清单03 直线与圆的位置关系综合题清单（11个题型83题）（期末复习知识清单）九年级数学上学期冀教版

清单03 直线与圆的位置关系综合题清单 一、点与圆的位置关系 1．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）在中，，，，以点C为圆心，6为半径作圆，则点A与的位置关系是（   ） A．点A在上 B．点A在内 C．点A在外 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理及点与圆的关系，根据勾股定理求出，根据点与圆的位置关系得到与半径大小关系判断即可得到答案； 【详解】解：∵，，， ∴， ∵的半径为6， ∴， ∴点A在内， 故选：B． 2．（2024·河北保定·二模）如图，在直角坐标系中，存在三个定点分别为，，，顺次连接，现添加一点，使得，那么的长不可能为（    ） A．4 B．7 C．11 D．15 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，确定点所处的位置是解题关键．首先根据点的坐标，确定，由题意可知点在以点为圆心，以5为半径的圆上，然后确定的取值范围，即可获得答案． 【详解】解：如下图， ∵，，， ∴，，， ∴， 由题意可知，， 则点在以点为圆心，以5为半径的圆上， ∴当点在线段上时，取最小值， 此时， 当点在线段的延长线上时，取最大值， 此时， ∴的取值范围为， ∴的长不可能是4，选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 故选：A． 3．（2024·河北沧州·模拟预测）小明手中有几组大小不等的三角板，分别是含度，度的直角三角板．从中选择两个各拼成如图所示的图形，则关于两图中四个顶点，，，的说法，正确的是（    ） A．甲图四点共圆，乙图四点共圆 B．甲图四点共圆，乙图四点不共圆 C．甲图四点不共圆，乙图四点共圆 D．甲图四点不共圆，乙图四点不共圆 【答案】C 【分析】本题考查圆的定义，点和圆的位置关系，直角三角形斜边中线性质，熟练掌握这些定义和性质是解题的关键．甲图中，取中点，连接，，得出，得点、、是以点为圆心，为半径的圆上，再判断点在圆外即可；乙图中，取中点，连接，，得，即可判断． 【详解】解：如甲图中，取中点，连接，， ∵， ∴， ∴点、、是以点为圆心，为半径的圆上， 为直角三角形， ∴， ∴点在圆外， ∴甲图四点不共圆； 如乙图中，取中点，连接，， ∵， ∴， ∴点、、、是以点为圆心，为半径的圆上， ∴乙图四点共圆， 综上，甲图四点不共圆，乙图四点共圆， 故选：C． 4．（2024·河北邯郸·二模）如图，平面上有P，Q，M，N四点，其中任意三点都不在同一条直线上，嘉淇进行了如下操作：①连接四点画出四边形；②利用尺规分别作，的垂直平分线，两直线交于点O．若以点O为圆心，长为半径画⊙O，则不一定在上的点是（    ）    A．点P B．点Q C．点M D．点N 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上的任意一点，到线段两端的距离相等是解题的关键； 连接，，，，由线段垂直平分线的性质可得出，据此即可得出结论． 【详解】解：连接，，，     作，的垂直平分线，两直线交于点O， ， 点P，Q， N在点O为圆心，长为半径的圆上，与的大小关系不能确定， 点M不一定在圆上， 故选：C． 5．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，在网格（每个小正方形的边长均为）中选取个格点（格线的交点称为格点），如果以为圆心，为半径画圆，选取的格点中除点外恰好有个在圆内，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系以及勾股定理，利用勾股定理求出各格点到点的距离，结合点与圆的位置关系，即可得出结论． 【详解】解：给各点标上字母，如图所示．   ，，，，， 时，以为圆心，为半径画圆，选取的格点中除点外恰好有3个在圆内． 故选：A． 6．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在中，，，，，分别是，的中点，是以为圆心，为半径的圆，判断点D，E与的位置关系，并说明理由． 【答案】点D在内，点E在外，理由见解析 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，勾股定理，利用勾股定理求出，再由线段中点的定义求出的长，最后比较出与的长短关系即可得到结论． 【详解】解：点D在内，点E在外，理由如下： ∵在中，，，， ∴， ∵是的中点， ∴， 点D在内， ∵， ∴， 点E在外． 7．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，在中，，，，是斜边上的中线． (1)若以点为圆心，以为半径作，且点，，中有两个点在内，有一个点在外，求的取值范围； (2)若以点为圆心，以为半径作，且点，，都在上，求的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查点和圆的位置关系及勾股定理，熟练掌握点和圆的位置关系及勾股定理是解题关键． （1）利用勾股定理可得，根据直角三角形的性质得，进而根据点与圆的位置关系即可得答案； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及圆的定义，可得答案． 【详解】（1）解：，，， ． ∵是斜边上的中线． ∴， 点，，中有两个点在为，有一个点在外，， ； （2）解：是斜边上的中线，， ． 点，，都在上， ． 二、直线与圆的位置关系 8．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）如图，的半径为5，圆心O到一条直线的距离为6，则这条直线可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆与直线的位置关系，掌握圆的半径与圆心到直线的距离的关系是解题的关键． 根据圆的半径与圆心到直线的距离的关系“，圆与直线相交；，圆与直线相切；，圆与直线相离”进行判定即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∵， ∴圆与直线相离， ∴由图形可得，相离的直线是， 故选：B ． 9．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）已知圆心A到直线m的距离为d，的半径为r，若d、r是方程的两个根，则直线m和的位置关系是（   ） A．相切 B．相离 C．相交或相离 D．相切或相交 【答案】C 【分析】本题考查了圆与直线的位置关系，因式分解法解一元二次方程，理解圆与直线的位置关系，掌握因式分解法求一元二次方程的根是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到的值，再根据圆半径与圆心到直线的距离的关系“，相离；，相切；，相交”进行判定即可求解． 【详解】解：， ∴， 解得，， ∵d、r是方程的两个根， 当时，直线和的位置关系是相交； 当时，直线和的位置关系是相离； 故选：C ． 10．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在中，，，以点C为圆心，3为半径作圆，则下列判断正确的是（    ） A．点B在内 B．点A在上 C．边与相切 D．边与相离 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系．熟练掌握点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系是解题的关键． 由，可判断点B在上，进而可判断A的正误；由，可判断点A在外，进而可判断B的正误；由，，可判断边与相切，进而可判断C的正误；由边过的圆心，可得边与相交，进而可判断D的正误． 【详解】解：∵， ∴点B在上，A错误，故不符合要求； ∵， ∴点A在外，B错误，故不符合要求； ∵，， ∴边与相切，C正确，故符合要求； 由题意知，边与相交，D错误，故不符合要求； 故选：C． 11．（23-24九年级上·河北保定·期中）已知的半径为5，直线经过上一点A（点E，F在点A的两旁），下列条件：（1）；（2）；（3）；（4）O到直线的距离是5．能判定直线与相切的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了切线的判定．依据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线”或“圆心到直线的距离等于半径”进行判断即可． 【详解】解：如图， （1），不能判定直线与相切，不符合题意； （2），不能判定直线与相切，不符合题意； （3）且点A在上，能判定直线与相切，符合题意； （4）O到直线的距离是5，等于半径，能判定直线与相切，符合题意； 故选：B． 12．（24-25九年级上·河北·期中）如图， 在矩形中，，， 是以为直径的圆，则直线 与的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】本题主要考查了圆与直线的位置关系，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键．圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d，当时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，当时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案． 【详解】解：根据题意为的直径，， ∴的半径为3． 又∵，， ∴则直线 与的位置关系是相交， 故答案为：相交． 三、三角形的内心及其应用 13．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）三角形的内心是（   ） A．三角形的三条高所在直线的交点 B．三角形的三条中线的交点 C．三角形的三条角平分线的交点 D．三角形的三边线段垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】此题主要考查了三角形内切圆与内心，解题的关键是要熟记内心的定义和性质． 根据三角形的内心的定义解答即可． 【详解】解：因为三角形的内心为三个内角平分线的交点， 故选：C． 14．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查基本作图、三角形内心：三角形三条内角平分线的交点，根据内心的定义判断即可． 【详解】A、一条是内角平分线，一条是边的垂直平分线，故不能找到内心，选项不符合题意； B、两条均为内角平分线，根据三角形内心是角平分线的交点，可以利用直尺成功找到三角形内心，选项符合题意； C、两条线均为边的垂直平分线，故不能找到内心，选项不符合题意； D、一条是边的高线，一条是边的垂直平分线，故不能找到内心，选项不符合题意； 故选：B． 15．（22-23九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，的内切圆与分别相切于点D、E、F，若的半径为2，，则的长（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】连接．则由题意可知四边形是正方形，边长为2．设，，则，由，由此即可解决问题； 【详解】解：如图连接．则由题意可知四边形是正方形，边长为2． ∵的内切圆与分别相切于点D、E、F， ∴可以假设，， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，切线长定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型． 16．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）已知是的内心，，为平面上一点，点恰好又是的外心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，如图所示，由三角形内心性质结合三角形内角和定理得到，再由三角形外心定义，由圆周角定理求解即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： 是的内心， 是的角平分线、是的角平分线， ，， 在中，，则由三角形内角和定理可知， ， 在中，， 点恰好又是的外心， 由圆周角定理可得， 故选：D． 【点睛】本题考查圆中求角度，涉及三角形内心性质、角平分线定义、三角形内角和定理、三角形外心定义及圆周角定理等知识，熟记三角形内心性质及外心定义是解决问题的关键． 17．（2024·河北石家庄·二模）如图，点为的内心，，，，将平移使其顶点与重合，与边交于点，延长交于点，延长交于点，则图中阴影部分的周长为（   ） A．12 B．9 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内心、正方形的判定与性质、勾股定理逆定理、平移的性质，连接，，由三角形内心的性质得出，由平移可得，，得到，从而得出，推出，同理可得：，即可得出的周长，由勾股定理逆定理得出，证明出四边形是正方形，求出的长即可得解． 【详解】解：如图，连接，， ，点为的内心， 平分， ， 由平移可得：，， ，四边形是平行四边形， ， ， 同理可得：， 的周长为， ， 为直角三角形， ， 四边形是矩形， 点为的内心， ， 四边形是正方形， ， 正方形的周长为， 图中阴影部分的周长为， 故选：B． 18．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图，在等边的边上分别取点A，B，C，使，连接，．甲、乙、丙三人说法如下： 甲：一定是等边三角形． 乙：若点O是的外心，则它一定也是的外心． 丙：若，则的长是内切圆半径的长的2倍． 则下列判断正确的是（    ） A．只有甲的说法正确 B．只有丙的说法不正确 C．只有乙的说法不正确 D．甲、乙、丙的说法都正确 【答案】D 【分析】证明，则，同理，，则，一定是等边三角形，进而可判断甲的正误；如图，连接，由点O是等边的外心，可得，，证明，则，同理，，则，点一定也是的外心，进而可判断乙的正误；由，可得，，设内切圆半径的长为，，则，由勾股定理得，，如图，作于，则，由题意知，，证明，则，可得，由，可得，计算求解，进而可求，可判断丙的正误． 【详解】解：∵等边， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 同理，， ∴，一定是等边三角形，甲正确，故符合要求； 如图，连接， ∵点O是等边的外心， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴点一定也是的外心，乙正确，故符合要求； ∵， ∴，， 设内切圆半径的长为，，则， 由勾股定理得，， 如图，作于，则， 由题意知，， ∵等边，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 解得，， ∴，丙正确，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外心，三角形的内切圆，相似三角形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外心，三角形的内切圆，相似三角形的判定与性质，含的直角三角形是解题的关键． 19．（23-24九年级上·河北·阶段练习）如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆． （1）内切圆的半径为 ； （2）小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为 ． 【答案】 2 20 【分析】本题考查直角三角形的内切圆，切线的性质，勾股定理．设的内切圆切三边于点F、H、G，连接、、、、，先证四边形是正方形，再证，，，（切线长定理），再由勾股定理计算出，通过等量代换可得内切圆半径等于，的周长等于． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点F、H、G，连接、、、、， 由切线的性质得，，，， 又，， 四边形是正方形， ． 在和中，， ． ， 同理可证，，， ，，， ． ， 即内切圆的半径为2； ，， ， ， 即的周长为20． 故答案为：2；20． 20．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，在中，，，，，，为内心，则 ． 【答案】 【分析】作于点于点于点，作于点，连接、、，由，，求得，再利用三角形面积公式求出，再利用勾股定理求出，进而求出，由为的内心，得到，结合，易证四边形是正方形，设，则，求得，求出，由，易证，得到，再根据易证四边形是矩形，推出，，根据，求出，求出，再利用勾股定理即可得到答案． 【详解】解：作于点于点于点，作于点，连接、、， ，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵为的内心， ∴， ∴四边形是正方形， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ， ∴， ∴， ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查勾股定理、三角形的内心的性质、正方形、矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． 21．（24-25九年级上·河北张家口·期中）如图，已知是的内切圆． （1）若，，则 ； （2）若，则 ． 【答案】 / 【分析】本题考查的是三角形的内切圆的性质，作出过切点的半径是解本题的关键； （1）如图，记，与切于点，，可得，，，再利用三角形的面积公式计算即可； （2）证明，， ，再结合三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：（1）如图，记，与切于点，， ∴，，， ∵，， ∴； （2）∵， ∴， 是的内切圆， ， ， ， 故答案为：，． 四、由直线与圆的位置关系求值 22．（23-24九年级上·河北张家口·期末）直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为5，则r的值可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线到圆心距离为d，半径为r，当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交． 【详解】解：∵直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为5， ∴， ∵， ∴A、B、C不符合题意，D符合题意； 故选：D． 23．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，若与直线相离，的半径可取的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、解一元二次方程，先解一元二次方程可得出，再根据直线与圆的位置关系可得出，即可得到答案，熟练掌握直线与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：， ， 或， ，， 的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根， ， 与直线相离， 的半径，即， 故选：A． 24．（22-23九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，已知，，，以为圆心，为半径作，与线段有交点时，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】过M作于H，根据直角三角形的性质得到，然后根据直线与圆的位置关系即可得到结论． 【详解】解：过M作于H，如图所示： ∵，， ∴， ∵，与线段有交点， ∴r的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和相交；直线l和相切；直线l和相离． 25．（22-23九年级上·河北邢台·阶段练习）在Rt△ABC中，，，，若以点C为圆心，r为半径的圆与边所在直线相离，则r的取值范围为 ；若与边只有一个公共点，则r的取值范围为 ． 【答案】 或 【分析】如图，作于．利用勾股定理求出，再利用面积法求出即可判断． 【详解】解：如图，作于． 在中，∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵以点为圆心，为半径的圆与边所在直线相离， ∴的取值范围为， ∵与边只有一个公共点， ∴的取值范围为或， 故答案为：，或． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 26．（20-21九年级上·河北邯郸·期中）如图，在直线l上有相距7cm的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线l上），则⊙O与直线AB在 秒时相切． 【答案】3或4/4或3 【分析】根据切线的判定方法，当点O到AB的距离为1cm时，⊙O与直线AB相切，然后分两种情况：⊙O在直线AB左侧和在直线AB右侧，进行计算即可． 【详解】∵直线AB⊥l， ∴当⊙O在直线AB左侧距AB的距离为1cm时，⊙O与直线AB相切， 此时⊙O移动了7－1=6cm，所需时间为6÷2=3s； 当⊙O在直线AB右侧距AB的距离为1cm时，⊙O与直线AB相切， 此时⊙O移动了7+1=8cm，所需时间为8÷2=4s． 故答案为：3或4． 【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系，切线的判定，明确判定定理是解题的关键． 五、切线的判定 27．（2024·河北石家庄·一模）对于题目“已知⊙O及圆外一点P，如何过点P作出⊙O的切线?”甲乙的作法如图： 甲的作法连接，作的垂直平分线交于点G，以点G为圆心，长为半径画弧交于M，作直线．直线即为所求． 乙的作法连接并延长，交于B，C两点，分别，以P，O为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点D，连接，交于点M，作直线．直线即为所求．    下列说法正确的是（    ） A．甲和乙的作法都正确 B．甲和乙的作法都错误． C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．乙的作法正确，甲的作法错误 【答案】A 【分析】本题考查了作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质和切线的判定方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．对于甲的作法，连接，利用基本作图得到垂直平分，则，再根据圆周角定理得到，然后根据切线的判定方法得到为的切线，于是可判断甲的作法正确；对于乙的作法：利用基本作图得到，，由于，所以，则根据等腰三角形的性质得到，然后根据切线的判定方法得到为的切线，于是可判断乙的作法正确． 【详解】解：对于甲的作法： 连接 由作法得垂直平分， ∴， ∴点为以为直径的圆与的交点， ∴， ∴， ∴为的切线，所以甲的作法正确； 对于乙的作法： 由作法得，， ∵， ∴， ∴， ∴为的切线，所以乙的作法正确； 故选：A． 28．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）淇淇家购买了一个直径为的圆形梳妆镜，如图，点是圆镜上两个挂绳固定点，点是钉子，悬拖点、挂绳长度可调节，且． (1)淇淇通过调节挂绳长度，使得与相切于点． 求证：与相切； 若，求的长． (2)淇淇经过对家人身高的调查，决定把镜子中心定在距桌面高度处（如图），且、、三点共线，通过测量得，若，直接写出点到桌面的距离的范围（结果保留根号）． 【答案】(1)见解析； ； (2)． 【分析】连接、，可证，根据全等三角形的性质可证，从而可证与相切； 根据全等三角形的性质可知，在直角三角形中利用的正切求出的长度，从而得到的长度； 连接、，根据，可得，在中利用勾股定理可求，在中利用勾股定理可求，根据的取值范围可求的取值范围，从而可求的取值范围． 【详解】（1）证明：如下图所示，连接、， 则， 在和中， ， ， 与相切于点， ， ， 与相切； 由可知， ， ， ， 的直径为， ， ， ， 解得：， ， ； （2）解：如下图所示，连接、， ，， 是的垂直平分线， ， 又， ， 在中， 在中， 当时，， 当时，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定与性质、垂径定理、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、勾股定理、解直角三角形．解决本题的关键是根据圆的性质找到边和角的关系． 29．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）图1为中医常用碾药工具——药碾，又名惠夷槽，图2是从药碾抽象出来的几何模型，延长交于点，，于点，连接，． (1)求证：为的切线． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接．由，可得．由，可得．则，即，，进而结论得证； （2）由题意可求，则． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， 又∵是半径， 为的切线． （2）解：，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等边对等角，含的直角三角形．熟练掌握切线的判定，三角形内角和定理，等边对等角，含的直角三角形是解题的关键． 30．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，是半圆O的直径，点C是半圆上一点（点C不与点A，B重合），点D是的中点，过点D作交的延长线于点E． (1)求证：是半圆O的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，由弧相等得，从而，则，再由即可得证； （2）连接，，过点D作于点F，证明，得，再证明，得；则可得，从而可求得． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ； 又为的中点， ， ， ， ； 又， ， ， ； 又是半圆O的半径， 是半圆O的切线． （2）解：连接，，过点D作，垂足为点F， ，，， ，； 又， ， ； 四边形是圆内接四边形， ； 又， ； ，， ， ； 又， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆内接四边形的性质，弧、弦、圆心角的关系，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，本题涉及的知识点较多，还涉及常作的辅助线． 31．（24-25九年级上·河北张家口·期中）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，边与轴交于点，平分交边于点，经过点、、的圆的圆心恰好在轴上． (1)求证：是的切线； (2)若点、的坐标分别为，； ①求的半径； ②求的长． 【答案】(1)见解析； (2)①；②． 【分析】本题考查的是切线的判定、垂径定理的应用，矩形的判定与性质，勾股定理，掌握切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到，得到，根据平行线的性质得到，证明结论； （2）①连接，设的半径为，根据勾股定理列出方程，解方程即可； ②过点作于，利用勾股定理求得、的长，再利用矩形的判定与性质可得答案． 【详解】（1）证明：连接， 平分， ， ， ， ， ∴， ， ， 为半径， 即是的切线； （2）解：①连接， 由A、D的坐标得，； 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得， 解得，， 即的半径为； ②过点作于， 在中， ， 在中，， ，， 在中， ， 由（1）得， ， ， 四边形是矩形， ． 32．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，为的外接圆，为的直径，，的平分线与交于点P，过点P作于点Q，连接． (1)与的位置关系为 ． (2)求证：为的切线． (3)若，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）首先根据直径所对的圆周角是直角得到，然后得到，即可证明； （2）连接，根据角平分线的概念和等边对等角得到，得到，即可证明出为的切线； （3）首先根据题意证明出，得到，然后代数表示出，然后在中，利用勾股定理求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图所示，连接 ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵点P是上的点 ∴为的切线； （3）∵ ∴ ∵为的直径 ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴，即 ∴ ∵ ∴ ∵在中， ∴ 解得或（舍去） ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了切线的判定，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是正确做出辅助线以及掌握以上知识点． 33．（24-25九年级上·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，动点在以半径为3的上，连接，过点作，与相交于点（其中点、、按逆时针方向排列），连接． (1)、、三点如图中位置，且时，________； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)连接，，当时，求证：直线为的切线． 【答案】(1)45 (2)与相离，见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据点和点坐标易得为等腰直角三角形，则，由于，所以当、、三点如图中位置时有，从而得出答案； （2）根据圆心到的距离即可得到答案； （3）由于，得出，则可得到，，然后根据“”判断，从而得出，再根据切线的判定定理可确定直线为的切线． 【详解】（1）解：点，点， ， 为等腰直角三角形， ， 当、、三点如图中位置，且时，， 故答案为：45； （2）解：与相离； 过作于， 由已知得， 在中，， ∴， ∴与相离； （3）证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴直线为的切线． 【点睛】本题考查了圆的综合题，用到的知识点是切线的判定定理、平行线的性质和等腰直角三角形的判定与性质；熟练运用勾股定理进行几何计算是本题的关键． 34．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，以为圆心，为半径的圆经过点，延长交于点，，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积； (3)若将扇形剪下，围成一个圆锥的侧面，求圆锥的底面圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了圆的切线的判定，圆周角定理的推理，扇形的弧长、面积公式，是一道圆的综合题，解题关键是得到四边形是矩形． （1）连接，由平行四边形的性质可知，，，可得四边形是平行四边形；由同弧所对的圆心角相等及邻补角的性质可知，，由此可得，平行四边形是矩形，再结合切线的性质可得结论； （2）根据（1）中所求，可得，，分别利用三角形的面积公式及扇形的面积公式可得出阴影部分的面积； （3）由（2）可知，，根据侧面扇形弧长等于圆锥的底面圆的周长即可求解． 【详解】（1）解：证明：如图，连接， 四边形是平行四边形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形． ， ， ， ， 平行四边形是矩形． ， ， 是半径， 是的切线． （2）由（1）知，，， ， 在中，，， ， 由（1）知，四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ，，， ， ． ． （3）由（2）可知，， 则圆锥的底面圆的周长为， ∴圆锥的底面圆的半径． 35．（2024·河北邯郸·三模）如图，以点为圆心，为半径作优弧，使点在点右下方，且，，在优弧上任取一点，过点作直线的垂线，交直线于点，连接．    (1)若优弧上一段的长为，求的度数及的值； (2)①点有可能落在圆上吗？请判断并说明理由； ②当点在上方时，求的最大值，并指出此时直线与所在圆的位置关系． 【答案】(1)，； (2)可能落在圆上，理由见解析；的最大值，直线与所在圆相切． 【分析】（）设，根据，解得：，则，解直角三角形即可求解； （）当垂直平分时，根据垂直平分线的性质得出即可； 根据切线的性质得到，解直角三角形即可求解； 本题考查了切线的判定与性质，垂直平分线的性质，弧长计算公式，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）如图，设，交于点，    ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）可能落在圆上，理由： 如图， 当垂直平分时， ∴， ∴点在圆上； 如图，当点位于直线与圆的交点处时最大，    ∴， ∵，是圆半径， ∴此时直线与所在圆相切， 在中，． 六、切线的性质 36．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，是的直径，直线与相切于点．若．则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了切线的性质与圆周角定理．根据切线的性质可得 继而求得，再根据圆周角定理，可求得，即可求出． 【详解】∵是的直径，直线与相切于点， ∴， ∴， ∴， 又∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 37．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，在中，，，，作的平分线交于点，以点为圆心，为半径作圆，与射线交于点，．对下面两个结论判断正确的是（   ） 结论Ⅰ：与直线相切； 结论Ⅱ： A．Ⅰ对Ⅱ不对 B．I不对Ⅱ对 C．Ⅰ和Ⅱ都对 D．Ⅰ和Ⅱ都不对 【答案】A 【分析】由勾股定理的逆定理得出，由角平分线的性质定理得出Ⅰ正确；由全等三角形的性质得出，证明，得出对应边成比例求出，由，即可判断Ⅱ是否正确． 【详解】解：， ， 是直角三角形，， 作于，如图所示： 是的平分线， ， 与直线相切， 结论Ⅰ正确； ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，即， 解得：， ∴， ， ∴Ⅱ不对， 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的判定、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数；熟练掌握切线的判定，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键． 38．（2024·河北张家口·一模）如图，点在数轴上对应的数是，以原点为圆心，的长为半径作优弧，使点在原点的左上方，且，点为的中点，点在数轴上对应的数为4． (1)求扇形的面积； (2)点是优弧上任意一点，则求的最大值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查特殊角三角函数值，扇形面积公式，圆的切线： （1）根据得出，进而得出优弧所对的圆心角，再利用扇形面积公式求解； （2）当与优弧相切时，最大，根据的正弦值确定度数． 【详解】（1）解：点在数轴上对应的数是，原点为圆心， ， ， 优弧所对的圆心角为：， ． （2）解：如图，当与优弧相切时，最大， ， ． 39．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）中，，为边上的高，如图1，A在原点处，点B在y轴正半轴上，点C在第一象限，若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单长的速度运动，则点B随之沿y轴下滑，并带动在平面上滑动．如图2，设运动时间表为t秒，当B到达原点时停止运动．    (1)当时，求点C的坐标； (2)当以点C为圆心，为半径的圆与坐标轴相切时，求t的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先由，为边上的高，根据等腰三角形三线合一的性质得出为的中点，则，然后在中运用勾股定理求出，进而得到点的坐标； （2）分两种情况：①与轴相切，根据两角对应相等的两三角形相似证明，得出，求出的值；②与轴相切，同理，可求出的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴D为的中点， ∴， 在中，， ∴点C的坐标为； （2）解：①设时，与x轴相切，A为切点，如图所示：    ∴， ∴轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得； ②设时，与y轴相切，B为切点，如图所示：    ∴， ∴轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得：． 综上可知，当以点C为圆心，为半径的圆与坐标轴相切时，t的值为或． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，涉及到等腰三角形的性质，坐标与图形，勾股定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强，有一定难度，其中第（2）问进行分类讨论是解题的关键． 40．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图1，中，，将扇形按图1摆放，使扇形的半径、分别与、重合，．    如图2，若不动，让扇形绕点逆时针旋转一周，连接线段、，设旋转角为． 发现：直接写出、的数量关系____________． 探究：若 （1）扇形绕到点的左侧，当时，旋转角_____________； （2）扇形绕到点的右侧，当与弧相切时，求； （3）若点是弧上任意一点，在扇形绕点逆时针转过程中，当的面积最大时，求出的度数 【答案】发现：；探究：（1）；（2）；（3）或 【分析】发现：根据，结合旋转角，证明即，即可得到； 探究：（1）根据题意画出图形，由得到，即可求出旋转角； （2）由与相切得到是直角三角形，根据勾股定理求出即可得到； （3）根据的面积乘以过点A作的高线的积的一半，故当高线恰好是时，的面积最大，由此得到的度数． 【详解】发现：，理由如下： 由旋转的性质得：， ∵， ∴， ∴； 探究：（1）如图：   ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴旋转角； （2）解：∵与相切， ∴即是直角三角形， ∴， ∴； （3）∵点Q在上， ∴， 的面积乘以过点A作的高线的积的一半，故当高线恰好是时，的面积最大， ∴或 【点睛】此题考查全等三角形与旋转问题，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，圆的切线的性质，是一道较为综合的题型． 41．（23-24九年级下·河北石家庄·期末）如图1，四边形中，，，，为四边形的对角线，．    (1)求点到的距离； (2)如图2，点在边上，且．以为圆心，长为半径作，点为上一点，连接交于．． ①当与相切时，求的长； ②当时，直接写出的长． 【答案】(1)4 (2)①；②5或11 【分析】（1）由勾股定理求出的长，然后根据三角函数的定义求出到的距离即可； （2）①连接，由（1）以及可以求出的长，然后根据勾股定理求出的长，再根据勾股定理求出的长即可； ②过作与，所以四边形为矩形，在中运用勾股定理即可求出的长，从而可以求出的长． 【详解】（1）解：过作于，如图： ，，， ， 在中，， ， 即点到的距离为4； （2）解：①连接，如图： 由（1）知，， ， ， ， ，，， ， 是的切线， ， ； ②过作于，如图：   ，， 四边形为矩形， ，， 在中，， ； 同理，， 或11． 【点睛】本题主要考查了圆的切线，矩形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，合理构造直角三角形是本题解题的关键． 42．（24-25九年级上·江苏南京·期中）图（1）是一把“U形”尺，图（2）是该尺内侧的示意图，已知边，边，，． 算一算 将该尺摆放在一些圆上，测量并计算圆的半径r． （1）如图（3），点A，B，C，D恰好都在圆上，则 ． （2）如图（4），该尺的边与圆相切于点P，且点P在该尺上的读数为，点D在圆上，则 ． （3）如图（5），该尺的边与圆有两个公共点P，Q，它们在该尺上的读数分别为，，边与圆也有两个公共点，其中一个公共点R在该尺上的读数为，求r的值． 想一想 （4）若将该尺摆放在一个圆上（尺子只摆放一次，圆的圆心未标注），一定可以通过测量并计算出该圆的半径r吗？如果可以，说明理由；如果不一定可以，请直接写出可计算出的r的最小值和最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）若将该尺摆放在一个圆上（尺子只摆放一次，圆的圆心未标注），不一定可以通过测量并计算出该圆的半径，半径的最小值为，最大值为 【分析】（1）连接，由题意可知，可知为直径，再由勾股定理即可求解； （2）连接圆心与切点，交于，连接，，则，由题意可知，，四边形为矩形，可得，，在中，，列出关于的方程求解即可； （3）如图，过点作于，延长交于，连接，，得，可知四边形为矩形，由题意可知，，，，，则，，则，设，则，再由勾股定理得方程，求解即可； （4）结合图形，可知要能够测出圆的半径，则圆与、都要有交点，找到临界位置，当与、均相切时，直径等于的长度，求得半径的最小值为，假设圆心在右侧，要的能测出圆的半径，至少要与相切，与有交点，令与相切于点，与交于边界点，如图，由题意可知，，结合勾股定理，求得半径的最大值为． 【详解】解：（1）连接，由题意可知，，，， 则， ∴为直径， 由勾股定理可知：， ∴半径， 故答案为：； （2）连接圆心与切点，交于，连接，，则， 由题意可知，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， 则，， 在中，，即， 解得：， 故答案为：； （3）如图，过点作于，延长交于，连接，， ∴，， ∵，，， ∴四边形为矩形，则，，， 由题意可知，，，， ∴，则， ∴，则， 设，则， 在中，， 在中，， 则，解得：， ∴； （4）如图，当圆的直径小于的长度时，此时没有任何读数，则无法测量并计算出圆的半径， 如图，当圆与和其中一边相交时，也相当于只测得一条弦的长度，也无法得到圆的半径， ∴若将该尺摆放在一个圆上（尺子只摆放一次，圆的圆心未标注），不一定可以通过测量并计算出该圆的半径， 要能够测出圆的半径，则圆与、都要有交点， 如图，当与、均相切时，直径等于的长度， 即：的半径的最小值为， 假设圆心在右侧，要的能测出圆的半径，至少要与相切，与有交点， 令与相切于点，与交于边界点，如图， 由题意可知，，类比（2）可知，，则， 由勾股定理可得：， ∴，整理得， ∴， 则的半径的最大值为； 综上，半径的最小值为，最大值为． 【点睛】本题考查垂径定理，圆的切线的性质，勾股定理等知识点，理解题意，明白要能够测出圆的半径，则圆与、都要有交点，找到临界位置是解决问题的关键． 七、切线长定理 43．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）如图，是一张三角形纸板，是的内切圆，切点分别为点、、，已知，，淇淇准备用剪刀沿着与相切的任意一条直线剪下一个三角形．则剪下的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角． 设与的切点为点，由切线长定理可得，，，，据此可推出：的周长，于是得解． 【详解】解：如图，设与的切点为点， 是的内切圆，切点分别为点、、，且与相切于点， ，，，， 的周长 ， 故选：． 44．（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，的圆心在梯形的底边上，且与梯形的其他三边均相切，若，，则梯形的周长为（     ） A．8 B．10 C．14 D．18 【答案】C 【分析】此题主要考查了切线的性质和等腰三角形的性质，解本题的关键是求出, 利用切线的性质得出，进而得出，即可得出，即：，同理：即可得出结论． 【详解】解：连接，， ∵，是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴, ∵， ∴梯形的周长为， 故选：C． 45．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，是正方形的内切圆，点E，F，G，H 分别在正方形的四条边上，和分别为的切线．设和的周长分别为a和b，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．无法比较a与b的大小 【答案】C 【分析】本题考查了切线长定理，正方形的性质，依题意，连接各个切点与圆心，结合切线长定理得，则的周长是，的周长是，即可作答． 【详解】解：∵是正方形的内切圆，点E，F，G，H 分别在正方形的四条边上，和分别为的切线． ∴连接各个切点与圆心，如图所示： ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 即， 结合切线长定理得， ∴的周长是， ∴的周长是， ∵和的周长分别为a 和b， ∴， 故选：C． 46．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，分别切于点切于点C，分别交于点M，，若，则的周长是 ． 【答案】/15厘米 【分析】本题考查切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，这两条切线的长度相等是解题关键．根据切线长定理可知，，从而可求出，即可求解． 【详解】解：∵切于点C， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 八、正多边形和圆 47．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分的面积分别为，，．给出以下结论：①Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形；②Ⅲ中最大的内角是；③．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】由六边形是正六边形，得，，从而Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形，故①正确；由，，故Ⅲ中最大的内角是，故②说法错误；证明，得，故③说法正确． 【详解】解：如图所示： ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴，Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形，故①正确； ∴，， ∴Ⅲ中最大的内角是，故②说法错误； ∵六边形是正六边形， ∴，，，， ∴，和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 同理可证，， ∴，故③说法正确； 故选． 【点睛】本题考查的是正多边形与圆的含义，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，弧、弦的关系，熟练的把正六边形分割为6个全等三角形是解本题的关键． 48．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图是一个模型，为内接正多边形的一条边，若点P是优弧上一点，且，的半径为6．关于结论①、②，下列判断正确的是（   ）    ①的度数为；②以为边的圆内接正多边形的周长为18 A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 【答案】A 【分析】如图，连接，，过作于，可得，求解多边形为等边三角形，求解，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接，，过作于，    ∵， ∴， ∴正多边形的中心角为， ∴多边形的边数为，即多边形为等边三角形， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴以为边的圆内接正多边形的周长为． ∴①正确，②错误， 故选：A 【点睛】本题考查的是正多边形与圆，圆周角定理的应用，垂径定理的应用，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 49．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，正八边形的中心与原点重合，顶点A，在轴上，连接，过点A作的垂线，垂足为，将绕点顺时针旋转，每次旋转．已知，则第106次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和圆、坐标与图形变化—旋转，解直角三角形，准确识图探索规律是解题关键． 将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则每旋转8次回到初始位置，从而得到第106次旋转结束时，点的位置为第二次旋转结束时的位置（即点）。在中通过解直角三角形得到的长，由旋转的性质得到，过点P作轴于点Q，在中，通过解直角三角形即可求出，的长，即可解答． 【详解】解：如图，设点，，，……是第n次选择后点P的位置， ∵每次旋转，而， ∴每旋转8次回到初始点P的位置， ∵， ∴第106次旋转结束时，点P旋转到点的位置． ∵多边形是正八边形， ∴， ∴在中，， 由旋转可得， 如图，过点P作轴于点Q，      ∴在中，， ， ∴ ∴第106次旋转结束时，点P的坐标为． 故选：B 50．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，正五边形内接于，阅读以下作图过程： ①作直径； ②以点为圆心，为半径作圆弧，与交于点，； ③连接，，． 结论Ⅰ：是等边三角形； 结论Ⅱ：从点开始，以长为半径，在上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正十八边形． 对于结论Ⅰ和结论Ⅱ，下列判断正确的是（   ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理、正多边形的性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，熟练运用圆周角定理是解题的关键． 结论Ⅰ：连接，由作图可知是等边三角形，根据同弧（等弧）所对的圆周角相等即可得出结论；结论Ⅱ：在正五边形和中分别求出和所对的中心角的度数，进而可以求出的度数，根据公式即可求出正多边形的边数． 【详解】解：结论Ⅰ：连接， 由作图可知：， ， ， 是等边三角形， ， ， 同理，， ， 是等边三角形； 结论Ⅱ：是等边三角形， ， ， ， ， ， ． 故结论Ⅰ正确，结论Ⅱ错误． 故选：D． 51．（2024·河北石家庄·二模）在数学综合实践课上，李老师拿出了如图所示的三个边长都为的正方形硬纸板，并提出问题：“若将这三个正方形硬纸板互不重叠平放在桌面上，用一个圆形纸片将其完全覆盖，怎样摆放才能使这个圆形纸片的直径最小呢？”全班同学经过讨论后，得出如图所示的三种方案，则下列说法正确的是（    ） A．方案一中圆形纸片的直径最小，直径是 B．方案二中圆形纸片的直径最小，直径是． C．方案二和方案三中圆形纸片的直径都最小，直径都是 D．方案一、方案二和方案三中圆形纸片的直径都不是最小的 【答案】D 【分析】此题考查正多边形与圆，分别求出三个方案中圆形纸片的直径，设计一个直径更小的情况可知选D，解答此题的关键是找出经过以各边顶点的圆的圆心及半径，再根据勾股定理解答． 【详解】解：依题意得：方案一中圆形纸片的直径为； 方案二中圆形纸片的直径为； 方案三中圆形纸片的直径为． 按如图所示位置摆放，连接，，延长交于点P，则，P为中点， 设，则，则有：， ， 则， 此时圆形纸片的直径为． 而， 圆形纸片的最小直径为， 方案一、二、三中圆形纸片的直径都不是最小的．故选D． 52．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）如图，正六边形的边长为1，点从点出发沿运动至点，点是点关于直线对称的点.当点从点运动至的过程中，有如下结论： 结论Ⅰ：点沿直线从运动到. 结论Ⅱ：点到的距离的最小值是. 下列判断正确的是（    ） A．只有结论I正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论I、结论Ⅱ都正确 D．结论I、结论Ⅱ都不正确 【答案】B 【分析】本题考查正多边形与圆、轴对称的性质、勾股定理.解直角三角形等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会利用两点之间线段最短，解决最短问题． （1）如图，设是正六边形的中心，连接交于，解直角三角形求出，的运动轨迹是图中红色的弧线，由此即可判断结论Ⅰ； （2）连接与弧交于点，此时最短，计算即可判断结论Ⅱ． 【详解】Ⅰ 如图， 设是正六边形的中心，连接交于， 在中， ， ， ， ∵点从点运动至过程中，， ∴点的运动轨迹是图中红色的弧线， ∴结论Ⅰ不正确； Ⅱ连接与弧交于点，此时最短， ， 结论Ⅱ正确； 故选B． 53．（24-25八年级上·河北沧州·期末）尺规作图起源于希腊，是指用没有刻度的直尺和圆规，并且经过有限次的步骤来解决平面几何的作图形式．用尺规作图可以作出正十边形，其作图过程如下（如图所示）：①以为直径作出；②作出的垂直平分线，交于点；③作出的垂直平分线，与交于点；④连接，在上截取；⑤在上依次截取．则十边形就是正十边形．若的半径为，则所作正十边形的边长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查尺规作图，垂直平分线，勾股定理的知识，解题的关键是根据题意，尺规作图，得为的直径，，是是垂直平分线，根据勾股定理求出，根据，，即可． 【详解】解：由题意得，是的直径，作出的垂直平分线，交于点， ∴为的直径， ∴， ∵是是垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴正十边形的边长为． 故答案为：． 54．（2024·河北石家庄·模拟预测）如图，已知四个正六边形摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上，其中上下两个大一点的正六边形边长均为a，左右两个正六边形边长均为b． （1） ；（2）若，则 ． 【答案】 / 【分析】本题考查正多边形和圆，解直角三角形，根据正六边形的性质和勾股定理，结合直径列方程求出线段长度关系结合三角函数求解即可得到答案； 【详解】解：连接，，过作， 由图形可得，两个大六边形关于对称， ∴是圆的直径， ∵两个大六边形是全等的正六边形， ∴， ∴也是直径， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵小六边形是正六边形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：，． 55．（23-24九年级下·河北沧州·期中）如图，六边形是的内接正六边形． （1）若的半径为1，则六边形的周长为 ． （2）设正六边形的面积为，的面积为，则 ． 【答案】 6 2 【分析】本题考查正多边形和圆、三角形的面积、全等三角形的判定等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：连接,由正六边形的性质得到把圆六等分，推出可得到、是等边三角形，可得,进而确定六边形的周长；再证明可得，再说明、，然后结合图形即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵六边形是的内接正六边形， ∴把圆六等分， ∴， ∵， ∴、是等边三角形， ∴， ， ∴， 由圆和正六边形的性质可得，， 由圆和正三角形的性质可得：， ∵， ∴． 故答案为：6,2． 56．（2024·河北石家庄·三模）将7个边长均为1的正六边形不重叠、无缝隙地按如图所示摆放． （1） ； （2）已知点在边上，则的最大值为 ． 【答案】 30 【分析】本题考查了正多边形的内角和、等边三角形的判定与性质、含的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）先求出正六边形的一个内角的度数，再结合等边对等角以及三角形内角和定理计算即可得出答案； （2）连接交于，连接，交于，则，当、重合时，点到线段的值最大，为，证明是等边三角形，得到，故，由含的直角三角形的性质得出，，从而求出，的长，最后由三角形面积公式计算即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意得：正六边形的一个内角为， ∴， 故答案为：； （2）如图，连接交于，连接，交于，则， ， ∴当、重合时，点到线段的值最大，为， 由正六边形的性质可得：， ∴是等边三角形， ∴，故， ∵， ∴，， ∴，， ∴的最大值为， 故答案为：． 57．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为4的正六边形的顶点处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟一次跳正六边形的1个边长，黑跳棋按逆时针方向3秒钟一次跳正六边形的1个边长，经过2022秒钟后停止跳动，此时两枚跳棋之间的距离是 ． 【答案】 【分析】分别计算红跳棋和黑跳棋过2022秒钟后的位置，红跳棋跳回到点，黑跳棋跳到点，可得结论． 【详解】解：红跳棋从点按顺时针方向1秒钟跳1个顶点， 红跳棋每过6秒返回到点，， 经过2022秒钟后，红跳棋跳回到点， 黑跳棋从点按逆时针方向3秒钟跳1个顶点， 黑跳棋每过18秒返回到点，， 经过2022秒钟后，黑跳棋跳到点，连接，过点作，如图所示： 由题意可得，， ，则， 在中，， ， 经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形和圆、勾股定理、含的直角三角形性质等知识，根据方向和速度确定经过2022秒钟后两枚跳棋的位置是解本题的关键． 58．（2024·河北石家庄·一模）如图，正六边形为的内接正六边形，过点D作的切线，交的延长线于点P，连接的半径为6． (1)求的度数； (2)求线段的长； (3)若点M为上一点（不与点F，D重合），连接，直接写出与的面积之和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了圆内接正六边形，圆周角定理，切线性质，求三角形面积等知识点，熟练应用基本性质和定理是解题的关键． （1）连接，根据圆内接正六边形性质求出，进而由圆周角定理得出度数； （2）由切线性质得，在中，利用三角函数即可求解； （3）分别表达，再求和即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， 正六边形为的内接正六边形， 是的直径，， ， ； （2）与相切，是的直径， ， 正六边形为的内接正六边形， ， 在中，， ； （3）正六边形为的内接正六边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 59．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）点O是边长为m的正多边形的中心，将一块足够长，圆心角为的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕O点旋转． 若正多边形为正三角形，扇形的圆心角时，通过观察或测量，得到如图1、2中，正三角形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度均为m； (1)若正多边形为正方形，扇形的圆心角时， ①如图3，求正方形的边被扇形纸板覆盖部分的长度； ②如图4，正方形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为多少？并给予证明； (2)若正多边形为正五边形，如图5，当扇形纸板的圆心角为多少度时，正五边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度仍为定值m． 【答案】(1)①；②，见解析 (2)度 【分析】（1）①根据正方形的边被扇形纸板覆盖部分的长度为的长作答即可； ②如图1，连接，证明，则，，然后作答即可； （2）如图2，连接，根据，计算求解即可． 【详解】（1）①解：由题意知，， ∴正方形的边被扇形纸板覆盖部分的长度为； ②解：正方形的边被扇形纸板覆盖部分的长度为，证明如下； 如图1，连接， ∵为正方形的中心， ∴，，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的边被扇形纸板覆盖部分的长度为； （2）解：如图2，连接， ∵正五边形， ∴， ∴当扇形纸板的圆心角为时，正五边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度仍为定值m． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握正多边形与圆，旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 九、圆的折叠问题 60．（2024·河北沧州·一模）如图，珍珍利用一张直径为8cm的半圆形纸片探究圆的知识，将半圆形纸片沿弦折叠． (1)如图1，为的切线，当时，求证：． (2)如图2，当时，通过计算比较与弧哪个长度更长．（π取） (3)如图3，M为的中点，为点M关于弦的对称点，当时，直接写出点与点M之间的距离约为_____cm．（结果保留两位小数，参考数据：27） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，根据切线的性质，圆周角定理，得到，即可得证； （2）连接，圆周角定理，得到，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进行比较即可； （3）连接，交于点，根据轴对称的性质，垂径定理，得到三点共线，解直角三角形，求出的长，进而求出的长，再根据对称，求出的长即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵为的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 连接，则：， ∴， ∴； （3）连接，交于点， ∵为的中点， ∴， ∵为点M关于弦的对称点， ∴， ∴三点共线， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵对称， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，有一定的难度，掌握相关性质，正确的添加辅助线，是解题的关键． 61．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）在扇形中，，半径，点P为上任一点（不与A、O重合）． (1)如图1，Q是上一点，若，求证：． (2)如图2，将扇形沿折叠，得到O的对称点． ①若点落在上，判断的形状并求的长． ②当与扇形所在的圆相切时，折痕的长为___________． 【答案】(1)见解析 (2)①是等边三角形，的长为；② 【分析】（1）根据可证明，则结论得证； （2）①可得是等边三角形，则．求出，由弧长公式则可得出答案； ②过点O作于点C，求出的长，求出，利用正切定义求出，进而求出长，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴． ∴； （2）解：①如图1，点落在上，连接， AI ∵将扇形沿折叠，得到O的对称点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∴的长为； ②与扇形所在的圆相切时，如图2所示， AI ∴， ∵折叠， ∴， 过点O作于点C， ∵，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． ∴折痕的长为． 故答案为：． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，切线的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，弧长公式等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 62．（2020·河北·一模）如图1，扇形OAB的半径为4，∠AOB＝90°，P是半径OB上一动点，Q是上一动点． （1）连接AQ、BQ、PQ，则∠AQB的度数为　 　； （2）当P是OB中点，且PQ∥OA时，求的长； （3）如图2，将扇形OAB沿PQ对折，使折叠后的恰好与半径OA相切于点C．若OP＝3，求点O到折痕PQ的距离． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）如图，补全图形，运用圆内接四边形的性质求解即可； （2）要想求弧长，就得求所对的圆心角的度数，所以要连接OQ，构成圆心角，利用直角三角形直角边是斜边的一半，则这条直角边所对的锐角为30°求出∠1=30°，再利用平行线截得内错角相等得出∠2的度数，代入弧长公式计算即可． （3）先找点O关于PQ的对称点O′，连接OO′、O′B、O′C、O′P，证明四边形OCO′B是矩形，由勾股定理求O′B，从而求出OO′的长，则OM=OO′=． 【详解】（1）补全图形如图所示， ∵∠AOB＝90°， ∴∠BCA=45°， ∵四边形ACBQ是圆内接四边形， ∴∠AQB+∠C=180°， ∴∠AQB=180°-∠C=135° 故答案为：135°； （2）如图1，连接OQ， ∵扇形OAB的半径为4且P是OB中点， ∴OP＝2，OQ＝4， ∵PQ∥OA， ∴∠BPQ＝∠AOB＝90°， ∴∠OQP＝30°， ∴∠AOQ＝∠OQP＝30°， ∴的长＝＝π； （3）如图2，找点O关于PQ的对称点O′，连接OO′、O′B、O′C、O′P，ON， 则OM＝O′M，OO′⊥PQ，O′P＝OP＝3，点O′是所在圆的圆心， ∴O′C＝OB＝4， ∵折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切于C点， ∴O′C⊥AO， ∴O′C∥OB， ∴∠POO'＝∠CO'M＝∠PO'M， ∵∠PMO'＝∠QMO'＝90°， ∴∠O'PM＝∠MNO'， ∴O'P＝O'N＝OP＝3， ∴四边形OPO'N是平行四边形， ∴O'P＝ON， ∵O与O'关于PQ对称， ∴ON＝O'N＝3， ∴BP＝CN＝4﹣3＝1， ∵PN⊥OO'， ∴∠MNO'＝∠MNO， ∴∠BPO'＝∠CNO， ∴△O'BP≌△OCN（SAS）， ∴∠O'BP＝∠OCN＝90°， ∴四边形OCO′B是矩形， 在Rt△O′BP中，O′B＝＝2， 在Rt△OBO′中，OO′＝＝2， ∴OM＝OO′＝×2＝， 即O到折痕PQ的距离为． 【点睛】本题考查了折叠问题和圆的切线的性质、矩形的性质和判定，熟练掌握弧长公式l=（n为圆心角度数，R为圆半径），明确过圆的切线垂直于过切点的半径，这是常考的性质；对称点的连线被对称轴垂直平分． 63．（22-23九年级下·河北衡水·阶段练习）如图1，在平行四边形中，，，，以为直径在的上方作半圆，交于点，为上一动点（不与点，重合），将半圆沿折叠，得到点的对称点，点的对称点． (1)当点在半圆上时，的度数为__________； (2)如图2，连接，与交于点．已知，且． ①求的长度及的值； ②求阴影部分的面积； (3)点在上运动过程中，当直线能与所在的圆相切时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①，；② (3) 【分析】（1）由翻折的性质可得，再根据点在半圆上可得，则是等边三角形，即可得出答案； （2）①由圆周角定理及平行线的性质推出，由推出，求得，由平行四边形的性质求得，再解直角三角形即可得到答案； ②先求得，再由直角三角形的性质求得，进而根据求解即可； （3）求出两种特殊位置的值即可得出答案． 【详解】（1）解：由翻折可知，， 点在半圆上， ， ， 是等边三角形， ， 故答案为：； （2）解：①如图1，连接，． 是的直径， ， 由翻折可知，． ， ， ． ，， ， ． ， ， ， ． 四边形是平行四边形， ， ， 在中，由勾股定理可得． 在中，， ， ， ，即的值为； ②如图1，连接，过点作于点． 由①可得， ， ， 利用轴对称的性质可得； （3）解：的取值范围是． 如图2，当点与点重合时，点与点也重合， ， 是等腰直角三角形， ， 又四边形是平行四边形， ， ， 此时直线与相切， 此时最小，． 点不与点重合， ． 如图3，当点与点重合时， 由翻折可知，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 此时直线与所在的圆相切，且最大，． 综上所述，的取值范围是． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了翻折变换，直线与圆的位置关系，圆周角定理，平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题． 64．（22-23九年级上·河北承德·期末）如图，的直径，是弦，沿折叠劣弧，记折叠后的劣弧为． (1)如图1，当与相切于时． ①为画出所在圆的圆心，请选择你认为正确的答案 ． 甲：在上找一点，连、并分别作它们的中垂线，交点为； 乙：分别以、为圆心，以为半径作弧，除外两弧另一个交点即为圆心． A．甲正确   B．乙正确   C．甲乙都正确       D．都不正确 ②选择合适的方法做出圆心，求的长；直接写出此时的度数． (2)如图2，当经过圆心时，求的长； (3)如图3，当覆盖圆心且与直径交于点，若，直接写出的度数． 【答案】(1)①C ②， (2) (3) 【分析】（1）①确定圆心最常见思路为不在同一直线的三点共圆，利用其外心可确定圆心； ②连接、，易证得四边形为菱形，加上，所以四边形为正方形，根据正方形的性质得可得结果； （2）作于，如图，根据折叠的性质得，由，根据垂径定理得，再在中，利用勾股定理计算出，进而容易得出； （3）连接，作关于的对称轴点在上，并连接、，，根据圆周角定理得到，求得，根据圆内接四边形的性质得到，再由翻折可求得，于是得到结论． 【详解】（1）①甲：在上找一点，连、并分别做它们的中垂线，即做的外心，故甲正确； 乙：由切线长定理可知，为切线，且，故也为的切线，易知为正方形（证明见②），故乙正确； 故选：C； ②如图，连接、， ∵， ∴四边形为菱形， 而， ∴四边形为正方形， ∴，； （2）作于，交劣弧于，如图， ∵沿折叠劣弧，记折叠后的劣弧为，即 ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴； （3）连接，作关于的对称轴点在上，并连接、，如图， ∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， 由圆内接四边形的性质得到， 可得：， ∴ 【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和切线的性质；会利用勾股定理和相似比进行几何计算；理解折叠的性质和正方形的判定与性质，作出辅助线是解答此题的关键． 65．（2024·河北保定·一模）如图1、图2、图3和图4、是半圆O的直径，且，点C以每秒个单位长的速度从点B沿运动到点A． (1)连接，．求图1中的阴影部分面积和的最小值S； (2)如图2，过点C作半圆O的切线，点P在射线AB上，且，过点P在射线的上方作．且．当点Q与点C重合时，求点H到射线的距离； (3)如图3和图4，在点C运动过程中，将半圆O沿折叠，与交于点D． ①连接．若，求的度数； ②当点D落在半径上（包括端点O，A）时，求点C运动的时长； ③如图4，连接，过点A作，与的延长线交于点E，延长交于点F，连接．当时，请直接用含d的式子表示． 【答案】(1) (2) (3)①；②秒；③ 【分析】（1）设，，根据可求出，利用求出，然后利用不等式的性质求解即可； （2）过点H作于H，连接，利用勾股定理求出，证明，得出，即可求解； （3）①设点D在上的对应点为，连接，，，利用三角形内角和定理求出，利用圆内接四边形的性质求出，利用折叠的性质求出，然后利用三角形内角和定理求解即可； ②当D和O重合时，连接，设D在上的对应点为，连接与交于M，则，根据翻折可得，则，求出，利用等腰三角形三线合一性质求出，进而求出，利用弧长公式求出的长度，即可求解； ③连接，利用勾股定理求出，证明，利用正切定义可得出，利用弧、弦的关系可得出，则，证明，得出，即． 【详解】（1）解：设，， ∵是半圆O的直径， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ∴，即， ∴， ∴ 即， ∴阴影部分面积和的最小值为； （2）解：过点H作于H，连接， ∵是切线， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 即， ∴， 即点H到射线的距离为； （3）解：①如图 ，设点D在上的对应点为，连接，，， ∵，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴； ②当D和O重合时，连接，设D在上的对应点为，连接与交于M， 则， ∵翻折， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点D落在半径时，点C运动的时长为秒； ③连接， ∵是半圆O的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，∶ ∴， ∵与均是所对的弦， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴ 十、圆和三角形的综合问题 66．（2022·河北石家庄·模拟预测）如图1，在中，，，，点O在边上，由点D向点A运动，当点O与点A重合时，停止运动．以点O为圆心，为半径，在的下方作半圆O，半圆O与交于点M．（，，） (1)如图1，当时， ，点C到半圆O的最短距离= ； (2)半圆O与相切时，求的长？ (3)如图2，半圆O与交于点E、F，当时，求扇形的面积？ (4)以，为边矩形，当半圆O与有两个公共点时，则的取值范围是 ． 【答案】(1)30； (2) (3) (4)或 【分析】（1）连接，与半圆O交于点B，利用锐角三角函数和勾股定理解答即可； （2）设切点为N，连接，，设，利用勾股定理列出方程即可求解； （3）过点O作于点H，连接，利用相似三角形的判定与性质和勾股定理求得的值，得到A，M，E三点重合，利用扇形的面积公式解答即可； （4）利用分类讨论的思想，求得半圆O与有一个，两个，三个公共点时的值，结合图形即可得出结论． 【详解】（1）解：连接，与半圆O交于点B， 在中， ， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴点C到半圆O的最短距离为， 故答案为：30，； （2）解：当半圆O与相切时，设切点为N，连接，，如图， ∵， ∴为半圆O的切线． ∵为半圆O的切线， ∴， ∴． 设， ∵， ∴． ∵为半圆O的切线， ∴． ∴，即， 解得：． ∴； （3）解：过点O作于点H，连接，如图， 则． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴， ∴A，M，E三点重合， ∴． ∴扇形的面积； （4）如图， 当与边相切于点时，， 此时，与有一个公共点， 由（2）知：； 当与边相切于点时，， 此时，与有三个公共点， ∴． ∴当圆心O在与之间时，半圆O与有两个公共点， ∴； 当的圆心O在与点A之间时，此时与有两个或三个公共点， 当经过点B时，与有三个公共点， ∵，，， ∴， 解得：． ∴当时，与有三个公共点， ∴当时，与有两个公共点， 综上，当半圆O与有两个公共点时，的取值范围是或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质，圆的有关计算，圆周角定理，垂径定理，切线长定理，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，直线与圆的位置关系，连接经过切点的半径和作出圆的弦心距是解决此类问题常添加的辅助线． 67．（2024·河北邯郸·模拟预测）是半圆O的直径，，C为弧上的一个动点． (1)连接，，如图1，求阴影部分面积和的最小值（结果保留π）； (2)如图2，在半圆O的右侧有一，点P在射线上，，，，当与半圆O切于点Q时，求点H到射线的距离； (3)如图3，在点C的运动过程中，将半圆O沿折叠，弧与交于点D，连接．若，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查圆的综合，勾股定理，三角形的相似，圆内接四边形的知识；解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）设，，根据可求出，利用求出，然后利用不等式的性质求解即可； （2）过点作于，连接，利用勾股定理求出，证明，得出，即可求解； （3）设点在弧上的对应点为，连接，，，利用三角形内角和定理求出，利用圆内接四边形的性质求出，利用折叠的性质求出，然后利用三角形内角和定理求解即可； 【详解】（1）解：设，， 是半圆的直径， ， ， ， ，即， ， 即， 阴影部分面积和的最小值为； （2）过点作于，连接， 是切线， ， ， ，， ，， ∴， ， ， 即， ， 故点H到射线AB的距离为； （3）如图，设点在弧上的对应点为，连接，，， ，， ， ， 折叠， ， ； 68．（2024·河北邯郸·三模）如图1，在钢管的两侧分别放置三角形垫块 可以将钢管架在水平面上方．钢管的底面截面如图中所示，与两个垫块分别相切于点K．C，垫块． 和点K的位置不变，点C的位置随 的度数的改变而变化，且始终保持圆心O到水平面的距离不变，设当点A，B重合时，点B到达了最左端的位置，已知． 的半径为4． (1)若在K，C之间的劣弧 长为 求α的度数； (2)当点K，C到水平面的竖直高度一样时，求点A，B之间的距离； (3)当点A，B重合时，如图2，求点C到的距离． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】本题考查了圆的综合练习题，弧的长度公式，五边形内角和，解直角三角形， （1）连接，，由题意知，得到设劣弧所对的圆心角为 长为 解得 然后在五边形中，求出，再求出，最后求出； （2）连接，得到 ，再求出， 过点K作于点G，在中，求出， 过点O作于点H，求出，在中，求出最后根据对称性， （3）当点A，B重合时，在中，，求出， 求出，利用，得到平分，再求出，再利用，求出，从而求出点C到的距离为2． 【详解】（1）解：连接，， 由题意知． ， 设劣弧所对的圆心角为 解得 在五边形中，， ∴， ； （2）当点K，C到地面的竖直高度一样时，连接， 可知，， ， 过点K作于点G， 在中，， 过点O作于点H， ， 在中， ∴根据对称性， （3）当点A，B重合时，在中，， ， ∵，且， ∴平分， ∴， 且， ∴， ∴点C到的距离为2． 69．（2024·河北沧州·二模）如图，在矩形中，，，点P从延长线上离点B很远的位置开始沿直线向左运动，运动过程中，以为直径，在的左侧画半圆O，E为 的中点．设． (1)点O到直线的距离为 ； (2)当点 E落在直线上时，求被直线截得的弧长； (3)当点运动到点左边时，当与边有两个公共点时，求x的取值范围； (4)若点E到直线的距离为1，直接写出：的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练画出图形，进行分类讨论是解题的关键． （1）过点作，交于点，根据平行线之间线段成比例，即可解答； （2）画出图形，此时点 E与点重合，证明为等腰直角三角形，求得半圆的半径长度，即可解答； （3）画出两个临界值，分别求出临界状态时的值，即可解答； （4）分类讨论，考虑点在直线的下方或上方，两种情况，利用全等三角形的判定和性质，即可解答． 【详解】（1）解：过点作，交于点， 四边形为矩形， ，， ， 点O到直线的距离即为直线和直线的距离，即为的长度， 根据平行线之间线段成比例，可得, ， 故答案为：； （2）解：如图： 是直径， , ， 当点 E落在直线上时，两点重合， E为 的中点， ， 为等腰直角三角形， ， ； ； （3）解：如图，当半圆O与相切时，设切点为，连接，并延长交于点， ，半圆O与相切， ， ， ， ， ， 设， ， 根据勾股定理可得，可得方程， 解得， ； 如图，当运动到点时，与边有两个公共点时，此时, ; 综上，可得； （4）解：当点在直线下方时，过点作的垂线段，过点作的垂线段，交的延长线于点， 可得四边形为矩形， ， ， ， ， ， E为 的中点， ， ， ， ， ， ； ； 当点在直线下方时，过点作的垂线段，过点作的垂线段， 同理可得，， ， ， 综上，或． 70．（21-22九年级上·河北沧州·期末）如图1，已知，点O在射线上，且．以点O为圆心，为半径作，交直线于点D，E．    (1)当与只有两个交点时，r的取值范围是________． (2)当时，将射线绕点B按顺时针方向旋转． ①若与相切，求的度数为多少； ②如图2，射线与交于M，N两点，若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)或 (2)①或；② 【分析】（1）根据题意，需要分两种情况：①在点D未到达点B前，与射线有两个交点；②当半径大于时，，圆O分别与射线，有一个交点，求出临界状态的r即可得出结论； （2）①需要分成两种情况：当射线在射线的上方与相切时，当射线在射线的下方与相切时，分别求出对应的即可； ②连接，，过点O作于点，由垂径定理可知，，进而根据三角形的三边关系可得出，再利用弓形的面积公式可得出结论． 【详解】（1）解：（1）根据题意，需要分两种情况：①在点D未到达点B前，与射线有两个交点． 如图1，当与相切于点G，连接，则， 比相切之前    ∵， ∴， ∴，, 即此时, 只要半径，则只有两个交点； ②当半径大于时，⊙O分别与射线，有一个交点， 如图2，当点D刚好与点B重合，此时，    结合图形可知，r的取值范围为或r＞4； （2）解：①如图3，当射线在射线的上方与相切时，设切点为P，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴，    如图4，当射线在射线的下方与相切时， 设切点为P，连接， 同理， ∴，    综上所述，当为或时，射线与相切； ②如图5，连接，，过点O作于点，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定、垂径定理、解直角三角形以及扇形面积的计算方法，关键是求出的度数． 71．（22-23九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，中，，，，延长到点D，使．点P是边上一点，点Q在射线上，，以点P为圆心、PD长为半径作，交A于点E，设．    (1)______，当点Q在上时，______； (2)x为何值时，与相切？ (3)当时，求阴影部分的面积； (4)若与的三边有两个公共点，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)1； (2) (3) (4)或 【分析】（1）先由勾股定理求得，再由，可得的长，从而的长可求；当点Q在上时，如图，根据推得，从而列出方程，解得x的值即可； （2）作于点F，当时，与相切，如图2，由正弦函数得出关于x 的方程，解得x的值即可； （3）如图3，连接，利用E即可得出答案； （4）由（2）和（3）进行分类讨论，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴根据勾股定理可得：， ∴， ∴，， 当点Q在上时，如图，    ∵，， ∴， ∵，， ∴． 解得：； 故答案为：1，； （2）解：作于点F，当时，与AB相切，如图1，    则，， ∴，解得． ∴时，与AB相切． （3）解：如图2，连接．    ∵中，，， ∴，， ∴ ． （4）解：或． 由（2）可知，当时，与的三边有两个公共点； 如图3，当点B在上时，，即， 解得．    当点A在上时，．    ∴当时，与的三边有两个公共点． ∴x的取值范围为或． 【点睛】本题考查了勾股定理，切线的判定与性质、直线与圆的位置关系、扇形与三角形的面积计算、列分式方程解应用题、解直角三角形等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 72．（2023·河北保定·模拟预测）如图1，在中，，，．点P从点C出发沿CB以1cm/s的速度移动，同时，点Q从点B出发沿以2cm/s的速度向点A移动，当点P、Q有一点到达顶点时即同时停止运动，设运动时间为t秒．以点P为圆心、为半径作．    (1)当与边交于点B、D时，的长为 ． (2)若，试判断直线与的位置关系，并说明理由． (3)如图2，以点Q为圆心，为半径作．    ①若的面积为，求t的值； ②若与的边有4个公共点，直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)相切，理由见解析 (3)①或；②或 【分析】（1）当与边交于点B、D时，点在的中点，由题得出，从而得出结果， （2）过点P作，垂足为点M，通过长及的正弦值计算出，得到，证明出结论， （3）①过点Q作于点N，根据已知条件得出结论，②若要使与的边有3个交点，分两个阶段，从过点到与相切，从与相切到过点，根据不同情况算出结果． 【详解】（1）解：∵与的交点为点B、D， ∴过点B， ∴， ∵，， ∴， ∴的长为； （2）解：如图，过点P作，垂足为点M，    ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即点M在上， ∴直线与的位置关系为相切； （3）①如图，过点Q作于点N，    由题意知，，，则，， ∵， ∴，解得或， 故当运动时间为2秒或4秒时，的面积为； ②如图，当过点B时，与的边有3个交点，    由题意知，，，则，，即； 如图，当与相切于点P时，与的边有3个交点，此时；    如图，当过点C时，与的边有3个交点，过点Q作于点F，    此时，， ∴，即，解得． ∴当或时，与的边有4个公共点． 【点睛】本题考查了直角三角形上动点问题以及圆相关的知识，解题的关键是用含有的代数式表示出关键线段的长度，建立方程求出答案， 73．（2023·河北沧州·二模）在中，，，．点在射线上从点开始运动，过点作切于点，设．    (1)如图，当为何值时，圆心落在上，此时与的另一个交点为，直接写出与的位置关系，并求劣弧的长；（注：，，，取3） (2)若点以每秒3个单位长的速度运动，求圆心在内部的时长； (3)若与边只有一个公共点，直接写出半径的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）当圆心O落在上时，与相切，即，再利用面积法和勾股定理即得x的值；根据直径所对的圆周角是直角，可得与的位置关系；利用锐角三角函数可求得的度数，进而求得圆心角的度数，最后利用弧长公式即可解答； （2）根据点O运动轨迹，若圆心O在内部，则圆心O最先落在上，最后落在上，即可求得的长；首先利用三角函数求得的半径长，从而可得和的长. 过点A作，利用勾股定理求得的长；在中，利用勾股定理求出x的值即可； (3)根据点O运动轨迹，可知若与边只有一个公共点，则当与相切时半径最小；过点O作，此时，点D与点B重合，利用三角函数可得r最小值，从而可得r取值范围． 【详解】（1）解：如图，当，圆心O落在上 在中，, ∴， 在中，, ∴； 如图：连接    ∵是的直径， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴, ∴， ∴劣弧的弧长为：． （2）解：根据点O运动轨迹，若圆心O在内部，则圆心O最先落在上，最后落在上 当圆心O落在上，如图：过点A作    由（1）可知,则， 在中，， 在中，, ∵， ∴，； ∵是直径， ∴， ∴， 在中，，则，解得或（舍）， ∵圆心在内部， ∴，即， ∴． （3）解：根据点O运动轨迹，可知若与边只有一个公共点，则当与相切时半径最小， 如图：过点O作，此时，点D与点B重合，    ∴， ∵， ∴， ∴当与边只有一个公共点时，． 【点睛】本题主要考查圆的切线的性质、圆周角定理、解直角三角形、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形是解答本题的关键． 十一、圆和四边形的综合问题 74．（23-24九年级下·河北邢台·阶段练习）如图1，在矩形中，，，是的中点，以点为圆心，以3为半径在的上方作半圆，分别交于点、点，把连带半圆绕点顺时针旋转（）得到半圆，如图2，其直径为． (1)连接、，求证：； (2)设半圆交于点、点，若，求半圆落在矩形内的弧长； (3)设是半圆上一点，当落在上时，求的最小值； (4)当半圆与矩形的边有两个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】（1）利用矩形的性质，证明即可得出结论； （2）证明是等边三角形，得到，即可求解结果； （3）证明，得到，，连接交半圆于点，此时最小，即可求解； （4）分别求出当点在上时，当半圆与相切于点时，的值即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵是的中点， ∴． ∵， ∴， ， ∴； （2）解：如解图①，连接、， ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∴半圆落在矩形内的弧长为； （3）解：如解图②，连接，过点作于点，延长交于点， 易得四边形和四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，， 连接交半圆于点，此时最小， ∴， ∴的最小值为； （4）解：当时， 如解图③，当点在上时，，此时圆与有两个交点， 如解图④，当半圆与相切于点，连接并反向延长交于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴时，圆与与矩形的边有两个交点． 【点睛】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握垂径定理、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质及切线的性质等知识点． 75．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）在矩形中，已知，连接，，点O是边上的一动点，的半径为定值r． (1)如下图，当经过点C时，恰好与相切，求的半径r； (2)如下图，点M是上的一动点，求三角形面积的最大值： (3)若从B出发，沿BC方向以每秒一个单位长度向C点运动，同时，动点E，F分别从点A，点C出发，其中点E沿着AD方向向点D运动，速度为每秒1个单位长度，点F沿着射线方向运动，速度为每秒2个单位长度，连接，如下图所示，当平移至点C（圆心O与点C重合）时停止运动，点E，F也随之停止运动．设运动时间为t（秒）．在运动过程中，是否存在某一时间t，使与相切，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 或 【分析】（1）连接，，根据矩形的性质及得，进而可得，再利用解直角三角形即可求解． （2）过点作并延长，交于，交于，当点运动到点位置时，此时三角形面积有最大值，利用矩形的性质及三角形的面积公式即可求解． （3）分类讨论：①在的左侧时，②在的右侧侧时，利用相似三角形的判定及性质和勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：连接，，如图： 四边形是矩形， ， 在中，，， ，， 与对角线相切于点， ， 在和中， ， ， ， ， 的半径． （2）过点作并延长，交于，交于，如图： 由（1）得：，， ， 四边形是矩形，且， ， 当点运动到点位置时，此时三角形面积有最大值， ． （3）在整个运动过程中，存在某一时刻，与相切，此时的值为或，理由： 由（1）得， ①在的左侧时，设与相切于点， 连接，，如图： 由题意得：，， ， 四边形为矩形， ，， ， 四边形为矩形， ，， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或（不合题意舍去）， ②在的右侧侧时， 设与相切于点，连接，，如图： 由题意得： ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， 四边形为矩形， ，， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或（不合题意舍去）， 综上所述，t的值为 或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质、矩形的性质、解直角三角形、切线的性质、勾股定理，熟练掌握相关判定及性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 76．（2023·河北秦皇岛·一模）如图1，已知矩形中，，，点P是对角线的中点，点O为射线上的一个动点，连接，以为半径作． (1)如图2，当与相切时，求的半径长； (2)当点O运动到何处，的半径最小？ (3)在点O的运动过程中，与的三条边有四个交点，求的取值范围． 【答案】(1)的半径为 (2)当时，半径最小 (3)的取值范围为或 【分析】（1）利用勾股定理求出，根据，求出即可； （2）利用垂线段最短解决问题即可； （3）求出三种特殊位置，经过点C时，与相切时，经过点A时，即可的取值范围． 【详解】（1）四边形是矩形， ， ， 点P是对角线的中点， ， 与相切， ， ， ， ， 即的半径为； （2）如图，当时，的值最小， ， ， ， ， ， 即的半径为； （3）经过点C时，如图所示，此时有三个交点，过点O作交于点G， 此时， ， ， ， ， ； 当与相切时，此时有三个交点，由（1）得， ， 此时的取值范围为； 当经过点A时，如图所示，此时有三个交点，过点O作交于点H， 此时， ， ， ， ， ， 此时的取值范围为， 综上，的取值范围为或． 【点睛】本题属于圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系，矩形的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． 77．（2022·河北邯郸·三模）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，∠BAC＝30°，点O为对角线AC上的动点（不与A、C重合），以点O为圆心在AC下方作半径为2的半圆O，交AC于点E、F． (1)直接写出AC的长 ； (2)当半圆O过点A时，求半圆被AB边所截得的弓形的面积； (3)若M为的中点，在半圆O移动的过程中，求BM的最小值； (4)当半圆O与矩形ABCD的边相切时，直接写出AE的长 ． 【答案】(1)8 (2) (3) (4)2或 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，得AC=2BC，又因为矩形对边相等，所以AC=2AD； （2）设该半圆与的另一个交点为点，连接，过点作于点，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可求得和，由扇形的面积公式和三角形的面积公式计算求解即可； （3）当、B、三点共线时，的值最小，此时，由直角三角形的性质可求出的长度，根据即可求出最小值； （4）分类讨论与边和边相切两种情况，利用直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：在矩形ABCD中，∠B=90°，BC=AD=4 ∴三角形BAC是直角三角形 ∵∠BAC＝30°， ∴AC=2BC， ∴AC=8． 故答案为：8． （2）解：如图，当半圆过点时，设该半圆与的另一个交点为点，连接，过点作于点 ∵，， ∴， ， ， ∴． ∴，． ∴． （3）解：如图，连接，， 当、、三点共线时，的值最小，此时． ∵，， ∴AB==． ∴． ∴． （4）解：当半圆与矩形的边相切时，分为与边和边相切两种情况： ①如解图，当半圆与边相切于点时，连接，则． ∵，， ∴． ∴； ②如解图，当半圆与边相切于点时，连接，则，过点作于点，则四边形为矩形，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 综上所述，当半圆与矩形的边相切时，的长为2或． 故答案为：2或． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，切线的性质，扇形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 78．（2022·河北石家庄·二模）如图，在中，，，点M在BC边所在的直线上，，，以PQ为直径的半圆O与BC相切于点P，点H为半圆弧PQ上一动点． 探索：如图1，当点P与点M重合时，则______，线段CH的最小值为______． 思考：若点H从Q开始绕圆心O逆时针旋转，速度为15度/秒，同时半圆O从M点出发沿MB做平移运动，速度为1个单位长度/秒，运动时间为t秒．解决下列问题： （1）如图2，当PQ与D点在一条直线上时，求点O到CD的距离及扇形OHQ的面积； （2）当圆O与CD相切于点K时，求的度数： 直接判断此时：弧HQ长______弦KQ长（填：＜、＞或＝） （3）当弧HQ（包括端点）与边有两个交点时，直接写出：运动时间t的取值范围． 【答案】探索：； 思考：（1）；（2）；＜ （3） 【分析】探索：利用勾股定理可以求出BQ的长，利用“两点之间，线段最短”可以求出CH的最小值． 思考：（1）利用面积法建立方程求出O点到CD的距离，再利用扇形面积公式计算扇形OHQ的面积． （2）利用勾股定理求出CP，进一步求出运动时间后，可以求出角度，利用等边三角形的判定与性质和弧长公式计算后即可完成求解． （3）分析弧与平行四边形的边有两个交点情况的界点值即可求解． 【详解】索：解：如图，连接BQ，CO， 当点P与点M重合时， ∵以PQ为直径的半圆O与BC相切于点P， ∴， ∵，，， ∴，， ∴； 当C、H、O三点共线时，CH+HO的值最小，由HO为定值，即CH的值最小， ∵， ∴， 故答案为：；． 思考：（1）如图所示，当PQ与D点在一条直线上时， 则， ∵在中，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 设O点到CD的距离为h， ∵ ∴， ∵，半圆O从M点出发沿MB做平移运动，速度为1个单位长度/秒， ∴运动了4秒， ∵点H从Q开始绕圆心O逆时针旋转，速度为15度/秒， ∴， ∴扇形OHQ的面积为； 故答案为：O点到CD的距离为，扇形OHQ的面积为． （2）如图，连接OK，CO，当圆O与CD相切于点K时， 则OK⊥CD， ∴CO平分∠DCM， ∴∠DCO=∠OCM=30°， ∴CO=2OK=6， ∴Rt△COP中，， ∴， ∴运动时间为秒， ∴∠HOQ= ， ∴的度数为， 弧HQ的长为； 连接KQ，由∠DCP=60°，∠OKC=90°，∠OPC=90°， ∴∠KOP=120°， ∴∠KOQ=60°， ∵OK=OQ， ∴△KOQ是等边三角形， ∴KQ=3， ∴弧HQ长＜弦KQ长， 故答案为： ，弧HQ长＜弦KQ长． （3） 理由：如图，当半圆的圆弧与AB相切时，切点记为N，连接ON，OB， ∴BO平分∠ABP， ∵∠BAD=120°， ∴∠ABP=60°， ∴∠OBP=30°， ∴， ∴， ∴运动时间为秒， 此时，，； 当Q点运动到AB上时，如图所示， 此时， ∴ ∴运动时间为秒， 此时，，； ∴． 【点睛】本题考差了圆的运动问题和圆上的点的运动的问题，涉及到了切线的判定与性质、特殊角的三角函数的应用等，解题关键是找出界点值并进行求解． 79．（2022·河北保定·二模）如图1，将半径为2的剪掉一个的扇形之后，得到扇形AOB，将扇形AOB放置在数轴上，使点B与原点重合且OB垂直于数轴，然后将图形沿数轴正方向滚动，直至点A落在数轴上时停止滚动．记优弧AB与数轴的切点为点P，过点A作直线l平行于数轴，当l与弧AB有两个公共点时，记另一个公共点为点C，将直线l绕点C顺时针旋转，得到直线m，交数轴于点Q． (1)当点A落在数轴上时，其对应数轴上的实数为___________； (2)当直线l经过圆心O时，线段PQ的长度为___________； (3)当CQ与扇形AOB所在圆相切于圆的左侧时，求弦AC的长及点Q对应数轴上的实数； (4)直接写出整个运动过程中PQ长度的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3) (4) 【分析】（1）滚动的距离即对应数轴上的实数，求优弧AB的长度即可； （2）分两种情况：点A在点C左边时，；点A在点C右边时，； （3）连接，作于点M，则M为中点，求出，利用角的度数和等于证明为直径，连接，则数轴，优弧所对圆心角为，作数轴于点N，，求出点对应的实数； （4）当m切圆于右侧时，最大； 【详解】（1）解：当点A在数轴上时，滚动的距离为，对应数轴上的实数为， 故答案是：； （2）第一种情况，如图， 直线l过圆心O，过点C作于点D， 数轴与相切， ， ， ， ， 四边形OPDC是矩形， ， ， ， 在中，， ， ；   第二种情况，如图， 同上可得，； 综上可得PQ的长为：或； （3）如图，连接，可知． ∵与相切， ∴， ∴， 作于点M，则M为中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即为直径， 连接，则数轴， 优弧所对圆心角为， ∴点P对应的实数为，   作数轴于点N，则， ∴， ∴点Q对应的实数为； （4）如图， 当m切圆于右侧时．最大，． 【点睛】本题考查圆的综合题，涉及知识点：弧长的计算、特殊的三角函数值的计算、垂径定理、解直角三角形，解题关键构造需要的直角三角形和矩形． 80．（2022·河北唐山·一模）如图，在四边形中，，，，，对角线平分．点P是边上一动点，它从点B出发，向点A移动，移动速度为；点Q是上一动点，它从点A出发，向点C移动，移动速度为．设点P，Q同时出发，移动时间为，一点到达，另一点也停止运动．连接，以为直径作． (1)边________、_________； (2)求当t为何值时，与相切？ (3)求当t为何值时，线段被截得的线段长恰好等于的半径？ (4)当______s时，圆心O到直线的距离最短，最短距离为________． 【答案】(1) ， (2)当时，与相切 (3)或者 (4)， 【分析】（1）、过点D作于M，用矩形性质和锐角三角函数求解即可； （2）、当与相切时，有，由锐角三角形函数求解即可； （3）、设与交于另一点M，则分M在Q上方和M在Q下方两种情况，求解即可； （4）、过点O作，垂足为H，延长交于K，过点Q作于R，由矩形性质和三角形中位线定理以及锐角三角函数可得：，再得到，利用函数增减性即可求解． 【详解】（1）解：过点D作于M， ，， ， ∵则四边形DMBC为矩形，， ， ，对角线平分， ， 在中， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ， ，， 故答案为： ， ； （2）如图，当与相切时， ， 由题意得： ， ， ， ， ， 即： ， 解得 ， ∴当时，与相切； （3）如图：设与交于另一点M，则分M在Q上方和M在Q下方两种情况： ①连接， 由题意得： ，则三角形为等边三角形， ， ， 又， ， ， ∵是直径， ， ， ， 在中， ， ， 解得：；   ②连接， 由题意得： ，则三角形为等边三角形， ， 又， ， 在中， ， ， 解得： ；   综上所述：或者时，线段被截得的线段长恰好等于的半径； （4）如图：过点O作，垂足为H，延长交于K，过点Q作于R， ∵，， ， 则四边形为矩形， ， 在中， ， ， ， ∵ ，为的弦， ， 又 ， ， ， ∵，，， ∴，， ∴的运动时间为：，的运动时间为， ∴， 时， 取最小值，最小值为： ， 即：当 ，圆心O到直线的距离最短，且为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了圆的性质，垂径定理，锐角三角函数，矩形判定与性质，动点问题，分情况讨论等知识，熟练掌握各项知识并能综合运用是关键． 81．（2021·河北邯郸·三模）在矩形中，，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动（点P可以与点A重合），同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动（点Q可以与点B重合），其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)如图1，几秒后，的面积等于？ (2)如图2，在运动过程中，若以P为圆心、为半径的与相切，求t值； (3)若以Q为圆心，为半径作⊙Q．如图3，若与四边形的边有三个公共点，则t的取值范围为 ．（直接写出结果，不需说理） 【答案】(1)2秒或4秒 (2) (3) 【分析】（1）由题意可知，，从而得到，，然后根据的面积为列方程求解即可； （2）如图1所示：连接．依据勾股定理可求得的长，然后依据切线长定理可知，从而可求得的长，由圆的半径相等可知，然后在中依据勾股定理列方程求解即可； （3）先求得与四边形有两个公共点时t的值，然后可确定出t的取值范围． 【详解】（1）解：由题意知，，，则， ∵ ∴， 解得或， 故当运动时间为2秒或4秒时，的面积为； （2）解：如图1，设切点为，连接． ∵， ∴与相切， ∴分别与，相切， ∴． ∵与相切， ∴， 在中，依据勾股定理可得． ∴． ∵， ∴，． 在中，依据勾股定理可得，， 解得； （3）解：（Ⅰ）当时，如图4所示： 与四边形有两个公共点； （Ⅱ）如图5所示： 当经过点D时，与四边形有两个公共点，则， 得方程， 解得： （舍），， ∴当，与四边形有三个公共点． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了三角形的面积公式、切线长定理、勾股定理、圆的性质，依据题意列出关于t的方程是解题的关键． 82．（2024·河北张家口·三模）如图，平行四边形中，，，对角线，经过点作圆和边切于点（含端点），分别交，于点，． (1)当圆心在边上时，求圆的半径． (2)当点在线段上且不与点重合时，连接，，猜想并证明和的数量关系；直接写出当时，的长． (3)①嘉琪说：“若圆与边相切，则点平分”．你觉得嘉琪的判断对吗？请说明理由； ②直接写出长是多少时，圆与边相切． 【答案】(1) (2)，当时，，理由见解析； (3)①嘉琪的判断不对，理由见解析；②． 【分析】（1）连接，设圆半径为，由勾股定理的逆定理得，结合切线的性质得，，即，从而即可得解； （2）连接、，由三角形的内角和定理及等腰三角形的性质得，结合圆周角定理得，又根据，得，从而证明，利用相似三角形的性质即可得解； （3）①连接，设圆的半径为，利用切线的性质及面积法可求得，于是，从而即可得解；②连接并作射线交射线于点，令切圆于点，设圆的半径为，先利用切线的性质及平行四边形的性质得，又证四边形是矩形，得，，，，再证，得，即，求得，在中，利用勾股定理求得或（舍去），从而利用切线长定理及矩形的性质即可得解． 【详解】（1）解：如图，连接，设圆半径为， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵切圆于点， ∴， ∴，即， 解得圆半径； （2）解：，当时，，理由如下： 连接、， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得； （3）解：①嘉琪的判断不对，理由如下： 连接，设圆的半径为， ∵圆与相切， ∴， ∵， ∴点在上， ∵， ∴即， 解得， ∴， ∴点不平分，即嘉琪的判断不对； ②连接并作射线交射线于点，令切圆于点，设圆的半径为， ∵切圆于点， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， 解得， 解得或（舍去）， ∴， ∵切圆于点，切圆于点， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定及性质、切线长定理、切线的性质、平行四边形的性质、勾股定理、解一元二次方程、相似三角形的判定及性质、正弦的定义以及平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，熟练掌握矩形的判定及性质、切线长定理以及切线的性质是解题的关键． 83．（23-24九年级上·河北邯郸·期末）如图1，在正方形中，，点O与点B重合，以点O为圆心，作半径长为5的半圆O，交于点E，交的延长线于点F，点M，N是弧的三等分点（点M在点N的左侧）．将半圆O绕点E逆时针旋转，记旋转角为（），旋转后，点F的对应点为点．      (1)如图2，在旋转过程中，当经过点N时． ①求的度数；并求的长； ②连接，求与的长度，并比较大小；（取1.7，取3） (2)在旋转过程中，若半圆O与正方形的边相切，请直接写出点A到切点的距离． 【答案】(1)①；；②的长为；；的长度 (2)或或3 【分析】（1）①连接，过点B作于点L，则，根据题意可得，再由，以及三角形外角的性质，即可求解；②根据弧长公式求出的长；过点于点W，根据直角三角形的性质可得，从而得到，进而得到，再由勾股定理可得，即可求解； （2）分类讨论当半圆O与相切的三种情况，画出对应的几何图，根据切线的性质即可求解． 【详解】（1）解：①如图，连接，过点B作于点L，则， ∵点M，N是弧的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即； ∴， ∴， ∴； ②根据题意得：， ∴的长为； 如图，过点于点W， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； ∵， ∴的长度； （2）解：有三种情况讨论： 当半圆O与相切时，如图所示：设切点为点G，连接并延长，交与点H，连接， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当半圆O与相切时，如图所示：设切点为点G，连接，过点E作， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； 当半圆O与相切时，如图所示， ； 综上所述，点A到切点的距离为或或3． 【点睛】本题以正方形和圆作为几何背景，考查了旋转这一类动态问题．涉及了勾股定理、切线的性质定理、矩形的判定与性质等知识点．掌握分类讨论的数学思想是解题关键． 试卷第2页，共154页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 直线与圆的位置关系综合题清单 一、点与圆的位置关系 1．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）在中，，，，以点C为圆心，6为半径作圆，则点A与的位置关系是（   ） A．点A在上 B．点A在内 C．点A在外 D．不能确定 2．（2024·河北保定·二模）如图，在直角坐标系中，存在三个定点分别为，，，顺次连接，现添加一点，使得，那么的长不可能为（    ） A．4 B．7 C．11 D．15 3．（2024·河北沧州·模拟预测）小明手中有几组大小不等的三角板，分别是含度，度的直角三角板．从中选择两个各拼成如图所示的图形，则关于两图中四个顶点，，，的说法，正确的是（    ） A．甲图四点共圆，乙图四点共圆 B．甲图四点共圆，乙图四点不共圆 C．甲图四点不共圆，乙图四点共圆 D．甲图四点不共圆，乙图四点不共圆 4．（2024·河北邯郸·二模）如图，平面上有P，Q，M，N四点，其中任意三点都不在同一条直线上，嘉淇进行了如下操作：①连接四点画出四边形；②利用尺规分别作，的垂直平分线，两直线交于点O．若以点O为圆心，长为半径画⊙O，则不一定在上的点是（    ）    A．点P B．点Q C．点M D．点N 5．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，在网格（每个小正方形的边长均为）中选取个格点（格线的交点称为格点），如果以为圆心，为半径画圆，选取的格点中除点外恰好有个在圆内，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在中，，，，，分别是，的中点，是以为圆心，为半径的圆，判断点D，E与的位置关系，并说明理由． 7．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，在中，，，，是斜边上的中线． (1)若以点为圆心，以为半径作，且点，，中有两个点在内，有一个点在外，求的取值范围； (2)若以点为圆心，以为半径作，且点，，都在上，求的值． 二、直线与圆的位置关系 8．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）如图，的半径为5，圆心O到一条直线的距离为6，则这条直线可能是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）已知圆心A到直线m的距离为d，的半径为r，若d、r是方程的两个根，则直线m和的位置关系是（   ） A．相切 B．相离 C．相交或相离 D．相切或相交 10．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在中，，，以点C为圆心，3为半径作圆，则下列判断正确的是（    ） A．点B在内 B．点A在上 C．边与相切 D．边与相离 11．（23-24九年级上·河北保定·期中）已知的半径为5，直线经过上一点A（点E，F在点A的两旁），下列条件：（1）；（2）；（3）；（4）O到直线的距离是5．能判定直线与相切的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（24-25九年级上·河北·期中）如图， 在矩形中，，， 是以为直径的圆，则直线 与的位置关系是 ． 三、三角形的内心及其应用 13．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）三角形的内心是（   ） A．三角形的三条高所在直线的交点 B．三角形的三条中线的交点 C．三角形的三条角平分线的交点 D．三角形的三边线段垂直平分线的交点 14．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的是（   ） A． B． C． D． 15．（22-23九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，的内切圆与分别相切于点D、E、F，若的半径为2，，则的长（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 16．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）已知是的内心，，为平面上一点，点恰好又是的外心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 17．（2024·河北石家庄·二模）如图，点为的内心，，，，将平移使其顶点与重合，与边交于点，延长交于点，延长交于点，则图中阴影部分的周长为（   ） A．12 B．9 C．8 D．6 18．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图，在等边的边上分别取点A，B，C，使，连接，．甲、乙、丙三人说法如下： 甲：一定是等边三角形． 乙：若点O是的外心，则它一定也是的外心． 丙：若，则的长是内切圆半径的长的2倍． 则下列判断正确的是（    ） A．只有甲的说法正确 B．只有丙的说法不正确 C．只有乙的说法不正确 D．甲、乙、丙的说法都正确 19．（23-24九年级上·河北·阶段练习）如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆． （1）内切圆的半径为 ； （2）小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为 ． 20．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，在中，，，，，，为内心，则 ． 21．（24-25九年级上·河北张家口·期中）如图，已知是的内切圆． （1）若，，则 ； （2）若，则 ． 四、由直线与圆的位置关系求值 22．（23-24九年级上·河北张家口·期末）直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为5，则r的值可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 23．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，若与直线相离，的半径可取的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 24．（22-23九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，已知，，，以为圆心，为半径作，与线段有交点时，则的取值范围是 ． 25．（22-23九年级上·河北邢台·阶段练习）在Rt△ABC中，，，，若以点C为圆心，r为半径的圆与边所在直线相离，则r的取值范围为 ；若与边只有一个公共点，则r的取值范围为 ． 26．（20-21九年级上·河北邯郸·期中）如图，在直线l上有相距7cm的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线l上），则⊙O与直线AB在 秒时相切． 五、切线的判定 27．（2024·河北石家庄·一模）对于题目“已知⊙O及圆外一点P，如何过点P作出⊙O的切线?”甲乙的作法如图： 甲的作法连接，作的垂直平分线交于点G，以点G为圆心，长为半径画弧交于M，作直线．直线即为所求． 乙的作法连接并延长，交于B，C两点，分别，以P，O为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点D，连接，交于点M，作直线．直线即为所求．    下列说法正确的是（    ） A．甲和乙的作法都正确 B．甲和乙的作法都错误． C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．乙的作法正确，甲的作法错误 28．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）淇淇家购买了一个直径为的圆形梳妆镜，如图，点是圆镜上两个挂绳固定点，点是钉子，悬拖点、挂绳长度可调节，且． (1)淇淇通过调节挂绳长度，使得与相切于点． 求证：与相切； 若，求的长． (2)淇淇经过对家人身高的调查，决定把镜子中心定在距桌面高度处（如图），且、、三点共线，通过测量得，若，直接写出点到桌面的距离的范围（结果保留根号）． 29．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）图1为中医常用碾药工具——药碾，又名惠夷槽，图2是从药碾抽象出来的几何模型，延长交于点，，于点，连接，． (1)求证：为的切线． (2)若，，求的长． 30．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，是半圆O的直径，点C是半圆上一点（点C不与点A，B重合），点D是的中点，过点D作交的延长线于点E． (1)求证：是半圆O的切线； (2)若，，求的长． 31．（24-25九年级上·河北张家口·期中）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，边与轴交于点，平分交边于点，经过点、、的圆的圆心恰好在轴上． (1)求证：是的切线； (2)若点、的坐标分别为，； ①求的半径； ②求的长． 32．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，为的外接圆，为的直径，，的平分线与交于点P，过点P作于点Q，连接． (1)与的位置关系为 ． (2)求证：为的切线． (3)若，求的长． 33．（24-25九年级上·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，动点在以半径为3的上，连接，过点作，与相交于点（其中点、、按逆时针方向排列），连接． (1)、、三点如图中位置，且时，________； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)连接，，当时，求证：直线为的切线． 34．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，以为圆心，为半径的圆经过点，延长交于点，，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积； (3)若将扇形剪下，围成一个圆锥的侧面，求圆锥的底面圆的半径． 35．（2024·河北邯郸·三模）如图，以点为圆心，为半径作优弧，使点在点右下方，且，，在优弧上任取一点，过点作直线的垂线，交直线于点，连接．    (1)若优弧上一段的长为，求的度数及的值； (2)①点有可能落在圆上吗？请判断并说明理由； ②当点在上方时，求的最大值，并指出此时直线与所在圆的位置关系． 六、切线的性质 36．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，是的直径，直线与相切于点．若．则（   ） A． B． C． D． 37．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，在中，，，，作的平分线交于点，以点为圆心，为半径作圆，与射线交于点，．对下面两个结论判断正确的是（   ） 结论Ⅰ：与直线相切； 结论Ⅱ： A．Ⅰ对Ⅱ不对 B．I不对Ⅱ对 C．Ⅰ和Ⅱ都对 D．Ⅰ和Ⅱ都不对 38．（2024·河北张家口·一模）如图，点在数轴上对应的数是，以原点为圆心，的长为半径作优弧，使点在原点的左上方，且，点为的中点，点在数轴上对应的数为4． (1)求扇形的面积； (2)点是优弧上任意一点，则求的最大值； 39．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）中，，为边上的高，如图1，A在原点处，点B在y轴正半轴上，点C在第一象限，若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单长的速度运动，则点B随之沿y轴下滑，并带动在平面上滑动．如图2，设运动时间表为t秒，当B到达原点时停止运动．    (1)当时，求点C的坐标； (2)当以点C为圆心，为半径的圆与坐标轴相切时，求t的值． 40．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图1，中，，将扇形按图1摆放，使扇形的半径、分别与、重合，．    如图2，若不动，让扇形绕点逆时针旋转一周，连接线段、，设旋转角为． 发现：直接写出、的数量关系____________． 探究：若 （1）扇形绕到点的左侧，当时，旋转角_____________； （2）扇形绕到点的右侧，当与弧相切时，求； （3）若点是弧上任意一点，在扇形绕点逆时针转过程中，当的面积最大时，求出的度数 41．（23-24九年级下·河北石家庄·期末）如图1，四边形中，，，，为四边形的对角线，．    (1)求点到的距离； (2)如图2，点在边上，且．以为圆心，长为半径作，点为上一点，连接交于．． ①当与相切时，求的长； ②当时，直接写出的长． 42．（24-25九年级上·江苏南京·期中）图（1）是一把“U形”尺，图（2）是该尺内侧的示意图，已知边，边，，． 算一算 将该尺摆放在一些圆上，测量并计算圆的半径r． （1）如图（3），点A，B，C，D恰好都在圆上，则 ． （2）如图（4），该尺的边与圆相切于点P，且点P在该尺上的读数为，点D在圆上，则 ． （3）如图（5），该尺的边与圆有两个公共点P，Q，它们在该尺上的读数分别为，，边与圆也有两个公共点，其中一个公共点R在该尺上的读数为，求r的值． 想一想 （4）若将该尺摆放在一个圆上（尺子只摆放一次，圆的圆心未标注），一定可以通过测量并计算出该圆的半径r吗？如果可以，说明理由；如果不一定可以，请直接写出可计算出的r的最小值和最大值． 七、切线长定理 43．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）如图，是一张三角形纸板，是的内切圆，切点分别为点、、，已知，，淇淇准备用剪刀沿着与相切的任意一条直线剪下一个三角形．则剪下的周长是（   ） A． B． C． D． 44．（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，的圆心在梯形的底边上，且与梯形的其他三边均相切，若，，则梯形的周长为（     ） A．8 B．10 C．14 D．18 45．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，是正方形的内切圆，点E，F，G，H 分别在正方形的四条边上，和分别为的切线．设和的周长分别为a和b，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．无法比较a与b的大小 46．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，分别切于点切于点C，分别交于点M，，若，则的周长是 ． 八、正多边形和圆 47．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分的面积分别为，，．给出以下结论：①Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形；②Ⅲ中最大的内角是；③．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 48．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图是一个模型，为内接正多边形的一条边，若点P是优弧上一点，且，的半径为6．关于结论①、②，下列判断正确的是（   ）    ①的度数为；②以为边的圆内接正多边形的周长为18 A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 49．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，正八边形的中心与原点重合，顶点A，在轴上，连接，过点A作的垂线，垂足为，将绕点顺时针旋转，每次旋转．已知，则第106次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 50．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，正五边形内接于，阅读以下作图过程： ①作直径； ②以点为圆心，为半径作圆弧，与交于点，； ③连接，，． 结论Ⅰ：是等边三角形； 结论Ⅱ：从点开始，以长为半径，在上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正十八边形． 对于结论Ⅰ和结论Ⅱ，下列判断正确的是（   ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 51．（2024·河北石家庄·二模）在数学综合实践课上，李老师拿出了如图所示的三个边长都为的正方形硬纸板，并提出问题：“若将这三个正方形硬纸板互不重叠平放在桌面上，用一个圆形纸片将其完全覆盖，怎样摆放才能使这个圆形纸片的直径最小呢？”全班同学经过讨论后，得出如图所示的三种方案，则下列说法正确的是（    ） A．方案一中圆形纸片的直径最小，直径是 B．方案二中圆形纸片的直径最小，直径是． C．方案二和方案三中圆形纸片的直径都最小，直径都是 D．方案一、方案二和方案三中圆形纸片的直径都不是最小的 52．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）如图，正六边形的边长为1，点从点出发沿运动至点，点是点关于直线对称的点.当点从点运动至的过程中，有如下结论： 结论Ⅰ：点沿直线从运动到. 结论Ⅱ：点到的距离的最小值是. 下列判断正确的是（    ） A．只有结论I正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论I、结论Ⅱ都正确 D．结论I、结论Ⅱ都不正确 53．（24-25八年级上·河北沧州·期末）尺规作图起源于希腊，是指用没有刻度的直尺和圆规，并且经过有限次的步骤来解决平面几何的作图形式．用尺规作图可以作出正十边形，其作图过程如下（如图所示）：①以为直径作出；②作出的垂直平分线，交于点；③作出的垂直平分线，与交于点；④连接，在上截取；⑤在上依次截取．则十边形就是正十边形．若的半径为，则所作正十边形的边长为 ． 54．（2024·河北石家庄·模拟预测）如图，已知四个正六边形摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上，其中上下两个大一点的正六边形边长均为a，左右两个正六边形边长均为b． （1） ；（2）若，则 ． 55．（23-24九年级下·河北沧州·期中）如图，六边形是的内接正六边形． （1）若的半径为1，则六边形的周长为 ． （2）设正六边形的面积为，的面积为，则 ． 56．（2024·河北石家庄·三模）将7个边长均为1的正六边形不重叠、无缝隙地按如图所示摆放． （1） ； （2）已知点在边上，则的最大值为 ． 57．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为4的正六边形的顶点处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟一次跳正六边形的1个边长，黑跳棋按逆时针方向3秒钟一次跳正六边形的1个边长，经过2022秒钟后停止跳动，此时两枚跳棋之间的距离是 ． 58．（2024·河北石家庄·一模）如图，正六边形为的内接正六边形，过点D作的切线，交的延长线于点P，连接的半径为6． (1)求的度数； (2)求线段的长； (3)若点M为上一点（不与点F，D重合），连接，直接写出与的面积之和． 59．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）点O是边长为m的正多边形的中心，将一块足够长，圆心角为的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕O点旋转． 若正多边形为正三角形，扇形的圆心角时，通过观察或测量，得到如图1、2中，正三角形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度均为m； (1)若正多边形为正方形，扇形的圆心角时， ①如图3，求正方形的边被扇形纸板覆盖部分的长度； ②如图4，正方形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为多少？并给予证明； (2)若正多边形为正五边形，如图5，当扇形纸板的圆心角为多少度时，正五边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度仍为定值m． 九、圆的折叠问题 60．（2024·河北沧州·一模）如图，珍珍利用一张直径为8cm的半圆形纸片探究圆的知识，将半圆形纸片沿弦折叠． (1)如图1，为的切线，当时，求证：． (2)如图2，当时，通过计算比较与弧哪个长度更长．（π取） (3)如图3，M为的中点，为点M关于弦的对称点，当时，直接写出点与点M之间的距离约为_____cm．（结果保留两位小数，参考数据：27） 61．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）在扇形中，，半径，点P为上任一点（不与A、O重合）． (1)如图1，Q是上一点，若，求证：． (2)如图2，将扇形沿折叠，得到O的对称点． ①若点落在上，判断的形状并求的长． ②当与扇形所在的圆相切时，折痕的长为___________． 62．（2020·河北·一模）如图1，扇形OAB的半径为4，∠AOB＝90°，P是半径OB上一动点，Q是上一动点． （1）连接AQ、BQ、PQ，则∠AQB的度数为　 　； （2）当P是OB中点，且PQ∥OA时，求的长； （3）如图2，将扇形OAB沿PQ对折，使折叠后的恰好与半径OA相切于点C．若OP＝3，求点O到折痕PQ的距离． 63．（22-23九年级下·河北衡水·阶段练习）如图1，在平行四边形中，，，，以为直径在的上方作半圆，交于点，为上一动点（不与点，重合），将半圆沿折叠，得到点的对称点，点的对称点． (1)当点在半圆上时，的度数为__________； (2)如图2，连接，与交于点．已知，且． ①求的长度及的值； ②求阴影部分的面积； (3)点在上运动过程中，当直线能与所在的圆相切时，直接写出的取值范围． 64．（22-23九年级上·河北承德·期末）如图，的直径，是弦，沿折叠劣弧，记折叠后的劣弧为． (1)如图1，当与相切于时． ①为画出所在圆的圆心，请选择你认为正确的答案 ． 甲：在上找一点，连、并分别作它们的中垂线，交点为； 乙：分别以、为圆心，以为半径作弧，除外两弧另一个交点即为圆心． A．甲正确   B．乙正确   C．甲乙都正确       D．都不正确 ②选择合适的方法做出圆心，求的长；直接写出此时的度数． (2)如图2，当经过圆心时，求的长； (3)如图3，当覆盖圆心且与直径交于点，若，直接写出的度数． 65．（2024·河北保定·一模）如图1、图2、图3和图4、是半圆O的直径，且，点C以每秒个单位长的速度从点B沿运动到点A． (1)连接，．求图1中的阴影部分面积和的最小值S； (2)如图2，过点C作半圆O的切线，点P在射线AB上，且，过点P在射线的上方作．且．当点Q与点C重合时，求点H到射线的距离； (3)如图3和图4，在点C运动过程中，将半圆O沿折叠，与交于点D． ①连接．若，求的度数； ②当点D落在半径上（包括端点O，A）时，求点C运动的时长； ③如图4，连接，过点A作，与的延长线交于点E，延长交于点F，连接．当时，请直接用含d的式子表示． 十、圆和三角形的综合问题 66．（2022·河北石家庄·模拟预测）如图1，在中，，，，点O在边上，由点D向点A运动，当点O与点A重合时，停止运动．以点O为圆心，为半径，在的下方作半圆O，半圆O与交于点M．（，，） (1)如图1，当时， ，点C到半圆O的最短距离= ； (2)半圆O与相切时，求的长？ (3)如图2，半圆O与交于点E、F，当时，求扇形的面积？ (4)以，为边矩形，当半圆O与有两个公共点时，则的取值范围是 ． 67．（2024·河北邯郸·模拟预测）是半圆O的直径，，C为弧上的一个动点． (1)连接，，如图1，求阴影部分面积和的最小值（结果保留π）； (2)如图2，在半圆O的右侧有一，点P在射线上，，，，当与半圆O切于点Q时，求点H到射线的距离； (3)如图3，在点C的运动过程中，将半圆O沿折叠，弧与交于点D，连接．若，直接写出的度数． 68．（2024·河北邯郸·三模）如图1，在钢管的两侧分别放置三角形垫块 可以将钢管架在水平面上方．钢管的底面截面如图中所示，与两个垫块分别相切于点K．C，垫块． 和点K的位置不变，点C的位置随 的度数的改变而变化，且始终保持圆心O到水平面的距离不变，设当点A，B重合时，点B到达了最左端的位置，已知． 的半径为4． (1)若在K，C之间的劣弧 长为 求α的度数； (2)当点K，C到水平面的竖直高度一样时，求点A，B之间的距离； (3)当点A，B重合时，如图2，求点C到的距离． 69．（2024·河北沧州·二模）如图，在矩形中，，，点P从延长线上离点B很远的位置开始沿直线向左运动，运动过程中，以为直径，在的左侧画半圆O，E为 的中点．设． (1)点O到直线的距离为 ； (2)当点 E落在直线上时，求被直线截得的弧长； (3)当点运动到点左边时，当与边有两个公共点时，求x的取值范围； (4)若点E到直线的距离为1，直接写出：的值． 70．（21-22九年级上·河北沧州·期末）如图1，已知，点O在射线上，且．以点O为圆心，为半径作，交直线于点D，E．    (1)当与只有两个交点时，r的取值范围是________． (2)当时，将射线绕点B按顺时针方向旋转． ①若与相切，求的度数为多少； ②如图2，射线与交于M，N两点，若，求阴影部分的面积．  71．（22-23九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，中，，，，延长到点D，使．点P是边上一点，点Q在射线上，，以点P为圆心、PD长为半径作，交A于点E，设．    (1)______，当点Q在上时，______； (2)x为何值时，与相切？ (3)当时，求阴影部分的面积； (4)若与的三边有两个公共点，直接写出x的取值范围． 72．（2023·河北保定·模拟预测）如图1，在中，，，．点P从点C出发沿CB以1cm/s的速度移动，同时，点Q从点B出发沿以2cm/s的速度向点A移动，当点P、Q有一点到达顶点时即同时停止运动，设运动时间为t秒．以点P为圆心、为半径作．    (1)当与边交于点B、D时，的长为 ． (2)若，试判断直线与的位置关系，并说明理由． (3)如图2，以点Q为圆心，为半径作．    ①若的面积为，求t的值； ②若与的边有4个公共点，直接写出t的取值范围． 73．（2023·河北沧州·二模）在中，，，．点在射线上从点开始运动，过点作切于点，设．    (1)如图，当为何值时，圆心落在上，此时与的另一个交点为，直接写出与的位置关系，并求劣弧的长；（注：，，，取3） (2)若点以每秒3个单位长的速度运动，求圆心在内部的时长； (3)若与边只有一个公共点，直接写出半径的取值范围． 十一、圆和四边形的综合问题 74．（23-24九年级下·河北邢台·阶段练习）如图1，在矩形中，，，是的中点，以点为圆心，以3为半径在的上方作半圆，分别交于点、点，把连带半圆绕点顺时针旋转（）得到半圆，如图2，其直径为． (1)连接、，求证：； (2)设半圆交于点、点，若，求半圆落在矩形内的弧长； (3)设是半圆上一点，当落在上时，求的最小值； (4)当半圆与矩形的边有两个交点时，直接写出的取值范围． 75．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）在矩形中，已知，连接，，点O是边上的一动点，的半径为定值r． (1)如下图，当经过点C时，恰好与相切，求的半径r； (2)如下图，点M是上的一动点，求三角形面积的最大值： (3)若从B出发，沿BC方向以每秒一个单位长度向C点运动，同时，动点E，F分别从点A，点C出发，其中点E沿着AD方向向点D运动，速度为每秒1个单位长度，点F沿着射线方向运动，速度为每秒2个单位长度，连接，如下图所示，当平移至点C（圆心O与点C重合）时停止运动，点E，F也随之停止运动．设运动时间为t（秒）．在运动过程中，是否存在某一时间t，使与相切，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 76．（2023·河北秦皇岛·一模）如图1，已知矩形中，，，点P是对角线的中点，点O为射线上的一个动点，连接，以为半径作． (1)如图2，当与相切时，求的半径长； (2)当点O运动到何处，的半径最小？ (3)在点O的运动过程中，与的三条边有四个交点，求的取值范围． 77．（2022·河北邯郸·三模）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，∠BAC＝30°，点O为对角线AC上的动点（不与A、C重合），以点O为圆心在AC下方作半径为2的半圆O，交AC于点E、F． (1)直接写出AC的长 ； (2)当半圆O过点A时，求半圆被AB边所截得的弓形的面积； (3)若M为的中点，在半圆O移动的过程中，求BM的最小值； (4)当半圆O与矩形ABCD的边相切时，直接写出AE的长 ． 78．（2022·河北石家庄·二模）如图，在中，，，点M在BC边所在的直线上，，，以PQ为直径的半圆O与BC相切于点P，点H为半圆弧PQ上一动点． 探索：如图1，当点P与点M重合时，则______，线段CH的最小值为______． 思考：若点H从Q开始绕圆心O逆时针旋转，速度为15度/秒，同时半圆O从M点出发沿MB做平移运动，速度为1个单位长度/秒，运动时间为t秒．解决下列问题： （1）如图2，当PQ与D点在一条直线上时，求点O到CD的距离及扇形OHQ的面积； （2）当圆O与CD相切于点K时，求的度数： 直接判断此时：弧HQ长______弦KQ长（填：＜、＞或＝） （3）当弧HQ（包括端点）与边有两个交点时，直接写出：运动时间t的取值范围． 79．（2022·河北保定·二模）如图1，将半径为2的剪掉一个的扇形之后，得到扇形AOB，将扇形AOB放置在数轴上，使点B与原点重合且OB垂直于数轴，然后将图形沿数轴正方向滚动，直至点A落在数轴上时停止滚动．记优弧AB与数轴的切点为点P，过点A作直线l平行于数轴，当l与弧AB有两个公共点时，记另一个公共点为点C，将直线l绕点C顺时针旋转，得到直线m，交数轴于点Q． (1)当点A落在数轴上时，其对应数轴上的实数为___________； (2)当直线l经过圆心O时，线段PQ的长度为___________； (3)当CQ与扇形AOB所在圆相切于圆的左侧时，求弦AC的长及点Q对应数轴上的实数； (4)直接写出整个运动过程中PQ长度的最大值． 80．（2022·河北唐山·一模）如图，在四边形中，，，，，对角线平分．点P是边上一动点，它从点B出发，向点A移动，移动速度为；点Q是上一动点，它从点A出发，向点C移动，移动速度为．设点P，Q同时出发，移动时间为，一点到达，另一点也停止运动．连接，以为直径作． (1)边________、_________； (2)求当t为何值时，与相切？ (3)求当t为何值时，线段被截得的线段长恰好等于的半径？ (4)当______s时，圆心O到直线的距离最短，最短距离为________． 81．（2021·河北邯郸·三模）在矩形中，，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动（点P可以与点A重合），同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动（点Q可以与点B重合），其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)如图1，几秒后，的面积等于？ (2)如图2，在运动过程中，若以P为圆心、为半径的与相切，求t值； (3)若以Q为圆心，为半径作⊙Q．如图3，若与四边形的边有三个公共点，则t的取值范围为 ．（直接写出结果，不需说理） 82．（2024·河北张家口·三模）如图，平行四边形中，，，对角线，经过点作圆和边切于点（含端点），分别交，于点，． (1)当圆心在边上时，求圆的半径． (2)当点在线段上且不与点重合时，连接，，猜想并证明和的数量关系；直接写出当时，的长． (3)①嘉琪说：“若圆与边相切，则点平分”．你觉得嘉琪的判断对吗？请说明理由； ②直接写出长是多少时，圆与边相切． 83．（23-24九年级上·河北邯郸·期末）如图1，在正方形中，，点O与点B重合，以点O为圆心，作半径长为5的半圆O，交于点E，交的延长线于点F，点M，N是弧的三等分点（点M在点N的左侧）．将半圆O绕点E逆时针旋转，记旋转角为（），旋转后，点F的对应点为点．      (1)如图2，在旋转过程中，当经过点N时． ①求的度数；并求的长； ②连接，求与的长度，并比较大小；（取1.7，取3） (2)在旋转过程中，若半圆O与正方形的边相切，请直接写出点A到切点的距离． 试卷第2页，共154页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$