清单04 二次函数综合题清单（12个题型98题）（期末复习知识清单）九年级数学上学期冀教版

清单04 二次函数综合题清单 一、y=ax2的图象和性质 1．（24-25九年级上·河北保定·期中）抛物线与抛物线具有的相同的性质是（　　） A．开口向上 B．开口向下 C．有最高点 D．对称轴是y轴 2．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）二次函数与反比例函数的交点个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24九年级上·河北·阶段练习）当时，函数的最大值与最小值的和为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知，，是抛物线上的点，则（  ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·河北唐山·阶段练习）关于抛物线，给出下列说法：①抛物线开口向下，顶点是原点；②当时，y随x的增大而减小；③点，，在抛物线上，则；④若，是该抛物线上两点，则．其中正确的说法有 (     ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25九年级上·河北张家口·期中）已知二次函数图象上有两个不同点、，则 ． 7．（23-24九年级上·河北张家口·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、．若抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是 ．    二、y=ax2 +k的图象和性质 8．（23-24九年级上·河北邯郸·期末）抛物线与的图像的不同之处是（    ） A．开口方向 B．对称轴 C．顶点坐标 D．形状 9．（10-11九年级下·北京西城·期末）将抛物线绕原点O旋转，则旋转后抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 11．（2024·河北秦皇岛·一模）若二次函数图象的顶点坐标为，则在图中，反比例函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，抛物线经过正方形的三个顶点，，，点在轴上，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 13．（17-18九年级上·河北承德·期中）如图，若抛物线与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k，则反比例函数的图象是（    ） A． B． C． D． 14．（22-23九年级下·河北张家口·期末）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知二次函数和反比例函数的图像如图所示，它们围成的阴影部分（包括边界）的整点个数为5，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 三、y=（x-h）2的图象和性质 15．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）已知二次函数，那么它的图象大致为（     ） A． B． C． D． 16．（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）已知，为抛物线上的两点，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，抛物线的顶点在x轴的正半轴上，过点且平行于x轴的直线l与抛物线交于A，B两点，点．若四边形是菱形，则a和h的值分别为（　　） A．，11 B．，11 C．， D．， 18．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知抛物线经过点，．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：的值为9； 结论Ⅱ：若，则的取值范围是 A．结论Ⅰ、Ⅱ都对 B．结论Ⅰ、Ⅱ都不对 C．只有结论Ⅰ对 D．只有结论Ⅱ对 19．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）已知二次函数（为常数），当时，函数最大值为0；当自变量满足时，其对应函数的最大值为，则的值为 ． 20．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)该抛物线是由抛物线经过怎样的平移得到的？ (3)当在什么范围内时，随的增大而减小？ 四、y=a（x-h）2 k的图象和性质 21．（24-25九年级上·河北沧州·期中）下列关于二次函数的说法，正确的是（　　） A．图象的对称轴是直线 B．图象向右平移3个单位则变为 C．当时，有最大值 D．当时，y随x的增大而增大 22．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）已知，为抛物线上两点，且，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 23．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）有下列四个函数： ①；②；③；④．其中图象经过如图所示阴影部分（包括边界）的函数有（   ） A．①② B．①③④ C．②③ D．②③④ 24．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）下表中所列的，的对值是二次函数的图象上的点所对应的坐标： 若，是该函数图象上的两点，根据表中信息，以下论断正确的是（　　） A．当时， B．当时， C．该函数的最小值为 D．当，时（为常数）， 25．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）对于题目：当时，关于x的二次函数有最大值4，求实数m的值． 嘉嘉说：m的值为2，淇淇说：m的值为，笑笑说：m的值为．下列说法正确的是（    ） A．笑笑的答案正确 B．嘉嘉与淇淇的答案合到一起才正确 C．笑笑与嘉嘉的答案合到一起才正确 D．他们三个的答案合到一起才正确 26．（2024·河北邯郸·三模）已知，，为三个常数，且二次函数的图象经过，两点．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：的值可能为； 结论Ⅱ：点在二次函数图象上，若，则满足条件的点有两个 A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 27．（2024·河北石家庄·模拟预测）如图，点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动．与x轴交于C、D两点（C在D的左侧）， （1） ； （2）若点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为 ． 五、y=ax2 +bx+ c的图象和性质 28．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知二次函数的图象开口向上，则“□”可能是（    ） A． B． C． D．5 29．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）已知点是抛物线上的点，则（   ） A． B． C． D． 30．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，已知的半径为3，圆心始终在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的坐标为 ． 31．（24-25九年级上·河北张家口·期中）如图，正方形的顶点，在拋物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，，关于，之间的关系，甲的结论：，乙的结论：．则正确的是（   ） A．甲乙均错 B．甲乙均对 C．甲错乙对 D．甲对乙错 32．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知抛物线：及直线：，针对b的不同取值，三人的说法如下． 甲：若，则和交点的个数为0． 乙：若，则和交点的个数为1． 丙：若，则和交点的个数为1． 下列判断正确的是（  ） A．甲、乙错，丙对 B．甲、丙对，乙错 C．甲、乙对，丙错 D．乙、丙对，甲错 33．（24-25九年级上·河北沧州·期中）已知二次函数，当时，y的值恒大于1，则m的取值范围（　　） A． B． C． D． 34．（24-25九年级上·河北张家口·期中）已知二次函数 (1)求此二次函数图象的对称轴； (2)当时，y的最大值为m，最小值为n，且，求a的值． 35．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知二次函数． (1)直接写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)请补全表格，并在如图所示的平面直角坐标系中描出表中各点，画出图象； x 0 1 2 3 y 0 (3)根据图象回答下列问题：   ①当时，x的取值范围为 ； ②当时，y的取值范围为： ； ③当(k是常数)时，y随x的增大而减小，实数k的取值必须满足条件： ； x 0 1 2 3 y 0 36．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究． [经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出，求二次函数的最小值． ①请你写出对应的函数表达式； ②求当x取何值时．函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们求出对应的函数在x取何值时，函数y有最小值．记录结果，并整理成下表： a … 0 2 4 … x … * 0 2 4 … y的最小值 … * 0 … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．” （2）请结合函数表达式，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 六、多种函数图象的综合判断 37．（24-25九年级上·河北沧州·期中）正比例函数和二次函数的图象一致的是（   ） A． B． C． D． 38．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 39．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（    ） A．B． C． D． 40．（2019·河北石家庄·一模）如图，抛物线（常数），双曲线.设与双曲线有个交点的横坐标为，且满足，在位置随变化的过程中，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 41．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，是二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象．嘉嘉：当时，、均随的增大而减小；琪琪：若，，则．对于他俩的说法，正确的是（   ） A．嘉嘉正确，琪琪错误 B．嘉嘉错误，琪琪正确 C．他俩都正确 D．他俩都错误 42．（2024·河北邯郸·三模）函数与函数的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点，，，其中a为常数，令，则p的值为（    ） A．1 B．a C． D． 43．（2024·河北邯郸·二模）我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点，如图，抛物线：与（m是常数）围成的封闭区域（边界除外）内整点的个数不能是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 44．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）函数与的图象如图所示，当x的取值范围为 时，均随着x的增大而减小． 45．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，已知直线过定点M，与抛物线交于A、B两点，其中点A、B分别在第二、第一象限，过点M的另一条直线交y轴于点N．求点M的坐标和直线的解析式． 七、二次函数实际应用--动图问题 46．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，在菱形中，，点从点出发，沿方向匀速运动，过点作交菱形的另一边于点，设点的运动路程为，的面积为，则与之间的函数图象可能为（    ） A． B． C． D． 47．（2024·河北石家庄·三模）如图1，，在矩形中，是边上的一个动点，交于点，设，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 48．（2024·河北唐山·模拟预测）如图，正六边形的边长为，P是对角线上一动点，过点P作直线l与垂直，动点P从B点出发且以的速度匀速平移至E点．设直线l扫过正六边形区域的面积为，点P的运动时间为，下列能反映S与t之间函数关系的大致图象是（    ） A． B． C． D． 49．（2024·河北石家庄·二模）如图所示，和均为边长为4的等边三角形，点从点运动到点的过程中，和相交于点，和相交于点，为纵坐标，点移动的距离为横坐标，则与关系的图象大致为（    ） A． B． C． D． 50．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图所示，已知在平面直角坐标系，点A的坐标为，点B在x轴上，且，动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P，Q移动的时间为t秒． (1)求点B的坐标； (2)当t为何值时，与相似？ (3)求的面积S与t之间的函数关系式？并求当t为何值时S最大？ 51．（2024·河北保定·二模）如图1，一块矩形电子屏中，G为上一感应点，，动点P为一光点，当光点在光带上运动时，会与感应点发生反应，照亮以为边的正方形区域．因发生故障，只有光带和正常工作，，光点P以每秒1个单位的速度从C点出发，沿匀速运动，到达点B时停止．设光点P的运动时间为t秒，照亮的正方形区域的面积为S．图2为P点在运动过程中S与t的函数图像，其中点Q表示P点运动到B点时情形． (1)时，照亮的区域面积______，并求a值． (2)当点P经过M点又运动4秒时，照亮区域的面积达到了最小，已知此时S是t的二次函数． ①求出点P在线段上运动时S关于t的函数解析式； ②点P从开始运动到停止的整个过程中，直接写出t为何值时，照亮区域的面积S为17． 八、二次函数实际应用--图形问题 52．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为．则的最大值为（   ） A． B． C． D． 53．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）如图，在等边的边上分别取点D，E，F，使，连接，，． 结论Ⅰ：当时，的面积取得最小值； 结论Ⅱ：若点O是的外心，则它一定也是的外心．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 54．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，在菱形中，，，点、、、分别在菱形的四条边上，且，连接，，，得到四边形． (1)设四边形的面积为，，求与的函数关系式； (2)当为何值时，四边形的面积最大，最大值是多少？ 55．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）在“美丽乡村”建设中，某村施工人员想利用如图所示的直角墙角，再用米长的篱笆围成一个矩形花园，如果所在两面墙体均足够长，设米，花园的面积为y平方米． (1)求y与x的函数关系式； (2)求矩形花园面积的最大值，及此时的长； (3)若位于图中的点P处有一颗古树，且点P到墙体的距离分别是8米、米，现要求古树P与篱笆的距离不小于2米，（2）中矩形的花园面积的最大值会改变吗？如果不变，请说明理由，如果改变，求出最大值． 56．（24-25九年级上·河北唐山·期中）某学习小组在学习了函数及函数图象的知识后，想利用此知识来探究周长一定时，矩形的面积与边长函数关系式的图象．请将他们的探究过程补充完整． (1)列函数表达式：若矩形的周长为8，设矩形的一边长为，面积为，则有_____； (2)上述函数表达式中，自变量的取值范围是_____； (3)列表： x … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 … y … 1.75 3 3.75 4 3.75 3 m … 写出_____； (4)画图：在平面直角坐标系中已描出了上表中部分各对应值为坐标的点，请你画出该函数的图象．请你根据以上过程猜想矩形面积的最大值应是_____．用所学的函数知识验证你的猜想． 57．（2024·河北邯郸·三模）在矩形中，的长度为a，的长度为，将矩形进行如图所示顺序的折叠，第三步折叠后，点C与点D的对应点分别为，． (1)①若点落在点下方，则 ；（用含a，b的代数式表示） ②若点，重合，求的值； (2)如果b的值保持不变，改变a的值，且点始终落在点下方．若四边形的面积的最大值为3，求b的值 九、二次函数实际应用--营销问题 58．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）某公司购进一种商品进行销售，经过市场调研，整理出这种商品在第天的售价与日销售量的相关信息如下表所示，且得到在第天的日销售利润（元）与的关系为．已知这种商品的进价为20元/千克． 时间/天 售价/（元/千克） 日销售量/千克 (1)求时，日销售利润与的函数关系式； (2)在时，第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ (3)公司在销售的前28天中，每销售1千克这种商品就捐赠元给“希望工程”，若每天扣除捐赠后的日销售利润随时间的增大而增大，直接写出的整数值． 59．（2024·河北邯郸·模拟预测）一家图文广告公司制作的宣传画板颇受商家欢迎，这种画板的厚度忽略不计，形状均为正方形，边长在之间．每张画板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：）成正比例，每张画板的出售价y（单位：元）是画板的边长x的一次函数．在营销过程中得到了表格中的数据． 画板的边长 8 10 出售价y（元/张） 148 160 (1)求一张画板的出售价y与边长x之间满足的函数关系式； (2)已知出售一张边长为的画板，获得的利润为130元（利润出售价成本价）， ①求一张画板的利润与边长之间满足的函数关系式； ②当边长为多少时，出售一张画板所获得的利润最大？最大利润是多少？ 60．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）某商店销售一种成本为30元/千克的水产品，若按40元/千克销售，一个月可售出500千克，经调查知每涨价1元，月销售量就减少10千克，设售价为x（单位：元/千克），月销售利润为y（单位：元）． (1)请求出月销售利润y与售价x之间的函数解析式； (2)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使月销售利润达到8000元，售价应为多少元？ (3)当售价为多少元时会获得最大利润，并求出最大利润的值． (4)月销售利润不低于8750元时，直接写出售价x 的取值范围． 61．（2024·河北秦皇岛·一模）某水果店包装一种果篮需要A，B两种水果，A种水果的单价比B种水果单价少2元，若用600元购进A种水果和用800元购进B种水果数量一样多，包装一盒果篮需要A种水果4斤和B种水果2斤，每盒还需包装费8元．市场调查发现：设每盒果篮的售价是x元（x是整数），该果篮每月的销量y（盒）与售价x（元）的关系式为：． (1)求一盒果篮的成本（成本进价包装费）； (2)若每月的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）； (3)若每盒果篮的售价不超过m元（m是大于70的常数，且是整数），直接写出每月的最大利润． 62．（2024·河北保定·一模）某厂一种农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图11所示）；该产品的总销售额z（万元）＝预售总额（万元）＋波动总额（万元），预售总额＝每件产品的预售额（元）×年销售量x（万件），波动总额与年销售量x的平方成正比，部分数据如下表所示．生产出的该产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获年毛利润为w万元（年毛利润＝总销售额－生产费用） 年销售量x（万件） … 20 40 … 总销售额z（万元） … 560 1040 … (1)求y与x以及z与x之间的函数解析式； (2)若要使该产品的年毛利润不低于1000万元，求该产品年销售量的变化范围； (3)受市场经济的影响，需下调每件产品的预售额（生产费用与波动总额均不变），在此基础上，若要使2025年的最高毛利润为720万元，直接写出每件产品的预售额下调多少元． 63．（23-24九年级下·河北沧州·阶段练习）生活中处处是数学，某同学借助某企业的生产情境编制了一道数学题，请解答这道题． 某企业计划每天生产甲、乙两种品牌的电器分别为30台和20台，且当天生产的电器均能在市场上售出，根据市场调查反馈，在一段时间内乙电器的需求量较大，该企业决定在保持日生产总量不变的条件下，每天增加生产乙电器x台．这样发现：日销售两种电器的总利润W（元）与x（台）满足如下函数关系式：，在生产销售过程中，还可以获得如下数据： x（台） 5 10 W（元） 16250 16000 (1)求a，b的值； (2)若在生产过程中，每台电器均可以节约m元（m为整数）的成本，设此时日销售总利润为Q（元），该企业的财务部门经过核算发现：当Q大于17220元时，有3种不同的生产方案，求m的值． （1）根据表格数据代入，计算即可求解； （2）根据题意得出，进而根据当大于元时，有种不同的生产方案，即当，，时，利润不少于元，得出，即可求解． 64．（23-24九年级上·河北唐山·期末）某商店出售一款商品，已知该商品的进价为40元/件，日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足关系式为：．该商品的销售单价、日销售量、日销售利润的部分对应数据如下表：[注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价）] 销售单价x（元） 75 78 日销售量y（件） a 120 日销售利润w（元） 5250 b (1)根据以上信息可知：表中a的值是________，b的值是________． (2)求该商品日销售利润的最大值． (3)由于某种原因，该商品进价降低了m元/件（），该商店在今后的销售中，商店规定该商品的销售单价不低于68元，日销售量与销售单价满足的函数关系式保持不变，若日销售最大利润是6600元，直接写出m的值． 65．（23-24九年级上·河北保定·期末）某农户要改造部分农田种植蔬菜.经调查，改造农田费用（元）与改造面积（亩）成正比，比例系数为900，添加辅助设备费用（元）与改造面积（亩）的平方成正比，比例系数为18，以上两项费用三年内不需再投入；每亩种植蔬菜还需种子、人工费用600元.这项费用每年均需再投入．除上述费用外，没有其他费用.设改造x亩，每亩蔬菜年销售额为m元． (1)设改造当年收益为y元，用含x，m的式子表示y； (2)按前三年计算，若，是否改造面积越大收益越大?改造面积为多少时，可以得到最大收益？ (3)按前三年计算，若，当收益不低于43200元时，求改造面积x的取值范围？ (4)若，按前三年计算，能确保改造的面积越大收益也越大，求m的取值范围，注：收益=销售额-（改造费+辅助设备费+种子、人工费）． 十、二次函数实际应用--实物建模问题 66．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）某拱桥的主桥拱近似地看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则 ，主桥拱最高点与其在水中倒影点之间的距离为 米． 67．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是拋物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离（单位：）近似满足函数关系的图象，点在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形， （1）________； （2）可判定货车________完全停到车棚内（填“能”或“不能”）． 68．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，一名运动员在距离篮圈中心的为（水平距离）远处跳起投篮． 已知篮球运行的路线为抛物线，球出手时离地面的高度为，当球水平运行时到达离地面的最大高度． 若篮圈中心距地面． (1)以地面为x轴，建立平面直角坐标系，使最高点坐标为，在图中补画y轴，求抛物线的解析式； (2)通过计算说明篮球能否投中篮圈中心． 69．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）在平面直角坐标系中，从原点O向右上方沿抛物线L发出一个小球P，当小球P达到最大高度3时，小球P移动的水平距离为2． (1)求抛物线L的函数解析式； (2)求小球P在x轴上的落点坐标； (3)在x轴上的线段处，竖直向上摆放着若干个无盖儿的长方体小球回收箱，已知，且每个回收箱的宽、高分别是、，当小球P恰好能落入回收箱内（不含边缘）时，求竖直摆放的回收箱的个数． 70．（2024·河北邢台·模拟预测）嘉琪同学经常运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网高度，球网与y轴的水平距离，，击球点在y轴上．若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系：． (1)求二次函数表达式； (2)本次吊球能否过网？并说明理由； (3)通过对本次训练进行分析，若吊球路线的形状、最大高度均保持不变，直接写出他应该向正前方移动______米吊球，才能让羽毛球经过点C正上方处． 71．（2024·河北邯郸·二模）如图，在平面直角坐标系中，从原点的正上方8个单位处向右上方发射一个小球，小球在空中飞行后，会落在截面为矩形的平台上（包括端点），把小球看作点，其飞行的高度与飞行的水平距离满足关系式．其中，，． (1)求的值； (2)求的取值范围； (3)若落在平台上的小球，立即向右上方弹起，运动轨迹形成另一条与形状相同的拋物线，在轴有两个点、，且，，从点向上作轴，且．若沿抛物线下落的小球能落在边（包括端点）上，求抛物线最高点纵坐标差的最大值是多少？ 72．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）【项目式学习】 项目主题：合理设计  智慧泉源 项目背景：为美化校园，学校计划增设环形喷泉池，并在池边安装LED发光地砖灯．围绕这个问题，某数学学习小组开展了“合理设计智慧泉源”为主题的项目式学习． 任务一  测量建模 （1）如图1，在水平地面上的喷泉池中心有一个喷头，它向四周喷出的水柱为抛物线．经过测量，喷水口距离地面米，在距池中心水平距离1米处，水柱达到最高，高度为3米．学习小组根据喷泉的实景进行抽象，以池中心为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，画出如图2所示的函数图象，求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式（不需写自变量的取值范围）； 任务二  设计方案 （2）喷水池的俯视图如图3所示．若要求喷泉水不落到喷水池外，喷水池半径至少多少米？ 73．（2024·河北沧州·二模）消防车中的高喷消防车，采用曲臂加伸缩结构，顶端装有消防炮．在一次模拟高层建筑起火救援中，以大楼起火侧面所在直线为y轴，地面为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，已知消防炮喷水口A距离地面35米，距离大楼起火侧面20米，喷出的水柱是抛物线的一部分． (1)写出水柱最高处B距离地面的高度，并求a的值； (2)目前火焰不断从第17层窗口窜出，若每层楼高2.9米，窗台高度为0.9米，窗顶距离该层地面高度为2.4米，此时水柱能否射入该层窗口？ (3)火势已经向上蔓延到距离地面55米处，高喷消防车最后一节伸缩臂按原来方向（与水平方向夹角约为）伸长了米，喷射的水柱形状不变，为阻止火势进一步蔓延，直接写出d的值．（结果保留根号，伸缩臂伸长时间忽略，） 74．（2024·河北石家庄·模拟预测）为打造旅游休闲城市，某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河边打造喷水景观（如图1）．为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图2是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面AB的坡比为（其中），当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离地平面距离的最大值为3米． 以O为原点建立平面直角坐标系，解决问题： (1)求水柱所在抛物线的解析式； (2)出于安全考虑，在河道的坝边A处安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明理由； (3)河中常年有水，但一年中河水离地平面的距离会随着天气的变化而变化，水柱落入水中能荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上； ①河水离地平面距离为多少时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处？ ②为保证水柱的落水点始终在水面上，决定安装可上下伸缩的喷水口，设坝中水面离地平面距离为h米，喷水口离地平面的最小高度m随着h的变化而变化，直接写出m与h的关系式． 十一、二次函数综合问题 75．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，抛物线与x轴交于B两点，点C，D在该抛物线上，其横坐标分别为：m，，分别过点C，D作y轴的垂线，垂足分别为P，Q，以，为边构造矩形．设L被矩形截得的部分图象（包括边界）记为G． (1)求b的值和L的对称轴； (2)当点P在L上时，求的长； (3)若图象G只呈上升走势或下降走势，结合图象直接写出m的取值范围． 76．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，抛物线与直线交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)点P是y轴右侧的抛物线上一个动点，过点P作轴于点E，交直线于点F．若点P的横坐标为m，设线段的长度为y，求y与m之间的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围； (3)在（2）的条件下，是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 77．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，已知二次函数的图像与轴的交点为点和点，与轴交于点，连接． (1)求这个二次函数的表达式； (2)是位于第一象限内的抛物线上一点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (3)取抛物线的一部分记为，将沿轴向下移动个单位长度得到，若与直线只有一个交点，直接写出的取值范围． 78．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线，． (1)求抛物线的解析式； (2)为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的平行线与直线交于点． 嘉嘉说：当点与点重合时，长最大；琪琪说：当点的横坐标为1时，的面积为6．请选择其中一人的说法进行说理． 79．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与x轴的交点为点和点B，与y轴交于点，连接． (1)求这个二次函数的解析式； (2)位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得的面积最大？若存在，求出此时点D的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由； (3)取抛物线的一部分（）记为W，将W沿y轴向下移动k个单位长得到，若与直线只有一个交点，直接写出k的取值范围． 80．（2024·河北石家庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，x轴正半轴的交点为点B，其中点A的坐标为，且，连接． (1)分别求出直线和抛物线的解析式． (2)若抛物线的顶点为点E，求的面积． (3)P是下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点C，过点P作轴于点D．求的最大值． 81．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点． (1)求二次函数的解析式； (2)若在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标． 82．（2024·河北邯郸·二模）如图，中，，，点，，抛物线L：的顶点为M，与y轴交点为N． (1)抛物线有可能经过点A吗？请说明理由； (2)设点N的纵坐标为，直接写出与t的函数关系式，并求的最大值； (3)在L的位置随t的值变化而变化的过程中，直接写出点M在内部所经过路线的长． 83．（23-24九年级上·河北张家口·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点为、，（点在点的左侧），顶点为． (1)求的长； (2)若以为顶点的三角形为直角三角形，求的值； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，若抛物线在点之间的部分与线段所围成的区域内（不包括边界）恰有1个整点，结合函数的图象，直接写出的取值范围． 84．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于点A，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上一个动点，过点P作轴于点H，与线段交于点M． (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，若，求的面积． (3)如图2，若是以为底边的等腰三角形时，求线段的长． (4)已知Q是直线上一点，在（3）的条件下，直线上是否存在一点K，使得以Q，M，C，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由． 85．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，点，在该抛物线上，其横坐标分别为，，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，以，为边构造矩形．设被矩形截得的部分图象（包括边界）记为． (1)求的值和的对称轴； (2)当点在上时，求的长； (3)是否存在，使的顶点在边上，若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)若图象只呈上升走势或下降走势，结合图象直接写出的取值范围． 86．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线W：与x轴交于和两点． (1)求抛物线W的解析式． (2)如图，将抛物线绕点N旋转后得到抛物线，抛物线与x轴交于另一点Q． ①直接写出点Q的坐标和抛物线的解析式． ②利用①中的结论，当时，求抛物线的最大值和最小值． (3)P为抛物线 W上的一个动点，点P的横坐标为，以点P为中心作正方形，，且轴． ①当抛物线落在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，求m的取值范围． ②正方形的边与抛物线只有两个交点，且交点的纵坐标之差为时，请直接写出m的值． 87．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，抛物线与抛物线交于点，且分别与y轴交于点D，E，过点B作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点A，C． (1)直接写出a，m的值； (2)嘉嘉说：可由向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到． 琪琪说：无论x为何值，恒小于0． 请选择其中一人的说法进行说理； (3)推断以A，D，C，E为顶点的四边形是哪种特殊的四边形，并直接写出抛物线与在该四边形内部（包括边界）的部分的整点（横、纵坐标都为整数）个数； (4)作直线，将直线向下平移个单位长度后得到直线l，直线l与抛物线相交，直接写出直线l与抛物线有三个交点时n的值． 88．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）已知：抛物线：；抛物线：（其中为常数），顶点为． (1)①直接写出的对称轴． ②当时，此时点和点在上， 则______（填“”、“”或“”）． (2)设的顶点坐标为，用含的式子分别表示和；并写出的最大值． (3)当时， ①抛物线是由抛物线沿直线翻折得到，写出的值． ②把抛物线向左平移个单位得到抛物线，求抛物线和抛物线的交点坐标； ③将抛物线向左平移个单位（）得到新的抛物线，设新的抛物线和的交点为和，点是线段的中点，则点的横坐标为______（直接用含的式子表示）． 89．（2024·河北邯郸·三模）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究（）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中，． 【基础训练】 （1）①请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程： ， ； ②抛物线上的动点P到它的焦点之间距离最小值为 ． 【技能训练】 （2）如图2，已知抛物上一点（）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标； 【能力提升】 （3）如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l．直线m：，过抛物线上P点作x轴垂线，交直线m于点Q，，，当时，请直接写出P点横坐标x的取值范围． 【拓展延伸】 该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线（）平移至（）．坐标系内有一定点，直线l过点．且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l：的距离． 请阅读上面的材料，探究下题： （4）如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点，当取最小值时，请直接写出最小值及此时的面积． 90．（2024·河北邯郸·二模）抛物线：与直线：交于、两点，且．    (1)求和的值（用含的代数式表示）； (2)当时，抛物线与轴的另一个交点为． ①求的面积； ②当时，则的取值范围是_________． (3)抛物线：的顶点，求出与的函数关系式；当为何值时，点达到最高． (4)在抛物线和直线所围成的封闭图形的边界上把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当时，直接写出“美点”的个数_________． 十二、二次函数临近点问题 91．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，关于甲、乙两人的说法，下列判断正确的是（   ） 甲：关于x的一元二次方程的解为，； 乙：已知点，，将函数图象向上平移m个单位长度，若平移后的函数图象与线段只有一个公共点，m的取值范围为 A．甲、乙的都正确 B．甲、乙的都不正确 C．只有甲的正确 D．只有乙的正确 92．（2024九年级·河北·学业考试）如图，正方形的顶点坐标分别为，，．抛物线经过点D，顶点坐标为，将此抛物线在正方形内(含边界)的部分记为图象G．若直线与图象G有唯一交点，则k的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 93．（24-25九年级上·河北沧州·期末）已知抛物线，其中m是常数，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．给出下列4个结论：①不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；②不论m为何值，该抛物线与y轴一定交于正半轴；③抛物线上有一个动点P，满足的点有3个时，则；④若时，则；其中，正确的结论个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 94．（24-25九年级上·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，将横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知抛物线与x轴的交点为A，B． （1） 线段AB上的整点个数为 ； （2） 抛物线在点A，B之间的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）整点个数为 ． 95．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，抛物线与直线交于点，，且点在轴上． (1)求和的值； (2)结合图像写出关于的不等式的解集； (3)已知点在抛物线上，若针对的不同取值，点的个数始终为2，求的取值范围． 96．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，将点向右平移5个单位长度，得到点C． (1)直接写出点C的坐标，并求抛物线的对称轴； (2)若通过计算判断l的顶点与直线的位置关系； (3)若l与线段恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围． 97．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，抛物线（，为常数）经过点和点，已知点，，线段MN上方有两个台阶，每个台阶的高、宽都是1． (1)求抛物线的解析式，并直接写出其对称轴和顶点坐标． (2)判断抛物线是否经过点M，并说明理由． (3)若线段MN带动台阶以每秒2个单位长度的速度沿某一方向平移，设平移的时间为t秒． ①若平移后，台阶上的拐点（即点C，D，E，F）中有一个恰好与抛物线的顶点重合，请直接写出哪个拐点与抛物线的顶点重合时对应的t值最小，并求出该最小值． ②若台阶从初始位置竖直向下平移，当台阶与抛物线有公共点时，直接写出的取值范围． 98．（2023·河北张家口·模拟预测）已知，抛物线经过点，． (1)求抛物线的对称轴； (2)平移抛物线，使其顶点在直线上，设平移后的抛物线的顶点的横坐标为m． ①抛物线的顶点的纵坐标为______（用含m的代数式表示）； ②抛物线与y轴交点坐标为，求n的最大值． (3)如图，在中，点D坐标为，，在（2）的条件下，抛物线与有公共点，直接写出m的取值范围． 试卷第2页，共145页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！38 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 二次函数综合题清单 一、y=ax2的图象和性质 1．（24-25九年级上·河北保定·期中）抛物线与抛物线具有的相同的性质是（　　） A．开口向上 B．开口向下 C．有最高点 D．对称轴是y轴 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，是基础知识，需熟练掌握．抛物线是最简单二次函数形式．顶点是原点，对称轴是y轴，时，开口向上；时，开口向下． 根据二次函数的性质分析即可． 【详解】抛物线的开口向上，对称轴为轴，有最低点； 抛物线开口向下，对称轴为轴，有最高点； 故抛物线与相同的性质是对称轴都是轴， 故选：D． 2．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）二次函数与反比例函数的交点个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数和反比例函数图象和性质，熟练掌握二次函数和反比例函数图象和性质是解题的关键． 根据二次函数和反比例函数的图象位置，画出图象，直接判断交点个数． 【详解】解：∵二次函数的图象在第一、二象限，开口向上，顶点在原点，y轴是对称轴；反比例函数的图象在第一、三象限， 故两个函数的交点只有一个，且在第一象限， 故选：A． 3．（23-24九年级上·河北·阶段练习）当时，函数的最大值与最小值的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据函数解析式得出抛物线的对称轴，抛物线开口向下，对称轴为直线，即轴，函数有最大值，距离对称轴越远，函数值越小，由此可解，能够根据二次函数解析式判断出抛物线的开口方向、对称轴是解题的关键． 【详解】解：由二次函数可知，对称轴为直线，即轴，， ∴当时，二次函数有最大值， 由，根据距离对称轴越远，函数值越小， ∴当时，有最小值， ∴当时，函数的取值范围为， ∴最大值与最小值的和为， 故选：． 4．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知，，是抛物线上的点，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，分别求出时的值，即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，是抛物线上的点， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∵， ∴， 故选：D． 5．（23-24九年级上·河北唐山·阶段练习）关于抛物线，给出下列说法：①抛物线开口向下，顶点是原点；②当时，y随x的增大而减小；③点，，在抛物线上，则；④若，是该抛物线上两点，则．其中正确的说法有 (     ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 直接根据二次函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：∵中二次项的系数为 ∴抛物线开口向下，对称轴为轴，顶点为原点，故①正确； ∵抛物线开口向下，顶点为原点， ∴当时，在抛物线的左边，y随x的增大而增大； 当时，在抛物线的右边，y随x的增大而减小； ∴当时，在抛物线的右边，y随x的增大而减小，故②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为轴， ∴当点离对称轴越远，其函数值越小； ∵，，， ∴， ∴点离对称轴最远，其次为点，点离对称轴最近， ∴，故③错误； ∵，是该抛物线上两点， ∴两点关于轴对称， ∴即，故④正确， 综上，正确的说法有①②④．共有3个． 故选：C． 6．（24-25九年级上·河北张家口·期中）已知二次函数图象上有两个不同点、，则 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质．根据解析式可得对称轴为y轴，再由P、Q两点的纵坐标相同可得、关于对称轴对称，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数对称轴为y轴， ∵二次函数 图象上有两个不同点、， ∴、关于对称轴对称， ∴， 故答案为：． 7．（23-24九年级上·河北张家口·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、．若抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是 ．    【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题． 【详解】解：∵正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、． ∴， 当抛物线经过点时，则， 当抛物线经过时，， 观察图象可知，抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是， 故答案为：． 二、y=ax2 +k的图象和性质 8．（23-24九年级上·河北邯郸·期末）抛物线与的图像的不同之处是（    ） A．开口方向 B．对称轴 C．顶点坐标 D．形状 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图像、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数的性质，可以写出两个函数的相同之处和不同之处，即可解答本题． 【详解】解：由题意得函数与的图象的对称轴都是轴， ∵， ∴两个函数开口都向下，形状一样，而函数的顶点坐标为，函数的顶点坐标为， 故选：C． 9．（10-11九年级下·北京西城·期末）将抛物线绕原点O旋转，则旋转后抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出原抛物线的顶点坐标，再根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求得旋转后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式求解即可． 【详解】解：的顶点坐标为， ∵抛物线绕原点O旋转， ∴旋转后的抛物线的顶点坐标为， ∴旋转后的抛物线的解析式为， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化是解题的关键． 10．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】根据顶点坐标，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为：， ∴顶点坐标在y轴的负半轴， 由图可知，坐标原点只可能是点M． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质及二次函数的图象，确定二次函数图象的顶点坐标是解题的关键． 11．（2024·河北秦皇岛·一模）若二次函数图象的顶点坐标为，则在图中，反比例函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数与反比例函数图象的综合应用，先求解，再结合图象可得答案． 【详解】解：∵二次函数图象的顶点坐标为， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象在二、四象限， ∵当时，， ∴过， ∴对应的图象是， 故选D 12．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，抛物线经过正方形的三个顶点，，，点在轴上，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，正方形的性质，完全平方公式，先得出点，根据正方形的性质得点．再把点代入，得出，整理出，结合，则，即可作答． 【详解】解：依题意当时，则， ∴点， 四边形为正方形，， 则， 点． 将点代入中， 得． ， ． ， ， ， 的最小值为4． 故选：D． 13．（17-18九年级上·河北承德·期中）如图，若抛物线与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k，则反比例函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找到函数图象与x轴、y轴的交点，得出抛物线与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点的个数，从而得到，即可得出答案． 【详解】解∶对于， 当时，，当时，， ∴抛物线与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点为，共4个， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，， ∴反比例函数图象过点． 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数图象和性质、反比例函数的图象，解决本题的关键是求出k的值． 14．（22-23九年级下·河北张家口·期末）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知二次函数和反比例函数的图像如图所示，它们围成的阴影部分（包括边界）的整点个数为5，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断的图像上或下方第一象限内的整点个数，结合反比例函数图像与二次函数图像围成的区域（包括边界）的整点个数为5，画出图形，从而可得答案． 【详解】解：如图，当时，， ∴在的图像上， ∵当时，； 当时，； ∴在第一象限内，在二次函数的图像上和图像下方的整点有6个， 坐标为、、、、，． ∵，，且在反比例函数的图像上和上方的整点有5个， ∴整点不在区域内， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查的是反比例函数的图像与性质，二次函数的图像与性质，利用数形结合的方法解题是关键． 三、y=（x-h）2的图象和性质 15．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）已知二次函数，那么它的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， ∵， ∴开口向上，故B正确． 故选：B． 16．（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）已知，为抛物线上的两点，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由解析式知抛物线开口向下，对称轴，可判断点与对称轴的距离较点与对称轴的距离远，于是． 【详解】解：抛物线的对称轴为：直线， ∵， ∴抛物线开口向下． ∵， ∴点与对称轴的距离较点与对称轴的距离远． ∴． 故选：B 【点睛】本题考查二次函数的性质，根据对称轴及点坐标判断点与对称轴距离的大小关系是解题的关键． 17．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，抛物线的顶点在x轴的正半轴上，过点且平行于x轴的直线l与抛物线交于A，B两点，点．若四边形是菱形，则a和h的值分别为（　　） A．，11 B．，11 C．， D．， 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，菱形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，设与y轴交于点D，首先根据菱形的性质得到，然后由勾股定理求出，进而得到，，然后根据二次函数的对称性求出对称轴为直线，得到，然后将代入即可求出． 【详解】如图所示，设与y轴交于点D ∵ ∴ ∵四边形是菱形 ∴ ∵过点且平行于x轴的直线l与抛物线交于A，B两点， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴对称轴为直线 ∴ ∴将代入得， 解得． 故选：A． 18．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知抛物线经过点，．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：的值为9； 结论Ⅱ：若，则的取值范围是 A．结论Ⅰ、Ⅱ都对 B．结论Ⅰ、Ⅱ都不对 C．只有结论Ⅰ对 D．只有结论Ⅱ对 【答案】A 【分析】将代入即可求出t的值，根据题意求出点关于对称轴对称的点是，进而求解即可. 【详解】将代入得，，故结论Ⅰ正确； ∵对称轴为 ∴点关于对称轴对称的点是， ∵抛物线中二次项系数， ∴抛物线开口向上， ∴若，则的取值范围是，故结论Ⅱ正确． 综上所述，结论Ⅰ、Ⅱ都对． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 19．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）已知二次函数（为常数），当时，函数最大值为0；当自变量满足时，其对应函数的最大值为，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，先根据二次函数的性质得到当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，再分若，则当时，y最大，若，则当时，y最大，若，则最大值为0，三种情况根据最大值为进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数（h为常数）当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， 若，则当时，y最大，即，解得（舍去），； 若，则当时，y最大，即，解得，（舍去）； 若，则最大值为0，与题意不符； 由上可得，h的值是6或1． 故答案为：6或1． 20．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)该抛物线是由抛物线经过怎样的平移得到的？ (3)当在什么范围内时，随的增大而减小？ 【答案】(1)抛物线解析式为； (2)抛物线是由抛物线向左平移个单位； (3)当时，随的增大而减小． 【分析】（）根据对称轴，可得的值，根据抛物线过点，可得值； （）根据顶点式，即可说明需要移动的单位和方向； （）根据函数图象及函数的增减性回答即可； 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即抛物线解析式为， ∵过点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：由（）得：抛物线解析式为， ∴抛物线是由抛物线向左平移个单位长度得到的； （3）由（）得：抛物线解析式为， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，随的增大而减小． 四、y=a（x-h）2 k的图象和性质 21．（24-25九年级上·河北沧州·期中）下列关于二次函数的说法，正确的是（　　） A．图象的对称轴是直线 B．图象向右平移3个单位则变为 C．当时，有最大值 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及二次函数的图象平移，掌握二次函数的图象性质和二次函数的图象平移规律是解题的关键． 根据二次函数的性质和平移的规律对各选项分析判断即可求解． 【详解】解：由二次函数可知： A、对称轴为直线，故此选项不符合题意； B、把二次函数的图象向右平移3个单位得到函数为，即，故此选项不符合题意； C、∵，开口向上，对称轴为直线，∴当时有最小值是；故此选项不符合题意； D、∵，开口向上，对称轴为直线，∴当时，y随x的增大而增大，故此选项符合题意； 故选：D． 22．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）已知，为抛物线上两点，且，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查的是抛物线的性质，掌握“抛物线的增减性”是解本题的关键． 由抛物线，对称轴为直线，可得当时，随的增大增大，从而可得答案． 【详解】解：∵抛物线，，对称轴为直线， ∴抛物线开口向下， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴， 故选：B． 23．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）有下列四个函数： ①；②；③；④．其中图象经过如图所示阴影部分（包括边界）的函数有（   ） A．①② B．①③④ C．②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题综合考查一次函数，反比例函数，二次函数的图象与性质．根据阴影部分顶点坐标，结合函数图象，作出判断即可． 【详解】解：①的图象经过、两点，如图1， ②的图象经过、两点，如图2， ③的图象经过、两点，如图3， ④的图象开口向下，顶点为，经过点，，如图4． ∴图象经过如图所示阴影部分(包括边界)的函数有②③④． 故选：D． 24．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）下表中所列的，的对值是二次函数的图象上的点所对应的坐标： 若，是该函数图象上的两点，根据表中信息，以下论断正确的是（　　） A．当时， B．当时， C．该函数的最小值为 D．当，时（为常数）， 【答案】D 【分析】本题主要考查了从表格中获取信息，二次函数的图象与性质，轴对称的性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键． 观察表格中的数据，，，，可知抛物线开口向上，在对称轴左边，随的增大而减小，在对称轴的右边，随的增大而增大，据此即可判断出选项，错误；当和时，的值都是，所以对称轴为直线，顶点的纵坐标的值为最小值，由表中数据可知，最小值不是，故选项错误；根据可知这两个点关于对称轴对称，所以，故选项正确．由此即可得出答案． 【详解】解：根据表格中的数据可得：抛物线开口向上，在对称轴左边，随的增大而减小，在对称轴的右边，随的增大而增大，故选项，错误，不符合题意； 根据表格可知，抛物线的对称轴为直线，顶点的纵坐标的值为最小值，最小值不是，故选项错误，不符合题意； ， 这两个点关于对称轴对称， ， 故选项正确，符合题意； 故选：． 25．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）对于题目：当时，关于x的二次函数有最大值4，求实数m的值． 嘉嘉说：m的值为2，淇淇说：m的值为，笑笑说：m的值为．下列说法正确的是（    ） A．笑笑的答案正确 B．嘉嘉与淇淇的答案合到一起才正确 C．笑笑与嘉嘉的答案合到一起才正确 D．他们三个的答案合到一起才正确 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的最值，熟悉二次函数的性质及图象是解题的关键，注意分类讨论． 联系已知条件，根据对称轴的位置，需分情况讨论求解，可分，和这三种情况，分别进行讨论，求出相应的m的值，问题就可得解． 【详解】解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线， ①时，时二次函数有最大值，此时， 解得，与矛盾，故m值不存在； ②当时，时，二次函数有最大值， 此时， 解得，(舍去)； ③当时，时二次函数有最大值，此时，， 解得， 综上所述，m的值为2或， 故选：B． 26．（2024·河北邯郸·三模）已知，，为三个常数，且二次函数的图象经过，两点．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：的值可能为； 结论Ⅱ：点在二次函数图象上，若，则满足条件的点有两个 A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，根据二次函数的对称性确定出对称轴的范围，即可判断Ⅰ；根据二次函数图象上点的坐标特征判断点不是抛物线的顶点，函数的最大值大于，即可判断Ⅱ，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵图象经过、两点，， ∴对称轴在到之间，故结论Ⅰ不正确； ∵图象经过、两点，，对称轴为直线， ∴点不是抛物线的顶点，函数的最大值大于8， ∴点满足条件的点有两个，故结论Ⅱ正确； 故选：． 27．（2024·河北石家庄·模拟预测）如图，点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动．与x轴交于C、D两点（C在D的左侧）， （1） ； （2）若点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为 ． 【答案】 4 8 【分析】本题主要考查二次函数的平移及性质，先得出抛物线的顶点坐标为：，结合顶点在线段上运动可得；当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为，根据此时抛物线的对称轴和对称性，可判断出此时D点横坐标为5；当抛物线顶点在线段的最右端点处，此时点D的横坐标有最大值，结合平移，可判断出D点横坐标最大值． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为：， ∵顶点在线段上运动，点A，B的坐标分别为和， ∴，， 当点C的横坐标最小值为时，抛物线顶点在线段的最左端点处， 即对称轴为， 此时D点横坐标为5， 当抛物线顶点在线段的最右端点处，此时点D的横坐标有最大值， 此时顶点向右平移了与线段等长的距离， ∵，平移前D点横坐标为5， ∴平移后D点横坐标为：， 此时D点横坐标最大，故点D的横坐标最大值为8． 故答案为：4，8． 五、y=ax2 +bx+ c的图象和性质 28．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知二次函数的图象开口向上，则“□”可能是（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次项系数决定了开口方向，大于零开口向上，小于零开口向下． 【详解】解：设“□”为， ∵二次函数的图象开口向上， ∴为大于0的实数， 则D选项符合题意， 故选：D． 29．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）已知点是抛物线上的点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线解析式可得对称轴为直线，开口向下，进而得到抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越大，据此即可判断求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为直线，抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越大， ∴， 故选：． 30．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，已知的半径为3，圆心始终在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，二次函数的图象与性质，由题意可得点的纵坐标为，分两种情况求解即可． 【详解】解：∵与轴相切，的半径为3， ∴点到轴的距离为， ∴点的纵坐标为， 当时，， 解得：或， 此时的坐标为或， 当时，， 解得：， 此时的坐标为， 综上所述，圆心的坐标为或或， 故答案为：或或． 31．（24-25九年级上·河北张家口·期中）如图，正方形的顶点，在拋物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，，关于，之间的关系，甲的结论：，乙的结论：．则正确的是（   ） A．甲乙均错 B．甲乙均对 C．甲错乙对 D．甲对乙错 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像是解题的关键．分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为，证明，将坐标表示出来，列出等式即可得到答案． 【详解】解：分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为， 将，两点的横坐标代入函数解析式， 得，， ， 正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ． 故甲对乙错， 故选D． 32．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知抛物线：及直线：，针对b的不同取值，三人的说法如下． 甲：若，则和交点的个数为0． 乙：若，则和交点的个数为1． 丙：若，则和交点的个数为1． 下列判断正确的是（  ） A．甲、乙错，丙对 B．甲、丙对，乙错 C．甲、乙对，丙错 D．乙、丙对，甲错 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、抛物线的顶点坐标等知识，求出抛物线的顶点坐标为，由二次函数的性质对甲、乙、丙三人的说法分别进行判断，即可得出结论，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴，则和交点的个数为0， ，则和交点的个数为1， ，则和交点的个数为2， ∴甲、乙说法正确，丙说法错误， 故选：C． 33．（24-25九年级上·河北沧州·期中）已知二次函数，当时，y的值恒大于1，则m的取值范围（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是二次函数的性质和二次函数确定范围内的最值情况，利用对称轴位置进行分析是解题的关键．分别对①当抛物线的对称轴时，②当抛物线的对称轴时，③当抛物线的对称轴时，进行分析得出m的取值范围即可． 【详解】解：， 对称轴为直线，开口向上． 当时，y的值恒大于1， ①当时，即，有，即可， ， ； ②当时，即，有即可， 解得， ； ③当时，即，有，即可， ． 综上，． 故选：B． 34．（24-25九年级上·河北张家口·期中）已知二次函数 (1)求此二次函数图象的对称轴； (2)当时，y的最大值为m，最小值为n，且，求a的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题是要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由抛物线为，从而可得对称轴是直线，即可判断得解； （2）依据题意，由，对称轴是直线，故当时，y有最小值，；当时，y有最大值，，结合，从而可得，进而计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意，∵抛物线为， ∴对称轴是直线． （2）解：由题意，∵，对称轴是直线， ∴当时，y有最小值，；当时，y有最大值，， ∵， ∴． ∴． 35．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知二次函数． (1)直接写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)请补全表格，并在如图所示的平面直角坐标系中描出表中各点，画出图象； x 0 1 2 3 y 0 (3)根据图象回答下列问题：   ①当时，x的取值范围为 ； ②当时，y的取值范围为： ； ③当(k是常数)时，y随x的增大而减小，实数k的取值必须满足条件： ； 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为； (2)表格见解析，图象见解析， (3)①或；②；③ 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，画二次函数图象，求二次函数值： （1）配成顶点式，即可求解； （2）先求出对应的函数值，再补全表格，然后描点连线即可； （3）①②根据函数图象求解即可；③根据题意可得在对称轴左边，y随x的增大而减小，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线， 顶点坐标为； （2）解：在中，当时，， 当时， ， 列表如下： x 0 1 2 3 y 0 函数图象如下所示： ； （3）解：①由函数图象可知，当时，x的取值范围为或， 故答案为：或； ②由函数图象可知，当时，y的取值范围为， 故答案为：； ③∵二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴左边，y随x的增大而减小， ∵当(k是常数)时，y随x的增大而减小， ∴， 故答案为：． 36．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究． [经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出，求二次函数的最小值． ①请你写出对应的函数表达式； ②求当x取何值时．函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们求出对应的函数在x取何值时，函数y有最小值．记录结果，并整理成下表： a … 0 2 4 … x … * 0 2 4 … y的最小值 … * 0 … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．” （2）请结合函数表达式，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 【答案】（1）①；②；（2）甲的说法合理，过程见解析；（3）正确，最大值为． 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，二次函数一般式与顶点式的相互转化，掌握二次函数顶点式的特点是解题的关键． （1）①把代入二次函数解析计算即可；②将二次函数一般式化为顶点式即可； （2）将二次函数一般式化为顶点式进行判定即可； （3）将二次函数一般式化为顶点式可得，当时，y有最小值为，结合二次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：（1）①把代入， 得； ②， 当时，y有最小值为； （2）， 抛物线的开口向上， 当时，y有最小值， 甲的说法合理； （3）正确， ， ∴当时，y有最小值为， 即：， 当时，有最大值为． 六、多种函数图象的综合判断 37．（24-25九年级上·河北沧州·期中）正比例函数和二次函数的图象一致的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，理解它们的图象和性质是解答关键． 根据正比例函数图象都是随的增大而减小，得到，得到，从面得到二次函数的图象是抛物线开口向上，抛物线与轴负半轴有交点，分别判断各项即可求解． 【详解】解：A．由图象可知，正比例函数，随的增大而减小，则，所以，所以二次函数的图象是抛物线开口向上，抛物线与轴负半轴有交点，故此项不符合题意． B．由图象可知，正比例函数，随的增大而减小，则，所以，所以二次函数的图象是抛物线开口向上，抛物线与轴负半轴有交点，故此项不符合题意． C．由图象可知，正比例函数，随的增大而减小，则，所以，所以二次函数的图象是抛物线开口向上，抛物线与轴负半轴有交点，故此项不符合题意． D．由图象可知，正比例函数，随的增大而减小，则，所以，所以二次函数的图象是抛物线开口向上，抛物线与轴负半轴有交点，故此项符合题意． 故选：D． 38．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题；首先根据图形中给出的一次函数图象确定、的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题． 【详解】解：A、对于直线来说，由图象可以判断，，；而对于抛物线来说，对称轴在轴的右侧，，，异号，故本选项不符合题意； B、对于直线来说，由图象可以判断，，；而对于抛物线来说，开口向上，，故本选项不符合题意； C、对于直线来说，由图象可以判断，，；而对于抛物线来说，开口向下，，对称轴在轴的右侧，，，异号，得到，故本选项符合题意； D、对于直线来说，由图象可以判断，，；而对于抛物线来说，开口向下，，故本选项不符合题意； 故选：C． 39．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象，熟练掌握各函数的图象特点是解题关键．先根据一次函数与反比例函数的图象可得，，，再根据二次函数的图象特点即可得． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，，即，， ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴，即， ∴函数的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴，对称轴为直线， 故选：D． 40．（2019·河北石家庄·一模）如图，抛物线（常数），双曲线.设与双曲线有个交点的横坐标为，且满足，在位置随变化的过程中，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线求出L与双曲线在（4，），（3，2）之间的一段有个交点，利用方程即可解决问题． 【详解】对双曲线，当3＜x0＜4时，＜y0＜2，即L与双曲线在（4，），（3，2）之间的一段有个交点． ①由＝−（4-t）（4-t+4）解得t=5或7． ②由2=-（3-t）（3-t+4）解得t=5． 满足条件的t的值为5＜t＜7． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数综合题、待定系数法、平移等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图形信息解决问题，学会用方程的思想思考问题，考虑问题要全面 41．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，是二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象．嘉嘉：当时，、均随的增大而减小；琪琪：若，，则．对于他俩的说法，正确的是（   ） A．嘉嘉正确，琪琪错误 B．嘉嘉错误，琪琪正确 C．他俩都正确 D．他俩都错误 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数和二次函数的交点，熟练掌握反比例函数和二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据反比例函数和二次函数的图象与性质可判断嘉嘉；分别将和代入反比例函数，再进行计算即可． 【详解】解：由图像可知，当时，随的增大而减小，随的增大而减小，故嘉嘉正确； ∵点A、B均在反比例函数图像上， ∴当时，，当时，， ∴， 故琪琪正确； 故选：C． 42．（2024·河北邯郸·三模）函数与函数的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点，，，其中a为常数，令，则p的值为（    ） A．1 B．a C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质、二次函数的图象与性质，二次函数的图象上纵坐标相同的点关于轴对称．点，使得的左右两边相等． 【详解】解：设点，在二次函数图象上，点在反比例函数的图象上．因为、关于轴对称， ， ，，在反比例函数图象上，则， ． 故选：D． 43．（2024·河北邯郸·二模）我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点，如图，抛物线：与（m是常数）围成的封闭区域（边界除外）内整点的个数不能是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，图象的平移，运用数形结合思想是解题的关键． 先找出符合题意的整点共计10个，再依次以y轴上整点个数分类讨论，判断y轴右侧在区域内的整点个数即可． 【详解】解：∵， ∴顶点在x轴上，其余部分均在x轴上方， 而， ∴对称轴为直线， 则在x轴上方且与抛物线围成的整点有共10个， 当封闭区域在y轴上只有整点时，抛物线与y轴交于，如图：    此时， ∴， 则时，， ∴只有一个整点； 当封闭区域在y轴上只有整点，时，抛物线与y轴交于，如图：    此时， ∴， 则时，， ∴只有2个整点； 当封闭区域在y轴上只有整点，，时，抛物线与y轴交于，如图：    此时， ∴， 则时，， 就必定包括这个整点， ∴ 不能为3个， 故选：C． 44．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）函数与的图象如图所示，当x的取值范围为 时，均随着x的增大而减小． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与二次函数的图象与性质．根据二次函数和反比例函数图象解答即可． 【详解】解：根据二次函数图象当时，随着的增大而减小，当或时，反比例函数随着的增大而减小． ∴当时，均随着x的增大而减小． 故答案为：． 45．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，已知直线过定点M，与抛物线交于A、B两点，其中点A、B分别在第二、第一象限，过点M的另一条直线交y轴于点N．求点M的坐标和直线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合题，一次函数的图象和性质，求一次函数解析式，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据，确定定点M的坐标为，再代入中可求一次函数解析式． 【详解】解：， 当，， 定点M的坐标为， 把代入直线中， 即， 解得：， 直线MN的解析式为：． 七、二次函数实际应用--动图问题 46．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，在菱形中，，点从点出发，沿方向匀速运动，过点作交菱形的另一边于点，设点的运动路程为，的面积为，则与之间的函数图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】讨论点在和上两种情况，根据等边三角形的性质和特殊角的三角函数值求出三角形的高，再根据三角形面积公式计算，分别得出对应的函数解析式，利用函数的性质判断图像． 【详解】如图，设与交于点，与交于点， 当点在上时， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是在边上的高，， 由菱形的性质得， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 所以该部分是开口向下的二次函数， 当点在上时，如图， 设菱形的边长为， ∴， ∵ ∴， ∴， 所以该部分是开口向上的二次函数， 由此判断只有C选项符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定及性质，特殊角的三角函数值，动点问题的函数图像，解题的关键是将的底和高用含的式子表示出来，列出与之间的函数关系式，再根据函数关系式判定图像． 47．（2024·河北石家庄·三模）如图1，，在矩形中，是边上的一个动点，交于点，设，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，动点问题的函数图象问题，根据题意求出函数关系式是解题关键．首先推导出，利用三角形相似求出关于的函数关系式，根据函数关系式进行分析求解． 【详解】解：，， ． ， ． ， ． ， ， ， 设，则， 整理得， 由图象可知，点从点运动到点的过程中，关于的函数图象为抛物线，且顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 抛物线过点， ， 解得， ， ， ． 故选：C． 48．（2024·河北唐山·模拟预测）如图，正六边形的边长为，P是对角线上一动点，过点P作直线l与垂直，动点P从B点出发且以的速度匀速平移至E点．设直线l扫过正六边形区域的面积为，点P的运动时间为，下列能反映S与t之间函数关系的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正六边形的性质，二次函数的解析式和函数图像，图形面积分割法计算，特殊角的三角函数，熟练运用分类思想，准确确定面积的表达式是解题的关键．从开始的扫描面积为三角形，过度到五边形，最后过度到三角形，分别计算图形的面积，根据面积的表达式确定函数的图像，结合选项判断即可． 【详解】解：如图，当时， ∵六边形是正六边形， ∴， ∵，， ∴， ∴，是开口向上的抛物线， ∴A，B都不符合题意； 如图，当时， ∵六边形是正六边形， ∴， ，， ∴，是右高左低的线段； ∴C，D都符合题意； 如图，当时， ∵六边形是正六边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ，故图像是开口向下的抛物线， ∴C符合题意，D不符合题意； 故选：C． 49．（2024·河北石家庄·二模）如图所示，和均为边长为4的等边三角形，点从点运动到点的过程中，和相交于点，和相交于点，为纵坐标，点移动的距离为横坐标，则与关系的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，过作于，过作于，证明四边形为平行四边形，可得，，求解，，同理可得：，再利用面积公式建立函数关系式即可判断． 【详解】解：如图，过作于，过作于， 由题意可得：，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵和均为边长为4的等边三角形，， ∴，而， ∴为等边三角形， 同理：为等边三角形， ∵， ∴，， 同理可得：， ∴ ， 故选B 【点睛】本题考查的是动态问题的函数图象，等边三角形的性质，平行四边形的性质，二次函数的图象，掌握以上基础知识是解本题的关键． 50．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图所示，已知在平面直角坐标系，点A的坐标为，点B在x轴上，且，动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P，Q移动的时间为t秒． (1)求点B的坐标； (2)当t为何值时，与相似？ (3)求的面积S与t之间的函数关系式？并求当t为何值时S最大？ 【答案】(1) (2)或 (3)，当时，S有最大值． 【分析】（1）先求出，再解直角三角形得到，则； （2）利用勾股定理求出，当时，，利用其对应边成比例解．当时，，利用其对应边成比例解得． （3）过点作于，解直角三角形得到，则可求出，再根据得到，据此利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：在直角三角形中，由勾股定理得， 由题意得，，， ∴， ∵， ∴分两种情况讨论： 当时，则，即，解得； 当时，，即，解得， 综上，当或时，和相似； （3）解：如图所示，过点Q作于H， 在中，， ∴在中，， ∴ ， ∵， ∴当时，S有最大值． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，二次函数的最值问题等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 51．（2024·河北保定·二模）如图1，一块矩形电子屏中，G为上一感应点，，动点P为一光点，当光点在光带上运动时，会与感应点发生反应，照亮以为边的正方形区域．因发生故障，只有光带和正常工作，，光点P以每秒1个单位的速度从C点出发，沿匀速运动，到达点B时停止．设光点P的运动时间为t秒，照亮的正方形区域的面积为S．图2为P点在运动过程中S与t的函数图像，其中点Q表示P点运动到B点时情形． (1)时，照亮的区域面积______，并求a值． (2)当点P经过M点又运动4秒时，照亮区域的面积达到了最小，已知此时S是t的二次函数． ①求出点P在线段上运动时S关于t的函数解析式； ②点P从开始运动到停止的整个过程中，直接写出t为何值时，照亮区域的面积S为17． 【答案】(1)； (2)①；②的值为、或时，照亮区域的面积为17 【分析】（1）先得出，利用勾股定理求出的长即可得出，根据及图像得出点运动到点时，理由勾股定理求出即可得值； （2）①如图连接，根据垂线段最短得出点经过点又运动4秒时，照亮区域的面积达到了最小时，利用证明，得出可求出此时的值，根据点纵坐标可得，利用勾股定理求出的长，根据，及时的值，利用待定系数法即可求出关于的函数解析式；②分点在和上两种情况，分别求出值即可． 【详解】（1）解：∵，点的速度为每秒个单位， ∴， ∵四边形为矩形，，， ∴， ∴， 由图2可知，时， ∵， ∴时，点运动到点， ∴， ∴． 故答案为：； （2）如图，连接， ∵点经过点又运动4秒时，照亮区域的面积达到了最小， ∴此时，， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴时，， 由图2可知，点运动到点时，， ∴， ∴，， ∴时，， 设， ∴， 解得：， ∴． ②当点在上时，， ∴， 解得：，（负值舍去） 当点在上时，， 解得：，， 综上所述：的值为、或时，照亮区域的面积为17． 【点睛】本题考查动点问题的函数图像、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质及待定系数法求二次函数解析式，正确提取函数图像中的信息并分类讨论是解题关键． 八、二次函数实际应用--图形问题 52．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为．则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数解应用题，若设矩形小花园边的长为，则，由矩形面积公式代值得到，配方化为顶点式，由二次函数图象与性质分析即可得到答案，熟练掌握求二次函数最值的方法是解决问题的关键． 【详解】解：若设矩形小花园边的长为，则， ， ， ， ，则抛物线开口向下， 当时，取最大值，为， 故选：C． 53．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）如图，在等边的边上分别取点D，E，F，使，连接，，． 结论Ⅰ：当时，的面积取得最小值； 结论Ⅱ：若点O是的外心，则它一定也是的外心．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】C 【分析】过点C作于点M，过点E作于点N，设的边长为a，设，证明，求出，，得出，说明当时，有最小值，求出当时，，，说明为等边三角形，，此时与不垂直，故结论Ⅰ错误；连接、、、、，，证明，得出，同理证明，得出，说明点O是的外心，故Ⅱ正确． 【详解】解：过点C作于点M，过点E作于点N，如图所示： 设的边长为a，， ∵三角形为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵，三角形为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最小值， 当时，，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴此时与不垂直，故结论Ⅰ错误； 如图，连接、、、、，， ∵点O为等边的外心， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴点O是的外心，故Ⅱ正确； 综上分析可知：Ⅰ不对Ⅱ对，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形外接圆的判定与性质，二次函数的应用，等边三角形的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 54．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，在菱形中，，，点、、、分别在菱形的四条边上，且，连接，，，得到四边形． (1)设四边形的面积为，，求与的函数关系式； (2)当为何值时，四边形的面积最大，最大值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，矩形的面积最大，最大值是 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，二次函数的性质； （1）先证明四边形是矩形，勾股定理求得，进而根据，即可求解． （2）根据二次函数解析式，二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解： 菱形中，， ， 在中， ， ， 同理，， ， 同理，，， 四边形是矩形， 又四边形是菱形， ， ， ， 即， ， 和都是等边三角形， ， 过点作，垂足为， ， 在中， ， 由勾股定理得， ， （2）由（1）知，， 抛物线开口向下 当时，矩形的面积最大，最大值是． 55．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）在“美丽乡村”建设中，某村施工人员想利用如图所示的直角墙角，再用米长的篱笆围成一个矩形花园，如果所在两面墙体均足够长，设米，花园的面积为y平方米． (1)求y与x的函数关系式； (2)求矩形花园面积的最大值，及此时的长； (3)若位于图中的点P处有一颗古树，且点P到墙体的距离分别是8米、米，现要求古树P与篱笆的距离不小于2米，（2）中矩形的花园面积的最大值会改变吗？如果不变，请说明理由，如果改变，求出最大值． 【答案】(1)； (2)时，矩形花园的面积最大，最大值； (3)会改变，最大值为； 【分析】（1）利用矩形面积公式直接列式化简即可得到答案； （2）将（1）得解析式化成顶点式，结合性质求解即可得到答案； （3）根据条件列出自变量的取值范围，结合抛物线的性质求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ， 且有， ∴； （2）解：由（1）得， ， ∵，， ∴当时最大，， 时，矩形花园的面积最大，最大值； （3）解：会改变，理由如下， 根据题意可知，解得， 但（2）中矩形花园面积最大时， 矩形花园面积的最大值会改变， ，， ∴y随x增大而增大， 当时，矩形花园的面积最大，最大值为； 【点睛】此题主要考查二次函数的应用，关键是正确理解题意，列出y与x的函数关系式解题的关键． 56．（24-25九年级上·河北唐山·期中）某学习小组在学习了函数及函数图象的知识后，想利用此知识来探究周长一定时，矩形的面积与边长函数关系式的图象．请将他们的探究过程补充完整． (1)列函数表达式：若矩形的周长为8，设矩形的一边长为，面积为，则有_____； (2)上述函数表达式中，自变量的取值范围是_____； (3)列表： x … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 … y … 1.75 3 3.75 4 3.75 3 m … 写出_____； (4)画图：在平面直角坐标系中已描出了上表中部分各对应值为坐标的点，请你画出该函数的图象．请你根据以上过程猜想矩形面积的最大值应是_____．用所学的函数知识验证你的猜想． 【答案】(1) (2) (3) (4)图见解析，当时，y有最大值，最大值为4． 【分析】本题考查二次函数的应用、矩形的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型． （1）由题意，长方形的另一边长为，可得函数解析式； （2）上述函数表达式中，表示长方形的边长，则，由题知，，则，可得自变量的取值范围是； （3）把代入，可得； （4）根据图表可画出函数图象．化成顶点，由二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设矩形的一边长为，面积为，则另一边长为， ∴． 故答案为：； （2）解：由题意得，，则， ∴自变量x的取值范围是． 故答案为：； （3）解：时，， 故答案为：； （4）解：函数图象如图所示： 由图象可知矩形面积的最大值应是4． ∵，， ∴当时，y有最大值，最大值为4． 57．（2024·河北邯郸·三模）在矩形中，的长度为a，的长度为，将矩形进行如图所示顺序的折叠，第三步折叠后，点C与点D的对应点分别为，． (1)①若点落在点下方，则 ；（用含a，b的代数式表示） ②若点，重合，求的值； (2)如果b的值保持不变，改变a的值，且点始终落在点下方．若四边形的面积的最大值为3，求b的值 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据折叠的性质推出，，再用可得； ②令，变形可得； （2）列出，根据二次函数的最值得到当时，最大，结合最大值为3即可求出b值． 【详解】（1）①由折叠可得：， ， 若点落在点下方， 则； ②若点，，重合， 则， ∴， ∴； （2）如图所示， ∵点始终落在点下方， ∴， ∵b的值保持不变，改变a的值， ∴当时，最大， ∴，整理得：， 解得：（负值舍去）． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠问题，二次函数的最值，解题的关键是结合折叠的性质表示线段的长度，并且能灵活运用二次函数的最值计算． 九、二次函数实际应用--营销问题 58．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）某公司购进一种商品进行销售，经过市场调研，整理出这种商品在第天的售价与日销售量的相关信息如下表所示，且得到在第天的日销售利润（元）与的关系为．已知这种商品的进价为20元/千克． 时间/天 售价/（元/千克） 日销售量/千克 (1)求时，日销售利润与的函数关系式； (2)在时，第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ (3)公司在销售的前28天中，每销售1千克这种商品就捐赠元给“希望工程”，若每天扣除捐赠后的日销售利润随时间的增大而增大，直接写出的整数值． 【答案】(1) (2)第25天的销售利润最大，为2450元 (3)6或7或8 【分析】本题考查了二次函数的实际应用． （1）利用“利润每千克的利润销售量”列出函数关系式； （2）可配方求出的函数最大值和的函数最大值，比较得出结果； （3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为：w元，求出函数关系式，进而求得结果． 【详解】（1）解：当时，； （2）解：当时，， 当时，， 当时， ∵， 随的增大而减小， 当时，， 第25天的销售利润最大，为2450元； （3）解：设每天扣除捐赠后的日销售利润为元， 则，对称轴为直线， 随的增大而增大， ， 解得， ， 的整数值为6或7或8． 59．（2024·河北邯郸·模拟预测）一家图文广告公司制作的宣传画板颇受商家欢迎，这种画板的厚度忽略不计，形状均为正方形，边长在之间．每张画板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：）成正比例，每张画板的出售价y（单位：元）是画板的边长x的一次函数．在营销过程中得到了表格中的数据． 画板的边长 8 10 出售价y（元/张） 148 160 (1)求一张画板的出售价y与边长x之间满足的函数关系式； (2)已知出售一张边长为的画板，获得的利润为130元（利润出售价成本价）， ①求一张画板的利润与边长之间满足的函数关系式； ②当边长为多少时，出售一张画板所获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)①；②当正方形画板的边长为时，可获最大利润154元 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及二次函数在实际问题中的应用，解题的关键是： （1）可设，把表中数据代入即可求出结论； （2）①由利润出售价成本价，可得出二次函数； ②利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设正方形画板的边长为，出售价为每张y元，且 由表格中的数据可得，， 解得 从而一张画板的出售价y与边长x之间满足函数关系式； （2）解：①设每张画板的成本价为，利润为w元， 则 当时，， ∴， 解得， ∴一张画板的利润w与边长x之间满足函数关系式； ②由，知当时，w有最大值，w最大值为154， 因此当正方形画板的边长为时，可获最大利润154元． 60．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）某商店销售一种成本为30元/千克的水产品，若按40元/千克销售，一个月可售出500千克，经调查知每涨价1元，月销售量就减少10千克，设售价为x（单位：元/千克），月销售利润为y（单位：元）． (1)请求出月销售利润y与售价x之间的函数解析式； (2)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使月销售利润达到8000元，售价应为多少元？ (3)当售价为多少元时会获得最大利润，并求出最大利润的值． (4)月销售利润不低于8750元时，直接写出售价x 的取值范围． 【答案】(1) (2)售价应为70元 (3)当售价为60元时会获得最大利润，最大利润的值为9000元 (4) 【分析】本题考查了二次函数的应用，利用单价乘以数量求出函数解析式，利用了函数的性质求最值． （1）根据“每涨价1元，月销售量就减少10千克”，可知：月销售量（销售单价），然后根据销售量乘以每千克利润，可得函数解析式； （2）根据“月销售利润每千克的利润销售的数量”列方程，解方程即可； （3）根据（1）解析式配方，再根据二次函数的性质可得答案； （4）根据题意列方程，再根据二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 月销售利润y与售价x之间的函数解析式为； （2）当时，， 解得， 当时，销售量为（千克）， 销售成本为（元）10000（元），不符合题意， 当时，销售量为（千克）， 销售成本为（元）10000（元），符合题意， 售价应为70元； （3）， ， 当时，y有最大值，最大值为9000， 当售价为60元时会获得最大利润，最大利润的值为9000元； （4）令，即， 解得， ， 抛物线开口向下， 当时，， 月销售利润不低于8750元时，． 61．（2024·河北秦皇岛·一模）某水果店包装一种果篮需要A，B两种水果，A种水果的单价比B种水果单价少2元，若用600元购进A种水果和用800元购进B种水果数量一样多，包装一盒果篮需要A种水果4斤和B种水果2斤，每盒还需包装费8元．市场调查发现：设每盒果篮的售价是x元（x是整数），该果篮每月的销量y（盒）与售价x（元）的关系式为：． (1)求一盒果篮的成本（成本进价包装费）； (2)若每月的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）； (3)若每盒果篮的售价不超过m元（m是大于70的常数，且是整数），直接写出每月的最大利润． 【答案】(1)一盒果篮的成本为48元 (2) (3)每月的最大利润为12960元 【分析】此题考查了分式方程的应用，二次函数的应用，二次函数的性质，正确理解题意列得方程及函数关系式是解题的关键． （1）设A种水果的单价为a元，则B种水果的单价为元，根据用600元购进A种水果和用800元购进B种水果数量一样多列分式方程解答； （2）根据利润=每盒果篮的利润×销量得到函数解析式； （3）当且m为整数时，根据函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A种水果的单价为a元，则B种水果的单价为元． 依题意，得， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，， ∴一盒果篮的成本为：（元）； （2）解：依题意，得； （3）解：由（2）可知每月的利润， 可化简为， 当且m为整数时， ∵， ∴当时w最大，此时：， ∴每月的最大利润为12960元． 62．（2024·河北保定·一模）某厂一种农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图11所示）；该产品的总销售额z（万元）＝预售总额（万元）＋波动总额（万元），预售总额＝每件产品的预售额（元）×年销售量x（万件），波动总额与年销售量x的平方成正比，部分数据如下表所示．生产出的该产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获年毛利润为w万元（年毛利润＝总销售额－生产费用） 年销售量x（万件） … 20 40 … 总销售额z（万元） … 560 1040 … (1)求y与x以及z与x之间的函数解析式； (2)若要使该产品的年毛利润不低于1000万元，求该产品年销售量的变化范围； (3)受市场经济的影响，需下调每件产品的预售额（生产费用与波动总额均不变），在此基础上，若要使2025年的最高毛利润为720万元，直接写出每件产品的预售额下调多少元． 【答案】(1)， (2) (3)下调了6元 【分析】本题考查了二次函数、一次函数的应用，二次函数的图象与性质等知识，解题的关键是： （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据毛利润，结合函数图象求出x的取值范围即可； （3）设下调m元，则w、z与x的函数关系也随之变化，求出w关于x的函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设， 把代入，得， 解得， ∴， 设预售总额为（万元），每件产品的预售额为（元），则， 设波动总额为（万元）， ∵波动总额与年销售量x的平方成正比， ∴设， ∴， 把，；，代入， 得， 解得， ∴； （2）解：毛利润 ， 令，则， 解得，， 画出草图如下： 由图知：当时，， ∴要使该产品的年毛利润不低于1000万元，该产品年销售量的变化范围是； （3）解：设下调m元， 则， ∴， ∵2025年的最高毛利润为720万元， ∴w的最大值为720， ∴， 解得（不符合题意，舍去），， 故下调了6元． 63．（23-24九年级下·河北沧州·阶段练习）生活中处处是数学，某同学借助某企业的生产情境编制了一道数学题，请解答这道题． 某企业计划每天生产甲、乙两种品牌的电器分别为30台和20台，且当天生产的电器均能在市场上售出，根据市场调查反馈，在一段时间内乙电器的需求量较大，该企业决定在保持日生产总量不变的条件下，每天增加生产乙电器x台．这样发现：日销售两种电器的总利润W（元）与x（台）满足如下函数关系式：，在生产销售过程中，还可以获得如下数据： x（台） 5 10 W（元） 16250 16000 (1)求a，b的值； (2)若在生产过程中，每台电器均可以节约m元（m为整数）的成本，设此时日销售总利润为Q（元），该企业的财务部门经过核算发现：当Q大于17220元时，有3种不同的生产方案，求m的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据表格数据代入，计算即可求解； （2）根据题意得出，进而根据当大于元时，有种不同的生产方案，即当，，时，利润不少于元，得出，即可求解． 【详解】（1）解：把时，，时，分别代入解析式， 得， 解得； （2）解：由题意，得． ∵对称轴为直线， 当，5，6时利润不少于17220元， 即当时，，解得； 当时，，解得， ． m为整数， ． 64．（23-24九年级上·河北唐山·期末）某商店出售一款商品，已知该商品的进价为40元/件，日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足关系式为：．该商品的销售单价、日销售量、日销售利润的部分对应数据如下表：[注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价）] 销售单价x（元） 75 78 日销售量y（件） a 120 日销售利润w（元） 5250 b (1)根据以上信息可知：表中a的值是________，b的值是________． (2)求该商品日销售利润的最大值． (3)由于某种原因，该商品进价降低了m元/件（），该商店在今后的销售中，商店规定该商品的销售单价不低于68元，日销售量与销售单价满足的函数关系式保持不变，若日销售最大利润是6600元，直接写出m的值． 【答案】(1)150，4560 (2)该商品日销售利润的最大值为6250元 (3) 【分析】本题考查了求一次函数值，求二次函数解析式，抛物线的图像和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）将代入求出a值，再根据利润等于单件利润乘以销量，求出日销售总利润即可； （2）先求出的解析式，再根据抛物线的图像和性质作答即可； （3）设利润为元，根据题意的解析式，再求出对称轴，再根据抛物线的图像和性质作答即可． 【详解】（1）解：当时，（件）， 当时，（元）； 故答案为：150，4560； （2）解：， ∵， ∴当时，最大，最大值为6250， 答：该商品日销售利润的最大值为6250元； （3）解：设利润为元，根据题意可得： ， 对称轴为， ∵销售单价不低于68元，即， ∴． ∵， ∴，且开口向下， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最大值为6600， ∴， ∴． 65．（23-24九年级上·河北保定·期末）某农户要改造部分农田种植蔬菜.经调查，改造农田费用（元）与改造面积（亩）成正比，比例系数为900，添加辅助设备费用（元）与改造面积（亩）的平方成正比，比例系数为18，以上两项费用三年内不需再投入；每亩种植蔬菜还需种子、人工费用600元.这项费用每年均需再投入．除上述费用外，没有其他费用.设改造x亩，每亩蔬菜年销售额为m元． (1)设改造当年收益为y元，用含x，m的式子表示y； (2)按前三年计算，若，是否改造面积越大收益越大?改造面积为多少时，可以得到最大收益？ (3)按前三年计算，若，当收益不低于43200元时，求改造面积x的取值范围？ (4)若，按前三年计算，能确保改造的面积越大收益也越大，求m的取值范围，注：收益=销售额-（改造费+辅助设备费+种子、人工费）． 【答案】(1) (2)改造面积为50亩时，可以得到最大收益 (3) (4)． 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据题意可以用含x，m的式子表示y； （2）构造二次函数求最值即可； （3）结合二次函数交点的横坐标，写出不等式的解集即可； （4）根据题意，建立不等式求解即可． 【详解】（1）由题意可得，， 即； （2）设这三年的收益为， ， ∵， ∴开口向下，且当时，z有最大值． ∴不是改造面积越大收益越大，改造面积为50亩时，可以得到最大收益； （3）解方程：， 解得，， ∴当收益不低于43200元时，； （4）由题意可得， ， ∵，按前三年计算，能确保改造的面积越大收益也越大， ∴， 解得， 即的取值范围是． 十、二次函数实际应用--实物建模问题 66．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）某拱桥的主桥拱近似地看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则 ，主桥拱最高点与其在水中倒影点之间的距离为 米． 【答案】 / 【分析】本题考查了二次函数的运用，根据桥拱在水面的跨度约为米，则，且主桥拱所在抛物线可以表示为，代入计算即可求解的值，根据顶点坐标，对称的性质，两点之间距离的计算方法即可求解． 【详解】解：主桥拱所在抛物线可以表示为，桥拱在水面的跨度约为米，则， ∴， 解得，， ∴， ∴倒影点的坐标为， ∴主桥拱最高点与其在水中倒影点之间的距离为， 故答案为：；． 67．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是拋物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离（单位：）近似满足函数关系的图象，点在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形， （1）________； （2）可判定货车________完全停到车棚内（填“能”或“不能”）． 【答案】，能 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用， （1）根据题意代点求出值， （2）根据题意求出当时，y的值，若此时y的值大于，则货车能完全停到车棚内，反之，不能，据此求解即可． 【详解】（1）∵点在图象上， ， 解得： 故答案为： （2） 在抛物线中， 当时， 故可以判断货车能完全停到车棚内． 故答案为：能 68．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，一名运动员在距离篮圈中心的为（水平距离）远处跳起投篮． 已知篮球运行的路线为抛物线，球出手时离地面的高度为，当球水平运行时到达离地面的最大高度． 若篮圈中心距地面． (1)以地面为x轴，建立平面直角坐标系，使最高点坐标为，在图中补画y轴，求抛物线的解析式； (2)通过计算说明篮球能否投中篮圈中心． 【答案】(1)见解析， (2)不能 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用． （1）根据题意，建立直角坐标系，设二次函数的表达式为：，将点代入解析式，利用待定系数法求出二次函数解析式即可． （2）把代入（1）的函数解析式， 看函数值是否等于即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示， 设二次函数的表达式为：， 将点代入可得：，解得：， 二次函数的表达式为：， （2）解：由（1）可知， 当时，， 答：篮球不能命中篮圈中心． 69．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）在平面直角坐标系中，从原点O向右上方沿抛物线L发出一个小球P，当小球P达到最大高度3时，小球P移动的水平距离为2． (1)求抛物线L的函数解析式； (2)求小球P在x轴上的落点坐标； (3)在x轴上的线段处，竖直向上摆放着若干个无盖儿的长方体小球回收箱，已知，且每个回收箱的宽、高分别是、，当小球P恰好能落入回收箱内（不含边缘）时，求竖直摆放的回收箱的个数． 【答案】(1)抛物线L的函数解析式为； (2)小球P在x轴上的落点坐标为； (3)竖直摆放的回收箱的个数为3个或4个或5个或6个或7个 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）由题意知，抛物线L的顶点坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）对于，令，求解一元二次方程，据此计算即可求解； （3）由题意先求出，当和时，求得对应的值，再设竖直摆放的回收箱有个，根据题意得出关于的不等式组，求出的整数解即可． 【详解】（1）解：∵从原点O向右上方沿抛物线L发出一个小球P，当小球P达到最大高度3时，小球P移动的水平距离为2， ∴顶点坐标为， ∴设抛物线L对应的函数解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线L对应的函数解析式为； （2）解：对于， 令，则， 解得，， ∴小球P在x轴上的落点坐标为； （3）解：∵，， ∴，对于， 当时，； 当时，； 设竖直摆放的回收箱有个， 则， 解得， ∵是正整数， ∴可以是3或4或5或6或7， 答：竖直摆放的回收箱的个数为3个或4个或5个或6个或7个． 70．（2024·河北邢台·模拟预测）嘉琪同学经常运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网高度，球网与y轴的水平距离，，击球点在y轴上．若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系：． (1)求二次函数表达式； (2)本次吊球能否过网？并说明理由； (3)通过对本次训练进行分析，若吊球路线的形状、最大高度均保持不变，直接写出他应该向正前方移动______米吊球，才能让羽毛球经过点C正上方处． 【答案】(1)； (2)选择吊球的方式能使球过网，理由见解析； (3)1.5． 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数与一次函数解析式、实数大小比较和函数平移，解题的关键是熟悉二次函数的平移． （1）把点，代入二次函数求得a； （2）利用二次函数求得值与网高进行判断即可； （3）向正前方移动m米吊球，二次函数关系变为，将点代入，即可求得向正前方移动距离． 【详解】（1）解：∵点， ∴，解得， ∴二次函数表达式为； （2）当时，， ， ∴选择吊球的方式能过网； （3）向正前方移动m米吊球，二次函数关系为：， 根据题意过点， 则， 解得，（舍去）， 故他应该向正前方移动1.5米吊球． 71．（2024·河北邯郸·二模）如图，在平面直角坐标系中，从原点的正上方8个单位处向右上方发射一个小球，小球在空中飞行后，会落在截面为矩形的平台上（包括端点），把小球看作点，其飞行的高度与飞行的水平距离满足关系式．其中，，． (1)求的值； (2)求的取值范围； (3)若落在平台上的小球，立即向右上方弹起，运动轨迹形成另一条与形状相同的拋物线，在轴有两个点、，且，，从点向上作轴，且．若沿抛物线下落的小球能落在边（包括端点）上，求抛物线最高点纵坐标差的最大值是多少？ 【答案】(1)； (2)； (3)抛物线最高点纵坐标差的最大值是． 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）将代入，即可求解； （2）将，分别代入，计算即可求解； （3）设抛物线的解析式为，若抛物线经过点，时，求得最大值为，抛物线经过点，时，求得最大值为，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得； （2）解：由题意得，， ∴当抛物线经过点时，， 解得； 当抛物线经过点时，， 解得； ∴的取值范围为； （3）解：由题意得，，，， 设抛物线的解析式为， 若抛物线经过点，时， 有， 解得， ∵， ∴此时抛物线的最大值为； 若抛物线经过点，时， 有， 解得， ∵， ∴此时抛物线的最大值为； ∴抛物线最高点纵坐标差的最大值是． 72．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）【项目式学习】 项目主题：合理设计  智慧泉源 项目背景：为美化校园，学校计划增设环形喷泉池，并在池边安装LED发光地砖灯．围绕这个问题，某数学学习小组开展了“合理设计智慧泉源”为主题的项目式学习． 任务一  测量建模 （1）如图1，在水平地面上的喷泉池中心有一个喷头，它向四周喷出的水柱为抛物线．经过测量，喷水口距离地面米，在距池中心水平距离1米处，水柱达到最高，高度为3米．学习小组根据喷泉的实景进行抽象，以池中心为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，画出如图2所示的函数图象，求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式（不需写自变量的取值范围）； 任务二  设计方案 （2）喷水池的俯视图如图3所示．若要求喷泉水不落到喷水池外，喷水池半径至少多少米？ 【答案】（1）；（2）要求喷泉水不落到喷水池外，喷水池半径至少米 【分析】本题考查了二次函数的应用；待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征 （1）设抛物线解析式为，把代入求出的值，即可得抛物线解析式； （2）把代入解析式求出的值，即可求解． 【详解】（1）设，过点 ∴代入，解得， ∴抛物线（第一象限部分）的函数表达式为； （2）当时， 解得： ∴第一象限部分的抛物线与轴的交点为， ∴要求喷泉水不落到喷水池外，喷水池半径至少米． 73．（2024·河北沧州·二模）消防车中的高喷消防车，采用曲臂加伸缩结构，顶端装有消防炮．在一次模拟高层建筑起火救援中，以大楼起火侧面所在直线为y轴，地面为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，已知消防炮喷水口A距离地面35米，距离大楼起火侧面20米，喷出的水柱是抛物线的一部分． (1)写出水柱最高处B距离地面的高度，并求a的值； (2)目前火焰不断从第17层窗口窜出，若每层楼高2.9米，窗台高度为0.9米，窗顶距离该层地面高度为2.4米，此时水柱能否射入该层窗口？ (3)火势已经向上蔓延到距离地面55米处，高喷消防车最后一节伸缩臂按原来方向（与水平方向夹角约为）伸长了米，喷射的水柱形状不变，为阻止火势进一步蔓延，直接写出d的值．（结果保留根号，伸缩臂伸长时间忽略，） 【答案】(1)50米； (2)水柱能射入该层窗口 (3) 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，关键用代入法来求出解析式，再转化成一元二次方程解决问题． （1）将点坐标代入二次函数解析式，即可解答； （2）根据解析式求出最大值，再根据题中条件，进行比较； （3）求出新的二次函数解析式，并根据一元二次方程来解决问题． 【详解】（1）解：根据解析式可得水柱最高处B距离地面的高度为米， 由题意得到：点坐标， 代入解析式可得， 解得； （2）解：可得函数解析式为， 当时， ， 第16层楼顶高度为：米， 17楼窗台到地面的高度为米， 17楼窗顶到地面的高度为米， ， 此时水柱能射入该层窗口； （3）解：如图： 过作平行于轴， 设伸长至处，的长即为其伸长的长度， 过作于，则， 米，米， 即相当于将点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度． 新抛物线的解析式：， 当时，， 可得， 解得：（舍去），， 米． 74．（2024·河北石家庄·模拟预测）为打造旅游休闲城市，某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河边打造喷水景观（如图1）．为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图2是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面AB的坡比为（其中），当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离地平面距离的最大值为3米． 以O为原点建立平面直角坐标系，解决问题： (1)求水柱所在抛物线的解析式； (2)出于安全考虑，在河道的坝边A处安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明理由； (3)河中常年有水，但一年中河水离地平面的距离会随着天气的变化而变化，水柱落入水中能荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上； ①河水离地平面距离为多少时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处？ ②为保证水柱的落水点始终在水面上，决定安装可上下伸缩的喷水口，设坝中水面离地平面距离为h米，喷水口离地平面的最小高度m随着h的变化而变化，直接写出m与h的关系式． 【答案】(1) (2)不能，理由见详解 (3)①米，② 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，坡度比，解题时要熟练掌握二次函数的性质并能运用待定系数法求解析式是关键． （1）依据题意得：二次函数的顶点坐标为．故设该二次函数的解析式为：，再结合经过原点，求出a即可得解； （2）依据题意，由（1）该二次函数的解析式为：，从而可得当时，，进而可以判断得解； （3）①先求出，B的坐标为，再设的解析式为，建立方程组可得k，b进 而可得直线，再与抛物线解析式建立方程组，进而计算可以判断得解；②根据平移可得新的抛物线解析式为：，结合坝面AB的坡比为，根据①中求解点B坐标的方法同理可求出点G的坐标为：，根据点G在抛物线的图象上，问题即可得解． 【详解】（1）由题意得：二次函数的顶点坐标为． 设该二次函数的解析式为：， 二次函数经过原点， ， 解得：． 该二次函数的解析式为：； （2）水柱不能喷射到护栏上，理由如下： 当时，， ∵， ∴水柱不能喷射到护栏上； （3）①∵河道坝高米，坝面AB的坡比为（其中） ∴， 即， 则点B与原点O的水平距离为：， ∴点的坐标为， 又∵点的坐标为， 设的解析式为 解得： 解得：（不合题意，舍去），， 当时，， 即：河水离地平面距离为米时，水柱刚好落在水面上； ②将抛物线向上平移m米， 则可得新的抛物线解析式为：， 当坝中水面离地平面距离为h米， 则坝面截线与水面截线的交点G的纵坐标为：，如图， 结合坝面AB的坡比为，根据①中求解点B坐标的方法同理可求出点G的坐标为：， ∵点G在抛物线的图象上， ∴， 整理得：， 即m与h的关系式为：． 十一、二次函数综合问题 75．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，抛物线与x轴交于B两点，点C，D在该抛物线上，其横坐标分别为：m，，分别过点C，D作y轴的垂线，垂足分别为P，Q，以，为边构造矩形．设L被矩形截得的部分图象（包括边界）记为G． (1)求b的值和L的对称轴； (2)当点P在L上时，求的长； (3)若图象G只呈上升走势或下降走势，结合图象直接写出m的取值范围． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2)9 (3)或． 【分析】（1）将代入抛物线，解方程得到抛物线的解析式，进而可得到抛物线的对称轴； （2）先求出P点坐标，进而推出两点的坐标，从而可求出的长； （3）由题意知，当均在对称轴左侧时，图象G只呈下降走势，则，可求；当点在上方时，图象G只呈上升走势，令，可求或（舍去），即． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得，， ∴， ∴对称轴为直线， ∴，对称轴为直线， （2）∵为矩形与y轴负半轴的交点，同时P在抛物线上， ∴当时，抛物线y的值为：， ∴此时的坐标为， 又∵过点C作y轴的垂线，垂足为P， ∴点的纵坐标为，此时，解得， ∴C点坐标为：， 此时点的横坐标为6， ∴，故此时点坐标为， ∴， （3）解：由题意知，当均在对称轴左侧时，图象G只呈下降走势， ∴， 解得，， ∴； 当点在上方时，图象G只呈上升走势， 令， 解得，或（舍去）， ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数解析式，二次函数与特殊的四边形综合．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数解析式，二次函数与特殊的四边形综合是解题的关键． 76．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，抛物线与直线交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)点P是y轴右侧的抛物线上一个动点，过点P作轴于点E，交直线于点F．若点P的横坐标为m，设线段的长度为y，求y与m之间的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围； (3)在（2）的条件下，是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①P在上面，；②P在下面， (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）首先求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）分P在上面和P在下面两种情况讨论可得y与m之间的函数关系式； （3）本问符合条件的点P有2个，如答图2所示，注意不要漏解．在求点P坐标的时候，需要充分挖掘已知条件，构造直角三角形或相似三角形，解方程求出点P的坐标． 【详解】（1）解：在直线解析式中，令，得， ． ∵点在抛物线上， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：①当在上面， 点的坐标为，点的坐标为， 线段的长度为； ②当在下面， 点的坐标为，点的坐标为， 线段的长度为；        （3）解：存在． 理由：如图所示，过点作于点，    则， ， ， 在中，由勾股定理得：． 过点作于点，则． ∵， ∴， 则， ， 在冲，由勾股定理得：． ∵， ∴，整理得：， 解得：（舍去）或， ∴； 同理求得，另一点为． ∴符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、解方程（方程组）、三角函数、勾股定理等重要知识点．第（2）问采用分类讨论思想求解；第（3）问中，符合条件的点P有两个，注意不要漏解． 77．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，已知二次函数的图像与轴的交点为点和点，与轴交于点，连接． (1)求这个二次函数的表达式； (2)是位于第一象限内的抛物线上一点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (3)取抛物线的一部分记为，将沿轴向下移动个单位长度得到，若与直线只有一个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的综合问题，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数，二次函数平移，二次函数与一次函数的交点等知识，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）用待定系数法求二次函数解析式即可． （2）在第一象限内作平行于轴的直线，交抛物线于点，交直线于点．求出的解析式，设，则，则， 然后根据三角形的面积公式即可得出，然后利用二次函数的性质即可得出答案． （3）根据二次函数的平移分别求出当时和当时的的值，再令，根据根的判别式可得出的值，进而可得出的取值范围． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， 二次函数的表达式为； （2）解：如图，过点作轴，交于点． 设直线的表达式为，将，代入表达式， 得， 解得， 直线的表达式为， 设，则， ， ， 当时，有最大值，最大值为，此时； （3）解：当时，， ， 此时； 当时，， ， 此时． 令， 整理，得， 与直线只有一个交点， 则， 解得． 当与直线只有一个交点时，的取值范围为或， 故的取值范围为或． 78．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线，． (1)求抛物线的解析式； (2)为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的平行线与直线交于点． 嘉嘉说：当点与点重合时，长最大；琪琪说：当点的横坐标为1时，的面积为6．请选择其中一人的说法进行说理． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先求出，．再将，，代入，用待定系数法求解即可； （2）选择嘉嘉，先求出直线的解析式为．设点的横坐标为，则，，则，进而求解； 选择琪琪，先求出直线的解析式为．求出，，可得，最后由求解即可． 【详解】（1）解：，对称轴为直线， ， ． ， ， ． 把，，代入， 得 解得 抛物线的解析式为； （2）解：选择嘉嘉． 设直线的解析式为． 把，代入， 得 解得 直线的解析式为． 设点的横坐标为，则，， ， 当时，长最大，此时，与点A重合， 当点与点重合时，长最大； 选择琪琪： 设直线的解析式为． 把，代入， 得 解得 直线的解析式为． 点的横坐标为1，轴， 点的横坐标为1， 将代入，得， ， 将代入，得， ， ， 【点睛】此题是二次函数的综合题，涉及到二次函数、一次函数解析式的确定，二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征． 79．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与x轴的交点为点和点B，与y轴交于点，连接． (1)求这个二次函数的解析式； (2)位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得的面积最大？若存在，求出此时点D的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由； (3)取抛物线的一部分（）记为W，将W沿y轴向下移动k个单位长得到，若与直线只有一个交点，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)； (2)存在，最大值为，； (3)或． 【分析】（1）用待定系数法求二次函数解析式即可． （2）在第一象限内作平行于y轴的直线，交抛物线于点D，交直线于点E．求出的解析式，设，则，则， 然后根据三角形的面积公式即可得出，然后利用二次函数的性质即可得出答案． （3）根据二次函数的平移分别求出当时和当时的k的值，再令，根据根的判别式可得出k的值，进而可得出k的取值范围． 【详解】（1）解：将，代入， 得 解得 ∴二次函数的解析式为； （2）解：存在； 理由：如图，在第一象限内作平行于y轴的直线，交抛物线于点D，交直线于点E． 设直线的解析式为， 将将，代入， 得 解得：， ∴直线的解析式为． 设，则， ∴， ∴ ∴当时，有最大值，最大值为， 此时； （3）解：k的取值范围为或． 当时，，， 此时； 当时，，， 此时； 令， 整理，得， 若与直线只有一个交点， 则， 解得． ∴当与直线只有一个交点时，k的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合问题，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数，二次函数平移,二次函数与一次函数的交点等知识，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 80．（2024·河北石家庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，x轴正半轴的交点为点B，其中点A的坐标为，且，连接． (1)分别求出直线和抛物线的解析式． (2)若抛物线的顶点为点E，求的面积． (3)P是下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点C，过点P作轴于点D．求的最大值． 【答案】(1)直线解析式为，抛物线的函数表达式为 (2) (3)的最大值为 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）先求出点坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点坐标，分割法求出的面积即可； （3）设，将转化为二次函数求最值即可． 【详解】（1）∵点A的坐标为，且， ∴ 设直线解析式为，把，代入得：， 解得， ∴直战解析式为， 把，代入得： ，解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）拋物线的函数表达式为， ∴顶点， 过点E作y轴的平行线交直线于点Q， 将代入直线解析式，得， ∴， ∴， ∴； （3）设，则， 在中，令得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，此时， ∴； ∴的最大值为． 81．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点． (1)求二次函数的解析式； (2)若在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）求出点坐标，可得是等腰直角三角形，即得，得到， 过点作交抛物线于点，过点作轴于点，可得，得到是等腰直角三角形，即得，设，则，可得，，进而得到，解方程即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，等腰直角三角形的判定和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把、代入得， ， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：当时，， 解得，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得(不合，舍去) 或， ∴． 82．（2024·河北邯郸·二模）如图，中，，，点，，抛物线L：的顶点为M，与y轴交点为N． (1)抛物线有可能经过点A吗？请说明理由； (2)设点N的纵坐标为，直接写出与t的函数关系式，并求的最大值； (3)在L的位置随t的值变化而变化的过程中，直接写出点M在内部所经过路线的长． 【答案】(1)抛物线不可能经过点A，见解析 (2)，的最大值为 (3) 【分析】此题是二次函数和特殊三角形的综合题，考查了二次函数的图象和性质、一元二次方程根的判别式、一次函数的图象和性质等知识，数形结合是解题关键． （1）把点A的坐标代入函数解析式得到方程，判断一元二次方程没有实数根，即可得到结论； （2）把代入函数解析式，即可得到答案； （3）由，知顶点，则在L的位置随t的值变化而变化的过程中，点M都在直线上移动，设直线分别交于点R，交于点G，求出点，点，即可求出答案． 【详解】（1）解：抛物线不可能经过点A，理由： 将点代入得到，， 并整理得：， ∵， ∴此方程无解， 故抛物线不可能经过点A； （2）当时， ， 即，且的最大值为； （3）由，知顶点，则在L的位置随t的值变化而变化的过程中，点M都在直线上移动，设直线分别交于点R，交于点G，则点M在内部所经过路线的长即为线段的长． 由点、可知，，轴， 当时，由得到， ∴点， 由，知，， ∴点C的坐标为， 设直线的表达式为，把点B、C的坐标代入得， ， 解得 直线的表达式为： 联立直线的表达式和得：， 解得：， 则， ∴ ， ∴点M在内部所经过路线的长为． 83．（23-24九年级上·河北张家口·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点为、，（点在点的左侧），顶点为． (1)求的长； (2)若以为顶点的三角形为直角三角形，求的值； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，若抛物线在点之间的部分与线段所围成的区域内（不包括边界）恰有1个整点，结合函数的图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)4 (2) (3)或 【分析】（1）令，则，解值可得点、点的坐标，即可求解； （2）由题意可得抛物线的对称轴为轴，顶点的坐标为，点，点关于轴对称，则，进而可知当为直角三角形时，，由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可知，可得，即可求解； （3）当时，作出图形，找到临界点①当时，②当时，利用数形结合判断区域内（不包括边界）整点个数，当时，同理求解即可． 【详解】（1）令，则，即， 解得：，，则，， ∴； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为轴，顶点的坐标为， ∵，， ∴点，点关于轴对称，则， ∵点在轴上， ∴当为直角三角形时，， ∴， 即，解得：； （3）如图，当时， ①当时，抛物线的顶点的坐标为， 抛物线在点，之间的部分与线段所围成的区域内没有整点． ②当时，抛物线的顶点的坐标为， ，解得：，，抛物线经过点，， 抛物线在点，之间的部分与线段所围成的区域内恰有1个整点． 则当时，抛物线在前两者之间，也恰有1个整点， ∴；    同理，如图，当时，； 综上，或． 【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数与轴交点问题，直角三角形斜边中线等于斜边一半．分类讨论的情况，利用数形结合解题是解题的关键． 84．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于点A，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上一个动点，过点P作轴于点H，与线段交于点M． (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，若，求的面积． (3)如图2，若是以为底边的等腰三角形时，求线段的长． (4)已知Q是直线上一点，在（3）的条件下，直线上是否存在一点K，使得以Q，M，C，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)2； (3)； (4)存在，． 【分析】（1）根据对称轴求出a，再将点B的坐标代入关系式求出c即可； （2）根据相似三角形的性质得出轴，再求出，即可得出答案； （3）先求出直线的关系式，再设点P的坐标，即可表示点M的坐标，进而表示，然后作，则，并表示，再根据勾股定理求出m，可得答案； （4）先求出点P，M的坐标，进而求出直线的关系式，即可表示出点Q，K，再说明只能是四边形为矩形，然后根据平移的性质求出点的坐标，并根据勾股定理验证即可. 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵， ∴， ∴轴． ∵， ∴． 将代入中， 得， 解得，， ∴，． ∴； （3）解：设直线的表达式为，将点B代入，得， ∴直线的表达式为． 设，则， ∴． 由题意知． 如图，过点C作，则， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得（舍去），， ∴； （4）解：存在，． 理由如下：由（3）可知，，． 设直线的解析式为，将代入得， ∴． 设，， 若以Q，M，C，K为顶点的四边形是矩形，只能是四边形为矩形， ∴，，． ∵点C先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点M， ∴将点K先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点Q， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 则四边形为矩形，满足题意， ∴． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，相似三角形的性质，等腰三角形的性质，矩形的判定，勾股定理，坐标与图形等，会用坐标的差表示线段的长是解题的关键． 85．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，点，在该抛物线上，其横坐标分别为，，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，以，为边构造矩形．设被矩形截得的部分图象（包括边界）记为． (1)求的值和的对称轴； (2)当点在上时，求的长； (3)是否存在，使的顶点在边上，若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)若图象只呈上升走势或下降走势，结合图象直接写出的取值范围． 【答案】(1)；对称轴为直线 (2)9 (3)存在，点的坐标为 (4)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的解析式，二次函数与特殊的四边形综合，熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数解析式，二次函数与特殊的四边形综合是解题的关键． （1）代入到抛物线，解方程得到解析式，进而即可得到抛物线的对称轴； （2）先求出点的坐标，进而推出点，的坐标，即可求出的长； （3）先求出抛物线的顶点坐标为，再用m表示出点的坐标，结合的顶点在边上，列出方程求解m的值即可解答； （4）分两类情况讨论：①当点，在该抛物线上对称轴左侧时，图象只呈下降趋势；②当点在上方时，图象只呈上升趋势；分别求出对应m的取值范围即可． 【详解】（1）解：代入得，， 解得：， ， 的对称轴为， ，的对称轴为直线． （2）当点在上时，点为与轴的交点， 令，则，即， 轴，点在抛物线上， ，点与点关于对称轴对称，即， ，， 代入，则，即， 轴， ， ． （3）代入，则，即的顶点坐标为， 代入，则，即， 的顶点在边上， ， 解得：， 代入，则，即， 存在，点的坐标为． （4）由题意得，当点，在该抛物线上对称轴左侧时，图象只呈下降趋势， ， 解得：， ； 当点在上方时，图象只呈上升趋势， 令， 解得：，（舍去）， ； 综上所述，的取值范围为或． 86．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线W：与x轴交于和两点． (1)求抛物线W的解析式． (2)如图，将抛物线绕点N旋转后得到抛物线，抛物线与x轴交于另一点Q． ①直接写出点Q的坐标和抛物线的解析式． ②利用①中的结论，当时，求抛物线的最大值和最小值． (3)P为抛物线 W上的一个动点，点P的横坐标为，以点P为中心作正方形，，且轴． ①当抛物线落在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，求m的取值范围． ②正方形的边与抛物线只有两个交点，且交点的纵坐标之差为时，请直接写出m的值． 【答案】(1) (2)①，；②抛物线的最大值为4，最小值为3 (3)①；②或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①求出抛物线W的顶点坐标，根据抛物线是将抛物线绕点N旋转后得到的，即得出点和抛物线的顶点坐标，从而可设抛物线的顶点式，再将点代入即可解答； ②根据抛物线的解析式和x的取值范围，结合图象即可解答； （3）①由抛物线W的解析式可知其对称轴为直线．根据题意可知点C和点D位于y轴上，且正方形在直线的左侧，即得出，求解即可； ②分类讨论：Ⅰ当正方形与抛物线的交点在边和上时、Ⅱ当正方形与抛物线的交点在边和上时和Ⅲ当正方形与抛物线的交点在边和上时，分别求解即可． 【详解】（1）解：将和代入， 得：，解得：， ∴抛物线W的解析式为； （2）解：①∵， ∴抛物线W的顶点坐标为． ∵将抛物线绕点N旋转后得到抛物线，抛物线与x轴交于另一点Q， ∴点Q与点M关于点N对称，抛物线的顶点与抛物线W的顶点关于点N对称， ∴，抛物线的顶点坐标为． 设抛物线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； ②∵抛物线的解析式为， 又∵， ∴，； （3）解：①∵抛物线W的解析式为， ∴其对称轴为直线． ∵四边形为正方形，且轴， ∴轴，轴，轴． ∵点P的横坐标为，且点P为正方形中心，， ∴点C和点D位于y轴上． ∵抛物线落在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小， ∴正方形在直线的左侧， ∴， ∴； ②分类讨论：Ⅰ当正方形与抛物线的交点在边和上时，如图1， ∴． ∵交点的纵坐标之差为， ∴， ∴； Ⅱ当正方形与抛物线的交点在边和上时，如图2， ∴． ∵交点的纵坐标之差为， ∴， 解得：，（舍）； Ⅲ当正方形与抛物线的交点在边和上时，如图3， ∴． ∵交点的纵坐标之差为， ∴， 解得：，（舍）． 综上可知，m的值为或或． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，中心对称的性质，二次函数的性质，正方形的性质，坐标与图形等知识，正确求出二次函数解析式并利用数形结合的思想是解题关键． 87．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，抛物线与抛物线交于点，且分别与y轴交于点D，E，过点B作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点A，C． (1)直接写出a，m的值； (2)嘉嘉说：可由向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到． 琪琪说：无论x为何值，恒小于0． 请选择其中一人的说法进行说理； (3)推断以A，D，C，E为顶点的四边形是哪种特殊的四边形，并直接写出抛物线与在该四边形内部（包括边界）的部分的整点（横、纵坐标都为整数）个数； (4)作直线，将直线向下平移个单位长度后得到直线l，直线l与抛物线相交，直接写出直线l与抛物线有三个交点时n的值． 【答案】(1)； (2)见详解； (3)正方形，有5个整点在四边形内部（包括边界）； (4)或4． 【分析】（1）由抛物线与抛物线交于点，可求得的值； （2）由抛物线的平移的性质，即可得可由向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位得到，说明嘉嘉的说法；由非负数的性质，即可证得，即可得无论x取何值，总是负数，说明琪琪的说法； （3）首先求得点的坐标，即可证得，又由，即可证得四边形为正方形．结合图像求出抛物线与在该四边形内部（包括边界）的部分的整点（横、纵坐标都为整数）个数； （4）分直线l与抛物线有一个交点，过点两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与交于点， 当时，， 即，， 解得：，； （2）解：嘉嘉的说法： 抛物线与， 可由向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到； 琪琪的说法： ， ， ， 无论取何值，总是负数； （3）解：设与交于点， 当时，， 解得：或， 点， 当时，， 解得：或， 点， ，， 当时，，， ，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形； ，， 设直线为， 得， 解得， ， 由图像可知：点在四边形内部（包括边界）， 当时， 或， 时，， 时，， 两图像的交点坐标为，， 抛物线的顶点也在四边形的边上， 综上所述，共有5个整点在四边形内部（包括边界）； （4）解：，， 设直线为， 得，解得， ， 将直线向下平移个单位长度后得到直线l为， 令， 即， 当时，即， 解得， 此时直线l与抛物线 有两个交点，与有一个交点，共有三个交点，如下图： 当直线l经过点时， ， 解得， 此时直线l与抛物线有三个交点，如下图： 综上所述，当直线l与抛物线有三个交点时n的值为或4． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式、非负数的性质、二次函数的平移以及正方形的判定，此题难度较大，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用． 88．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）已知：抛物线：；抛物线：（其中为常数），顶点为． (1)①直接写出的对称轴． ②当时，此时点和点在上， 则______（填“”、“”或“”）． (2)设的顶点坐标为，用含的式子分别表示和；并写出的最大值． (3)当时， ①抛物线是由抛物线沿直线翻折得到，写出的值． ②把抛物线向左平移个单位得到抛物线，求抛物线和抛物线的交点坐标； ③将抛物线向左平移个单位（）得到新的抛物线，设新的抛物线和的交点为和，点是线段的中点，则点的横坐标为______（直接用含的式子表示）． 【答案】(1)①对称轴为；② (2)、，的最大值 (3)①；②或；③点的横坐标为 【分析】（1）①由顶点式直接得出对称轴；②利用抛物线的图象与性质即可得到答案； （2）将抛物线：配方，化为顶点式得到顶点坐标即可得到、，再由二次函数图象与性质即可得到的最大值； （3）①根据对称性得到抛物线：，再由抛物线：，对比列方程求解即可得到答案；②由函数图象平移得到抛物线：，联立方程组求解即可得到抛物线和抛物线的交点坐标；③由函数图象平移得到新抛物线，联立方程组得到，由一元二次方程根与系数关系及中点坐标公式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：①抛物线：， 的对称轴为； ②当时，抛物线：， 抛物线开口向上，对称轴为， 抛物线上的点到对称轴的距离越近，越小， 点和点到对称轴为的距离分别为和， ， 故答案为：； （2）解：抛物线：（其中为常数）， ， 的顶点坐标为，则、， ， 由可知抛物线开口向下，有最大值为； （3）解：当时，抛物线：， 由①抛物线是由抛物线沿直线翻折得到， ，即， 抛物线：， 抛物线：， ，解得； ②把抛物线向左平移个单位得到抛物线，则抛物线：， 联立，解得或； ③将抛物线向左平移个单位（）得到新的抛物线，则表达式为， 联立，则， ， 点是线段的中点，设、， 点的横坐标为． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图象与性质、函数图象的平移、函数图象对称、求两个抛物线的交点、解一元二次方程、一元二次方程根与系数关系及中点坐标公式，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． 89．（2024·河北邯郸·三模）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究（）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中，． 【基础训练】 （1）①请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程： ， ； ②抛物线上的动点P到它的焦点之间距离最小值为 ． 【技能训练】 （2）如图2，已知抛物上一点（）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标； 【能力提升】 （3）如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l．直线m：，过抛物线上P点作x轴垂线，交直线m于点Q，，，当时，请直接写出P点横坐标x的取值范围． 【拓展延伸】 该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线（）平移至（）．坐标系内有一定点，直线l过点．且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l：的距离． 请阅读上面的材料，探究下题： （4）如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点，当取最小值时，请直接写出最小值及此时的面积． 【答案】（1）①，②1（2）（3）（4） 【分析】（1）①根据题中所给抛物线的焦点坐标和准线方程的定义求解即可；②根据点到焦点的距离等于点到定直线的距离，得到动点到焦点的最小值即为抛物线的最低点到定直线的距离，即为的长度； （2）利用两点间距离公式结合已知条件列式整理得，然后根据，求出，进而可得，问题得解； （3）由题意得，设直线交准线l于点N，则可分别得点Q与N的坐标，从而得关于x的表达式，利用则可求得x的范围． （4）根据题意求得抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，根据两点之间线段最短可得当，，三点共线时，的值最小；求得，即可求得的面积． 【详解】解：（1）①∵抛物线中， ∴，， ∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为， 故答案为：，； ②∵点到焦点的距离等于点到定直线的距离， ∴动点到焦点的最小值即为抛物线的最低点到定直线的距离，即为的长， ∵， ∴； 故答案为：1； （2）由（1）知抛物线的焦点F的坐标为， ∵点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍， ∴，整理得：， 又∵， ∴ 解得：或（舍去）， ∴， ∴点P的坐标为； （3）∵点P的横坐标为x，且点P在抛物线上， ∴， 如图，连接，设直线交准线l于点N，则； 由（1）知，抛物线的焦点为，准线的方程为； ∵轴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解，得：； 对于，化简得：， 考虑二次函数，令， 解得：， 即二次函数图象与x轴交于， ∵二次函数的图象开口向上， ∴的解集为：或； 综上，不等式的解集为：， 即x的范围为． （4）∵抛物线中， ∴，， ∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为， 过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，如图：    若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小；如图：    ∵点的坐标为，准线， ∴，点的横坐标为，代入解得， 即，，的最小值为， 则的面积为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，根据交点确定不等式解集等知识，理解题干中焦点与准线的意义，善于利用抛物线上的点到焦点的距离等于此点到准线的距离是解题的关键． 90．（2024·河北邯郸·二模）抛物线：与直线：交于、两点，且．    (1)求和的值（用含的代数式表示）； (2)当时，抛物线与轴的另一个交点为． ①求的面积； ②当时，则的取值范围是_________． (3)抛物线：的顶点，求出与的函数关系式；当为何值时，点达到最高． (4)在抛物线和直线所围成的封闭图形的边界上把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当时，直接写出“美点”的个数_________． 【答案】(1)， (2)10； (3)； (4) 【分析】（1）将点分别代入抛物线L与直线a解析可得结论． （2）①由可得出，令，可得出x的值，进而可得出点C的坐标，联立抛物线L与直线的解析式，可得出点B的坐标，再根据三角形的面积公式可得出结论 ②根据抛物线的性质可得出当时，抛物线的增减性，进而可得出y的取值范围． （3）将抛物线的解析式化为顶点式，可得出n的值，进而可得出n与b的函数关系式，根据二次函数的性质可得出结论． （4）求出抛物线与直线的交点，在其范围内，根据抛物线解析式和直线解析式的特点确定“美点”的个数． 【详解】（1）将点代入直线：， ∴， ∴， 将点代入抛物线L：， ∴， ∴， 综上，，． （2）①当时，， ∴抛物线L的解析式为：， 令，则或， ∴， 令，解得：或， ∴， ∴． ②当时， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围为：． （3）∵抛物线L：， ∴抛物线的顶点为， ∴， ∵， ∴当时，n的最大值为0，此时点M达到最高． （4）当时，抛物线L：，直线：， 由得，，， ∴抛物线L和直线的交点是和， 当时，在L和上的边界上，当横坐标x是整数时，纵坐标y也是整数， ∴“美点”共有：个． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，新定义“美点”，二次函数的应用，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 十二、二次函数临近点问题 91．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，关于甲、乙两人的说法，下列判断正确的是（   ） 甲：关于x的一元二次方程的解为，； 乙：已知点，，将函数图象向上平移m个单位长度，若平移后的函数图象与线段只有一个公共点，m的取值范围为 A．甲、乙的都正确 B．甲、乙的都不正确 C．只有甲的正确 D．只有乙的正确 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移，根据抛物线的对称性可得抛物线与轴的交点坐标，可判断甲正确，再求解抛物线的解析式为，把向上平移m个单位长度，得到新的抛物线为：，再分情况讨论交点的数量即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为：， ∴关于x的一元二次方程的解为，；故甲符合题意； ∵二次函数的图象与x轴的交点坐标为与， ∴抛物线为， 把向上平移m个单位长度，得到新的抛物线为： ， 当抛物线的顶点在线段上时，如图， ∴当时，， ∴， 解得：， 如图，当抛物线过时， ∴， 解得：， 当抛物线过时，如图， ∴， 解得：， 综上：平移后的函数图象与线段只有一个公共点，m的取值范围为或．故乙不正确； 故选：C 92．（2024九年级·河北·学业考试）如图，正方形的顶点坐标分别为，，．抛物线经过点D，顶点坐标为，将此抛物线在正方形内(含边界)的部分记为图象G．若直线与图象G有唯一交点，则k的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先求出抛物线解析式为，再求出抛物线与正方形边长另一个交点为，再根据直线过定点，结合函数图象解题即可． 【详解】解：设抛物线与正方形边长另一个交点为， ， ∵正方形的顶点坐标分别为，，， ∴， ∵抛物线经过点D，顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 把代入得到，解得， ∴抛物线解析式为， 当时，解得， ∴， ∵直线， ∴直线过定点， 当时， ∴直线与必有两个交点， ∵将此抛物线在正方形内(含边界)的部分记为图象G，直线与图象G有唯一交点， ∴当时，抛物线过，，即，解得， 当时，抛物线过，，即，解得， 综上所述，或， 故选：A． 93．（24-25九年级上·河北沧州·期末）已知抛物线，其中m是常数，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．给出下列4个结论：①不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；②不论m为何值，该抛物线与y轴一定交于正半轴；③抛物线上有一个动点P，满足的点有3个时，则；④若时，则；其中，正确的结论个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象的性质，二次函数与几何面积问题．①利用判别式的值即可判断；②求出抛物线与x轴的交点即可判断；③求出抛物线的顶点坐标，点P是抛物线顶点满足条件，由此即可求出n的值；④构建不等式即可解决问题． 【详解】解：， ∵， ∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点，故①正确， 令，解得， 可能小于0， 抛物线与y轴不一定交于正半轴，故②错误， ∵， ∴顶点的纵坐标为， ∵抛物线上有一个动点P， 如图，， 点到x轴的距离等于直线到x轴的距离， 当且仅当点在抛物线顶点时，满足的点有3个， 设，对于方程， 有， ， （负值舍去），即， 抛物线顶点的纵坐标为， 点P到x轴的距离为， 点P是抛物线的顶点时满足条件，此时，故③正确， 令，则，即， 解得：或， ， 时， ∴， ∴，故④错误， 故选：B． 94．（24-25九年级上·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，将横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知抛物线与x轴的交点为A，B． （1） 线段AB上的整点个数为 ； （2） 抛物线在点A，B之间的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）整点个数为 ． 【答案】 3 4 【分析】本题考查了二次函数图象与x轴交点，二次函数图象与性质等知识； （1）令，即可求得图象与x轴交点的横坐标，从而可确定线段AB上的整点个数； （2）求出当时的函数值，根据函数值及线段即可确定整点个数． 【详解】解：（1）令， 解得：， 在0与2间的整数有1， 则线段AB上的整点为，共有3个整点； 故答案为：3． （2）当时， ， 在x轴下方抛物线内的整点只有，加上线段AB上的3个整点， 则满足题意的整点数为4； 故答案为：4． 95．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，抛物线与直线交于点，，且点在轴上． (1)求和的值； (2)结合图像写出关于的不等式的解集； (3)已知点在抛物线上，若针对的不同取值，点的个数始终为2，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式，求一次函数与二次函数的交点坐标，图象法解不等式，二次函数综合等等，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式，进而利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先联立抛物线解析式和一次函数解析式求出点B的坐标，再根据图象法找到抛物线图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可； （2）首先将二次函数转化为顶点式，然后得到二次函数的最小值为，进而求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， 把代入，得， 解得； （2）解：由（1）知，抛物线解析式为，直线解析式为， 联立，解得或， ∴， ∵由函数图象可知，当抛物线在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或； （3）解：∵，， ∴二次函数开口向上， ∴二次函数的最小值为， 观察图象，若P的个数为2，则． 96．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，将点向右平移5个单位长度，得到点C． (1)直接写出点C的坐标，并求抛物线的对称轴； (2)若通过计算判断l的顶点与直线的位置关系； (3)若l与线段恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2)顶点在直线上 (3)或或 【分析】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据点的坐标平移规律求点C的坐标；将代入抛物线解析式得到，然后根据二次函数对称轴公式即可求出抛物线的对称轴； （2）首先将抛物线配方成，得到顶点坐标为，然后结合点B和点C的坐标求解即可； （3）首先求出抛物线的顶点坐标为，然后分和两种情况讨论，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：∵将点向右平移5个单位长度，得到点C ∴点C的坐标为； ∵经过点， ∴ ∴ ∴ ∴对称轴为直线； （2）解：当时， ∴抛物线的顶点坐标为 ∵， ∴l的顶点在直线上； （3）解：∵ ∴抛物线的顶点坐标为 ∴①如图所示，当时，当抛物线的顶点坐标在直线上时，此时l与线段恰有一个公共点， ∴， ∴； 当抛物线与y轴的交点在以上时，此时l与线段恰有一个公共点， ∴， ∴； ②如图所示，当时，当抛物线经过点C时， 解得 ∴当l与线段恰有一个公共点时， 综上所述，a的取值范围是或或． 97．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，抛物线（，为常数）经过点和点，已知点，，线段MN上方有两个台阶，每个台阶的高、宽都是1． (1)求抛物线的解析式，并直接写出其对称轴和顶点坐标． (2)判断抛物线是否经过点M，并说明理由． (3)若线段MN带动台阶以每秒2个单位长度的速度沿某一方向平移，设平移的时间为t秒． ①若平移后，台阶上的拐点（即点C，D，E，F）中有一个恰好与抛物线的顶点重合，请直接写出哪个拐点与抛物线的顶点重合时对应的t值最小，并求出该最小值． ②若台阶从初始位置竖直向下平移，当台阶与抛物线有公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)解析式为；对称轴为直线；顶点坐标为 (2)抛物线不过点M；理由见解析 (3) 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）把点M坐标代入所求解析式中，即可验证； （3）①当点E与抛物线L的顶点重合时，对应的t值最小；设抛物线L的顶点为P，由（1）知，P点坐标为，连接；易得点E的坐标，由勾股定理即可求得，从而求得最短时间； ②由（2）知，抛物线与x轴的另一个交点为；台阶向下平移时，抛物线最先经过点M，即点M与重合，从而求得此时t的值最小；抛物线经过点F时，此时t的值最大；分别求出t的最小与最大值，即可求得t的范围． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴， 解得：， ∴； ∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：抛物线不过点M； 理由：当时，， ∴抛物线不过点M； （3）解：①如图，当点E与抛物线L的顶点重合时，对应的t值最小； 设抛物线L的顶点为P，由（1）知，P点坐标为，连接； ∵， ∴， ∴t的最小值为． ②由（2）知，抛物线与x轴的另一个交点为， 而， ∴台阶从初始位置竖直向下平移，当台阶与抛物线有公共点时，抛物线最先经过点M，即M点与重合，此时运动时间最短；抛物线最后经过点F，此时运动时间最长； 由题意知，点F的坐标为； ∴当台阶竖直向下平移t秒时，点F的坐标为； 抛物线经过点M时，此时台阶向下平移了2个单位长度，即， 解得：； 把F点代入中，得， 解得：； ∴台阶从初始位置竖直向下平移过程中，当台阶与抛物线有公共点时，t的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理，图形的平移等知识；熟练掌握这些知识是解题的关键． 98．（2023·河北张家口·模拟预测）已知，抛物线经过点，． (1)求抛物线的对称轴； (2)平移抛物线，使其顶点在直线上，设平移后的抛物线的顶点的横坐标为m． ①抛物线的顶点的纵坐标为______（用含m的代数式表示）； ②抛物线与y轴交点坐标为，求n的最大值． (3)如图，在中，点D坐标为，，在（2）的条件下，抛物线与有公共点，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)①；②2 (3)或 【分析】（1）把点，代入抛物线的解析式，再利用待定系数法求解二次函数的解析式，再求解对称轴方程即可； （2）①根据平移后顶点在直线上求解即可； ②根据 平移后的抛物线的解析式为： 再令 建立二次函数的关系式，从而可得答案； （3） 【详解】（1）∵抛物线：经过点，， ∴ 解得： ∴抛物线为： ∴抛物线的对称轴为直线； （2）①∵平移抛物线，使其顶点在直线上， ∴设平移后的抛物线的顶点为： ． 故答案为：； （2）平移后的抛物线的解析式为： 当时， ∴抛物线与轴交点的纵坐标的最大值为． 故答案为：2； （3）∵，， ∴； 当抛物线经过时， ， 解得或； 当抛物线经过时， ， 解得或； 当抛物线经过时， ， 解得或； 当抛物线对称轴左侧与有公共点时，； 当抛物线对称轴右侧与有公共点时，； ∴m的取值范围是或． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，平移变换，抛物线上点坐标的特征等知识，解题的关键是用含m的代数式表示相关点坐标． 试卷第2页，共145页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$