第1章：解直角三角形章末重点题型复习（题型专练）数学浙教版九年级下册

（（浙教版）九年级下册 第1章：解直角三角形章末重点题型复习 题型一 根据定义求正弦、余弦、正切的值 1．（2024秋•南关区校级期中）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据锐角三角函数的定义以及勾股定理进行计算即可． 【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3， ∴， ∴． 故选：B． 【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，正确把握锐角三角函数关系是解题关键． 2．（2023秋•石景山区期末）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3BC，则sinA为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据勾股定理，可得AB与BC的关系．根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边解答即可． 【解答】解：由勾股定理，得 ABBC， ∴sinA， 故选：C． 【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 3．（2023秋•内乡县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列三角函数表示正确的是（　　） A．sinA B．tanA C．cosA D．tanB 【分析】先利用勾股定理求出BC的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算，再利用排除法求解即可． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4， ∴BC3， ∴sinA，故选项A错误； tanA，故选项B错误； cosA，故选项C正确； tanB，故选项D错误． 故选：C． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，熟记在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键． 4．（2024秋•聊城期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3AC，那么tanA＝　 ． 【分析】由勾股定理得到，根据锐角的正切等于对边比邻边列式计算即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝3AC，∠C＝90°， 由勾股定理得：， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握在直角三角形中，正切为对边比邻边是解题的关键． 5．（2024秋•鹿城区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，，求AC，AB及cosB的值． 【分析】根据正切的定义求出AC，根据勾股定理求出AB，再根据余弦的定义解答． 【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝4， ∴，即， ∴AC＝6， ∴， ∴． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，解答本题的关键是掌握正切的定义：锐角的对边与邻边的比叫做这个角的正切． 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值． 【分析】利用勾股定理得出AB，BC的长，再利用锐角三角函数关系得出即可． 【解答】解：如图（1）：∵AC＝5，BC＝3， ∴AB， ∴sinA， sinB， 如图（2）：∵AC＝1，BA， ∴BC＝2， ∴sinA， sinB． 【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确利用边角关系求出是解题关键． 7．（2023秋•项城市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上的一点，CD＝3，AD＝BD＝5．求∠A的三个三角函数值． 【分析】在Rt△BCD中由勾股定理求得BC＝4，在Rt△ABC中求得AB＝4，再根据三角函数的定义求解可得． 【解答】解：在Rt△BCD中，∵CD＝3、BD＝5， ∴BC4， 又AC＝AD+CD＝8， ∴AB4， 则sinA， cosA， tanA． 【点评】本题主要考查锐角的三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及三角函数的定义． 题型二 构造直角三角形求锐角三角函数值 1．（2023秋•辽宁期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝θ，AB＝5，BC＝8，则tanθ的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据等腰三角形的性质求出BDBC＝4，根据勾股定理求出AD＝3，根据锐角三角函数定义求解即可． 【解答】解：如图，过A作AD⊥BC于D， ∵AB＝AC，BC＝8， ∴BDBC＝4， ∴AD3， 在Rt△ABD中，tan， 故选：A． 【点评】此题考查了解直角三角形，熟记锐角三角函数定义、等腰三角形的性质是解题的关键． 2．（2023秋•南岳区校级期末）等腰三角形的底边长为10cm，周长为36cm，则底角的正切值是（　　） A． B． C． D．无法确定 【分析】根据等腰三角形的周长，底边长，可得腰长，根据勾股定理，可得底边上的高，根据正切函数的定义，可得答案． 【解答】解：如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝10cm，周长为36cm， 则AB＝AC＝（36﹣10）÷2＝13cm． 作AD⊥BC于D点，则BD＝CD＝5cm， 由勾股定理得，AD＝12cm， 所以底角的正切值tan∠ABC． 故选：A． 【点评】此题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，利用勾股定理求出底边上的高是解题的关键． 3．（2023秋•沈丘县期末）如图，在Rt△ABC中，延长斜边BC到点D，使CDBC，连接AD，若tanB，则tan∠CAD的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】如图，作DE∥AC交AB于E．由tanB可以假设AD＝5k，AB＝3k，推出BDk，CDk，想办法求出AE即可解决问题． 【解答】解：如图，作DE∥AC交AB于E． 在Rt△ABD中，tanB， ∴可以假设AD＝5k，AB＝3k， ∴BDk，CDk， ∵DE∥AC， ∴∠DAC＝∠ADE，， ∴BE＝2k， ∴AE＝k， ∴tan∠CAD＝tan∠ADE， 故选：D． 【点评】本题考查解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 4．（2023秋•金乡县期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则cos∠BDE的值等于（　　） A． B． C． D． 【分析】连接AD，利用等腰三角形的性质、勾股定理求出BD、AD，再利用直角三角形的边角间关系求出∠BAD的余弦，最后利用直角三角形的两个锐角互余说明∠BAD＝∠BDE． 【解答】解：连接AD． ∵AB＝AC＝5，BC＝6，点D为BC的中点， ∴AD⊥BC，BDBC＝3． ∴∠BAD＝90°﹣∠B， AD4． ∵DE⊥AB， ∴∠BDE＝90°﹣∠B． ∴∠BAD＝∠BDE． 在Rt△ABD中，cos∠BAD， ∴cos∠BDE＝cos∠BAD． 故选：A． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和解直角三角形，掌握等腰三角形的三线合一、“直角三角形的两个锐角互余”及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 5．（2023秋•溆浦县校级月考）在直角△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，D是边AC的中点，则sin∠DBA＝　 　． 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，将求sin∠DBA的问题转化到Rt△BDE中求解，即求的值，设AB＝2x，则AC＝x，BC，又△ABC，△ADE都是30°的直角三角形，可求DE，用勾股定理可求BD． 【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E， ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°， ∴sinA， 设AB＝2x，则AC＝x，BC， 又∵D是边AC的中点， ∴AD＝CD， 在Rt△DBC中，BD2＝BC2+CD2， ∴BD， 在Rt△ADE中，DE＝AD•sinA， 在Rt△BDE中，sin∠DBA． 故本题答案为：． 【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值． 6．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝10，AC＝2，sinB． （1）求tanC； （2）求线段BC的长． 【分析】（1）过点A作AD⊥BC于D，根据已知条件可得出AD，再利用勾股定理得出CD，进而得出tanC； （2）在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD＝8，结合CD的长度，即可得出BC的长． 【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于D， 在Rt△ABD中，AB＝10，sinB， ∴， ∴AD＝6， 在Rt△ACD中，由勾股定理得CD2＝AC2﹣AD2， ∴CD2＝（2）2﹣62＝16， ∴CD＝4， ∴tanC； （2）在Rt△ABD中，AB＝10，AD＝6， ∴由勾股定理得BD＝8， 由（1）得CD＝4， ∴BC＝BD+CD＝12． 【点评】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，要熟练掌握好边角之间的关系． 题型三 特殊锐角三角函数值的计算 1．（2024秋•龙口市期中）求下列各式的值： （1）； （2）tan45°+6cos45°﹣3tan230°． 【分析】（1）代入各个特殊角的三角函数值计算即可； （2）代入各个特殊角的三角函数值计算即可． 【解答】解：（1） ＝1； （2）tan45°+6cos45°﹣3tan230° ． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数，关键是掌握实数的综合运算能力，特殊角的三角函数值． 2．（2024秋•任丘市期中）求下列各式的值： （1）sin45°cos45°+4tan30°sin60°； （2）cos60°﹣2sin245°tan260°﹣sin30°． 【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入得出答案； （2）直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入得出答案． 【解答】解：（1）原式4 2 ； （2）原式2×（）2（）2 23 1+2 ＝1． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 3．（2024秋•高青县期中）计算： （1）sin60°+cos245°﹣sin30°•tan60°； （2）2tan45°． 【分析】（1）先利用特殊角的三角函数值得到原式（）2，然后进行二次根式的混合运算； （2）先利用特殊角的三角函数值得到原式＝2×12×（）2，然后进行二次根式的混合运算． 【解答】解：（1）原式（）2 ； （2）原式＝2×12×（）2 ＝2﹣2﹣2 ＝2﹣2 ＝0． 【点评】本题考查了实数的运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 4．（2024秋•惠山区校级月考）计算： （1）2cos230°﹣2sin60°cos45°； （2）（π﹣3.14）0+（）﹣1tan60°． 【分析】（1）先计算特殊角三角函数值，再根据二次根式的混合计算法则求解即可； （2）先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ＝1﹣3+3 ＝1． 【点评】本题主要考查了实数的运算即特殊角的三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 5．（2023秋•潜山市期末）已知α是锐角，且．求的值． 【分析】先根据且α是锐角求出α的度数，再将特殊角的三角函数值代入求解． 【解答】解：∵且α是锐角， ∴α＝45°， ∴ ． 【点评】本题考查特殊角三角函数值的混合运算，根据α的正弦值求出α的度数是解题的关键． 6．（2023•甘州区校级开学）已知△ABC中，∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|cosB|＝0． （1）试判断△ABC的形状； （2）求（1+sinA）2﹣2（3+tanC）0的值． 【分析】（1）根据非负数的和等于零，可得函数值，可得角的度数，根据角的大小，可得答案． （2）根据特殊角三角函数值，可得答案． 【解答】解：（1）由题意，得 tanA＝1，cosB． ∠A＝45°，∠B＝60°． ∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°， △ABC是锐角三角形； （2）原式＝（1）2﹣211． 【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 题型四 根据特殊角的三角函数值求教的度数 1．（2024秋•莘县期中）锐角α满足2sin（α﹣15°），则α的度数为 　 　． 【分析】根据特殊角的三角函数值解答即可． 【解答】解：∵2sin（α﹣15°）， ∴sin（α﹣15°）， ∴α﹣15°＝60°， ∴α＝75°； 故答案为：75°． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟知相关内容是解题的关键． 2．（2023秋•房县期末）若sin（x﹣10°），则锐角x＝　 　°． 【分析】根据60°的正弦值是计算即可． 【解答】解：∵sin60°， ∴x﹣10°＝60°， 解得：x＝70°， 故答案为：70． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记60°的正弦值是是解题的关键． 3．（2023秋•汝城县期末）在△ABC中，若∠A，∠B满足，则∠C＝ 　 ． 【分析】直接利用非负数的性质以及特殊角的三角函数值得出∠A＝30°，∠B＝45°，进而得出答案． 【解答】解：∵|cosA|+（1﹣tanB）2＝0， ∴cosA0，1﹣tanB＝0， 则cosA，tanB＝1， ∴∠A＝30°，∠B＝45°， ∴∠C＝180°﹣30°﹣45°＝105°． 故答案为：105°． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值、非负数的性质，正确记忆相关数据是解题关键． 4．（2023秋•玉门市期末）在锐角三角形ABC中，已知∠A，∠B满足（sinA）2+|tanB|＝0，则∠C＝　 　． 【分析】根据非负数的性质求出sinA、tanB的值，然后求出A和B的度数，继而可求得∠C． 【解答】解：由题意得，sinA，tanB， 则∠A＝45°，∠B＝60°， ∠C＝180°﹣45°﹣60°＝75°． 故答案为：75°． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值以及非负数的性质． 5．（2024•雁塔区校级一模）在△ABC中，若|sinA|+（cosB）2＝0，则∠C的度数是 　 　． 【分析】先利用非负数的性质得到sinA0，cosB＝0，即sinA，cosB，则根据特殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数，然后根据三角形内角和定理计算出∠C的度数． 【解答】解：∵|sinA|+（cosB）2＝0， ∴sinA0，cosB＝0， 即sinA，cosB， ∴∠A＝30°，∠B＝45°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°． 故答案为：105°． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键．也考查了非负数的性质． 6．（2023秋•崇川区校级月考）在△ABC中，若∠A，∠B满足|cosA|+（sinB）2＝0，求∠C的度数． 【分析】根据绝对值的非负性、偶次方的非负性、特殊角的三角函数值解决此题． 【解答】解：∵|cosA|≥0，（sinB）2≥0， ∴当|cosA|+（sinB）2＝0，则cosA，sinB． ∴∠A＝60°，∠B＝45°． ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣45°＝75°． 【点评】本题主要考查绝对值、偶次方、特殊角的三角函数值，熟练掌握绝对值的非负性、偶次方的非负性、特殊角的三角函数值是解决本题的关键． 题型五 利用特殊锐角三角函数判断三角形的形状 1．（2024秋•丰城市校级期中）在△ABC中，若|sinA﹣1|+|cosB|＝0，则△ABC是 　　 ． 【分析】当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0，由此即可求出∠A，∠B的度数，于是即可得到答案． 【解答】解：∵|sinA﹣1|+|cosB|＝0， ∴sinA﹣1＝0，cosB＝0， ∴sinA，cosB， ∴∠A＝45°，∠B＝45°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 【点评】本题考查特殊角的三角函数值，非负数的性质：绝对值，关键是掌握特殊角的三角函数值，非负数的性质． 2．（2023•东营区开学）在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tanB|+（2cosA﹣1）2＝0，判断△ABC的形状是 　 　． 【分析】由非负数的性质得到tanB，cosA，求出∠B＝60°，∠A＝60°，即可判定△ABC是等边三角形． 【解答】解：∵|tanB|+（2cosA﹣1）2＝0， ∴tanB0，2cosA﹣1＝0， ∴tanB，cosA， ∵∠A，∠B均为锐角， ∴∠B＝60°，∠A＝60°， ∴∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴△ABC是等边三角形． 故答案为：等边三角形． 【点评】本题考查特殊角的三角函数值，非负数的性质：绝对值、偶次方；关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和是0，这几个非负数都等于0，熟记特殊角的三角函数值． 3．在△ABC中，若，则△ABC是　 　三角形． 【分析】根据非负数的性质可得sinA0，tanB0，然后再得到∠A和∠B的度数，进而可得答案． 【解答】解：∵， ∴sinA0，tanB0， ∴sinA，tanB， ∴∠A＝30°，∠B＝30°， ∴△ABC是等腰三角形， 故答案为：等腰． 【点评】此题主要考查了非负数的性质和特殊角的三角函数值，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值． 4．在△ABC中，（tanA﹣3）2+|2cosB|＝0，则△ABC为 　 　三角形． 【分析】根据非负数的性质和特殊锐角三角函数值可求出∠A、∠B的度数，进而判断三角形的形状． 【解答】解：∵（tanA﹣3）2+|2cosB|＝0， ∴tanA﹣3＝0，2cosB0， 即tanA，cosB， ∴∠A＝60°，∠B＝30°， ∴△ABC为直角三角形， 故答案为：直角． 【点评】本题考查非负数的性质、特殊锐角三角函数值以及三角形的内角和，求出∠A、∠B的大小是正确判断的关键． 5．（2024春•醴陵市校级期末）在△ABC中，∠A，∠B为锐角，sinA，tanB．则△ABC的形状为　 　． 【分析】根据特殊角的三角函数值求出∠A和∠B的度数，然后判断形状． 【解答】解：在△ABC中， ∵∠A，∠B为锐角，sinA，tanB， ∴∠A＝30°，∠B＝30°， 则∠C＝120°， 故△ABC为等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 6．（2024秋•崇川区校级月考）若（tanA）2+（tanB）2＝0，∠A，∠B为△ABC的内角，试确定三角形的形状． 【分析】根据非负数的性质和特殊角的三角函数值计算． 【解答】解：由，得，则， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90度． ∴△ABC为直角三角形． 【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主． 题型六 已知角度比较三角函数的大小 1．（2023春•江北区校级期中）比较大小：sin80° 　 　sin50°（填“＞”或“＜”）． 【分析】根据一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大进行判断即可． 【解答】解：由于“一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大”可知， ∵80°＞50°， ∴sin80°＞sin50°， 故答案为：＞． 【点评】本题考查锐角三角函数的增减性，掌握“一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大”是正确判断的前提． 2．（2023•安徽模拟）比较大小：sin81°　 　tan47°（填“＜”、“＝”或“＞”）． 【分析】根据sin81°＜1，tan47°＞1即可求解． 【解答】解：∵sin81°＜sin90°＝1，tan47°＞tan45°＝1， ∴sin81°＜1＜tan47°， ∴sin81°＜tan47°． 故答案为＜． 【点评】本题考查了锐角三角函数值的增减性：当角度在0°～90°间变化时， ①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； ②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； ③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 也考查了不等式的传递性． 3．（2024秋•姑苏区校级月考）比较大小（用＜连接），sin47°，cos53°，tan45° 　 　． 【分析】根据特殊角的三角函数值判断即可． 【解答】解：sin47°＜1，cos53°＝sin（90°﹣53°）＝sin37°＜1，tan45°＝1， 则cos53°＜sin47°＜tan45°， 故答案为：cos53°＜sin47°＜tan45°． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记tan45°＝1是解题的关键． 4．（2024秋•邗江区校级期中）比较tan52°，cos21°，sin49°的大小关系是（　　） A．tan52°＜cos21°＜sin49° B．tan52°＜sin49°＜cos21° C．sin49°＜tan52°＜cos21° D．sin49°＜cos21°＜tan52° 【分析】根据三角函数的增减性，以及互余的两个角之间的关系即可作出判断． 【解答】解：∵cos21°＝sin69°＞sin49°， ∴cos21°＞sin49°， ∵tan52°＞tan45°，tan45°＝1，sin90°＝1 ∴tan52°＞1，sin69°＜1， ∴sin49°＜cos21°＜tan52°， 故选：D． 【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记锐角三角函数的增减性是解题的关键， 5．（2023秋•益阳期末）对于任意锐角α和β，下列说法中，正确的有（　　） （1）0＜sinα＜1，0＜cosβ＜1； （2）如果α＜β，那么cosα＜cosβ； （3）如果sinα＜sinβ，那么α＜β； （4）如果tanα⋅tanβ＝1，那么α+β＝90°． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于它的对边与斜边的比值；余弦值等于它的邻边与斜边的比值；正切值等于它的对边与邻边的比值．了解锐角三角函数的变化规律：正弦值和正切值随着角的增大而增大；余弦值随着角的增大而减小．即可解题． 【解答】解：（1）锐角的正弦和余弦的函数值大于0而小于1，说法正确； （2）锐角的余弦函数值随着锐角度数的增大而减小，原说法不正确； （3）锐角的正弦函数值随着锐角度数的增大而增大，反之也对，说法正确； （4）两个互余的锐角的正切值相乘得1，反之也对，说法正确， 共3个说法正确． 故选：C． 【点评】本题考查了三角函数的性质．理解锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 6．（2024秋•昌江区校级期中）三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（　　） A．sin30°＜cos16°＜cos43° B．cos43°＜sin30°＜cos16° C．sin30°＜cos43°＜cos16° D．sin16°＜cos30°＜cos43° 【分析】首先把它们转换成相同的锐角三角函数；再根据余弦值是随着角的增大而减小，进行分析． 【解答】解：∵sin30°＝cos60°， 又16°＜43°＜60°，余弦值随着角度的增大而减小， ∴cos16°＞cos43°＞sin30°． 故选：C． 【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，特殊角的三角函数值，解决本题的关键是掌握正余弦的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值；以及正余弦值的变化规律． 题型七 由三角函数的值判断锐角的取值范围 1．（2024•义乌市模拟）若∠A是锐角，且sinA，则（　　） A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90° 【分析】正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），据此可得结论． 【解答】解：∵∠A是锐角，且sinAsin30°， ∴0°＜∠A＜30°， 故选：A． 【点评】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 2．（2024秋•肇源县月考）若锐角α满足，则锐角α的取值范围是（　　） A．0°＜α＜45° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．30°＜α＜60° 【分析】根据余弦值随着锐角度数的增大而减小，进行判断即可． 【解答】解：∵，， ∴45°＜α＜60°； 故选：C． 【点评】本题考查锐角三角函数的增减性，特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 3．（2023•未央区校级三模）若tanA＝2，则∠A的度数估计在（　　） A．在0°和30°之间 B．在30°和45°之间 C．在45°和60°之间 D．在60°和90°之间 【分析】利用特殊角的三角函数值得到tan60°，则tanA＞tan60°，然后根据正切值随着角度的增大而增大进行判断． 【解答】解：∵tan45°＝1，tan60°， 而tanA＝2， ∴tanA＞tan60°， ∴60°＜∠A＜90°． 故选：D． 【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性：正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．也考查了特殊角的三角函数值． 4．（2024秋•沂源县期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tanB，则锐角A满足（　　） A．0°＜A＜30° B．30°＜A＜45° C．45°＜A＜60° D．60°＜A＜90° 【分析】直接利用特殊角的三角函数值结合tanB的值得出∠B的取值范围，进而得出∠A的取值范围． 【解答】解：∵tan30°0.58， tan45°＝1， tanB， ∴30°＜B＜45°， ∴45°＜A＜60°． 故选：C． 【点评】此题主要考查了锐角三角三角函数的增减性，正确得出∠B的取值范围是解题关键． 5．（2024•温江区校级自主招生）已知cosA＜sin70°，则锐角A的取值范围是 　 　． 【分析】利用特殊角的三角函数值以及互余两角的锐角三角函数关系得出∠A的取值范围． 【解答】解：∵cosA＜sin70°，sin70°＝cos20°， ∴cos30°＜cosA＜cos20°， ∴20°＜∠A＜30°． 故答案为：20°＜∠A＜30°． 【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系以及特殊角的三角函数值，得出sin70°＝cos20°是解题关键． 6．（2023春•连山区月考）若∠A为锐角，且cosA，则∠A的取值范围是　 　． 【分析】由cos60°，cos90°＝0，再根据锐角余弦函数值随角度的增大而减小进行分析即可． 【解答】解：∵0， 又cos60°，cos90°＝0，锐角余弦函数值随角度的增大而减小， ∴当cosA时，60°＜∠A＜90°． 故答案为：60°＜∠A＜90°． 【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性．熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键． 题型八 锐角三角函数与网格问题 1．（2024秋•宁阳县期中）如图，在4×4的正方形方格图形中，每个小正方形边长为2，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的正弦值是（　　） A．2 B． C． D． 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论． 【解答】解：由勾股定理可得AC2＝22+42＝20，BC2＝12+22＝5，AB2＝32+42＝25， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴sin∠ABC， 故选：B． 【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理以及锐角三角函数，熟知在一个三角形中，如果两条边长的平方之和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形是解答此题的关键． 2．（2024•平山县校级模拟）如图，点A，B，C都是正方形网格的格点，连接BA，CA，则∠BAC的正弦值为（　　） A． B． C． D．2 【分析】连接CB，设小正方形边长为1，求出，，，即可证明△ABC是直角三角形，问题随之得解． 【解答】解：连接CB，如图所示： 设小正方形边长为1， ∴，，， ∴AC2＝AB2+BC2， ∴△ABC是直角三角形， 在Rt△ABC中，， 故选：B． 【点评】本题考查网格中求三角函数值，三角函数定义，勾股定理及其逆定理，掌握三角函数值，三角函数定义是解题的关键． 3．（2023秋•包河区期末）如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形顶点的位置上，联结AB．CD相交于点P，根据图中提示添加的辅助线，可以得到cos∠BPC的值等于（　　） A． B． C． D． 【分析】利用两直线平行，内错角相等，将∠BPC转化为∠ABE即可解决问题． 【解答】解：由题知， ∵CD∥BE， ∴∠BPC＝∠ABE． 显然∠AEB＝90°， 令BE＝a，则AE＝2a， 在Rt△ABE中， AB， 所以cos∠ABE， 则cos∠BPC＝cos∠ABE． 故选：B． 【点评】本题考查解直角三角形，通过平行线将∠BPC转化为∠ABE是解题的关键． 4．（2024秋•工业园区校级期中）如图，点A、B、C均在正方形网格的格点上，则tan∠BAC＝（　　） A． B． C． D． 【分析】设正方形网格中每个小正方形的边长为1，根据正方形网格的特点及勾股定理得BC＝2，AC，CD，BD，则AD，再根据勾股定理的逆定理得△BCD是直角三角形，然后在Rt△ABD中，根据正切函数的定义可求出tan∠BAC的值． 【解答】解：设正方形网格中每个小正方形的边长为1，如图所示： 则BC＝2， 根据勾股定理得：AC，CD，BD， ∴AD＝AC﹣CD， 又∵CD2+BD2＝4，BC2＝4， ∴CD2+BD2＝BC2， ∴△BCD是直角三角形， ∴∠BDC＝∠BDA＝90°， 在Rt△ABD中，tan∠BAC． 故选：C． 【点评】此题主要考查了解直角三角形，熟练掌握网格的特点，三角函数的定义及勾股定理是解决问题的关键． 5．（2024•凉州区一模）如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是　 　． 【分析】利用勾股定理求出AB、AO、BO的长，再由S△ABOAB•hAO•BO•sin∠AOB可得答案． 【解答】解：由题意可知，AB＝2，AO2，BO2， ∵S△ABOAB•hAO•BO•sin∠AOB， ∴2×222sin∠AOB， ∴sin∠AOB， 故答案为：． 【点评】本题主要考查锐角的三角函数，掌握三角形的面积公式是解题的关键． 题型九 锐角三角函数与平面直角坐标系 1．（2023秋•赫山区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（4，3），OP与x轴正半轴的夹角为α，则sinα的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】过P作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M，根据点P的坐标求出PN和ON，解直角三角形求出即可． 【解答】解：过P作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M，则∠PMO＝∠PNO＝90°， ∵点P（4，3）， ∴ON＝PM＝4，PN＝3，， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查了点的坐标和解直角三角形，能求出PN和OP的长是解此题的关键． 2．（2024•崇明区）在直角坐标平面内有一点A（5，12），点A与原点O的连线与x轴正半轴的夹角为θ，那么tanθ的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】由锐角的正切定义，即可解决问题． 【解答】解：如图，过A作AH⊥x轴于H， ∵A（5，12）， ∴AH＝12，OH＝5， ∵∠AOH＝θ， ∴tanθ， 故选：D． 【点评】本题考查解直角三角形，解题关键是掌握锐角三角函数定义． 3．（2023秋•曹县期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝10，OB＝17，cos∠OBC，则点C的坐标为（　　） A． B．（8，12） C． D．（6，10） 【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥y轴于点E，结合题意得出∠EAC＝∠OBC，继而得出EC＝OD＝8，解Rt△CDB，得出CD＝12，即可求解． 【解答】解：如图所示，过点C作CD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥y轴于点E， ∵∠ACB＝90°，∠AOB＝90°， ∴∠OBC+∠OAC＝180°， ∵∠EAC+∠OAC＝180°， ∴∠EAC＝∠OBC， ∵AC＝10，， ∴， ∴EA＝6， ∴， ∴OD＝EC＝8， ∵OB＝17， ∴BD＝9， ∵， ∴CB＝15， ∴， ∴C（8，12）． 故选：B． 【点评】本题考查了坐标与图形，解直角三角形，勾股定理，得出∠EAC＝∠OBC是解题的关键． 4．如图，点P是∠α的边OA上的一点，已知点P的横坐标为6，若tanα． （1）求点P的纵坐标； （2）求∠α的正弦值、余弦值． 【分析】（1）利用点P的横坐标为6与tanα，求出点P的纵坐标； （2）利用点P的坐标求出OP的长度，进而求出α的正弦值和余弦值． 【解答】解：（1）过点P作PA⊥x轴于A点， ∴OA＝6， ∵tanα， ∴PA＝8， ∵点P在第一象限， ∴点P的坐标为（6，8）． （2）由（1）可知， OP10， ∴sinα， cosα． 【点评】本题考查解直角三角形和坐标与图形的性质，正确理解正切的概念是解答本题的关键． 5．如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A在x轴正半轴上，点B（4，3）， （1）求sin∠BOA； （2）若tan∠BAO＝sin∠BOA，求点A的坐标． 【分析】（1）作BC⊥OA于C，如图，由B点坐标得到OC＝4，BC＝3，则根据勾股定理可计算出BC＝5，然后根据正弦的定义求解； （2）利用tan∠BAO＝sin∠BOA可得tan∠BAC，则可计算出AC＝5，所以OA＝9，于是可确定点A的坐标． 【解答】解：（1）作BC⊥OA于C，如图， ∵B（4，3）， ∴OC＝4，BC＝3， ∴BC5， ∴sin∠BOC， 即sin∠BOA； （2）∵tan∠BAO＝sin∠BOA， ∴在Rt△ABC中，tan∠BAC， ∴AC3＝5， ∴OA＝OC+AC＝9， ∴点A的坐标为（9，0）． 【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了坐标与图形性质． 6．（2023秋•杜尔伯特县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），点B在x轴负半轴上，且tan∠ABO． （1）求AB的长及∠BAO的正弦值． （2）若点C在x轴正半轴上，且OC＝3．点D是x轴上的动点，当∠CAD＝∠ABC时，求点D坐标． 【分析】（1）先由点A（0，4），得OA＝4，在Rt△OAB中由tan∠ABO，可求出OB；再由勾股定理求出AB，进而可得∠BAO的正弦值； （2）过点C作CE⊥AD于E，设点D的坐标为（t，0），则OD＝t，由勾股定理得AD，AC＝5，在Rt△AOB中求出sin∠ABC，则sin∠CAD，由此得CE，然后由三角形的面积公式得S△ACDAD•CECD•OA，得，解此方程求出t的值即可得出点D的坐标． 【解答】解：（1）∵点A（0，4）， ∴OA＝4， 在Rt△OAB中，tan∠ABO， ∴OBOA＝6， 由勾股定理得：AB， ∴sin∠BAO， （2）过点C作CE⊥AD于E，如图所示： 设点D的坐标为（t，0），则OD＝t， 在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD， ∵点C在x轴正半轴上，且OC＝3， ∴在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC5， 在Rt△AOB中，sin∠ABO， 即sin∠ABC， ∵∠CAD＝∠ABC， 在Rt△ACE中，AC＝5，sin∠CAD， ∴CE， 又∵OD＝t，OC＝3， ∴CD＝|t﹣3|， 由三角形的面积公式得：S△ACDAD•CECD•OA， ∴， 整理得：27t2﹣312t+68＝0， 解得：t1，t2， ∴点D的坐标为（，0）或（，0）． 【点评】此题主要考查了解直角三角形，点的坐标，熟练掌握锐角三角函数的定义，灵活运用三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 题型十 锐角三角函数与圆的综合 1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥OA于点E，连结OC，OD．若⊙O的半径为m，∠AOD＝∠α，则下列结论一定成立的是（　　） A．OE＝m•tanα B．CD＝2m•sinα C．AE＝m•cosα D．S△CODm2•sinα 【分析】根据垂径定理和锐角三角函数计算则可进行判断． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥OA于点E，∴DECD， 在Rt△EDO中，OD＝m，∠AOD＝∠α， ∴tanα， ∴OE， 故选项A不符合题意； ∵AB是⊙O的直径，CD⊥OA， ∴CD＝2DE， ∵⊙O的半径为m，∠AOD＝∠α， ∴DE＝OD•sinα＝m•sinα， ∴CD＝2DE＝2m•sinα， 故选项B正确，符合题意； ∵cosα， ∴OE＝OD•cosα＝m•cosα， ∵AO＝DO＝m， ∴AE＝AO﹣OE＝m﹣m•cosα， 故选项C不符合题意； ∵CD＝2m•sinα，OE＝m•cosα， ∴S△CODCD×OE2m•sinα×m•cosα＝m2sinα•cosα， 故选项D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理，垂径定理，解直角三角形，解决本题的关键是掌握圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解直角三角形等知识． 2．（2023•雨山区校级一模）如图⊙O的半径为3，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC＝2，则tanD的值是（　　） A．2 B． C． D． 【分析】连接BC可得Rt△ACB，由勾股定理求得BC的长，进而由tanD＝tanA可得答案． 【解答】解：如图，连接BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AB＝6，AC＝2， ∴BC， 又∵∠D＝∠A， ∴tanD＝tanA． 故选：A． 【点评】本题考查了三角函数的定义、圆周角定理、解直角三角形，连接BC构造直角三角形是解题的关键． 3．（2023秋•杭州期末）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点（不与A，B重合），设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　） A．c＝asinA B．a＝ccosA C．a＝ctanA D．a＝btanA 【分析】先根据圆周角定理得出∠C＝90°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠C＝90°， ∵∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c ∴sinA，conA，tanA，ctanA， ∴c，故A不符合题意； a＝btanA，故BC不符合题意，D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解题的关键． 4．（2023春•衡阳月考）如图，已知⊙O的直径AB的长为2R，则弦AC的长为（　　） A．2RsinA B．2RcosA C．2RtanA D． 【分析】由圆周角定理得出∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，解直角三角形即可得出结果． 【解答】解：连接BC，如图： ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， 在Rt△ABC中，AB的长为2R， ∴cosA， ∴AC＝2RcosA． 故选：B． 【点评】本题考查了圆周角定理、三角函数、解直角三角形，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键． 5．（2023•云南）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若AB＝26，CD＝24，则∠OCE的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用垂径定理求得CE，利用余弦的定义在Rt△OCE中解答即可． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD， ∴CE＝DECD＝12， ∵AB＝26， ∴OC＝13． ∴cos∠OCE． 故选：B． 【点评】本题主要考查了垂径定理，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握直角三角形的边角关系定理是解题的关键． 6．（2023秋•西峡县期末）如图，已知：AB是⊙O的直径，⊙O的半径为1，，则sin∠C的值等于（　　） A． B． C． D． 【分析】连接AD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， 在Rt△ABD中， ⊙O的半径为1，， ∴AB＝2， ∴AD1， ∵∠B＝∠C， ∴sin∠C＝sin∠B， 故选：A． 【点评】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 题型十一 已知两边长解直角三角形 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a＝6，b＝6，求这个直角三角形的其他元素． 【分析】利用勾股定理求出AB，求出tanA，推出∠A＝30°，可得结论． 【解答】解：如图， ∵∠C＝90°，BC＝6，AC＝6， ∴AB12， ∵tanA， ∴∠A＝30°， ∴∠B＝90°﹣∠A＝60°． 【点评】本题考查解直角三角形，三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是掌握三角函数的定义，勾股定理，属于中考常考题型． 2．（2023春•息县期末）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，AD＝16． （1）求CD和AB的长； （2）求∠ACB的度数． 【分析】（1）在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用勾股定理求出相应线段长即可得到答案； （2）在△ABC中，利用勾股定理的逆定理判定即可得到答案． 【解答】解：（1）∵CD⊥AB， ∴在Rt△ACD中，AD2+CD2＝AC2；在Rt△BCD中，BD2+CD2＝BC2， ∵AC＝20，AD＝16， ∴； ∵BC＝15，CD＝12， ∴； ∴AB＝AD+BD＝25； （2）由（1）知，AB＝25， ∴在△ABC中，AC＝20，BC＝15，AB＝25，则AC2＝400，BC2＝225，AB2＝625， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴由勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°． 【点评】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理，数形结合，准确运用勾股定理及勾股定理的逆定理是解决问题的关键． 3．（2024秋•思明区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝8，BC＝6，求sinA与cos∠BCD的值． 【分析】本根据余角的性质得∠BCD＝∠A，根据勾股定理求出AB的长，然后根据锐角三角函数的定义求解即可． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠BDC＝∠ACB＝90°， ∴∠B+∠BCD＝90°，∠BCD+∠ACD＝90°， ∴∠BCD＝∠A， ∵AC＝8，BC＝6， ∴， ∴，． 【点评】题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，解此题的关键是掌握锐角三角函数的定义． 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD 是∠CAB的平分线．设AC，AD，解这个直角三角形． 【分析】先在Rt△ADC中利用边角间关系求出∠CAD的度数，再通过角平分线求出∠CAB，内角和定理求出∠B，最后利用特殊角的函数值和勾股定理求出AB、BC． 【解答】解：在Rt△ADC中， ∵cos∠CAD ， ∴∠CAD＝30°． ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠CAB＝2∠CAD＝60°． ∴∠B＝90°﹣∠CAB＝30°． ∵sinB，sinB＝sin30°， ∴AB＝2AC＝2×816． ∴BC ＝8． 【点评】本题考查了解直角三角形，掌握特殊角的函数值和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件求出直角三角形的其他元素． （1）BC＝35，AB＝35； （2）BC＝8，∠B＝60°． 【分析】（1）利用∠B的余弦函数值求出∠B即可解决问题． （2）利用直角三角形30度角的性质，解决勾股定理即可解决问题． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝35，AB＝35， ∴cosB， ∴∠B＝45°， ∴∠A＝90°﹣∠B＝45°， ∴AC＝BC＝35． （2）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝8，∠B＝60°， ∴∠A＝90°﹣60°＝30°， ∴AB＝2BC＝16， ∴AC8． 【点评】本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 6．（2024秋•岱岳区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝12． （1）求sinB的值； （2）延长BC至点D，使得∠ADB＝30°，求CD的长． 【分析】（1）过点A作BC的垂线，垂足为M，利用等腰三角形性质得到BM＝CM＝6，然后根据勾股定理求出，然后利用正弦的概念求解即可； （2）根据题意利用即可求出本题答案． 【解答】解：（1）过点A作BC的垂线，垂足为M， ∵AB＝AC，BC＝12， ∴BM＝CM＝6． ∴， ∴． （2），即， ∴， ∴． 【点评】本题考查三角函数求值，等腰三角形性质，勾股定理，正确进行计算是解题关键． 题型十二 已知一边一角解直角三角形 1．（2023秋•衡东县校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝4，，则BC的长度为（　　） A．5 B． C．4 D．3 【分析】∠A的余弦值可求得AB，再由勾股定理可求得BC． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA， ∴， ∵AC＝4， 解得AB＝5， 在Rt△ABC中，由勾股定理可得： BC， 故选：D． 【点评】本题主要考查三角函数的定义，掌握正弦函数、余弦函数的定义是解题的关键． 2．（2024秋•裕安区月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，若，则BC＝（　　） A．6 B．12 C．18 D． 【分析】设AC＝2x，根据正切的定义用x表示出BC，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：设AC＝2x， ∵tanB， ∴BC＝3x， 在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即（6）2＝（2x）2+（3x）2， 解得：x＝6（负值舍去）， ∴BC＝3x＝18， 故选：C． 【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理，熟记正切的定义是解题的关键． 3．（2023秋•临清市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，AB＝26，则BC的长为（　　） A．5 B．10 C．12 D．24 【分析】根据余弦的定义可得cosA，将AB＝26代入即可求得AC的长，再利用勾股定理计算即可． 【解答】解：如图，在Rt△ABC中， ∵cosA， ∵AB＝26， ∴AC＝2610， ∴BC24， 故选：D． 【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，掌握余弦的定义是解题的关键，在Rt△ABC中，． 4．（2023秋•宝丰县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，sinB．求AC的长及∠A的正切值． 【分析】先利用直角三角形的边角间关系求出AC，再利用勾股定理求出BC，最后利用直角三角形的边角间关系求出∠A的正切值． 【解答】解：在Rt△ABC中， ∵sinB，AB＝13， ∴AC＝5． ∴BC ＝12． ∴tanA． 【点评】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及勾股定理是解决本题的关键． 5．（2024秋•工业园区期中）如图，△ABC中，AD⊥BC，AE为BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，． （1）求BC的长； （2）求sin∠DAE的值． 【分析】（1）由sinC可得CD＝AD＝6，根据勾股定理可得BD的长，进而求得BC的长； （2）根据AE是BC边上的中线可得CE的长，由DE＝CE﹣CD可得DE的长，根据勾股定理可得AE的长，再根据三角函数的定义解答即可． 【解答】解：（1）∵在△ABC中，AD⊥BC，AB＝10，AD＝6， ∴BD8， ∵sinC， ∴∠C＝∠CAD＝45°， ∴CD＝AD＝6， ∴BC＝BD+CD＝8+6＝14； （2）∵AE是BC边上的中线， ∴CE7， ∴DE＝CE﹣CD＝7﹣6＝1， ∵AD⊥BC， ∴， ∴sin∠DAE． 【点评】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 题型十三 利用解直角三角形求图形的面积 1．（2023•雁塔区校级模拟）如图，在△ABC中，，，，则△ABC的面积为（　　） A．7 B． C．12 D．14 【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据正切函数的定义和勾股定理求出AD＝4，CD＝2，根据正切函数值求出BD＝3，得出△ABC的面积即可． 【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，如图所示： ∴∠ADC＝∠BDC＝90°， 在Rt△ACD中， ∵， ∴， ∴设CD＝x，则AD＝2x， ∵AD2+CD2＝AC2， ∴， 解得：x＝2或x＝﹣2（舍去）， ∴AD＝4，CD＝2， 在Rt△BCD中， ∵， ∴BD＝3， ∴AB＝AD+BD＝7， ∴，故A正确． 故选：A． 【点评】本题主要考查了三角函数的应用，三角形面积的计算，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，求出AB＝7． 2．在锐角三角形ABC中，∠B＝45°，cosC，AC＝5a，△ABC的面积为（　　） A．10a2 B．12a2 C．13a2 D．14a2 【分析】根据cosC，可得CH的长，根据勾股定理可得AH的长，根据∠B＝45°，可得∠BAH＝45°，可得BH的长，进一步可得BC的长，根据三角形面积公式求△ABC的面积即可． 【解答】解：过点A作AH⊥BC于点H，如图所示： ∵AC＝5a，cosC， ∴CH＝3a， 在Rt△ACH中，根据勾股定理得AH＝4a， ∵∠B＝45°， ∴∠BAH＝45°， ∴BH＝AH＝4a， ∴BC＝7a， ∴△ABC的面积为14a2， 故选：D． 【点评】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形，勾股定理，三角形面积等，熟练掌握锐角三角函数的定义是解此题的关键． 3．在△ABC中，BC1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（　　） A． B．1 C． D． 【分析】过A点作AD⊥BC于点D，设BD＝x，运用解直角三角形的知识，由BC的值列出方程进行解答便可． 【解答】解：过A点作AD⊥BC于点D， ∵∠B＝45°， ∴∠BAD＝45°＝∠B， ∴AD＝BD， 设BD＝x，则AD＝x， ∵∠C＝30°， ∴tanC， ∴， ∵BC1， ∴xx1， ∴x＝1，即AD＝1， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查了三角形面积、解直角三角形，关键是构造直角三角形． 4．（2023秋•烟台期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝4，BC＝6，对角线BD平分∠ABC．cos∠ABD，则△BCD的面积为 　 　。 【分析】过点D作DE⊥BC，垂足为E，利用角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，求出BD的长度，利用勾股定理求出DE的长度，然后利用三角形的面积进行计算即可． 【解答】解：过点D作DE⊥BC，垂足为E， ∵对角线BD平分∠ABC．， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴， ∵∠A＝90°，AB＝4， ∴， ∴BD＝5， ∵， ∴BE＝4， ∴， ∴． 故答案为：9． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，角平分线的定义，根据题目的已知条件作出正确的辅助线是解题的关键． 5．（2024秋•宁阳县期中）在△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠C为锐角且． （1）求△ABC的面积； （2）求cos∠ABC的值． 【分析】（1）过点A作AD⊥BC，根据∠C的正切值确定∠C的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出AD、CD，最后利用三角形的面积公式算出△ABC的面积； （2）先利用线段的和差关系求出BD，然后在Rt△ABD中利用勾股定理求出AB，再利用直角三角形的边角间关系求出∠B的余弦值． 【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵， ∴∠C＝60°， ∴∠DAC＝90°﹣∠C＝30°， ∵AC＝6， ∴ADAC＝3，CDAC＝3， ∵BC＝8， ∴． ∴△ABC的面积为； （2）∵CD＝3，，BC＝8， ∴BD＝BC﹣DC＝8﹣3＝5， 在Rt△ABD中，． 在Rt△ABD中，，BD＝5， ∴． 【点评】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键． 6．（2023秋•荔城区期末）如图，在△ABC中，∠B＝α，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b． （1）若α＝120°，求△ABC的面积（用含a、c的式子表示）； （2）若α＝90°，b2＝3ac，求tanA的值． 【分析】（1）延长CB，作AD⊥CB于点D，根据题意得到∠ABD＝60°，利用，求得，再根据，即可解题； （2）根据题意得到a2+c2＝b2，，结合b2＝3ac得到a2+c2＝3ac，两边同时除以c2，将看作一个整体求解，即可解题． 【解答】解：（1）延长CB，作AD⊥CB于点D，如图所示： ∵∠B＝α，α＝120°， ∴∠ABD＝60°， ∵AB＝c，BC＝a， ∵， ∴， 解得， ∴△ABC的面积为：； （2）∵∠B＝α，α＝90°， ∴a2+c2＝b2，， ∵b2＝3ac， ∴a2+c2＝3ac，即有， 整理得， 解得或， ∴tanA的值为或． 【点评】本题考查了解直角三角形，三角形的面积，关键是三角形面积公式的熟练应用． 题型十四 解直角三角形的综合问题 1．（2024•光明区二模）在△ABC中，，∠ACB+2∠B＝90°，线段CD平分∠ACB．已知，则线段BC的长为 　 　． 【分析】先根据，∠ACB+2∠B＝90°及CD平分∠ACB，可得出∠B+∠BCD＝45°，再过点C作AB边的垂线，构造出直角三角形即可解决问题． 【解答】解：∵CD平分∠ACB， ∴∠ACB＝2∠BCD． ∵∠ACB+2∠B＝90°， ∴2∠BCD+2∠B＝90°， ∴∠BCD+∠B＝45°， ∴∠ADC＝∠BCD+∠B＝45°． 过点C作AB的垂线，垂足为M， 在Rt△DCM中， sin∠DCM， ∴， 则MC＝4． 在Rt△BCM中， tanB， ∴， ∴BM＝8， ∴BC． 故答案为：． 【点评】本题考查解直角三角形，过点C作AB的垂线，构造出合适的直角三角形是解题的关键． 2．（2024•凉州区一模）如图，在△ABC中，∠B＝45°，CD是AB边上的中线，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，若CD＝5，sin∠BCD． （1）求BC的长； （2）求∠ACB的正切值． 【分析】（1）设DE＝3x，DE⊥BC，所以CD＝5x，CE＝4x，由CD＝5可求出x＝1，从而可求出答案． （2）过点A作AF⊥BC于点F，由于D是AB的中点，所以DE是△ABF的中位线，从而可求出AF＝BF＝6，再求出CF＝1即可求出∠ACB的正切值． 【解答】解：（1）设DE＝3x，DE⊥BC， ∵sin∠BCD， ∴， ∴CD＝5x，CE＝4x， ∵CD＝5， ∴x＝1， ∴CE＝4， ∵∠B＝45°， ∴DE＝BE＝3x， ∴BC＝BE+CE＝7x＝7． （2）过点A作AF⊥BC于点F， ∴DE∥AF， ∵D是AB的中点， ∴DE是△ABF的中位线， ∴AF＝2DE，BF＝2BE， 由（1）可知：DE＝BE＝3， ∴AF＝6，BF＝6， ∴CF＝BC﹣BF＝1， ∴tan∠ACB＝6． 【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是求出DE、CE的长度，本题属于中等题型． 3．（2024秋•合肥月考）如图，CD是△ABC的高线，E是BC上一点，BE＝2CE，若CD＝9，． （1）求AE的长； （2）若AE＝BE，求tan∠ACD的值． 【分析】（1）首先过点E作EF⊥AB于点F，可证△BCD∽△BEF，根据相似三角形对应边成比例可得，可得EF＝6，根据正弦的定义可得，可以求出AE的长度； （2）根据（1）可得：BE＝AE＝8，EF＝6，利用勾股定理可以求出BF的长度，根据等腰三角形的性质可以求出AF的长度，根据平行线分线段成比例定理可以求出BD的长度，从而可求AD的长度，根据正切的定义可求tan∠ACD的值． 【解答】解：（1）如下图所示，过点E作EF⊥AB于点F， ∵CD是△ABC的高线， ∴CD⊥AB， ∴CD∥EF， ∴△BCD∽△BEF， 又∵BE＝2CE， ∴， 可得：， 解得：EF＝6， 在Rt△AEF中，， ∴， 解得：AE＝8； （2）由（1）可得：BE＝AE＝8，EF＝6， ∴， ∴EF是AB的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴AD＝43， ∴． 【点评】本题考查平行线的判定，平行线分线段成比例，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，解决本题的关键是利用相似三角形的性质得出相应线段的比例关系． 4．（2024秋•南阳期中）如图，已知△ABC中，BD⊥AC于点D，BE：ED＝7：5，连接AE并延长交边BC于点F，已知AB＝13，AC＝8，． （1）求∠AED的正切值； （2）求的值． 【分析】（1）由余弦定义求出AD＝5，由勾股定理得出BD＝12，要做BE：ED＝7：5求出ED＝5，由正切定义即可得出答案； （2）过D作DG∥AF交BC于点G，求出CD＝3，由平行线分线段成比例定理得，，得出，设CG＝3x，则FG＝5x，CF＝8x，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝90°， 在Rt△ABD中，， ∴AD＝5， 由勾股定理得：， ∵BE：ED＝7：5， ∴ED：BD＝5：12， ∴EDBD＝5， ∴； （2）过D作DG∥AF交BC于点G， ∵AC＝8，AD＝5， ∴CD＝AC﹣AD＝3， ∴，， ∴， 设CG＝3x，则FG＝5x， ∴BF＝7x，CF＝FG+CG＝8x， ∴． 【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、平行线分线段成比例等知识，熟练掌握解直角三角形和平行线分线段成比例定理是解题的关键． 题型十五 仰角和俯角问题 1．（2023秋•甘井子区期末）如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30°，底部C的俯角为60°，无人机与旗杆的水平距离AD为6m，则旗杆BC的高为（　　） A． B．12m C． D． 【分析】根据题意可得：AD⊥BC，然后分别在Rt△ABD和Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出BD和CD的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：AD⊥BC， 在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，AD＝6m， ∴BD＝AD•tan30°＝62（m）， 在Rt△ACD中，∠DAC＝60°， ∴CD＝AD•tan60°＝6（m）， ∴BC＝BD+CD＝268（m）， 故选：C． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 2．（2023秋•嘉定区期末）一架飞机在离地面6000米的上空测得某一建筑物底部的俯角为30°，此时这架飞机与这一建筑物底部之间的距离是（　　） A．6000米 B．12000米 C．米 D．米 【分析】在Rt△ACB中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：如图： 在Rt△ACB中，∠B＝30°，AC＝6000米， ∴AB＝2AC＝12000（米）， ∴此时这架飞机与这一建筑物底部之间的距离是12000米， 故选：B． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 3．（2023秋•牟平区期中）如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝12m，则这棵树CD的高度是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意可得：CD⊥AB，然后设BD＝x m，在Rt△CDB中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：CD⊥AB， 设BD＝x m， 在Rt△CDB中，∠B＝60°， ∴CD＝BD•tan60°x（m）， 在Rt△ACD中，∠A＝45°， ∴ADx（m）， ∵AB＝12m， ∴AD+BD＝12， ∴x+x＝12， 解得：x＝6（1）， ∴CDx＝6（3）m， ∴这棵树CD的高度是6（3）m， 故选：A． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 4．（2023秋•石景山区期末）如图，线段AB，CD分别表示甲、乙建筑物的高，两座建筑物间的距离BD为30m．若在点A处测得点D的俯角α为30°，点C的仰角β为45°，则乙建筑物的高CD约为 　　 m．（结果精确到0.1m；参考数据：1.414，1.732） 【分析】根据题意可得：AE⊥CD，AE＝BD＝30m，然后分别在Rt△AED和Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义求出CE和DE的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：AE⊥CD，AE＝BD＝30m， 在Rt△AED中，∠EAD＝30°， ∴DE＝AE•tan30°＝3010（m）， 在Rt△ACE中，∠CAE＝45°， ∴CE＝AE•tan45°＝30（m）， ∴CD＝DE+CE＝1030≈47.3（m）， ∴乙建筑物的高CD约为47.3m， 故答案为：47.3． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 5．（2023•永州）永州市道县陈树湘纪念馆中陈列的陈树湘雕像高2.9米（如图1所示）．寓意陈树湘为中国举命“断肠明志”牺牲时的年龄为29岁．如图2，以线段AB代表陈树湘雕像，一参观者在水平地面BN上D处为陈树湘雕像拍照，相机支架CD高0.9米，在相机C处观测雕像顶端A的仰角为45°，然后将相机支架移到MN处拍照，在相机M处观测雕像顶端A的仰角为30°，求D、N两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：1.732）． 【分析】根据题意可得：AB⊥BN，AH⊥HN，BH＝CD＝MN＝0.9米，AB＝2.9米，CM＝DN，从而可得AH＝2米，然后在Rt△AHC中，利用锐角三角函数的定义求出CH的长，再在Rt△AHM中，利用锐角三角函数的定义求出HM的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：AB⊥BN，AH⊥HN，BH＝CD＝MN＝0.9米，AB＝2.9米，CM＝DN， ∴AH＝AB﹣BH＝2.9﹣0.9＝2（米）， 在Rt△AHC中，∠ACH＝45°， ∴CH2（米）， 在Rt△AHM中，∠AMH＝30°， ∴HM2（米）， ∴CM＝HM﹣HC＝22≈1.5（米）， ∴DN＝CM＝1.5米， ∴D、N两点间的距离约为1.5米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 6．（2023秋•射阳县期末）如图，大厅的天花板上挂有一盏吊灯AB．测量人员从C点处测得吊灯顶端A的仰角为37°，吊灯底端B的仰角为30°，从C点沿水平方向前进6米到达点D，测得吊灯底端B的仰角为60°，求吊灯AB的长度．（结果精确到0.1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.41，1.73） 【分析】延长AB交CD的延长线于点E，构建直角三角形，利用直角三角形的三角函数解答即可． 【解答】解：延长AB交CD的延长线于点E， 则BE⊥CD， ∵∠BCD＝30°，∠BDE＝60°， ∴∠CBD＝60°﹣30°＝30°， ∴∠CBD＝∠BCD， ∴BD＝CD＝6， ∴在Rt△BDE中，DE＝BD×cos60°＝3，， ∴CE＝CD+DE＝6+3＝9． 在Rt△ACE中，AE＝CE×tan37°＝9×0.75≈6.75， ∴AB＝AE﹣BE≈6.75﹣5.19≈1.56≈1.6， ∴AB的长度为1.6米． 【点评】此题考查了解直角三角形问题，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键． 题型十六 方位角问题 1．（2024秋•东平县期中）如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头B，D，某海岛上的观测塔A距离海岸5海里，在A处测得B位于南偏西22°方向．一艘渔船从D出发，沿正北方向航行至C处，此时在A处测得C位于南偏东67°方向．求此时观测塔A与渔船C之间的距离（结果精确到0.1海里）． 参考数据： 【分析】过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥AE于点F，根据正切的定义求出BE，进而求出DE，再根据正弦的定义计算即可． 【解答】解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥AE于点F． 则四边形FEDC为矩形， ∴FC＝DE， 由题意得：AE＝5海里，∠BAE＝22°， ∴（海里）， ∴DE＝BD﹣BE＝6﹣2＝4（海里）， ∴CF＝DE＝4海里， 在Rt△AFC中，∠CAF＝67°， ∴， 答：此时观测塔A与渔船C之间的距离约为4.3海里． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 2．（2024•新邵县一模）如图，海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上． （1）求∠BAD的度数； （2）如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？ 【分析】（1）根据方向角的定义以及平行线的性质可知∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，由此即可解决问题； （2）过A作AC⊥BD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离．求出AC的长即可判断； 【解答】解：（1）过点D作DE∥AC， ∴∠EAD＝DAC， ∵∠EAD＝30° ∴∠DAC＝30°，∠CAB＝60°，∴∠BAD＝60°﹣30°＝30°． （2）过A作AC⊥BD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离． ∵∠ABD＝90°﹣60°＝30°． ∴∠ABD＝∠BAD． ∴BD＝AD＝12海里． ∵Rt△ACD中，∠CAD＝30°， ∴AC＝AD•cos∠CAD10.392＞8， 即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 3．如图，M为沙坪坝区物流中心，N，P，Q为三个菜鸟驿站，N在M的正南方向4.3km处，Q在M的正东方向，P在Q的南偏西37°方向2.5km处，N在P南偏西64°方向．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05） （1）求驿站P，驿站N之间的距离（结果精确到0.1km）； （2）“双11”期间，派送员从沙坪坝区物流中心M出发，以30km/h的速度沿着M—N—P—Q的路线派送快递到各个驿站，派送员途径N，P两个驿站各停留6min存放快递，请计算说明派送员能否在40min内到达驿站Q？ 【分析】（1）过点P作PA⊥MN于A，PB⊥MQ于B，先解Rt△PBQ，求得PB＝2km，再证明AM＝PB＝2km，从而得出AN＝2.3km，然后解Rt△PAN，即可求解； （2）求出派送员所需总时间，再与40min比较即可得出答案． 【解答】解：（1）N在M的正南方向4.3km处，Q在M的正东方向，P在Q的南偏西37°方向2.5km处，N在P南偏西64°方向．如图，过点P作PA⊥MN于A，PB⊥MQ于B， ∴∠BPQ＝∠PQD＝37°，∠PNA＝∠NPC＝64°，MN＝4.3km，PQ＝2.5km， 在Rt△PBQ中，， ∴PB＝PQ•cos∠BPQ＝2.5×cos37°≈2.5×0.80＝2（km）， ∵PA⊥MN，PB⊥MQ，∠NMQ＝90°， ∴四边形AMBP是矩形， ∴AM＝PB＝2km， ∴AN＝MN﹣AM＝4.3﹣2＝2.3（km）， 在Rt△PAN中，， ∴， 答：驿站P，驿站N之间的距离约为5.2km． （2）派送员能在40min内到达驿站Q；理由如下： ∵30km/h＝0.5km/min， ∴（4.3+5.2+2.5）÷0.5+6×2＝36（min）， ∵36min＜40min， ∴派送员能在40min内到达驿站Q． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，将实际问题转化成解直角三角形的问题，利用解直角三角形的知识求解是解题的关键． 4．（2024春•九龙坡区校级期中）为进一步改善市民生活环境，某市修建了多个湿地公园．如图是已建成的环湖湿地公园，沿湖修建了四边形ABCD人行步道．经测量，点B在点A的正东方向．点D在点A的正北方向，AD＝1000米．点C正好在点B的东北方向，且在点D的北偏东60°方向，CD＝4000米．（参考数据：1.73） （1）求步道BC的长度（结果保留根号）； （2）体育爱好者小王从A跑到C有两条路线，分别是A→D→C与A→B→C．其中AD和AB都是下坡，DC和BC都是上坡．若他下坡每米消耗热量0.07千卡，上坡每米消耗热量0.09千卡，问：他选择哪条路线消耗的热量更多？ 【分析】（1）过点C作CE⊥A交AD的延长线于点E，过点B作BG⊥CE于点G，则四边形ABGE是矩形，得EG＝AB，BG＝AE，由含30°角的直角三角形的性质得DE＝2000米，则BG＝AE＝3000米，再由等腰直角三角形的性质即可得出结论； （2）由（1）可知，CEDE＝2000（米），CG＝BG＝3000米，求得EG＝AB＝CE﹣CG＝（20003000）（米），于是得到路线A→D→C消耗的热量为1000×0.7+4000×0.9＝4300（千卡），路线A→B→C＝（20003000）×0.7+30000.9≈6229（千卡），比较即可得到结论． 【解答】解：（1）如图，过点C作CE⊥A交AD的延长线于点E，过点B作BG⊥CE于点G， 则∠CED＝∠CGB＝90°，四边形ABGE是矩形， ∴EG＝AB，BG＝AE， ∵∠CDE＝60°， ∴∠DCE＝90°﹣∠CDE＝30°， ∴DECD4000＝2000（米）， ∴BG＝AE＝AD+DE＝1000+2000＝3000（米）， ∵∠CBG＝45°， ∴△BCG是等腰直角三角形， ∴BCBG＝3000（米）， 答：步道BC的长度为3000米； （2）他选择路线A→B→C消耗的热量更多，理由如下： 由（1）可知，CEDE＝2000（米），CG＝BG＝3000米， ∴EG＝AB＝CE﹣CG＝（20003000）（米）， ∴路线A→D→C消耗的热量为1000×0.07+4000×0.09＝430（千卡）， 路线A→B→C＝（20003000）×0.07+30000.09≈412.9（千卡）， ∵430＞412.9， ∴他选择路线A→D→C消耗的热量更多． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 题型十七 坡度（角）问题 1．（2024秋•衡阳县期中）“周末不忙，来趟衡阳！”小明与小亮相约到南岳衡山旅游风景区登山，需要登顶1200m高的山峰，由山底A处先步行600m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处，已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°（换乘登山缆车的时间忽略不计）． （1）求登山缆车上升的高度DE； （2）若步行速度为30m/min，登山缆车的速度为60m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到0.1min）（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33） 【分析】（1）根据直角三角形的边角关系求出BM，进而求出DE即可； （2）利用直角三角形的边角关系，求出BD的长，再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可． 【解答】解：（1）如图，过点B作BM⊥AF于点M， ∵登顶1200m高的山峰，由山底A处先步行600m到达B处，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°， ∴∠A＝30°，∠DBE＝53°，DF＝1200m，AB＝600m， 在Rt△ABM中，∠A＝30°，AB＝600m， ∴， ∴DE＝DF﹣EF＝1200﹣300＝900（m）； 答：登山缆车上升的高度DE为900m； （2）在Rt△BDE中，∠DBE＝53°，DE＝900m， ∴， ∴从山底A处到达山顶D处需要的时间， 答：从山底A处到达山顶D处大约需要38.8min． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 2．（2024•海州区校级一模）2022年2月20日，举世瞩目的北京冬奥会圆满落下帷幕．本次冬奥会的成功举办掀起了全民冰雪运动的热潮．图1、图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿ED与斜坡AB垂直，大腿EF与斜坡AB平行，G为头部，假设G，E，D三点共线且头部到斜坡的距离GD为1.04m，上身与大腿夹角∠GFE＝53°，膝盖与滑雪板后端的距离EM长为0.8m，∠EMD＝30°． （1）求此滑雪运动员的小腿ED的长度； （2）求此运动员的身高．（参考数据：sin53°，cos53°，tan53°） 【分析】（1）在Rt△DEM中，EM＝0.8m，∠EMD＝30°，sin30°，即可得出DE． （2）由（1）得，DE＝0.4m，则GE＝GD﹣ED＝0.64（m），在Rt△GEF中，tan53°，sin53°，解得EF＝0.48，FG＝0.8，根据运动员的身高为GF+EF+DE可得出答案． 【解答】解：（1）在Rt△DEM中，EM＝0.8m，∠EMD＝30°， sin30°， 解得DE＝0.4， ∴此滑雪运动员的小腿ED的长度为0.4m． （2）由（1）得，DE＝0.4m， ∴GE＝GD﹣ED＝1.04﹣0.4＝0.64（m）， ∵EF∥AB， ∴∠GEF＝∠EDB＝90°， 在Rt△GEF中，∠GFE＝53°，GE＝0.64m， tan53°， sin53°， ∴EF＝0.48，FG＝0.8， ∴运动员的身高为GF+EF+DE＝0.8+0.48+0.4＝1.68（m）． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 3．（2024秋•合肥月考）周末爬大蜀山是合肥市民的一项娱乐休闲、锻炼身体的方式之一．上个周末小明同学从大蜀山西坡沿坡角为37°的山坡爬了300米到达E处，紧接着又爬了坡角为45°的山坡148米到达山顶，请计算大蜀山的高度约为多少米．（结果精确到1米，参考数据：，，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75） 【分析】过点A作AD⊥BC于D，过点E作EF⊥AD于F，EG⊥BC于G，根据正弦的定义可以分别求出AF和EG的长，然后结合矩形的对边相等即可得到答案． 【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，过点E作EF⊥AD于F，EG⊥BC于G，则四边形EGDF为矩形， ∴EG＝FD， 依题意得：AE＝148米，BE＝300米，∠AEF＝45°，∠B＝37°， 在Rt△AEF中，， 则（米）， 在Rt△EBG中，， 则EG＝BE•sinB≈300×0.6＝180（米）， ∴AD＝AF+EG＝103.6+180＝283.6≈284（米）， 答：大蜀山的高度约为284米． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题． 4．（2024秋•渝中区校级月考）某校组织初三学生到张家界国家森林公园开展研学旅行，同学们来到入口A观测到山顶D在仰角45°的地方（学生身高忽略不计），然后水平前行了27米，到达一个岔路口B处，从这里上山有两条路线．路线一：沿着一个坡度的斜坡步行到索道口C，然后乘坐一条长500米，且与水平线夹角为53°的索道CD上山；路线二：继续沿水平路线前行到山脚E，然后乘坐山体电梯直达山顶D（山体电梯DE与水平地面垂直）．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，， （1）求山顶D离水平地面AB的高度为多少米？（结果精确到1米） （2）若师生的步行速度为50米/分，索道的运行速度为70米/分，山体电梯的运行速度为180米/分．张老师带领部分同学选择路线一，李老师带领另一部分同学选择路线二，两队从B点一起出发，请问哪个队伍先到山顶？（结果精确到个位） 【分析】（1）过C的水平线交DE于M，过C的铅垂线交AE于N，设CN＝ME＝x米，则BNx（米），求出DM＝CD•sin∠DCM≈400（米），CM＝NE＝CD•cos∠DCM≈300（米），根据∠DAE＝45°，可得327x＝400+x，解得x100（米）；即可得山顶D离水平地面AB的高度约为500米； （2）求出BC200（米），BE＝BN+NE≈473（米），再列式求出两条路线所需时间，比较可得答案． 【解答】解：（1）过C的水平线交DE于M，过C的铅垂线交AE于N，如图： 设CN＝ME＝x米， ∵i＝1：， ∴BNx（米）， 在Rt△CDM中， DM＝CD•sin∠DCM＝500×sin53°≈400（米），CM＝NE＝CD•cos∠DCM＝500×cos53°≈300（米）， ∴DE＝DM+ME＝（400+x）米，BE＝NE+BN＝（300x）米， ∵AB＝27米， ∴AE＝AB+BE＝（327x）米， ∵∠DAE＝45°， ∴AE＝DE，即327x＝400+x， 解得x100（米）； ∴DE＝400+x≈500（米）， ∴山顶D离水平地面AB的高度约为500米； （2）由（1）知CN＝ME＝100米，BN100≈173（米）， ∴BC200（米），BE＝BN+NE≈473（米）， ∵200÷50+500÷70≈11（分钟），473÷50+500÷180≈12（分钟）， ∴张老师带领部分同学选择路线一先到山顶． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是掌握三角函数的定义，求出相关的线段长度． 题型十八 解直角三角形的实际应用综合问题 1．（2023•大石桥市模拟）图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂AC是可伸缩的（10m≤AC≤20m），且起重臂AC可绕点A在一定范围内转动，张角为∠CAE（90°≤∠CAE≤150°），转动点A距离地面BD的高度AE为3.5m． （1）当起重臂AC长度为12m，张角∠CAE为120°时，求云梯消防车最高点C距离地面的高度CF； （2）某日，一居民家突发险情，该居民家距离地面的高度为18m，请问该消防车能否实施有效救援？（参考数据：1.732） 【分析】（1）如图，作AG⊥CF于点G，易得四边形AEFG为矩形，则FG＝AE＝3.5m，∠EAG＝90°，再计算出∠GAC＝30°，则在Rt△ACG中利用正弦可计算出CG，然后计算CG+GF即可； （2）如图，作AG⊥CF于点G，易得四边形AEFG为矩形，则FG＝AE＝3.5m，∠EAG＝90°，再计算出∠GAC＝60°，则在Rt△ACG中利用正弦可计算出CG，然后计算CG+GF即可． 【解答】解：（1）如图，作AG⊥CF于点G， ∵∠AEF＝∠EFG＝∠FGA＝90°， ∴四边形AEFG为矩形， ∴FG＝AE＝3.5m，∠EAG＝90°， ∴∠GAC＝∠EAC﹣∠EAG＝120°﹣90°＝30°， 在Rt△ACG中，sin∠CAG， ∴CG＝AC•sin∠CAG＝12×sin30°＝126（m）， ∴CF＝CG+GF＝6+3.5＝9.5（m）； （2）如图，作AG⊥CF于点G， ∵∠AEF＝∠EFG＝∠FGA＝90°， ∴四边形AEFG为矩形， ∴FG＝AE＝3.5m，∠EAG＝90°， ∴∠GAC＝∠EAC﹣∠EAG＝150°﹣90°＝60°， 在Rt△ACG中，sin∠CAG， ∴CG＝AC•sin∠CAG＝20×sin60°＝2017.32（m）， ∴CF＝CG+GF＝17.32+3.5＝20.82（m）； ∴最高救援高度为20.82m， 故该消防车能实施有效救援． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题），然后利用勾股定理和三角函数的定义进行几何计算． 2．（2023秋•大东区期末）如图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB＝1m，BC＝0.6m，∠ABC＝123°，该车的高度AO＝1.7m．如图2，打开后备箱，车后盖ABC落在AB'C'处，AB'与水平面的夹角∠B'AD＝27°． （1）求打开后备箱后，车后盖最高点B'到地面l的距离； （2）若小明爸爸的身高为1.83m，他从打开的车后盖C处经过，有没有碰头的危险请说明理由．（结果精确到0.01m，参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，） 【分析】（1）过点B′E⊥AD于E，根据正弦的定义求出B′E，进而求出车后盖最高点B'到地面l的距离； （2）过点C′作C′F⊥B′E于点F，根据题意求出∠C′B′F＝60°，根据余弦的定义求出B′F，再求出点C'到地面l的距离，比较大小证明结论． 【解答】解：（1）如图2，过点B′E⊥AD于E， 在Rt△AB′E中，AB′＝AB＝1m，∠B′AD＝27°， ∵sin∠B′AE， ∴B′E＝AB′•sin∠B′AE＝1×sin27°≈0.454（m）， ∴点B'到地面l的距离为：0.454+1.7＝2.154≈2.15（m）， 答：车后盖最高点B'到地面l的距离约为2.15m； （2）没有碰头的危险， 理由如下：如图2，过点C′作C′F⊥B′E于点F， 在Rt△AB′E中，∠B′AD＝27°， 则∠AB′E＝90°﹣27°＝63°， ∵∠AB′C＝∠ABC＝123°， ∴∠C′B′F＝60°， ∵B′C′＝BC＝0.6m， ∴B′F＝B′C′•cos∠C′B′F＝0.60.3（m）， ∴点C'到地面l的距离为：2.15﹣0.3＝1.85（m）， ∵1.85＞1.8， ∴没有碰头的危险． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 3．（2024秋•莘县期中）某数学兴趣小组到一公园测量塔楼的高度，如图所示，塔楼剖面图与斜坡剖面图在同一平面内，在斜坡CD底部C处测得塔顶B的仰角为54.5°，沿斜坡CD走13米到达斜坡D处，测得塔顶B的仰角为26.7°，且斜坡CD的坡度i＝1：2.4，其中点A，C，G，F在同一条水平直线上．求： （1）点D到地面AC的距离； （2）塔AB的高．（精确到0.1米）（参考数据：tan54.5°≈1.40，sin54.5°≈0.81，cos54.5°≈0.58，tan26.7°≈0.50，sin26.7°≈0.45，cos26.7°≈0.89） 【分析】（1）根据坡度和CD的长进行求解即可； （2）过点D作DH⊥AB，垂足为H，设AC＝m米，则AG＝（m+12）米，在Rt△ABC中，AB＝AC•tan54.5°≈1.4m米，在Rt△BDH中，BH＝DH•tan26.7°≈0.5（m+12）米，根据BH+AH＝AB建立方程求解，得到m的值，即可解答． 【解答】解：（1）∵斜坡CD的坡度i＝1：2.4， ∴设DG＝x，CG＝2.4x， ∵CD＝13，DG2+CG2＝CD2， ∴x2+（2.4x）2＝132， 解得x＝5， 答：点D到地面AC的距离为5米； （2）如图，过点D作DH⊥AB，垂足为H， ∵DG＝AH＝5米，DH＝AG，DG⊥AF， ∵斜坡CD的坡度i＝1：2.4，DG＝5米， 设AC＝m米， ∴AG＝DH＝CG+AC＝（m+12）米， ∵∠BCA＝54.5°， ∴AB＝AC•tan54.5°≈1.4m米， ∵∠BDH＝26.7°， ∴BH＝DH•tan26.7°≈0.5（m+12）米， ∵BH+AH＝AB， ∴0.5（m+12）+5＝1.4m， 解得：， ∴AB＝1.4m≈17.1米， ∴塔高AB约为17.1米． 【点评】本题考查解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题，勾股定理．正确地作出辅助线是解题的关键． 4．（2024•遂宁）小明的书桌上有一个L型台灯，灯柱AB高40cm，他发现当灯带BC与水平线BM夹角为9°时（图1），灯带的直射宽DE（BD⊥BC，CE⊥BC）为35cm，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为30°时（图2），直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点C到桌面的距离．（结果保留1位小数）（sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16） 【分析】如图2中，过点C作CK⊥AE′于点K，交BM于点J．解直角三角形求出CJ，可得结论． 【解答】解：如图2中，过点C作CK⊥AE′于点K，交BM于点J． 如图1中，∵DB⊥BC，EC⊥BC， ∴BD∥EC， ∵BM∥DE， ∴四边形BDEM是平行四边形， ∴BM＝DE＝35cm， ∴BC＝BM•cos9°＝35×0.99≈34.65（cm）， 如图2中，∵BM∥AE′，CK⊥AE′， ∴CJ⊥BM， ∴CJ＝BC•sin30°≈17.32（cm）， ∵AB⊥AE′， ∴BA＝JK＝40cm， ∴CK＝CJ+JK＝17.32+40≈57.3（cm）． 答：台灯最高点C到桌面的距离约为57.3cm． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 5．（2024秋•皇姑区期末）图①是某种多功能儿童车，根据需要可变形为图②的滑板车或图③的三轮车示意图．已知前后车轮半径相同，车杆AB的长为60cm，点D是AB的中点，前支撑板DE＝30cm，后支撑板CE＝40cm，车杆AB与BC所成的∠ABC＝53°． （1）如图②，当支撑点E在水平线BC上时，直接写出BE的长； （2）如图③，当DE与BC保持平行时，求前后两轴心BC的长度． （参考数据：，，） 【分析】（1）过点D作DH⊥BE于点H，依题意得BD＝DE＝30cm，则△DBE是等腰三角形，从而得BE＝2BH，解Rt△BDH得BH＝18cm，则BE＝2BH＝36cm； （2）过点D作DM⊥BC于点M，EN⊥BC于点N，依题意得DE∥BC，BD＝30cm，DE＝30cm，CE＝40cm，∠ABC＝53°，证明四边形DMNE是矩形，则DE＝MN＝30cm，EN＝DM，解Rt△DBM得DM＝18cm，则EN＝18cm，再由勾股定理求出CN即可得出BC的长． 【解答】解：（1）过点D作DH⊥BE于点H，如图②所示： ∵AB＝60cm，点D是AB的中点， ∴BD＝1/2AB＝30cm， 又∵DE＝30cm， ∴BD＝DE＝30cm， ∴△DBE是等腰三角形， ∵DH⊥BE， ∴BH＝EH，即BE＝2BH， 在Rt△BDH中，∠ABC＝53°，cos∠ABC， ∴BH＝BD•cos∠ABC＝30×cos53°18（cm）， ∴BE＝2BH＝36cm， 答：当支撑点E在水平线BC上时，BE的长约为36cm． （2）过点D作DM⊥BC于点M，EN⊥BC于点N，如图③所示： 依题意得：DE∥BC，BD＝30cm，DE＝30cm，CE＝40cm，∠ABC＝53°， ∴DM⊥DE，EN⊥DE， ∴∠DMN＝∠∠ENM＝∠MDE＝∠NED＝90°， ∴四边形DMNE是矩形， ∴DE＝MN＝30cm，EN＝DM，∠DMB＝∠ENC＝90°， 在Rt△DBM中，∠ABC＝53°，cos∠ABC，sin∠ABC， ∴BM＝BD•cos∠ABC＝30×cos53°18（cm）， DM＝BD•sin∠ABC24（cm）， ∴EN＝DM＝24cm， 在Rt△ENC中，由勾股定理得：CN32（cm）， ∴BC＝BM+MN+CN≈18+30+32＝80cm 答：当DE与BC保持平行时，求前后两轴心BC的长度约为80cm． 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确地作出辅助线构造直角三角形，灵活运用锐角三角函数的定义进行计算是解决问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！82 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ （（浙教版）九年级下册 第1章：解直角三角形章末重点题型复习 题型一 根据定义求正弦、余弦、正切的值 1．（2024秋•南关区校级期中）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosA的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•石景山区期末）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3BC，则sinA为（　　） A． B． C． D． 3．（2023秋•内乡县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列三角函数表示正确的是（　　） A．sinA B．tanA C．cosA D．tanB 4．（2024秋•聊城期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3AC，那么tanA＝　 ． 5．（2024秋•鹿城区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，，求AC，AB及cosB的值． 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值． 7．（2023秋•项城市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上的一点，CD＝3，AD＝BD＝5．求∠A的三个三角函数值． 题型二 构造直角三角形求锐角三角函数值 1．（2023秋•辽宁期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝θ，AB＝5，BC＝8，则tanθ的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•南岳区校级期末）等腰三角形的底边长为10cm，周长为36cm，则底角的正切值是（　　） A． B． C． D．无法确定 3．（2023秋•沈丘县期末）如图，在Rt△ABC中，延长斜边BC到点D，使CDBC，连接AD，若tanB，则tan∠CAD的值为（　　） A． B． C． D． 4．（2023秋•金乡县期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则cos∠BDE的值等于（　　） A． B． C． D． 5．（2023秋•溆浦县校级月考）在直角△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，D是边AC的中点，则sin∠DBA＝　 　． 6．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝10，AC＝2，sinB． （1）求tanC； （2）求线段BC的长． 题型三 特殊锐角三角函数值的计算 1．（2024秋•龙口市期中）求下列各式的值： （1）； （2）tan45°+6cos45°﹣3tan230°． 2．（2024秋•任丘市期中）求下列各式的值： （1）sin45°cos45°+4tan30°sin60°； （2）cos60°﹣2sin245°tan260°﹣sin30°． 3．（2024秋•高青县期中）计算： （1）sin60°+cos245°﹣sin30°•tan60°； （2）2tan45°． 4．（2024秋•惠山区校级月考）计算： （1）2cos230°﹣2sin60°cos45°； （2）（π﹣3.14）0+（）﹣1tan60°． 5． （2023秋•潜山市期末）已知α是锐角，且．求的值． 6．（2023•甘州区校级开学）已知△ABC中，∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|cosB|＝0． （1）试判断△ABC的形状； （2）求（1+sinA）2﹣2（3+tanC）0的值． 题型四 根据特殊角的三角函数值求教的度数 1．（2024秋•莘县期中）锐角α满足2sin（α﹣15°），则α的度数为 　 　． 2．（2023秋•房县期末）若sin（x﹣10°），则锐角x＝　 　°． 3．（2023秋•汝城县期末）在△ABC中，若∠A，∠B满足，则∠C＝ 　 ． 4．（2023秋•玉门市期末）在锐角三角形ABC中，已知∠A，∠B满足（sinA）2+|tanB|＝0，则∠C＝　 　． 5．（2024•雁塔区校级一模）在△ABC中，若|sinA|+（cosB）2＝0，则∠C的度数是 　 　． 6．（2023秋•崇川区校级月考）在△ABC中，若∠A，∠B满足|cosA|+（sinB）2＝0，求∠C的度数． 题型五 利用特殊锐角三角函数判断三角形的形状 1．（2024秋•丰城市校级期中）在△ABC中，若|sinA﹣1|+|cosB|＝0，则△ABC是 　　 ． 2．（2023•东营区开学）在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tanB|+（2cosA﹣1）2＝0，判断△ABC的形状是 　 　． 3．在△ABC中，若，则△ABC是　 　三角形． 4．在△ABC中，（tanA﹣3）2+|2cosB|＝0，则△ABC为 　 　三角形． 5．（2024春•醴陵市校级期末）在△ABC中，∠A，∠B为锐角，sinA，tanB．则△ABC的形状为　 　． 6．（2024秋•崇川区校级月考）若（tanA）2+（tanB）2＝0，∠A，∠B为△ABC的内角，试确定三角形的形状． 题型六 已知角度比较三角函数的大小 1．（2023春•江北区校级期中）比较大小：sin80° 　 　sin50°（填“＞”或“＜”）． 2．（2023•安徽模拟）比较大小：sin81°　 　tan47°（填“＜”、“＝”或“＞”）． 3．（2024秋•姑苏区校级月考）比较大小（用＜连接），sin47°，cos53°，tan45° 　 　． 4．（2024秋•邗江区校级期中）比较tan52°，cos21°，sin49°的大小关系是（　　） A．tan52°＜cos21°＜sin49° B．tan52°＜sin49°＜cos21° C．sin49°＜tan52°＜cos21° D．sin49°＜cos21°＜tan52° 5．（2023秋•益阳期末）对于任意锐角α和β，下列说法中，正确的有（　　） （1）0＜sinα＜1，0＜cosβ＜1； （2）如果α＜β，那么cosα＜cosβ； （3）如果sinα＜sinβ，那么α＜β； （4）如果tanα⋅tanβ＝1，那么α+β＝90°． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2024秋•昌江区校级期中）三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（　　） A．sin30°＜cos16°＜cos43° B．cos43°＜sin30°＜cos16° C．sin30°＜cos43°＜cos16° D．sin16°＜cos30°＜cos43° 题型七 由三角函数的值判断锐角的取值范围 1．（2024•义乌市模拟）若∠A是锐角，且sinA，则（　　） A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90° 2．（2024秋•肇源县月考）若锐角α满足，则锐角α的取值范围是（　　） A．0°＜α＜45° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．30°＜α＜60° 3．（2023•未央区校级三模）若tanA＝2，则∠A的度数估计在（　　） A．在0°和30°之间 B．在30°和45°之间 C．在45°和60°之间 D．在60°和90°之间 4．（2024秋•沂源县期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tanB，则锐角A满足（　　） A．0°＜A＜30° B．30°＜A＜45° C．45°＜A＜60° D．60°＜A＜90° 5．（2024•温江区校级自主招生）已知cosA＜sin70°，则锐角A的取值范围是 　 　． 6． （2023春•连山区月考）若∠A为锐角，且cosA，则∠A的取值范围是　 　． 题型八 锐角三角函数与网格问题 1．（2024秋•宁阳县期中）如图，在4×4的正方形方格图形中，每个小正方形边长为2，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的正弦值是（　　） A．2 B． C． D． 2．（2024•平山县校级模拟）如图，点A，B，C都是正方形网格的格点，连接BA，CA，则∠BAC的正弦值为（　　） A． B． C． D．2 3．（2023秋•包河区期末）如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形顶点的位置上，联结AB．CD相交于点P，根据图中提示添加的辅助线，可以得到cos∠BPC的值等于（　　） A． B． C． D． 4．（2024秋•工业园区校级期中）如图，点A、B、C均在正方形网格的格点上，则tan∠BAC＝（　　） A． B． C． D． 5．（2024•凉州区一模）如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是　 　． 题型九 锐角三角函数与平面直角坐标系 1．（2023秋•赫山区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（4，3），OP与x轴正半轴的夹角为α，则sinα的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2024•崇明区）在直角坐标平面内有一点A（5，12），点A与原点O的连线与x轴正半轴的夹角为θ，那么tanθ的值为（　　） A． B． C． D． 3．（2023秋•曹县期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝10，OB＝17，cos∠OBC，则点C的坐标为（　　） A． B．（8，12） C． D．（6，10） 4．如图，点P是∠α的边OA上的一点，已知点P的横坐标为6，若tanα． （1）求点P的纵坐标； （2）求∠α的正弦值、余弦值． 5．如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A在x轴正半轴上，点B（4，3）， （1）求sin∠BOA； （2）若tan∠BAO＝sin∠BOA，求点A的坐标． 6．（2023秋•杜尔伯特县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），点B在x轴负半轴上，且tan∠ABO． （1）求AB的长及∠BAO的正弦值． （2）若点C在x轴正半轴上，且OC＝3．点D是x轴上的动点，当∠CAD＝∠ABC时，求点D坐标． 题型十 锐角三角函数与圆的综合 1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥OA于点E，连结OC，OD．若⊙O的半径为m，∠AOD＝∠α，则下列结论一定成立的是（　　） A．OE＝m•tanα B．CD＝2m•sinα C．AE＝m•cosα D．S△CODm2•sinα 2．（2023•雨山区校级一模）如图⊙O的半径为3，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC＝2，则tanD的值是（　　） A．2 B． C． D． 3．（2023秋•杭州期末）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点（不与A，B重合），设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　） A．c＝asinA B．a＝ccosA C．a＝ctanA D．a＝btanA 4．（2023春•衡阳月考）如图，已知⊙O的直径AB的长为2R，则弦AC的长为（　　） A．2RsinA B．2RcosA C．2RtanA D． 5．（2023•云南）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若AB＝26，CD＝24，则∠OCE的余弦值为（　　） A． B． C． D． 6．（2023秋•西峡县期末）如图，已知：AB是⊙O的直径，⊙O的半径为1，，则sin∠C的值等于（　　） A． B． C． D． 题型十一 已知两边长解直角三角形 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a＝6，b＝6，求这个直角三角形的其他元素． 2．（2023春•息县期末）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，AD＝16． （1）求CD和AB的长； （2）求∠ACB的度数． 3．（2024秋•思明区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝8，BC＝6，求sinA与cos∠BCD的值． 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD 是∠CAB的平分线．设AC，AD，解这个直角三角形． 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件求出直角三角形的其他元素． （1）BC＝35，AB＝35； （2）BC＝8，∠B＝60°． 6．（2024秋•岱岳区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝12． （1）求sinB的值； （2）延长BC至点D，使得∠ADB＝30°，求CD的长． 题型十二 已知一边一角解直角三角形 1．（2023秋•衡东县校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝4，，则BC的长度为（　　） A．5 B． C．4 D．3 2．（2024秋•裕安区月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，若，则BC＝（　　） A．6 B．12 C．18 D． 3．（2023秋•临清市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，AB＝26，则BC的长为（　　） A．5 B．10 C．12 D．24 4．（2023秋•宝丰县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，sinB．求AC的长及∠A的正切值． 5．（2024秋•工业园区期中）如图，△ABC中，AD⊥BC，AE为BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，． （1）求BC的长； （2）求sin∠DAE的值． 题型十三 利用解直角三角形求图形的面积 1．（2023•雁塔区校级模拟）如图，在△ABC中，，，，则△ABC的面积为（　　） A．7 B． C．12 D．14 2．在锐角三角形ABC中，∠B＝45°，cosC，AC＝5a，△ABC的面积为（　　） A．10a2 B．12a2 C．13a2 D．14a2 3．在△ABC中，BC1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（　　） A． B．1 C． D． 4．（2023秋•烟台期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝4，BC＝6，对角线BD平分∠ABC．cos∠ABD，则△BCD的面积为 　 　。 5．（2024秋•宁阳县期中）在△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠C为锐角且． （1）求△ABC的面积； （2）求cos∠ABC的值． 6．（2023秋•荔城区期末）如图，在△ABC中，∠B＝α，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b． （1）若α＝120°，求△ABC的面积（用含a、c的式子表示）； （2）若α＝90°，b2＝3ac，求tanA的值． 题型十四 解直角三角形的综合问题 1．（2024•光明区二模）在△ABC中，，∠ACB+2∠B＝90°，线段CD平分∠ACB．已知，则线段BC的长为 　 　． 2．（2024•凉州区一模）如图，在△ABC中，∠B＝45°，CD是AB边上的中线，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，若CD＝5，sin∠BCD． （1）求BC的长； （2）求∠ACB的正切值． 3．（2024秋•合肥月考）如图，CD是△ABC的高线，E是BC上一点，BE＝2CE，若CD＝9，． （1）求AE的长； （2）若AE＝BE，求tan∠ACD的值． 4．（2024秋•南阳期中）如图，已知△ABC中，BD⊥AC于点D，BE：ED＝7：5，连接AE并延长交边BC于点F，已知AB＝13，AC＝8，． （1）求∠AED的正切值； （2）求的值． 题型十五 仰角和俯角问题 1．（2023秋•甘井子区期末）如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30°，底部C的俯角为60°，无人机与旗杆的水平距离AD为6m，则旗杆BC的高为（　　） A． B．12m C． D． 2．（2023秋•嘉定区期末）一架飞机在离地面6000米的上空测得某一建筑物底部的俯角为30°，此时这架飞机与这一建筑物底部之间的距离是（　　） A．6000米 B．12000米 C．米 D．米 3．（2023秋•牟平区期中）如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝12m，则这棵树CD的高度是（　　） A． B． C． D． 4．（2023秋•石景山区期末）如图，线段AB，CD分别表示甲、乙建筑物的高，两座建筑物间的距离BD为30m．若在点A处测得点D的俯角α为30°，点C的仰角β为45°，则乙建筑物的高CD约为 　　 m．（结果精确到0.1m；参考数据：1.414，1.732） 5．（2023•永州）永州市道县陈树湘纪念馆中陈列的陈树湘雕像高2.9米（如图1所示）．寓意陈树湘为中国举命“断肠明志”牺牲时的年龄为29岁．如图2，以线段AB代表陈树湘雕像，一参观者在水平地面BN上D处为陈树湘雕像拍照，相机支架CD高0.9米，在相机C处观测雕像顶端A的仰角为45°，然后将相机支架移到MN处拍照，在相机M处观测雕像顶端A的仰角为30°，求D、N两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：1.732）． 6．（2023秋•射阳县期末）如图，大厅的天花板上挂有一盏吊灯AB．测量人员从C点处测得吊灯顶端A的仰角为37°，吊灯底端B的仰角为30°，从C点沿水平方向前进6米到达点D，测得吊灯底端B的仰角为60°，求吊灯AB的长度．（结果精确到0.1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.41，1.73） 题型十六 方位角问题 1．（2024秋•东平县期中）如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头B，D，某海岛上的观测塔A距离海岸5海里，在A处测得B位于南偏西22°方向．一艘渔船从D出发，沿正北方向航行至C处，此时在A处测得C位于南偏东67°方向．求此时观测塔A与渔船C之间的距离（结果精确到0.1海里）． 参考数据： 2．（2024•新邵县一模）如图，海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上． （1）求∠BAD的度数； （2）如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？ 3．如图，M为沙坪坝区物流中心，N，P，Q为三个菜鸟驿站，N在M的正南方向4.3km处，Q在M的正东方向，P在Q的南偏西37°方向2.5km处，N在P南偏西64°方向．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05） （1）求驿站P，驿站N之间的距离（结果精确到0.1km）； （2）“双11”期间，派送员从沙坪坝区物流中心M出发，以30km/h的速度沿着M—N—P—Q的路线派送快递到各个驿站，派送员途径N，P两个驿站各停留6min存放快递，请计算说明派送员能否在40min内到达驿站Q？ 4．（2024春•九龙坡区校级期中）为进一步改善市民生活环境，某市修建了多个湿地公园．如图是已建成的环湖湿地公园，沿湖修建了四边形ABCD人行步道．经测量，点B在点A的正东方向．点D在点A的正北方向，AD＝1000米．点C正好在点B的东北方向，且在点D的北偏东60°方向，CD＝4000米．（参考数据：1.73） （1）求步道BC的长度（结果保留根号）； （2）体育爱好者小王从A跑到C有两条路线，分别是A→D→C与A→B→C．其中AD和AB都是下坡，DC和BC都是上坡．若他下坡每米消耗热量0.07千卡，上坡每米消耗热量0.09千卡，问：他选择哪条路线消耗的热量更多？ 题型十七 坡度（角）问题 1．（2024秋•衡阳县期中）“周末不忙，来趟衡阳！”小明与小亮相约到南岳衡山旅游风景区登山，需要登顶1200m高的山峰，由山底A处先步行600m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处，已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°（换乘登山缆车的时间忽略不计）． （1）求登山缆车上升的高度DE； （2）若步行速度为30m/min，登山缆车的速度为60m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到0.1min）（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33） 2．（2024•海州区校级一模）2022年2月20日，举世瞩目的北京冬奥会圆满落下帷幕．本次冬奥会的成功举办掀起了全民冰雪运动的热潮．图1、图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿ED与斜坡AB垂直，大腿EF与斜坡AB平行，G为头部，假设G，E，D三点共线且头部到斜坡的距离GD为1.04m，上身与大腿夹角∠GFE＝53°，膝盖与滑雪板后端的距离EM长为0.8m，∠EMD＝30°． （1）求此滑雪运动员的小腿ED的长度； （2）求此运动员的身高．（参考数据：sin53°，cos53°，tan53°） 3．（2024秋•合肥月考）周末爬大蜀山是合肥市民的一项娱乐休闲、锻炼身体的方式之一．上个周末小明同学从大蜀山西坡沿坡角为37°的山坡爬了300米到达E处，紧接着又爬了坡角为45°的山坡148米到达山顶，请计算大蜀山的高度约为多少米．（结果精确到1米，参考数据：，，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75） 4．（2024秋•渝中区校级月考）某校组织初三学生到张家界国家森林公园开展研学旅行，同学们来到入口A观测到山顶D在仰角45°的地方（学生身高忽略不计），然后水平前行了27米，到达一个岔路口B处，从这里上山有两条路线．路线一：沿着一个坡度的斜坡步行到索道口C，然后乘坐一条长500米，且与水平线夹角为53°的索道CD上山；路线二：继续沿水平路线前行到山脚E，然后乘坐山体电梯直达山顶D（山体电梯DE与水平地面垂直）．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，， （1）求山顶D离水平地面AB的高度为多少米？（结果精确到1米） （2）若师生的步行速度为50米/分，索道的运行速度为70米/分，山体电梯的运行速度为180米/分．张老师带领部分同学选择路线一，李老师带领另一部分同学选择路线二，两队从B点一起出发，请问哪个队伍先到山顶？（结果精确到个位） 题型十八 解直角三角形的实际应用综合问题 1．（2023•大石桥市模拟）图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂AC是可伸缩的（10m≤AC≤20m），且起重臂AC可绕点A在一定范围内转动，张角为∠CAE（90°≤∠CAE≤150°），转动点A距离地面BD的高度AE为3.5m． （1）当起重臂AC长度为12m，张角∠CAE为120°时，求云梯消防车最高点C距离地面的高度CF； （2）某日，一居民家突发险情，该居民家距离地面的高度为18m，请问该消防车能否实施有效救援？（参考数据：1.732） 2．（2023秋•大东区期末）如图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB＝1m，BC＝0.6m，∠ABC＝123°，该车的高度AO＝1.7m．如图2，打开后备箱，车后盖ABC落在AB'C'处，AB'与水平面的夹角∠B'AD＝27°． （1）求打开后备箱后，车后盖最高点B'到地面l的距离； （2）若小明爸爸的身高为1.83m，他从打开的车后盖C处经过，有没有碰头的危险请说明理由．（结果精确到0.01m，参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，） 3．（2024秋•莘县期中）某数学兴趣小组到一公园测量塔楼的高度，如图所示，塔楼剖面图与斜坡剖面图在同一平面内，在斜坡CD底部C处测得塔顶B的仰角为54.5°，沿斜坡CD走13米到达斜坡D处，测得塔顶B的仰角为26.7°，且斜坡CD的坡度i＝1：2.4，其中点A，C，G，F在同一条水平直线上．求： （1）点D到地面AC的距离； （2）塔AB的高．（精确到0.1米）（参考数据：tan54.5°≈1.40，sin54.5°≈0.81，cos54.5°≈0.58，tan26.7°≈0.50，sin26.7°≈0.45，cos26.7°≈0.89） 4．（2024•遂宁）小明的书桌上有一个L型台灯，灯柱AB高40cm，他发现当灯带BC与水平线BM夹角为9°时（图1），灯带的直射宽DE（BD⊥BC，CE⊥BC）为35cm，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为30°时（图2），直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点C到桌面的距离．（结果保留1位小数）（sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16） 5．（2024秋•皇姑区期末）图①是某种多功能儿童车，根据需要可变形为图②的滑板车或图③的三轮车示意图．已知前后车轮半径相同，车杆AB的长为60cm，点D是AB的中点，前支撑板DE＝30cm，后支撑板CE＝40cm，车杆AB与BC所成的∠ABC＝53°． （1）如图②，当支撑点E在水平线BC上时，直接写出BE的长； （2）如图③，当DE与BC保持平行时，求前后两轴心BC的长度． （参考数据：，，） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$