24.1 圆的有关性质 随堂练习 2024-2025学年人教版数学九年级上册

24.1 圆的有关性质 一、选择题： 1.下列说法正确的是(    ) A. 等弧所对的弦相等 B. 平分弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧 C. 相等的弦所对的圆心角相等 D. 相等的圆心角所对的弧相等 2.如图，点、、、在上，，点是的中点，则的度数是(    ) A. B. C. D. 3.如图，半径为的圆形铁片上切下一块高为的弓形铁片，则弓形弦的长为(    ) A. B. C. D. 4.如图，四边形内接于，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 5.如图所示，为的弦，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 6.如图，点为线段的中点，点，，到点的距离相等，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 7.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，点是的中点，点是的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为(    ) A. B. C. D. 8.如下图，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与交于点，则的长为(    ) A. B. C. D. 9.如图，是的直径，，，则的度数是(    ) A. B. C. D. 10.如图，是的直径，点，在上，，交于点若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 11.将一个圆分割成三个扇形，使它们圆心角的度数比是：：，则最小扇形的圆心角度数是______． 12.如图，为的直径，弦于点，已知，，则的半径为          ． 13.如图，在中，于点，若，且，则          ． 14.如图，，，，是上的四个点，，则________度 15.如图，点、、在上，是的中点，交于点若，，则的度数为______． 16.如图，内接于，，的角平分线交于若，，则的长为          ． 三、解答题： 17.如图，，是的两条弦，且求证：． 18.如图，中的弦，求证：． 19.如图，四边形是的内接四边形，，为直径，，垂足为． 求证：平分； 若，，求的长． 20.如图，已知，，，是上的四点，延长，相交于点若，求证：是等腰三角形． 21.如图，的弦、的延长线相交于点，且求证：． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 根据垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系一一判断即可． 【解答】 解：、正确．本选项符合题意． B、错误．应该是平分弦此弦非直径的直径垂直弦并平分弦所对的弧，本选项不符合题意． C、错误，必须在同圆或等圆中，本选项不符合题意． D、错误．必须在同圆或等圆中，本选项不符合题意． 故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 根据圆心角、弧的关系定理得到，再根据圆周角定理解答． 【解答】 解：连接， 点是的中点， ， 由圆周角定理得，， 故选D． 3.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了垂径定理，勾股定理，掌握这些定理是关键，由题意可知，求出，根据，即可得到弦的长． 【解答】 解：如图， 由题意可知， 则， ． 故选C． 4.【答案】  【解析】解：四边形内接于， ， 由圆周角定理得，， 故选：． 根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理计算即可． 本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 根据半径相等得到，则，然后根据三角形内角和定理计算的度数． 【解答】 解：， ， ． 故选：． 6.【答案】  【解析】解：由题意得到，作出圆，如图所示， 四边形为圆的内接四边形， ， ， ， 故选：． 根据题意得到四边形共圆，利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度数． 此题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解本题的关键． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为后，用表示出的长度．根据题意，可以推出，若设半径为，则，，结合勾股定理可求出半径的值． 【解答】解：连接， 点是的中点，点是的中点， ，，，三点共线， ， 在中，， 设半径为得：， 解得：， 这段弯路的半径为． 故选A． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题关键． 【解答】 解：如图，过点作于，则， 在中，，，， ， ， ， 在直角中， ， ． 故选C． 9.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．可求得，继而可求得的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求的度数． 【解答】 解：，， ， ． 又， ， ． 故选B． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．根据圆周角定理得到，，再由得到，然后根据三角形外角性质计算的度数． 【解答】 解：是的直径， ， ， ， ， ． 故选：． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了圆的认识，解答此题的关键是由题意得出三个圆心角的和为． 将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的和为，再由三个圆心角的度数比为：：，可求出最小的圆心角度数． 【解答】 解：由题意可得，三个圆心角的和为， 又因为三个圆心角的度数比为：：， 所以最小的圆心角度数为：． 故答案为． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 连接，由垂径定理知，点是的中点，，在直角中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可． 【解答】解：连接， 为的直径，， ， 设的半径为， 则，， 在中，， ，解得：， 的半径为， 故答案为：． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是垂径定理，圆周角定理和勾股定理等知识． 先由可知，，再根据圆周角定理求出的度数，由直角三角形的性质求出的长，根据勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【解答】 解：， ，， ， ， ， ， ． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查圆周角定理和圆内接四边形性质，解题的关键是明确它们各自内容，灵活运用，解答问题．根据圆内接四边形对角互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍可以解答本题．  【解答】 解：，，，是上的四个点，， 四边形是圆内接四边形，，  ，  ， ，  故答案为． 15.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解答此题的关键． 先根据圆周角定理求出的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论． 【解答】 解：是的中点，， ． ， ． 故答案为． 16.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键． 连接，根据是的角平分线可知，故可得出，再由是的直径可知是等腰直角三角形，利用勾股定理求出的长，在中，利用勾股定理可得出的长． 【解答】 解：连接， ， 是的直径． 的角平分线交于， ， ． 是的直径， 是等腰直角三角形， ． ， ． 故答案为：． 17.【答案】证明：连接、，如图， ，，， ≌， ．  【解析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，利用圆中半径相等的隐含条件，获得全等的条件，从而利用全等的性质解决问题．已知，又，，则≌，根据全等三角形的性质知，． 18.【答案】证明：中的弦， ， ， ， ．  【解析】本题主要考查的是圆心角、弦、弧的关系，由中的弦，得到，进而得到，从而得证． 19.【答案】证明：四边形是内接四边形， ， ， ， ， ， ， 平分； 解：为直径， ， ， ， ， ， ∽， ，即， ．  【解析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质得到，根据圆周角定理得到，证明即可； 证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 20.【答案】证明：，，，是上的四点， ， 又， ， ， ， ， ，即是等腰三角形．  【解析】根据圆内接四边形的性质得到，根据等腰三角形的性质和判定即可证明结论． 本题考查圆内接四边形的性质，以及等腰三角形的判定和性质． 21.【答案】证明：连接． ， ， ， 即， ， ．  【解析】连接，由圆心角、弧、弦的关系得出，进而得出，根据等弧所对的圆周角相等得出，根据等角对等边证得． 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$