2024-2025学年七年级下册数学同步讲与练7.1.1两直线相交（人教版2024）

名称 概念 性质 图形 几何语言 邻补角 两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线,具有这种位置关系的两个角互为邻补角。如图,∠1与∠2，∠2与∠3，∠3与∠4，∠4与∠1都是邻补角。 邻补角互补,如图,∠1+∠2=180°， ∠2+∠3=180°， ∠3+∠4=180°， ∠4+∠1=180°。 此图形 也 称 为“相交线”模 型 因为∠1与∠2是邻补角 所以∠1+∠2=180° 注意： （1） 两角的位置关系：公共顶点，一公共边，另一边互为反向延长线。（邻） （2） 两角数量关系：和为180°。（补） 【基础练习】 【练习1-1】下列图形中，∠1与∠2是邻补角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图形中的∠1与∠2是邻补角，符合题意； B中图形中的∠1与∠2不是邻补角，不符合题意； C中图形中的∠1与∠2不是邻补角，不符合题意； D中图形中的∠1与∠2不是邻补角，不符合题意； 故选：A． 【练习1-2】如图，点O在直线上，射线与射线的夹角是，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】##75度 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了邻补角的定义,根据邻补角的性质进行计算，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 名称 概念 性质 图形 几何语言 对顶角 两个角有一个公共的顶点,并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,具有这种位置关系的两个角互为对顶角.如图, ∠1与∠3, ∠2与∠4是对顶角。 对顶角相等,如图， ∠1=∠3， ∠2=∠4。 此图形 也 称 为“相交线”模 型 因为∠1与∠3是对顶角 所以∠1=∠3 注意： （1） 两角的位置关系：公共顶点，两边分别互为反向延长线。 （2） 两角的数量关系：相等 【基础练习】 【练习2-1】图中的，是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对顶角：有公共的顶点，角的两边互为反向延长线，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：根据对等角的定义，只有C选项符合题意， 故选：C． 【练习2-2】如图，直线a、b相交，若，则的度数为___________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，解题的关键是熟练掌握对顶角相等．根据对顶角相等即可解答． 【详解】解：∵，与为对顶角， ∴． 故答案为： 【典例】下列四个选项中，与互为邻补角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解析】 【分析】只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，由此即可判断． 【详解】解：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角， 只有选项A中的与互为邻补角． 故选：A． 【变式1-1】下列图形中，与是邻补角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【解析】 【分析】邻补角是指两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角，且两个角的和为，由此即可求解． 【详解】解：、不是邻补角，原选项不符合题意； 、是对顶角，原选项不符合题意； 、是邻补角，原选项符合题意； 、不是邻补角，原选项不符合题意； 故选：． 【变式1-2】如图，直线，，相交于点，则的邻补角有 个．    【答案】2 【解析】 【分析】根据邻补角的定义即可解答． 【详解】解：根据邻可知：的邻补角是或，共2个． 故答案为：2． 方法技巧： (1)两角为邻补角,必须同时满足下列条件:一是有公共顶点;二是两角的一边为公共边，另一边互为反向延长线. (2)一个角的邻补角有两个，且这两个角互为对顶角;而一个角的对顶角只有一个. 【典例】下列各图中，与是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了对顶角的定义，根据对顶角的定义判断即可．有一个公共点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角． 【详解】解：A、的两边不是的两边的反向延长线，与不是对顶角，故该选项不合题意； B、的两边不是的两边的反向延长线，与不是对顶角，故该选项不符合题意； C、的两边分别是的两边的反向延长线，与是对顶角，故该选项符合题意； D、的两边不是的两边的反向延长线，与不是对顶角，故该选项不合题意． 故选：C． 【变式2-1】下图中，和是对顶角的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查对顶角的定义，是一个需要熟记的内容．根据对顶角的定义，分析选项可得答案． 【详解】解：根据对顶角的定义，只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线， 分析可得，只有D符合定义， 故选：D 【变式2-2】如图，和是对顶角的是（　　） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了对顶角的定义，如果两个角有公共顶点，其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角是对顶角．一般地，两条直线相交能形成两对对顶角． 【详解】解：A、和的两边不互为反向延长线，不是对顶角，不符合题意； B、和没有公共顶点，不是对顶角，不符合题意； C、和是对顶角，符合题意； D、和的两边不互为反向延长线，不是对顶角，不符合题意； 故选C． 方法技巧 识别对顶角时,可以先识别图形是不是“相交线”模型,再根据定义进行判断.判断时要抓住两个关键要素:一是顶点，二是边.先看两个角是否有公共顶点，再看两个角的两边是否分别互为反向延长线. 邻补角与对顶角对比 角的名称 特征 性质 相同点 不同点 邻补角 ①两条直线相交而成； ②有一个公共顶点； ③有一条公共边 邻补角互补 ①都是两条直线相交而成的角； ②都有一个公共顶点； ③都是成对出现的. 2 有无公共边； ②两直线相交时，对顶角只有2对；邻补角有4对. 对顶角 ①两条直线相交形成的角； ②有一个公共顶点； ③没有公共边. 对顶角相等 【典例】如图，直线相交于点O，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了邻补角的定义，由邻补角的性质得，结合求出，然后利用对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴ 故选C 【变式3-1】如图，直线与相交于点平分，且，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，邻补角，掌握角平分线、邻补角的意义以及图形中角的和差关系是正确解答的关键．根据平角的意义求出，再根据角平分线的定义得出，由角的和差关系可得答案． 【详解】∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴． 故选：A． 【变式3-2】如图，直线AB、CD、EF相交于点O，∠COE＝2∠AOE，已知∠BOC＝105°，那么∠BOF等于(　　) A. 75° B. 50° C. 45° D. 25° 【答案】D 【解析】 【分析】根据邻补角的定义求出∠AOC，再求出∠AOE，再根据对顶角相等求解即可． 【详解】∵∠BOC＝105°， ∴∠AOC＝−∠BOC＝− ∵∠COE＝2∠AOE， ∴∠AOE＝× ∴∠BOF＝∠AOE＝. 故选D. 【典例】如图是一把剪刀的示意图，我们可想象成一个相交线模型，若∠AOB+∠COD＝72°，则∠AOB＝ ． 【答案】36°/36度 【解析】 【分析】根据对顶角相等即可求解． 【详解】由题意得，为对顶角， ， ， 故答案为：． 【变式4-1】如图，直线AB与CD相交于点O，若，则等于（ ） A. 40° B. 60° C. 70° D. 80° 【答案】A 【解析】 【分析】根据对顶角的性质，可得∠1的度数． 【详解】解：由对顶角相等，得 ∠1=∠2，又∠1+∠2=80°， ∴∠1=40°． 故选：A． 【变式4-2】如图，将一副三角板按不同位置摆放，其中和不一定相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了余角和对顶角的性质，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力．根据对顶角和余角的性质即可判断． 【详解】解：A、∠α与∠β互余，但不一定相等，故本选项符合题意； B、根据同角的余角相等，则和一定相等，故本选项不合题意； C、根据等角的余角相等，则和一定相等，故本选项不合题意； D、根据对顶角相等，则和一定相等，故本选项不合题意； 故选：A． 方法技巧： 已知角与所求的角都存在于“相交线”模型中,联想邻补角和对顶角,直接运用它们的性质解决问题. 【典例】如图，直线a，b相交于点O，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对顶角的定义，邻补角的定义，根据对顶角的定义，得，再根据邻补角的定义即可． 详解】解：， ， ． 故选：B． 【变式5-1】如图，直线a、b相交于点O，若，则__________度． 【答案】160 【解析】 【分析】本题考查了对顶角相等以及领补角互补的性质，先由对顶角相等，得出，再根据领补角互补的性质，列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，且为对顶角 ∴ ∵ ∴ 故答案为：160 【变式5-2】如图，直线相交于点O，平分． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义，邻补角的定义． （1）由角平分线的定义可求出，再根据对顶角相等即可求解； （2）设，则，根据，可列出关于x的方程，解出x的值，即可求出的大小，再根据（1）同理即可求出的大小． 【小问1详解】 解：平分， ， ； 【小问2详解】 解：设，则， 根据题意得， 解得：， ， ， ． 方法技巧 在“相交线”模型中,当一对对顶角或一对邻补角之间存在某些数量关系时,常利用对顶角、邻补角的性质,适当采用方程的思想求解或说理，是一种常用的方法。 1.下列图形中，与是邻补角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据邻补角的定义：若两个角有一条公共边以及共同的顶点，且相加等于，那么这两个角被称作一对邻补角；进行判断即可． 【详解】解：A、B中的两个角不存在公共边，不是邻补角； C中的两个角的和不等于，故不是邻补角； D中的两个角是邻补角，故正确． 故选：． 2.下列各图中，∠1与∠2属于对顶角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了对顶角的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．根据对顶角的定义逐一判断即可求解． 【详解】解：A．与不属于对顶角，故A选项不符合题意； B．与不属于对顶角，故B选项符合题意； C．与属于对顶角，故C选项不符合题意； D．与不属于对顶角，故D选项不符合题意， 故选C． 3.如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB=35°，则∠AOD等于( ) ． A. 35° B. 70° C. 110° D. 145° 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据角平分线定义可得∠BOD=2∠BOC=70°，再根据邻补角的性质可得∠AOD的度数． 【详解】∵OC平分∠DOB，∠COB=35° ∴∠BOD=2∠COB=2×35°=70° ∴∠AOD=180°-70°=110° 故选：C． 4.如图，已知直线和相交于点，，若平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，对顶角的性质，由垂直可得，由角平分线可得，再由对顶角即可得到的度数，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解： ∵平分， ∴， ∴， 故选：． 5.下面四个图形中，∠1=∠2一定成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】A．∠1、∠2是邻补角，∠1+∠2=180°；故本选项错误； B．∠1、∠2是对顶角，∠1=∠2；故本选项正确； C．根据平行线的性质：同位角相等，同旁内角互补，内错角相等；故本选项错误； D．根据三角形的外角一定大于与它不相邻的内角；故本选项错误． 故选：B． 6.如图，两直线相交于一点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查对顶角，邻补角，先根据对顶角相等得出，再根据邻补角即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：D． 7.如图，过直线AB上一点O作射线，，平分，则的度数为__________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】先根据，求出，再根据平分，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴． 故答案为：． 8.如图，，，平分，，则__________度． 【答案】55 【解析】 【分析】设，则，根据题意，列方程求解即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即 解得，即， 故答案为：． 9.如图，直线和相交于点O，，则的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】此题考查了对顶角相的知识，由，得到，利用对顶角相等即可得到答案． 【详解】解： ∵， ∴ ∴ 故答案为： 10.如图，直线，，交于点O，∠1=32°，∠2=48°，则∠3=_________． 【答案】100°##100度 【解析】 【分析】先根据平角的定义求出∠4的度数，再根据对顶角相等即可求出∠3的度数． 详解】解：∵∠1=32°，∠2=48°， ∴∠4=180°-∠1-∠2=100°， ∴∠3=∠4=100°， 故答案为：100°． 11.探究并回答下列问题：三条直线两两相交，图形中共有 对对顶角（平角除外）；有 对邻补角；在探索过程中，可以得出，一个角的对顶角有 个，邻补角最多有 个，而补角则可以有 个；从而两条相交直线，能形成 组对顶角， 组邻补角． 【答案】 6 12 一 两 无数 两 四 【解析】 【分析】根据对顶角、邻补角、以及补角的定义即可求解． 【详解】解：三条直线两两相交，共有6对对顶角，12对邻补角； 一个角的对顶角有一个，邻补角最多有两个，而补角则可以有无数个； 两条相交直线，能形成2组对顶角，4组邻补角． 故答案为：6；12；一；两；无数；两；四． 12.如图，直线相交于点O，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查对顶角，角平分线的定义．由对顶角的定义得到，根据，即可求解； 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴． 13.如图，直线，相交于点O，平分，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的度数，再由角平分线的定义得出，继而根据，可得出答案． 【详解】解：∵， ∴（对顶角相等）， ∵平分， ∴， ∴． 14.如图，直线相交于点O，，平分． （1）证明：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了几何图形中的角的计算，用到了角平分线的定义、对顶角的性质、垂直的定义、邻补角等知识，熟练掌握各角之间的关系是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，又由，，得到，结论得证； （2）由，根据得到，根据对顶角相等即可得到的度数． 【小问1详解】 证明：∵，平分， ∴，， ∵， ∴， 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ． 15.某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：如图1，O是直线上的一点，在直线上方，且，平分． （1）若，求的度数． （2）若，则的度数为______（用含有的式表示）． 拓展应用： 如图2，若在直线下方，，其他条件不 ①请用含有的式子表示的度数； ②若，求的度数． 【答案】问题提出：（1）；（2），拓展应用：①，② 【解析】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）根据平角的定义得到，再由角平分线的定义得到，即可；同（1）求解即可； （2）①根据平角的定义得到，再由角平分线的定义得到，即可②根据①的结论结合建立方程求解即可． 【详解】解：问题提出：（1）， ， 平分， ， ， ； （2）， ， 平分， ， ， ； 故答案为：； 拓展应用：①， ， 平分， ， ， ； ②，，， ， ， ． 1.（2023 •山东日照中考真题）如图，直线相交于点O．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查对顶角的定义，几何中角度的计算，由对顶角相等得到，即可解答． 【详解】解：， ． 故选：B． 试卷第 1 页，共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 名称 概念 性质 图形 几何语言 邻补角 两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线,具有这种位置关系的两个角互为邻补角。如图,∠1与∠2，∠2与∠3，∠3与∠4，∠4与∠1都是邻补角。 邻补角互补,如图,∠1+∠2=180°， ∠2+∠3=180°， ∠3+∠4=180°， ∠4+∠1=180°。 此图形 也 称 为“相交线”模 型 因为∠1与∠2是邻补角 所以∠1+∠2=180° 注意： 1. 两角的位置关系：公共顶点，一公共边，另一边互为反向延长线。（邻） 1. 两角数量关系：和为180°。（补） 【基础练习】 【练习1-1】下列图形中，∠1与∠2是邻补角的是（ ） A. B. C. D. 【练习1-2】如图，点O在直线上，射线与射线的夹角是，则的度数（ ） A. B. C. D. 名称 概念 性质 图形 几何语言 对顶角 两个角有一个公共的顶点,并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,具有这种位置关系的两个角互为对顶角.如图, ∠1与∠3, ∠2与∠4是对顶角。 对顶角相等,如图， ∠1=∠3， ∠2=∠4。 此图形 也 称 为“相交线”模 型 因为∠1与∠3是对顶角 所以∠1=∠3 注意： 1. 两角的位置关系：公共顶点，两边分别互为反向延长线。 1. 两角的数量关系：相等 【基础练习】 【练习2-1】图中的，是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 【练习2-2】如图，直线a、b相交，若，则的度数为___________． 【典例】下列四个选项中，与互为邻补角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式1-1】下列图形中，与是邻补角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式1-2】如图，直线，，相交于点，则的邻补角有 个．    方法技巧： (1)两角为邻补角,必须同时满足下列条件:一是有公共顶点;二是两角的一边为公共边，另一边互为反向延长线. (2)一个角的邻补角有两个，且这两个角互为对顶角;而一个角的对顶角只有一个. 【典例】下列各图中，与是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 【变式2-1】下图中，和是对顶角的是（　　） A. B. C. D. 【变式2-2】如图，和是对顶角的是（　　） A. B. C D. 方法技巧 识别对顶角时,可以先识别图形是不是“相交线”模型,再根据定义进行判断.判断时要抓住两个关键要素:一是顶点，二是边.先看两个角是否有公共顶点，再看两个角的两边是否分别互为反向延长线. 邻补角与对顶角对比 角的名称 特征 性质 相同点 不同点 邻补角 ①两条直线相交而成； ②有一个公共顶点； ③有一条公共边 邻补角互补 ①都是两条直线相交而成的角； ②都有一个公共顶点； ③都是成对出现的. 1. 有无公共边； ②两直线相交时，对顶角只有2对；邻补角有4对. 对顶角 ①两条直线相交形成的角； ②有一个公共顶点； ③没有公共边. 对顶角相等 【典例】如图，直线相交于点O，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【变式3-1】如图，直线与相交于点平分，且，则为（ ） A. B. C. D. 【变式3-2】如图，直线AB、CD、EF相交于点O，∠COE＝2∠AOE，已知∠BOC＝105°，那么∠BOF等于(　　) A. 75° B. 50° C. 45° D. 25° 【典例】如图是一把剪刀的示意图，我们可想象成一个相交线模型，若∠AOB+∠COD＝72°，则∠AOB＝ ． 【变式4-1】如图，直线AB与CD相交于点O，若，则等于（ ） A. 40° B. 60° C. 70° D. 80° 【变式4-2】如图，将一副三角板按不同位置摆放，其中和不一定相等的是（ ） A. B. C. D. 方法技巧： 已知角与所求的角都存在于“相交线”模型中,联想邻补角和对顶角,直接运用它们的性质解决问题. 【典例】如图，直线a，b相交于点O，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【变式5-1】如图，直线a、b相交于点O，若，则__________度． 【变式5-2】如图，直线相交于点O，平分． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 方法技巧： 在“相交线”模型中,当一对对顶角或一对邻补角之间存在某些数量关系时,常利用对顶角、邻补角的性质,适当采用方程的思想求解或说理，是一种常用的方法。 1.下列图形中，与是邻补角的是（ ） A. B. C. D. 2.下列各图中，∠1与∠2属于对顶角的是（ ） A. B. C. D. 3.如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB=35°，则∠AOD等于( ) ． A. 35° B. 70° C. 110° D. 145° 4.如图，已知直线和相交于点，，若平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5.下面四个图形中，∠1=∠2一定成立的是( ) A. B. C. D. 6.如图，两直线相交于一点，若，则（ ） A. B. C. D. 7.如图，过直线AB上一点O作射线，，平分，则的度数为__________． 8.如图，，，平分，，则__________度． 9.如图，直线和相交于点O，，则的度数为________． 10.如图，直线，，交于点O，∠1=32°，∠2=48°，则∠3=_________． 11.探究并回答下列问题：三条直线两两相交，图形中共有 对对顶角（平角除外）；有 对邻补角；在探索过程中，可以得出，一个角的对顶角有 个，邻补角最多有 个，而补角则可以有 个；从而两条相交直线，能形成 组对顶角， 组邻补角． 12.如图，直线相交于点O，，，求的度数． 13.如图，直线，相交于点O，平分，，，求的度数． 14.如图，直线相交于点O，，平分． （1）证明：； （2）若，求的度数． 15.某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：如图1，O是直线上的一点，在直线上方，且，平分． （1）若，求的度数． （2）若，则的度数为______（用含有的式表示）． 拓展应用： 如图2，若在直线下方，，其他条件不 ①请用含有的式子表示的度数； ②若，求的度数． 1.（2023•山东日照中考真题）如图，直线相交于点O．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 试卷第 1 页，共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$