专题07 等差数列（5大基础题+3大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（四川专用）

专题07 等差数列 等差数列基本量的计算 1．（21-22高一下·四川绵阳·期末）已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件建立关于、的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列的求和公式可求得的值. 【详解】设等差数列的公差为，则①， ②， 联立①②可得，，因此，. 故选：C. 2．（23-24高二下·四川绵阳·期末）设等差数列的前项和为，已知，则（   ） A．32 B．64 C．84 D．108 【答案】C 【分析】根据等差数列下标和性质求出，再根据等差数列求和公式及下标和性质计算可得. 【详解】因为， 又，即，解得， 所以. 故选：C 3．（23-24高二上·四川成都·期末）记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．140 B．150 C．160 D．180 【答案】B 【分析】由等差数列的性质可求出，再利用等差前的性质可以求出，即可求解. 【详解】， ， ， ， ， . 故选：B. 4．（23-24高二下·四川南充·期末）在等差数列中，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据等差数列项的性质计算即可. 【详解】因为是等差数列， 所以,所以. 故选：D. 5．（23-24高二下·四川凉山·期末）在等差数列中，，，则数列的公差d（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用等差数列的基本量运算，列出方程组，解之即得. 【详解】因为，，所以,解得d＝2. 故选：B. 6．（23-24高二下·四川成都·期末）记 为等差数列的前 项和，若 ，则 （    ） A．2 B．3 C．10 D．4 【答案】A 【分析】先根据等差数列求和公式化简即得. 【详解】是等差数列，可得, 所以. 故选：A. 7．（23-24高二上·四川德阳·期末）等差数列满足，，则（    ） A．4 B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】设等差数列的公差为，先根据条件列方程求出和，再利用等差数列的通项公式求即可. 【详解】设等差数列的公差为， 由已知可得， 解得， 所以. 故选：B. 等差数列求通项公式 8．（23-24高一下·四川成都·期末）已知数列满足：，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对两边取倒数后，可以判断是首项为1，公差为的等差数列，即可求得. 【详解】由数列满足：， 两边取倒数得：，即， 所以数列是首项为1，公差为的等差数列， 所以， 所以 故选:D 9．（23-24高三上·四川成都·期末）设函数，数列，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件先求出和的通项公式，然后令等于的值可求解出结果. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 令，解得， 故选：B. 10．（23-24高二上·四川泸州·期末）已知各项均为正数的数列的前n项和为，满足，且，，则数列的通项公式 ． 【答案】 【分析】由，知，两式作差，即可证明为等差数列，从而求出. 【详解】由题意,则， 又， ， ， ，，为等差数列， ，， ，，， 故答案为： 11．（23-24高二上·四川内江·期末）若数列为等差数列且，，则数列的通项公式 . 【答案】/1+2n 【分析】根据等差数列的通项公式及题中条件，列出方程组求解即可. 【详解】设数列的公差为， 则，解得， 所以， 故答案为：. 12．（22-23高一下·四川成都·期末）已知数列满足：， ()，则数列的通项公式为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得数列为等差数列，进而即得. 【详解】∵， 所以，又， ∴是以为首项，1为公差的等差数列， ∴， 所以. 故选：A. 等差数列求和 13．（23-24高二下·四川乐山·期末）已知数列的前n项和，记数列的前n项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用与间的关系，求出，从而有，再利用累加法，即可求出结果. 【详解】因为①，当时，②， 所以①②得到， 当，，满足，所以， 得到， 所以， 故选：D. 14．（23-24高二上·四川达州·期末）在递增等差数列中有，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析条件，求出通项公式后利用裂项相消法求和即可. 【详解】设公差为，首项为，由等差数列下标和性质得，结合， 是递增等差数列，解得，(另一组解舍)， 故，，， 即， 令，则原式为求的前项和， 故原式， 故选：C 15．（22-23高二下·四川凉山·期末）已知数列的前项和为，则（    ） A．1012 B． C．2023 D． 【答案】D 【分析】根据数列的通项公式，可求得，依此类推，即可求解. 【详解】∵， 故 故 . 故选：D. 16．（23-24高二下·四川南充·期末）已知数列是等差数列，且是数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和，求证：. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）运用等差数列的公式和性质求解即可； （2）先求出，再求出，后裂项相消，求出，结合不等式性质证明即可. 【详解】（1）由于则， 则，因此， 故数列的通项公式为. （2）由（1）知，，则， 则，即. ， 由于，则，故成立. 17．（23-24高三上·四川·期末）在等差数列中，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的定义及性质计算基本量即可求通项公式； （2）利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）设的公差为，则， 解得， 所以； （2）由（1）知， 所以 ． 18．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）设等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式及前项和公式即可求解； （2）根据（1）的结论,再利用数列求和中的裂项相消法即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 依题意得，解得. 故数列的通项公式是 （2）由（1）知，. 所以 . 等差数列性质及前n项和性质 19．（23-24高一·四川成都·期末）等差数列有项，若前项的和为，前项的和为，则中间项的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列片段和的性质可求得数列的前项的和，进而可得出结果. 【详解】设等差数列的前项和为，由已知条件可知，， 由于、、成等差数列，即， 即，解得， 因此，数列中间项的和为. 故选：B. 【点睛】本题考查利用等差数列片段和的性质求值，考查计算能力，属于中等题. 20．（22-23高一下·四川成都·期末）等差数列的前2项和为30，前4项和为100，则它的前6项和是（    ） A．130 B．170 C．210 D．260 【答案】C 【分析】由题得成等差数列，解方程即得解. 【详解】由题得成等差数列， 又, 所以, 所以. 故选：C. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，考查等差中项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 21．（23-24高二下·四川成都·期末）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果 “杨辉三 角” 记录于其重要著作《详解九章算法》中， 该著作中的 “垛积术” 问题介绍了高 阶等差数列. 以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列. 若某个二阶等差数列 的前四项分别为: ，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．数列 是单调递增数列 D．数列 有最大项 【答案】D 【分析】根据二阶等差数列的定义求出数列的通项公式，从而可得数列 是单调递增数列，则，A、C不符合题意；再利用累加法计算可判断B；借助基本不等式判断D. 【详解】设该数列为，则；由二阶等差数列的定义可知， 所以数列是以为首项，公差的等差数列，即， 所以，即数列 是单调递增数列， ，则，A、C不符合题意； 所以，将所有上式累加可得 ，所以， 即该数列的第11项为，B不符合题意； 由于， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 但由于，即数列 有最小值为， 而当时，单调递增，所以无最大值，D符合题意. 故选：D. 22．（12-13高一下·四川成都·期末）已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是 A．2 B．3 C．5 D．4 【答案】C 【详解】∵数列{an}和{bn}均为等差数列，且其前n项和An和Bn满足，则 . 所以验证知，当n=1，2，3，5，11时，为整数. 故选C. 23．（23-24高二上·四川南充·期末）已知数列的通项公式为，则下列结论正确的是（    ） A． B．数列是等差数列，且公差 C．对于任意的正整数，均有成立 D．存在唯一的正整数，使数列的前项和取得最小值 【答案】ABC 【分析】根据数列的通项公式可得出数列是以为首项，为公差的等差数列，从而可判断出选项B和C的正误，再利用等差数列的前公式及其性质，即可判断出选项A和D的正误，从而得出结果. 【详解】因为，所以为常数， 又，故数列是以为首项，为公差的等差数列，所以选项B和C正确， 又，所以，故选项A正确， 对于选项D，因为，令，二次函数的对称轴为， 由二次函数的对称性知，当或时，取到最小值，所以选项D错误， 故选：ABC. 等差数列证明 24．（21-22高一下·四川遂宁·期末）已知各项均为正数的数列的前项和为. (1)求证：数列是等差数列，并求的通项公式； (2)若表示不超过的最大整数，如，求的值； (3)设，，问是否存在正整数m，使得对任意正整数n均有恒成立？若存在求出m的最大值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析，； (2)； (3)存在，最大值为673. 【分析】（1）利用给定的递推公式，结合“当时，”进行计算判断，再求出通项作答. （2）在时，可得，再求和确定范围，按定义即可作答. （3）利用裂项相消法求和，再判断单调性即可求解作答. 【详解】（1）因为，则当时，， 即，而，有，即， 所以数列是以为首项，公差为1的等差数列， 于是得，即， 当时，，又满足上式， 所以的通项公式为. （2）由（1）知，当时，， 则 当时，，即对任意的，都有， 所以. （3）由（1）知，， 则有， 因，则数列单调递增，， 因对任意正整数均有成立，于是得，解得，而，则， 所以存在正整数，使得对任意正整数均有总成立，的最大值为673. 【点睛】易错点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 25．（21-22高一下·四川广安·期末）已知数列中，，． (1)证明数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和； (3)若存在，使得成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）依题意可得，再两边取倒数整理得，即可得到数列表示首项为，公差为的等差数列，再根据等差数列的通项公式求出，即可得解； （2）由（1）可得，再利用错位相减法求和即可； （3）由（1）可得，利用累乘法求出，则问题转化为存在，使成立，令，利用作差法说明单调性，求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）解：因为，可得 可得，所以 即 又因为，可得， 所以数列表示首项为，公差为的等差数列， 所以，所以. （2）解：因为，所以， 故①， 所以②， 两式相减可得， 所以； （3）解：由，可得， 则， 存在，使得成立， 即存在，使成立，即存在，使成立， 设，则， 令， 当时，，即， 当时，，即， 当时，可得，即的最小值为3， 所以，即实数的取值范围． 26．（21-22高一下·四川眉山·期末）已知数列满足，，令，设数列前n项和为． (1)求证：数列为等差数列； (2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围； (3)设正项数列满足，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的定义证明；（2）根据裂项相消法计算求解；（3）求出通项公式，然后根据放缩法证明. 【详解】（1）因为，所以数列为等差数列，首项为1，公差为2； （2）由（1）问可知；故； 所以． 所以存在，使不等式成立， 即存在，使不等式成立， 即存在，使不等式成立，所以； 因为， 当且仅当，即时取得等号； 综上：实数的取值范围是：； （3）因为，所以，所以，即； 因为； 所以； ∴ ； 综上：原不等式得证． 27．（21-22高一下·四川宜宾·期末）已知数列满足，． (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)在0和之间插入n个数，使得这n＋2个数成等差数列且公差记为，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析，； (2). 【分析】（1）对给定递推公式两边取倒数，再利用等差数列定义判断，求出通项作答. （2）利用等差数列性质求出，再利用裂项相消法求和作答. 【详解】（1）因数列满足，，有，因此，， 所以数列是首项为，公差为1的等差数列，有， 数列的通项公式为. （2）由（1）知，，依题意，， 因此，， 所以数列的前n项和. 28．（20-21高一下·四川成都·期末）已知数列满足. (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，则关于正整数的不等式（其中）最多有几个解. 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）根据等差数列的定义即可证明，进而可求其通向；（2）由错位相减法求和，将所求代入不等式中化简可得，结合指数的性质即可求解. 【详解】（1） ,所以 是以公差为1的等差数列， （2），故 所以，两式相减得： ，进而 可得： 将代入化简得： ，当,根据指数的增长趋势可判断，当满足： 时，此时满足的 可取： 故最多有8个解 29．（21-22高一下·四川成都·期末）已知正项数列的前n项和为，，且． (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由可得，所以数列是以公差为3的等差数列，可求出数列的通项公式 （2）求出，由裂项相消法求出. 【详解】（1）由得， ∴． 又，∴，∴． ∴数列是以公差为3的等差数列． 又，∴，，∴． （2）由（1）知． ∴ ． 等差数列的实际应用 30．（21-22高一下·四川凉山·期末）骑行是一种健康自然的运动旅游方式，能充分享受旅行过程之美．一辆单车，一个背包即可出行，简单又环保．在不断而来的困难当中体验挑战，在旅途的终点体验成功．一种变速自行车后齿轮组由7个齿轮组成，它们的齿数成等差数列，其中最小和最大的齿轮的齿数分别为10和28，求后齿轮所有齿数之和（    ） A．134 B．133 C．114 D．113 【答案】B 【分析】根据等差数列的前项和公式计算． 【详解】由题意7个齿轮的齿轮数构成等差数列，首末两项分别为10和28， 所以所有齿数之和为． 故选：B． 31．（21-22高一下·四川成都·期末）我国古代数学著作《周髀算经》中记载了二十四节气与晷长的关系：每个节气的晷长损益相同.晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度，如图1所示，损益相同，即相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，且周而复始.二十四节气及晷长变化如图2所示.已知谷雨时节晷长为5.5尺，霜降时节晷长为9.5尺，则二十四节气中晷长的最大值为（    ） A．14.5 B．13.5 C．12.5 D．11.5 【答案】B 【分析】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为，由图可知冬至的晷长最大，设为，从冬至到谷雨减少，从霜降到冬至增加，然后根据题意列方程组可求得答案 【详解】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为，由图可知冬至的晷长最大，设为，从冬至到谷雨减少，从霜降到冬至增加，则 ，解得， 所以二十四节气中晷长的最大值为， 故选：B 32．（21-22高一下·四川巴中·期末）2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时，它将中国人的物候文明、传承久远的诗歌、现代生活的画面和谐统一起来．我国古人将一年分为24个节气，如图所示，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始．已知冬至日晷长为13.5尺，夏至日晷长为1.5尺，则一年中夏至到秋分的日晷长的和为（    ）尺． A．24 B．60 C．40 D．31.5 【答案】D 【分析】根据给定条件可得以冬至日晷长为首项，夏至日晷长为第13项的等差数列，求出公差即可列式计算作答. 【详解】依题意，冬至日晷长为13.5尺，记为，夏至日晷长为1.5尺，记为， 因相邻两个节气的日晷长变化量相同，则从冬至日晷长到夏至日晷长的各数据依次排成一列得等差数列， 数列的公差， 因夏至日晷长最短，冬至日晷长最长， 所以夏至到冬至的日晷长依次排成一列是递增等差数列，首项为1.5尺，末项为13.5尺，公差为1，共13项， 秋分为第7项，故， 所以一年中夏至到秋分的日晷长的和为(尺). 故选：D. 33．（23-24高二上·四川达州·期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中的1，3，6，10称为三角数，则下列各数中是三角数的是（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】B 【分析】由题意整理数列的通项公式，依次建立四个选项的方程求正整数解即可. 【详解】由题意，三角形数可看作，则第个三角形数为， 对于A，令，即，其解不是正整数； 对于B，令，即或（舍）； 对于C，令，即，其解不是正整数； 对于D，令，即，其解不是正整数； 故选：B. 34．（23-24高二上·四川凉山·期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个…，则第二十层球的个数为（    ） A．210 B．220 C．230 D．240 【答案】A 【分析】依据规律找出每一层小球数构成的数列的递推关系，利用累加法求出通项，从而求出第20项即可． 【详解】设第层的小球个数为依次构成数列，由题： 从而有规律： 所以所以． 即第20层有210个小球， 故选：A． 35．（23-24高二下·四川达州·期末）把一个无穷数列从第2项起，每一项减去它的前一项，得到一个新数列，此数列叫做原数列的1阶差数列．对1阶差数列作同样的处理得到的数列叫做原数列的2阶差数列，如此类推，可得到原数列的阶差数列．如果一个数列的阶差数列是由一个非零常数组成的常数数列，则称这个数列为阶等差数列，非零常数叫做数列的阶公差． 例如，原数列：，，，，，，， 1阶差数列：15，65，175，369，671，1105， 2阶差数列：50，110，194，302，434， 3阶差数列：60，84，108，132， 4阶差数列：24，24，24， 所以原数列为4阶等差数列，24为该数列的4阶公差. 已知数列是2阶等差数列，2阶公差为1，且，． (1)已知数列是数列的1阶差数列，求数列的通项； (2)求数列的通项公式； (3)数列的前项和为，，，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题意可得，进而可求数列的通项公式； （2）由题意可得，由累加法可求数列数列的通项公式； （3）由（2）可得，进而可求，可证结论. 【详解】（1）因为数列是2阶等差数列，2阶公差为1，又数列是数列的1阶差数列， 所以，所数列是等差数列， 又，，所以， 所以． （2）由题意可得， ， ， ， ， 累加得， 又，所以； （3）由（2）可得，可得， ， 所以， 由， 所以. 含绝对值的等差数列求和 36．（23-24高二上·天津·阶段练习）在数列中，，则等于（    ） A．445 B．765 C．1080 D．3105 【答案】B 【分析】根据题意可得数列是首项为，公差为的等差数列，去绝对值后利用分组求和的方法即可求出结果. 【详解】依题意由可得为定值， 因此可知数列是以为首项，公差为的等差数列， 即可得，所以当时，，当时，， 所以 . 故选：B 37．（23-24高一下·四川攀枝花·期末）已知数列的通项公式,则 . 【答案】 【分析】本题考查的是数列求和，关键是构造新数列，求和时先考虑比较特殊的前两项，剩余7项按照等差数列求和即可． 【详解】令， 则所求式子为的前9项和． 其中，， 从第三项起，是一个以1为首项，4为公差的等差数列， ， 故答案为101． 【点睛】本题考查的是数列求和，关键在于把所求式子转换成为等差数列的前项和，另外，带有绝对值的数列在求和时要注意里面的特殊项． 38．（23-24高二上·四川南充·期末）已知等差数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列通项公式求出公差，最后写出其通项即可； （2）分和并结合等差数列求和公式即可得到答案. 【详解】（1）数列是等差数列，且， 公差， 因此，. （2）由（1）知， 所以，当时，；当时，;当时，， 因此，当时， ， 当时， ， 综上，. 39．（23-24高一下·四川攀枝花·期末）已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）利用累加法可求数列的通项公式，注意验证是否符合； （2）由（1）可知，由，由，则即可得到答案 【详解】（1）由， 当时，， 化简得到， 而也满足上式，故数列的通项公式为； （2）由（1）可知， 由，由， 所以 等差数列的最值问题 40．（21-22高一下·四川广安·期末）设等差数列的前n项和为，，公差为d，，．则下列结论不正确的是（    ） A． B．当时，取得最小值 C． D．使得成立的最大自然是n是17 【答案】D 【分析】根据已知条件结合等差数列的通项公式，性质及求和公式逐个分析判断即可 【详解】对于A，因为等差数列中，，， 所以，所以公差，所以A正确， 对于B，由于，，，所以前9项均为负数，所以当时，取得最小值，所以B正确， 对于C，，所以C正确， 对于D，因为，所以，， ，，所以使得成立的最大自然是n是18，所以D错误， 故选：D 41．（21-22高一下·四川成都·期末）已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和，有最大值，当时，的最大值为（    ） A．20 B．17 C．19 D．21 【答案】C 【分析】可判断数列是递减的等差数列，利用前项和公式和等差数列的性质可得进而可得的最大值． 【详解】因为，所以和异号， 又等差数列的前项和有最大值， 所以数列是递减的等差数列， 所以，， 所以， ， 所以当时，的最大值为19． 故选：C． 42．（23-24高二上·四川泸州·期末）已知是公差为d的等差数列，其前n项和是，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据条件，结合数列的通项和前项和的关系，结合选项，即可判断. 【详解】因为，， 所以，故A错误，B正确； ，故C正确； 因为， ， 所以，故D错误. 故选：BC 43．（23-24高二下·四川成都·期末）等差数列 的前 项和为 ，则（    ） A． B． C． D．当 时， 的最小值为 16 【答案】ABD 【分析】对于A，由等差数列性质即可判断；对于B，由公差的定义即可判断；对于C，作差结合公差小于0即可判断；对于D，只需注意到，由此即可判断. 【详解】对于A，由题意，故A正确； 对于B，，其中为等差数列的公差，即，故B正确； 对于C，，即，故C错误； 对于D，由题意， 从而当，，且，故D正确. 故选：ABD. 44．（21-22高二上·重庆·期末）已知递减的等差数列{an}的前n项和为Sn，S6＝S8，则（    ） A．a7＞0 B．S13＜0 C．S15＜0 D．S7最大 【答案】ACD 【分析】由可得，由等差数列{an}为递减数列，所以，所以当时，时，根据等差数列的求和公式和性质，逐项分析判断即可. 【详解】由可得， 由等差数列{an}为递减数列， 所以，故A正确； 又，故B错误； ，故C正确； 由等差数列{an}为递减数列，所且， 所以当时， 时，所以S7最大，故D正确 故选：ACD 45．（22-23高二上·重庆·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则取得最大值时的值为 ． 【答案】 【分析】根据等差中项的性质可得，再结合等差数列的单调性可得解. 【详解】由已知数列为等差数列， 则， 又， 所以， 则， 所以数列为递减数列， 则当时，，当时，， 所以当时，取得最大值， 故答案为：. 46．（21-22高一下·四川遂宁·期末）设等差数列满足：，公差.若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用公式对式子化简，再借助函数来处理. 【详解】由， 得， 由积化和差公式，得， 整理，得， 所以 ，因为公差，所以， 则.所以 ， 设，其图像的对称轴方程为. 由题意，当且仅当时，数列的前项和取得最大值， 所以，解得. 则首项的取值范围是.故B，C，D错误. 故选：A. 47．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知等差数列的前n项和为，且满足，，则下列选项正确的有（    ） A． B．数列是递增数列 C．当n＝15时，取得最大值为225 D．的最小值为1 【答案】ACD 【分析】利用已知可求得，进而可得通项公式与前项和公式，再结合选项逐项判断即可. 【详解】因为，，所以，解得，，， 对于A．令n＝9，解得，故A正确； 对于B．d＝－2＜0，数列是递减数列，因此数列不是递增数列，故B错误； 对于C．，当n＝15时，取得最大值为225．故C正确； 对于D．， 令，，∴f（x）在上单调递增，∴的最小值为1，故D正确. 故选：ACD. 等差数列的综合应用 48．（23-24高二下·四川成都·期末）已知数列满足 ，若 为数列 的前 项和，则 【答案】77 【分析】根据等差数列及等比数列求和公式分组求和计算即可. 【详解】因为当n为奇数时为等差数列，公差为1，, ; 当n为偶数时为等比数列，公比为2，, ; 所以. 故答案为：77. 49．（23-24高二上·四川眉山·期末）已知公差不为零的等差数列满足，且，，成等比数列．设为数列的前项和，则数列的前项和为 【答案】 【分析】设公差为，由题意可得，，解方程求出，由等差数列的通项公式和前项和求出，，再由裂项相消法求出. 【详解】设公差为，由，得， 化简得，因为，， 又因为，所以 所以． 所以， 所以， 所以数列的前项和为： . 故答案为：. 50．（22-23高二上·福建莆田·期末）已知数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】由题意根据等差数列的前项和可得，再利用构造法结合等差数列的通项即可得解. 【详解】因为， 所以， ∴数列是首项为，公差为的等差数列， ， 所以. 故答案为：. 51．（21-22高一下·四川绵阳·期末）已知在单调递增的等差数列中，满足，是和的等比中项，为数列的前n项和，则的最小值为 . 【答案】6 【分析】由题意可得，进而可得，再利用基本不等式即可求得答案. 【详解】解：由题意可得， 设等差数列的公差为d，则， 解得（舍去）， 故， 则，当且仅当时等号成立， 此时取得最小值，故最小值为6. 故答案为：6. 52．（21-22高二上·四川达州·期末）已知等比数列满足，. (1)求数列的前8项和； (2)求数列的前项积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等比数列的公比为，由，求出公比，然后由等比数列前项和公式可得答案. （2） 先得出通项公式，然后可得，由指数的运算性质，结合由等差数列前项和公式可得答案. 【详解】（1）设等比数列的公比为，，解得 所以 所以 （2） 53．（20-21高一下·四川资阳·期末）已知数列中，，且对任意，，有. (1)求的通项公式； (2)已知，，且满足，求，； (3)若（其中对任意恒成立，求的最大值. 【答案】(1) (2)，；或，；或， (3) 【分析】（1）令，根据等差数列定义即可求解； （2）根据（1）化简后求解即可； （3）原不等式转化为恒成立，再由的单调性求最小值即可. 【详解】（1）由已知，令，则，即， 则数列是以1为首项，1为公差的等差数列， ； （2）由（1），得， 则. 由，知，， 则或或， 解得，；或，；或，； （3）不等式对任意恒成立， 即为恒成立， 即不等式恒成立. 令， 则 ，于是， 单调递增，则中，为最小， 故. 的最大值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 等差数列 等差数列基本量的计算 1．（21-22高一下·四川绵阳·期末）已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·四川绵阳·期末）设等差数列的前项和为，已知，则（   ） A．32 B．64 C．84 D．108 3．（23-24高二上·四川成都·期末）记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．140 B．150 C．160 D．180 4．（23-24高二下·四川南充·期末）在等差数列中，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（23-24高二下·四川凉山·期末）在等差数列中，，，则数列的公差d（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（23-24高二下·四川成都·期末）记 为等差数列的前 项和，若 ，则 （    ） A．2 B．3 C．10 D．4 7．（23-24高二上·四川德阳·期末）等差数列满足，，则（    ） A．4 B．3 C． D．2 等差数列求通项公式 8．（23-24高一下·四川成都·期末）已知数列满足：，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高三上·四川成都·期末）设函数，数列，满足，，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·四川泸州·期末）已知各项均为正数的数列的前n项和为，满足，且，，则数列的通项公式 ． 11．（23-24高二上·四川内江·期末）若数列为等差数列且，，则数列的通项公式 . 12．（23-24高一下·四川成都·期末）已知数列满足：， ()，则数列的通项公式为(　　) A． B． C． D． 等差数列求和 13．（23-24高二下·四川乐山·期末）已知数列的前n项和，记数列的前n项和为，则（   ） A． B． C． D． 14．（23-24高二上·四川达州·期末）在递增等差数列中有，，则（    ） A． B． C． D． 15．（22-23高二下·四川凉山·期末）已知数列的前项和为，则（    ） A．1012 B． C．2023 D． 16．（23-24高二下·四川南充·期末）已知数列是等差数列，且是数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和，求证：. 17．（23-24高三上·四川·期末）在等差数列中，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 18．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）设等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 等差数列性质及前n项和性质 19．（23-24高一·四川成都·期末）等差数列有项，若前项的和为，前项的和为，则中间项的和为（    ） A． B． C． D． 20．（22-23高一下·四川成都·期末）等差数列的前2项和为30，前4项和为100，则它的前6项和是（    ） A．130 B．170 C．210 D．260 21．（23-24高二下·四川成都·期末）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果 “杨辉三 角” 记录于其重要著作《详解九章算法》中， 该著作中的 “垛积术” 问题介绍了高 阶等差数列. 以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列. 若某个二阶等差数列 的前四项分别为: ，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．数列 是单调递增数列 D．数列 有最大项 22．（21-22高一下·四川成都·期末）已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是 A．2 B．3 C．5 D．4 23．（23-24高二上·四川南充·期末）（多选）已知数列的通项公式为，则下列结论正确的是（    ） A． B．数列是等差数列，且公差 C．对于任意的正整数，均有成立 D．存在唯一的正整数，使数列的前项和取得最小值 等差数列证明 24．（21-22高一下·四川遂宁·期末）已知各项均为正数的数列的前项和为. (1)求证：数列是等差数列，并求的通项公式； (2)若表示不超过的最大整数，如，求的值； (3)设，，问是否存在正整数m，使得对任意正整数n均有恒成立？若存在求出m的最大值；若不存在，请说明理由. 25．（21-22高一下·四川广安·期末）已知数列中，，． (1)证明数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和； (3)若存在，使得成立，求实数k的取值范围． 26．（21-22高一下·四川眉山·期末）已知数列满足，，令，设数列前n项和为． (1)求证：数列为等差数列； (2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围； (3)设正项数列满足，求证：． 27．（21-22高一下·四川宜宾·期末）已知数列满足，． (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)在0和之间插入n个数，使得这n＋2个数成等差数列且公差记为，求数列的前n项和． 28．（20-21高一下·四川成都·期末）已知数列满足. (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，则关于正整数的不等式（其中）最多有几个解. 29．（21-22高一下·四川成都·期末）已知正项数列的前n项和为，，且． (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 等差数列的实际应用 30．（21-22高一下·四川凉山·期末）骑行是一种健康自然的运动旅游方式，能充分享受旅行过程之美．一辆单车，一个背包即可出行，简单又环保．在不断而来的困难当中体验挑战，在旅途的终点体验成功．一种变速自行车后齿轮组由7个齿轮组成，它们的齿数成等差数列，其中最小和最大的齿轮的齿数分别为10和28，求后齿轮所有齿数之和（    ） A．134 B．133 C．114 D．113 31．（21-22高一下·四川成都·期末）我国古代数学著作《周髀算经》中记载了二十四节气与晷长的关系：每个节气的晷长损益相同.晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度，如图1所示，损益相同，即相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，且周而复始.二十四节气及晷长变化如图2所示.已知谷雨时节晷长为5.5尺，霜降时节晷长为9.5尺，则二十四节气中晷长的最大值为（    ） A．14.5 B．13.5 C．12.5 D．11.5 32．（21-22高一下·四川巴中·期末）2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时，它将中国人的物候文明、传承久远的诗歌、现代生活的画面和谐统一起来．我国古人将一年分为24个节气，如图所示，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始．已知冬至日晷长为13.5尺，夏至日晷长为1.5尺，则一年中夏至到秋分的日晷长的和为（    ）尺． A．24 B．60 C．40 D．31.5 33．（23-24高二上·四川达州·期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中的1，3，6，10称为三角数，则下列各数中是三角数的是（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 34．（23-24高二上·四川凉山·期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个…，则第二十层球的个数为（    ） A．210 B．220 C．230 D．240 35．（23-24高二下·四川达州·期末）把一个无穷数列从第2项起，每一项减去它的前一项，得到一个新数列，此数列叫做原数列的1阶差数列．对1阶差数列作同样的处理得到的数列叫做原数列的2阶差数列，如此类推，可得到原数列的阶差数列．如果一个数列的阶差数列是由一个非零常数组成的常数数列，则称这个数列为阶等差数列，非零常数叫做数列的阶公差． 例如，原数列：，，，，，，， 1阶差数列：15，65，175，369，671，1105， 2阶差数列：50，110，194，302，434， 3阶差数列：60，84，108，132， 4阶差数列：24，24，24， 所以原数列为4阶等差数列，24为该数列的4阶公差. 已知数列是2阶等差数列，2阶公差为1，且，． (1)已知数列是数列的1阶差数列，求数列的通项； (2)求数列的通项公式； (3)数列的前项和为，，，证明：． 含绝对值的等差数列求和 36．（23-24高二上·四川·期末）在数列中，，则等于（    ） A．445 B．765 C．1080 D．3105 37．（23-24高一下·四川攀枝花·期末）已知数列的通项公式,则 . 38．（23-24高二上·四川南充·期末）已知等差数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 39．（23-24高一下·四川攀枝花·期末）已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 等差数列的最值问题 40．（21-22高一下·四川广安·期末）设等差数列的前n项和为，，公差为d，，．则下列结论不正确的是（    ） A． B．当时，取得最小值 C． D．使得成立的最大自然是n是17 41．（21-22高一下·四川成都·期末）已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和，有最大值，当时，的最大值为（    ） A．20 B．17 C．19 D．21 42．（23-24高二上·四川泸州·期末）（多选）已知是公差为d的等差数列，其前n项和是，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 43．（23-24高二下·四川成都·期末）（多选）等差数列 的前 项和为 ，则（    ） A． B． C． D．当 时， 的最小值为 16 44．（21-22高二上·重庆·期末）（多选）已知递减的等差数列{an}的前n项和为Sn，S6＝S8，则（    ） A．a7＞0 B．S13＜0 C．S15＜0 D．S7最大 45．（22-23高二上·重庆·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则取得最大值时的值为 ． 46．（21-22高一下·四川遂宁·期末）设等差数列满足：，公差.若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是（    ） A． B． C． D． 47．（23-24高二下·四川凉山·期末）（多选）已知等差数列的前n项和为，且满足，，则下列选项正确的有（    ） A． B．数列是递增数列 C．当n＝15时，取得最大值为225 D．的最小值为1 等差数列的综合应用 48．（23-24高二下·四川成都·期末）已知数列满足 ，若 为数列 的前 项和，则 49．（23-24高二上·四川眉山·期末）已知公差不为零的等差数列满足，且，，成等比数列．设为数列的前项和，则数列的前项和为 50．（22-23高二上·福建莆田·期末）已知数列满足，则数列的通项公式为 . 51．（21-22高一下·四川绵阳·期末）已知在单调递增的等差数列中，满足，是和的等比中项，为数列的前n项和，则的最小值为 . 52．（21-22高二上·四川达州·期末）已知等比数列满足，. (1)求数列的前8项和； (2)求数列的前项积. 53．（20-21高一下·四川资阳·期末）已知数列中，，且对任意，，有. (1)求的通项公式； (2)已知，，且满足，求，； (3)若（其中对任意恒成立，求的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$