专题02 有理数的运算期末复习（5大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学上学期期末真题分类汇编（河南专用）

专题02 有理数的运算 题型一：有理数的综合计算 1．（23-24七年级上·河南郑州·期末）计算： (1)； (2)． 2．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）计算： (1)； (2)． 3．（23-24七年级上·河南新乡·期末）计算： (1)； (2)． 4．（23-24七年级上·河南林州·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（23-24七年级上·河南商丘·期末）计算： (1)； (2)． 6．（23-24七年级上·河南安阳·期末）计算： (1)． (2)． 7．（23-24七年级上·河南周口·期末）计算： (1)； (2)． 8．（23-24七年级上·河南南阳·期末）计算： (1)； (2)． 题型二：有理数运算的应用 9．（23-24七年级上·河南许昌·期末）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按照要求抽出卡片，完成下列问题． (1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上的数字的差最大，最大值是 ； (2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上的数字相除得到的商最小，最小值是 ； (3)从中抽取4张卡片，用学过的“加、减、乘、除、乘方”运算方法，使计算结果为24，该如何抽取？写出运算式子．（每个数字只能用一次，写出一种即可） 10．（23-24七年级上·河南周口·期中）我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆柱形木桩逐层堆积，形成“三角垛”，顶层记为第1层，有1根圆木桩；前2层有3根圆木桩；前3层有6根圆木桩， 往下依次是前4层、前5层如图，给出了前4层．若用表示前层的圆木桩数目，其中，则的值是 ． 11．（23-24七年级上·河南南阳·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2022年为例：天干为：；地支为：；对照天干地支表得出，2022年为农历壬寅年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2024年为农历 年． 12．（23-24七年级上·河南西平·期末）如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为，第2幅图中★的个数为，第3幅图中★的个数为，…，以此类推，第幅图中★的个数为，则 ． 13．（23-24七年级上·河南漯河·期中）小华有5张写着不同数的卡片如下，请你按要求抽出卡片，完成下列各题： (1)从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数乘积最大，最大值是______； (2)从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数相除的商最小，最小值是_____； (3)从中抽出4张卡片，用学过的运算方法使结果为30，写出一种运算式子． 14．（23-24七年级上·河南南阳·期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成有理数运算，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算．过程如图所示． (1)接力中，计算错误的学生是______； (2)请正确计算老师出示的算式． (3)计算：． 15．（23-24七年级上·河南信阳·期末）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着，，1，9，且任意相邻4个台阶上数的和都相等． 尝试： （1）前4个台阶上数的和是多少？ （2）第5个台阶上的数是多少？ 应用（3）求从下到上前31个台阶上数的和． 发现（4）试用含（为正整数）的式子表示出数“”所在的台阶数． 题型三：运算程序设计图 16．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则输出y值为1．若输出的y值为4，那么输入的x的值为（　　） A．10 B．10或1 C．10或3 D．10或3或1 17．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是7，第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，依次继续下去…，第2024次输出的结果是（    ） A．3 B．6 C．2 D．8 18．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）如图是一个运算程序：若第一次输入的值为8，则次输出的结果是（   ）    A．4 B．2 C．1 D．0 19．（23-24七年级上·河南南阳·期末）2023年杭州亚运会应用了大量航天技术，实现不同场馆的信息集成以保证零失误．可想而知，其中的程序设计多么复杂．现在请同学们体会一个小小的程序，如图，若开始的值为96，第一次得到的结果是48，第2次得到的结果是24，……则第2023次得到的数是（    ） A．3 B．6 C．8 D．4 20．（22-23七年级上·河南开封·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为10，则第1次输出的结果为5，第2次输出的结果为8，……，第2023次输出的结果为 ． 21．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图是一个运算程序框图，认真观察框图并计算，当输出结果是7时，输入x的值为 ． 22．（22-23七年级上·河南郑州·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为30，第一次得到的结果为15，第二次得到的结果为24，……，请你探索第2023次得到的结果为 ． 23．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）下面是一个“数值转换机”的示意图，当，时，输出的数为 ． 24．（23-24七年级上·河南夏邑·期末）有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入的值是5，可发现第一次输出的结果是8，第二次输出的结果是4……，请你探索第2011次输出的结果是 ． 25．（23-24七年级上·河南辉县·期末）有一个数值转换器，原理如图，若开始输入x的值是5，可发现第一次输出的结果是8，第二次输出的结果是4，……．请你探索第2023次输出的结果是 ．    题型四：新定义新运算 26．（23-24七年级上·河南新乡·期末）一列数，，，…，，其中则，，，…，，则的值为（    ） A． B． C．2020 D． 27．（23-24七年级上·河南原阳·期末）已知整数，，，，…，若满足，，，，…，依次类推，则的值为（    ） A．1009 B．1010 C．1011 D．1012 28．（23-24七年级上·河南南阳·期末）是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则（   ） A． B． C． D． 29．（23-24七年级上·河南驻马店·期中）已知整数，，，，，……，满足下列条件：，，，，…，以此类推，的值为（    ） A． B． C． D． 30．（23-24七年级上·河南洛阳·期末）对于任意有理数，定义新运算“”：，例如：，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．27 31．（23-24七年级上·河南新乡·期末）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如．现定义，例如，则 ． 32．（23-24七年级上·河南南阳·期末）若符号表示两数中较大的一个数，符号表示两数中较小的一个数，则计算的结果是 ． 33．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）定义一种对正整数的“运算”：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取，则运算过程如图所示．那么当时；第2023次“运算”的结果是 ． 34．（23-24七年级上·河南柘城·期末）一个两位数的十位上的数字是，个位上的数字是，我们把十位上的数字与个位上的数字的和叫做这个两位数的“衍生数”，记作，即，如现有个两位数和，且满足，则 ． 35．（23-24七年级上·河南南阳·期末）现用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．例如：．则 ． 题型五：材料理解 36．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）探究规律，完成相关题目 小明说：“我在有理数内定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： 小红看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？请完成以下问题： (1)归纳*（加乘）运算的运算法则： 两数进行*（加乘）运算时，__________ 特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，或任何数和0进行*（加乘）运算，__________ (2)计算：__________．（括号的作用与有理数运算中的作用一致） (3)我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的*（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在*（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可） (4)若有理数满足等式，则的值为__________． 37．（23-24七年级上·河南周口·期末）定义：若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个数互为“奇妙数”．如：有理数与5，因为，所以与5互为“奇妙数”． (1)判断与是否互为“奇妙数”，并说明理由； (2)若有理数与互为“奇妙数”，与互为相反数，求代数式的值； (3)对于有理数且，设的“奇妙数”为；的倒数；的“奇妙数”为；的倒数为；……；依次按如上的操作，得到一组数．当时，求的值． 38．（23-24七年级上·河南郑州·期末）【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．比加，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作：，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：　　； （2）若n为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有 ；（横线上填写序号） A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数 C．圈n次方等于它本身的数是1或 D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）请把有理数的圈n（）次方写成幂的形式： ； （4）计算：． 39．（23-24七年级上·河南尧山·期末）观察下列三个等式：，，，我们称使等式成立的一对有理数a，b为“有趣数对”，记为，例如数对，，都是“有趣数对”，请回答下列问题： (1)数对是“有趣数对”吗？试说明理由． (2)若是“有趣数对”，求a的值． (3)若是“有趣数对”，求的值． 40．（23-24七年级上·河南信阳·期末）若有理数满足，则称“”为“等效有理数对”，如：“2，2”，因为，所以“2，2”是“等效有理数对”． (1)直接判断：“”______“等效有理数对”；（填“是”或者“不是”） (2)若“”是“等效有理数对”，求的值； (3)已知“”是“等效有理数对”，求代数式的值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 有理数的运算 题型一：有理数的综合计算 1．（23-24七年级上·河南郑州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（23-24七年级上·河南新乡·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)31；(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（23-24七年级上·河南林州·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 5．（23-24七年级上·河南商丘·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．（23-24七年级上·河南安阳·期末）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)0 (2)26 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 7．（23-24七年级上·河南周口·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【详解】（1）解： （2）． 8．（23-24七年级上·河南南阳·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型二：有理数运算的应用 9．（23-24七年级上·河南许昌·期末）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按照要求抽出卡片，完成下列问题． (1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上的数字的差最大，最大值是 ； (2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上的数字相除得到的商最小，最小值是 ； (3)从中抽取4张卡片，用学过的“加、减、乘、除、乘方”运算方法，使计算结果为24，该如何抽取？写出运算式子．（每个数字只能用一次，写出一种即可） 【答案】(1)12 (2) (3) 【详解】（1）解：2张卡片上的数字的差最大，则被减数最大，减数最小即可，选5和， ∴， 故答案为：12． （2）解：2张卡片上的数字相除得到的商最小，找符号不同的，选1和， ∴， 故答案为：． （3）解：选这四张卡片，． 10．（23-24七年级上·河南周口·期中）我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆柱形木桩逐层堆积，形成“三角垛”，顶层记为第1层，有1根圆木桩；前2层有3根圆木桩；前3层有6根圆木桩， 往下依次是前4层、前5层如图，给出了前4层．若用表示前层的圆木桩数目，其中，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：由图可得： ， ， ， …， ， ， 故答案为：． 11．（23-24七年级上·河南南阳·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2022年为例：天干为：；地支为：；对照天干地支表得出，2022年为农历壬寅年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2024年为农历 年． 【答案】甲辰 【详解】解：由题意，得：天干为：，地支为：， ∴2024年为农历甲辰年； 故答案为：甲辰． 12．（23-24七年级上·河南西平·期末）如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为，第2幅图中★的个数为，第3幅图中★的个数为，…，以此类推，第幅图中★的个数为，则 ． 【答案】 【详解】解：第1幅图中★的个数为， 第2幅图中★的个数为， 第3幅图中★的个数为， ， 以此类推，第n幅图中★的个数为； ， ， ， ， 以此类推，可知， ∴ ， 故答案为：． 13．（23-24七年级上·河南漯河·期中）小华有5张写着不同数的卡片如下，请你按要求抽出卡片，完成下列各题： (1)从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数乘积最大，最大值是______； (2)从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数相除的商最小，最小值是_____； (3)从中抽出4张卡片，用学过的运算方法使结果为30，写出一种运算式子． 【答案】(1) (2) (3)方法不唯一，如可选取，，，这四张卡片； 【详解】（1）解：∵要找乘积最大的就要找符号相同且乘积数值最大的数， ∴选取和这两张卡片，则； 故答案为：； （2）解：∵张卡片上数字相除的商最小就要找符号不同，且分母的绝对值越小越好，分子的绝对值越小大越好； ∴选取和这两张卡片，则； 故答案为：； （3）解：选取，，，这四张卡片，则． 14．（23-24七年级上·河南南阳·期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成有理数运算，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算．过程如图所示． (1)接力中，计算错误的学生是______； (2)请正确计算老师出示的算式． (3)计算：． 【答案】(1)小明和小强 (2)，见解析 (3) 【详解】（1），小明计算错误； ，小强计算错误； ，小兰计算正确； 故答案为：小明和小强； （2）解： （3）解： 15．（23-24七年级上·河南信阳·期末）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着，，1，9，且任意相邻4个台阶上数的和都相等． 尝试： （1）前4个台阶上数的和是多少？ （2）第5个台阶上的数是多少？ 应用（3）求从下到上前31个台阶上数的和． 发现（4）试用含（为正整数）的式子表示出数“”所在的台阶数． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）数“1”所在的台阶数为 【详解】解：（1）前4个台阶上数的和是； （2）因为任意相邻4个台阶上数的和都相等，所以第5个台阶上的数与第1个台阶上的数相同，即 （3）根据题意，得台阶上的数每4个一循环，且循环的4个数的和为3．因为，所以从下到上前31个台阶上数的和为； （4）数“1”所在的台阶数为． 题型三：运算程序设计图 16．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则输出y值为1．若输出的y值为4，那么输入的x的值为（　　） A．10 B．10或1 C．10或3 D．10或3或1 【答案】B 【详解】解：∵开始输入，则输出y值为1 ∴ ， 解得， 令， 解得：， 令， ， 解得或（舍去） 综上所述，或． 故选：B 17．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是7，第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，依次继续下去…，第2024次输出的结果是（    ） A．3 B．6 C．2 D．8 【答案】B 【详解】解：由题知，第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6， 为偶数，， 第3次输出的结果是3， 为奇数，， 第4次输出的结果是8， 为偶数，， 第5次输出的结果是4， 为偶数，， 第6次输出的结果是2， 为偶数，， 第7次输出的结果是1， 为奇数，， 第8次输出的结果是6， 综上可知，除第1次外，剩下的输出结果6个一循环，且循环规律为6、3、8、4、2、1， ， 第2024次输出的结果是6． 故选：B． 18．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）如图是一个运算程序：若第一次输入的值为8，则次输出的结果是（   ）    A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【详解】解：第一次输入的值为8，则第一次输出结果为：， 第二次输入的值为4，第二次输出结果为：， 第三次输入的值为2，第三次输出结果为：， 第四次输入的值为1，第四次输出结果为：， 第五次输入的值为4，第五次输出结果为：， 第六次输入的值为2，第六次输出结果为：， 第七次输入的值为1，第七次输出结果为：， 即输出结果以4，2，1为一组循坏， ∵， ∴次输出的结果是4， 故选：A． 19．（23-24七年级上·河南南阳·期末）2023年杭州亚运会应用了大量航天技术，实现不同场馆的信息集成以保证零失误．可想而知，其中的程序设计多么复杂．现在请同学们体会一个小小的程序，如图，若开始的值为96，第一次得到的结果是48，第2次得到的结果是24，……则第2023次得到的数是（    ） A．3 B．6 C．8 D．4 【答案】D 【详解】解：第一次得到的结果是48， 第2次得到的结果是24， 第3次得到的结果是， 第4次得到的结果是， 第5次得到的结果是， 第6次得到的结果是， 第7次得到的结果是， 第8次得到的结果是， 第9次得到的结果是， 第10次得到的结果是， 第11次得到的结果是， 从第4次开始每6次一个循环， ∵， ∴第2023次得到的数是4； 故选D． 20．（22-23七年级上·河南开封·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为10，则第1次输出的结果为5，第2次输出的结果为8，……，第2023次输出的结果为 ． 【答案】2 【详解】第1次输出的结果为， 第2次输出的结果为， 第3次输出的结果为， 第4次输出的结果为， 第5次输出的结果为， 第6次输出的结果为， 第7次输出的结果为， 第8次输出的结果为， …， ∴从第3次开始输出的结果为4，2，1循环， ∵， ∴第2023次输出的结果与第4次输出的结果相同， ∴第2023次输出的结果为2， 故答案为：2． 21．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图是一个运算程序框图，认真观察框图并计算，当输出结果是7时，输入x的值为 ． 【答案】4或 【详解】解：分两种情况，当输入x的值大于2时： ， 即， 解得； 当输入x的值小于或等于2时： ， 解得； 综上可知，输入x的值为4或． 故答案为：4或． 22．（22-23七年级上·河南郑州·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为30，第一次得到的结果为15，第二次得到的结果为24，……，请你探索第2023次得到的结果为 ． 【答案】6 【详解】解：由题意得，第一次得到的结果为15， 第二次得到的结果为24， 第三次得到的结果为12， 第四次得到的结果为6， 第五次得到的结果为3， 第六次得到的结果为12， … ∴可知从第三次输出结果开始，每三次输出结果为一个循环， ∵， ∴第2023次的输出结果和第四次的输出结果相同，为6， 故答案为：6． 23．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）下面是一个“数值转换机”的示意图，当，时，输出的数为 ． 【答案】 【详解】解：根据示意图得， 当，时，． 故答案为：． 24．（23-24七年级上·河南夏邑·期末）有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入的值是5，可发现第一次输出的结果是8，第二次输出的结果是4……，请你探索第2011次输出的结果是 ． 【答案】1 【详解】解：发现第二次输出的结果是4 为偶数，所以第三次输出的结果为2，第四次为1，第五次为4，第六次为2，…，可得出规律：从第二次开始每三次一个循环， ， ∴第2011次输出的结果是1． 故答案为：1． 25．（23-24七年级上·河南辉县·期末）有一个数值转换器，原理如图，若开始输入x的值是5，可发现第一次输出的结果是8，第二次输出的结果是4，……．请你探索第2023次输出的结果是 ．    【答案】1 【详解】解：第一次输出：， 第二次输出：， 第三次输出：， 第四次输出：， 第五次输出：， 第六次输出：， …… 从第二次开始，每3次为一循环，按照4，2，1的顺序进行循环， ∵， ∴第2023次输出的结果是第674组的第3个数， ∴第2023次输出的结果是1， 故答案为：1． 题型四：新定义新运算 26．（23-24七年级上·河南新乡·期末）一列数，，，…，，其中则，，，…，，则的值为（    ） A． B． C．2020 D． 【答案】A 【详解】解：∵， ， ， ， ∴这列数是、、、、、、，发现这列数每三个循环， ∵，且， ∴， 故选：A． 27．（23-24七年级上·河南原阳·期末）已知整数，，，，…，若满足，，，，…，依次类推，则的值为（    ） A．1009 B．1010 C．1011 D．1012 【答案】C 【详解】解：，， ，， ，， 可以发现：第偶数个数的结果是序数的一半，与后一个奇数个数的结果相等， ∴ ∴， 故选：C． 28．（23-24七年级上·河南南阳·期末）是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推， ， ， ， ， ， 综上所述，每三项是一个循环，即，，，其中为自然数， ， ， 故选：A． 29．（23-24七年级上·河南驻马店·期中）已知整数，，，，，……，满足下列条件：，，，，…，以此类推，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， …， 由此可以看出，这列数是0，，，，，，，，，…， ， ， 故选：B． 30．（23-24七年级上·河南洛阳·期末）对于任意有理数，定义新运算“”：，例如：，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．27 【答案】C 【详解】解：， 故选：C． 31．（23-24七年级上·河南新乡·期末）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如．现定义，例如，则 ． 【答案】 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 32．（23-24七年级上·河南南阳·期末）若符号表示两数中较大的一个数，符号表示两数中较小的一个数，则计算的结果是 ． 【答案】 【详解】符号表示两数中较大的一个数， 符号表示两数中较小的一个数， 故答案为：． 33．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）定义一种对正整数的“运算”：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取，则运算过程如图所示．那么当时；第2023次“运算”的结果是 ． 【答案】8 【详解】解：由题意可得， 当时， 第1次“F运算”的结果是， 第2次“F运算”的结果是， 第3次“F运算”的结果是， 第4次“F运算”的结果是， 第5次“F运算”的结果是， …， 由上可得，从第2次开始，奇数次为8，偶数次为1， ∵2023次是奇数， 故第2023次“F运算”的结果是8， 故答案为：8． 34．（23-24七年级上·河南柘城·期末）一个两位数的十位上的数字是，个位上的数字是，我们把十位上的数字与个位上的数字的和叫做这个两位数的“衍生数”，记作，即，如现有个两位数和，且满足，则 ． 【答案】或 【详解】解：记的个位数和十位数分别为、，记的个位数和十位数分别为、， ， ，或者，， ①， ②， 故答案为：或． 35．（23-24七年级上·河南南阳·期末）现用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．例如：．则 ． 【答案】6 【详解】解：． 故答案为：6． 题型五：材料理解 36．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）探究规律，完成相关题目 小明说：“我在有理数内定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： 小红看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？请完成以下问题： (1)归纳*（加乘）运算的运算法则： 两数进行*（加乘）运算时，__________ 特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，或任何数和0进行*（加乘）运算，__________ (2)计算：__________．（括号的作用与有理数运算中的作用一致） (3)我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的*（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在*（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可） (4)若有理数满足等式，则的值为__________． 【答案】(1)同号得正，异号得负，并把绝对值相加；等于这个数的绝对值 (2) (3)加法的交换律仍然适用，结合律不适用，例子见解析 (4) 【详解】（1）解：归纳（加乘）运算的运算法则： 两数进行（加乘）运算时，同号得正、异号得负，并把绝对值相加．特别地，0和任何数进行（加乘）运算，或任何数和0进行（加乘）运算，都得这个数的绝对值， 故答案为：同号得正、异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值． （2）解： ， 故答案为：； （3）解：加法的交换律仍然适用， 例如：，， ∴， 故加法的交换律仍然适用． 结合律不适用， 举例：，， ∴， ∴结合律不适用． （4）解：∵， ∴， 故答案为：． 37．（23-24七年级上·河南周口·期末）定义：若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个数互为“奇妙数”．如：有理数与5，因为，所以与5互为“奇妙数”． (1)判断与是否互为“奇妙数”，并说明理由； (2)若有理数与互为“奇妙数”，与互为相反数，求代数式的值； (3)对于有理数且，设的“奇妙数”为；的倒数；的“奇妙数”为；的倒数为；……；依次按如上的操作，得到一组数．当时，求的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3) 【详解】（1）解：是，理由如下： ∵，， ∴； 故与互为“奇妙数”； （2）∵与互为“奇妙数”，与互为相反数， ∴，， ∴ ； （3）当，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴这组数6个为一组进行循环， ∵， ∴． 38．（23-24七年级上·河南郑州·期末）【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．比加，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作：，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：　　； （2）若n为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有 ；（横线上填写序号） A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数 C．圈n次方等于它本身的数是1或 D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）请把有理数的圈n（）次方写成幂的形式： ； （4）计算：． 【答案】（1）1；（2）ABD；（3）；（4） 【详解】解：（1）由题意可得，， 故答案为：1； （2）A．因为，所以任何非零数的圈2次方都等于1，正确； B．因为，所以任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，正确； C．圈n次方等于它本身的数是1或，说法错误，； D．根据新定义以及有理数的乘除法法则可知，负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，正确； 故答案为：ABD； （3）， 故答案为：； （4）解： ． 39．（23-24七年级上·河南尧山·期末）观察下列三个等式：，，，我们称使等式成立的一对有理数a，b为“有趣数对”，记为，例如数对，，都是“有趣数对”，请回答下列问题： (1)数对是“有趣数对”吗？试说明理由． (2)若是“有趣数对”，求a的值． (3)若是“有趣数对”，求的值． 【答案】(1)数对不是“有趣数对”，理由见解析 (2) (3) 【详解】（1）解：不是，理由如下， ∵，，， ∴数对不是“有趣数对”， （2）解：∵是“有趣数对”， ∴ 解得：； （3）解：∵是“有趣数对” ∴， 即， ∴ 40．（23-24七年级上·河南信阳·期末）若有理数满足，则称“”为“等效有理数对”，如：“2，2”，因为，所以“2，2”是“等效有理数对”． (1)直接判断：“”______“等效有理数对”；（填“是”或者“不是”） (2)若“”是“等效有理数对”，求的值； (3)已知“”是“等效有理数对”，求代数式的值． 【答案】(1)是 (2) (3) 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴“”是“等效有理数对”， 故答案为：是； （2）解：∵“”是“等效有理数对”， ∴， 解得； （3）解：∵“”是“等效有理数对”， ∴， ∴ ． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$