18.3平行线分三角形两边成比例同步练习2024-2025学年 北京版数学九年级上册

18.3平行线分三角形两边成比例 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，直线l1∥l2∥l3两条直线分别与l1、l2、l3，相交于点A、B、C和D、E、F，已知＝ ，则下列等式不成立（　　） A． B． C． D． 2．如图，已知四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD上的两点，且AD∥BC∥EF，AB=4BE，则DF与FC的关系是（ ） A．DF=4FC B．DF=3FC C．DF=FC D．DF=2FC 3．如图，两条直线被三条平行线所截，，，，长为（    ） A． B．6 C． D．7 4．如图，在△ABC中，D为AB上的一点，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点D作DF∥AC交BC 于点F，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，，，，则的长为（    ）． A．8 B．9 C．12 D．15 6．如图，在中，，，则（    ）． A． B． C． D． 7．如图，在平行四边形中，的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．如图在中，，，，则EC的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 9．如图，直线，直线m、n与这三条直线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，，则的长为（    ） A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4.5 10．如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、.则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 11．在中，点分别在边、上，下列比例式中能判定的是（    ） A． B． C． D． 12．如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F．若，则的长是（    ） A． B． C． D．5 二、填空题 13．如图，在中，点、分别在边、上，，， ． 14．如图，在6×6的正方形网格中，连结两格点A，B，线段AB与网格线的交点为M、N，则AM：MN：AB为 ． 15．如图,在△ABC中,若DE∥BC,=，AE=4cm，则AC的长是 . 16．如图，直线AD∥BE∥CF，它们分别交直线l1、l2于点A，B，C和点D，E，F．若AB=2，BC=4，则 的值为 ． 17．如图，在中，，，．点是中点，连接，把线段沿射线方向平移到，点在上．则线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的面积为 ． 三、解答题 18．（1）化简：﹣； （2）如图，a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别相交于点A，B，C和点D，E，F．若AB＝3，BC＝5，DE＝4，求EF的长． 19．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边AD的中点AC、BE相交于点O．设，． （1）试用、表示； （2）在图中作出在、上的分向量，并直接用、表示．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论） 20．如图，花丛中有一盏路灯，为了测量路灯离地面的高度，小明在点处竖立标杆，小明站立在点处，从点处看到标杆顶、路灯顶在一直线上（点、、也在一直线上）．已知米，米，标杆米，人的眼睛离地面的距离米．求路灯离地面的高度．    21．如图，装有某种液体的工业用桶中放置有一根搅拌棍．工人师傅为了解桶内所装液体的体积，先在搅拌棍所处桶孔位置做好标记点A，并取出；然后测得搅拌棍接触到液体部分m，搅拌棍A到底端D处的长度为，最后测量出桶的高为，圆桶内壁的底面直径为．已知桶内的液面与桶底面平行，其平面示意图如图2所示．请你根据以上数据，帮工人师傅计算出桶内所装液体的体积（结果保留π） 22．在中，，D是边上一点，F是边上一点，连接交于点E，连接，且． (1)如图1，若，，，求的长度； (2)如图2，若E为中点，连接平分，G为上一点，且，求证：； (3)如图3，若，，将沿着翻折得，点E为的中点，连接，当取得最小值时，求的面积． 23．已知四条直线、、、依次相交于O，过上的任意一点引平行于的直线交于点，过引平行于的直线交于点，过引平行于的直线交于点，过引平行于的直线交于点P．求证：． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A C B A B A B D 题号 11 12 答案 B B 1．C 【分析】直接利用平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：∵l1∥l2∥l3， ∴，故A正确 ∴，故B正确 ∴，故D正确； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，关键是利用平行线分线段成比例定理解答． 2．B 【分析】根据平行线分线段成比例来求解即可. 【详解】∵AD∥BC∥EF，AB＝4BE ∴DC＝4FC ∴DF＝3FC 故选B. 【点睛】本题考查的是平行线，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键. 3．A 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 4．C 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再把它们等量代换，即可得出答案． 【详解】解：∵DF∥AC， ∴， ∵DE∥BC， ∴四边形DECF为平行四边形， ∴DE=CF， ∴，故A正确，符合题意； ∵DE∥BC， ∴，故B正确，符合题意； ∵DE∥BC，DF∥AC， ∴，故C错误，不符合题意； ∵DE∥BC，DF∥AC， ∴， ∴，故D正确，符合题意； 故选C． 【点睛】考查了平行线分线段成比例定理，此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键． 5．B 【分析】根据，可得，再根据平行线分线段成比例，即可进行解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，则， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握两条直线被一组平行线所截的线段成比例． 6．A 【分析】根据平行线分线段成比例定理进行解答． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴AD：AB＝DE：BC， ∵AD：BD＝1：2， ∴AD：AB＝1：3， ∴DE：BC＝1：3． 故选A． 【点睛】考查平行线分线段成比例定理，对应线段一定要找准确，本题注意将AD：BD＝1：2转化为AD：AB＝1：3． 7．B 【分析】根据平行四边形的性质证得AD∥BC，AD=BC，再根据角平分线的定义和平行线的性质以及等角对等边证得AF=AB=3，BC=5，再根据平行线分线段成比例和比例性质求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴∠AFB=∠CBF， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF=∠CBF， ∴∠ABF=∠AFB， ∴AF=AB=3，又FD=2， ∴BC=AD=AF+FD=5， ∵AD∥BC， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、平行线分线段成比例定理、比例性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 8．A 【分析】根据题意知两平行线DE∥BC间的线段成比例，据此可以求得AC的长度，所以EC=AC-AE． 【详解】解：∵DE∥BC，AD=6，AB=9，AE=4， ∴，即， ∴AC=6， ∴EC=AC-AE=6-4=2； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理的理解及运用．解题时，需要根据图示求得AC的长度． 9．B 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，代入数据即可得到结论． 【详解】∵， ∴，即， 解得：． 故选B． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段可得对应线段成比例是解题的关键． 10．D 【分析】直接利用平行线分线段成比例定理得出结论． 【详解】解：∵AD∥BE∥CF， ∴A.错误，应为，故A错误； B.不符合平行线分线段成比例定理，故B错误； C.错误，应为，故C错误； D. ∵AD∥BE∥CF， ∴，即，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 11．B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理逐项判断即可． 【详解】解：如图： A、当时，不能判定，故不符合题意； B、当时，能判定，故符合题意； C、当时，不能判定，故不符合题意； D、当时，不能判定，故不符合题意； 故选：B． 12．B 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理可得，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故选：B． 13． 【分析】由，可得，根据，可得，问题随之解得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形中平行线分线段成比例的知识，掌握相应的考点知识，是解答本题的关键． 14．1：3：6 【分析】构建如图所示的图形，利用平行线分线段成比例得到，由此可解． 【详解】解：如图，利用网格构建， ∴ ， 故答案为：1：3：6． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，利用格点构造等比例线段是解题的关键． 15．10 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可． 【详解】解：∵DE∥BC，∴= =，AE=4，∴=，解得：EC=6．故AC=4+6=10． 故答案为10． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能根据定理得出比例式是解答此题的关键． 16． 【分析】求出AC=6，根据平行线分线段成比例可得=，代入可求得答案． 【详解】解：∵AB=2，BC=4， ∴AC=AB+BC=6， ∵AD∥BE∥FC， ∴===． 故答案为． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． 17．12 【分析】先在中，利用勾股定理求出的长，再根据平移的性质可得：，，从而可得四边形是平行四边形，然后利用平行线分线段成比例可得点是的中点，从而可得是的中位线，进而可得，最后利用平行四边形的面积公式进行计算，即可解答．本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，平移的性质，熟练掌握三角形的中位线定理，以及平移的性质是解题的关键． 【详解】解：，，， ， 由平移得：，， 四边形是平行四边形， ∴ ∴ 点是中点， ∴ 点是的中点， 是的中位线， ， 点是的中点， ， 四边形的面积， 故答案为：12． 18．（1）；（2）． 【分析】（1）先通分化为同分母分式，根据同分母分式减法法则计算； （2）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案． 【详解】解：（1）原式＝﹣ ＝ ＝； （2）∵a∥b∥c， ∴＝，即＝， 解得EF＝． 【点睛】本题考查了分式的计算和平行线的问题，掌握同分母分式减法法则和平行线的性质是解题的关键． 19．（1）；（2）见解析， 【分析】（1）首先证明，求出即可求解； （2）证明，求出即可解决问题． 【详解】解（1）∵ ∴ ∴ ∴； （2）∵AE∥BC， ∴， ∴， ∴ 如图所示，在、上的分向量分别为和． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，平行线的性质、平面向量等知识，解题的关键是正确理解题意，灵活运用所学知识点． 20．4米 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是过A点作，交、于点G、H，根据题意得出米，根据，得出，即，求出米，即可得出答案． 【详解】解：过A点作，交、于点G、H，如图所示：    由题意，米，米，米， ∴米， ∵， ∴， 即， 解得：米， ∴（米）， 答：路灯离地面的高度为4米． 21．桶内所装液体的体积为立方米． 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．根据油面和桶底是一组平行线，利用平行线分线段成比例定理求得，再利用圆柱的体积公式计算即可解答． 【详解】解：由题意得，， ， ，解得：， ∴桶内所装液体的体积（立方米）． 答：桶内所装液体的体积为立方米． 22．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）如图：先根据勾股定理求得，再由即可求得的长； （2）如图，延长到使得，连接，先证明得到，，则，证明，得到，则； （3）如图，连接,过A作,再根据折叠的性质可得，，，进而证明得到，说明点在线段的垂直平分线上，即，可得；再过E作可得，由平行线等分线段定理可得；再由所对 的边是斜边的一半和勾股定理可得，进而说明；然后过D作可得，进而说明，最后根据三角形的面积根式计算即可． 【详解】（1）解：如图： ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图所示，延长到使得，，连接， ∵平分， ∴， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即． （3）解：如图，连接,过A作， 由翻折的性质可知，，，， ∴， ∴ 又∵，， ∴， ∴ ∴点在线段的垂直平分线上，即和重合， ∴， 过E作交于H   ∴ ∴ ∴ ∴点E在线段的垂直平分线上 过A作交于E ,此时取最小值 ∴ ∴ ∴ ∵, ∴由所对的边是斜边的一半和勾股定理可得：， ∴ 过D作 ∴ ∴ ∴ ∴当取得最小值时，的面积为． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质与判定、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键． 23．见解析 【详解】证明：延长，分别交、于M、N． 延长交于R． 设，，， 则，． ， ． ． 而，得方程，即 把上式看作c的二次方程，有．由即得亦即． 学科网（北京）股份有限公司 $$