4.3角（6大题型提分练）数学湘教版2024七年级上册

4.3 角 题型一 角的概念及表示方法 1．有下列关于角的说法： ①两条射线组成的图形叫作角； ②角的边越长，角越大； ③在角一边的延长线上取一点D； ④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形． 其中正确的有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的定义，根据角的概念对各选项分析判断后利用排除法求解，熟练掌握有公共端点的两条射线组成的图形叫做角是解决此题的关键． 【详解】有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，故①错误，不符合题意； 角的大小与开口大小有关，角的边是射线，没有长短之分，故②错误，不符合题意； 角的边是射线，不能延长，故③错误，不符合题意； 角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，④正确，符合题意， ∴只有④一个选项正确， 故选：A． 2．下列语句正确的是（   ） A．一条直线可以看成一个平角 B．周角是一条射线 C．角可以看成是由一条射线旋转而成的 D．角是由两条有公共端点的射线组成的图形 【答案】D 【分析】本题考查角的概念，根据角的概念即可求出答案． 【详解】A选项，平角有一个顶点和两条边，所以一条直线不可以看成一个平角，故A选项错误； B选项，周角是一条射线绕着它的端点旋转一周所形成的角，故B选项错误； C选项，角可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形，故C选项错误； D选项，角是由两条有公共端点的射线组成的图形，故D选项正确． 故选：D． 3．如图，从点O出发的四条射线．可以组成角的个数为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了角的概念，熟练掌握知识点是解题的关键．根据角的概念，每一条射线都分别与其它的射线组成一个角，所以从点O出发的n条射线，可以组成角的个数为，据此求出从点O出发的四条射线可以组成角的个数为多少即可． 【详解】解：从点O出发的四条射线，可以组成角的个数为：， 故选：B． 4．如图，下列表示角的方法，错误的是（   ） A．与表示同一个角 B．也可用来表示 C．图中共有三个角： D．表示的是 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的概念，准确计算是解题的关键． 直接利用角的概念以及角的表示方法，进而分别分析得出即可； 【详解】和表示同一个角，正确，故A不符合题意； 不可以用表示，故B错误； 图是共有三个角：，，，正确，故A不符合题意； 表示的是，正确，故D不符合题意． 故选B． 5．下列图形中，能用，，三种表示方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是角的表示方法．根据角的表示方法逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：A、，是同一个角，不能用表示一个角，故不符合题意； B、不能用，表示，故不符合题意； C、，，三种表示方法可以表示同一个角，故符合题意； D、，两种表示方法可以表示同一个角，不能用表示一个角，故不符合题意； 故选：C． 6．如图，给出下列说法：①和是同一个角；②和是同一个角；③和是同一个角；④和不是同一个角．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了本题主要考查角的表示，熟练掌握角的表示方法是解题的关键； 根据角的表示方法逐项判断即可； 【详解】解：①和满足顶点相同，两边所在的射线相同．是同一个角，故原说法正确； ②和满足顶点相同，两边所在的射线相同．是同一个角，故原说法正确； ③和的顶点相同，两边所在的射线不相同．不是同一个角，故原说法错误； ④和的顶点不相同，两边所在的射线也不相同．不是同一个角，故原说法正确． 综上所述：说法正确的有三个． 故选：C． 7．请根据图回答下列问题． (1)表示成，表示成，表示成，这样的表示方法对不对？如果不对，应该怎样改正？ (2)图中哪个角可以用一个字母来表示？ (3)图中共有几个小于平角的角？请列举出来． 【答案】(1)表示方法不对，表示成，表示成，表示成 (2) (3)11个，列举见解析 【分析】（1）（2）根据角的表示方法进行求解即可； （3）只需要表示出小于180度的角即可． 【详解】（1）解：表示成，表示成，表示成，这样的表示方法不对，正确的表示方法为 表示成，表示成，表示成 （2）解：图中可以用一个字母表示的角为 （3）解：图中小于平角的角有 ∴一共有11个角小于平角． 【点睛】本题主要考查了角的表示方法，熟知角的表示方法是解题的关键． 题型二 角平分线与角的和差 8．根据题意填空 如图，点在直线上，平分，请说明平分的理由． 解：点在直线上， ∴_____°， ∵， ∴____， ____=____°， 又平分， ∴ （________________）， ∴ （____________________）． 【答案】；；；；角平分线定义；等量代换 【分析】本题考查了角平分线的定义、角的计算，根据定义求解即可． 【详解】点在直线上 ， 又平分 （角平分线定义） （等量代换） 故答案为：；；；；角平分线定义；等量代换． 9．如图，，是的平分线，是的平分线． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，熟练掌握在角的内部，把一个角分成相等的部分的射线叫这个角的角平分线是解题的关键． （1）根据角平分线的定义，即可求解； （2）根据角平分线的定义，可得，再由，即可求解． 【详解】（1）解：∵，是的平分线， ∴； （2）解：∵是的平分线．， ∴， ∵， ∴． 10．如图，平分，，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，熟练掌握角平分线的定义是解题关键．先设，则，，根据角平分线的定义可得，再根据可得，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．如图，点在直线上，射线与在直线的下方，射线与在直线的上方，且平分． (1)若，求的度数； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图形中角的计算，正确的识别图形是解题的关键； （1）根据平分，得出，再根据，即可求解； （2）设．根据平分表示出，得出，再根据平分，表示出，即可求解 【详解】（1）解：平分， ． ， ． （2）解：设． 平分， ， ． 平分， ， ． 题型三 角的单位与角度制 12．用度、分、秒表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了度分秒的换算，利用大单位化小单位乘以进率计算即可得解． 【详解】解：， 故选：C． 13．下列说法中，正确的是（   ） A． B． C．当时钟指向时，时针与分钟的夹角是 D．两个锐角的和一定是钝角 【答案】A 【分析】本题考查了角度的单位换算，钟面角，角的计算，根据度分秒换算可判断；根据钟面角可判断；根据角的和差可判断，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、当时钟指向时，时针与分钟的夹角是，该选项错误，不合题意； 、两个锐角的和可能是锐角、直角或钝角，该选项错误，不合题意； 故选：． 14．关于度、分、秒的换算． (1)用度表示； (2)用度表示； (3)用度、分、秒表示． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． （1）根据度分秒的进制，进行计算即可解答． （2）根据度分秒的进制，进行计算即可解答． （3）根据度分秒的进制，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．列竖式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角度的加减运算． （1）根据角度的加法法则计算即可．加法法则：度加度，分加分，秒加秒．满60秒向分进1，满60分向度进1． （2）根据角度的减法法则计算即可，减法法则：度减度，分减分，秒减秒．从低位算起，秒相减不够时向分借1分作60秒，分相减不够时向度借1度作60分． 【详解】（1）解：， ， 即； （2）解：， ， 即． 16．计算（ 结果用度、分、秒表示）． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查度，分，秒的计算，解题的关键是掌握，进行计算，即可． （1）根据，进行计算，即可； （2）根据，，进行计算，即可； （3）根据，，进行计算，即可； （4）根据，，进行计算，即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 题型四 角的大小比较 17．已知，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角度的比较大小，关键是将度、分、秒转化为统一形式．将转化为度的形式再与，比较，注意：，． 【详解】解：， ∵， ∴， 只有选项B符合． 故选：B． 18．对于如图所示的各个角，用“”、“”、“”填空： (1)___________； (2)___________； (3)___________； (4)___________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了角的大小比较，根据图形和角之间的关系即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）由题意得，， 故答案为：； （3）由题意得，， 故答案为：； （4）由题意得，， 故答案为：． 题型五 钟面角 19．如图所示，钟表上显示的时刻是点分，再过分钟，时针与分针所成的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角的知识，熟练掌握角的运算是解题的关键． 根据题意计算点分时针与分针所成的角，即可求解； 【详解】解：点分，再过分钟，就是点分， ， 故选：C 20.（1）时分时，时钟的时针与分针的夹角是多少度？时分时，时钟的时针与分针的夹角又是多少度？ （2）从时分到时分，时钟的分针与时针各转过了多少度？ （3）时钟的分针从时整的位置起，按顺时针方向旋转多少度时与时针第次重合？ 【答案】（）时分时，时针与分针的夹角是，时分时，时针与分针的夹角是；（）分针转过的角度是，时针转过的角度是；（）分针按顺时针旋转时与时针第一次重合． 【分析】（）根据分针每分钟走小格，时针每分钟走小格即可求解； （）根据钟表分针和时针每走一分钟度数即可求解； （）设经过分针可与时针第次重合（即追上时针），根据题意列出方程，然后解方程即可； 本题考查了钟表分针和时针所转过的角度计算，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：（）因为分针每分钟走小格，时针每分钟走小格， 所以时分时，时针与分针的夹角是， 时分时，时针与分针的夹角是． （）从时分到时分，，经过了， 所以分针转过的角度是， 时针转过的角度是； （）设经过分针可与时针第次重合（即追上时针）． 因为时整时针与分针的夹角是， 所以列方程得， 解得， 所以， 所以分针按顺时针旋转时与时针第一次重合． 题型六 余角、补角的有关问题 21．已知与互为补角． (1)若，则的度数为________； (2)若的余角比的三分之一多，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据补角的定义即可得出结论． （2）设，则的余角为，为，根据题意列出方程即可得出结论． 【详解】（1）解：因为与互为补角，所以． （2）解：设，则的余角为，为， 由题意得，             解得． 即． 【点睛】本题考查了余角和补角的定义，熟练掌握余角和补角的定义是解题关键． 22．已知： 直线与直线交于点 O， 过点 O 作 (1)如图 1， ，求 的度数； (2)如图 2， 在（1）的条件下， 过点 O 作 ，射线 平分 ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有与 互余的角． 【答案】(1) (2)，，， 【分析】本题主要考查了几何图中角度的计算，求角的余角，角平分线的有关计算等知识． （1）先利用平角的定义以及即可得出，进而可求出，由垂直的定义即可求出，最后根据角的和差关系即可得出答案． （2）根据互余两角的和为90度一一计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解：由（1）知， ∵， ∴和互余． ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵平分 ∴， ∴，，， 则和互余，和互余，和互余， 综上：与互余的角有，，，． 23．如图，直线、交于点，已知，    (1)分别写出的邻补角、余角； (2)若，试说明． 【答案】(1)的邻补角是的余角是 (2)见解析 【分析】本题主要考查了垂线的定义，几何图形中角度的计算，余角和邻补角的定义： （1）根据邻补角的定义和余角的定义求解即可； （2）由垂线的定义得到，则，进而得到，据此推出，即． 【详解】（1）解：由题意得，的邻补角是； ∵， ∴， ∴的余角是； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴，即． 24．如图，点O在直线上，与互余，射线平分． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)请你猜想和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算、互余，熟练掌握互余的定义是解题关键． （1）先根据互余的定义可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平角的定义求解即可得； （2）先根据互余的定义可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平角的定义求解即可得； （3）先根据互余的定义可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平角的定义即可得． 【详解】（1）解：与互余， ． ， ． 射线平分， ， ． （2）解：与互余， ． ， ． 射线平分， ， ． （3）解：．理由如下： 与互余， ， ． 射线平分， ， ． 25．如图，已知：平分，平分． (1)若， ①求出及其补角的度数； ②求出和的度数，并判断与是否互补； (2)若，则与是否互补？请说明理由． 【答案】(1)①，的补角的度数为；②，；与互补； (2)与不一定互补，理由见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，求一个角的补角度数，补角的定义，角平分线的定义等等： （1）①根据角的和差关系可求出的度数，进而可求出的补角的度数；②先求出的度数，再根据角平分线的定义分别求出的度数，再求出的度数即可得到结论； （2）根据角平分线的定义分别表示出的度数，再表示出的度数即可得到结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴的补角的度数为； ②∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴与互补； （2）解：与不一定互补，理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∴， ∵不一定为， ∴不一定为 ∴与不一定互补． 26．已知是直线上一点，在内，平分． (1)如图1，当时，的度数是________； (2)如图2，平分． ①试说明； ②若与互为补角，求的度数． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，补角的定义； （1）根据平角的定义可得，由角平分线的定义得到，则； （2）①由角平分线的定义得到，，则，进而得到，再求出，即可证明；②由（2）①得，，则，根据补角的定义得到，即可推出，则． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②由（2）①得，， ∴， ∵与互为补角， ∴， ∴， ∴， ∴． 27．【实践活动】如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放． （1）判断与的大小关系，并说明理由； （2）探索与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展探究】 （3）如图2，若，且，探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）∠ACE=∠BCD，理由见解析；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析；（3）∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析． 【分析】此题主要考查了角的计算，同角的余角相等，准确识图，理解同角的余角相等，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． （1）依题意得，，进而得，，然后根据同角的余角相等可得出答案； （2）由，得，，则，然而；据此可得与之间的数量关系； （3）先由得，进而得，据此可得与之间的数量关系． 【详解】解：（1），理由如下： 依题意得：，， ，， ． （2）与之间的数量关系：，理由如下： ，， ，， ， ， 又， ； （3）与之间的数量关系是：，理由如下： ，， 又， ， 即：， ． 28．已知，在下列各图中，点O为直线上一点，，直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)如图1，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方，则的度数为_________°，的度数为_________°； (2)如图2，三角板一边恰好在的角平分线上，另一边在直线的下方，此时的度数为_________°； (3)在图2中，延长线段得到射线，如图3，则的度数为_________°；与的数量关系是_________（填“”、“”或“”）； (4)将图1中的三角板绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为_________．（直接写出答案） 【答案】(1)， (2) (3)， (4)或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，角的运算以及角平分线的定义，解题关键：一是理解角平分线的定义，二是确定旋转到某一条件时旋转的度数． （1）利用两角互补，即可得出结论； （2）根据平分， 可得出，由可求得的度数； （3）根据直角三角板MON各角的度数以及图中各角的关系即能得出结论. （4）根据题中条件算出旋转到射线和射线的延长线恰好平分锐角时所旋转的度数，再除以速度即可得的值. 【详解】（1）解：∵，与互补， ∴， ∵， ∴. 故答案为：；； （2）解：∵三角板一边恰好在的角平分线上，， ， 又∵， ∴， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， 又∵， ∴ 故答案为： ；； （4）解：当直线恰好平分锐角，此时则从图中的位置旋转到射线恰好平分锐角时所旋转的度数为： ， ∵速度为每秒， ∴， 解得； 当射线的反向延长线恰好平分时， 此时旋转的角度为：， ∵速度为每秒， ∴， 解得； 故答案为：或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.3 角 题型一 角的概念及表示方法 1．有下列关于角的说法： ①两条射线组成的图形叫作角； ②角的边越长，角越大； ③在角一边的延长线上取一点D； ④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形． 其中正确的有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列语句正确的是（   ） A．一条直线可以看成一个平角 B．周角是一条射线 C．角可以看成是由一条射线旋转而成的 D．角是由两条有公共端点的射线组成的图形 3．如图，从点O出发的四条射线．可以组成角的个数为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．如图，下列表示角的方法，错误的是（   ） A．与表示同一个角 B．也可用来表示 C．图中共有三个角： D．表示的是 5．下列图形中，能用，，三种表示方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，给出下列说法：①和是同一个角；②和是同一个角；③和是同一个角；④和不是同一个角．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．请根据图回答下列问题． (1)表示成，表示成，表示成，这样的表示方法对不对？如果不对，应该怎样改正？ (2)图中哪个角可以用一个字母来表示？ (3)图中共有几个小于平角的角？请列举出来． 题型二 角平分线与角的和差 8．根据题意填空 如图，点在直线上，平分，请说明平分的理由． 解：点在直线上， ∴_____°， ∵， ∴____， ____=____°， 又平分， ∴ （________________）， ∴ （____________________）． 9．如图，，是的平分线，是的平分线． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 10．如图，平分，，且，求的度数． 11．如图，点在直线上，射线与在直线的下方，射线与在直线的上方，且平分． (1)若，求的度数； (2)若平分，求的度数． 题型三 角的单位与角度制 12．用度、分、秒表示为（　　） A． B． C． D． 13．下列说法中，正确的是（   ） A． B． C．当时钟指向时，时针与分钟的夹角是 D．两个锐角的和一定是钝角 14．关于度、分、秒的换算． (1)用度表示； (2)用度表示； (3)用度、分、秒表示． 15．列竖式计算： (1)； (2)． 16．计算（ 结果用度、分、秒表示）． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型四 角的大小比较 17．已知，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 18．对于如图所示的各个角，用“”、“”、“”填空： (1)___________； (2)___________； (3)___________； (4)___________． 题型五 钟面角 19．如图所示，钟表上显示的时刻是点分，再过分钟，时针与分针所成的角是（   ） A． B． C． D． 20.（1）时分时，时钟的时针与分针的夹角是多少度？时分时，时钟的时针与分针的夹角又是多少度？ （2）从时分到时分，时钟的分针与时针各转过了多少度？ （3）时钟的分针从时整的位置起，按顺时针方向旋转多少度时与时针第次重合？ 题型六 余角、补角的有关问题 21．已知与互为补角． (1)若，则的度数为________； (2)若的余角比的三分之一多，求的度数． 22．已知： 直线与直线交于点 O， 过点 O 作 (1)如图 1， ，求 的度数； (2)如图 2， 在（1）的条件下， 过点 O 作 ，射线 平分 ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有与 互余的角． 23．如图，直线、交于点，已知，    (1)分别写出的邻补角、余角； (2)若，试说明． 24．如图，点O在直线上，与互余，射线平分． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)请你猜想和之间的数量关系，并说明理由． 25．如图，已知：平分，平分． (1)若， ①求出及其补角的度数； ②求出和的度数，并判断与是否互补； (2)若，则与是否互补？请说明理由． 26．已知是直线上一点，在内，平分． (1)如图1，当时，的度数是________； (2)如图2，平分． ①试说明； ②若与互为补角，求的度数． 27．【实践活动】如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放． （1）判断与的大小关系，并说明理由； （2）探索与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展探究】 （3）如图2，若，且，探索与之间的数量关系，并说明理由． 28．已知，在下列各图中，点O为直线上一点，，直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)如图1，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方，则的度数为_________°，的度数为_________°； (2)如图2，三角板一边恰好在的角平分线上，另一边在直线的下方，此时的度数为_________°； (3)在图2中，延长线段得到射线，如图3，则的度数为_________°；与的数量关系是_________（填“”、“”或“”）； (4)将图1中的三角板绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为_________．（直接写出答案） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$