清单02 圆综合题清单（4个题型51题）（期末复习知识清单）九年级数学上学期冀教版

清单02 圆综合题清单 一、三角形的外心的有关性质 1．（23-24九年级下·河北石家庄·开学考试）如图，在中，点是斜边的中点，以为边作正方形，下列三角形中，外心不是点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质，连接，根据点是斜边的中点，得到，得到点是的外心，根据正方形的性质得到，求得，得到点是的外心，点是的外心，由于，得到点不是的外心，证得，是解题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： 在中，点是斜边的中点， ， 点是的外心， 四边形是正方形， ， ， 点是的外心，点是的外心， 在等腰中，，则由勾股定理可得， ， 点不是的外心， 故选：C． 2．（22-23九年级上·河北石家庄·期中）如图，为锐角三角形的外心，四边形为正方形，其中点在的外部，判断下列叙述不正确的是（    ） A．是的外心，不是的外心 B．是的外心，不是的外心 C．是的外心，不是的外心 D．是的外心，不是的外心 【答案】D 【分析】根据三角形的外心得出，根据正方形的性质得出，求出，再逐个判断即可． 【详解】解：连接、、， 为锐角三角形的外心， ， 四边形为正方形， ， ，即不是的外心， ，即是的外心， ，即是的外心， ，即不是的外心， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质和三角形的外心与外接圆，能熟记知识点的内容是解此题的关键，注意：三角形的外心到三个顶点的距离相等，正方形的四边都相等． 3．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，锐角三角形中，点O为中点．甲、乙二人想在上找一点P，使得的外心为点O，其作法分别如下．对于甲、乙二人的作法，下列判断正确的是（    ） 甲的作法                            乙的作法                          过点B作与AC垂直的直线，            以O为圆心，OA长为半径画弧， 交AC于点P，则P即为所求            交AC于点P，则P即为所求 A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】A 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，由三角形外心的性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，即可判断． 【详解】解：甲的作法， ， ， ∵O是中点， ， ， ∴O是的外心， ∴甲的作法正确． 乙的作法， 由作法知：， ∴O是的外心， ∴乙的作法正确． 故选：A． 4．（2022·河北邯郸·一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，AB⊥x轴，M为Rt△ABC的外心．若点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（﹣1，1），则点B的坐标为（　　） A．（3，﹣1） B．（3，﹣2） C．（3，﹣3） D．（3，﹣4） 【答案】B 【分析】根据M为直角三角形的外心．∠ABC＝90°，得出点M为AC中点，利用中点坐标公式求出点C（-5，-2），根据AB⊥x轴，得出点A，B的横坐标相同都是3，根据BC∥x轴，得出点B、C的纵坐标相同都是-2即可． 【详解】解：∵M为Rt△ABC的外心．∠ABC＝90°， ∴点M为AC中点， ∵点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（﹣1，1）， 设点C横坐标为（x,y）, ∴， 解得x=-5，y=-2， ∴点C（-5，-2）， ∵AB⊥x轴， ∴点A，B的横坐标相同都是3， ∵∠ABC＝90°， ∴BC∥x轴， ∴点B、C的纵坐标相同都是-2， ∴点B（3，-2）． 故选：B． 【点睛】本题考查直角三角形的外心，中点坐标公式，平行x轴或y轴的点坐标特征，掌握直角三角形的外心的性质，中点坐标公式，平行x轴或y轴的点坐标特征是解题关键． 5．（2024·河北保定·二模）如图，在中，，嘉嘉和淇淇通过尺规作图的方法找到的外心，作法如下： 嘉嘉： 作的垂直平分线，交于点O，点O即为的外心 淇淇： 作和的平分线，两条角平分线交于点O，点O即为的外心 对于两人的作图方法，下列说法正确的是（    ） A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都错误 【答案】A 【分析】本题考查作图一复杂作图，三角形的外心，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，根据直角三角形的外心是斜边的中点，由此即可判断． 【详解】解：三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，直角三角形的外心是斜边的中点． 嘉嘉正确，淇淇错误． 故选：A． 6．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，已知图中的每个小方格都是边长为工的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，若与是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标为 ；的外心在这个三角形 （内、外、三角形边上），外心坐标是    【答案】；外； 【分析】本题考查了求位似中心以及三角形的外心位置；连接任意两对对应点，看连线的交点为那一点即为位似中心，外心坐标为的垂直平分线的交点． 【详解】解：连接，，交点即位似中心的坐标是，的外心在这个三角形外，外心坐标为的垂直平分线的交点，坐标为    故答案为：；外；． 7．（2022·河北石家庄·三模）如图，在中，，点D从点B出发沿向点C运动，点E从点C出发沿向点B运动，点D和点E同时出发，速度相同，到达C点或B点后运动停止．    (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的外心在其内部时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据点D和点E同时出发，速度相同，得出，即可用证明； （2）根据，得出，即可求解； （3）分别求出当时，和当时，的度数，即可解答． 【详解】（1）证明：∵点D和点E同时出发，速度相同， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时，，    当时，，    ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角形的定义和三角形的外心，解题的关键是掌握等腰三角形等边对等角；全等三角形的判定方法和全等三角形对应边边相等；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形． 8．（23-24九年级上·河北承德·期末）如图1，在中，．如图2，点E为边的中点，点F在边上，连接，沿将折叠得到． (1)求的长． (2)当时， ①求证：； ②求的长． (3)当经过的外心时，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①见解析② (3) 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，作高化斜为直解直角三角形，特殊角的三角函数值，圆的外心，线段的垂直平分线， （1）过点A作于点M，利用特殊角的函数值计算即可． （2）①根据沿将折叠得到，得到．结合，得到，继而得到，结合，利用公共角相等证明即可． ②利用三角形相似，列出比例式计算即可． （3）根据经过的外心，得到点P一定在线段的垂直平分线上，结合，得到，，结合，得到点P是（1）中的交点，，结合沿将折叠得到，得到，利用三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）过点A作于点M， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）①∵沿将折叠得到， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴． ②∵ ∴． ∵点E为边的中点，， ∴． ∴， 解得． （3）∵经过的外心， ∴点P一定在线段的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴，， ∴点P是（1）中的交点， ∵， ∴， ∵沿将折叠得到， ∴，， ∴， ∴． 9．（23-24九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，，，直线经过点．设，于点，将射线绕点按逆时针方向旋转，与直线交于点．    (1)判断：__________； (2)若，求的长； (3)若的外心在三角形内部（不包括边上），直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得，在四边形中，根据四边形内角和求解即可； （2）由旋转的性质可知，利用互余关系可得，再由，，可得，进而可证明，可得，再利用勾股定理求解即可； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别判断的形状即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在四边形中，， 故答案是：； （2）由旋转可知，， 又∵， ∴，， ∴． 由（1）知，而， ∴． 又∵， ∴， ∴． 又∵，则是等腰直角三角形， ∴； （3）由（2）可知， 当时，则为直角三角形，外心在其斜边上， 当时，则为钝角三角形，外心在其外部， 当时， ∵，，， ∴，则， ∴， ， 则为锐角三角形，外心在其内部， 故：． 【点睛】本题考查的是四边形的内角和，三角形的外接圆的性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关图形的性质定理是解决问题的关键． 10．（22-23九年级下·河北保定·阶段练习）在四边形中，，，，．直角三角板含45°角的顶点在上移动，一直角边始终经过点，斜边与交于点． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，在上有一点，．若点从点到点移动的速度为每秒个单位长，求点在直角三角板内部（包括边界）的时长； (3)连接，当的外心落在的边上时，求的值； (4)直接写出点移动过程中的外接圆半径的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 (4) 【分析】（1）根据三角形外角的性质证明，即可利用证明； （2）如图2-1所示，分别过点，作，，垂足分别为，，则四边形是矩形，得到；再推出，，即可得到；如图2-2，图2-3所示，当三角板刚好经过点P时，设，证明，得到，求出解得，，由此即可得到答案； （3）根据题意可知此时是直角三角形，然后分如图3-1所示，当时， 如图3-2，当时，根据相似三角形的性质进行求解即可． （4）设外接圆的圆心为，其半径为．先求出，进而推出劣弧所对圆心角，得到，则当最小时，也最小，即当最大时，最小．设，利用相似三角形的性质得到，则当时，有最大值，最大值为，此时．如图所示，过点作，交的延长线于点，则，在中求出即可得到答案． 【详解】（1）解：，，， 在和中， ， ； （2）解：如图2-1所示，分别过点，作，，垂足分别为，，则四边形是矩形， ∴； ∵， ∴， ∴， 同理， ∴； 如图2-2，图2-3所示，当三角板刚好经过点P时， 设，由（1）知，， ， ，即， 解得， 点在直角三角板内部（包括边界）的时长为：； （3）解：∵的外心落在的边上， ∴此时是直角三角形， 如图3-1所示，当时，则． ， ， ， ； 如图3-2，当时，． ， ， ， ； 综上，当的外心落在的边上时，的长为或； （4）解：设外接圆的圆心为，其半径为． ∵， ， 劣弧所对圆周角为45°． 劣弧所对圆心角， ， ∴当最小时，也最小，即当最大时，最小． 设， ， ， ， ， ∴当时，有最大值，最大值为，此时． 如图所示，过点作，交的延长线于点，则， ∴， ， ； 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形外接圆，圆周角定理，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定等等，灵活运用所学知识并利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 11．（2022·河北保定·一模），，，，E，F分别在边上，且，将沿翻折至位置．以为直径作半； (1)时，_________，O到的距离=________； (2)若以F，C，E为顶点的三角形与相似，求的长； (3)在（2）的条件下，求点O到的距离； (4)的面积最大是_______． (5)直接写出半圆O过的外心时，的值． 【答案】(1)， (2)或4 (3)或 (4) (5) 【分析】（1）先利用正切的定义求出，由勾股定理求出，，得到是的中位线，则，证明，点在上，由等积法即可得到，由点O到的距离是点C到的距离的一半，即可得到点O到的距离是； （2）分和两种情况分别进行求解即可； （3）连接，过O分别作于D，于M，于N．分两种情况分别进行求解即可； （4）在中，，则，即可得到答案； （5）建立直角坐标系，由点，得到的中点D为，设，，则，由题意得，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，       ，，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵，且平分， ∴，点在上， ∵， ∴， ∴， ∵点O到的距离是点C到的距离的一半， ∴点O到的距离是； 故答案为：， （2）∵，，， ∴， ∴，由勾股定理，得． ①当时，； 即， 解得，； ②当时，； 即， 解得，． ∴或4； （3）由（2）和（1）可知，时，O到AB的距离为； 连接，过O分别作于D，于M，于N．    ∵O为中点，， ∴，． ∵，， 当时，． ∴，． ∴，即， ∴．解得． 同理当时，． ∴，． ∴， ∴； 故或； （4）∵在中，， ∴， 故答案为： （5）如图，建立如图所示的直角坐标系，    ∵点，, ∴的中点D为， 设，， 则， 由题意得，， 解得， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理、三角形中位线定理、三角形的外心的性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． 12．（2022·河北唐山·三模）如图，在▱ABCD中，BC=8， S▱ABCD=24，tanA=，M是BC的中点，点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长度的速度在射线MC上匀速运动，在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边△EPQ，使它和▱ABCD在射线BC的同侧，点P，Q同时出发，点P返回到点M时终止运动，点Q也随之停止，设点P，Q运动时间是t秒(t>0)． (1)①当t=1秒时，S△PQE=______；②当t=______秒时，点刚好落在边AD上； (2)当PM=2时，求△EPQ与▱ABCD重叠部分面积； (3)随着时间t的变化，△EPQ的外心是否一直在▱ABCD内部？如果在，请说明理由；如果不在，直接写出△EPQ的外心在▱ABCD内部时t的取值范围． 【答案】(1)①；②3 (2)或 (3)不在， 【分析】（1）①M是PQ的中点，△EPQ是等边三角形，求得EM= EP sin60°=，利用三角形面积公式即可求解；②过点B作BF⊥AD于点F，连接AE，根据等三角形和平行四边形的性质可得答案； （2）分两种情况：当P未返回时，如图所示，连接EM，当点P返回时，如图所示，过点E作EN⊥BC，作DN′⊥BC，此时t=6，然后分别根据等边三角形的性质及相似三角形的判定与性质可得答案； （3）当△EPQ的外心G刚好落在边DC上时，连接EN，作DI⊥BC，PH⊥EQ，然后根据相似三角形的性质及三角函数可得答案． 【详解】（1）解：①当t=1秒时， 根据题意，M是PQ的中点，△EPQ是等边三角形，连接EM， ∴∠EPQ=60°，EM⊥BC，MP=MQ=1，EP=PQ=EQ=2， ∴EM= EP sin60°=， ∴S△PQE=PQ×EM=； ②过点B作BF⊥AD于点F，连接AE， ∵M是BC的中点，△EPQ是等边三角形， ∴∠PEQ=60°，EM⊥BC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BF=EM， ∵S平行四边形ABCD=BC•BF=24， ∴BF=EM=3， ∴FM=QM=3， ∴t==3． 故答案为：；3； （2）解：当P未返回时，如图1所示，连接EM， PQ=2PM=4，EM=PM=2， ∴S△EPQ=PQ•ME=4； 当点P返回时，如图2所示，过点E作EN⊥BC，作DN′⊥BC，此时t=6， ∴MQ=6， ∴PQ=PM+MQ=8，PN=PQ=4， ∴EN=PN=4， ∵∠BCD=∠A， ∴tan∠BCD=， ∴CN′=2=CN， ∴N与N′重合， ∵∠EHD=∠EPN，∠HED=∠PEN， ∴△EHD∽△EPN， ∴， ∴HD=1， ∴S重叠部分=×（6+1）×3=； 图1                         图2 （3）解：如图所示，当△EPQ的外心G刚好落在边DC上时，连接EN，作DI⊥BC，PH⊥EQ， ∵△EPQ是等边三角形， ∴PQ=PE=3+5=8， ∴PN=QM=4，GN=， ∴， ∴， ∴NC=， t=4+4-=， ∴0＜t＜． 【点睛】此题考查的是圆性质、相似三角形的性质、等边三角形的性质及三角函数等知识，正确作出辅助线是解决此题关键． 二、圆周角定理的及推论的应用 13．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，AB是圆的直径，的顶点均在AB上方的圆弧上，的一边分别经过点A、B，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆周角定理，理解圆周角定理是解题关键．根据半圆的度数为，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可． 【详解】解：∵是圆的直径， ∴、、、所对的弧的和是半圆，所对圆心角的度数为， ∴． 故选：B． 14．（2024·山西·模拟预测）已知锐角中，O是的中点，小明、小英二人想在线段上找一点P，使得为直角，其作法如图．对于小明、小英二人的作法，正确的是（    ） 小明的作法 过点B作与垂直的直线，交于点P，则P即为所求 小英的作法 以O为圆心，长为半径画弧，交于点P，则P即为所求 A．只有小明正确 B．只有小英正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了作垂线以及圆周角定理，因为过点B作与垂直的直线，交于点P，则，结合以O为圆心，长为半径画弧，交于点P，则（直径所对的圆周角是直角），即可作答． 【详解】解：∵过点B作与垂直的直线，交于点P， ∴， 则小明的作法是正确的； ∵以O为圆心，长为半径画弧，交于点P， ∴是的直径 则（直径所对的圆周角是直角） ∴两人都正确 故选：C 15．（2024·河北秦皇岛·一模）如图所示，是的直径，弦相交于E，则可能是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质及圆周角定理，解题的关键是根据相似三角形的性质得出，注意运用数形结合的思想方法． 结合图形由圆周角定理得到，从而推出，再根据相似三角形的性质得到，进而求解． 【详解】解：∵， ∴， ， ∵为的直径， ∴， ∴， 故， 故选：A． 16．（2024·河北秦皇岛·一模）综合实践课上，老师提出如下问题：在中作了两个内接三角形和，经测量，求．嘉嘉回答：的度数是；淇淇回答：的度数是．下列判断正确的是（ ） A．嘉嘉对 B．淇淇对 C．嘉嘉和淇淇合在一起才对 D．嘉嘉和淇淇合在一起也不对 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，分两种情况当C，D位于弦的两侧时与当C，D位于弦的同侧时，利用圆内接四边形对角互补和圆周角定理进行求解判断即可． 【详解】解：如图，当C，D位于弦的两侧时， ， ； 如图，当C，D位于弦的同侧时， ， 的度数是或， 嘉嘉和淇淇合在一起也不对， 故选：D． 17．（2024·河北石家庄·二模）如图，已知直线1外一点P，要过点P作直线1的平行线，现有甲、乙、丙三种尺规作图方案，下面对三种方案评价正确的是（    ） A．甲、乙方案正确，丙方案错误 B．甲、丙方案正确，乙方案错误 C．乙、丙方案正确，甲方案错误 D．甲、乙、丙方案都正确 【答案】D 【分析】根据尺规作图作相等的角、圆周角定理、垂直平分线等知识点，熟练掌握常见的尺规作图方法成为解题的关键． 根据尺规作图作相等的角、圆周角定理、垂直平分线逐个方法判断即可． 【详解】解：根据尺规作图可知：即甲、乙方案正确； 根据圆周角定理、垂直平分线的性质可得即丙方案正确． 故选D． 18．（2024·河北保定·二模）如图，已知：在中，，是边上的中线． 求作：，使． 下面是甲、乙两名同学的作图过程， 下面说法正确的是（ A．甲对乙不对 B．甲不对乙对 C．甲乙都不对 D．甲乙都对 【答案】A 【分析】本题主要考查了作图−复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识点， （1）根据作图过程得出同弧所对的圆周角为，，进而即可得解； （2）根据作图过程和等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得解； 解决本题的关键是掌握圆周角定理． 【详解】∵，是边的中线， ∴是边的垂直平分线，， 对于甲，由步骤一，二得出线段的垂直平分线与交于点O，得到的外接圆， ∴在中取了一点P，得到圆周角， 由圆周角定理的推论可得，符合题意； 对于乙，由步骤一得出平分， ∴， 由步骤二，步骤三得出， ∴， ∵， ∴，不符合题意， 故选：A． 19．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，A，B，C，P是⊙O上的点，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若过圆心O，，，求⊙O的半径长． 【答案】(1)等腰三角形 (2)2 【分析】本题主要考查圆周角定理，等腰三角形的判定，特殊角的三角函数值； （1）根据圆周角定理得，即可求出； （2）根据过圆心O，得，根据特殊角的三角函数值得，即可求出． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴是等腰三角形； （2）解：∵过圆心O ∴ 又∵， 在中， ∴ ∴ ⊙O的半径长为：2． 20．（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，是的直径，为上一点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角可得：，再利用等腰三角形的三线合一性质可得：，然后利用同弧所对的圆周角相等可得：，从而可得； （2）利用直径所对的圆周角是直角可得，在中，利用锐角三角函数的定义可设，则，从而利用勾股定理可得，进而可得，再利用勾股定理列出方程进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴． ∵，     ∴． ∵， ∴． （2）解：∵是的直径， ∴， ∵在中，， ∴设，则， ∴ 又， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴在中，． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握圆周角定理，以及勾股定理是解题的关键． 21．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，为的内接三角形，，以为边作矩形，使边过点C，交于点 F，连接． (1)当时，求的度数． (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，圆内接四边形，矩形的性质，熟练掌握等弧对等弦，是解题的关键： （1）先证明为等边三角形，得到，再根据圆内接四边形的对角互补，求出的度数即可； （2）证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴． 22．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图所示，已知中，为斜边上的高，为中点，为外心，交于．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形的外心和重心，以及相似三角形的判定与性质，是一道竞赛题，难度较大．如图，连接，连接交于，由为外心，可得，再由相似三角形判定可得，得出，从而得出，即可得，于是得出结论． 【详解】证明：如图，连接，连接交于， 为外心， ， ，， ． ， ， ， ， 为重心． ． ， ． 23．（23-24九年级上·河北邯郸·期末）已知是的直径，点、点是上的两个点，连接，，点，点分别是半径，的中点，连接，，，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点，若，求证：. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）欲证明，只要证明即可； （2）证明，根据等角对等边可得结论； 本题是圆的综合题，考查全等三角形的判定和性质，圆周角定理，含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【详解】（1）证明：如图1，点，点分别是半径，的中点， ，， ， ， ，， ， ， ， ； （2）证明：， ， 由（1）知：， ， ， ， ， ， ； 24．（2024·河北·模拟预测）如图1，在，，点D是射线上一动点，连接，以为边在右侧作正方形，连接． (1)若G为的中点，连接，求的最小值； (2)当点D在线段上运动时． ①求的度数； ②连接交线段于点H，若，求的长； (3)如图2，当点D在线段的延长线上时，延长交于点M，连接．若，直接写出的值． 【答案】(1) (2)①或；② (3) 【分析】（1）取的中点，根据正方形的性质，证明，可得，当最小时，最小，而当时，最小，再由三角函数求出即可； （2）①根据正方形的性质，证明，分两种情况讨论，当点E在下方时，证明五点共圆，即可求出答案，同理，当点E在上方时，证明五点共圆，即可求出答案； ②先证明，得，再分别求出，，证明得，证明得，进而可得，可得，再由值代入即可求出； （3）过点C作于点P， 过点E作于点Q，于点T，可证四边形是矩形，再证，进而可证是等腰直角三角形，再依次求出，，，即可求出． 【详解】（1）解：取的中点， G为的中点，是的中点， ，， ， ， 四边形是正方形， ，， 在， ，， ， ， ， ， 当最小时，最小， 当时，最小， 在中，， 的最小值为； （2）①解：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图3，当点E在下方时，设交于点K， 交于点L， ， ， 四点共圆， 四边形是正方形， 四点共圆， 五点共圆， ， ； 如图4， 当点E在上方时，设交于点O， ， 四点共圆， 四边形是正方形， 四点共圆， 五点共圆， ， ， 综上所述，当点D在线段上运动时，的度数为或； ② 交线段于点H， 点E在下方，如图5， 由①知， ， ， ， 在中， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图6，过点C作于点P， 过点E作于点Q，于点T， ， 在中，， ， ， ，， ， 由（2）①得，， ， 四边形是正方形， ， ，，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角函数，正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握以上知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 三、垂径定理的综合应用 25．（23-24九年级上·河北保定·期中）有一题目：“如图，已知是的弦，D在上，且，C是上一动点（不与A，B重合），若，求的度数．”甲答：的度数为；乙答：的度数为；丙答：的度数为．则正确的是（    ）．    A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【答案】B 【分析】如图：连接，根据垂径定理和对称的性质可得，然后分当C位于劣弧和优弧上两种情况，分别利用圆周角定理和圆的内角四边形的性质即可解答；灵活运用圆的相关性质以及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：如图：连接， ∵，， ∴， 当位于优弧上时，； 当C位于劣弧上时，； 综上，的度数为或． 故选B．      26．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，用尺规按照下面步骤作图： ①作线段的垂直平分线； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③以为圆心，长为半径作，分别交于点M，N． 嘉嘉和瑣瑣分别给出了一个结论．嘉嘉：点O是的外心． 瑣瑣：若，则． 对于两人的结论，下列判断正确的是（   ） A．两人的结论都正确 B．两人的结论都不正确 C．嘉嘉的结论正确，瑣瑣的结论不正确 D．瑣瑣的结论正确 ，嘉嘉的结论不正确 【答案】C 【分析】本题考查了作图复杂作图,尺规作图和三角形外心的性质．根据三角形外心的定义对嘉嘉的结论进行判断；利用垂径定理对瑣瑣的结论进行判断． 【详解】解：点是和的垂直平分线的交点， 点是的外心，故嘉嘉的结论正确； ， ∴，不能说明， 和的长度不确定，故瑣瑣的结论不正确． 故选：C． 27．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，的半径为5，四边形是的内接四边形，（，位于圆心O的两侧），，，将，分别沿，翻折得到，，M为上点，过点M作交于点N，则的最小值为（　　） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，过点O作于P，交于Q，设弧所在的圆的圆心为，弧所在的圆的圆心为，连接，，，，，，，设交于J．想办法求出即可解决问题． 【详解】解：如图，过点O作于P，交于Q，设弧所在的圆的圆心为，弧所在的圆的圆心为，连接，，，，，，，设交于J． ∵，， ∴，， ∵，， ∴． 同法可得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 过点作交的延长线于T． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 根据对称性可知，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为4． 故选：A． 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，垂径定理，翻折变换，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用两点之间线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题． 28．（24-25九年级上·河北沧州·期末）在一个六角形体育馆的一角内，用长为30的围栏设置一个运动器材储存区域（如图所示），已知，B是墙角线上的一点，C是墙角线上的一点，，则储存区域面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，作的外接圆，圆心为O，取中点H，作直线，分别与交于点两点，过点A作于点G，连接，则为的直径，根据是的外接圆，且点H为中点，证明是等边三角形，求出，设的半径为x，则，，在中，利用勾股定理求出，进而得到，根据三角形三边关系得到当点A，Q重合时，即点重合，有最大值，最大值为的长，即可解答． 【详解】解：如图，作的外接圆，圆心为O，取中点H，作直线，分别与交于点两点，过点A作于点G，连接， 则为的直径， 是的外接圆，且点H为中点， ，， ， 四边形是内接四边形，且， ， 是等边三角形， ， ， 设的半径为x，则，， 在中，，即， 解得：， ， ， ， 当点A，Q重合时，此时点重合，最大，最大值为的长， 此时，， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形外接圆的性质，垂径定理，三角形三边关系，等边三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线，利用三角形三边关系找到中边上高的最大值是解题的关键． 29．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，的半径为3，弦的直角顶点B在弦上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在上，且．关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（   ） 嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，的度数是．” 淇淇说：“连接，当与弦平行时，点B到的距离为2．” A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．嘉嘉正确，淇淇也正确 D．嘉嘉错误，淇淇也错误 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质与判定，圆的基本性质，，当点B与点M重合时，连接，可证明是等边三角形，据此求出的度数，进一步可求出的度数；过点O作于D，连接，利用垂径定理和勾股定理求出的长即可求出当与弦平行时，点B到的距离，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，当点B与点M重合时，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； 同理可得当点B与点N重合时，，故嘉嘉的说法正确； 如图所示，过点O作于D，连接， ∴， ∴， ∵， ∴点B到的距离为，故淇淇说法错误， 故选：A． 30．（23-24九年级上·河北廊坊·期中）已知，在半圆中，直径，点，在半圆上运动，弦．为的中点，点从点开始运动，到点与点重合时结束，在整个运动过程中：点到距离的最大值是 ，点到距离的最小值是 ．    【答案】 / / 【分析】本题考查圆了等边三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质．连接，过点作于点，先证明是等边三角形，当时，点到的距离有最大值，即当点与点重合或点与点B重合时，点到距离有最小值．据此求解即可． 【详解】解：连接，过点作于点，      ， 是等边三角形， ∵点M是的中点，   ，， ∴， ∴， 当时，点到的距离有最大值，最大值为； 当点与点重合或点与点B重合时，， ， 故答案为：；． 31．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，已知圆O的圆心为O，半径为3，点M为圆O内的一个定点，，是圆O的两条相互垂直的弦，垂足为M． (1)当时，求四边形的面积； (2)当AB变化时，求四边形的面积的最大值． 【答案】(1) (2)13 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质．熟练掌握垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质是解题的关键． （1）如图1，作于，于，连接，则四边形是矩形，则，，由勾股定理得，，则 ，即为直径，，根据，计算求解即可； （2）如图1，设，由勾股定理得，，即，，，则，，，则，当时，四边形的面积最大，然后求解作答即可． 【详解】（1）解：如图，作于，于，连接，则四边形是矩形， ∴，， 由勾股定理得，， ∴，即为直径， ∴， ∴， ∴四边形的面积为； （2）解：如图， 设， 由勾股定理得，，即，，， ∴，，， ∴， ∴当时，四边形的最大面积是． 32．（2024·河北石家庄·二模）如图是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是，高为．它被平行于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆．小明画出了它的主视图，是由上、下底面圆的直径、以及、组成的轴对称图形，直线为对称轴，点、分别是、的中点，如图，他又画出了所在的扇形并度量出扇形的圆心角，发现并证明了点在上．请你继续跟着小明的思路，完成下列问题吗： (1)请求出所在的圆的半径； (2)计算的长． 参考数据：，，，，，． 【答案】(1)所在的圆的半径为 (2)的长为 【分析】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、轴对称的性质、解直角三角形的应用等知识，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． （1）连接，交于点，设直线交于点，根据圆周角定理可得，解，根据，得出，进而求得的长即可； （2）解，根据，得出，进而求得、，根据该图形为轴对称图形，圆凳的上、下底面圆的直径都是，求出，根据、，得出答案即可． 【详解】（1）解：如图，连接，交于点，设直线交于点， ∵是的中点，点在上， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵直线是对称轴， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴，即所在的圆的半径为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵该图形为轴对称图形，直线为对称轴，圆凳的上、下底面圆的直径都是， ∴， ∴， ∴． 33．（2024·河北邯郸·模拟预测）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图1和图2所示，为水面截线，为台面截线，，半圆与相切于水槽最低点．如图1，初始情况下重合，． (1)求圆心到水面的距离； (2)探究图1中的水槽沿向右无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动，此时重合，如图2，求水位下降的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆的切线的性质，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数． （1）设与相交于点，由，半圆与相切于水槽最低点知，垂直平分，再根据，能求； （2）设与相交于点，用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，设与相交于点 ，半圆与相切于水槽最低点 垂直平分 (cm) 即圆心到水面的距离为cm； （2）如图，设与相交于点 (cm) 求水位下降的高度为（cm）． 34．（24-25九年级上·河北保定·期中）图1是水帘洞的截面示意图（截面为圆的一部分）．科考队测量出水帘洞的洞宽约是，洞高约是，，，三点共线． (1)__________； (2)求半径的长； (3)若，点在上． 求的度数．如图2，若生存在山洞的某生物的视角是一定的，此生物（点）在处时恰好能看到和，用数学知识解释为什么此生物（点）在洞顶活动时总能看清洞口的情况． 【答案】(1)14 (2) (3)，见解析 【分析】本题考查垂径定理的应用，圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． （1）由垂径定理求解即可； （2）设，利用勾股定理求出即可； （3）补全，在的下方取一点，连接，利用圆周角定理，圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，为半圆的半径， ， 故答案为：14； （2）解：设． 在中，， ， ， ； （3）解：如图，补全，在的下方取一点，连接，，，． ，， ． 不变，是定值， “某生物”（点）在洞顶上活动时总能看清洞口的情况． 35．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，以为直径作，为上一点，，与交于点，，． (1)如图1，当经过点时，__________． (2)在（1）的条件下，求证：． (3)如图2，将从图1的位置开始绕点顺时针旋转与重合时停止转动），与交于点，设的中点到的距离为． ①当时，求的长； ②直接写出旋转过程中的最大值． 【答案】(1)1 (2)见解析 (3)①；② 【分析】（1）先求出，，再结合全等三角形的性质，即可作答． （2）先由得出，再结合等边对等角得，则，圆周角定理得，故，结合垂径定理，即可作答． （3）①先得出，则是的垂直平分线，再结合勾股定理列式计算，即可作答．②如图，连接交于点．由题意可知，当时，取最小值，是定值，则取最大值，此时（垂径定理），则，再结合勾股定理列式计算得，再结合以及为的中点，即可作答． 【详解】（1）解：∵以为直径作，，． ∴，，， ∵， ∴， ∵经过点时， ∴， 故答案为：1； （2）证明：∵， ． ， ， ， ． 为的直径， ， ， ， ． （3）解：①如图，连接． 由（2）知， ，， ∴是的垂直平分线， ． 设，则，． 在中，， 即， 解得， 即． ②如图，连接交于点． 由题意可知，当时，取最小值，是定值，则取最大值， 此时（垂径定理）， ． ，，， ， ， ， ， ，． 为的中点， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，垂直平分线的性质与判定，旋转性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 36．（23-24九年级上·河北廊坊·期中）如图1，已知是⊙的直径，弦于点，点在⊙上，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求线段的长； (3)如图2，若恰好经过圆心，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析． (2) (3) 【分析】（1）在⊙中，利用同弧所对的圆周角相等得到，再由已知角相等，等量代换得到，因此． （2）连接，由，，得到直径，半径，由，利用垂径定理及勾股定理求出，进而求得． （3）连接，是⊙的直径，，利用垂径定理得到为的中点，由已知角相等，利用圆周角定理得到，再由恰好经过圆心，进而求得． 【详解】（1），理由为： 证明：点、点在⊙上， ， 又， ， ； （2）   如图，连接， ，， 直径， ， ， 又， ， 又是⊙的直径，， ． （3）   如图，连接， 是⊙的直径，， ， ， 恰好经过圆心， ， ， ． 【点睛】本题考查了与圆有关的知识，平行线的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理及性质是解答本题的关键． 37．（22-23九年级上·江苏南通·期中）定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂点． (1)如图1，、是的等垂弦，，垂足分别为D，E． 求证：四边形是正方形； (2)如图2，是的弦，作，分别交于D，C两点，连接．分别交、与点、点． 求证：，是的等垂弦； (3)已知的直径为10，、是的等垂弦，P为等垂点．若．求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据，，，得证四边形是矩形，结合，根据垂径定理，得证明四边形是正方形． （2）连接，根据定义，利用圆周角定理证明． （3）分P等垂点在圆内和圆外两种情况求解即可． 【详解】（1）证明：根据题意，得，，， ∴四边形是矩形， ∵， 根据垂径定理，得 ∴四边形是正方形． （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 连接，设，交点为G， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴，是的等垂弦． （3）解：当等垂点P位于圆内，如答图所示， 过点O作，垂足分别为E，F， 根据题意，得， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． ∵， 设，， ∵， ∴， ∴， 连接， ∵的直径为10， ∴， 根据勾股定理，得， ∴， 解得（舍去）， ∴； 当等垂点P位于圆外时，如答图所示， 过点O作，垂足分别为H，G， 根据题意，得， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． ∵， 设，， ∵， ∴， ∴， 连接， ∵的直径为10， ∴， 根据勾股定理，得， ∴， 解得（舍去）， ∴． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，分类思想，正方形的判定和性质，熟练掌握圆的性质，正方形的性质，勾股定理是解题的关键． 四、弧长、扇形面积的计算 38．（24-25九年级上·河北沧州·期末）图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿路线爬行，乙虫沿路线爬行，则下列结论正确的是（　　） A．甲先到B点 B．乙先到B点 C．甲、乙同时到B D．无法确定 【答案】C 【分析】甲虫走的路线应该是4段半圆的弧长，那么应该，乙虫走的路程为，因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等，因此两个同时到点．本题考查了圆的认识，主要掌握弧长的计算公式． 【详解】解：甲虫沿路线爬行，乙虫沿路线爬行， ∴甲虫走的路程为， 乙虫走的路程为， 甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等， ∵两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点， 因此甲虫和乙虫同时到点． 故选：C． 39．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，在半径为2的扇形中，，P是线段上一动点，Q为线段的中点，延长交于点C，当线段最短时，由，和所围成的封闭图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂线段最短得到当时，最小，再根据直角三角形的边角关系求出的度数，结合勾股定理列式计算，得，然后，和所围成的封闭图形的面积为，把数值代入进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， 当时，最小， 则， ∴， ∴， 点是的中点， ∴， ， ∴在，， ∴， 则，， ∴由，和所围成的封闭图形的面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查了扇形的面积，勾股定理，解直角三角形，平行线分线段成比例，垂线段最短，掌握垂线段最短的性质以及扇形的面积的计算方法是正确解答的关键． 40．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，在中，，将绕着点A逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，勾股定理，先利用勾股定理求出的长，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 由旋转的性质可得 ∴ ， 故选：C． 41．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在的正方形网格中，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的长为（   ） A． B． C．7 D．6 【答案】A 【分析】本题考查弧长的计算、旋转的性质，利用格点得出是解题的关键．利用格点可知，再利用弧长公式，可求出弧的长． 【详解】解：根据图示知，， 弧的长． 故答案为：A． 42．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，点A，B，C在上，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆周角定理及扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．先证得是等腰直角三角形，然后根据即可求得． 【详解】解：∵， ∴，而， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴ ． 故选C． 43．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在矩形中，．若将绕点B旋转后，点D落在延长线上的点E处，点D经过的路径，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式，角直角三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据角直角三角形的性质得到，由勾股定理求得，用扇形面积减去的面积来求得正确答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由题意可知，，， ，， 所以图中阴影部分的面积是． 故选：C． 44．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，将一块直角三角板绕着角的顶点顺时针旋转．使得点与延长线上的点重合，点与点重合，连接． (1)三角板旋转了______度； (2)求的度数； (3)若，求旋转过程中点经过的路径长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得：，根据旋转的定义可知，是旋转角，由点与延长线上的点重合，可得，计算求解即可； （2）根据旋转的性质可得：是旋转角，，根据等边对等角可得，结合三角形内角和是，计算求解即可； （3）先根据直角三角板的一个顶角是，得出是等腰直角三角形，即，根据勾股定理求出的长，再根据旋转过程中，点经过的路径是以点为圆心，的长为半径，圆心角是的扇形弧长，结合扇形的弧长公式，计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：， 根据旋转的定义可知，是旋转角， ∵点与延长线上的点重合， ∴， 即旋转了； 故答案为：． （2）解：根据旋转的性质可得：是旋转角，， 故，， ∴； （3）解：根据题意可得：是等腰直角三角形， 故， 在中，， 点经过的路径是以点为圆心，的长为半径，圆心角是的扇形弧长， 故点经过的路径长为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，弧长公式，勾股定理等，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 45．（2024九年级·河北·学业考试）日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边在水平线l上，为等边三角形，， 与分别交于P，Q两点．点C，D是上两点，，过O作于点E，交于点F，交于点M．已知，，． (1)求的半径； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂径定理的实际应用，与圆有关的阴影部分面积； （1）连接，先证明，再由垂径定理得到，然后设的半径，在中，利用勾股定理得到，列方程计算即可； （2）由，求出等边三角形的边长，再分别求出，，最后根据计算即可． 【详解】（1）解∶∵，， ∴， ∴， ， ， 如图，连接， 设的半径， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， 即的半径为； （2）解∶∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ， ， ． 46．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，菱形的边长为，，为对角线．将绕点逆时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)求在旋转过程中点扫过路径的长．（结果保留） 【答案】(1)证明见解析； (2)在旋转过程中点扫过路径的长为． 【分析】（）由四边形是菱形，，则，由旋转性质可知，，则，最后根据即可求证； （）连接交与，根据菱形的性质可得，，，由角所对直角边是斜边的一半得，再由勾股定理得，利用弧长公式即可即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，， ∴， 由旋转性质可知，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：连接交与， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴在中，，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 由旋转性质可知：， ∴弧的长为， ∴在旋转过程中点扫过路径的长为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，弧长公式，角所对直角边是斜边的一半，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 47．（2024·河北·模拟预测）如图1，扇形纸片，，，P是半径上的一动点，连接，把沿翻折，点O的对称点为Q． (1)当时，求折痕的长； (2)如图2，当点Q恰好落在上， ①求线段利的长，并比较大小；（比较大小时可参考数据，） ②求阴影部分的面积（结果保留根号）． 【答案】(1)； (2)①，；② 【分析】本题属于圆的综合题，主要考查了折叠的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，弧长的计算等知识点； （1）当时，平分，此时点与点重合，由勾股定理得； （2）①证得 为等边三角形，进而求得的长为，，，进一步比较即可； ②首先求出的长，然后依据代入数据解答即可． 【详解】（1）当时，平分，此时点与点重合， ， ， ，， ； （2）①当点恰好落在上时，连接，如图2， 把沿翻折，点的对称点为， ， ∴ 为等边三角形， ， 的长为， 平分， ， ， ， ∴； ②，， ， ． 48．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，点P是内一点，，垂足为点D，将线段绕点P顺时针旋转得到扇形，过点E作交于点M，连接，与交于点F，过点P作交于点N． (1)求证：； (2)已知，． ①通过计算比较线段和弧哪个长度更长； ②计算图中阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2)①线段弧；② 【分析】（1）根据，得出，根据旋转性质得出，，可证，然后利用证明 即可； （2）①根据，得出，然后利用锐角三角函数求出，可得，求出圆心角，利用弧长公式求出，再比较大小即可；②根据，得出，，利用割补法求即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵将线段绕点P顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴； （2）解：①∵， ∴． 在中， ， ∴， ∴，， ∴弧的长度， ∵， ∴线段更长； ②∵， ∴，， ∴； 【点睛】本题考查图形旋转，三角形全等判定与性质，锐角三角函数之求角度，勾股定理，三角形面积，弧长公式，扇形面积公式，掌握图形旋转，三角形全等判定与性质，锐角三角函数之求角度，勾股定理，三角形面积，弧长公式，扇形面积公式是解题关键． 49．（2024·河北邯郸·三模）如图是某款可折叠台灯的平面示意图，台灯罩为一个弓形，弦，点P是的中点，过P作，交所对的于点Q，，台灯支架与底座垂直，，底座放在水平面上． 【计算】（1）如图1，当时，求所在圆的半径； 【操作】将台灯罩从图1中的位置慢慢抬起直到所在的圆与相切，如图2． 【探究】（2）在图2中画出所在圆的圆心O的位置（不说理由），并求出点P上升的高度； （3）求点M经过的路径的长．（参考数据：） 【答案】（1）所在圆的半径为；（2）；（3） 【分析】本题考查了圆中的垂径定理、圆的切线性质、三角函数、扇形的弧长，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）利用垂径定理结合勾股定理列式计算即可； （2）找出圆心O的位置，过点作于点，利用三角函数即可求解； （3）在（2）中利用三角函数求出的度数，再求，利用弧长公式计算即可． 【详解】解：（1）设所在圆的圆心为点O，如图，连接，， ∵点P是的中点， ∴，， ∵， ∴、、共线， 设所在圆的半径为， ∴， 在中，， ∴，解得， ∴所在圆的半径为． （2）如图，点O即为所在圆的圆心O的位置， 过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 即点P上升的高度为； （3）∵，， ∴， ∴点M经过的路径的长为． 50．（2024·河北邯郸·一模）已知，在半圆O中，直径，点C，D在半圆O上运动，弦． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，若，求图中阴影部分的面积； (3)如图3，取的中点M，点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中：点M运动的路径长为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）先根据证明， 再证明 即可证明； （2）连接，过点D作于点E， 证明为等腰直角三角形，得出，，，即可求出，的面积，根据阴影部分的面积即可求解． （3）设点C与点A重合时的线段为，它的中点为，点D与点B重合时的线段为，它的中点为，连接，如图3，由题意得：，求出，在中，得出，即可得，求得，同理可得： ，即得，由题意得出点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中：点M运动的路径长为的长，根据弧长公式即可求解； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵为圆的直径， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：连接，过点D作于点E，如图2， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵直径， ∴， ∴， ， ， ∴阴影部分的面积． （3）解：设点C与点A重合时的线段为，它的中点为，点D与点B重合时的线段为，它的中点为，连接，如图3， 由题意得：， ∵M为的中点，为的中点，为的中点， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 同理可得： ， ∴， 由题意：点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中：点M运动的路径长为的长， ∴点M运动的路径长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的综合问题，解题过程中涉及到圆周角定理、全等三角形的判定、扇形的面积、弧长公式、垂径定理、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理和特殊直角三角形三边关系，解题的关键是准确把握圆的相关几何性质． 51．（2024·河北·模拟预测）如图1，正方形与斜边为的按如图所示的方式放在同一平面内，使点与A重合，点D在上，，其中，正方形固定不动． (1)求的长和的度数． (2)将绕点A按顺时针方向旋转，当与重合后，立刻沿射线方向平移，点D在边上时停止． ①求边旋转结束时扫过的面积； ②求平移结束时，正方形与重叠部分的面积S． (3)如图2，若将（2）中的旋转和平移同时进行，设边与边的交点为M，边与边的交点为N，，，直接写出在运动过程中的值．（用含a，k的式子表示） 【答案】(1)， (2)①；② (3) 【分析】（1）过点作于点H，先根据正方形的性质和解直角三角形求得，再由等腰直角三角形性质求得，从而由，即可求解； （2）①求扇形的面积即可；②设交于点P， 过点D作于点E．先证明是等腰直角三角形，得到，再解得，解得，则平移的距离为，即可由求解； （3）连接，过点A作交于点F，证明，得．则．然后在中， 由勾股定理得．在中，由勾股定理得． 【详解】（1）解：如图1，过点作于点H． 在正方形中， ，， ， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中， ， ∴， ∴． （2）解：①如图2， 边旋转结束扫过的面积为扇形的面积． ∵， ∴旋转角． 在中， ， ， ∴， ∴扇形的面积． ②如图3，设交于点P， ∵，， 是等腰直角三角形， ∴， 过点D作于点E． ∵在中，，， ∴． ∵在中，， ∴， ∴平移的距离为， ∴ ． （3）解：DM2+DN2=(k+1)a2． 如图4，连接，过点A作交于点F， 则为等腰直角三角形， ∴． ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中， ． 在中， ． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质．熟练掌握相关知识是解题的关键． 试卷第2页，共85页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 圆综合题清单 一、三角形的外心的有关性质 1．（23-24九年级下·河北石家庄·开学考试）如图，在中，点是斜边的中点，以为边作正方形，下列三角形中，外心不是点的是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·河北石家庄·期中）如图，为锐角三角形的外心，四边形为正方形，其中点在的外部，判断下列叙述不正确的是（    ） A．是的外心，不是的外心 B．是的外心，不是的外心 C．是的外心，不是的外心 D．是的外心，不是的外心 3．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，锐角三角形中，点O为中点．甲、乙二人想在上找一点P，使得的外心为点O，其作法分别如下．对于甲、乙二人的作法，下列判断正确的是（    ） 甲的作法                            乙的作法                          过点B作与AC垂直的直线，            以O为圆心，OA长为半径画弧， 交AC于点P，则P即为所求            交AC于点P，则P即为所求 A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 4．（2022·河北邯郸·一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，AB⊥x轴，M为Rt△ABC的外心．若点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（﹣1，1），则点B的坐标为（　　） A．（3，﹣1） B．（3，﹣2） C．（3，﹣3） D．（3，﹣4） 5．（2024·河北保定·二模）如图，在中，，嘉嘉和淇淇通过尺规作图的方法找到的外心，作法如下： 嘉嘉： 作的垂直平分线，交于点O，点O即为的外心 淇淇： 作和的平分线，两条角平分线交于点O，点O即为的外心 对于两人的作图方法，下列说法正确的是（    ） A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都错误 6．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，已知图中的每个小方格都是边长为工的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，若与是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标为 ；的外心在这个三角形 （内、外、三角形边上），外心坐标是    7．（2022·河北石家庄·三模）如图，在中，，点D从点B出发沿向点C运动，点E从点C出发沿向点B运动，点D和点E同时出发，速度相同，到达C点或B点后运动停止．    (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的外心在其内部时，直接写出的取值范围． 8．（23-24九年级上·河北承德·期末）如图1，在中，．如图2，点E为边的中点，点F在边上，连接，沿将折叠得到． (1)求的长． (2)当时， ①求证：； ②求的长． (3)当经过的外心时，直接写出的度数． 9．（23-24九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，，，直线经过点．设，于点，将射线绕点按逆时针方向旋转，与直线交于点．    (1)判断：__________； (2)若，求的长； (3)若的外心在三角形内部（不包括边上），直接写出的取值范围． 10．（22-23九年级下·河北保定·阶段练习）在四边形中，，，，．直角三角板含45°角的顶点在上移动，一直角边始终经过点，斜边与交于点． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，在上有一点，．若点从点到点移动的速度为每秒个单位长，求点在直角三角板内部（包括边界）的时长； (3)连接，当的外心落在的边上时，求的值； (4)直接写出点移动过程中的外接圆半径的最小值． 11．（2022·河北保定·一模），，，，E，F分别在边上，且，将沿翻折至位置．以为直径作半； (1)时，_________，O到的距离=________； (2)若以F，C，E为顶点的三角形与相似，求的长； (3)在（2）的条件下，求点O到的距离； (4)的面积最大是_______． (5)直接写出半圆O过的外心时，的值． 12．（2022·河北唐山·三模）如图，在▱ABCD中，BC=8， S▱ABCD=24，tanA=，M是BC的中点，点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长度的速度在射线MC上匀速运动，在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边△EPQ，使它和▱ABCD在射线BC的同侧，点P，Q同时出发，点P返回到点M时终止运动，点Q也随之停止，设点P，Q运动时间是t秒(t>0)． (1)①当t=1秒时，S△PQE=______；②当t=______秒时，点刚好落在边AD上； (2)当PM=2时，求△EPQ与▱ABCD重叠部分面积； (3)随着时间t的变化，△EPQ的外心是否一直在▱ABCD内部？如果在，请说明理由；如果不在，直接写出△EPQ的外心在▱ABCD内部时t的取值范围． 二、圆周角定理的及推论的应用 13．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，AB是圆的直径，的顶点均在AB上方的圆弧上，的一边分别经过点A、B，则的度数为（   ） A． B． C． D． 14．（2024·山西·模拟预测）已知锐角中，O是的中点，小明、小英二人想在线段上找一点P，使得为直角，其作法如图．对于小明、小英二人的作法，正确的是（    ） 小明的作法 过点B作与垂直的直线，交于点P，则P即为所求 小英的作法 以O为圆心，长为半径画弧，交于点P，则P即为所求 A．只有小明正确 B．只有小英正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 15．（2024·河北秦皇岛·一模）如图所示，是的直径，弦相交于E，则可能是（   ） A． B．1 C． D． 16．（2024·河北秦皇岛·一模）综合实践课上，老师提出如下问题：在中作了两个内接三角形和，经测量，求．嘉嘉回答：的度数是；淇淇回答：的度数是．下列判断正确的是（ ） A．嘉嘉对 B．淇淇对 C．嘉嘉和淇淇合在一起才对 D．嘉嘉和淇淇合在一起也不对 17．（2024·河北石家庄·二模）如图，已知直线1外一点P，要过点P作直线1的平行线，现有甲、乙、丙三种尺规作图方案，下面对三种方案评价正确的是（    ） A．甲、乙方案正确，丙方案错误 B．甲、丙方案正确，乙方案错误 C．乙、丙方案正确，甲方案错误 D．甲、乙、丙方案都正确 18．（2024·河北保定·二模）如图，已知：在中，，是边上的中线． 求作：，使． 下面是甲、乙两名同学的作图过程， 下面说法正确的是（ A．甲对乙不对 B．甲不对乙对 C．甲乙都不对 D．甲乙都对 19．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，A，B，C，P是⊙O上的点，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若过圆心O，，，求⊙O的半径长． 20．（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，是的直径，为上一点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 21．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，为的内接三角形，，以为边作矩形，使边过点C，交于点 F，连接． (1)当时，求的度数． (2)求证：． 22．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图所示，已知中，为斜边上的高，为中点，为外心，交于．求证：． 23．（23-24九年级上·河北邯郸·期末）已知是的直径，点、点是上的两个点，连接，，点，点分别是半径，的中点，连接，，，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点，若，求证：. 24．（2024·河北·模拟预测）如图1，在，，点D是射线上一动点，连接，以为边在右侧作正方形，连接． (1)若G为的中点，连接，求的最小值； (2)当点D在线段上运动时． ①求的度数； ②连接交线段于点H，若，求的长； (3)如图2，当点D在线段的延长线上时，延长交于点M，连接．若，直接写出的值． 三、垂径定理的综合应用 25．（23-24九年级上·河北保定·期中）有一题目：“如图，已知是的弦，D在上，且，C是上一动点（不与A，B重合），若，求的度数．”甲答：的度数为；乙答：的度数为；丙答：的度数为．则正确的是（    ）．    A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 26．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，用尺规按照下面步骤作图： ①作线段的垂直平分线； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③以为圆心，长为半径作，分别交于点M，N． 嘉嘉和瑣瑣分别给出了一个结论．嘉嘉：点O是的外心． 瑣瑣：若，则． 对于两人的结论，下列判断正确的是（   ） A．两人的结论都正确 B．两人的结论都不正确 C．嘉嘉的结论正确，瑣瑣的结论不正确 D．瑣瑣的结论正确 ，嘉嘉的结论不正确 27．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，的半径为5，四边形是的内接四边形，（，位于圆心O的两侧），，，将，分别沿，翻折得到，，M为上点，过点M作交于点N，则的最小值为（　　） A．4 B． C． D． 28．（24-25九年级上·河北沧州·期末）在一个六角形体育馆的一角内，用长为30的围栏设置一个运动器材储存区域（如图所示），已知，B是墙角线上的一点，C是墙角线上的一点，，则储存区域面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 29．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，的半径为3，弦的直角顶点B在弦上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在上，且．关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（   ） 嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，的度数是．” 淇淇说：“连接，当与弦平行时，点B到的距离为2．” A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．嘉嘉正确，淇淇也正确 D．嘉嘉错误，淇淇也错误 30．（23-24九年级上·河北廊坊·期中）已知，在半圆中，直径，点，在半圆上运动，弦．为的中点，点从点开始运动，到点与点重合时结束，在整个运动过程中：点到距离的最大值是 ，点到距离的最小值是 ．    31．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，已知圆O的圆心为O，半径为3，点M为圆O内的一个定点，，是圆O的两条相互垂直的弦，垂足为M． (1)当时，求四边形的面积； (2)当AB变化时，求四边形的面积的最大值． 32．（2024·河北石家庄·二模）如图是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是，高为．它被平行于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆．小明画出了它的主视图，是由上、下底面圆的直径、以及、组成的轴对称图形，直线为对称轴，点、分别是、的中点，如图，他又画出了所在的扇形并度量出扇形的圆心角，发现并证明了点在上．请你继续跟着小明的思路，完成下列问题吗： (1)请求出所在的圆的半径； (2)计算的长． 参考数据：，，，，，． 33．（2024·河北邯郸·模拟预测）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图1和图2所示，为水面截线，为台面截线，，半圆与相切于水槽最低点．如图1，初始情况下重合，． (1)求圆心到水面的距离； (2)探究图1中的水槽沿向右无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动，此时重合，如图2，求水位下降的高度． 34．（24-25九年级上·河北保定·期中）图1是水帘洞的截面示意图（截面为圆的一部分）．科考队测量出水帘洞的洞宽约是，洞高约是，，，三点共线． (1)__________； (2)求半径的长； (3)若，点在上． 求的度数．如图2，若生存在山洞的某生物的视角是一定的，此生物（点）在处时恰好能看到和，用数学知识解释为什么此生物（点）在洞顶活动时总能看清洞口的情况． 35．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，以为直径作，为上一点，，与交于点，，． (1)如图1，当经过点时，__________． (2)在（1）的条件下，求证：． (3)如图2，将从图1的位置开始绕点顺时针旋转与重合时停止转动），与交于点，设的中点到的距离为． ①当时，求的长； ②直接写出旋转过程中的最大值． 36．（23-24九年级上·河北廊坊·期中）如图1，已知是⊙的直径，弦于点，点在⊙上，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求线段的长； (3)如图2，若恰好经过圆心，求的度数． 37．（22-23九年级上·江苏南通·期中）定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂点． (1)如图1，、是的等垂弦，，垂足分别为D，E． 求证：四边形是正方形； (2)如图2，是的弦，作，分别交于D，C两点，连接．分别交、与点、点． 求证：，是的等垂弦； (3)已知的直径为10，、是的等垂弦，P为等垂点．若．求的长． 四、弧长、扇形面积的计算 38．（24-25九年级上·河北沧州·期末）图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿路线爬行，乙虫沿路线爬行，则下列结论正确的是（　　） A．甲先到B点 B．乙先到B点 C．甲、乙同时到B D．无法确定 39．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，在半径为2的扇形中，，P是线段上一动点，Q为线段的中点，延长交于点C，当线段最短时，由，和所围成的封闭图形的面积为（   ） A． B． C． D． 40．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，在中，，将绕着点A逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 41．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在的正方形网格中，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的长为（   ） A． B． C．7 D．6 42．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，点A，B，C在上，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 43．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在矩形中，．若将绕点B旋转后，点D落在延长线上的点E处，点D经过的路径，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 44．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，将一块直角三角板绕着角的顶点顺时针旋转．使得点与延长线上的点重合，点与点重合，连接． (1)三角板旋转了______度； (2)求的度数； (3)若，求旋转过程中点经过的路径长． 45．（2024九年级·河北·学业考试）日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边在水平线l上，为等边三角形，， 与分别交于P，Q两点．点C，D是上两点，，过O作于点E，交于点F，交于点M．已知，，． (1)求的半径； (2)求图中阴影部分的面积． 46．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，菱形的边长为，，为对角线．将绕点逆时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)求在旋转过程中点扫过路径的长．（结果保留） 47．（2024·河北·模拟预测）如图1，扇形纸片，，，P是半径上的一动点，连接，把沿翻折，点O的对称点为Q． (1)当时，求折痕的长； (2)如图2，当点Q恰好落在上， ①求线段利的长，并比较大小；（比较大小时可参考数据，） ②求阴影部分的面积（结果保留根号）． 48．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，点P是内一点，，垂足为点D，将线段绕点P顺时针旋转得到扇形，过点E作交于点M，连接，与交于点F，过点P作交于点N． (1)求证：； (2)已知，． ①通过计算比较线段和弧哪个长度更长； ②计算图中阴影部分的面积（结果保留）． 49．（2024·河北邯郸·三模）如图是某款可折叠台灯的平面示意图，台灯罩为一个弓形，弦，点P是的中点，过P作，交所对的于点Q，，台灯支架与底座垂直，，底座放在水平面上． 【计算】（1）如图1，当时，求所在圆的半径； 【操作】将台灯罩从图1中的位置慢慢抬起直到所在的圆与相切，如图2． 【探究】（2）在图2中画出所在圆的圆心O的位置（不说理由），并求出点P上升的高度； （3）求点M经过的路径的长．（参考数据：） 50．（2024·河北邯郸·一模）已知，在半圆O中，直径，点C，D在半圆O上运动，弦． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，若，求图中阴影部分的面积； (3)如图3，取的中点M，点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中：点M运动的路径长为 ． 51．（2024·河北·模拟预测）如图1，正方形与斜边为的按如图所示的方式放在同一平面内，使点与A重合，点D在上，，其中，正方形固定不动． (1)求的长和的度数． (2)将绕点A按顺时针方向旋转，当与重合后，立刻沿射线方向平移，点D在边上时停止． ①求边旋转结束时扫过的面积； ②求平移结束时，正方形与重叠部分的面积S． (3)如图2，若将（2）中的旋转和平移同时进行，设边与边的交点为M，边与边的交点为N，，，直接写出在运动过程中的值．（用含a，k的式子表示） 试卷第2页，共85页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！20 学科网（北京）股份有限公司 $$