清单01 图形的相似综合题清单（8个题型72题）（期末复习知识清单）九年级数学上学期冀教版

清单01 图形的相似 一、平行线分线段成比例定理 1．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，数轴上的点A对应直尺的0刻度线，已知图中的虚线相互平行．若点A在数轴上表示的数是，则点B在数轴上表示的数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，求的长．小明的解题过程如下： 解：过点D作，交于H，则，，，，． 下列结论正确的是（   ）A．①应填 B．①应填 C．②应填3 D．②应填 3．（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，是的中线，E是线段上的一点，且，连接并延长交于点F． (1)求的值； (2)若，求的长． 4．（23-24九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，在四边形中，点E，F分别在边上，连结平分，． (1)求证：； (2)若，，请判断与的大小关系，并说明理由． 5．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题． 角平分线分线段成比例定理，如图1，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过作．交的延长线于． 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）填空：如图3，已知中，，，，平分，则的周长是______． 6．（24-25九年级上·河北沧州·期中）【问题背景】一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．已知是的角平分线．求证：． (1)【初步探究】小慧想到了构造角平分线的平行线来解决问题，所以她给出的证明思路是：如图1，过点C作，交的延长线于点E，……就可以运用所学知识予以证明．请你沿着小慧提供的思路写出下面的证明过程； (2)【类比研究】小慧类比上面的思路继续研究，如图2，已知是一个外角的平分线，是否还成立？请说明理由； (3)【应用拓展】直接利用上面的结论解决问题：如图3，在中，，D是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处．若，，请直接写出的长． 二、相似三角形的判定 7．（20-21九年级上·广东揭阳·期末）如图，下列四个三角形中，与相似的是（　　） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在中，点、分别在边、上，下列条件中不能判断与相似的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图，已知，点在上，添加下列条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24九年级上·河北张家口·阶段练习）如图，在中，为锐角，，要在边上找一点，使．需添加一个条件，下列方案不正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 12．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）如图，是的边上一点，下列条件：①；②；③；④．其中一定使的有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）在和中，已知，，如果从下列条件中增添一个条件，与仍不一定相似，那么这个条件是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）如图，四边形的对角线相交于，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论正确的是（    ） A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 15．（2024·河北张家口·一模）如图，点D在的边上，添加一个条件，使得．以下是天翼和往琛的做法．下列说法不正确的是（    ）    天冀的做法：添加条件． 证明：∵，． ∴（两组角对应相等的两个三角形相似） 往琛的做法：添加条件． 证明：∵,． ∴（两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似） A．天翼的做法证明过程没有问题 B．往琛的做法证明过程没有问题 C．天翼的做法添加的条件没有问题 D．往琛的做法添加的条件有问题 16．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期末）在中，，点在边上，用尺规作图在上取一点，使与相似，则下列尺规作图错误的是（  ） A． B． C． D． 17．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，是矩形的边的中点，连接于点的延长线交于点，连接，则图中相似三角形有（    ） A．4对 B．6对 C．8对 D．5对 18．（23-24九年级上·河北衡水·期末）如图，在中，，，，是上一点，，点从出发沿方向，以的速度运动至点处，线段将分成两部分，可以使其中一部分与相似的点的个数为（　　） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 19．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由． (1)，，，，，； (2)，，，． 三、相似三角形的性质与判定 20．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，三条相互平行的直线和分别经过正方形的三个顶点，交边于点E．若与之间的距离为3，与之间的距离为7，则的长为（    ） A．5 B． C．7 D． 21．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，木棍与在点O处连接，静止不动，从与夹角为的位置开始绕点O逆时针旋转，木棍上的点A与点B，点C与点D之间均由两根弹性皮筋连接，且这两根皮筋在木棍的旋转过程中始终保持拉直状态．设这两根弹性皮筋的长度分别为与，且，在木棍的旋转过程中（旋转角度小于），的值（    ） A．一直变大 B．始终不变 C．一直变小 D．先变大后变小 22．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，在中，，，点在边上（与，不重合），四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点．结论Ⅰ：；结论Ⅱ：．对于以上两个结论，判断正确的是（   ） A．结论Ⅰ正确，结论Ⅱ错误 B．结论Ⅱ正确，结论Ⅰ错误 C．两个结论都正确 D．两个结论都错误 23．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图、在中，，，点P从A开始沿边向点B以2个单位秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以4个单位秒的速度移动，如果P、Q分别同时出发，经过（   ）秒后，与相似． A．2 B． C．或2 D．或2 24．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图6个大小相同的小正方形，恰好放置在三角形中，若小正方形的边长为1，则：（1）的值为 ；（2）的长度为 ． 25．（24-25九年级上·河北承德·期中）如图，在中，点E是边上的点，点F是边上的点，且，，点D是中点，若的面积为32，则的面积为 ． 26．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，有些空心圆柱形机械零件的内径是不能直接测量的，往往需要使用交叉卡钳进行测量．图中所示为一个零件的剖面图，它的外径为a，内径未知．现用交叉卡钳去测量，若则这个零件的内径为多少，直接写出零件的壁厚x是多少？（用含a，b，m的代数式表示）    27．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，的面积为4，为边上的中线，点，，，是线段的五等分点，点，，是线段的四等分点，点是线段的中点， （1）的面积为 ； （2）的面积为 ． 28．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，中，，D为上任意一点，，． (1)求证：； (2)若，，若四边形为菱形，求出此时菱形的边长； (3)若，且的面积为4，则四边形的面积为______． 29．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在中，平分，，，，分别是边，上的点（点不与点，重合），且，与相交于点． (1)求的长． (2)求证：． (3)若，求的值． (4)若是以为腰的等腰三角形，请直接写出的长． 30．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）甲、乙两位同学将两张全等的直角三角形纸片进行裁剪和拼接，尝试拼成一个尽可能大的正方形． 要求：①直角三角形纸片的两条直角边长分别为和； ②在两张直角三角形纸片中各裁剪出一个图形，使它们的形状和大小都相同； ③将这两个图形无缝隙拼成一个正方形，正方形的边长尽可能大． 甲同学的方案 乙同学的方案 请根据以上信息，完成下列问题： (1)甲同学的方案中，拼成的正方形边长是________； (2)求出乙同学方案中拼成的正方形的边长； (3)以上两个同学的方案中，________（填“甲”或“乙”）拼成的正方形边长大； (4)请你设计一个新方案，使拼成的正方形的边长比甲、乙两位同学拼成的正方形都大．（要求：在答题卷上的两个直角三角形中分别画出裁剪线并直接写出这个正方形的边长） 四、相似三角形的应用--动图问题 31．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知：如图①，在平行四边形中，，，，三角形沿方向以速度为匀速平移得到三角形时，同时，点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为．当三角形停止平移时，点Q也停止运动，如图②设运动时间为，解答下列问题 (1)当t为何值时？ (2)求是否存在某一时刻t，，求出t的值． 32．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在中，，，，动点P从点B出发，以每秒5个单位长的速度沿向点A运动，过点P作于点Q，以为边向右作矩形，使，点F落在射线上．设点P的运动时间为t（）秒． (1)求的长（用含t的代数式表示）； (2)求点E落在区域（含边界）内的时长； (3)连接，当与相似时，求t的值； (4)当将的面积分成两部分时，直接写出点E到的距离． 33．（2023·河北衡水·二模）如图，在矩形中，，，点从点出发在折线上以每秒的速度移动，过点作于点，并交或于点，以为边在的右侧作正方形．设点的运动时间为秒，正方形的边长为．    (1)当点与点重合时，求的值； (2)当为何值时，点落在上； (3)求在什么范围内，的值不随的变化而变化，并求此时的值； (4)直接写出射线将正方形分成面积比为两部分图形时的值． 34．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当为的中点，，时，求的长； (3)如图3，当时，设矩形的周长为，的周长为，探究与的数量关系，并说明理由． 35．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图1所示，在矩形中，，点M，P分别在边上（均不与端点重合），且，以和为邻边作矩形，连接． 【问题发现】 （1）如图2，当时与的数量关系为______，与的数量关系为______． 【类比探究】 （2）如图3，当时，矩形绕点A顺时针旋转，连接，判断与之间的数量关系，并就图3说明理由． 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，已知，当矩形旋转至C，N，M三点共线时，请直接写出线段的长． 36．（24-25九年级上·河北保定·期中）一次小组合作探究课上，嘉嘉将两个正方形按如图所示的位置摆放（点、、在同一条直线上），发现且．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： (1)将正方形绕点按逆时针方向旋转（如图1），则与的数量关系为______，位置关系为______． (2)把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点按顺时针方向旋转（如图2），试问当与的大小满足怎样的关系时，背景中的结论仍成立？请说明理由； (3)把背景中的正方形分别改成矩形和矩形，且，将矩形绕点按顺时针方向旋转（如图3），写出与的数量关系并说明理由． 37．（2024·河北邯郸·三模）如图，矩形中，，，点E在折线上运动（点E不与点C，A重合），的中点为G，将绕点E顺时针旋转得到．设点E的运动路径长为x． (1)如图1，当点E与点B重合时，点F到直线的距离为 ； (2)如图2，当点F落在矩形的边（或边所在的直线）上时，求x的值； (3)过点F作，交延长线于点N（如图3），设的长为y，请直接写出y与x的函数解析式． 38．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，在中，，，，Q为的中点．动点P从点A出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，连接，以为边构造正方形，且边与点B始终在边同侧．设点P的运动时间为t秒．    (1)线段的长为________； (2)线段的长为________（用含t的代数式表示）； (3)当正方形的顶点M落在的边上时，求t的值； (4)当正方形的边的中点落在线段上时，求t的值和正方形的面积． 五、相似三角形的实际应用 39．（23-24九年级上·河北邢台·期中）据《墨经》记载，在两千多年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，阐释了光沿直线传播的原理．如图，在小孔成像实验中，若蜡烛火焰的高度为，物距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则像距是（    ） A． B． C． D． 40．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）有一块锐角三角形余料，边为，边上的高为，现要把它分割成若干个邻边长分别为和的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小方形的长为的边在上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有几个（　　）    A．个 B．个 C．个 D．个 41．（23-24九年级上·河北邢台·期中）有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点正好在书架边框上，每本书的厚度为，高度为，书架宽为．      （1） （2） 42．（22-23九年级上·河北邢台·期末）如图，为了测量平静的河面的宽度，即的长，在离河岸点米远的点，立一根长为米的标杆，在河对岸的岸边有一根长为米的电线杆，电线杆的顶端在河里的倒影为点，即，两岸均高出水平面米，即米，经测量此时三点在同一直线上，并且点共线，点共线，且均垂直于河面，    （1）过点作于，则 米；设交于点，则 米； （2）河宽 米． 43．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）风力发电是我国电力资源的重要组成部分，嘉嘉为了解某风力发电机的风叶长度，通过测量其影子长度的方法进行计算，如图（图中所有点均在同一平面，太阳光线视为平行光线），线段、、表示三片风叶，，，某时刻，的影子恰好重合为线段，于点，测得，，同一时刻测得高为4m的标杆影长为3m． (1)直接写出的度数及的长； (2)求风叶转动时点到地面的最小距离． 44．（24-25九年级上·河北保定·期中）小明为了测量出一矩形深坑的深度，采取如下方案；如图，在深坑左侧用观测仪AB从观测出发点A观测深坑底部一点P，且观测视线刚好经过深坑边缘点E；在深坑右侧用观测仪CD从观测出发点C观测深坑底部同一点P，且观测视线恰好经过深坑边缘点F（点B，E，F，D在同一水平线上）．已知，，观测仪高，观测仪高，，，深坑的宽度． (1)求证：． (2)请根据以上数据，计算矩形深坑的深度． 45．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）周末，数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动．如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一堵围墙，同学们想测量围墙的高度．结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行了如下操作：①当阳光恰好从围墙最高点A经窗户点C处射进房间地面落在点F时，测得m；②当阳光恰好从围墙最高点A经窗户点D处射进房间地面落在点E时，测得m．此外，还测得窗高m，窗户距地面的高度m，，． (1)求证：，． (2)求围墙的高． 46．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中在同一条直线上． (1)求的长； (2)求点到地面的高度． 47．（23-24九年级上·河北邢台·期中）如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，交于点． (1)当点恰好为中点时，______． (2)若矩形的周长为，求出的长度． 48．（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）如图1，小红家的阳台上放置了一个晒衣架，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点在地面上，经测量得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段． 发现：连接AC．则AC与EF有何位置关系?并说明理由； 探究：若，求利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上?    49．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）阅读理解： 如图1，是的高，点E、F分别在和边上，且，可以得到以下结论：． 拓展应用： (1)如图2，在中，，边上的高为4，在内放一个正方形，使其一边在上，点E、F分别在上，求正方形的边长是多少？ (2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为，底边长为的等腰三角形展台．现需将展台用隔板沿平行于底边，每间隔分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒．平面设计图如图3所示，将底边的长度看作是0排隔板的长度． ①在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度（单位：厘米）随着排数（单位：排）的变化而变化．请完成下表： 排数/排 0 1 2 3 … 隔板长度/厘米 160 __________ 80 … 若用n表示排数，y表示每排的隔板长度，试直接求出y与n的关系式__________； ②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？__________ 六、相似多边形的性质及判定 50．（2023·河北邯郸·一模）两个正方形按如图所示位置摆放，则这两个正方形（    ） A．位似 B．相似 C．不相似 D．既不相似，又不位似 51．（22-23九年级上·河北保定·阶段练习）如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中相似的是（    ）    A．甲与丙 B．乙与丙 C．甲与乙 D．三个矩形都不相似 52．（23-24九年级上·河北张家口·阶段练习）将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则新图形与原图形相似的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 53．（20-21九年级上·甘肃兰州·阶段练习）如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（    ） A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b 54．（2020·河北衡水·一模）在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下： 甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，它们的对应边间距为1，则新菱形与原菱形相似． 乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新菱形与原菱形相似； 对于两人的观点，下列说法正确的是（    ）． A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 55．（2023·河北张家口·模拟预测）把一根铁丝首尾相接围成一个长为，宽为的矩形，要将它按如图所示的方式向外扩张得到矩形，使矩形矩形，则这根铁丝需增加（    ）    A． B． C． D． 56．（2023·山东·中考真题）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 57．（2022·河北石家庄·三模）对于题目：“在长为6，宽为2的矩形内，分别剪下两个小矩形，使得剪下的两个矩形均与原矩形相似，请设计剪下的两个矩形周长和为最大值时的方案，并求出这个最大值．”甲、乙两个同学设计了自认为满足条件的方案，并求出了周长和的最大值． 甲方案：如图1所示，最大值为16； 乙方案：如图2所示，最大值为16． 下列选项中说法正确的是（    ） A．甲方案正确，周长和的最大值错误 B．乙方案错误，周长和的最大值正确 C．甲、乙方案均正确，周长和的最大值正确 D．甲、乙方案均错误，周长和的最大值错误 58．（2023·河北衡水·二模）将边长为2的正六边形按照如图所示的方式向外扩张，得到新的六边形，它们的对应边的距离均为． （1）新的六边形与原六边形 ；（填“相似”或“不相似”） （2）扩张后六边形的周长比原来增加了 ． 59．（23-24九年级上·河北保定·期中）如图，在矩形中，，，于点F，交于点E，矩形矩形． （1）的长为 ； （2）连接，与交于点M，则的长为 ． 七、图形的位似及其应用 60．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，下列说法错误的是（ ） A． B． C． D． 61．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将缩小到原来的，得到．若点的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 62．（2022·广东中山·三模）如图，在矩形中，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形 ，使矩形 ~ 矩形；再连接 以对角线为边，按逆时针方向作矩形使矩形 ~ 矩形····，按照此规律作下去，则边的长为（   ） A． B． C． D． 63．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点（顶点是网格线的交点），已知点的坐标为． (1)画出绕原点顺时针旋转得到的，并写出的坐标； (2)在给定的网格中，以点为位似中心，将作位似变换且放大到原来的两倍，得到，画出并写出的坐标； (3)的长度为__________． 64．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置； (2)以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； (3)已知的面积为2.5，则的面积为_______． 65．（24-25九年级上·河北保定·期中）在坐标系的位置所示，三点的坐标分别为、、，请按要求完成任务： (1)以坐标原点为位似中心，相似比为，在轴下方将放大得到． (2)在（1）中，点的坐标为________；若线段上有一点，请直接写出点的对应点的坐标为________． (3)在（1）中，若点，分别是线段，的中点，则线段在中对应线段的长度为________． 66．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图所示，在学习《图形的相似》时，小华利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)在图中标出与的位似中心点的位置； (2)若以点为位似中心，在图中轴的左侧画出的位似图形，且与的位似比为； (3)在中，若边上一点的坐标为，则点在上的对应点的坐标为 ． 八、相似三角形的应用--动点问题 67．（23-24九年级下·辽宁铁岭·期中）如图，在中，，，．如果点由点出发沿方向向点A匀速运动，同时点由点A出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动时间为，连接，将沿翻折，得到四边形，当四边形为菱形时，的值为（    ） A． B． C． D． 68．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿线段BA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点A出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点B运动．当点P到达终点时，点Q也停止运动，设运动的时间为t秒． (1)__________； (2)当Q在上运动时，若以点A、P、Q为顶点的三角形与相似，求t的值； (3)设点O是的中点，当与的一边垂直时，请直接写出t的值． 69．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，矩形中，，，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，一个动点到达端点时，另一个动点也停止运动，点，同时出发，设运动时间为． (1)当为何值时，的面积为？ (2)为何值时，以，，为顶点的三角形与相似． 70．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，，D、E分别是、的中点，连接．点P从点D出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点B出发，沿方向匀速运动，速度为，当点P停止运动时，点Q也停止运动，连接，设运动时间为，解答下列问题：    (1)当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与相似？ (2)当t为何值时，为等腰三角形？（直接写出答案即可）； (3)当点Q在B、E之间运动时，是否存在某一时刻t，使得分四边形所成的两部分的面积之比为？若存在，求出此时t的值以及点E到的距离h；若不存在．请说明理由． 71．（23-24九年级下·河北邯郸·阶段练习）如图1和2，在矩形中，，点在边上．且．点分别在边上，且．点从点出发沿折线匀速运动，点在边上随移动，且始终保持；点从点出发沿匀速运动，点同时出发，点的速度是点的一半，点到达点时停止，点随之停止．设点P移动的路程为x．    (1)当点Q与点K重合时，通过计算确定点P的位置； (2)若点P在上，当时，如图2，求x的值； (3)在点P沿折线运动过程中，求点Q，E的距离（用含x的式子表示）； (4)已知点P从点M到点B再到点N共用时20秒，请直接写出点K在线段上（包含端点）的总时长． 72．（23-24九年级上·山东青岛·期末）已知：如图，在矩形中，，点E为边的中点，连接，交于点F．点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点A出发，沿方问匀速运动，速度为3cm/s，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为．解答下列问题： (1)当t为何值时，点P在线段的垂直平分线上？ (2)连接，设五边形的面积为，求y与t的函数关系式； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻，使点Q在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 试卷第110页，共110页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 图形的相似 一、平行线分线段成比例定理 1．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，数轴上的点A对应直尺的0刻度线，已知图中的虚线相互平行．若点A在数轴上表示的数是，则点B在数轴上表示的数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段，列出比例式求出的长，再根据两点间的距离公式求出点B在数轴上表示的数即可． 【详解】解：如图，由题意，得：，，， ∴， ∴， ∴点所表示的数为：； 故选C． 2．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，求的长．小明的解题过程如下： 解：过点D作，交于H，则，，，，． 下列结论正确的是（   ） A．①应填 B．①应填 C．②应填3 D．②应填 【答案】D 【分析】本题主要考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 如图：过点D作，交于H，再根据平行线分线段成比例定理和线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：过点D作，交于H， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴①应填，②应填． 故选：D． 3．（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，是的中线，E是线段上的一点，且，连接并延长交于点F． (1)求的值； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查中线定义，线段和差关系，平行线分线段成比例等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键．． （1）根据题意可知，继而得到本题答案； （2）过D作交于M点，继而得到，再利用中线定义得到，再利用平行线分线段定理可得，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过D作交于M点， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（23-24九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，在四边形中，点E，F分别在边上，连结平分，． (1)求证：； (2)若，，请判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，等腰三角形的判定，平行线的性质等，解题的关键是： （1）利用平行线的性质可得出，利用角平分线定义可得出，推出，然后利用等角对等边即可得证； （2）利用平行线分线段成比例可得出，然后结合，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：． 理由：∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴． 5．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题． 角平分线分线段成比例定理，如图1，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过作．交的延长线于． 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）填空：如图3，已知中，，，，平分，则的周长是______． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，以及勾股定理． （1）如图2，过作．交的延长线于，利用平行线分线段成比例定理得到，利用平行线的性质得，，由得，所以，于是有； （2）先利用勾股定理计算出，再利用（1）中的结论得到，即，则可计算出，然后利用勾股定理计算出，从而可得到的周长． 【详解】（1）证明：如图2，过作．交的延长线于， ，，， ， ， ， ； （2）解：如图3，，，， ， 平分， ，即， ， ， 的周长． 故答案为：． 6．（24-25九年级上·河北沧州·期中）【问题背景】一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．已知是的角平分线．求证：． (1)【初步探究】小慧想到了构造角平分线的平行线来解决问题，所以她给出的证明思路是：如图1，过点C作，交的延长线于点E，……就可以运用所学知识予以证明．请你沿着小慧提供的思路写出下面的证明过程； (2)【类比研究】小慧类比上面的思路继续研究，如图2，已知是一个外角的平分线，是否还成立？请说明理由； (3)【应用拓展】直接利用上面的结论解决问题：如图3，在中，，D是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处．若，，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)成立，见解析 (3) 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理可得，角平分线的概念和平行线性质可得出，再根据等角对等边得出，最后根据等量代换即可得证； （2）过点C作，交于点E，根据平行线分线段成比例定理可得，角平分线的概念和平行线性质可得出，再根据等角对等边得出，最后根据等量代换即可得证； （3）由勾股定理可得，由折叠的性质得出，，由（1）知，，从而求得，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵ ，， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ； （2）成立；理由如下： 过点C作，交于点E， 证明： ，， 是的角平分线， ， ， ； ， ， ； （3）在中，，，， ， 由折叠性质可知：，， 由（1）可知：， ． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握相关性质定理、灵活转化比例关系是解题的关键． 二、相似三角形的判定 7．（20-21九年级上·广东揭阳·期末）如图，下列四个三角形中，与相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据两角对应相等或者三边成比例、夹角相等，两边成比例等方法证明相似，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ A、两边成比例，但夹角不相等，故该选项是错误的； B、两边成比例，但夹角不相等，故该选项是错误的； C、两边成比例，夹角相等，故该选项是正确的； D、两边成比例，但夹角不相等，故该选项是错误的； 故选：C 8．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在中，点、分别在边、上，下列条件中不能判断与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，结合相似三角形的判定定理进行解答即可． 【详解】解：A.∵，， ∴，故A不符合题意； B.∵，而与不一定相等，不能使和相似，故B符合题意； C.∵ ∴， ∴，故C不符合题意； D.∵，， ∴，故D不符合题意． 故选：B． 9．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．由，，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，可判断不符合题意；由，，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，可判断不符合题意；由，，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，可判断不符合题意；由与的对应边不成比例，可知与不相似，可判断符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1， ，， ，故A不符合题意； 如图2， ，， ，故B不符合题意； 如图3， ，，， ，， ， ， ，故C不符合题意； 如图4， 与的对应边不成比例， 与不相似， 故D符合题意， 故选：D． 10．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图，已知，点在上，添加下列条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法：两角分别对应相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似，逐一判断即可，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即：， 、若，根据两角分别对应相等的两个三角形相似可判定，此选项不符合题意； 、若，则，根据两角分别对应相等的两个三角形相似可判定，此选项不符合题意； 、若，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可判定，此选项不符合题意； 、若，无夹角相等，故不能判定，此选项符合题意； 故选：． 11．（23-24九年级上·河北张家口·阶段练习）如图，在中，为锐角，，要在边上找一点，使．需添加一个条件，下列方案不正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定．根据相似三角形的判定方法逐项判定即可． 【详解】解：A、在与中， ∵，， ∴，故本选项不符合题意； B、∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，故本选项不符合题意； C、∵平分， ∴， ∴不能判定与相似，故本选项符合题意； D、∵，， ∴，故本选项不符合题意； 故选：C． 12．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）如图，是的边上一点，下列条件：①；②；③；④．其中一定使的有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定．和有公共角，然后根据相似三角形的判定方法对各个条件进行判断，从而得到答案． 【详解】解：∵， ∴当或，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断，故①正确，④正确； 当时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断，故②正确； 当＝时，虽但不是其对应的夹角，所以与不相似，故③不正确． 因此有3个正确． 故选：C． 13．（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）在和中，已知，，如果从下列条件中增添一个条件，与仍不一定相似，那么这个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；三边对应成比例，两个三角形相似；两角对应相等，两个三角形相似．根据相似三角形的判定定理进行分析判断即可． 【详解】解：A.由，可以根据两边成比例且夹角相等，证明，该选项不符合题意； B. 由，可推导出，根据两角对应相等，证明，该选项不符合题意； C.由，不能判定两个三角形相似，符合题意； D.由，可推导，根据三边对应成比例，证明，该选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 14．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）如图，四边形的对角线相交于，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论正确的是（    ） A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 【答案】B 【分析】由，，得到，即可求解， 本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握相似三角形的判定定理． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 15．（2024·河北张家口·一模）如图，点D在的边上，添加一个条件，使得．以下是天翼和往琛的做法．下列说法不正确的是（    ）    天冀的做法：添加条件． 证明：∵，． ∴（两组角对应相等的两个三角形相似） 往琛的做法：添加条件． 证明：∵,． ∴（两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似） A．天翼的做法证明过程没有问题 B．往琛的做法证明过程没有问题 C．天翼的做法添加的条件没有问题 D．往琛的做法添加的条件有问题 【答案】B 【分析】根据题意已知，故添加两组对应边成比例夹角为或者添加一组对应角相等，即可求解．本题考查了相似三角形的判定，正确记忆相关知识点是解题关键． 【详解】解：依题意，，添加一组对应角相等，可以使得，故天翼的做法以及过程没有问题，往琛的做法添加的条件有问题，应为，证明过程中用到两组对应边成比例夹角相等，故B选项符合题意， 故选：B． 16．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期末）在中，，点在边上，用尺规作图在上取一点，使与相似，则下列尺规作图错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，尺规作图—作圆，尺规作图—作一个角等于已知角，尺规作图—作垂线等知识，根据作图痕迹及相似三角形的判定进行判断即可获得答案，熟练掌握相似三角形的判定条件是解题的关键． 【详解】解：．由作图可得是的垂线， ，， ， ， ∴，故选项不符合题意； ．由作图可得， ， ∴，故选项不符合题意； ．由作图可得是圆的直径， ， ， ， ∴，故选项不符合题意； ．由作图得，其作图无法使与相似，故选项符合题意； 故选：． 17．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，是矩形的边的中点，连接于点的延长线交于点，连接，则图中相似三角形有（    ） A．4对 B．6对 C．8对 D．5对 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的判定，矩形的性质．根据矩形的性质以及得到，而，，，即可证明． 【详解】解：如图， ∵四边形为矩形，， ∴， ∵，, ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴根据相似的传递性可得：， ∴有6对相似三角形， 故选：B． 18．（23-24九年级上·河北衡水·期末）如图，在中，，，，是上一点，，点从出发沿方向，以的速度运动至点处，线段将分成两部分，可以使其中一部分与相似的点的个数为（　　） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理“有两个角分别相等的两个三角形相似”，按点P的运动轨迹，依次进行判断即可． 【详解】解：①当时，，， ②当时，，， ③当时，，， ④当时，，， 综上：一共有4个， 故选：D． 19．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由． (1)，，，，，； (2)，，，． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定、三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． （1）通过计算得出两个三角形三边成比例，即可得出结论； （2）由三角形内角和定理求出，通过计算得出两角对应相等即可证明． 【详解】（1）解： ，理由如下： ∵，，， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 三、相似三角形的性质与判定 20．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，三条相互平行的直线和分别经过正方形的三个顶点，交边于点E．若与之间的距离为3，与之间的距离为7，则的长为（    ） A．5 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，平行线间的距离，过点D作于N，过点B作于M，则，，证明得到，再证明求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于N，过点B作于M， ∵，与之间的距离为3，与之间的距离为7， ∴与之间的距离为4， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证明， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：B． 21．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，木棍与在点O处连接，静止不动，从与夹角为的位置开始绕点O逆时针旋转，木棍上的点A与点B，点C与点D之间均由两根弹性皮筋连接，且这两根皮筋在木棍的旋转过程中始终保持拉直状态．设这两根弹性皮筋的长度分别为与，且，在木棍的旋转过程中（旋转角度小于），的值（    ） A．一直变大 B．始终不变 C．一直变小 D．先变大后变小 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，可证明得到，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 22．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，在中，，，点在边上（与，不重合），四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点．结论Ⅰ：；结论Ⅱ：．对于以上两个结论，判断正确的是（   ） A．结论Ⅰ正确，结论Ⅱ错误 B．结论Ⅱ正确，结论Ⅰ错误 C．两个结论都正确 D．两个结论都错误 【答案】C 【分析】先证出，再证出四边形是矩形，即可判断Ⅰ；根据正方形和矩形的性质证出，即可判断Ⅱ． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故结论Ⅰ正确； ∵四边形是矩形，四边形为正方形， ∴，， ∴，, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故结论Ⅱ正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定是解题的关键． 23．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图、在中，，，点P从A开始沿边向点B以2个单位秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以4个单位秒的速度移动，如果P、Q分别同时出发，经过（   ）秒后，与相似． A．2 B． C．或2 D．或2 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．注意分两种情况讨论求解．设x秒后，与相似，可表示出，再分与是对应边和与是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：设x秒后，与相似，则， 当与是对应边时，则， ， 解得， 当与是对应边时，则， ， 解得， 故经过2秒或秒后，与相似， 故选：． 24．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图6个大小相同的小正方形，恰好放置在三角形中，若小正方形的边长为1，则：（1）的值为 ；（2）的长度为 ． 【答案】 8 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定与性质．如图，作于，则，，，，则，根据，计算求解，，据此求解即可． 【详解】解：如图，作于，则，，，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴． 故答案为：；8． 25．（24-25九年级上·河北承德·期中）如图，在中，点E是边上的点，点F是边上的点，且，，点D是中点，若的面积为32，则的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 根据，可得到，再由，可证得，从而得到，可得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵D是中点， ∴． 故答案为：9． 26．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，有些空心圆柱形机械零件的内径是不能直接测量的，往往需要使用交叉卡钳进行测量．图中所示为一个零件的剖面图，它的外径为a，内径未知．现用交叉卡钳去测量，若则这个零件的内径为多少，直接写出零件的壁厚x是多少？（用含a，b，m的代数式表示）    【答案】这个零件的内径为，零件的壁厚x是． 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质应用，解答本题的关键是求出的值． 根据相似三角形的判定和性质，可以求得的长，再根据零件的外径为a，即可求得x的值． 【详解】解∶∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵零件的外径为a， ∴零件的壁厚， 答：这个零件的内径为，零件的壁厚x是． 27．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，的面积为4，为边上的中线，点，，，是线段的五等分点，点，，是线段的四等分点，点是线段的中点， （1）的面积为 ； （2）的面积为 ． 【答案】 【分析】（1）根据三角形中线的性质得，证明，根据全等三角形的性质可得结论； （2）证明，得，推出、、三点共线，得，继而得出，，证明，得，推出，最后代入即可． 【详解】解：（1）连接、、、、， ∵的面积为，为边上的中线， ∴， ∵点，，，是线段的五等分点， ∴， ∵点，，是线段的四等分点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴的面积为， 故答案为：； （2）在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴、、三点共线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等分点的意义，三角形的面积．掌握三角形中线的性质是解题的关键． 28．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，中，，D为上任意一点，，． (1)求证：； (2)若，，若四边形为菱形，求出此时菱形的边长； (3)若，且的面积为4，则四边形的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)12 【分析】本题主要考查平行线的性质，菱形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识： （1）由平行线的性质可证明，从而可证明； （2）设菱形的边长为x，得由列方程，求出x的值即可； （3）由得，证明，得出的面积为25，再证明得出的面积为9，从而可求出菱形的面积． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ 又 ∴； （2）解：四边形为菱形， ∴ 设菱形的边长为x，得 ∵， ∴， ∴， 解得，， 即菱形的边长为； （3）解：∵， ∴，, ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴菱形的面积， 故答案为：12． 29．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在中，平分，，，，分别是边，上的点（点不与点，重合），且，与相交于点． (1)求的长． (2)求证：． (3)若，求的值． (4)若是以为腰的等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4)或 【分析】（1）根据角平分线的定义，得到，进而得出，证明，得到，求出； （2）由得到，进而得出，证明； （3）由，得到，求出，，过点作交于点，得到，，求出，即可得出比值； （4）当时，根据等腰三角形的性质和相似三角形的性质，得出，,进而得出，证明，，得到，，先求出，再求出，即可得到此时长；当时，在上截取点M，使，证明，得出，，得出，再求出即可． 【详解】（1）解：平分， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， （2）解：由（1）可知，， ， ， ， ， ， ，， ， ， （3） 由（1）可得 ，， ， ， ， ， 如图，过点作交于点， ，， ，， ， ， ； （4）解：当， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ． 当时，在上截取点M，使，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：； 综上：或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形对应边成比例是解题关键． 30．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）甲、乙两位同学将两张全等的直角三角形纸片进行裁剪和拼接，尝试拼成一个尽可能大的正方形． 要求：①直角三角形纸片的两条直角边长分别为和； ②在两张直角三角形纸片中各裁剪出一个图形，使它们的形状和大小都相同； ③将这两个图形无缝隙拼成一个正方形，正方形的边长尽可能大． 甲同学的方案 乙同学的方案 请根据以上信息，完成下列问题： (1)甲同学的方案中，拼成的正方形边长是________； (2)求出乙同学方案中拼成的正方形的边长； (3)以上两个同学的方案中，________（填“甲”或“乙”）拼成的正方形边长大； (4)请你设计一个新方案，使拼成的正方形的边长比甲、乙两位同学拼成的正方形都大．（要求：在答题卷上的两个直角三角形中分别画出裁剪线并直接写出这个正方形的边长） 【答案】(1) (2) (3)甲 (4)满足要求的正方形边长为 【分析】（1）由直角三角形的最短边可得甲同学方案拼成的正方形边长； （2）根据勾股定理，得，证，，得，设AD=x，则，，求解得乙同学方案中拼成的正方形边长为； （3）根据甲乙两同学所得数据进行比较即可得解． （4）根据全等三角形的判定及性质以及相似三角形的判定及性质设计即可得解． 【详解】（1）解：甲同学方案中拼成的正方形边长为， 故答案为：； （2）解：如图，由拼成条件可得， 记直角三角形为，根据勾股定理，得 ． ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 设，则，， ∴， 解得，，， ∴乙同学方案中拼成的正方形边长为． （3）解：∵， ∴甲同学方案中拼成的正方形边长较大． 故答案为：甲； （4）解：其中一张直角三角形纸片的裁剪图如下： 边长计算如下： 如图，过点B作于点H， ∴， ∴， 根据拼接要求，为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得． ∴根据勾股定理，得，即满足要求的正方形边长为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，正方形的判定以及直角三角形的两锐角互余，熟练掌握勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 四、相似三角形的应用--动图问题 31．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知：如图①，在平行四边形中，，，，三角形沿方向以速度为匀速平移得到三角形时，同时，点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为．当三角形停止平移时，点Q也停止运动，如图②设运动时间为，解答下列问题 (1)当t为何值时？ (2)求是否存在某一时刻t，，求出t的值． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，解一元二次方程，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）先根据勾股定理求，根据平移的性质和平行四边形的性质得，证明得到＝，代入可求t的值； （2）作于点F，证明求得，由题意，进而列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图1，在中，，， ， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴＝， 解得， ∴当t为时，； （2）解：如图2，作于点F， ∴，又， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得： 解得： 或． 32．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在中，，，，动点P从点B出发，以每秒5个单位长的速度沿向点A运动，过点P作于点Q，以为边向右作矩形，使，点F落在射线上．设点P的运动时间为t（）秒． (1)求的长（用含t的代数式表示）； (2)求点E落在区域（含边界）内的时长； (3)连接，当与相似时，求t的值； (4)当将的面积分成两部分时，直接写出点E到的距离． 【答案】(1) (2)秒 (3)的值为或1 (4)1或 【分析】（1）由题意可知，得，由此可知，代入相关数据即可求解； （2）找到临界位置，当点在上时，和重合，在的边界上，若再继续向点运动，则点不在内，再此时证明，可知，据此列出方程即可求解； （3）由（1）可知，，，则，则，分两种情况：当时，；当时，，即：，分别求解即可； （4）由题意得，若将的面积分成两部分，可知或，分两种情况：当时，，当时，，结合面积列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知，，则， ∴； （2）由勾股定理可知，， 当点在上时，和重合，在的边界上，若再继续向点运动，则点不在内， 此时，，，则，， ∵四边形是矩形， ∴，，则， ∴， ∴，即：，解得：， 即：点落在区域（含边界）内的时长为秒； （3）由（1）可知，，，则， 则， ∵， ∴当时，，即：，解得：； 当时，，即：，解得：； 综上，当与相似时，的值为或1； （4）， 若将的面积分成两部分， 则或， 当时，， ∴，解得：， 此时，，，则， ∴点在线段上，则， 即：点到的距离为1； 当时，， ∴，解得：， 此时，，，则， ∴点在射线上，则， 即：点到的距离为； 综上，点到的距离为1或． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、列代数式、方程的应用等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答此题的关键． 33．（2023·河北衡水·二模）如图，在矩形中，，，点从点出发在折线上以每秒的速度移动，过点作于点，并交或于点，以为边在的右侧作正方形．设点的运动时间为秒，正方形的边长为．    (1)当点与点重合时，求的值； (2)当为何值时，点落在上； (3)求在什么范围内，的值不随的变化而变化，并求此时的值； (4)直接写出射线将正方形分成面积比为两部分图形时的值． 【答案】(1) (2)当时，点落在上 (3)当时，y不随x的变化而变化，此时 (4)或 【分析】（1）证明得到，求得，再利用勾股定理求解即可； （2）证明，得到，，再证明得到，即，进而求得即可求解； （3）分M在上和M在上两种情况，利用相似三角形和勾股定理，结合一次函数的性质求解即可； （4）当M在上时，由题意，当射线将正方形分成面积比为两部分时，或，再分两种情况，利用勾股定理和平行线分线段成比例求解即可；可以证明当M在上时的情况不存在． 【详解】（1）解：当点与点重合时，， 由题意，， ∴，又， ∴ ∴，即，则， ∴， 即；    （2）解：当点Q在上时，如图，    ∵， ∴， ∴，又， ∴， ∴，， ∵ ∴，又 ∴ ∴，即， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：分两种情况： 当M在上时，如图，此时，    ∵， ∴，又， ∴ ∴，即，则， ∵，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大； 当M在上时，如图，此时，过M作于E，则，，    ∵， ∴， ∴ ∴，即，则， ∴， ∴， ∴当时，y不随x的变化而变化， 综上，当时，y不随x的变化而变化，此时； （4）解：如图，当M在上时，由题意，当射线将正方形分成面积比为两部分时，或，    ∵， ∴， 当时，， ∵， ∴， 由（3）知，，则， ， 由得； 当时，， ∴，， ， 由得；   同理，当M在上时，如图， ∵， ∴当射线将正方形分成面积比为两部分时，， 由（3）中知，则，    ∵， ∴， ∴，即，则方程不成立， 综上，满足条件的x值为或． 【点睛】本题是特殊四边形和相似三角形的动点问题的综合题型，涉及正方形和矩形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、勾股定理、全等三角形的判定与性质、一次函数的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，尤其是相似三角形的判定与性质是解答的关键． 34．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当为的中点，，时，求的长； (3)如图3，当时，设矩形的周长为，的周长为，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明对应角相等，即可得到； （2）根据，求得的长度，从而得出长度； （3）根据题意得出四边形是正方形，根据折叠的性质，设，则，，则，，在中，勾股定理可得，根据得出，，进而得出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图， 四边形是矩形， ， ， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ，，， 为中点， ， 设， ， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ，即， ， ， ． （3）解：∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴设，则， ∵折叠， ∴， 设，则，， 在中， 即， ∴ ∴，即， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形与折叠、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上基础知识是解题关键． 35．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图1所示，在矩形中，，点M，P分别在边上（均不与端点重合），且，以和为邻边作矩形，连接． 【问题发现】 （1）如图2，当时与的数量关系为______，与的数量关系为______． 【类比探究】 （2）如图3，当时，矩形绕点A顺时针旋转，连接，判断与之间的数量关系，并就图3说明理由． 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，已知，当矩形旋转至C，N，M三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】（1），；（2）；（3）或 【分析】（1）根据题意可得矩形和矩形是正方形，即点A、N、C在同一条直线上，利用勾股定理可得，，再根据，，进行等量代换即可求解； （2）连接，当时，，证得，可得，，进而证得，利用勾股定理可得，再利用相似三角形的性质求解即可； （3）由题意得，，，利用勾股定理求得，再分类讨论：当点C，N，M三点共线，且点N在上时；当点C，N，M三点共线，且点N在的延长线上时，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）当时，，， ∴，即， ∵，， ∴矩形和矩形是正方形， ∴， ∴点A、N、C在同一条直线上， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：，； （2），理由如下： 如图，连接，当时，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵， ∴，，， ∴， 如图，当点C，N，M三点共线，且点N在上时， ∵， ∴， ∴， 如图，当点C，N，M三点共线，且点N在的延长线上时， ∵，， ∴， 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题考查矩形的性质、正方形的性质、勾股定理、旋转的性质、相似三角形的判定与性质，利用数形结合和分类讨论思想是解题的关键． 36．（24-25九年级上·河北保定·期中）一次小组合作探究课上，嘉嘉将两个正方形按如图所示的位置摆放（点、、在同一条直线上），发现且．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： (1)将正方形绕点按逆时针方向旋转（如图1），则与的数量关系为______，位置关系为______． (2)把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点按顺时针方向旋转（如图2），试问当与的大小满足怎样的关系时，背景中的结论仍成立？请说明理由； (3)把背景中的正方形分别改成矩形和矩形，且，将矩形绕点按顺时针方向旋转（如图3），写出与的数量关系并说明理由． 【答案】(1)， (2)当时，，理由见解析； (3)，理由见解析 【分析】（1）由正方形的性质得出， 得出， 证明，则可得出结论； （2）由菱形的性质得出， 证明， 由全等三角形的性质可得出结论； （3）根据矩形的性质得到，即可得到，然后证明即可解题． 【详解】（1）； ； 理由如下： 如图（1）， 延长交于， 交于点， ∵四边形、四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为： ； ； （2）当时， ， 理由如下： ， ， 又∵四边形和四边形为菱形， ， ， ； （3）解：∵和是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质 ，菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握特殊平行四边形的性质是解题的关键． 37．（2024·河北邯郸·三模）如图，矩形中，，，点E在折线上运动（点E不与点C，A重合），的中点为G，将绕点E顺时针旋转得到．设点E的运动路径长为x． (1)如图1，当点E与点B重合时，点F到直线的距离为 ； (2)如图2，当点F落在矩形的边（或边所在的直线）上时，求x的值； (3)过点F作，交延长线于点N（如图3），设的长为y，请直接写出y与x的函数解析式． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了矩形性质，勾股定理，三角形相似．解决问题的关键是熟练掌握矩形的边角性质，熟练运用勾股定理与三角形相似的判定和性质熟练探究动点的运动轨迹． （1）作于H，通过证明，得出，即可解答； （2）根据题意进行分类讨论：当点E在上，点F在所在的直线是上时，通过证明，得出，即可解答；当点E在上，当F在上时，通过证明，得出，求出，最后根据即可解答； （3）根据题意进行分类讨论：当点E在上时，作于H，作于Q，易证四边形是矩形，通过证明，得出，即可得出结论； 当点E在上时，通过证明，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1， 作于H， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵绕点E顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵G是的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图2， 当点E在上，点F在所在的直线是上时， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图3， 当点E在上，当F在上时， 同理上可得， ， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或； （3）解：如图3， 当点E在上时，作于H，作于Q， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 如图4， 当点E在上时， 同理可得， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述：． 38．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，在中，，，，Q为的中点．动点P从点A出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，连接，以为边构造正方形，且边与点B始终在边同侧．设点P的运动时间为t秒．    (1)线段的长为________； (2)线段的长为________（用含t的代数式表示）； (3)当正方形的顶点M落在的边上时，求t的值； (4)当正方形的边的中点落在线段上时，求t的值和正方形的面积． 【答案】(1)3 (2) (3)t的值为2或 (4)， 【分析】（1）运用勾股定理进行列式计算，即可作答． （2）结合运动方向和运动速度列式作答即可． （3）依题意，进行分类讨论，当①当点M落在上时，且结合图形，由正方形的性质得出，证明，列式计算，得出；②当点M落在上时，过点Q作于点K，由正方形的性质证明，，然后证明，得出，然后得，则，进行即可作答． （4）依题意，当点的中点F落在边上，作图，结合正方形的性质，证明，列式，结合（3）②可知，，则，计算出，则，再结合勾股定理，即可得出进行作答． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵动点P从点A出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点C运动， ∴， ∴； （3）解：依题意，①当点M落在上时，如图1， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得； ②当点M落在上时，如图2， 过点Q作于点K， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 在和中． ∴ ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴当正方形的顶点M落在的边上，t的值为2或 （4）解：当点的中点F落在边上时，如图3， 过点Q作于点E， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（3）②可知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中， ， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，相似三角形的判定与性质、全等三角形判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 五、相似三角形的实际应用 39．（23-24九年级上·河北邢台·期中）据《墨经》记载，在两千多年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，阐释了光沿直线传播的原理．如图，在小孔成像实验中，若蜡烛火焰的高度为，物距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则像距是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，先证，再根据相似三角形的高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：如图，    由题意可知，，，， ， ，， ， ，即， 解得， 即像距是． 故选B． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的高的比等于相似比． 40．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）有一块锐角三角形余料，边为，边上的高为，现要把它分割成若干个邻边长分别为和的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小方形的长为的边在上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有几个（　　）    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据题意，可得底层可以放置个小长方形，根据顶层与的边交于点，可得，由此可求出的值，可得共堆叠的层数，由此即可求解． 【详解】解：∵的底边为，最底层的小长方形的长为的边在上， ∴底层可以放置个小长方形，即， 如图所示，顶层小长方形与的边交于点，连接，过点作于点，交于点， ∴， ∴，且，，， ∴相似比为， ∴，则， ∴， ∵小长方形零件的高为， ∴，即可以叠四层， ∴共有个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查三角形相似的判定和性质，掌握其运算方法是解题的关键． 41．（23-24九年级上·河北邢台·期中）有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点正好在书架边框上，每本书的厚度为，高度为，书架宽为．      （1） （2） 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、一元二次方程的应用；先根据相似三角形的判定证出，再根据相似三角形的性质可得，设，从而可得，然后在中，利用勾股定理建立方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ∴ ， 解得， 在中，，即， 解得或（不符题意，舍去）， 即， 故答案为：，． 42．（22-23九年级上·河北邢台·期末）如图，为了测量平静的河面的宽度，即的长，在离河岸点米远的点，立一根长为米的标杆，在河对岸的岸边有一根长为米的电线杆，电线杆的顶端在河里的倒影为点，即，两岸均高出水平面米，即米，经测量此时三点在同一直线上，并且点共线，点共线，且均垂直于河面，    （1）过点作于，则 米；设交于点，则 米； （2）河宽 米． 【答案】 12 【分析】延长交的反向延长线于点，由求得，再由求得，便可解决问题． 【详解】解：延长交的反向延长线于点，      则四边形是矩形， 米，， （米）， ， ， ， ， （米）， ，米，米， 米， ，， ， ， ， ， 米， （米）， 故答案为：；；12． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定的应用，关键是构造和证明三角形相似． 43．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）风力发电是我国电力资源的重要组成部分，嘉嘉为了解某风力发电机的风叶长度，通过测量其影子长度的方法进行计算，如图（图中所有点均在同一平面，太阳光线视为平行光线），线段、、表示三片风叶，，，某时刻，的影子恰好重合为线段，于点，测得，，同一时刻测得高为4m的标杆影长为3m． (1)直接写出的度数及的长； (2)求风叶转动时点到地面的最小距离． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）通过，即可求得，再根据等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理即可求解的度数； （2）过点作于点H，过点E作于点I，由，求得，则，根据直角三角形的性质得到，故当时，风叶转动时点到地面的最小距离为； 【详解】（1）解：如图， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：过点作于点H，过点E作于点I， 在中，由勾股定理得； 同理可证明：， ∴， ∴， ∴， 由题意得，，而， ∴， ∵在中，， ∴， ∴当时，风叶转动时点到地面的最小距离为， 答：风叶转动时点到地面的最小距离为． 【点睛】本题考查了相似三角形的实际应用，勾股定理，含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，正确运用相似三角形的性质是解题的关键． 44．（24-25九年级上·河北保定·期中）小明为了测量出一矩形深坑的深度，采取如下方案；如图，在深坑左侧用观测仪AB从观测出发点A观测深坑底部一点P，且观测视线刚好经过深坑边缘点E；在深坑右侧用观测仪CD从观测出发点C观测深坑底部同一点P，且观测视线恰好经过深坑边缘点F（点B，E，F，D在同一水平线上）．已知，，观测仪高，观测仪高，，，深坑的宽度． (1)求证：． (2)请根据以上数据，计算矩形深坑的深度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的应用： （1）由矩形的性质得到先证明，再证明，据此可证明； （2）根据相似三角形的性质得到，再证明得到，进而根据矩形的性质得到，据此可得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）解：∵， ∴，即， ∴， 同理可证明， ∴ ，即， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形深坑的深度为． 45．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）周末，数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动．如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一堵围墙，同学们想测量围墙的高度．结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行了如下操作：①当阳光恰好从围墙最高点A经窗户点C处射进房间地面落在点F时，测得m；②当阳光恰好从围墙最高点A经窗户点D处射进房间地面落在点E时，测得m．此外，还测得窗高m，窗户距地面的高度m，，． (1)求证：，． (2)求围墙的高． 【答案】(1)见解析； (2)围墙AB的高为m． 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解答的关键， （1）根据“两角相等的两个三角形相似”得出答案； （2）根据“相似三角形的对应边成比例”可得的关系式，进而得出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， 即， ∴． ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， 即围墙AB的高为m． 46．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中在同一条直线上． (1)求的长； (2)求点到地面的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查相似三角形的应用，理解题意，利用相似三角形的性质求解是解答的关键． （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得，经检验，符合题意； （2）解：由题意，，， ∴， ∴，即， ∴． 47．（23-24九年级上·河北邢台·期中）如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，交于点． (1)当点恰好为中点时，______． (2)若矩形的周长为，求出的长度． 【答案】(1)60 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高之比等于相似比； （1）由，得到，代入即可求解， （2）根据，得到，得到对应高之比等于相似比，，从而得到的长， 【详解】（1）解：∵为中点， ∴， ∵在矩形中，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． ∴四边形为矩形， ∴，， ∵矩形的周长为 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 48．（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）如图1，小红家的阳台上放置了一个晒衣架，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点在地面上，经测量得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段． 发现：连接AC．则AC与EF有何位置关系?并说明理由； 探究：若，求利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上?    【答案】发现：，理由见详解；探究：利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上 【分析】发现：证明，得到，即可证明； 探究：过点作于点，过点作于点，利用等腰三角形的判定和性质，以及勾股定理求出的值，再证明，利用相似比求出的值，即可获得答案． 【详解】解：发现：， 理由如下：连接，如下图，    ∵立杆相交于点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 探究：如下图，过点作于点，过点作于点，    ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理可得， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得． 答：利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，综合性较强，熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似是解题的关键． 49．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）阅读理解： 如图1，是的高，点E、F分别在和边上，且，可以得到以下结论：． 拓展应用： (1)如图2，在中，，边上的高为4，在内放一个正方形，使其一边在上，点E、F分别在上，求正方形的边长是多少？ (2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为，底边长为的等腰三角形展台．现需将展台用隔板沿平行于底边，每间隔分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒．平面设计图如图3所示，将底边的长度看作是0排隔板的长度． ①在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度（单位：厘米）随着排数（单位：排）的变化而变化．请完成下表： 排数/排 0 1 2 3 … 隔板长度/厘米 160 __________ 80 … 若用n表示排数，y表示每排的隔板长度，试直接求出y与n的关系式__________； ②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？__________ 【答案】(1)正方形的边长为 (2)①；；②最多可以摆放38瓶葡萄酒 【分析】本题考查了相似三角形的应用，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，找出规律是解题的关键． （1）过点A作于D，交于H，由，可求解； （2）①由等腰三角形的性质可得，由勾股定理可求，设第1排的隔板长为，由阅读理解的结论可列方程，即可求解． ②分别求出每排最多可以放多少葡萄酒瓶，即可求解． 【详解】（1）解：如图2，过点A作于D，交于H， 由阅读理解的结论可得：， 设正方形的边长为x， ∴， ∴， ∴正方形的边长为； （2）解：①如图，过点A作于D， ∵， ∴， ∴， 设第1排的隔板长为， 由阅读理解的结论可得： 解得：； ∴， ∴； ②当时，隔板长， ∴可以作正方体的个数（个）， 当时，隔板长， ∴可以作正方体的个数（个）， 当时，隔板长， ∴可以作正方体的个数（个）， 当时，隔板长， ∴可以作正方体的个数（个）， 当时，隔板长， ∴可以作正方体的个数（个）， 当时，隔板长， ∴可以作正方体的个数为0个， ∴第1排最多可以摆放13瓶葡萄酒，第2排最多可以摆放10瓶葡萄酒，第3排最多可以摆放8瓶葡萄酒，第4排最多可以摆放5瓶葡萄酒，第5排最多可以摆放2瓶葡萄酒，第6排最多可以摆放0瓶葡萄酒， ∴（瓶）， 综上所述：最多可以摆放38瓶葡萄酒． 六、相似多边形的性质及判定 50．（2023·河北邯郸·一模）两个正方形按如图所示位置摆放，则这两个正方形（    ） A．位似 B．相似 C．不相似 D．既不相似，又不位似 【答案】B 【分析】根据位似图形和相似图形的概念解答即可． 【详解】解：∵两个正方形对应顶点的连线所在的直线不相交于一点， ∴这两个正方形不是位似图形， ∵正方形的角都相等，边长都成相同的比例， ∴这两个正方形是相似图形， 综上，B选项正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了位似图形和相似图形，对应顶点的连线所在的直线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形；所有正方形都是相似图形，因为，角都相等，边长都成相同的比例． 51．（22-23九年级上·河北保定·阶段练习）如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中相似的是（    ）    A．甲与丙 B．乙与丙 C．甲与乙 D．三个矩形都不相似 【答案】A 【分析】如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，据此作答． 【详解】解：三个矩形的角都是直角，甲、乙、丙相邻两边的比分别为，，， ∴甲与丙相似， 故选：A． 【点睛】本题考查相似多边形的概念与判定，解题的关键是要考虑对应角相等，对应边成比例． 52．（23-24九年级上·河北张家口·阶段练习）将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则新图形与原图形相似的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】利用相似三角形和相似多边形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：如图1，可知：， ∴，， ∴； 如图2，∵正方形的边长由4变为6，对应边比值相等，对应角相等， ∴新图形与原图形相似； 如图3，∵，， 则，， ∴， ∴新矩形与原矩形不相似． 综上：新图形与原图形相似的有2个； 故选C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，相似多边形的判定．熟练掌握相似三角形和多边形的判定方法，是解题的关键． 53．（20-21九年级上·甘肃兰州·阶段练习）如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（    ） A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b 【答案】B 【分析】根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的判定，对应边成比例列式计算即可． 【详解】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为， 要使小长方形与原长方形相似，只要满足即可， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似多边形的判定，准确表示出小长方形的长和宽是解题的关键． 54．（2020·河北衡水·一模）在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下： 甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，它们的对应边间距为1，则新菱形与原菱形相似． 乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新菱形与原菱形相似； 对于两人的观点，下列说法正确的是（    ）． A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 【答案】C 【分析】根据相似多边形的对应边成比例、对应角相等进行判断即可． 【详解】解：甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行，因此各角与原菱形角对应相等，平移后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似； 乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边不平行，因此各角与原菱形角不相等，即新菱形与原菱形不相似． 所以甲对，乙不对， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似多边形的判定．此题难度不大，熟练应用相似多边形的判定方法是解题关键． 55．（2023·河北张家口·模拟预测）把一根铁丝首尾相接围成一个长为，宽为的矩形，要将它按如图所示的方式向外扩张得到矩形，使矩形矩形，则这根铁丝需增加（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图形知，扩张后的长方形宽为，设长为，根据相似长方形的性质列式计算求得，再计算即可求解． 【详解】解：原长方形的长和宽分别为和，由图形知，扩张后的长方形宽为，设长为， ∵矩形矩形， ∴， ∴， 经检验，是分式方程的解， ∴扩张后的长方形长为， 原长方形的周长为，扩张后长方形的周长为， ， ∴这根铁丝需增加， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的性质求解是解题的关键． 56．（2023·山东·中考真题）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据折叠的性质与矩形性质，求得，设的长为x，则，再根据相似多边形性质得出，即，求解即可． 【详解】解：，由折叠可得：，， ∵矩形， ∴， ∴， 设的长为x，则， ∵矩形， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴，即， 解得：（负值不符合题意，舍去） ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，相似多边形的性质，熟练掌握矩形的性质和相似多边形的性质是解题的关键． 57．（2022·河北石家庄·三模）对于题目：“在长为6，宽为2的矩形内，分别剪下两个小矩形，使得剪下的两个矩形均与原矩形相似，请设计剪下的两个矩形周长和为最大值时的方案，并求出这个最大值．”甲、乙两个同学设计了自认为满足条件的方案，并求出了周长和的最大值． 甲方案：如图1所示，最大值为16； 乙方案：如图2所示，最大值为16． 下列选项中说法正确的是（    ） A．甲方案正确，周长和的最大值错误 B．乙方案错误，周长和的最大值正确 C．甲、乙方案均正确，周长和的最大值正确 D．甲、乙方案均错误，周长和的最大值错误 【答案】D 【分析】根据相似多边形对应边的比相等的性质分别求出两个小矩形纸片的长与宽，进而求解即可． 【详解】解：∵6：2=3：1， ∴三个矩形的长宽比为3：1， 甲方案：如图1所示， 3a+3b=6， ∴a+b=2， 周长和为2(3b+b)+2(3a+a)=8(a+b)=16； 乙方案：如图2所示， a+b=2， 周长和为2(3b+b)+2(3a+a)=8(a+b)=16； 如图3所示， 矩形①的长为2，则宽为2÷3=； 则矩形②的长为6-=，宽为÷3=； ∴矩形①和矩形②的周长和为2(2+)+2(+)=； ∵16， ∴周长和的最大值为； 故选：D． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，分别求出所剪得的两个小矩形纸片的长与宽是解题的关键． 58．（2023·河北衡水·二模）将边长为2的正六边形按照如图所示的方式向外扩张，得到新的六边形，它们的对应边的距离均为． （1）新的六边形与原六边形 ；（填“相似”或“不相似”） （2）扩张后六边形的周长比原来增加了 ． 【答案】 相似 12 【分析】（1）根据相似多边形的判定方法和正六边形的性质求解即可； （2）作交于点B，根据三角函数求出，然后求出原正六边形和新正六边形的周长，进而求解即可． 【详解】解：（1）∵正六边形的内角都等于， ∴原正六边形和新正六边形的内角都对应相等， ∵正六边形的边长都相等， ∴原正六边形和新正六边形的边长都对应成比例， ∴新的六边形与原六边形相似； （2）如图所示，作交于点B，作交于点F， 由正六边形的性质可得，，， ∴， 由题意可得，，， ∴， ∴新六边形的周长为， ∵原六边形的边长， ∴， ∴扩张后六边形的周长比原来增加了12． 【点睛】此题考查了相似多边形的判定，正多边形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 59．（23-24九年级上·河北保定·期中）如图，在矩形中，，，于点F，交于点E，矩形矩形． （1）的长为 ； （2）连接，与交于点M，则的长为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了矩形的性质，相似多边形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用相似多边形的性质即可求解； （2）首先得到，再得到，即可求解． 【详解】解：（1）∵矩形矩形， ∴， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）连接，与交于点M，如图： ∵四边形，是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 七、图形的位似及其应用 60．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，下列说法错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质．根据位似图形的概念、相似三角形的性质“对应点的连线都经过同一点；对应边平行”进行判断即可． 【详解】解：A、与是位似图形，则其对应边互相平行，即，原说法正确，本选项不符合题意； B、与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，则．所以，原说法错误，本选项符合题意； C、与是位似图形，则其对应边互相平行，即，则，原说法正确，本选项不符合题意； D、与是相似图形，相似比为，则其面积之比等于相似比的平方，即，原说法正确，本选项不符合题意． 故选：B． 61．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将缩小到原来的，得到．若点的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换的性质，熟练掌握位似的性质是解题的关键． 根据位似的性质解答即可． 【详解】解：∵以原点为位似中心，将缩小到原来的，得到，且点的坐标是， ∴点的坐标是， 故选：D． 62．（2022·广东中山·三模）如图，在矩形中，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形 ，使矩形 ~ 矩形；再连接 以对角线为边，按逆时针方向作矩形使矩形 ~ 矩形····，按照此规律作下去，则边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律．根据已知和矩形的性质可分别求得，利用相似多边形的性质可发现规律，根据规律即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 按逆时针方向作矩形 ，使矩形 ~ 矩形， ∴矩形的边长和矩形的边长的比为， ∴矩形的对角线和矩形的对角线的比， ∵矩形的对角线为， ∴矩形的对角线， 以此类推， 矩形的对角线， 矩形的对角线， …， 矩形的对角线， ∴． 故选A． 63．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点（顶点是网格线的交点），已知点的坐标为． (1)画出绕原点顺时针旋转得到的，并写出的坐标； (2)在给定的网格中，以点为位似中心，将作位似变换且放大到原来的两倍，得到，画出并写出的坐标； (3)的长度为__________． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； (3) 【分析】本题考查了作图一位似变换，旋转变换，坐标系中借助勾股定理求线段长，熟练掌握旋转和位似的性质是解题的关键． （1）按要求作图即可； （2）按要求作图即可； （3）利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，． （2）解：如图所示，． （3）解：由图可知，． 64．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置； (2)以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； (3)已知的面积为2.5，则的面积为_______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)10 【分析】本题考查作图位似变换，位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）延长、，并使、，连接即可； （3）根据位似比得出面积比，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，点为所作； （2）解：如图所示，为所作； （3）解：∵与的位似比为， ∴， ∵的面积为2.5， ∴， 故答案为：10． 65．（24-25九年级上·河北保定·期中）在坐标系的位置所示，三点的坐标分别为、、，请按要求完成任务： (1)以坐标原点为位似中心，相似比为，在轴下方将放大得到． (2)在（1）中，点的坐标为________；若线段上有一点，请直接写出点的对应点的坐标为________． (3)在（1）中，若点，分别是线段，的中点，则线段在中对应线段的长度为________． 【答案】(1)见解析 (2)； (3) 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，掌握位似图形的相似比是解题的关键． （1）根据以坐标原点为位似中心，相似比为，得到三角形的顶点，依次连接即可； （2）由点，以坐标原点为位似中心，相似比为，可得； （3）点，分别是线段，的中点，则线段，相似比为，即可得：． 【详解】（1）解：∵三个顶点的坐标分别为、、，且以坐标原点为位似中心，相似比为， ∴三个顶点的坐标分别为、、， 依次连接三个顶点可得，如下图所示： ； （2）解：由（1）得， 点的对应点的坐标为， 故答案为：；； （3）解：∵点，分别是线段，的中点， ∴是的一条中位线， ∴， ∵相似比为， ∴， 故答案为：． 66．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图所示，在学习《图形的相似》时，小华利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)在图中标出与的位似中心点的位置； (2)若以点为位似中心，在图中轴的左侧画出的位似图形，且与的位似比为； (3)在中，若边上一点的坐标为，则点在上的对应点的坐标为 ． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了作图-位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．也考查了位似的性质． 连接、、，、、的交点就是位似中心； 连接、、，分别取、、的中点、、，连接、、得到，即为所求； 因为与的位似比为，点的坐标为，则点在上的对应点的坐标为． 【详解】（1）解：如下图所示，连接、、， 、、的交点就是位似中心； （2）解：如下图所示，连接、、， 分别取、、的中点、、， 连接、、得到， 即为所求； （3）解：与的位似比为，点的坐标为， 则点在上的对应点的坐标为． 八、相似三角形的应用--动点问题 67．（23-24九年级下·辽宁铁岭·期中）如图，在中，，，．如果点由点出发沿方向向点A匀速运动，同时点由点A出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动时间为，连接，将沿翻折，得到四边形，当四边形为菱形时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键．连接，交相交于点，当四边形为菱形时，可得，，由得到，进而得到，解方程即可求解． 【详解】解：如图2，连接，交相交于点，当四边形为菱形时，垂直平分，即，， ，，， ， 点由点出发沿方向向点匀速运动，点由点出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为 ∴， ，， ， ∴， ， ， ， ， 又， ， 解得， ， 当四边形是菱形时，的值为； 故选A． 68．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿线段BA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点A出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点B运动．当点P到达终点时，点Q也停止运动，设运动的时间为t秒． (1)__________； (2)当Q在上运动时，若以点A、P、Q为顶点的三角形与相似，求t的值； (3)设点O是的中点，当与的一边垂直时，请直接写出t的值． 【答案】(1)10 (2)或 (3)或或 【分析】本题考查了勾股定理，动点问题，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键． （1）根据勾股定理直接求解； （2）根据题意列出代数式，分当和时两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，解方程即可求解； （3）根据题意分当，，时三种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，解方程即可求解． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理，得, ∴， 故答案为：10． （2）解：由题意，得，， ①当时，， ∴， ∴， 解得， ②当时，， ∴， ∴， 解得， 综上所述，当或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与相似． （3）解：当时，如图所示， ∵点O是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， 当时，如图所示， ∵点O是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， 当时，如图所示， ∵点O是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上所述，t的值为或或． 69．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，矩形中，，，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，一个动点到达端点时，另一个动点也停止运动，点，同时出发，设运动时间为． (1)当为何值时，的面积为？ (2)为何值时，以，，为顶点的三角形与相似． 【答案】(1)时，的面积为16cm2 (2)或时，以，，为顶点的三角形与相似 【分析】（1）由题意知，，，再根据三角形的面积公式即可列出方程，解方程可得答案； （2）由，可得当或时，以，，为顶点的三角形与相似，再代入值计算即可． 【详解】（1）解：运动结束的时间为：， ， 由题意知，，， ， 的面积为，即， ， 解得：或（不合题意，舍去）， 当时，的面积为； （2）， 当或时，以，，为顶点的三角形与相似， 或， 解得：或， 当或时，以，，为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，一元二次方程的应用，矩形的性质，三角形的面积，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用． 70．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，，D、E分别是、的中点，连接．点P从点D出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点B出发，沿方向匀速运动，速度为，当点P停止运动时，点Q也停止运动，连接，设运动时间为，解答下列问题：    (1)当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与相似？ (2)当t为何值时，为等腰三角形？（直接写出答案即可）； (3)当点Q在B、E之间运动时，是否存在某一时刻t，使得分四边形所成的两部分的面积之比为？若存在，求出此时t的值以及点E到的距离h；若不存在．请说明理由． 【答案】(1)当为或时，以点、、为顶点的三角形与相似 (2)或3或或秒时，是等腰三角形 (3)的值为， 【分析】（1）如图①所示，当时，是直角三角形．解决问题的要点是将的三边长、、用时间表示，这需要利用相似三角形比例线段关系； （2）分三种情形讨论，如图3中，当点在线段上时，；如图4中，当点在线段上时，；如图5中，当点在线段上时，；如图6中，当点在线段上时，．分别列出方程即可解决问题． （3）本问要点是根据题意，列出一元二次方程并求解．假设存在时刻，使，则此时，由此可列出一元二次方程，解方程即求得时刻；点到的距离利用的面积公式得到． 【详解】（1）解：如图1中，    在中，，， ． 、分别是、的中点． ∴，，且， ①时， ，， ∴， ∴， 由题意得：，， 即， 解得； ②如图2中，当时，，   ， ， ， 当为或时，以点、、为顶点的三角形与相似． （2）解：如图3中，当点在线段上时，由，可得，． 如图4中，当点在线段上时，由，可得，解得． 如图5中，当点在线段上时，由，过点Q作于G， ∴，， ∴，即， 解得． 如图6中，当点在线段上时，由，过点P作于M， ∴，， ∴，即， 解得． 综上所述，或3或或秒时，是等腰三角形．    （3）解：假设存在时刻，使， 则此时，如图，作于．    ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ， 即， 解得，（舍去）． 当时， ，， ，， ． ， ． 此时的值为，． 【点睛】本题是动点型综合题，解题关键是掌握动点运动过程中的图形形状、图形面积的表示方法．所考查的知识点涉及到勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、解方程（包括一元一次方程和一元二次方程）等，有一定的难度．注意题中求时刻的方法：最终都是转化为一元一次方程或一元二次方程求解，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 71．（23-24九年级下·河北邯郸·阶段练习）如图1和2，在矩形中，，点在边上．且．点分别在边上，且．点从点出发沿折线匀速运动，点在边上随移动，且始终保持；点从点出发沿匀速运动，点同时出发，点的速度是点的一半，点到达点时停止，点随之停止．设点P移动的路程为x．    (1)当点Q与点K重合时，通过计算确定点P的位置； (2)若点P在上，当时，如图2，求x的值； (3)在点P沿折线运动过程中，求点Q，E的距离（用含x的式子表示）； (4)已知点P从点M到点B再到点N共用时20秒，请直接写出点K在线段上（包含端点）的总时长． 【答案】(1)点P在上与点B相距的位置 (2) (3)当时，；当时，；时，；当时， (4)14秒 【分析】（1）先分析得到，利用，求解，再进一步可得答案； （2）当点P在上，，得，证明，再进一步可得答案； （3）分情况讨论：①当点P在上时，此时，②当点P在上时，此时，，当时，点Q与点E重合，此时； 当时，点Q在点E下方，再进一步可得答案； （4）根据题意，可对点P的位置进行分析：①若点在上，点与点重合时；②若点在上（不含点），或当点与点重合时，；分别求出答案，然后即可求出总时长． 【详解】（1）解：设的运动速度为， ∴， 当时，，解得， ， ∴点P在上与点B相距的位置； （2）当点P在上，，得， ， ， ， 在和中， ， ， 又， ， 解得； （3）①当点P在上时， 此时， 由题意可知，， ； ②当点P在上时，此时，， ， ， 又， ， ， ， 令， 即， 解得（舍去）或， 当时，点Q在点E上方， 此时， ； 当时，点Q与点E重合，此时； 当时，点Q在点E下方， 此时， ； （4）点的运动速度单位长度/秒． ①若点在上，点与点重合时 ． 即． 点到达点时 ，． 当时点在线段上． ②若点在上（不含点），则． 则，即． ． 当时，． 解得：，． 当点与点重合时， 即，解得：． 当或时点在线段上． 综上点在线段上的总时长为秒． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，运用分类讨论的思想进行分析． 72．（23-24九年级上·山东青岛·期末）已知：如图，在矩形中，，点E为边的中点，连接，交于点F．点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点A出发，沿方问匀速运动，速度为3cm/s，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为．解答下列问题： (1)当t为何值时，点P在线段的垂直平分线上？ (2)连接，设五边形的面积为，求y与t的函数关系式； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻，使点Q在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，t的值是． 【分析】（1）在中，根据勾股定理，得，过P作于，证明，根据相似三角形的性质即可求解； （2）根据相似三角形的性质求出、的长，由面积的和差即可得出S与t的关系式； （3）过Q作于，若点在的平分线上，则，分别延长、相交于点，根据相似三角形的性质求出，从而得到，解 【详解】（1）解：∵，，点为边的中点， ∴， 在Rt△ECB中，根据勾股定理，得， 过作于， 若点在线段的垂直平分线上， 则，， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴当时，点P在线段BQ的垂直平分线上； （2）解：∵四边形是矩形，，，点为边的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 由（1）知，， ∴，即， ∴， ∴五边形的面积 ；， ∴y与t的函数式为：； （3）过作于若点Q在的平分线上，则，分别延长、相交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得：． 答：存在，t的值是． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、面积的计算等知识；解题关键是用速度时间表示线段长，根据题意列出方程或比例式． 试卷第110页，共110页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$