2024-2025学年陕西省人教版八年级上学期数学期末复习 专项复习提升（一） 三角形

( 弥 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 学校:_________________________ 班级:_________________________ 姓名:_________________________ 准考证号:_________________________ 考场号:_________________________ ) ( 弥 封 线 内 不 要 答 题 ) 专项复习提升（一） 三角形 考点一 与三角形有关的线段 1．（2023陕西西安西安铁一中学·期末）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（    ） A．3cm，4cm，5cm B．8cm，7cm，15cm C．13cm，7cm，20cm D．5cm，5cm，11cm 2．（2024陕西渭南·月考）如图，在生活中，我们经常会看见如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的（  ） A．稳定性 B．灵活性 C．对称性 D．全等性 3．（2024陕西西安·月考）已知一个三角形的两边长分别为和，则该三角形的第三边的长可能是（    ） A． B． C． D． 4．（2024陕西西安·月考）为估计池塘两岸A、B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点O，测得OA＝16m，OB＝12m，那么AB的距离不可能是（    ） A．5m B．15m C．20m D．30m 5．（2024陕西陕西师范大学附属中学·期中）如图，是的高的线段是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 6．（2024陕西渭南·期中）如图，在中，，，，是边上的中线，则的面积是（    ）    A． B． C． D． 7．（2024陕西渭南·月考）王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段应该是的（    ） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．以上都不是 8．（2024陕西榆林·开学摸底）如图，三边的中线，，的公共点为，若，则图中阴影部分的面积是（    ）      A．4 B．5 C．6 D．7 9．（2024陕西西安·开学摸底）如图，在中，，，是边上的中线，点P是上的动点，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D．6 10．（2024陕西西安·月考）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化，当为等腰三角形时，的长为（    ） A．4 B．3 C．3或4 D．无法确定 11．（2024陕西西安高新一中·月考）如图，已知的面积为24，，点为边上一点，过点分别作于，于，若，则长为（    ） A．6 B．2 C．4 D．8 12．（2024陕西西安·月考）如图，在中，是边上的一点（不与点B，C重合），点E，F是线段的三等分点，记的面积为，△ACE的面积为，若，则的面积为（　　） A．6 B．8 C．9 D．10 13．（2023陕西西安·期末）如图，△ABC中,过顶点A的直线与边BC相交于点D，当顶点A沿直线AD向点D运动,且越过点D后逐渐远离点D，在这一运动过程中，△ABC的面积的变化情况是(     ) A．由大变小 B．由小变大 C．先由大变小,后又由小变大 D．先由小变大,后又由大变小 14．（2024陕西西安·开学摸底）如图，在中，，，，若四边形的面积为，则的面积为（    ）    A．60 B．56 C．70 D．48 15．（2024陕西渭南·月考）一木工师傅现有两根木条，木条的长分别为40 cm和30 cm，他要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架．设第三根木条长为x cm，则x的取值范围是 ． 16．（2023陕西咸阳实验中学·月考）已知三条线段的长分别是5，5，m，它们能构成三角形，则整数m的最大值是 ． 17．（2023陕西西安·期末）的三边，，满足且为偶数，则的周长为 ． 18．（2023陕西延安·期末）若三条边长为，，化简： ． 19．（2022陕西西安西安市曲江第一中学·期中）在中，边上的中线将分成的两个新三角形的周长差为，与的和为，则的长为 ． 20．（2024陕西西安西工大附中·开学摸底）如图，在△ABC中，D为BC上的一点，E为AD上的一点，BE的延长线交AC于点F．已知，（a，b为不小于2的整数），则的值是 ． 21．（2024陕西渭南·月考）已知的三边长均为整数，的周长为奇数． （1）若，，求AB的长． （2）若，求AB的最小值． 22．（2023陕西咸阳实验中学·月考）如图，的周长是，，中线将分为两个三角形，且的周长比的周长大1，求和的长．    23．（2024陕西渭南·月考）某建材市场上的一种钢管的长度规格及相应价格如下表所示．某校要制作一个三角形支架的宣传牌，已经选好了两根长度分别为和的钢管（钢管不可截断使用），还需要再选一根． 规格/dm 1 2 3 4 5 6 价格/（元/根） 10 15 20 25 30 35 (1)有哪几种规格的钢管可供选择？ (2)若要求做成的三角形支架的周长为偶数，求做成三角形支架一共需要花多少钱购买钢管？ 考点二 与三角形有关的角 1．（2024陕西汉中·期末）已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足关系式∠B+∠C＝3∠A，则此三角形（　　） A．一定有一个内角为45° B．一定有一个内角为60° C．一定是直角三角形 D．一定是钝角三角形 2．（2024陕西榆林·期末）如图，，交于点，连接，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2024陕西西安·期末）如图，在中，，，平分，平分的外角，则（   ） A． B． C． D． 4．（2024陕西西安·二模）将一直尺和一块含角的三角尺（，）按如图放置，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．（2024陕西西安高新一中·临考冲刺）某品牌椅子的侧面图如图所示，与地面平行．若，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024陕西咸阳实验中学·月考）如图，将沿方向平移后，到达的位置，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（2024陕西西安铁一中学·期末）如图，一副三角形板按如图所示的位置摆放，其中 ， ， ， ，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 8．（2024陕西西安西工大附中·月考）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，为焦点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（2024陕西西安西安铁一中学·临考冲刺）已知直线，将含有的直角三角板在这两条平行线中按如图所示的方式摆放，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 10．（2024陕西西安西安交通大学附属中学分校·临考冲刺）创新驱动发展，也使人们的生活更加便捷．如图是一款手机支撑架，我们可以通过改变面板张角的大小来调节视角舒适度．小明将该支撑架放置在水平桌面上，并调节面板的张角至视角舒适，若张角，支撑杆与桌面夹角，那么此时面板与水平方向夹角的度数为（    ）． A． B． C． D． 11．（2024陕西汉中·月考）如图，在中，是的角平分线，，，求的度数． 12．（2024陕西渭南·月考）如图，四边形的内角的平分线与外角的平分线相交于点． (1)若，，求证：； (2)若，，求的度数． 13．（2024陕西·期中）已知将一块直角三角板DEF放置在△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B、C． （1）∠DBC＋∠DCB＝ 度； （2）过点A作直线直线MN∥DE，若∠ACD＝20°，试求∠CAM的大小． 考点三 多边形及其内角和 1．（2024陕西·期中）从边形的一个顶点出发，可以作条对角线，则的值是（    ） A．12 B．10 C．9 D．8 2．（2024陕西西安西安铁一中学·期末）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，就是平面图形的镶嵌．只用下面一种图形能够进行平面镶嵌的是（    ） A．正三角形 B．正五边形 C．正八边形 D．正十二边形 3．（2024陕西·期中）将正六边形与正五边形按如图所示方式摆放，公共顶点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE在同一条直线上，则∠COF的度数是（　　） A．74° B．76° C．84° D．86° 4．（2022陕西西安西大附中·期末）如下图，等于（ ） A．90° B．120° C．180° D．360° 5．（2024陕西西安·开学摸底）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 6．（2022陕西西安·期末）双塔寺又名永祚寺，创建于明万历三十六年（公元1608年），现为国家级文物保护单位，由于寺内双塔高耸，故俗称双塔寺，成为太原市的标志性建筑．主塔平面呈八角，其俯视图形状为正八边形（如图所示），则该八边形一个内角的度数为 ． 7．（2024陕西西安西工大附中·临考冲刺）如果正n边形的一个内角与一个外角的比是3：2，则 ． 8．（2024陕西西安·月考）如图，用正多边形镶嵌地面，则图中α的大小为 度．    9．（2024陕西西安·期末）生活中，我们所见到的地面常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．如图所示是由一块正三角形瓷砖与三块相同的正n边形瓷砖拼成的无缝隙、不重叠的地面的一部分，则n的值为 ． 10．（2024陕西西安·开学摸底）足球有12个正五边形，20个正六边形，一共32个面．通常由黑白两种颜色组成．之所以如此设计，是因为用正六边形的两个内角和正工边形的一个内角加起来略微小于，这样由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙的大小为 ​． 11．（2023陕西西安西安铁一中学·临考冲刺）如图把图（a）称为二环三角形，它的内角和______度；把图（b）称为二环四形边，它的内角和______度；依此规律，请你探究：二环n边形的内角和为______度．（用含n的式子表示）    12．（2024陕西西安·开学摸底）已知一个正多边形的边数为． (1)若这个多边形的内角和为其外角和的4倍，求的值． (2)若这个正多边形的一个内角为，求的值． 13．（2024陕西·期中）如图，小东在操场的中心位置，从点出发，每走向左转，    (1)小东能否走回点处？若能，请求出小东一共走了多少米；若不能，请说明理由． (2)小东走过的路径是一个什么几何图形？并求这个几何图形的内角和． 14．（2024陕西西安·期末）阅读小明和小红的对话，解决下列问题．    (1)这个“多加的锐角”是 度． (2)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？ 15．（2024陕西·期中）在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．三角形的内角和是180º，那么，四边形的内角和是多少度呢？如图，作四边形的对角线，它把四边形分成两个三角形，四边形的四个角的和就是这两个三角形的内角的和，因此，四边形的内角和等于． (1)过五边形一个顶点的对角线，可以把五边形分成几个三角形？它的内角和是多少度？ (2)对于六边形呢？七边形呢？……过n边形一个顶点的所有对角线，可以把n边形分成多少个三角形？n边形的内角和是多少度？ 参考答案 考点一 与三角形有关的线段 1．【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【详解】解：A、3+4＞5，能组成三角形； B、8+7=15，不能组成三角形； C、13+7=20，不能够组成三角形； D、5+5＜11，不能组成三角形． 故选A． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 2．【答案】A 【分析】根据三角形的稳定性,即得答案． 【详解】解：该做法利用了三角形的稳定性． 故此题答案为A． 3．【答案】C 【分析】根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来求出，再结合选项的值，来进行作答即可． 【详解】解：设第三边的长为， ∵一个三角形的两边长分别为和， ∴， 即， 观察A、B、C、D四个选项，只有C选项的在范围内， 故此题答案为C． 4．【答案】D 【分析】首先确定三角形的两边是16cm，12cm，再根据三角形三边关系确定AB的取值范围，判断即可． 【详解】根据三角形三边关系得16-12＜AB＜16+12， 即4＜AB＜28， 所以AB的距离不能是30m． 故此题答案为D． 5．【答案】C 【详解】解：由三角形的高的定义可知，选项C中的线段是的高， 故选C． 6．【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 故此题答案为． 7．【答案】B 【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答． 【详解】解：由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分， ∴他所作的线段应该是的中线， 故此题答案为B． 8．【答案】C 【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，可得，，，利用等量代换逐步推出，最后利用计算即可． 【详解】解：，，是三边的中线， ，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故此题答案为C． 9．【答案】C 【分析】先求解，如图，过作于，再求解，结合垂线段最短可得答案． 【详解】解：如图，过作于， ∵，，为的中点， ∴， ∴， ∴， 当重合时，最小，最小值为； 故此题答案为C 10．【答案】B 【分析】根据题意分情况讨论即可． 【详解】解：∵当为等腰三角形时， ①当，在中，， 在中，， ∴此时； ②当，在中，，不符合三边关系， ∴此种情况舍去； 故此题答案为B． 11．【答案】C 【分析】连接，根据三角形的面积公式即可得到，结合题意求出即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， 故此题答案为C． 12．【答案】C 【分析】点E，F是线段的三等分点，根据同高三角形面积之比等于对应底边之比，可得出，，最后便可以求出的面积． 【详解】解：∵点E，F是线段的三等分点， ∴， ∴ 同理， ∴ ， ∵， ∴． 故此题答案为C． 13．【答案】C 【详解】试题分析：由题意得，这个过程中△ABC的底始终不变，根据三角形的面积公式即可判断. 由题意得，这个过程中△ABC的底始终不变，则△ABC的面积的变化情况是先由大变小,后又由小变大， 故选C. 考点：本题考查的是三角形的面积公式 点评：解答本题的关键是熟练掌握三角形的面积公式，同时正确理解底不变的三角形的面积的变化特征. 14．【答案】A 【分析】连接、，过点作于点，设，根据同高的三角形的面积的比等于底边的比，分别得到、、、、、，再根据四边形的面积，求出，即可得出的面积． 【详解】解：连接、，过点作于点， 设， ，，， ， ， ， 同理可得：， ， ， ， ， 同理可得：， 是的中点， 同理可得：， ， ， 同理可得：， 四边形的面积为28， ， ， ， 故此题答案为A．    15．【答案】10cm<x<70cm 【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求第三边长的范围． 【详解】三角形的第三边长大于两边之差，小于两边之和， ∴x的取值范围为：． 16．【答案】9 【分析】利用三角形三边关系求出m的取值范围，从中找出最大的整数即可． 【详解】解：三条线段的长分别是5，5，m，若它们能构成三角形，则，即，因此整数m的最大值是9． 17．【答案】16或18 【分析】运用非负数和三角形三边关系确定出a，b，c的值，再代入计算. 【详解】解：∵的三边，，满足， ∴，解得， ∴，， ∴， ∵为偶数， ∴或， 当时，； 当时，； ∴的周长为16或18， 故答案为：16或18. 【点睛】此题考查了非负数和三角形三边关系的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行求解. 18．【答案】/ 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边得到，，再根据绝对值性质化简即可求解． 【详解】解：根据三角形的三边关系得：，， ． 19．【答案】或 【分析】 根据三角形的中线的定义可得，然后求出与的周长差是与的差或与的差，然后代入数据计算即可得解． 【详解】 如图1，图2， ∵是边上的中线， ∴， ∵中线将分成的两个新三角形的周长差为， ∴或， ∴或者， ∵与的和为， ∴， ∴或， 故答案为：或． 【点睛】 本题考查了三角形的中线，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于两边长的差是解题的关键． 20．【答案】 【分析】利用同高的三角形面积之比等于底边之比进行三角形的面积转化即可完成求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 21．【答案】（1）7或9；（2）6． 【分析】（1）根据三角形的三边关系求出AB的取值范围，再由AB为奇数即可得出结论； （2）根据AC﹣BC=5可知AC、BC中一个奇数、一个偶数，再由△ABC的周长为奇数，可知AB为偶数，再根据AB＞AC﹣BC即可得出AB的最小值． 【详解】（1）∵由三角形的三边关系知，AC﹣BC＜AB＜AC+BC，即：8﹣2＜AB＜8+2， ∴6＜AB＜10， 又∵△ABC的周长为奇数，而AC、BC为偶数， ∴AB为奇数，故AB=7或9； （2）∵AC﹣BC=5， ∴AC、BC中一个奇数、一个偶数， 又∵△ABC的周长为奇数，故AB为偶数， ∴AB＞AC﹣BC=5， ∴AB的最小值为6． 22．【答案】， 【分析】此题考查了三角形的中线与周长，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．由是的中线，可得，由的周长比的周长大，可得，且的周长是，，可得，即可求解． 【详解】解：是的中线， ． 的周长比的周长大1， ，则． 的周长是，， ． ， ， 解得， ． 23．【答案】(1)长度为、、的钢管可供选择； (2)做成三角形支架一共需要花75元购买钢管． 【分析】（1）根据三角形三边关系“三角形的两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边”即可求解； （2）根据题意求出第三边长，进而可求解． 【详解】（1）解：设第三根钢管的长度为， 则，即：， ∴长度为、、的钢管可供选择； （2）解：∵三角形支架的周长为偶数， ∴三边长分别为、、， 则花的钱数为：（元）， 答：做成三角形支架一共需要花75元购买钢管． 考点二 与三角形有关的角 1．【答案】A 【分析】由三角形内角和定理,即可得解． 【详解】解：∵∠B+∠C+∠A＝180°，∠B+∠C＝3∠A， ∴∠B+∠C+∠A＝4∠A＝180°， ∴∠A＝45°． 故此题答案为A． 2．【答案】D 【分析】根据，，可求出，再根据平行线的性质可求． 【详解】解：，， . ， ． 故此题答案为D． 3．【答案】D 【分析】先利用角平分线的定义求出和，再根据三角形外角的性质求解． 【详解】解：∵，，平分，平分， ∴， ， ∴ 故此题答案为D． 【关键点拨】此题考查了三角形的外角性质，同时要运用整体的思想，关键是从这个外角看到， 根据等量代换解决此题． 4．【答案】A 【分析】先利用三角形内角和定理可得，，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算即可解答 【详解】∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故此题答案为． 5．【答案】D 【分析】由，利用两直线平行内错角相等得到，求解，再进一步求解即可得到答案 【详解】解：如图所示： ，， ， ∵， ∴， ∴， 故此题答案为D． 6．【答案】A 【分析】属于中考常考题型．利用平移的性质求出，再利用平角的性质解决问题即可． 【详解】解：由平移的性质可知， ， ， 故此题答案为A 7．【答案】C 【分析】延长 交 于点 ，根据两直线平行，内错角相等可得 ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】解：如图，延长 交 于点 ， ， ， 在 中，由三角形的外角性质得， ． 故此题答案为C． 8．【答案】D 【分析】由对顶角的性质得到的度数，由三角形外角的性质即可解决问题． 由平行线的性质求出，由对顶角的性质得到，由三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故此题答案为D． 9．【答案】C 【详解】解：∵， ∴，则， 由三角形外角的性质，， 故此题答案为C． 10．【答案】A 【分析】由题意可得：，则；然后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∵， ∴． 故此题答案为A． 11．【答案】70° 【分析】根据三角形外角的性质，角平分线的定义以及三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：，，． ， 是角平分线， ， 在中，． 【知识点拨】三角形的外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和. 12．【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先解得，结合角平分线的定义可得，，再结合三角形外角的性质可解得，进而可得，即可证明结论； （2）首先在四边形中解得，易得，进而可得，结合角平分线的定义可得 ，，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，平分，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：在四边形中，， ∴， ∴， 又∵，平分，， ∴，， ∴． 13．【答案】（1）90；(2) 110°． 【详解】试题分析：（1）在中，根据三角形内角和定理得然后把代入计算即可； 结合上问易知，又MN∥DE，两直线平行，内错角相等可得∠ABD＝∠BAN．而，两式相减，即可求得. 试题解析： （1）(1)在△DBC中,∵ 而， 故答案为90； （2）由于三角形内角和为180°， 结合上问易知， 又MN∥DE， ∴∠ABD＝∠BAN． 而， 两式相减，得：．而∠ACD＝20°，故∠CAM＝110°． 考点三 多边形及其内角和 1．【答案】C 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟记边形的一个顶点出发，可以作条对角线是解答本题的关键． 根据边形的一个顶点出发，可以作条对角线，可得，由此得到答案． 【详解】解：设多边形有条边， 则， 解得：． 故选：． 2．【答案】A 【详解】解：解：A、正三角形的内角为， ∴，是整数，故符合题意； B、正五边形的内角为， ∴，不是整数，故不符合题意； C、正八边形的内角为， ∴，不是整数，故不符合题意； D、正十二边形的内角为， ∴，不是整数，故不符合题意. 故此题答案为A． 3．【答案】C 【分析】利用正多边形的性质求出∠EOF，∠BOC，∠BOE即可解决问题． 【详解】解：由题意得：∠EOF＝108°，∠BOC＝120°，∠OEB＝72°，∠OBE＝60°， ∴∠BOE＝180°﹣72°﹣60°＝48°， ∴∠COF＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°， 故选： 4．【答案】C 【分析】延长BE交AC于点G，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得，，再根据三角形内角和为180°即可求出． 【详解】延长BE，交AC于点G，如图， ∵，， ∴ 故选 C 【点睛】本题考查了三角形的角，熟练掌握三角形的外角的性质与内角和定理是解题的关键． 5．【答案】B 【分析】如图，求出正六边形的一个内角和一个外角的度数，得到，平行线的性质，得到，三角形的外角的性质，得到，进而求出的度数． 【详解】解：如图：    ∵正六边形的一个外角的度数为：， ∴正六边形的一个内角的度数为：， 即：， ∵一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，， ∴， ∴， ∴； 故此题答案为B． 6．【答案】135° 【分析】 首先根据多边形内角和定理：（n-2）•180°（n≥3且n为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数． 【详解】 解：正八边形的内角和为：（8-2）×180°=1080°， 每一个内角的度数为×1080°=135°． 故答案为：135°． 【点睛】 本题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n-2）•180 （n≥3）且n为整数）． 7．【答案】5 【分析】设多边形的一个内角为3x度，一个外角则为2x度，求得外角的度数，然后根据多边形的外角和为360°，进而求出n的值． 【详解】解：∵正边形的一个内角度数与其外角度数的比是3：2， ∴设多边形的一个内角为3x度，一个外角则为2x度， ∴3x+2x＝180°， 解得x＝36°， ∴一个外角为2x＝72°， 360°÷72°＝5， ∴n＝5 8．【答案】150 【分析】进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应为，据此求出α即可． 【详解】解：∵正方形的内角为，正六边形的内角为， ∴， 解得 9．【答案】12 【分析】根据题意求出，再求出该正多边形的一个外角，即可求出n的值． 【详解】解：∵是由一块正三角形瓷砖与三块相同的正n边形瓷砖拼成， ∴， ∴该正多边形的一个外角， ∴， 故此题答案为：12． 【关键点拨】此题主要考查了等边三角形的性质，正多边形的性质，解题的关键是掌握正多边形每个内角都相等． 10．【答案】/12度 【详解】解：∵正六边形的每个内角， 正五边形的每个内角， ∴ 11．【答案】 360 720 【分析】连接，可得，再根据四边形的内角和公式即可求解；之间添加两条边，可得，再根据边形的内角和公式即可求解；二环边形添加条边，再根据边形的内角和公式即可求解． 【详解】解：连接，则， ； 如图，之间添加两条边，可得， 则； 二环边形添加条边，二环边形的内角和成为边形的内角和．其内角和为，    故答案为：360；720；． 【点睛】本考查了多边形内角和定理：（且为整数，熟记多边形内角和定理是解题的关键． 12．【答案】(1)10 (2)8 【分析】（1）根据题意可得，然后求解即可； （2）由题意可知这个正多边形的一个外角为，然后根据正多边形外角和为可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：； （2）解：∵这个正多边形的一个内角为， ∴这个正多边形的一个外角为， ∴． 【点睛】本题主要考查正多边形的外角与内角和，熟练掌握多边形的内角和与外角和是解题的关键． 13．【答案】(1)能，小东一共走了 (2)正六边形，正六边形的内角和为 【分析】本题考查的是多边形的外角和定理应用，内角和定理的应用，理解题意是解本题的关键； （1）由每次向左转，结合回到出发点共转过可得答案； （2）由形成的六边形的每一条边都相等，每一个角都相等，可得多边形的形状，再求解内角和即可． 【详解】（1）解：∵从点出发，每走向左转， ， 小东一共走了：（）； （2）∵由（1）得多边形有六条边，且每一条边都相等， 由每个外角都为，可得六边形的每一个角都相等， ∴走过的路径是一个边长为的正六边形； ∴正六边形的内角和为：． 14．【答案】(1)30 (2)150度 【分析】（1）设这个多边形的边数为n，多加的锐角度数为x，则列得，根据n是正整数，，得到； （2）利用减去每个外角的度数，求出每一个内角的度数． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n，多加的锐角度数为x，则 ， ∵n是正整数，， ∴， 故答案为30； （2）由（1）知，这个多边形是正十二边形， ∴这个正多边形的一个内角是． 15．【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据五边形可分为三个三角形可得出结论； （2）因为对角线是连结不相邻的两个顶点之间的线段，每一个顶点都有两个相邻的顶点，所以有条对角线，三条边组成一个三角形，故可分成个三角形，问题得解． 【详解】（1）解：过五边形一个顶点的对角线，可以把五边形分成3个三角形，因为每个三角形的内角和为，故五边形的内角和为． （2）解：过六边形一个顶点的对角线，可以把五边形分成4个三角形，因为每个三角形的内角和为，故五边形的内角和为． 过七边形一个顶点的对角线，可以把七边形分成5个三角形，因为每个三角形的内角和为180°，故五边形的内角和为． …… 过n边形一个顶点的对角线，可以把n边形分成个三角形，因为每个三角形的内角和为180°，故n边形的内角和为 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 弥 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 学校:_________________________ 班级:_________________________ 姓名:_________________________ 准考证号:_________________________ 考场号:_________________________ ) ( 弥 封 线 内 不 要 答 题 ) 专项复习提升（一） 三角形 考点一 与三角形有关的线段 1．（2023陕西西安西安铁一中学·期末）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（    ） A．3cm，4cm，5cm B．8cm，7cm，15cm C．13cm，7cm，20cm D．5cm，5cm，11cm 【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【详解】解：A、3+4＞5，能组成三角形； B、8+7=15，不能组成三角形； C、13+7=20，不能够组成三角形； D、5+5＜11，不能组成三角形． 故选A． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 2．（2024陕西渭南·月考）如图，在生活中，我们经常会看见如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的（  ） A．稳定性 B．灵活性 C．对称性 D．全等性 【答案】A 【分析】根据三角形的稳定性,即得答案． 【详解】解：该做法利用了三角形的稳定性． 故此题答案为A． 3．（2024陕西西安·月考）已知一个三角形的两边长分别为和，则该三角形的第三边的长可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来求出，再结合选项的值，来进行作答即可． 【详解】解：设第三边的长为， ∵一个三角形的两边长分别为和， ∴， 即， 观察A、B、C、D四个选项，只有C选项的在范围内， 故此题答案为C． 4．（2024陕西西安·月考）为估计池塘两岸A、B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点O，测得OA＝16m，OB＝12m，那么AB的距离不可能是 （    ） A．5m B．15m C．20m D．30m 【答案】D 【分析】首先确定三角形的两边是16cm，12cm，再根据三角形三边关系确定AB的取值范围，判断即可． 【详解】根据三角形三边关系得16-12＜AB＜16+12， 即4＜AB＜28， 所以AB的距离不能是30m． 故此题答案为D． 5．（2024陕西陕西师范大学附属中学·期中）如图，是的高的线段是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】C 【详解】解：由三角形的高的定义可知，选项C中的线段是的高， 故选C． 6．（2024陕西渭南·期中）如图，在中，，，，是边上的中线，则的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 故此题答案为． 7．（2024陕西渭南·月考）王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段应该是的（    ） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．以上都不是 【答案】B 【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答． 【详解】解：由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分， ∴他所作的线段应该是的中线， 故此题答案为B． 8．（2024陕西榆林·开学摸底）如图，三边的中线，，的公共点为，若，则图中阴影部分的面积是（    ）      A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，可得，，，利用等量代换逐步推出，最后利用计算即可． 【详解】解：，，是三边的中线， ，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故此题答案为C． 9．（2024陕西西安·开学摸底）如图，在中，，，是边上的中线，点P是上的动点，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D．6 【答案】C 【分析】先求解，如图，过作于，再求解，结合垂线段最短可得答案． 【详解】解：如图，过作于， ∵，，为的中点， ∴， ∴， ∴， 当重合时，最小，最小值为； 故此题答案为C 10．（2024陕西西安·月考）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化，当为等腰三角形时，的长为（    ） A．4 B．3 C．3或4 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据题意分情况讨论即可． 【详解】解：∵当为等腰三角形时， ①当，在中，， 在中，， ∴此时； ②当，在中，，不符合三边关系， ∴此种情况舍去； 故此题答案为B． 11．（2024陕西西安高新一中·月考）如图，已知的面积为24，，点为边上一点，过点分别作于，于，若，则长为（    ） A．6 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】连接，根据三角形的面积公式即可得到，结合题意求出即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， 故此题答案为C． 12．（2024陕西西安·月考）如图，在中，是边上的一点（不与点B，C重合），点E，F是线段的三等分点，记的面积为，△ACE的面积为，若，则的面积为（　　） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】点E，F是线段的三等分点，根据同高三角形面积之比等于对应底边之比，可得出，，最后便可以求出的面积． 【详解】解：∵点E，F是线段的三等分点， ∴， ∴ 同理， ∴ ， ∵， ∴． 故此题答案为C． 13．（2023陕西西安·期末）如图，△ABC中,过顶点A的直线与边BC相交于点D，当顶点A沿直线AD向点D运动,且越过点D后逐渐远离点D，在这一运动过程中，△ABC的面积的变化情况是(     ) A．由大变小 B．由小变大 C．先由大变小,后又由小变大 D．先由小变大,后又由大变小 【答案】C 【详解】试题分析：由题意得，这个过程中△ABC的底始终不变，根据三角形的面积公式即可判断. 由题意得，这个过程中△ABC的底始终不变，则△ABC的面积的变化情况是先由大变小,后又由小变大， 故选C. 考点：本题考查的是三角形的面积公式 点评：解答本题的关键是熟练掌握三角形的面积公式，同时正确理解底不变的三角形的面积的变化特征. 14．（2024陕西西安·开学摸底）如图，在中，，，，若四边形的面积为，则的面积为（    ）    A．60 B．56 C．70 D．48 【答案】A 【分析】连接、，过点作于点，设，根据同高的三角形的面积的比等于底边的比，分别得到、、、、、，再根据四边形的面积，求出，即可得出的面积． 【详解】解：连接、，过点作于点， 设， ，，， ， ， ， 同理可得：， ， ， ， ， 同理可得：， 是的中点， 同理可得：， ， ， 同理可得：， 四边形的面积为28， ， ， ， 故此题答案为A．    15．（2024陕西渭南·月考）一木工师傅现有两根木条，木条的长分别为40 cm和30 cm，他要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架．设第三根木条长为x cm，则x的取值范围是 ． 【答案】10cm<x<70cm 【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求第三边长的范围． 【详解】三角形的第三边长大于两边之差，小于两边之和， ∴x的取值范围为：． 16．（2023陕西咸阳实验中学·月考）已知三条线段的长分别是5，5，m，它们能构成三角形，则整数m的最大值是 ． 【答案】9 【分析】利用三角形三边关系求出m的取值范围，从中找出最大的整数即可． 【详解】解：三条线段的长分别是5，5，m，若它们能构成三角形，则，即，因此整数m的最大值是9． 17．（2023陕西西安·期末）的三边，，满足且为偶数，则的周长为 ． 【答案】16或18 【分析】运用非负数和三角形三边关系确定出a，b，c的值，再代入计算. 【详解】解：∵的三边，，满足， ∴，解得， ∴，， ∴， ∵为偶数， ∴或， 当时，； 当时，； ∴的周长为16或18， 故答案为：16或18. 【点睛】此题考查了非负数和三角形三边关系的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行求解. 18．（2023陕西延安·期末）若三条边长为，，化简： ． 【答案】/ 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边得到，，再根据绝对值性质化简即可求解． 【详解】解：根据三角形的三边关系得：，， ． 19．（2022陕西西安西安市曲江第一中学·期中）在中，边上的中线将分成的两个新三角形的周长差为，与的和为，则的长为 ． 【答案】或 【分析】 根据三角形的中线的定义可得，然后求出与的周长差是与的差或与的差，然后代入数据计算即可得解． 【详解】 如图1，图2， ∵是边上的中线， ∴， ∵中线将分成的两个新三角形的周长差为， ∴或， ∴或者， ∵与的和为， ∴， ∴或， 故答案为：或． 【点睛】 本题考查了三角形的中线，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于两边长的差是解题的关键． 20．（2024陕西西安西工大附中·开学摸底）如图，在△ABC中，D为BC上的一点，E为AD上的一点，BE的延长线交AC于点F．已知，（a，b为不小于2的整数），则的值是 ． 【答案】 【分析】利用同高的三角形面积之比等于底边之比进行三角形的面积转化即可完成求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 21．（2024陕西渭南·月考）已知的三边长均为整数，的周长为奇数． （1）若，，求AB的长． （2）若，求AB的最小值． 【答案】（1）7或9；（2）6． 【分析】（1）根据三角形的三边关系求出AB的取值范围，再由AB为奇数即可得出结论； （2）根据AC﹣BC=5可知AC、BC中一个奇数、一个偶数，再由△ABC的周长为奇数，可知AB为偶数，再根据AB＞AC﹣BC即可得出AB的最小值． 【详解】（1）∵由三角形的三边关系知，AC﹣BC＜AB＜AC+BC，即：8﹣2＜AB＜8+2， ∴6＜AB＜10， 又∵△ABC的周长为奇数，而AC、BC为偶数， ∴AB为奇数，故AB=7或9； （2）∵AC﹣BC=5， ∴AC、BC中一个奇数、一个偶数， 又∵△ABC的周长为奇数，故AB为偶数， ∴AB＞AC﹣BC=5， ∴AB的最小值为6． 22．（2023陕西咸阳实验中学·月考）如图，的周长是，，中线将分为两个三角形，且的周长比的周长大1，求和的长．    【答案】， 【分析】此题考查了三角形的中线与周长，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．由是的中线，可得，由的周长比的周长大，可得，且的周长是，，可得，即可求解． 【详解】解：是的中线， ． 的周长比的周长大1， ，则． 的周长是，， ． ， ， 解得， ． 23．（2024陕西渭南·月考）某建材市场上的一种钢管的长度规格及相应价格如下表所示．某校要制作一个三角形支架的宣传牌，已经选好了两根长度分别为和的钢管（钢管不可截断使用），还需要再选一根． 规格/dm 1 2 3 4 5 6 价格/（元/根） 10 15 20 25 30 35 (1)有哪几种规格的钢管可供选择？ (2)若要求做成的三角形支架的周长为偶数，求做成三角形支架一共需要花多少钱购买钢管？ 【答案】(1)长度为、、的钢管可供选择； (2)做成三角形支架一共需要花75元购买钢管． 【分析】（1）根据三角形三边关系“三角形的两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边”即可求解； （2）根据题意求出第三边长，进而可求解． 【详解】（1）解：设第三根钢管的长度为， 则，即：， ∴长度为、、的钢管可供选择； （2）解：∵三角形支架的周长为偶数， ∴三边长分别为、、， 则花的钱数为：（元）， 答：做成三角形支架一共需要花75元购买钢管． 考点二 与三角形有关的角 1．（2024陕西汉中·期末）已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足关系式∠B+∠C＝3∠A，则此三角形（　　） A．一定有一个内角为45° B．一定有一个内角为60° C．一定是直角三角形 D．一定是钝角三角形 【答案】A 【分析】由三角形内角和定理,即可得解． 【详解】解：∵∠B+∠C+∠A＝180°，∠B+∠C＝3∠A， ∴∠B+∠C+∠A＝4∠A＝180°， ∴∠A＝45°． 故此题答案为A． 2．（2024陕西榆林·期末）如图，，交于点，连接，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，，可求出，再根据平行线的性质可求． 【详解】解：，， . ， ． 故此题答案为D． 3．（2024陕西西安·期末）如图，在中，，，平分，平分的外角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用角平分线的定义求出和，再根据三角形外角的性质求解． 【详解】解：∵，，平分，平分， ∴， ， ∴ 故此题答案为D． 【关键点拨】此题考查了三角形的外角性质，同时要运用整体的思想，关键是从这个外角看到， 根据等量代换解决此题． 4．（2024陕西西安·二模）将一直尺和一块含角的三角尺（，）按如图放置，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用三角形内角和定理可得，，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算即可解答 【详解】∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故此题答案为． 5．（2024陕西西安高新一中·临考冲刺）某品牌椅子的侧面图如图所示，与地面平行．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，利用两直线平行内错角相等得到，求解，再进一步求解即可得到答案 【详解】解：如图所示： ，， ， ∵， ∴， ∴， 故此题答案为D． 6．（2024陕西咸阳实验中学·月考）如图，将沿方向平移后，到达的位置，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】属于中考常考题型．利用平移的性质求出，再利用平角的性质解决问题即可． 【详解】解：由平移的性质可知， ， ， 故此题答案为A 7．（2024陕西西安铁一中学·期末）如图，一副三角形板按如图所示的位置摆放，其中 ， ， ， ，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长 交 于点 ，根据两直线平行，内错角相等可得 ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】解：如图，延长 交 于点 ， ， ， 在 中，由三角形的外角性质得， ． 故此题答案为C． 8．（2024陕西西安西工大附中·月考）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，为焦点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对顶角的性质得到的度数，由三角形外角的性质即可解决问题． 由平行线的性质求出，由对顶角的性质得到，由三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故此题答案为D． 9．（2024陕西西安西安铁一中学·临考冲刺）已知直线，将含有的直角三角板在这两条平行线中按如图所示的方式摆放，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，则， 由三角形外角的性质，， 故此题答案为C． 10．（2024陕西西安西安交通大学附属中学分校·临考冲刺）创新驱动发展，也使人们的生活更加便捷．如图是一款手机支撑架，我们可以通过改变面板张角的大小来调节视角舒适度．小明将该支撑架放置在水平桌面上，并调节面板的张角至视角舒适，若张角，支撑杆与桌面夹角，那么此时面板与水平方向夹角的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得：，则；然后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∵， ∴． 故此题答案为A． 11．（2024陕西汉中·月考）如图，在中，是的角平分线，，，求的度数． 【答案】70° 【分析】根据三角形外角的性质，角平分线的定义以及三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：，，． ， 是角平分线， ， 在中，． 【知识点拨】三角形的外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和. 12．（2024陕西渭南·月考）如图，四边形的内角的平分线与外角的平分线相交于点． (1)若，，求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先解得，结合角平分线的定义可得，，再结合三角形外角的性质可解得，进而可得，即可证明结论； （2）首先在四边形中解得，易得，进而可得，结合角平分线的定义可得 ，，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，平分，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：在四边形中，， ∴， ∴， 又∵，平分，， ∴，， ∴． 13．（2024陕西·期中）已知将一块直角三角板DEF放置在△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B、C． （1）∠DBC＋∠DCB＝ 度； （2）过点A作直线直线MN∥DE，若∠ACD＝20°，试求∠CAM的大小． 【答案】（1）90；(2) 110°． 【详解】试题分析：（1）在中，根据三角形内角和定理得然后把代入计算即可； 结合上问易知，又MN∥DE，两直线平行，内错角相等可得∠ABD＝∠BAN．而，两式相减，即可求得. 试题解析： （1）(1)在△DBC中,∵ 而， 故答案为90； （2）由于三角形内角和为180°， 结合上问易知， 又MN∥DE， ∴∠ABD＝∠BAN． 而， 两式相减，得：．而∠ACD＝20°，故∠CAM＝110°． 考点三 多边形及其内角和 1．（2024陕西·期中）从边形的一个顶点出发，可以作条对角线，则的值是（    ） A．12 B．10 C．9 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟记边形的一个顶点出发，可以作条对角线是解答本题的关键． 根据边形的一个顶点出发，可以作条对角线，可得，由此得到答案． 【详解】解：设多边形有条边， 则， 解得：． 故选：． 2．（2024陕西西安西安铁一中学·期末）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，就是平面图形的镶嵌．只用下面一种图形能够进行平面镶嵌的是（    ） A．正三角形 B．正五边形 C．正八边形 D．正十二边形 【答案】A 【详解】解：解：A、正三角形的内角为， ∴，是整数，故符合题意； B、正五边形的内角为， ∴，不是整数，故不符合题意； C、正八边形的内角为， ∴，不是整数，故不符合题意； D、正十二边形的内角为， ∴，不是整数，故不符合题意. 故此题答案为A． 3．（2024陕西·期中）将正六边形与正五边形按如图所示方式摆放，公共顶点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE在同一条直线上，则∠COF的度数是（　　） A．74° B．76° C．84° D．86° 【答案】C 【分析】利用正多边形的性质求出∠EOF，∠BOC，∠BOE即可解决问题． 【详解】解：由题意得：∠EOF＝108°，∠BOC＝120°，∠OEB＝72°，∠OBE＝60°， ∴∠BOE＝180°﹣72°﹣60°＝48°， ∴∠COF＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°， 故选： 4．（2022陕西西安西大附中·期末）如下图，等于（    ） A．90° B．120° C．180° D．360° 【答案】C 【分析】延长BE交AC于点G，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得，，再根据三角形内角和为180°即可求出． 【详解】延长BE，交AC于点G，如图， ∵，， ∴ 故选 C 【点睛】本题考查了三角形的角，熟练掌握三角形的外角的性质与内角和定理是解题的关键． 5．（2024陕西西安·开学摸底）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，求出正六边形的一个内角和一个外角的度数，得到，平行线的性质，得到，三角形的外角的性质，得到，进而求出的度数． 【详解】解：如图：    ∵正六边形的一个外角的度数为：， ∴正六边形的一个内角的度数为：， 即：， ∵一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，， ∴， ∴， ∴； 故此题答案为B． 6．（2022陕西西安·期末）双塔寺又名永祚寺，创建于明万历三十六年（公元1608年），现为国家级文物保护单位，由于寺内双塔高耸，故俗称双塔寺，成为太原市的标志性建筑．主塔平面呈八角，其俯视图形状为正八边形（如图所示），则该八边形一个内角的度数为 ． 【答案】135° 【分析】 首先根据多边形内角和定理：（n-2）•180°（n≥3且n为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数． 【详解】 解：正八边形的内角和为：（8-2）×180°=1080°， 每一个内角的度数为×1080°=135°． 故答案为：135°． 【点睛】 本题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n-2）•180 （n≥3）且n为整数）． 7．（2024陕西西安西工大附中·临考冲刺）如果正n边形的一个内角与一个外角的比是3：2，则 ． 【答案】5 【分析】设多边形的一个内角为3x度，一个外角则为2x度，求得外角的度数，然后根据多边形的外角和为360°，进而求出n的值． 【详解】解：∵正边形的一个内角度数与其外角度数的比是3：2， ∴设多边形的一个内角为3x度，一个外角则为2x度， ∴3x+2x＝180°， 解得x＝36°， ∴一个外角为2x＝72°， 360°÷72°＝5， ∴n＝5 8．（2024陕西西安·月考）如图，用正多边形镶嵌地面，则图中α的大小为 度．    【答案】150 【分析】进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应为，据此求出α即可． 【详解】解：∵正方形的内角为，正六边形的内角为， ∴， 解得 9．（2024陕西西安·期末）生活中，我们所见到的地面常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．如图所示是由一块正三角形瓷砖与三块相同的正n边形瓷砖拼成的无缝隙、不重叠的地面的一部分，则n的值为 ． 【答案】12 【分析】根据题意求出，再求出该正多边形的一个外角，即可求出n的值． 【详解】解：∵是由一块正三角形瓷砖与三块相同的正n边形瓷砖拼成， ∴， ∴该正多边形的一个外角， ∴， 故此题答案为：12． 【关键点拨】此题主要考查了等边三角形的性质，正多边形的性质，解题的关键是掌握正多边形每个内角都相等． 10．（2024陕西西安·开学摸底）足球有12个正五边形，20个正六边形，一共32个面．通常由黑白两种颜色组成．之所以如此设计，是因为用正六边形的两个内角和正工边形的一个内角加起来略微小于，这样由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙的大小为 ​． 【答案】/12度 【详解】解：∵正六边形的每个内角， 正五边形的每个内角， ∴ 11．（2023陕西西安西安铁一中学·临考冲刺）如图把图（a）称为二环三角形，它的内角和______度；把图（b）称为二环四形边，它的内角和______度；依此规律，请你探究：二环n边形的内角和为______度．（用含n的式子表示）    【答案】 360 720 【分析】连接，可得，再根据四边形的内角和公式即可求解；之间添加两条边，可得，再根据边形的内角和公式即可求解；二环边形添加条边，再根据边形的内角和公式即可求解． 【详解】解：连接，则， ； 如图，之间添加两条边，可得， 则； 二环边形添加条边，二环边形的内角和成为边形的内角和．其内角和为，    故答案为：360；720；． 【点睛】本考查了多边形内角和定理：（且为整数，熟记多边形内角和定理是解题的关键． 12．（2024陕西西安·开学摸底）已知一个正多边形的边数为． (1)若这个多边形的内角和为其外角和的4倍，求的值． (2)若这个正多边形的一个内角为，求的值． 【答案】(1)10 (2)8 【分析】（1）根据题意可得，然后求解即可； （2）由题意可知这个正多边形的一个外角为，然后根据正多边形外角和为可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：； （2）解：∵这个正多边形的一个内角为， ∴这个正多边形的一个外角为， ∴． 【点睛】本题主要考查正多边形的外角与内角和，熟练掌握多边形的内角和与外角和是解题的关键． 13．（2024陕西·期中）如图，小东在操场的中心位置，从点出发，每走向左转，    (1)小东能否走回点处？若能，请求出小东一共走了多少米；若不能，请说明理由． (2)小东走过的路径是一个什么几何图形？并求这个几何图形的内角和． 【答案】(1)能，小东一共走了 (2)正六边形，正六边形的内角和为 【分析】本题考查的是多边形的外角和定理应用，内角和定理的应用，理解题意是解本题的关键； （1）由每次向左转，结合回到出发点共转过可得答案； （2）由形成的六边形的每一条边都相等，每一个角都相等，可得多边形的形状，再求解内角和即可． 【详解】（1）解：∵从点出发，每走向左转， ， 小东一共走了：（）； （2）∵由（1）得多边形有六条边，且每一条边都相等， 由每个外角都为，可得六边形的每一个角都相等， ∴走过的路径是一个边长为的正六边形； ∴正六边形的内角和为：． 14．（2024陕西西安·期末）阅读小明和小红的对话，解决下列问题．    (1)这个“多加的锐角”是 度． (2)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？ 【答案】(1)30 (2)150度 【分析】（1）设这个多边形的边数为n，多加的锐角度数为x，则列得，根据n是正整数，，得到； （2）利用减去每个外角的度数，求出每一个内角的度数． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n，多加的锐角度数为x，则 ， ∵n是正整数，， ∴， 故答案为30； （2）由（1）知，这个多边形是正十二边形， ∴这个正多边形的一个内角是． 15．（2024陕西·期中）在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．三角形的内角和是180º，那么，四边形的内角和是多少度呢？如图，作四边形的对角线，它把四边形分成两个三角形，四边形的四个角的和就是这两个三角形的内角的和，因此，四边形的内角和等于． (1)过五边形一个顶点的对角线，可以把五边形分成几个三角形？它的内角和是多少度？ (2)对于六边形呢？七边形呢？……过n边形一个顶点的所有对角线，可以把n边形分成多少个三角形？n边形的内角和是多少度？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据五边形可分为三个三角形可得出结论； （2）因为对角线是连结不相邻的两个顶点之间的线段，每一个顶点都有两个相邻的顶点，所以有条对角线，三条边组成一个三角形，故可分成个三角形，问题得解． 【详解】（1）解：过五边形一个顶点的对角线，可以把五边形分成3个三角形，因为每个三角形的内角和为，故五边形的内角和为． （2）解：过六边形一个顶点的对角线，可以把五边形分成4个三角形，因为每个三角形的内角和为，故五边形的内角和为． 过七边形一个顶点的对角线，可以把七边形分成5个三角形，因为每个三角形的内角和为180°，故五边形的内角和为． …… 过n边形一个顶点的对角线，可以把n边形分成个三角形，因为每个三角形的内角和为180°，故n边形的内角和为 学科网（北京）股份有限公司 $$