选：A． 考点六： 写出一个命题的已知、求证及证明过程 32．（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【答案】C 【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可． 【详解】证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（等量代换）． ∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④． 故选C． 【点睛】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键． 33．（21-22八年级上·广西梧州·阶段练习）如图，点在上，直线交于点．请从①，②平分，③中任选两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题，并求证． 已知：______，求证：______．（只须填写序号） 证明： 【答案】①②，③，证明见解析．（答案不唯一） 【分析】根据平行线的性质可得，再由角平分线的性质可得，再利用等量代换可得 【详解】解：已知①②，求证∶③， 证明∶∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为∶①②；③． 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义、证明以及平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等． 考点七： 已知证明过程填写理论依据 34．（20-21八年级上·广西百色·期中）补充完成下列证明过程，并填上推理的依据． 已知：如图，．求证： ． 证明：延长交于点，则 ．（             ） 又∵， ∴_______，（等量代换） ∴ ．（                   ）    【答案】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；；内错角相等，两直线平行 【分析】第一个空是三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，第二个空根据等量代换得出，第三个空是平行线的判定． 【详解】解：延长交于点，则 ．（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 又∵， ∴ ，（等量代换） ∴ ．（内错角相等，两直线平行） 【点睛】本题考查推理与证明，解题的关键是掌握推理与证明过程中理由的书写，平行线的性质和三角形外角的定理． 35．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案； 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（　同位角相等，两直线平行　）， ∴（　两直线平行，同位角相等　）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（　内错角相等，两直线平行　）． 36．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，平行线的性质与判定，根据条件及结论逐个写明理由即可得到答案； 【详解】解：∵（已知）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （对顶角相等）， ． 37．（21-22七年级下·山东济宁·期中）推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 【答案】同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；等量代换 【分析】根据平行线的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：∵∠B＝∠CGF（已知）； ∴ABCD（同位角相等，两直线平行）， ∵∠BGC＝∠F（已知）； ∴CDEF（同位角相等，两直线平行）， ∴ABEF（平行公理的推论） ∴∠B＋∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（平角的定义）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（等量代换）． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质及推理论证，解题关键是熟练掌握平行线的判定与性质定理． 考点八： 根据给出的论断组命题并证明 38．（22-23七年级下·吉林·阶段练习）如图，在三角形中，点在边的延长线上，射线在的内部．给出下列信息：①；②平分；③．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个真命题，并说明理由． 【答案】答案见详解 【分析】根据平行线性质及判定，角平分线定义及等量代换即可得到证明； 【详解】解：选择①②作为条件，③作为结论．理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴平分； 选择①③作为条件，②作为结论．理由如下： ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； 选择②③作为条件，①作为结论．理由如下： ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查书写命题，平行线的性质与判定及角平分线的定义，解题的关键是正确书写命题． 39．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，给出三个论断：①；②；③，试回答下列问题： (1)请用其中的两个论断作为条件，另一个作为结论，写出所有的真命题（用序号写出命题，如：如果*，*，那么*）． (2)选择（1）中你写出的任一命题，说明它的正确性． 【答案】(1)如果①，②，那么③；如果②，③，那么①；如果①，③，那么② (2)见解析 【详解】解：（1）如果①，②，那么③；如果②，③，那么①；如果①，③，那么②． （2）命题一：如果①，②，那么③．说明如下： 因为，所以．因为，所以． （2）命题一：如果①，②，那么③．说明如下： 因为，所以．因为，所以． 命题三：如果①，③，那么②．说明如下： 因为，所以，即．因为，所以，，所以． 以上3个命题，任写一个即可． 40．（21-22七年级下·江苏泰州·期末）如图，已知直线，给出下列信息： ①；②平分；③． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数． 【答案】(1)①②；③；理由见解析 (2) 【分析】（1）由角平分线的定义可得，再根据等角的余角相等可得出，再由平行线的性质可得，从而结论得证； （2）由（1）得：，根据比的倍少度，可得关系式，求得，，再根据即可得到的度数． 【详解】（1）解：条件：①②，结论：③．理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：①②；③． （2）由（1）得：， ∵比的倍少度， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． ∴的度数． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等角的余角相等，平行线的性质，解方程组等知识．理解和掌握平行线的性质，等角的余角相等是解题的关键． 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列四个命题：①相等的角是对顶角；②的平方根是；③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；④同旁内角互补；⑤有理数与数轴上的点一一对应；其中真命题的个数是（   ）. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查命题与定理，对顶角，平方根，平行线的性质，数轴，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 根据对顶角，平方根，平行线的性质，数轴对命题进行判断即可求解； 【详解】解：①相等的两个角不一定是对顶角，原命题是假命题； ②的平方根是，原命题是假命题； ③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，原命题是真命题； ④两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题； ⑤实数与数轴上的点一一对应，原命题是假命题； 综上所述，有一个正确的； 故选：A 2．（2024七年级上·全国·专题练习）有下列说法： ①在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种； ②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④同角或等角的补角相等. 其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据平面内两直线的位置关系、垂直的定义、平行公理、补角的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：在同一平面内，两条直线的位置关系有相交、平行两种，垂直只是相交的特殊情形，故说法错误； 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故说法正确； 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故说法正确； 同角或等角的补角相等，故说法正确； 综上所述，正确的说法有，共个， 故选：． 【点睛】本题主要考查了判断命题真假，平面内两直线的位置关系，垂直的定义，平行公理，补角的性质等知识点，熟练掌握真假命题的判断方法是解题的关键：要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明），要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）能说明命题“对于任何有理数，”是假命题的一个反例可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查举反例，分别把各个选项的数值代入，使不成立的即为反例． 【详解】解：A、当时，，不成立，符合题意； B、当时，，成立，不符合题意； C、当时，，成立，不符合题意； D、当时，，成立，不符合题意； 故选：A． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）给出下列命题：①数轴上的点与有理数一一对应；②同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行；③两点之间，线段最短．其中是假命题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．分别根据平行线的判定、数轴、两点之间线段最短对各小题进行逐一分析即可． 【详解】解：①数轴上的点与实数一一对应，原命题是假命题； ②同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题； ③两点之间，线段最短，是真命题； 综上分析可知，是假命题的有1个， 故选：B． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．如果两个角是直角，那么它们相等 B．若，则 C．两直线平行，内错角相等 D．对顶角相等 【答案】C 【分析】本题考查了判断命题的真假，分别写出各命题的逆命题，再判断真假即可 【详解】解：如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题为：如果两个角相等，那么它们是直角，该命题为假命题，不符合题意； 若，则的逆命题为：若，则；，但，该命题为假命题，不符合题意； 两直线平行，内错角相等的逆命题为：内错角相等，两直线平行；该命题为真命题，符合题意； 对顶角相等的逆命题为：相等的角为对顶角，该命题为假命题，不符合题意； 故选：C 6．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列命题中真命题的个数是（  ） ①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②对顶角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、垂线的性质、对顶角相等、平行线公理，点到直线的距离，解题关键是准确掌握相关性质和概念，正确进行判断． 根据平行线的性质、垂线的性质、对顶角相等、平行线公理，点到直线的距离逐项判断即可． 【详解】解：①两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原选项错误，是假命题，不符合题意； ②对顶角相等，选项正确，是真命题，符合题意； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原选项错误，是假命题，不符合题意； ④从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，原选项错误，是假命题，不符合题意； ⑤在 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，选项正确，是真命题，符合题意． 综上所述，真命题的个数是2个． 故选：B． 7．（23-24八年级下·重庆南岸·期中）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了命题与定理的知识，能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子． 【详解】解：A、满足条件，也满足结论，故A不符合题意； B、不满足条件，故B不符合题意； C、不满足条件，也不满足结论，故C不符合题意； D、满足条件，不满足结论，故D符合题意． 故选：D． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）命题“两直线平行，同旁内角相等”是 （填“真”或“假”）命题． 【答案】假 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质，难度比较小．利用平行线的性质对命题进行判断即可确定答案． 【详解】解：∵两直线平行，同旁内角互补， ∴命题“两直线平行，同旁内角相等”错误，是假命题， 故答案为：假． 9．（23-24七年级下·全国·单元测试）（1）两条直线被第三条直线所截，内错角相等． （2）垂直于同一直线的两条直线平行． （3）一个角的余角一定小于这个角的补角． （4）如果和互余，与的余角互补，那么和互补． （5）两个无理数相加一定是无理数． （6）实数与数轴上的点一一对应． 其中是假命题的是 ． 【答案】（1），（2），（5） 【分析】本题考查了学生对命题与定理的理解及对常用知识点的综合运用能力，根据真命题的定义对各个选项进行分析，从而判定真命题的个数． 【详解】解：（1）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题是假命题． （2）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，故原命题是假命题． （3）一个角的余角一定小于这个角的补角，故原命题是真命题． （4）如果和互余，与的余角互补，那么和互补，故原命题是真命题． （5）两个无理数相加可能是无理数，也有可能是有理数，故原命题是假命题． （6）实数与数轴上的点一一对应，故原命题是真命题． 故答案为：（1），（2），（5）． 10．把命题“两直线平行，同位角相等”改写成“如果…那么…”的形式：如果 ，那么 ． 【答案】 两直线平行 同位角相等 【分析】本题考查命题的改写．掌握命题是由题设和结论两部分组成是解题的关键． 根据命题是由根据命题是由题设和结论两部分组成，如果后面是题设，那么后面是结论改写即可． 【详解】解：把命题“两直线平行，内错角相等”表示成“如果…那么…”的形式是：如果两条直线平行，那么同位角相等． 故答案为：两条直线平行，同位角相等． 11．（23-24七年级下·北京·阶段练习）对于命题“若，则”，举出能说明这个命题是假命题的一组a，b的值，则 ， ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据有理数的大小比较、有理数的乘方法则判断即可． 【详解】解：当，时，，而， 说明命题“若，则”是假命题， 故答案为：；（答案不唯一）． 12．（23-24七年级下·湖北黄冈·期中）“两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行”这是一个 命题．（填“真”、“假”） 【答案】假 【分析】本题考查了真、假命题，平行线的判定和性质，角平分线的定义，根据题意画出图形推导即可判断求解，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，直线被直线所截，交点分别为，平分，平分， ∴，， 当时，， 则， 此时； 当与不平行时，， 则， 此时和不平行； ∴“两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行”是假命题， 故答案为：假． 13．（23-24七年级下·吉林松原·期末）下列命题是真命题的个数为 ． ①对顶角相等；②若，，则；③同位角相等；④互补的两个角是邻补角． 【答案】2 【分析】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 根据对顶角相等、平行线的判定、平行线的性质、邻补角的概念判断即可． 【详解】解：①对顶角相等，是真命题； ②若，，则，是真命题； ③两直线平行，同位角相等，故本小题命题是假命题； ④互补的两个角不一定是邻补角，故本小题命题是假命题； 则真命题的个数为2个， 故答案为：2． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）已知命题“对顶角相等”． (1)此命题是真命题还是假命题？如果是真命题．请给予说明；如果是假命题，请举出反例． (2)写出此命题的逆命题，并判断逆命题的真假．如果是真命题，请给予说明；如果是假命题，请举出反例． 【答案】(1)真命题，证明见解析 (2)相等的角是对顶角，假命题，举例见解析 【分析】本题考查了命题的真假，熟练掌握判断命题的方法是本题的关键．分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而得出答案． 【详解】（1）解：此命题是真命题． 说明：如图，直线，相交于点． ， ． （2）“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，逆命题是假命题． 反例：如图，在中，，但与不是对顶角． 15．（23-24七年级下·全国·阶段练习）如图，有三个论断： ① ； ② ； ③． (1)请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； (2)选择（）中的一个真命题加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质与判定： （1）任选两个条件作为题设，另外一个条件作为结论写出对应的明天，再判断真假即可； （2）根据（1）所求结合平行线的性质与判定条件证明即可． 【详解】（1）解：选择①②为题设，③为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； 选择①③为题设，②为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； 选择②③为题设，①为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； （2）证明：选择①②为题设，③为结论， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 选择①③为题设，②为结论， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 选择②③为题设，①为结论 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 16．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图，①，②平分，③平分，④． (1)若以①②③为条件，④为结论组成一个命题，则这个命题是________（“真”或“假”）命题； (2)若（1）为真命题，证明（1）中的结论：若（1）为假命题，请举出反例． 【答案】(1)真 (2)见解析 【分析】本题考查了命题，平行线的性质，角平分线的性质， （1）根据命题的真假即可判断； （2）根据得，根据平分得，根据平分得，根据可得，等量代换，进行计算即可得； 掌握命题，平行线的性质，角平分线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：即若以①②③为条件，④为结论组成一个命题，则这个命题是真命题， 故答案为：真； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵ ∴， ， ， ． 17．（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）探究：如图①，②，与，与交于点，这两个角的两边分别平行，即． (1)分别猜想图①，图②中与的大小关系，并给予证明； (2)一般地，本题“探究”的命题是真命题，请把这个命题写成“如果……，那么……”的形式． 【答案】(1)图①：，图②：，见解析 (2)如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补 【分析】本题主要考查平行线的性质、命题与证明，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）如图①根据平行线的性质得出，可得；如图②根据平行线的性质得出，可得； （2）根据（1）可推出，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补． 【详解】（1）关系是：图①：，图②：， 如图①∵， ∴ ∵， ∴ ∴ 如图②∵， ∴ ∵， ∴ ∴． （2）命题：如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补． 18．（23-24七年级下·河北邯郸·阶段练习）已知命题“两直线平行，同旁内角互补”． (1)写出该命题的题设和结论，并将其改写成“如果……那么……”的形式； (2)嘉淇想证明该命题，下面是她的解题过程，请将其补全，并在括号内填上推理的根据． 如图，已知直线，直线截，于点M，N． 求证　　． 证明：∵（已知）， ∴（ 　　）． ∵　　（平角的定义）， ∴　　（ 　　）． 【答案】(1)该命题的题设是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”，改成“如果……那么……”的形式是：如果两直线平行，那么同旁内角互补 (2)；两直线平行，同位角相等；；；等量代换 【分析】本题考查了命题，平行线的性质等知识， （1）确定题设是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”，按要求表述即可； （2）根据两直线平行，同位角相等可得，再结合平角的定义，即可证明． 【详解】（1）该命题的题设是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”， 改成“如果……那么……”的形式是：如果两直线平行，那么同旁内角互补； （2）如图，已知直线，直线截，于点M，N． 求证． 证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（平角的定义）， ∴（等量代换）． 故答案为：；两直线平行，同位角相等；；；等量代换． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 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