专题06 求数列的通项公式和前n项和（10大基础题+3大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（四川专用）

专题06 求数列的通项公式和前n项和 公式法求通项公式 1．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知等比数列的前项和为，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件求得等比数列的公比，进而求得. 【详解】设等比数列的公比为， 若，则，则，所以， 所以，， 所以，所以. 故选：B 2．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知等比数列的前项和为，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得,进而可求出公比的值，即可求的值. 【详解】根据已知， ， 又，所以  解得. 所以，所以. 故选：C. 3．（23-24高二下·四川乐山·期末）数列是各项均为正数的等比数列，满足，，则数列的通项 ． 【答案】 【分析】由已知条件可得，解得，即可得到答案. 【详解】设数列的公比为，则，且， 由已知得， 化简，得，解得， 所以. 故答案为：. 4．（23-24高二上·四川自贡·期末）设是等差数列，若． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和及其最值． 【答案】(1) (2)数列的前项和为，最大值为，无最小值 【分析】（1）先求出公差，再根据等差数列的通项公式即可得解； （2）根据等差数列的前项和即可求出数列的前项和，再根据二次函数的性质即可求出最值. 【详解】（1）设公差为， 由， 得，解得， 所以； （2）设数列的前项和为， 则， 函数的对称轴为， 所以，无最小值. 5．（21-22高二下·四川成都·期末）在等差数列中，已知且. (1)求的通项公式； (2)设 ，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意列出关于的方程，解得其值，即得答案； （2）由（1）可得的表达式，利用裂项求和的方法，即得答案. 【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为, 由得， 即, ① 由，即, ② 由①②得，， . （2）， . 累加法求通项公式 6．（23-24高一下·四川宜宾·期末）在数列中，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用累加法求得通项公式， 【详解】由已知，，，，， ∴时，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查累加法求数列通项公式，考查裂项相消法求数列的和．已知，可用累加法求通项公式，已知可用累乘法求通项公式． 7．（23-24高三上·四川泸州·期末）在数列 中，，则的值为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意知,又,利用累加法即可求得的值. 【详解】因为,所以, 故选:C 【点睛】本题主要考查累加法求数列通项公式,考查等比数列求和公式,属于中档题. 8．（21-22高一下·四川宜宾·期末）已知数列满足，，令，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意整理可得，即，利用累加法可得，结合题意可得，即，运算求解． 【详解】∵，则 ∴ 又∵ ∴ 由题意可得：，则 ∴ 故选：D． 9．（23-24高二下·四川乐山·期末）在数列中，，，若不等式对任意恒成立，则实数λ的值可以是（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】AB 【分析】根据条件，利用累加法得到，从而将问题转化成恒成立，令，利用数列的单调性得到，即可求出结果. 【详解】因为， 当时，， 又，所以， 又时，满足， 所以， 由，得到， 令，则， 当时，，得到，当时，， 所以，又， 当为偶数时，，得到， 当为奇数时，，得到，所以， 故选：AB. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于使恒成立，令，利用数列的单调性得到，再分取奇数和偶数，即可求解. 10．（23-24高一下·四川内江·期末）在数列中， ，，则 . 【答案】 【分析】利用累加法可求得数列的通项公式. 【详解】， 当时，符合上式，则. 故答案为： 【点睛】本题考查由累加法求数列的通项公式，属于基础题. 11．（23-24高一下·四川成都·期末）设数列满足， ． 【答案】 【分析】对条件进行化简然后运用累加法和裂项求和法推导出通项 【详解】 ...... 累加可得 ， 故答案为 【点睛】本题考查了数列通项的求法，在形如的条件时将其构造出新的数列，然后运用累积法进行求解，需要学生掌握解题方法 12．（21-22高一下·四川广安·期末）已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题可通过累加法求出当时，然后将代入并验证，即可得出结果； （2）本题可通过裂项相消法求出. 【详解】（1）当时， ， 即，则， 当时，，满足， 综上所述，当时，. （2）因为，所以， 则. 累乘法求通项公式 13．（23-24高一下·四川成都·期末）在数列{an}中，若a1，且对任意的n∈N*有，则数列{an}前10项的和为（　  　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用累乘法可得．利用错位相减法可得S，即可求解S10＝22． 【详解】∵，则． ∴，． Sn， ． ∴， ∴S，则S10＝22． 故选：A． 【点评】本题考查了累乘法求通项，考查了错位相减法求和，意在考查计算能力，属于中档题． 14．（20-21高一下·四川德阳·期末）已知数列满足，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】由已知可得，进而计算即可得出结果. 【详解】当时，； 当时，由，可得， 两式相除得 故答案为： 15．（21-22高一下·四川遂宁·期末）已知数列满足：，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列前n项和； (3)若集合为空集，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，利用累乘法求解； （2）利用错位相减法求解； （3）由题意转化为恒成立求解． 【详解】（1）解：由题意得， 当时，， 又也满足上式，故； （2）由（1）可得①， ∴② ①－②，得， 所以； （3）由（2）可得， 所以，即． 令，则，，，，， 因为， 所以，当时，，即． 因为集合A为空集，所以的解集为空集， 所以． 16．（23-24高一下·四川自贡·期末）已知数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）在中用代得一等式，已知等式与此等式相减可得的递推式，用连乘法可求得，注意验证是否适合，否则用分段函数形式表示； （2）用错位相减法法求和． 【详解】（1）∵，①， ∴，②， ①－②得，即， 在中令得，， ∴，也适合. ∴． （2）由（1）， ∴，③ ∴，④ ③－④得， ， ∴． 【点睛】本题考查已知递推式求数列通项公式，考查错位相减法求和，考查连乘法求数列通项公式． 在已知递推式示通项公式时，由原来的等式中用代所得式子中，一般不含，求出结果后需进行验证．求通项公式时如果出现前后项的比值，一般用连乘法求通项公式．数列求和法有很多如错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法等等，对不同类型的数列求和方法一般不相同． 17．（23-24高二下·四川凉山·期末）各项均为正数的等差数列首项为1，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，且，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比中项可得，结合等差数列通项公式求得，即可得通项公式； （2）利用累乘法求的通项公式，再利用裂项相消法求和. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为成等比数列，则，即， 整理可得，解得或（舍去）， 所以数列的通项公式. （2）因为，即， 此时 ， 即， 且满足上式，所以. 可得； 所以. 18．（23-24高三上·四川成都·期末）已知数列数列满足， ，其中n∈N*． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件，利用累乘法求； （2）由知，故用错位相减法求和即可. 【详解】（1）由得：， 故，，，……，，， 以上个式子相乘得，， 故； （2）由，结合（1）可得：， 所以， ， 两式相减得，， 故． an与sn关系求通项公式 19．（23-24高二上·四川成都·期末）若数列满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由与的关系求得，从而为常数列， 得到，即可求的值. 【详解】由及得， 即， 即， 所以，即为常数列， 又，所以，即， 所以， 所以. 故选：B 20．（23-24高二下·四川成都·期末）已知数列的前项和满足：，且，则被8整除的余数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．5 【答案】C 【分析】先用求公式求出，再结合二项式定理求解即可. 【详解】当时，，， 两式相减可得，整理得，即， 则是首项为1的常数列，故，则. 所以，能被56整除一定能被8整除， 变形运用二项式定理展开，可以得到 ， 被8整除的余数即末项被8整除的余数，， 则被8整除的余数为7. 故选：C. 21．（23-24高二上·四川成都·期末）记为数列的前项和．已知，则（    ） A． B． C．数列为等比数列 D． 【答案】ACD 【分析】令代入已知，求出，判断A；求出，判断B；根据的关系结合等比数列定义判断C；求出，即可判断D. 【详解】对于A，由于，令，则，A正确； 对于B，令，则，则，B错误； 对于C，当时，，则， 即，则，而， 故数列为首项为，公比为的等比数列，C正确； 对于D，由C可知，即， 故，D正确， 故选：ACD 22．（23-24高三下·四川·期末）若数列的前n项和为，，，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，结合变形等式，再构造常数列求出通项. 【详解】数列中，，当时，， 两式相减得，即，则有， 因此数列是常数列，则， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 23．（23-24高二上·四川泸州·期末）已知各项均为正数的数列的前n项和为，满足，且，，则数列的通项公式 ． 【答案】 【分析】由，知，两式作差，即可证明为等差数列，从而求出. 【详解】由题意,则， 又， ， ， ，，为等差数列， ，， ，，， 故答案为： 24．（23-24高二下·四川德阳·期末）数列的前n项和为，且. (1)求证：数列为等比数列，并求其通项公式； (2)令，数列的前n项和为.求证：. 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）利用与的关系式，消去，即可证明为等比数列，求得通项； （2）将数列的通项进行裂项，再运用裂项相消法即可求出并证得. 【详解】（1）因为①， 所以当时，②， ①②得：，即(*)， 又当时，，即，所以， 由(*)可得，， 则数列为以2为首项，2为公比的等比数列，故； （2）由（1）知， 故， 因，，故得. 25．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知数列的前n项和为，， (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据等比数列定义证明数列是等比数列，再根据等比数列的通项公式求的通项公式. （2）利用分组求和的方法求数列的前n项和. 【详解】（1）当时，，又，∴； 当时，，，两式相减得 又∵， ∴数列是首项为3，公比为2的等比数列， ∴. （2） ∴ 26．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知数列的前项和为，且 是公差为的等差数列， (1)求的通项公式; (2)设，求数列的前项和为． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列通项公式可得，从而求得，则，可解； （2）由裂项相消法求和. 【详解】（1）依题意，， 所以，，①       ，② 由①-②得：，即， 所以， 所以， 所以. （2）因为， 所以. 构造法求通项公式 27．（2019·山东·一模）数列中，已知且则 A．19 B．21 C．99 D．101 【答案】D 【分析】利用累加法及等差数列的求和公式可求. 【详解】因为，所以，，. 上面各式相加可得，故选D. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，利用累加法求解数列通项公式时注意数列项数的变化. 28．（23-24高一下·四川成都·期末）已知数列满足，且，则的第项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在等式两边取倒数，可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，进而可求得. 【详解】当且，在等式两边取倒数得， ，且，所以，数列为等差数列，且首项为，公差为， 因此，. 故选：A. 【点睛】本题考查利用倒数法求数列通项，考查计算能力，属于基础题. 29．（23-24高二上·四川宜宾·期末）在数列中，，若对任意的恒成立，则实数的最小值 . 【答案】 【分析】首先利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用函数的恒成立问题和数列的单调性的应用求出结果． 【详解】由整理得，即，又， 故数列是以4为首项，4为公比的等比数列，可得, 不等式，可化为， 令，当时，； 当时，，， 故当时，单调递减，故， 综上，， 所以，故最小值为． 故答案为： 30．（23-24高三上·四川成都·期末）已知数列满足，，为数列的前n项和，则满足不等式的n的最大值为 . 【答案】8 【分析】已知递推关系凑配一个等比数列，从而可得通项公式，再由分组求得法及等比数列的前项和公式求得，化简不等式后求解即得． 【详解】由得，又，从而， 所以是等比数列，所以， ，所以， ，由得（因为是正整数）， 所以的最大值是8. 故答案为：8. 【点睛】方法点睛：在已知递推关系的数列，一般用凑配法得出等比数列，从而求得其通项公式：设，则，由此有，在时，因此只要，则数列是等比数列（，数列是等差数列，，数列是常数列）． 31．（23-24高一下·四川·期末）设数列的前n项和满足，且，则 ． 【答案】 【分析】由，两本同除以，可构造是等差数列，由此可求出 ，再利用，即可求得 【详解】由，得 是以为首相，1为公差的等差数列， ， ， 当 时，， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了由数列的递推关系式，求数列的通项公式，是常考题型，属于中档题. 32．（20-21高二上·四川·期末）已知数列的首项，且满足，则中最小的一项是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的定义和通项公式进行求解即可. 【详解】由， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列， 即， 所以有，显然当时，， 因此中最小的一项是， 故选：B 33．（2021·四川绵阳·三模）已知数列的前项和为，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知得出数列是等比数列，然后可利用数列的奇数项仍然为等比数列，求得和． 【详解】因为，所以，又， 所以，所以是等比数列，公比为4，首项为3， 则数列也是等比数列，公比为，首项为3． 所以． 故选：A． 34．（23-24高二下·四川南充·期末）已知数列的首项为，且满足，则 ． 【答案】 【分析】借助所给条件可构造，即可得数列为等比数列，即可得. 【详解】由，即， 则，又， 故数列是以为公比、为首项的等比数列， 即，则. 故答案为：. 35．（15-16高一下·四川成都·期末）已知数列的前项和满足，若，则 . 【答案】 【详解】试题分析:因,故,由此可得,即,也即,所以数列是公比为,首项为的等比数列,则,所以,所以数列是首项为,公差为的等差数列,所以,即,故应填. 考点：等差数列和等比数列的有关知识及综合运用． 【易错点晴】本题考查的是数列前项和与通项之间关系等有关知识的综合运用.求解时要充分运用题设条件,再得到其递推式,然后两式相减可得,再加以整理可得,运用等比数列的定义可知数列是公比为,首项为的等比数列,则,所以,最后由定义可知数列是首项为,公差为的等差数列,最后求出,故. 36．（20-21高一下·四川成都·期末）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，得到，从而是等比数列求解； （2）由（1）得到，再去掉绝对值，利用分组求和求解； 【详解】（1）解：因为， 所以，即， 则是以2为首项，以2为公比的等比数列， 所以，所以． （2）当n＝1时，a1＝﹣2＜0，S1＝|a1|＝2； 当n≥2时，an≥0， 所以， ， ， ， 又n＝1时满足上式． 所以，当n∈N*时，． 公式法求和 37．（21-22高一下·四川绵阳·期末）已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件建立关于、的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列的求和公式可求得的值. 【详解】设等差数列的公差为，则①， ②， 联立①②可得，，因此，. 故选：C. 38．（23-24高二下·四川成都·期末）记 为等差数列的前 项和，若 ，则 （    ） A．2 B．3 C．10 D．4 【答案】A 【分析】先根据等差数列求和公式化简即得. 【详解】是等差数列，可得, 所以. 故选：A. 39．（21-22高一下·四川绵阳·期末）设是正项等比数列，为其前项和，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等比中项得，再利用和等比数列的通项公式计算，即可得到的值. 【详解】因为是正项等比数列，所以 ，， 由等比中项得，解得， 所以解得，， 所以. 故选：B. 40．（23-24高二下·四川乐山·期末）已知等差数列的公差为d，前n项和为，若，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．最小值为 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，求出等差数列的公差d及首项，再逐项计算判断即得. 【详解】依题意，，解得， 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，由，得，即数列前5项均为负数，从第6项起为正数， 因此，D正确. 故选：BCD 41．（21-22高二上·四川德阳·期末）已知：等比数列的首项，公比，前项和为． (1)求的通项公式及前项和； (2)若，求的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据等比数列的通项公式以及前n项和公式，即可求得答案； （2）由（1）可得的表达式，利用等差数列的前n项和公式，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知等比数列的首项，公比， 故，； （2）由（1）得， 故. 裂项相消求和 42．（23-24高二上·四川达州·期末）在递增等差数列中有，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析条件，求出通项公式后利用裂项相消法求和即可. 【详解】设公差为，首项为，由等差数列下标和性质得，结合， 是递增等差数列，解得，(另一组解舍)， 故，，， 即， 令，则原式为求的前项和， 故原式， 故选：C 43．（23-24高二下·四川乐山·期末）已知数列的前n项和，记数列的前n项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用与间的关系，求出，从而有，再利用累加法，即可求出结果. 【详解】因为①，当时，②， 所以①②得到， 当，，满足，所以， 得到， 所以， 故选：D. 44．（23-24高二下·四川成都·期末）已知等差数列的公差为，前项和为，且满足，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件利用等差数列的前n项和公式和通项公式以及等比数列的性质，求出首项和公差，由此能求出. （2）利用裂项相消法求出数列前n项和. 【详解】（1）等差数列前项和为，且满足，成等比数列， 依题意得，化简得， 解得，. （2）， 则. 45．（23-24高二上·四川泸州·期末）已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，，成等差数列，且． (1)求； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，，可求出，再列方程组可求出，从而可求出； （2）由（1）可得，则，然后利用裂项相消法求和可得结果. 【详解】（1）设等比数列的公比为（）， 因为，，成等差数列，所以， 因为，所以，得， 所以，得， 所以， 所以，，整理得， 解得或（舍去），得， 所以； （2）因为， 所以， 所以 . 46．（23-24高三上·四川·期末）在等差数列中，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的定义及性质计算基本量即可求通项公式； （2）利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）设的公差为，则， 解得， 所以； （2）由（1）知， 所以 ． 47．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）设等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式及前项和公式即可求解； （2）根据（1）的结论,再利用数列求和中的裂项相消法即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 依题意得，解得. 故数列的通项公式是 （2）由（1）知，. 所以 . 48．（21-22高一下·四川成都·期末）已知等比数列的各项均为正值，是、的等差中项，. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，证明. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得所求； （2）求得，由数列的裂项相消求和与不等式的性质可得证明． 【详解】（1）由等比数列的各项均为正值，是、的等差中项， 可设公比为，则，即，解得舍去）． 由，即，解得， 所以； （2）， 则 错位相减求和 49．（23-24高二下·四川绵阳·期末）已知数列满足，在数列中，，且对任意正整数都有. (1)求数列， 的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用递推式可得，利用“累加法”可得； （2）利用“错位相减法”，结合等比数列前项和公式即可求解. 【详解】（1）由，可知当时，；     当时，因为， 所以， 两式相减得，， 即， 因为也满足上式， 所以； 又数列满足，且， 当时，可得 ， 当时，也满足上式， 所以数列的通项公式为； （2）由（1）知，，     所以，     所以，      两式相减得： ， 所以． 50．（22-23高二下·四川达州·期末）已知等差数列前五项和为15，等比数列的前三项积为8，且． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据数列类型和基本量关系的运算即可求得通项公式； （2）根据错位相减法可求得结果． 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， ∵等差数列前五项和为15，且， ∴，解得， ∴， ∵等比数列的前三项积为8，且， ∴，∴， ∴． （2）， 即， ∴， ∴， ∴. 51．（21-22高一下·四川绵阳·期末）已知数列中各项均为正数，是其前n项和，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先求得，再根据已知可得当时，，可求得，讨论确定数列是首项为3，公差为1的等差数列，进而求得其通项公式； （2）由（1）可得的表达式，利用错位相减法求得数列的前n项和，根据其单调性，即可证明结论. 【详解】（1）由题意知，且, 当时，，即， 解得（舍）． 当时，， 又，两式相减得， 即，整理得， ∴或． 若，则， 又，∴，这与是正项数列矛盾， ∴，即， ∴数列是首项为3，公差为1的等差数列， ∴，即． （2）证明：∵， ∴，① ，② 由①-②得， ∴， 由可知为正项数列，∴的前n项和单调递增， 当时，，又恒成立， ∴． 52．（21-22高一下·四川眉山·期末）已知等差数列的公差不为0，且，；数列的前n项和为，且． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求出公差，即可求出，根据，作差即可得到是以3为首项，3为公比的等比数列，从而得到的通项公式； （2）由（1）可得，利用错位相减法计算可得. 【详解】（1）解：设等差数列的公差为，由，得， 化简得，因为，故； 故； 由数列的前项和为①； 当时，得；当时，有②；①－②有， 即（ ），所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，所以， 综上：，； （2）解：∵； ∴③； ③得④； ③－④得：， 整理化简得：． 53．（21-22高一下·四川自贡·期末）已知数列的前项和，数列的前项和满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，设数列的前项和；若且对一切正整数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据，作差计算可得， （2）由（1）可得，利用错位相减法求出，再由作差法判断的单调性，即可求出的最小值，依题意可得恒成立，再对分两种情况讨论，结合对数函数的单调性计算可得； 【详解】（1）解：因为①，当时， 当时②， ①②得，经检验当时也成立， 所以； 又，当时，解得， 当时，，所以， 即，即，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）解：由（1）可得， 所以， 所以①， ②， ①②得：， ， ， ， 当时， 取最小值， 即， 当时，，则，所以， 当时， 恒成立， 实数的取值范围是． 54．（21-22高一下·四川眉山·期末）已知等差数列满足，，数列的前n项和为，且. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)或；； (2)若，则；若，则. 【分析】（1）对于等差数列满足，，求出或，进而求出数列的通项公式，再根据通项与前项和的关系式，求出数列的通项公式； （2）由第（1）问知或，其中对于，利用等比数列的前项和求，对于，利用错位相减法求. 【详解】（1）设等差数列的公差为d， ，，， 化简得，解得：或， 若，则；若，则； 由数列的前n项和为①， 当时，得， 当时，有②； ①-②有，即，， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，所以， 综上所述：或；； （2）若，则， 则， 若，则， 则③； ③×3得④； ③-④得：                整理化简得：， 综上所述：若，则；若，则. 55．（21-22高一下·四川成都·期末）若数列满足. (1)求､､及的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求证：. 【答案】(1),, (2)证明见解析； 【分析】（1）由构造，作差即可求解. （2），再利用错位相减法，即可证明. 【详解】（1）解：当时，，解得， 当时，①②， 用①②得， ，所以(适用于), 所以. （2）解：, , 令， 所以， 两式作差，， 化简整理得，故得证. 倒序相加求和 56．（20-21高一下·四川德阳·期末）已知为奇函数． (1)求的值； (2)若， ，求的值； (3)当时，，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据奇函数的性质求解即可. （2）首先根据题意得到，再利用倒序相加求解即可. （3）当时，显然成立，当时，根据，利用缩放法证明即可. 【详解】（1）因为为奇函数，定义域为， 所以，所以. 当时， 故是奇函数．综上． （2）， . 令， 则， 两式相加得：，所以. 故. （3）因为 当时， 所以不等式成立. 当时，因为 所以 综上，当，恒成立． 57．（23-24高一下·四川眉山·期末）已知数列的前n项和，函数对任意的都有，数列满足． （1）分别求数列、的通项公式； （2）若数列满足，是数列的前n项和，是否存在正实数，使不等式对于一切的恒成立？若存在请指出的取值范围，并证明；若不存在请说明理由． 【答案】（1），；（2）存在，． 【分析】（1）利用求得，利用倒序相加法求得. （2）利用错位相减求和法求得，由分离常数，结合基本不等式求得的取值范围. 【详解】（1），， ， 时满足上式，故（）， ∵，∴， ∵ ① ∴ ② ∴①+②，得，∴. （2）∵，∴， ∴ ① ② 得， 即， 要使得不等式恒成立，恒成立， ∴对于一切的恒成立，即， 令（），则， ， 当且仅当时等号成立，故，所以为所求． 58．（20-21高一下·四川自贡·期末）设函数，设，． （1）计算的值． （2）求数列的通项公式． （3）若，，数列的前项和为，若对一切成立，求的取值范围． 【答案】（1）2；（2）；（3）． 【分析】（1）代入函数式直接计算； （2）用倒序相加法计算； （3）由裂项相消法求得，注意分类，，时可转化为求函数（数列）的最大值． 【详解】（1）. （2）由题知，当时，， 又，两式相加得 ， 所以. 又不符合， 所以. （3）由（2）知，， 因为，所以，， 由，得，， 当时，，， ， ， 由，得， 因为对勾函数在上单调递增，又， 所以，，所以 综上，由，得. 所以的取值范围为. 59．（20-21高一下·四川自贡·期末）设函数，设，． （1）求数列的通项公式． （2）若，，数列的前项和为，若对一切成立，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）计算的值，然后用倒序相加法计算； （2）由裂项相消法求得，注意分类，，时可转化为求函数（数列）的最大值． 【详解】（1）； 时，， ， 相加得， 所以，又， 所以对一切正整数，有； （2）， ，，，即，， 时，， ， ，即， ， ，，所以即时，取得最大值，， 综上，． 【点睛】本题考查对数的运算，考查倒序相加法求和，考查数列不等式恒成立问题．注意一个和满足首尾两项的和与到尾两项等距离的两项的和相等时，可用倒序相加法求和，在函数式的计算中也常用到这种方法．数列不等式恒成立问题，需把不等式化简，能求和的求和，不能求和的用放缩法放缩后求和，然后还可能结合函数的知识求解，但要注意此函数的定义域是正整数集合． 60．（23-24高一下·四川达州·期末）设，是函数的图象上任意两点，若为，的中点，且的横坐标为． （1）求； （2）若，，求； （3）已知数列的通项公式（，），数列的前项和为，若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）2；（2）；（3）． 【详解】试题分析：（1）根据中点坐标公式可知，所以， ，整理即可求得的值；（2）由第（1）问可知当时，为定值，观察可知共项，根据倒序相加法可知，，，和均为定值2，共个2，所以和为，即得到的值；（3）由可知，为等差数列乘等比数列，所以求数列的前n项和采用错位相减法，然后代入整理得到恒成立，所以只需，因此根据数列的单调性求出的最大值即可．本题以函数为背景，旨在考查数列的相关知识，考查倒序相加求和，错位相减求和，同时还考查不等式恒成立问题．综合性较强，考查学生对知识总体的把握能力． 试题解析：（1）由已知点M为线段AB的中点， 则： ∴ （2）由（1），当时，有 故 ∴ （3）由已知： 不等式即 也即，即恒成立 故只需 令 当时， 当时，，当时， 故； 故 ∴，解得： 考点：（1）中点坐标公式；（2）倒序相加求和；（3）错位相减求和；（4）不等式恒成立． 分组求和 61．（22-23高二下·四川凉山·期末）已知数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数列的递推公式得到，然后求和即可求解. 【详解】因为数列的前项和为，且， 则，， ，， 所以，， 依次类推，，，， 所以 . 故选：D. 62．（22-23高二下·四川凉山·期末）已知数列的前项和为，则（    ） A．1012 B． C．2023 D． 【答案】D 【分析】根据数列的通项公式，可求得，依此类推，即可求解. 【详解】∵， 故 故 . 故选：D. 63．（20-21高一下·四川成都·期末）等差数列中，则数列的前2021项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等比数列的基本量法求得和公差，得通项公式，然后由余弦函数的周期性求和． 【详解】设的公差是，则，， 所以． ，函数的周期是， 由的性质，每相邻6个的和为0， ，所以 的前项的和． 故选：A． 64．（21-22高一下·四川成都·期末）已知数列的通项公式为，Sn为数列的前n项和，则的值为（    ） A．672 B．1011 C．2022 D．6066 【答案】B 【分析】由于的周期为3，所以结合已知，通过分组求和即可 【详解】因为的周期为， 由，可得 ，，， ，，， ，，， ……， 因为， 所以 故选：B 65．（20-21高一下·四川成都·期末）已知数列满足，为的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得当为偶数时，当为奇数时，进而求得奇数项与偶数项的和即可求解. 【详解】解：， ①当为偶数时， ， ， ， ， ， … ， . ②当为奇数时， ， ， ， ，，…，， ， 故选：C 66．（23-24高二下·四川宜宾·期末）已知数列满足：，点在直线上． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据等差数列定义求通项公式； （2）分组求和法求前项和． 【详解】（1）因为点在直线，所以，即． 所以是等差数列，且首项为，公差为3． 于是，． （2）因为． 所以 67．（23-24高二下·四川成都·期末）已知数列是公差不为0的等差数列，是和的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得，求解即可求得数列的通项公式； （2）由（1）可得，利用分组求和法可求. 【详解】（1）设数列的公差为，则， 又是和的等比中项，所以， 解得或（舍去）， 所以. （2）由（1）可得， 所以， 所以， 所以，所以 68．（20-21高一下·四川巴中·期末）已知数列满足，，令． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）将原式变形为，由此可得，即可完成证明； （2）先求解出的通项公式，由此可求的通项公式，采用分组求和的方法求解出. 【详解】解：（1）由变形得： 又，故， 数列是首项为，公比为的等比数列． （2）由（1）得，即 ． 周期和奇偶性求通项公式 69．（23-24高二下·四川·期末）已知数列满足，，则数列前2024项的积为（ ） A．4 B．1 C．     D． 【答案】B 【分析】先找到数列的周期，然后求得数列前2024项的积. 【详解】因为，所以， ，所以数列的周期为4. 由，则，，， 所以数列前2024项的乘积为. 故选：B. 70．（23-24高二下·四川成都·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”），参照“冰雹猜想”，提出了如下问题：设各项均为正整数的数列满足，若，则的取值可以为（    ） A．1 B．3 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据运算规则逆向寻找结果即可. 【详解】若，则或（舍去），则或， 若，则或， 当，则或， 当，则； 若，则，所以或， 综上可得，故符合条件的只有A. 故选：A 71．（22-23高二下·四川成都·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图，这就是数学史上著名的“冰霓猜想”（又称“角谷猜想”等）．已知数列满足：，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据“冰霓猜想”结合递推关系，可知数列从开始，是以3为周期的数列，进而即可求解. 【详解】由题意可知，，，，，， ，，，，，……， 所以根据“冰霓猜想”可知. 故选：B 72．（23-24高二下·四川南充·期末）在数列中，，，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】借助题目所给条件可得该数列为周期数列，结合周期数列的性质即可得解. 【详解】，， ，故数列是以为周期的周期数列， 则. 故选：D. 73．（23-24高三上·四川·期末）已知满足，，记的前n项和为，的前n项和为，则下列说法中不一定正确的是（    ） A．是等比数列 B．的通项公式为或 C．若，则 D．若，则为定值 【答案】AB 【分析】由题意得或．举例子判断A，B；对于C满足，累乘法求解通项公式和进行判断；若，有，，故．奇偶分类讨论得到，为定值0，判断D. 【详解】由，因式分解得， 所以或． 对于A，B项，构造数列，则此时该数列满足题意且A，B均正确， 当或交替成立，即数列为， 此时该数列满足题意且A，B均错误，故A，B不一定正确； 对于C，注意到若存在使得，则， 则对于C只能满足，又，所以， 累乘得， 当时也符合，所以， 所以， 故C正确，不符合题意； 对于D，若，则，故，故． 当为奇数，， 所以， 当为偶数，， 所以， 奇偶分类讨论有，注意到，则为定值0，故D正确，不符合题意. 故选：AB． 【点睛】思路点睛：本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，以及“裂项法”求和问题，“累乘”求通项公式，着重考查推理与运算能力. 74．（23-24高二下·四川绵阳·期末）某个足球俱乐部为了提高队员的进球水平，开展罚点球积分游戏，开始记0分，罚点球一次，罚进记2分，罚不进记1分．已知该俱乐部某队员罚点球一次罚进的概率为，罚不进的概率为，每次罚球相互独立．若该队员罚点球积分为的概率为.下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．积分为2分时的概率最大 【答案】ABD 【分析】由积分为1的情况计算判断选项A；由的递推关系验证选项B；由递推公式求通项验证选项C；由通项公式判断最值验证选项D. 【详解】积分为1，表示罚点球一次且没罚进，则，A选项正确； 积分为2，表示罚点球一次且罚进或罚点球两次且都没罚进，， 时，积分为，表示上一次积分为这次没罚进或上一次积分为这次罚进， 则有，B选项正确； 时，由得，又， 则数列，是首项为，公比为的等比数列，有， 累加法可得，和也满足. ，C选项错误， 为奇数时，；为偶数时，且单调递减， 所以积分为2分时的概率最大，D选项正确. 故选：ABD. 75．（22-23高三上·四川成都·期末）已知数列满足：，则为 . 【答案】34 【分析】由求出，由求出，进而求出 【详解】为奇数，故， 为偶数，故， 为奇数，故. 故答案为：34 76．（23-24高二下·四川雅安·期中）数列满足，则 . 【答案】 【分析】求出，利用等差数列的定义可得答案. 【详解】因为， 所以， 又，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，解得，故. 故答案为：. 奇偶性和复杂数列求和 77．（23-24高二下·四川成都·期末）已知数列满足 ，若 为数列 的前 项和，则 【答案】77 【分析】根据等差数列及等比数列求和公式分组求和计算即可. 【详解】因为当n为奇数时为等差数列，公差为1，, ; 当n为偶数时为等比数列，公比为2，, ; 所以. 故答案为：77. 78．（21-22高一下·四川·期末）已知在各项均不相等的等差数列中，，且，，成等比数列，数列中，，，． (1)求的通项公式； (2)求证：是等比数列，并求的通项公式； (3)设，求数列的前项的和． 【答案】(1) (2)证明见解析， (3) 【分析】（1）根据题意，结合等差数列的通项公式，求出和求可求解； （2）根据题意，结合等比数列的定义以及通项公式，即可证明与求解； （3）根据题意，结合错位相减法与裂项相消法，分别对数列的奇数项与偶数项求和，进而可得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，∵，且，，成等比数列， ∴，即，解得， ∴． （2）证明：数列中，， ∵，． ∴，． ∴数列是等比数列，首项为4，公比为4， ∴，∴． （3）①当时，，， ∴数列的前k项的和， ∴， ∴， 化为：． ②当时， ， 数列的前k项的和 ， 数列的前2n项的和． 79．（20-21高一下·四川成都·期末）已知等差数列中，，，数列满足，． （1）求，的通项公式； （2）记为数列的前项和，试比较与的大小； （3）任意，，求数列的前项和． 【答案】（1），；（2）答案见解析；（3） 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求出首项和公差，即可求的通项公式，利用等比数列的定义即可求的通项公式； （2）利用等差数列的通项公式和求和公式求出与关于的表达式，作差后分类讨论得到与的大小关系； （3）先求出，利用错位相减法求得奇数项的和，利用裂项相消求和法求得偶数项的和，进而得到前项的和. 【详解】（1）由题意可得: ，解得:， 故 因为数列满足，， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以， （2）由（1）知：， ，所以 所以， 所以， 所以当时，， 当时，， 当时，； （3）当为奇数时，， 当为偶数时， 对于任意正整数，有 ①， ②， ①②得 ， 所以， 以及 ， 因此， 所以，数列的前项和为. 【点睛】方法点睛：数列求和的方法 ①倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法 ②错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求； ③裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和； ④分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减； ⑤并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解. 80．（21-22高一下·四川成都·期末）设数列的前项和为，且，数列满足，其中. (1)证明为等差数列，求数列的通项公式； (2)求数列的前项和为； (3)求使不等式，对任意正整数都成立的最大实数的值. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）根据数列递推式可得，整理变形结合等差数列定义即可证明结论，并求得数列的通项公式； （2）利用错位相减法即可求得答案； （3）将原不等式化为，即可分离参数，继而构造函数，判断其单调性，将不等式恒成立问题转化为函数最值问题，即可求得答案. 【详解】（1）当时，，则， 当时，， 即，即是以为首项，公差为1的等差数列， 故 （2）由（1）可得， 故， 故， 则 ， 故； （3），则， 即， 即对任意正整数都成立， 令， 则， 故， 即随着n的增大而增大， 故，即， 即实数的最大值为. 【点睛】关键点睛：第三问根据数列不等式恒成立问题求解参数的最值问题时，要利用分离参数法推得对任意正整数都成立，之后的关键就在于构造函数，并判断该函数的单调性，从而利用最值求得答案. 81．（21-22高一下·四川甘孜·期末）已知数列 ​， 前​项和为​， 满足​. (1)求数列 ​的通项公式; (2)若 ​， 求数列​的前​项和​; (3)对任意 ​， 使得​恒成立， 求实数​的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)利用前n项和法求通项(要注意讨论) (2)利用错位相减法求数列前n项和 (3)恒成立问题利用分离参数法进行处理. 【详解】（1）​， ​时有​， ​时有​， ​ ​， ​ 又 ​， 也符合上式， 故数列 ​是首项为 1 ， 公比为 2 的等比数列， ​ （2）由（1）知 ​， ​，① ​，② 由①-②有：​ ​ ​ ​ （3）​​ 而当 ​时，​有最大值​， 故 ​的最小值是​. 82．（20-21高一下·四川成都·期末）已知数列的前项和，其中． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，求数列的前项和； (3)若存在，使得成立，求实数的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用来求得数列的通项公式. （2）利用凑配法构造等差数列来求得数列的通项公式，利用分组求和法、错位相减求和法求得. （3）由分离，结合差比较法来求得的最小值. 【详解】（1）当时，， 当时，， 两式相减并化简得（）， 当时，上式也符合， 所以. （2）数列满足，， 则，， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 所以， 设数列满足，且前项和为， ,, 两式相减得， 所以. 设数列满足，则的前项和， 所以. （3）依题意，存在，使得成立， ，则只需求的最小值. ， 当或时，取得最小值为. 所以的最小值为. 新定义数列 83．（24-25高三上·四川绵阳·期末）对于数列，定义：，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，数列的前项和为，则 D．若，，则 【答案】ABD 【分析】根据所给的，定义，分别对每个选项进行计算和分析可判断ABC，对D选项，先递推出，再利用错位相减法进行求和，即可得出，代入化简即可判断. 【详解】对于A，因为， 所以，故A正确； 对于B，因为， ，所以，故B正确； 对于C，因为， 所以，又时，，，故C错误； 对于D，因为， 所以，，…，， ，所以， 所以， 则 ， 所以，则，.又时也成立， 所以，， 又因， 所以，故D正确. 故选：ABD 84．（23-24高二下·四川绵阳·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图，这就是数学史上著名的“冰霓猜想”（又称“角谷猜想”等）．已知数列满足：，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据“冰霓猜想”结合递推关系，利用规律求解即可. 【详解】由题意可知，，，，，，，，……， 所以根据“冰霓猜想”可知， 故选：B 85．（23-24高二下·四川成都·期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，……．，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”．已知数列，，，（），记为数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用数列易得，判断A；计算可得判断B；计算可得判断C；由，可判断D. 【详解】由题意知1，2，3，5，8，13，故，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ∵， ，，故D选项正确． 故选：CD. 86．（23-24高一下·四川成都·期末）设数列，若，则称数列为“凸数列”，已知数列为“凸数列”，且，，则 ． 【答案】 【分析】由数列为“凸数列”， ，，推导出数列是以6为周期的周期数列，问题得以解决． 【详解】解：数列为“凸数列”， ， ，， ，解得， ，解得， ，解得， ，解得， ，解得， ，解得． 数列是以为周期的周期数列， ， . 故答案为： 87．（23-24高二下·四川达州·期末）如果项数有限的数列满足，则称其为“对称数列”，设是项数为的“对称数列”，其中，，，是首项为，公差为的等差数列，则（    ） A．若，则 B．若，则所有项的和为 C．当时，所有项的和最大 D．所有项的和不可能为 【答案】BCD 【分析】确定的和，结合二次函数性质，代入数据计算得到BCD正确，计算，A错误，得到答案. 【详解】记的各项之和为，，，，是首项为，公差为的等差数列， 可得， 所以， 当时，取到最大值，且最大值为626，故选项C正确； 当时，，故选项B正确； ，方程无正整数解，所以所有项的和不可能为，故选项D正确； 若，则，故选项A错误. 故选：BCD 88．（21-22高一下·四川成都·期末）对于数列，若从第二项起，每一项与它的前一项之差都大于或等于（小于或等于）同一个常数d，则叫做类等差数列，叫做类等差数列的首项，d叫做类等差数列的类公差. (1)若类等差数列满足，请类比等差数列的通项公式，写出数列的通项不等式（不必证明）； (2)若数列中，，. ①判断数列是否为类等差数列，若是，请证明，若不是，请说明理由； ②记数列的前n项和为，证明：. 【答案】(1)； (2)①数列是类等差数列；②证明见解析. 【分析】（1）利用类等差数列定义，类比等差数列通项求解方法累加法可得； （2）①由类等差数列的定义，及，推得，又推出，结合的单调性，得，来判断数列是否为类等差数列；②由，得数列的前n项和为，结合（1）中结论可得，从而可推证. 【详解】（1）解： （2）解：①数列是类等差数列，理由如下： 即 又，所以，则是递减数列 递减，故， 数列是类等差数列； ②， 由①知数列是类等差数列，结合（1）中结论可得： ，且 即，故. 【点睛】本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学类比思想以及数列中的归纳思想，对表达式的灵活变形确定范围，是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题． 89．（23-24高二下·四川南充·期末）给定数列，称为的差数列（或一阶差数列），称数列的差数列为的二阶差数列，若. (1)设的二阶差数列为，求的通项公式. (2)在（1）的条件下，设，求的前n项和为 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助定义计算即可得； （2）借助等差数列及等比数列的求和公式计算即可得. 【详解】（1），则； （2）， 则. 90．（23-24高二下·四川成都·期末）约数，又称因数．定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数．设正整数共有个正约数，记作，，，，． (1)当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值； (2)当时，若，，，构成等比数列，求与满足的关系式（用和表示）； (3)记，求证：． 【答案】(1)答案不唯一 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据等比数列的特征，结合约数的定义，即可列举； （2）法一：首先由等比数列的定义可得，再利用累乘法求得数列的通项公式，再根据等比数列的关系式，以及约数的定义，即可求解；法二：首先由等比数列的定义可得，再根据，即可联立后，即可化解求解； （3）由约数的性质可得，再利用放缩法，即可求和证明. 【详解】（1）当时，正数的4个正约数构成等比数列，比如1，2，4，8为8的所有正约数，即．又比如1，3，9，27为27的所有正约数，即也可以，125，343，…都可以，但注意，64，256…不行． （2）法一：由题意可设，累乘得：， 即，． ，，，共个数均为的约数，又共个数为的所有约数， 必有，，，（※）， 又由解得，代入（※）即得：． 法二：由题可知，，，，因为，依题意可知， 所以，化简可得，所以，因为，所以，因此可知是完全平方数．由于是整数的最小非1因子，是的因子，且，所以，所以，，，为，，，，所以． （3）证明；由题意知，，， 所以， 由题可得：，，， 所以由放缩和裂项相消得， ， 因为，，所以，所以，即． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用约数的性质，，，，以及，，再结合等比数列的性质，即可求解证明. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 求数列的通项公式和前n项和 公式法求通项公式 1．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知等比数列的前项和为，且满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知等比数列的前项和为，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·四川乐山·期末）数列是各项均为正数的等比数列，满足，，则数列的通项 ． 4．（23-24高二上·四川自贡·期末）设是等差数列，若． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和及其最值． 5．（21-22高二下·四川成都·期末）在等差数列中，已知且. (1)求的通项公式； (2)设 ，求数列的前项和. 累加法求通项公式 6．（23-24高一下·四川宜宾·期末）在数列中，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三上·四川泸州·期末）在数列 中，，则的值为 （    ） A． B． C． D． 8．（21-22高一下·四川宜宾·期末）已知数列满足，，令，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二下·四川乐山·期末）（多选）在数列中，，，若不等式对任意恒成立，则实数λ的值可以是（   ） A．1 B．0 C． D． 10．（23-24高一下·四川内江·期末）在数列中， ，，则 . 11．（23-24高一下·四川成都·期末）设数列满足， ． 12．（21-22高一下·四川广安·期末）已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 累乘法求通项公式 13．（23-24高一下·四川成都·期末）在数列{an}中，若a1，且对任意的n∈N*有，则数列{an}前10项的和为（　  　） A． B． C． D． 14．（20-21高一下·四川德阳·期末）已知数列满足，则数列的通项公式为 ． 15．（21-22高一下·四川遂宁·期末）已知数列满足：，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列前n项和； (3)若集合为空集，求实数的取值范围． 16．（23-24高一下·四川自贡·期末）已知数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 17．（23-24高二下·四川凉山·期末）各项均为正数的等差数列首项为1，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，且，求的前项和． 18．（23-24高三上·四川成都·期末）已知数列数列满足， ，其中n∈N*． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． an与sn关系求通项公式 19．（23-24高二上·四川成都·期末）若数列满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高二下·四川成都·期末）已知数列的前项和满足：，且，则被8整除的余数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．5 21．（23-24高二上·四川成都·期末）（多选）记为数列的前项和．已知，则（    ） A． B． C．数列为等比数列 D． 22．（23-24高三下·四川·期末）若数列的前n项和为，，，则数列的通项公式为 ． 23．（23-24高二上·四川泸州·期末）已知各项均为正数的数列的前n项和为，满足，且，，则数列的通项公式 ． 24．（23-24高二下·四川德阳·期末）数列的前n项和为，且. (1)求证：数列为等比数列，并求其通项公式； (2)令，数列的前n项和为.求证：. 25．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知数列的前n项和为，， (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和． 26．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知数列的前项和为，且 是公差为的等差数列， (1)求的通项公式; (2)设，求数列的前项和为． 构造法求通项公式 27．（2019·山东·一模）数列中，已知且则 A．19 B．21 C．99 D．101 28．（23-24高一下·四川成都·期末）已知数列满足，且，则的第项为（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高二上·四川宜宾·期末）在数列中，，若对任意的恒成立，则实数的最小值 . 30．（23-24高三上·四川成都·期末）已知数列满足，，为数列的前n项和，则满足不等式的n的最大值为 . 31．（23-24高一下·四川·期末）设数列的前n项和满足，且，则 ． 32．（20-21高二上·四川·期末）已知数列的首项，且满足，则中最小的一项是（    ） A． B． C． D． 33．（2021·四川绵阳·三模）已知数列的前项和为，，，，则（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高二下·四川南充·期末）已知数列的首项为，且满足，则 ． 35．（23-24高一下·四川成都·期末）已知数列的前项和满足，若，则 . 36．（20-21高一下·四川成都·期末）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 公式法求和 37．（21-22高一下·四川绵阳·期末）已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 38．（23-24高二下·四川成都·期末）记 为等差数列的前 项和，若 ，则 （    ） A．2 B．3 C．10 D．4 39．（21-22高一下·四川绵阳·期末）设是正项等比数列，为其前项和，已知，则（    ） A． B． C． D． 40．（23-24高二下·四川乐山·期末）（多选）已知等差数列的公差为d，前n项和为，若，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．最小值为 41．（21-22高二上·四川德阳·期末）已知：等比数列的首项，公比，前项和为． (1)求的通项公式及前项和； (2)若，求的前项和． 裂项相消求和 42．（23-24高二上·四川达州·期末）在递增等差数列中有，，则（    ） A． B． C． D． 43．（23-24高二下·四川乐山·期末）已知数列的前n项和，记数列的前n项和为，则（   ） A． B． C． D． 44．（23-24高二下·四川成都·期末）已知等差数列的公差为，前项和为，且满足，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求. 45．（23-24高二上·四川泸州·期末）已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，，成等差数列，且． (1)求； (2)若，求数列的前n项和． 46．（23-24高三上·四川·期末）在等差数列中，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 47．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）设等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 48．（21-22高一下·四川成都·期末）已知等比数列的各项均为正值，是、的等差中项，. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，证明. 错位相减求和 49．（23-24高二下·四川绵阳·期末）已知数列满足，在数列中，，且对任意正整数都有. (1)求数列， 的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 50．（22-23高二下·四川达州·期末）已知等差数列前五项和为15，等比数列的前三项积为8，且． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 51．（21-22高一下·四川绵阳·期末）已知数列中各项均为正数，是其前n项和，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求证：． 52．（21-22高一下·四川眉山·期末）已知等差数列的公差不为0，且，；数列的前n项和为，且． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前n项和． 53．（21-22高一下·四川自贡·期末）已知数列的前项和，数列的前项和满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，设数列的前项和；若且对一切正整数恒成立，求实数的取值范围. 54．（21-22高一下·四川眉山·期末）已知等差数列满足，，数列的前n项和为，且. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前n项和. 55．（21-22高一下·四川成都·期末）若数列满足. (1)求､､及的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求证：. 倒序相加求和 56．（20-21高一下·四川德阳·期末）已知为奇函数． (1)求的值； (2)若， ，求的值； (3)当时，，求证：． 57．（23-24高一下·四川眉山·期末）已知数列的前n项和，函数对任意的都有，数列满足． （1）分别求数列、的通项公式； （2）若数列满足，是数列的前n项和，是否存在正实数，使不等式对于一切的恒成立？若存在请指出的取值范围，并证明；若不存在请说明理由． 58．（20-21高一下·四川自贡·期末）设函数，设，． （1）计算的值． （2）求数列的通项公式． （3）若，，数列的前项和为，若对一切成立，求的取值范围． 59．（20-21高一下·四川自贡·期末）设函数，设，． （1）求数列的通项公式． （2）若，，数列的前项和为，若对一切成立，求的取值范围． 60．（23-24高一下·四川达州·期末）设，是函数的图象上任意两点，若为，的中点，且的横坐标为． （1）求； （2）若，，求； （3）已知数列的通项公式（，），数列的前项和为，若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 分组求和 61．（22-23高二下·四川凉山·期末）已知数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 62．（22-23高二下·四川凉山·期末）已知数列的前项和为，则（    ） A．1012 B． C．2023 D． 63．（20-21高一下·四川成都·期末）等差数列中，则数列的前2021项和为（    ） A． B． C． D． 64．（21-22高一下·四川成都·期末）已知数列的通项公式为，Sn为数列的前n项和，则的值为（    ） A．672 B．1011 C．2022 D．6066 65．（20-21高一下·四川成都·期末）已知数列满足，为的前项和，则（    ） A． B． C． D． 66．（23-24高二下·四川宜宾·期末）已知数列满足：，点在直线上． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 67．（23-24高二下·四川成都·期末）已知数列是公差不为0的等差数列，是和的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和. 68．（20-21高一下·四川巴中·期末）已知数列满足，，令． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和． 周期和奇偶性求通项公式 69．（23-24高二下·四川·期末）已知数列满足，，则数列前2024项的积为（ ） A．4 B．1 C．     D． 70．（23-24高二下·四川成都·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”），参照“冰雹猜想”，提出了如下问题：设各项均为正整数的数列满足，若，则的取值可以为（    ） A．1 B．3 C．6 D．7 71．（23-24高二下·四川成都·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图，这就是数学史上著名的“冰霓猜想”（又称“角谷猜想”等）．已知数列满足：，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 72．（23-24高二下·四川南充·期末）在数列中，，，则（    ） A．2 B． C． D． 73．（22-23高三上·四川成都·期末）（多选）已知满足，，记的前n项和为，的前n项和为，则下列说法中不一定正确的是（    ） A．是等比数列 B．的通项公式为或 C．若，则 D．若，则为定值 74．（23-24高二下·四川绵阳·期末）（多选）某个足球俱乐部为了提高队员的进球水平，开展罚点球积分游戏，开始记0分，罚点球一次，罚进记2分，罚不进记1分．已知该俱乐部某队员罚点球一次罚进的概率为，罚不进的概率为，每次罚球相互独立．若该队员罚点球积分为的概率为.下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．积分为2分时的概率最大 75．（22-23高三上·四川·期末）已知数列满足：，则为 . 奇偶性和复杂数列求和 76．（23-24高二下·四川雅安·期末）数列满足，则 . 77．（23-24高二下·四川成都·期末）已知数列满足 ，若 为数列 的前 项和，则 78．（21-22高一下·四川·期末）已知在各项均不相等的等差数列中，，且，，成等比数列，数列中，，，． (1)求的通项公式； (2)求证：是等比数列，并求的通项公式； (3)设，求数列的前项的和． 79．（20-21高一下·四川成都·期末）已知等差数列中，，，数列满足，． （1）求，的通项公式； （2）记为数列的前项和，试比较与的大小； （3）任意，，求数列的前项和． 80．（21-22高一下·四川成都·期末）设数列的前项和为，且，数列满足，其中. (1)证明为等差数列，求数列的通项公式； (2)求数列的前项和为； (3)求使不等式，对任意正整数都成立的最大实数的值. 81．（21-22高一下·四川甘孜·期末）已知数列 ​， 前​项和为​， 满足​. (1)求数列 ​的通项公式; (2)若 ​， 求数列​的前​项和​; (3)对任意 ​， 使得​恒成立， 求实数​的最小值. 82．（20-21高一下·四川成都·期末）已知数列的前项和，其中． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，求数列的前项和； (3)若存在，使得成立，求实数的最小值． 新定义数列 83．（23-24高三上·四川绵阳·期末）（多选）对于数列，定义：，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，数列的前项和为，则 D．若，，则 84．（23-24高二下·四川绵阳·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图，这就是数学史上著名的“冰霓猜想”（又称“角谷猜想”等）．已知数列满足：，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 85．（23-24高二下·四川成都·期末）（多选）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，……．，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”．已知数列，，，（），记为数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 86．（23-24高一下·四川成都·期末）设数列，若，则称数列为“凸数列”，已知数列为“凸数列”，且，，则 ． 87．（23-24高二下·四川达州·期末）（多选）如果项数有限的数列满足，则称其为“对称数列”，设是项数为的“对称数列”，其中，，，是首项为，公差为的等差数列，则（    ） A．若，则 B．若，则所有项的和为 C．当时，所有项的和最大 D．所有项的和不可能为 88．（21-22高一下·四川成都·期末）对于数列，若从第二项起，每一项与它的前一项之差都大于或等于（小于或等于）同一个常数d，则叫做类等差数列，叫做类等差数列的首项，d叫做类等差数列的类公差. (1)若类等差数列满足，请类比等差数列的通项公式，写出数列的通项不等式（不必证明）； (2)若数列中，，. ①判断数列是否为类等差数列，若是，请证明，若不是，请说明理由； ②记数列的前n项和为，证明：. 89．（23-24高二下·四川南充·期末）给定数列，称为的差数列（或一阶差数列），称数列的差数列为的二阶差数列，若. (1)设的二阶差数列为，求的通项公式. (2)在（1）的条件下，设，求的前n项和为 90．（23-24高二下·四川成都·期末）约数，又称因数．定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数．设正整数共有个正约数，记作，，，，． (1)当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值； (2)当时，若，，，构成等比数列，求与满足的关系式（用和表示）； (3)记，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$