精品解析：山东省临沂市五校2024-2025学年八年级上学期12月自测数学试题

2024-2025学年度八年级数学第二次月考卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共36分） 1. 点P(3，－2)关于y轴的对称点的坐标是(　　) A. (－3，－2) B. (3，2) C. (－3，2) D. (－3，1) 【答案】A 【解析】 【详解】分析：关于y轴对称的两个点横坐标互为相反数，纵坐标相等． 详解：P(3，－2)关于y轴对称的点坐标为：(－3，－2)， 故选A． 点睛：本题主要考查的是关于y轴对称的两个点之间的关系，属于基础题型．明确对称点的性质是解题的关键． 2. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案． 【详解】解：A、x2+x2=2x2，故此选项错误； B、x6÷x2=x4，故此选项错误； C、x2•x3=x5，正确； D、（2x）3=8x3，故此选项错误； 故选C． 【点睛】本题考查积的乘方运算以及同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 3. 多项式与多项式的公因式是在（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用完全平方公式、平方差公式把两个多项式分解因式，然后找出公因式即可． 本题考查了公因式，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 【详解】解：，， ∴多项式与多项式的公因式是， 故选：A． 4. 若（2x﹣a）（x+5）的积中不含x的一次项，则a的值为（　　） A. ﹣5 B. 0 C. 5 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据多项式与多项式相乘的法则计算，根据题意列方程，解方程即可． 【详解】（2x-a）（x+5） =2x2+10x-ax-5a =2x2+（10-a）x-5a 由题意得，10-a=0， 解得，a=10， 故选D． 【点睛】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 5. 如图，点在上，相交于点，添加下列哪一个条件，不能得到的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，根据全等三角形的判定定理进行分析即可． 【详解】解： 当时，利用可得，故A不符合题意； 当时，可得，利用可得，故B不符合题意； 当时，利用可得，故C不符合题意； 当时，无法证明，故D符合题意； 故选：D． 6. 下列各式能用平方差公式分解因式的有( ) ①x2+y2；②x2﹣y2；③﹣x2﹣y2；④﹣x2+y2；⑤﹣x2+2xy﹣y2． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【详解】能用平方差公式分解因式的有；②x2-y2；④-x2+y2；，共2个， 故选C． 7. 如图，在中，平分，交于点，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积，利用三角形面积求出的长，再根据角平分线性质得出即可得出结果． 【详解】解：， ， ， 在中，平分，， ， 故选：A． 8. 若，，则的值为（ ） A. 24 B. 81 C. 9 D. 75 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法法则和幂的乘方法则，即可求解． 【详解】∵， ∴，即：， ∴=， 故选C． 【点睛】本题主要考查同底数幂的除法法则和幂的乘方法则，熟练掌握上述法则，是解题的关键． 9. 观察如图所示的两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，则，的值可能分别是（　　） A. ， B. ，4 C. 3， D. 3，4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查完了多项式乘多项式的法则的运用，多项式与多项式相乘，根据题意，即可得出，，进而得到，的值可能分别是，． 【详解】解：根据题意，知：，， ∴，的值可能分别是，， 故选：A． 10. 如图，已知，按以下步骤作图： ①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线MN交AB于点，连接CD．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，可求得的度数，又由题意可得为的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，则可求得的度数，据此即可解题． 【详解】解：，， ， 由题知，直线为的垂直平分线， ， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质及其尺规作图，三角形外角的性质，三角形内角和定理，数轴相关知识是解题的关键． 11. 如图，在中，和的平分线相交于点F，过F作 ，交于点D，交于点E．若，，则线段的长为（　　） A. 3 B. 4 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据角平分线的性质，可得，，根据平行线的性质，等腰三角形的判定，可得解答即可； 本题是三角形的综合题，考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：和的平分线相交于点F， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴ ∴， ∵，， ∴， 故选A． 12. 如图，在中，，BC边上的高，E是AD上的一个动点，F是边AB的中点，则的最小值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【详解】连接CE， ∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线 ∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC， ∴EB=EC， 当C. F. E三点共线时，EF+BE=EF+EC= CF， ∵等边△ABC中，F是AB边的中点， ∴AD=CF=8， ∴EF+BE的最小值为8， 故选D. 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键.解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共12分） 13. 计算的结果是______；的值是______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方运算及零指数幂，正确将原式变形是解题的关键．直接利用积的乘方运算法则和零指数幂化简得出答案． 【详解】解： ； 故答案为：，． 14. 如果是一个完全平方式，那么常数_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方式的形式可知，该式子首项为的平方，尾项为5的平方，则中间项为±×5，可得结果. 【详解】∵是一个完全平方式 ∴ ∴ 【点睛】本题考查完全平方公式，熟记公式的形式，找出首项和尾项的底数是关键. 15. 若a2＋2ab＋b2﹣c2＝10，a＋b＋c＝5，则a＋b﹣c值是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据完全平方公式以及平方差公式将a2＋2ab＋b2﹣c2＝10进行因式分解，再整体代入求值即可． 【详解】解：a2＋2ab＋b2﹣c2＝10， （a＋b）2﹣c2＝10， （a＋b＋c）（a＋b﹣c）＝10， ∵a＋b＋c＝5， ∴5（a＋b﹣c）＝10， ∴a＋b﹣c＝2； 故答案为：2． 【点睛】本题考查代数式化简求值、因式分解、完全平方公式和平方差公式，熟记公式，利用整体代入思想求解是解答的关键． 16. 根据，，，…的规律，则可以得出…的末位数字是________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据题中规律，得出…=，再根据的末位数字的规律得出答案即可． 【详解】解：∵(2-1)(…)= ， ∴…=， 又∵，末位数字为1；，末位数字为3；，末位数字为7；，末位数字为5；，末位数字为1；，末位数字为3，…… 可发现末尾数字是以4个一次循环， ∵， ∴末位数字是5， 故答案为5． 【点睛】本题考查了乘法公式中的规律探究问题，根据题中的等式找出规律是解题的关键． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了乘法公式，涉及完全平方公式、平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据完全平方公式、平方差公式计算，然后合并同类项即可； （2）先根据平方差公式计算，再根据完全平方公式计算即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 18. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了提取公因式法与公式法的综合应用，熟练掌握因式分解是关键． （1）先提取公因数3，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）连续两次利用平方差公式分解因式即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解： ． 19. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． （1）请作出关于轴对称的△； （2）在轴上找一点，使最小．（保留作图痕迹，在图中标出点） 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）分别作出A，B，C关于y轴的对应点，依次连接三点即可； （2）在（1）所作的图中，连接交y轴于点P，点即为所求作． 【详解】（1）如图，△即为所求作． （2）如图，连接交y轴于点P，点即为所求作． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中轴对称变换、两点间线段最短等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20. 如图所示，若 MP和 NQ 分别垂直平分AB和 AC． （1）若△APQ的周长为12，求 BC的长； （2）∠BAC=105°，求∠PAQ 的度数． 【答案】（1）12；（2）30°． 【解析】 【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质证PA=PB，QA=AC． （2）结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解． 【详解】解：（1）∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC， ∴AP＝BP，AQ＝CQ． ∴△APQ的周长为AP＋PQ＋AQ＝BP＋PQ＋CQ＝BC． ∵△APQ的周长为12， ∴BC＝12． （2）∵AP＝BP，AQ＝CQ， ∴∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ． ∵∠BAC＝105°， ∴∠BAP＋∠CAQ＝∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝180°－105°＝75°． ∴∠PAQ＝∠BAC－(∠BAP＋∠CAQ)＝105°－75°＝30°． 21. 【发现】一个两位数的十位上的数字为，个位上的数字为，且，若将其十位上的数字与个位上的数字调换位置，得到一个新的两位数，则这两个数的平方差是的倍数． 【解决问题】 （1）用含的代数式表示：原来的两位数为__________，新的两位数为__________； （2）使用因式分解的方法说明【发现】中的结论正确． 【答案】（1）； （2）过程见解析 【解析】 【分析】（1）根据十位上的数字为，且，则个位上的数字为，再根据两位数的表示方法列出代数式即可得出答案； （2）先计算这两个数的平方差，再进行判断即可． 【小问1详解】 解：∵一个两位数的十位上的数字为，个位上的数字为，且， ∴， ∴原来的两位数为：， 将其十位上的数字与个位上的数字调换位置，得到一个新的两位数， 则新的两位数为：， 故答案为：；； 【小问2详解】 根据题意，得： ， ∵是整数， ∴能被整除，即【发现】中的结论正确． 【点睛】本题考查整式的加减运算，因式分解的应用，平方差公式，列代数式．会用代数式表示出新数和原数是解题的关键． 22. 如图，点C是线段AB上一点，分别以AC和BC为边在线段AB的同侧作等边△ACD和△BCE，连结AE和BD，相交于点F. （1）求证：AE=BD； （2）如图2.固定△BCE不动，将等边△ACD绕点C旋转（△ACD和△BCE不重叠），试问∠AFB的大小是否变化?请说明理由； （3）在△ACD旋转的过程中，以下结论：①CG=CH；② GF=HF； ③FC平分分∠GCH；④FC平分∠GFH；一定正确的有 （填写序号，不要求证明） 【答案】（1）见解析；（1）∠AFB的大小不变，理由见解析；（3）④ 【解析】 【分析】(1)由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠BCD，进而利用SAS得出△ACE≌△DCB进而得出答案； (2)由△ACE≌△DCB得∠CBD=∠CEA，由三角形内角和定理得到结论∠AFB=180°-∠ACD=120°． (3)根据等边三角形的性质，全等的判定与性质以及角平分线判定定理依次判断. 【详解】（1）证明：∵根据等边三角形的性质，可得∠ACD=∠BCE， ∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠ECD， 即∠ACE=∠BCD． 在△ACE与△DCB中， ∴△ACE≌△DCB（SAS）， ∴AE=BD； （2）解：∠AFB的大小不变，理由如下： ∵△ACE≌△DCB， ∴∠CAE=∠CDB． ∵∠ADF=∠ADC+∠CDB， ∴∠ADF=∠ADC+∠CAE， 又∵∠AFB=∠FAD+∠ADF， ∴∠AFB=∠FAD+∠ADC+∠CAE， ∴∠AFB=∠DAC+∠ADC. 又∵∠DAC+∠ADC+∠ACD=180°， ∴∠DAC+∠ADC=180°-∠ACD， ∴∠AFB=180°-∠ACD， ∵∠ACD=60°， ∴∠AFB=120°. 所以∠AFB大小不变. （3）①②③在图1特殊情况下才成立，不一定正确； ④如图，过C作CM⊥AE于M，CN⊥BD于N， ∵△ACE≌△DCB， ∴BD=CE, S△ACE=S△DCB. ∴△BCD中BD边上高与△ACE中AE边上的高对应相等， 即CM=CN， ∴点C在∠AFB的角平分线上， 即FC平分∠GFH，故④正确. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及其性质、三角形内角和定理等知识，本题还综合了旋转的知识点，是一道综合性比较强的题，要熟练掌握等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度八年级数学第二次月考卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共36分） 1. 点P(3，－2)关于y轴对称点的坐标是(　　) A. (－3，－2) B. (3，2) C. (－3，2) D. (－3，1) 2. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 3. 多项式与多项式的公因式是在（ ） A. B. C. D. 4. 若（2x﹣a）（x+5）的积中不含x的一次项，则a的值为（　　） A. ﹣5 B. 0 C. 5 D. 10 5. 如图，点在上，相交于点，添加下列哪一个条件，不能得到的是（ ） A B. C. D. 6. 下列各式能用平方差公式分解因式的有( ) ①x2+y2；②x2﹣y2；③﹣x2﹣y2；④﹣x2+y2；⑤﹣x2+2xy﹣y2． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 7. 如图，在中，平分，交于点，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 若，，则的值为（ ） A. 24 B. 81 C. 9 D. 75 9. 观察如图所示两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，则，的值可能分别是（　　） A ， B. ，4 C. 3， D. 3，4 10. 如图，已知，按以下步骤作图： ①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线MN交AB于点，连接CD．若，，则度数为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，和的平分线相交于点F，过F作 ，交于点D，交于点E．若，，则线段的长为（　　） A. 3 B. 4 C. D. 2 12. 如图，在中，，BC边上的高，E是AD上的一个动点，F是边AB的中点，则的最小值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共12分） 13. 计算的结果是______；的值是______． 14. 如果是一个完全平方式，那么常数_________. 15. 若a2＋2ab＋b2﹣c2＝10，a＋b＋c＝5，则a＋b﹣c的值是_____． 16. 根据，，，…的规律，则可以得出…的末位数字是________． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 因式分解： （1） （2） 19. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． （1）请作出关于轴对称的△； （2）在轴上找一点，使最小．（保留作图痕迹，在图中标出点） 20. 如图所示，若 MP和 NQ 分别垂直平分AB和 AC． （1）若△APQ的周长为12，求 BC的长； （2）∠BAC=105°，求∠PAQ 的度数． 21. 【发现】一个两位数的十位上的数字为，个位上的数字为，且，若将其十位上的数字与个位上的数字调换位置，得到一个新的两位数，则这两个数的平方差是的倍数． 【解决问题】 （1）用含的代数式表示：原来的两位数为__________，新的两位数为__________； （2）使用因式分解的方法说明【发现】中的结论正确． 22. 如图，点C是线段AB上一点，分别以AC和BC为边在线段AB的同侧作等边△ACD和△BCE，连结AE和BD，相交于点F. （1）求证：AE=BD； （2）如图2.固定△BCE不动，将等边△ACD绕点C旋转（△ACD和△BCE不重叠），试问∠AFB的大小是否变化?请说明理由； （3）在△ACD旋转的过程中，以下结论：①CG=CH；② GF=HF； ③FC平分分∠GCH；④FC平分∠GFH；一定正确的有 （填写序号，不要求证明） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$