专题6.2 期末检测综合压轴题分类专题（考点梳理与分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（浙教版）

专题6.2 期末检测综合压轴题分类专题（考点梳理与分类讲解） 第一部分【考点目录】 1、 选择填空题（常考综合题） 【考点1】利用全等三角形性质与判定求值.......................................2 【考点2】利用线段垂直平分线、角平分线性质与判定求值.........................4 【考点3】利用等腰三角形、直角三角形性质与判定求值...........................6 【考点4】利用勾股定理解直角三角形...........................................8 【考点5】作图题中求线段与角................................................11 【考点6】一次函数图象与性质综合............................................13 【考点7】坐标与图形+一次函数与几何问题.....................................15 2、 解答题（常考综合题） 【考点8】解不等式（组）....................................................19 【考点9】勾股定理+全等三角形...............................................20 【考点10】线段垂直平分线+角平分线+等腰三角形...............................23 【考点11】一次函数的图象与性质.............................................27 【考点12】一次函数与几何问题...............................................30 三、选择填空题（常考压轴题） 【考点13】折叠问题.........................................................33 【考点14】动点问题.........................................................37 【考点15】最值问题.........................................................40 【考点16】规律问题.........................................................43 【考点17】不等式（组）参数问题.............................................46 3、 解答题（常考压轴题） 【考点18】几何图形探究性问题...............................................47 【考点19】平面直角坐系中探究性问题.........................................52 【考点20】一次函数与几何问题探究题.........................................55 第二部分【考点展示与方法点拨】 【考点1】利用全等三角形性质与判定求值 【1-1】（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）如图，由9个完全相同的小正方形拼接而成的网格，图形中各个顶点均为格点，设，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查网格中的全等图形、三角形外角的性质，根据全等三角形的判定与性质可得，从而可得，再根据三角形外角的性质可得，即可求解． 解：如图，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【1-2】（23-24八年级上·贵州毕节·期末）如图，四边形是等腰梯形，上底，过点作，且，连接．若的面积为，则的长为 ．    【答案】30 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，等腰梯形的性质等等，过点E作交延长线与F，过点D作于G，过点C作于H，先根据三角形面积公式求出，证明，得到，再证明，得到，进一步证明，则． 解：如图所示，过点E作交延长线与F，过点D作于G，过点C作于H， ∵的面积为，， ∴， ∴， ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 故答案为：30．    【考点2】利用线段垂直平分线、角平分线性质与判定求值 【2-1】（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，直线，点A是直线m上一点，点B是直线n上一点，与直线m，n均不垂直，点P为线段的中点，直线l分别与m，n相交于点C，D，若，m，n之间的距离为2，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，延长交于点，过点作，证明，得到，进而得到，证明，得到，再根据等积法，得到，等量代换，即可得出结果． 解：延长交于点，过点作， ∵， ∴，， ∴，， ∵点P为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 【2-2】（22-23七年级下·贵州·期末）如图，已知，射线平分，过点E作于点H，作于点F，并延长交于点G，连接．若，则的长为 ．    【答案】2 【分析】先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义和“等角的余角相等”可得，再由，可得，由角平分线的性质可得，即可求出的长． 解：， ， 即． ，     ， ． ∵平分， ， ， ∴平分． ， ． ， ， ∴． 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，“等角对等边”．熟练掌握以上知识，且证明平分是解题的关键． 【考点3】利用等腰三角形、直角三角形性质与判定求值 【3-1】（24-25八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，是等边三角形，点，，，…在射线BC上，且…，分别以，，，…为腰在射线上方作等腰，，，…，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，图形类变化规律问题， 根据等边三角形的性质得，再根据等腰三角形的性质得出底角的变化特点，根据变化规律得出答案． 解：∵是等边三角形， ∴． ∵，，，…均为等腰三角形，且，，，…为腰， ∴，，，……以此类推， ． 故选：B． 【3-2】（24-25八年级上·浙江温州·期中）两个直角三角形积木和按如图所示摆放在水平桌面上，已知，，把下端挂有铅锤的细绳的上端拴在直角顶点处，则 °． 【答案】 【分析】延长交于点，交于点，由题意可得，根据直角三角形的两锐角互余得再利用三角形的外角性质即可得解。 解：延长交于点，交于点， 由题意可得， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为： 【3-3】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，是与的斜边，，，位于的异侧，是的中点，连接，，，若，，则的大小是 ．    【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质和三角形外角的性质以及等腰三角形的性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据直角三角形的性质得到，所以，进而求出的度数，再根据等腰三角形的性质得到，即可求出的度数． 解：点是的斜边的中点， ， ， ， 点是的斜边的中点，， ， ， ， 故答案为：． 【考点4】利用勾股定理解直角三角形 【4-1】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，，，，垂足分别为、、，若，，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据直角三角形的性质、勾股定理求出，，根据证明，进而利用全等三角形的性质解答即可． 解：，，， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：1． 【4-2】（24-25八年级上·江苏·期末）如图，在中，，，，为等腰直角三角形，直角顶点在线段上运动，当点运动到中点时，的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用勾股定理求得的长，作交的延长线于点，证明，推出，利用三角形的面积公式求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵，，， ∴， ∵是中点， ∴， 作交的延长线于点， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 【考点5】作图题中求线段与角 【5-1】（24-25八年级上·四川·期中）如图，在中，，以适当长为半径画弧，交于点M，交延长线于点N；分别以点M、N为圆心，以大于，两弧交于点P，作射线交的延长线于点D．过点D作交的延长线于点F，，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查作图—角平分线，三角形全等的判定和性质，勾股定理．由作图过程判断出为的平分线是解题关键．根据题意可知为的平分线，易证，再结合勾股定理求解即可． 解：由作图过程可知，为的平分线， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得， ∴． 设，则． 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴． 故答案为：6． 【5-2】（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，以B为圆心，适当长为半径画弧交于点M，交于点N，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，射线交于点E，点F为的中点，连接，若，则的长是 . 【答案】 【分析】本题考查角平分线尺规作图，等腰三角形底边上三线合一，勾股定理，直角三角形斜边上中线等于斜边一半，根据题意综合运用这些知识点是解题关键． 根据作图得到是的角平分线，结合可得，，根据勾股定理即可得到，根据F为的中点得到，即可得到答案． 解：∵以B为圆心，适当长为半径画弧交于点M，交于点N，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，射线交于点E， ∴是的角平分线， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵F为的中点，， ∴， 故答案为：． 【5-3】（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，以点为圆心，为半径画弧，交轴于点，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形、一次函数图像与坐标轴交点、勾股定理等知识，解题关键是运用数形结合思想分析问题．先根据坐标轴上点的坐标特征得到，，再利用勾股定理计算出，然后根据圆的半径相等得到，再利用进行计算即可． 解：当时，可得， 解得，则， 当时，，则， 所以， 因为以点为圆心，为半径画弧，交轴于点， 所以， 所以． 故答案为：． 【考点6】一次函数图象与性质综合 【6-1】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知直线为常数，且．当变化时，下列结论正确的有 ． ①当，图象经过一、三、四象限； ②当时，随的增大而减小； ③坐标原点到定点的距离是； ④直线必过定点． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查的是一次函数的性质，根据一次函数的图象与系数的关系及增减性判断①②；根据直线过定点得出定点坐标判断④；利用两点间的距离公式即可判断③． 解：当时，， 此时一次函数，经过一、三、四象限，故①正确； 对于直线为常数，且， 当时，即时，随的增大而增大；故②错误； 直线， 当时，， 直线过定点，故④错误； 由④知直线必过定点， 坐标原点到定点的距离是，故③正确． 故答案为：①③． 【6-2】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）一次函数与的图象交于点，有下列结论： ①； ②关于x的方程的解为； ③关于x的不等式组的解集为； ④若，则或6． 其中正确的结论是 ．（填写序号） 【答案】②③④ 【分析】根据一次函数与方程的关系求解可判断①；再根据函数图象判断②；再由一次函数的系数与图象的关系求解判断③；根据全等三角形的性质求解判断④． 解：根据题意画函数图象如下： 当时， 把点代入得，， 解得， ∴当时，，故①错误； ∵一次函数与的图象交于点， ∴， 解得， ∴与x轴的交点为， 由图象得，关于x的方程的解为，故②正确； 由图象得，不等式组的解集为，故③正确； ∵， ∴， 解得，， 由三角形全等得，，故④正确， 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程的关系、一次函数图象与一元一次不等式、一次函数的系数与图象的关系，三角形全等的性质、用待定系数法求一次函数解析式，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 【考点7】坐标与图形+一次函数与几何问题 【7-1】（23-24七年级下·辽宁盘锦·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，满足，点A，C的坐标分别是，点B在y轴上，在坐标平面内存在一点D（不与点C重合），使，且与是对应边，请写出点D的坐标 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的特征，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．过作轴于，过作轴于，根据已知可得是等腰直角三角形，得到，利用等量代换，进而可证，由此得到，，再证明，即可得到，，，由此可求点D的坐标． 解：过作轴于，过作轴于， 点的坐标分别是， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的坐标是. 故答案为:. 【7-2】（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，已知直线和，点在直线上，点在直线上，作轴于点，轴于点，当以，，，为顶点的四边形为正方形时，点的横坐标为 ．    【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的性质，分类讨论；设，，根据，列出方程，解方程，即可求解． 解：设，    ∵在 ∴ 解得：， 当在点的左侧时， ∵四边形是正方形， ∴ ∴ 解得： ∴ 当在点的右侧时， ∴ 解得： ∴， 故答案为：或． 【7-3】（2024·山东威海·一模）如图所示，点，坐标分别为，，点是轴上的动点，且，点为中点．若点从运动到，则此过程中，点运动的路线长 ． 【答案】 【分析】过点作轴于点，设，，证得出则，进而可得点在上运动，根据，进而根据勾股定理，即可求解． 解：设，， 如图所示，过点作轴于点， ∵且， 又 ∴， ∴ ∴，， ∴ ∵是的中点， ∴ ∴点在上运动， 当时，， 当时， ∴点运动的距离为 故答案为：． 【考点8】解不等式（组） 【8-1】（23-24七年级下·湖北宜昌·期末）解决下面问题 (1)解不等式； (2)解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)； (2)，数轴见解析． 【分析】此题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集．解一元一次不等式组需分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． （1）不等式移项，合并同类项，化系数为1即可； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可． 解：（1）解：将不等式两边同乘以得， ， 移项合并得， 解得； （2）解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 则不等式组的解集为， 在数轴上表示： 【8-2】（23-24七年级下·山东烟台·期末）（1）解不等式：； （2）解不等式组，并在数轴上表示此不等式组的解集． 【答案】（1）；（2），数轴表示见解析． 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 解：（1）， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为：， 在数轴上表示不等式组的解集为： 【考点9】勾股定理+全等三角形 【9-1】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作于点E． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为． 【分析】（1）根据角平分线的性质得到，再证明即可得到； （2）根据勾股定理求得，设，则，，再应用勾股定理即可求解． 本题考查了解平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 解：（1）解：是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴， 设，则，， 在中，， 即， 解得：， ∴的长为． 【9-2】（2024·贵州贵阳·一模）如图，一艘船由A岛沿北偏东方向航行至B岛，然后再沿北偏西方向航行至C岛． (1)求A，C两岛之间的距离； (2)确定C岛在A岛的什么方向？ 【答案】(1) (2)北偏西 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是对方向角的熟练掌握． （1）根据，，推出，在中，利用勾股定理即可求出距离； （2）证明，根据即可求解． 解：（1）如图，由题意可知：， ∵， ∴， ∴， 在中，， 答：A，C两岛之间的距离是； （2）又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴C岛在A岛北偏西的方向上． 【考点10】线段垂直平分线+角平分线+等腰三角形 【10-1】（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，等腰中，，，点、分别在边、上，，，过点作于点，交于点． (1)求证：； (2)求证：为等腰三角形． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据题意和图形，利用全等三角形的判定可以证明结论成立； （2）根据题意和（1）中的结论，利用全等三角形的性质和等腰三角形的判定可以证明结论成立． （1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ； （2）证明：由（1）知，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵交于点G， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【10-2】（2024·吉林长春·一模）如图，在等腰中，顶角，点D是边的中点，连接，作于点E，再作交于点F．   (1)求证：； (2)若，则的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线，三角形中线的性质等知识，解题的关键是： （1）利用等腰三角形的性质得出，，利用余角的性质可得出，，利用等边对等角得出，，取中点G，连接，利用直角三角形斜边上中线的性质得出，利用等边对等角得出，然后利用含的直角三角形的性质即可得证； （2）利用（1）中求出，利用直角三角形斜边上中线的性质求出，则可求的面积，然后利用三角形中线的性质求解即可． 解：（1）证明：∵，点D是边的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 取中点G，连接，    ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ （2）解：∵， ∴， ∵，G为中点， ∴， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， 故答案为：4． 【10-2】（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，在上取点使得，连结，过点作，垂足为，延长交于点，连结． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明出垂直平分，然后得到，进而求解即可； （2）首先证明出，然后得到，过作于，得到，进而求解即可． （1）证明：，， ， 垂直平分， ∴为等腰三角形； （2）解：，， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 过作于， ∴， ， ， ． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定，垂直平分线的判定，含角的直角三角形的性质及勾股定理等知识，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 【考点11】一次函数的图象与性质 【11-1】（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，，，连接，在线段整数点（横、纵坐标都为整数的点）处设置感应灯，当有点落在整点处，或从点发出光线（射线）照射到线段上的整数点时，该处的感应灯会亮．   (1)求线段所在直线的函数解析式； (2)当点在线段上时，请通过计算说明点是否会使感应灯亮； (3)若线段上的感应灯被射线分为两部分，并且两部分感应灯的个数相同（不包括边界上的点），直接写出的取值范围． 【答案】(1)；(2)会，理由见详解；(3) 【分析】本题主要考查函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）设线段所在直线的函数解析式为，将，代入即可得到答案； （2）将代入函数解析式即可得到答案； （3）先求出线段上的整数点，设为，为，由待定系数法得：，，，进而即可求解． （1）解：设线段所在直线的函数解析式为， 将，代入， ， 解得， 故线段所在直线的函数解析式为； （2）解：将代入函数解析式， 即， ， 故，是整数，会使感应灯亮； （3）解：上整数点， 设为，为， 由待定系数法得：，，， ， 解得． 【11-2】（2024·江西南昌·模拟预测）剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进一套甲种剪纸比购进一套乙种剪纸多10元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元． (1)求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元？ (2)设购进甲种剪纸装饰x套()，购买甲、乙两种剪纸装饰共花费y元，求y与x之间的函数关系式； (3)若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套，该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 【答案】(1)甲种剪纸装饰套装单价为元，乙种剪纸装饰套装单价为元 (2) (3)甲种剪纸装饰套，乙种剪纸装饰套时，所获利润最大，最大利润为元 【分析】本题考查一次函数和一元一次方程的应用： （1）设乙种剪纸装饰套装单价为元，则甲种剪纸装饰套装单价为元，根据题意列方程，解方程即可； （2）购进甲种剪纸装饰套乙种剪纸装饰套，总费用元为甲乙种剪纸装饰套装费用的和列出一次函数即可； （3）甲种剪纸装饰套装利润为元，乙种剪纸装饰套装利润为元，则利润为 根据随的增大而增大， 且为非负整数可得当时，取最大值． 解：（1）设乙种剪纸装饰套装单价为元，则甲种剪纸装饰套装单价为元，根据题意，得 解得 ， ∴甲种剪纸装饰套装单价为元，乙种剪纸装饰套装单价为元． （2）设购进甲种剪纸装饰套， 则购进乙种剪纸装饰套，购买甲、乙两种剪纸装饰共花费元，根据题意，得 ， 即 ∴与之间的函数关系式为； （3）设甲、乙两种剪纸装饰获得的利润为元，根据题意，得 即 ， ∴随的增大而增大 ∵该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过元， ，即， 解得， ∵为非负整数 ∴当 时，取最大值，(元)， 此时套， 即商家购进甲种剪纸装饰套，乙种剪纸装饰套时，所获利润最大，最大利润为元． 【考点12】一次函数与几何问题 【12-1】（2024·河北保定·一模）如图，已知在平面直角坐标系中，，，连接． (1)求所在直线的表达式； (2)从点处发射激光． ①当激光轴时，与交于点Q，求线段的长度； ②已知所在直线的表达式为，请直接写出激光与线段（不含端点）有交点时m的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、一次函数的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）由题意可得点Q的横坐标为3，然后将代入所在直线的表达式可求得点C的纵坐标即可；②先根据所在直线过C、B两点可求得一个临界点m，在根据当轴时，与交于点Q，即可取无限大，据此即可解答． 解：（1）设直线的函数解析式为，则有： ，解得：， ∴设直线的函数解析式为． （2）①如图： ∵点处发射激光，轴，与交于点Q， ∴点Q的横坐标为3， 将代入所在直线的表达式可得：, ∴, ∴线段的长度为． ②∵所在直线的表达式为， ∴，即 ∵，， ∴当所在直线过时，，解得：， 由当轴时，与交于点Q，即可取无限大 ∴m的取值范围． 【12-2】（2022·河北石家庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，射线DE平行于x轴，且与射线BC相交于点E．点P从D点出发，沿DE向右匀速运动，速度为5v．点Q从A点出发，沿的方向，以速度匀速运动．P、Q两运动到点E后停止运动． (1)直接写出直线AB的函数解析式：______． (2)求直线BC的函数解析式，并求出点E的坐标； (3)若P、Q同时到达点E处，点Q的速度为多少？ 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，然后将点E的纵坐标代入求出点E的横坐标即可； （3）过点E作EF⊥x轴于F，根据点A、B、E的坐标求出OA，OB，BF，EF及DE的长，然后利用勾股定理求出AB和BE，再由P、Q同时到达点E处列式计算即可． 解：（1）解：设直线AB的函数解析式为：， 代入，得：， 解得：， ∴直线AB的函数解析式为：， 故答案为：； （2）设直线BC的函数解析式为：， 代入，得：， 解得：， ∴直线BC的函数解析式为：， ∵射线DE平行于x轴，且， ∴点E的纵坐标为9， 当时，解得， ∴； （3）过点E作EF⊥x轴于F， ∵，，， ∴OA＝3，OB＝6，BF＝，EF＝9，DE＝， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，勾股定理，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【考点13】折叠问题 【13-1】（23-24八年级上·山西晋中·期末）如图，数学课上小花把长方形纸片放入平面直角坐标系中，使点与坐标原点重合分别落在轴轴上，连接将纸片沿折叠，使点落在点的位置与轴交于点则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】由平行可得，由折叠的性质可知，，则，设，则，由勾股定理得，，即，计算求解，然后作答即可． 解：：∵长方形，， ∴，， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，等角对等边，勾股定理，坐标与图形．熟练掌握平行线的性质，折叠的性质，等角对等边，勾股定理，坐标与图形是解题的关键． 【13-2】（22-23八年级上·辽宁沈阳·期末）如图：在平面直角坐标系内有长方形，点，分别在轴，轴上，点在上，点在上，沿折叠，使点与点重合，点与点重合．若点在坐标轴上，且面积是18，则点坐标为 ． 【答案】或或或 【分析】过作于F，如图：根据折叠的性质得到，，，，根据三角形的面积公式和勾股定理得到，当P在x轴上时，连接交x轴于H，得到，当P在y轴上时，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 解：：过作于F，如图： ∵， ∴， ∴， ∵沿折叠，使点B与点O重合，点C与点重合， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，且， ∴， ∴； 当P在x轴上时，连接交x轴于H，如图： ∵，； ∴直线为， 令得， ∴， ∵面积是18， ∴，即， ∴， ∴或； 当P在y轴上时，如图： ∵面积是18， ∴，即， ∴， ∴或， 综上所述，P的坐标为或或或， 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查长方形中的折叠问题，坐标与图形，待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练应用勾股定理． 【13-3】（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，点D、点E分别是边、的点，将和分别沿和折叠至．已知且，则为 ． 【答案】54 【分析】本题考查了基本图形变换折叠，三角形的内角和定理，换元的思想方法，关键是利用换元的思想方法，使分析思路更清晰． 设，则，设，由翻折可知，，再根据三角形的内角和定理，即可得出结果． 解：：设，则，设， 由翻折可知，，， ，， 由，得， 在中，， ， 解得：， 在中，， 解得： 由得， 在中，， ． 故答案为：54． 【考点14】动点问题 【14-1】（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，A，两点分别在轴，轴上，点A的坐标为，点的坐标为，点为射线上一动点，点关于直线的对称点为点，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】3或6/6或3 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，勾股定理的应用，分三种情况：当时，当时，当时分别根据图形利用勾股定理求出即可． 解：：设， 点关于直线的对称点为点， ， 当为直角三角形时，分三种情况： 当时，如图： 三点共线， ， 解得， ； 当时，如图： 为等腰直角三角形， ； 当时，则， 与相矛盾，故不存在． 故答案为：或． 【14-2】（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在中，，D为边上的动点，点D从点C出发，沿边往点A运动，当运动到点A时停止．已知点D运动的速度为每秒2个单位长度，设点 D 运动的时间为，当是直角三角形时，t的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形的性质，三角形的面积，难点在于要分情况讨论．分两种情况讨论即可． 解：：， ， 当时，则点与点重合， ； 当时，则， ， ， ， ； 综上，当t为或10时，是直角三角形． 故答案为：或． 【考点15】最值问题 【15-1】（23-24八年级上·江苏常州·期末）如图，在 中， ，，则．请在这一结论的基础上继续思考：若是的中点，P为边上一动点，则的最小值为 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，正确找出当点与点重合时，取得最小值是解题关键．过作于，过点作于，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形的性质可得，再两点之间线段最短、垂线段最短可得的最小值为，利用勾股定理求出即可． 解：：如图，过作于，过点作于，连接， ，点是的中点， ， ， ， 为正三角形， ∴ ， ， ， ， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值，最小值为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 即的最小值为的长， ，， ， ， 即的最小值为， 故答案为：． 【15-2】（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在四边形中，于点O，，，点P为线段上的一个动点． （1）的长是 ； （2）过点P分别作于点M，作 于点H．连接，在点P的运动过程中，的最小值为 ． 【答案】 10 【分析】本题考查勾股定理，垂线段最短： （1）勾股定理求出的长即可； （2）连接，等积法求出的长，再根据垂线段最短，得到当，即点与点重合时，最小，即可得出结果． 解：：（1）∵于点O，，， ∴； 故答案为：10； （2）连接， ∵于点M， 于点H， ∴，即：， ∴， ∴， ∵点P为线段上的一个动点， ∴当时，的值最小， ∵， ∴当点与点重合时，的值最小，为的长，即， ∴的最小值为； 故答案为：． 【考点16】规律问题 【16-1】（23-24八年级上·广西贵港·期末）如图，已知，在射线上分别取点，使，连接，在上分别取点，使，连接，按此规律下去，记，，，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，设，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出，同理求得，，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：：设，则，， ， 设，则，， 由得：， ， 同理可得：， 故答案为：． 【16-2】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握直角坐标系、等边三角形、垂线、图形和数字规律、含角的直角三角形的性质，从而完成求解． 根据点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，得点的纵坐标是根据以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，得点的纵坐标是此类推，得点的纵坐标是，得到答案． 解：：点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点， ，， ，点纵坐标是， 以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点， ，， ，点的纵坐标是，即， 以为边在右侧作等边三角形， 同理，得点的纵坐标是， 按此规律继续作下去，得：点的纵坐标是，即． 故答案为：． 【16-2】（23-24八年级下·山东临沂·期中）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点为顶点作正方形，正方形，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，，，则顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数解析式，点坐标的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由图象可知，、、、……在直线上，、、、……在轴上，、、、……在直线上，由，可知，即在直线上，由，，，可推导，根据，作答即可． 解：：由图象可知，、、、……在直线上， 、、、……在轴上， 、、、……在直线上， ∵， ∴， ∴在直线上， ∵，，， ∴， ∴，即， 故答案为：． 【考点17】不等式（组）参数问题 【17-1】（23-24八年级下·河南南阳·期末）已知关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法以及分式方程有增根的情况是解题的关键． 先求出分式方程的解，再根据分式方程的解为非负数且分母不为0即可求出的取值范围． 解：：， 方程可化为， 方程两边同乘，得， 解得：， ∵方程的解为非负数， 解得：， 又∵， ∴， ∴， ∴的取值范围是且， 故答案为：且． 【17-2】（2021·湖北襄阳·一模）已知不等式组有解但没有整数解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先求得不等式组的解集，根据解集没有整数解，建立起新的不等式组，解之即可 解：∵， ∴解①得，x＜-a，解②得，x＞-1， ∴不等式组的解集为：-1＜x＜-a， ∵不等式组有解但没有整数解， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，能根据不等式组无整数解建立新不等式组并解之是解题的关键． 【考点18】几何图形探究性问题 【18-1】（24-25八年级上·江西赣州·期中）【课题学习】 三角形是平面几何最基本的图形之一，构造全等三角形是几何学中的重要问题．一些较复杂的问题，只要依据条件构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了． 【初步感知】 （1）如图1，在中，，点在边上，，若在上取一点，使得．写出图中一对全等的三角形是___________． 【深入探究】 （2）如图2，在中，，点、的坐标分别是、，边交轴于点，若，求的值； 【拓展探索】 （3）如图3，在和中，，，射线交线段于点，求证：点为线段的中点． 【答案】（1）；（2）3；（3）见解析 【分析】（1）利用等边对等角求得，，推出，再利用即可得到； （2）在x轴上取M，使得，连接，证明，推出即可； （3）连接，过N作交的延长线于点C，证明，推出，，再证明，即可． （1）解：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：在x轴上取M，使得，连接，    在和中， ， ， ∴， 又， ∴， ∵， ∴； （3）证明：连接，过N作交的延长线于点C，则，    设，则， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． ∴为线段的中点． 【点睛】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是条件合适的辅助线，构造全等三角形． 【18-2】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）著名的赵爽弦图(如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为)，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． 【结论探究】 (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点，，在同一条直线上，并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 (3)中，，，，，垂足为，请直接写出的值． 【答案】[结论探究]（1）见解析；[结论应用]（2）千米；[问题拓展]（3） 【分析】此题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识． [结论探究]（1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； [结论应用]（2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案； [问题拓展]（3）作，垂足为，在中，，在中，，则，则，解得：，利用勾股定理即可得出． 解：[结论探究] （1）解：梯形的面积为， 也可以表示为， ，即； [结论应用]（2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ， 解得，即千米， (千米)， 答：新路比原路少千米； [问题拓展]（3）作，垂足为， 设， ， ，，，， 根据勾股定理： 在中，， 在中，， ， 即， 解得：， ， ． 【考点19】平面直角坐系中探究性问题 【19-1】（23-24八年级上·河南郑州·期末）【问题呈现】 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边三角形，点为轴正半轴上一动点，连接，以线段为边在第四象限内作等边三角形，连接并延长，交轴于点． 【问题提出】 （1）在此过程中，线段与有何数量关系？并证明你的结论； 【尝试探究】 （2）在点的运动过程中，的度数是否会发生变化？如果不变，请求出的度数；如果改变，请说明理由； 【拓展延伸】 （3）当点运动到什么位置时，以为顶点的三角形是等腰三角形？ 【答案】（1），见解析；（2）点在运动过程中，的度数是个定值，不会发生变化；（3）当点的坐标为时，以为顶点的三角形是等腰三角形 【分析】对于（1），根据等边三角形的性质可得，再说明，可证，进而得出答案； 对于（2），根据等边三角形的性质得，再根据全等三角形的性质得，最后根据得出结论； 对于（3），，先根据全等三角形的性质及等边三角形的性质得，即可得出以为顶点的三角形是等腰三角形时，和是腰，然后根据直角三角形的性质得，进而得出答案． 解：（1）答：． 证明：都是等边三角形， ， ， 即， ， ； （2）点在运动过程中，的度数不会发生变化，理由如下： 是等边三角形， ． ， ， ． 故：点在运动过程中，不变，； （3）， ． 又， ， ， 以为顶点的三角形是等腰三角形时，和是腰. 在中，， ， ， ． 当点的坐标为时，以为顶点的三角形是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，等腰三角形的判定，解决本题时要结合等腰三角形的性质注意多种讨论． 【19-2】（23-24八年级上·云南昆明·阶段练习）【问题解决】 已知中，三点都在直线1上，且有．如图①，当时，线段的数量关系为：    【类比探究】 （1）如图②，在（1）的条件下，当时，线段的数量关系是'否变化，若不变，请证明：若变化，写出它们的关系式； 【拓展应用】 （2）如图③，，点的坐标为，点的坐标为，请求出点的坐标． 【答案】（1）的数量关系不变，理由见解析；（2） 【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据三角形的外角性质得到，证明，根据全等三角形的性质解答； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，根据（1）的结论得到，根据全等三角形的性质解答即可． 解：：（1）的数量关系不变， 理由如下：是的一个外角， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，   点的坐标为，点的坐标为， ，，， ， 由（1）可知，， ，， ， 点的坐标为． 【考点20】一次函数与几何问题探究题 【20-1】（24-25八年级上·河南郑州·期中）我们将等腰直角三角板放在平面直角坐标系中进行探究： (1)操作思考：如图，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点在原点，若顶点恰好落在点处，则点的坐标为________； (2)类比探究：如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，过点作线段且，直线交轴于点，求出的坐标及直线对应的函数表达式； (3)拓展应用：如图，为坐标原点，的坐标为，的坐标为，过点作直线轴，已知点是直线上的一点，点在直线上运动，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)；(2)，直线解析式为；(3)点的坐标为或． 【分析】（）过作轴于点，过作轴于点，由是等腰直角三角形，则，，根据同角的余角相等得，证明，从而即可求解； （）过作轴于点，同（）理得，则，，由求出，，然后用待定系数法求出直线解析式为即可求解； （）同（）理得，然后分情况画出图形即可求解． （1）解：如图，过作轴于点，过作轴于点， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴点的坐标为， 故答案为：； （2）解：如图，过作轴于点， 同（）理得， ∴，， 由得，当时，，即；当时，，即； ∴，， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得， ∴直线解析式为， 当时，，即； （3）解：如图，同（）理得：， ∴，， ∵点是直线上的一点， ∴设， ∴，， ∵的坐标为，的坐标为， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 如图，如图，同（）理得：， ∴，， ∵点是直线上的一点， ∴设， ∴，， ∵的坐标为，的坐标为， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上可知：点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，线段和差，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【20-2】（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）阅读：将一个量用两种方法分别计算一次，由结果相同构造等式解决问题，这种思维方法称为“算两次”原理．在学习第一章探索勾股定理时，我们就是“用不同的方式表示同一图形的面积”探究出了勾股定理．这种方法又称为等面积法． 【问题探究】小明所在的学习小组尝试了用等面积法解决下面的问题： 如图1，在等腰中，，，是线段上任意一点，过点作，垂足分别为，．求的值．他们用两种方法表示出的面积：    作于点，则． 连接，则 ． 请你帮助该小组的同学算出 ． 【学以致用】 如图2，直线与轴交于点，且经过点，已知点的坐标为 ．    （1）求直线的解析式； （2）在直线上有一动点，且点到直线的距离为，请利用以上所学的知识求点的坐标． 【拓展延伸】 如图3，若点是第一象限内一点，且点到三边所在直线的距离相等，请求出点的坐标．    【答案】【问题探究】，；【学以致用】（1）求直线的解析式为；（2）点或；【拓展延伸】点坐标为或． 【分析】本题主要考查了三角形的面积，一次函数的图像与性质，两点间的距离公式等知识，解题的关键是掌握一次函数的图像与性质，两点间的距离公式． 【问题探究】根据三角形的面积公式即可求解； 【学以致用】（1）先求出点的坐标，然后用待定系数法即可求解； （2）根据题意可得点，点，进而得到，结合点，可得，由点到直线：的距离为，可得然后分点P在线段和线段的延长线上两种情况讨论，即可求解； 【拓展延伸】先证明，当在内时，可确定点Q在的角平分线上，也在边的高上，作，设点为，结合，，点到三边所在直线的距离相等，点是第一象限内一点，可得，已知，列方程即可求出值，由此即可求解；当在外时，求得． 解：：【问题探究】，， ， ，， ，即， ， 故答案为：，； 解：【学以致用】（1）直线经过点， ， 解得：， 点， 设直线的解析式为，将点，点代入得： ，解得：， 直线的解析式为； （2）在直线：中，令，则， 点，， ∵点，， ， 点，点， ， 点到直线：的距离为， ， ， ∴， ∴， ∴点在线段或线段的延长线上， 当点在线段上时，， 即， 解得：，将其代入中解得：， 点； 当点在线段的延长线上时，， 即， 解得：，将其代入中解得：， 点； 综上所述：点的坐标是或； 解：【拓展延伸】点，点， ， 故； 当点Q在内时，如图； ∵点到三边所在直线的距离相等， ∴点在的角平分线上，也在边的高上， 如图，作于E，则；设点为， 又，，点到三边所在直线的距离相等，点是第一象限内一点， ； ， ， ∴， 点； 当在外时，如图， 设点到三边所在直线的距离为， 同理可得：， 解得：，即点纵坐标为， ∵， ∴， ∴， ∵在的角平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上可知：点的坐标为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.2 期末检测综合压轴题分类专题（考点梳理与分类讲解） 第一部分【考点目录】 1、 选择填空题（常考综合题） 【考点1】利用全等三角形性质与判定求值.......................................2 【考点2】利用线段垂直平分线、角平分线性质与判定求值.........................2 【考点3】利用等腰三角形、直角三角形性质与判定求值...........................3 【考点4】利用勾股定理解直角三角形...........................................3 【考点5】作图题中求线段与角.................................................4 【考点6】一次函数图象与性质综合.............................................5 【考点7】坐标与图形+一次函数与几何问题......................................5 2、 解答题（常考综合题） 【考点8】解不等式（组）.....................................................6 【考点9】勾股定理+全等三角形................................................6 【考点10】线段垂直平分线+角平分线+等腰三角形................................7 【考点11】一次函数的图象与性质..............................................8 【考点12】一次函数与几何问题................................................9 三、选择填空题（常考压轴题） 【考点13】折叠问题.........................................................10 【考点14】动点问题.........................................................10 【考点15】最值问题.........................................................11 【考点16】规律问题.........................................................12 【考点17】不等式（组）参数问题.............................................13 3、 解答题（常考压轴题） 【考点18】几何图形探究性问题...............................................13 【考点19】平面直角坐系中探究性问题.........................................14 【考点20】一次函数与几何问题探究题.........................................15 第二部分【考点展示与方法点拨】 【考点1】利用全等三角形性质与判定求值 【1-1】（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）如图，由9个完全相同的小正方形拼接而成的网格，图形中各个顶点均为格点，设，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【1-2】（23-24八年级上·贵州毕节·期末）如图，四边形是等腰梯形，上底，过点作，且，连接．若的面积为，则的长为 ．    【考点2】利用线段垂直平分线、角平分线性质与判定求值 【2-1】（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，直线，点A是直线m上一点，点B是直线n上一点，与直线m，n均不垂直，点P为线段的中点，直线l分别与m，n相交于点C，D，若，m，n之间的距离为2，则的值为 ． 【2-2】（22-23七年级下·贵州·期末）如图，已知，射线平分，过点E作于点H，作于点F，并延长交于点G，连接．若，则的长为 ．    【考点3】利用等腰三角形、直角三角形性质与判定求值 【3-1】（24-25八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，是等边三角形，点，，，…在射线BC上，且…，分别以，，，…为腰在射线上方作等腰，，，…，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【3-2】（24-25八年级上·浙江温州·期中）两个直角三角形积木和按如图所示摆放在水平桌面上，已知，，把下端挂有铅锤的细绳的上端拴在直角顶点处，则 °． 【3-3】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，是与的斜边，，，位于的异侧，是的中点，连接，，，若，，则的大小是 ．    【考点4】利用勾股定理解直角三角形 【4-1】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，，，，垂足分别为、、，若，，则 ． 【4-2】（24-25八年级上·江苏·期末）如图，在中，，，，为等腰直角三角形，直角顶点在线段上运动，当点运动到中点时，的面积为 ． 【考点5】作图题中求线段与角 【5-1】（24-25八年级上·四川·期中）如图，在中，，以适当长为半径画弧，交于点M，交延长线于点N；分别以点M、N为圆心，以大于，两弧交于点P，作射线交的延长线于点D．过点D作交的延长线于点F，，，则 ． 【5-2】（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，以B为圆心，适当长为半径画弧交于点M，交于点N，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，射线交于点E，点F为的中点，连接，若，则的长是 . 【5-3】（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，以点为圆心，为半径画弧，交轴于点，则 ．    【考点6】一次函数图象与性质综合 【6-1】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知直线为常数，且．当变化时，下列结论正确的有 ． ①当，图象经过一、三、四象限； ②当时，随的增大而减小； ③坐标原点到定点的距离是； ④直线必过定点． 【6-2】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）一次函数与的图象交于点，有下列结论： ①； ②关于x的方程的解为； ③关于x的不等式组的解集为； ④若，则或6． 其中正确的结论是 ．（填写序号） 【考点7】坐标与图形+一次函数与几何问题 【7-1】（23-24七年级下·辽宁盘锦·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，满足，点A，C的坐标分别是，点B在y轴上，在坐标平面内存在一点D（不与点C重合），使，且与是对应边，请写出点D的坐标 ． 【7-2】（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，已知直线和，点在直线上，点在直线上，作轴于点，轴于点，当以，，，为顶点的四边形为正方形时，点的横坐标为 ．    【7-3】（2024·山东威海·一模）如图所示，点，坐标分别为，，点是轴上的动点，且，点为中点．若点从运动到，则此过程中，点运动的路线长 ． 【考点8】解不等式（组） 【8-1】（23-24七年级下·湖北宜昌·期末）解决下面问题 (1)解不等式； (2)解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【8-2】（23-24七年级下·山东烟台·期末）（1）解不等式：； （2）解不等式组，并在数轴上表示此不等式组的解集． 【考点9】勾股定理+全等三角形 【9-1】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作于点E． (1)求证：； (2)若，求的长． 【9-2】（2024·贵州贵阳·一模）如图，一艘船由A岛沿北偏东方向航行至B岛，然后再沿北偏西方向航行至C岛． (1)求A，C两岛之间的距离； (2)确定C岛在A岛的什么方向？ 【考点10】线段垂直平分线+角平分线+等腰三角形 【10-1】（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，等腰中，，，点、分别在边、上，，，过点作于点，交于点． (1)求证：； (2)求证：为等腰三角形． 【10-2】（2024·吉林长春·一模）如图，在等腰中，顶角，点D是边的中点，连接，作于点E，再作交于点F．   (1)求证：； (2)若，则的面积为______． 【10-2】（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，在上取点使得，连结，过点作，垂足为，延长交于点，连结． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，，求的长． 【考点11】一次函数的图象与性质 【11-1】（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，，，连接，在线段整数点（横、纵坐标都为整数的点）处设置感应灯，当有点落在整点处，或从点发出光线（射线）照射到线段上的整数点时，该处的感应灯会亮．   (1)求线段所在直线的函数解析式； (2)当点在线段上时，请通过计算说明点是否会使感应灯亮； (3)若线段上的感应灯被射线分为两部分，并且两部分感应灯的个数相同（不包括边界上的点），直接写出的取值范围． 【11-2】（2024·江西南昌·模拟预测）剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进一套甲种剪纸比购进一套乙种剪纸多10元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元． (1)求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元？ (2)设购进甲种剪纸装饰x套()，购买甲、乙两种剪纸装饰共花费y元，求y与x之间的函数关系式； (3)若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套，该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 【考点12】一次函数与几何问题 【12-1】（2024·河北保定·一模）如图，已知在平面直角坐标系中，，，连接． (1)求所在直线的表达式； (2)从点处发射激光． ①当激光轴时，与交于点Q，求线段的长度； ②已知所在直线的表达式为，请直接写出激光与线段（不含端点）有交点时m的取值范围． 【12-2】（2022·河北石家庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，射线DE平行于x轴，且与射线BC相交于点E．点P从D点出发，沿DE向右匀速运动，速度为5v．点Q从A点出发，沿的方向，以速度匀速运动．P、Q两运动到点E后停止运动． (1)直接写出直线AB的函数解析式：______． (2)求直线BC的函数解析式，并求出点E的坐标； (3)若P、Q同时到达点E处，点Q的速度为多少？ 【考点13】折叠问题 【13-1】（23-24八年级上·山西晋中·期末）如图，数学课上小花把长方形纸片放入平面直角坐标系中，使点与坐标原点重合分别落在轴轴上，连接将纸片沿折叠，使点落在点的位置与轴交于点则点的坐标为 ．    【13-2】（22-23八年级上·辽宁沈阳·期末）如图：在平面直角坐标系内有长方形，点，分别在轴，轴上，点在上，点在上，沿折叠，使点与点重合，点与点重合．若点在坐标轴上，且面积是18，则点坐标为 ． 【13-3】（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，点D、点E分别是边、的点，将和分别沿和折叠至．已知且，则为 ． 【考点14】动点问题 【14-1】（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，A，两点分别在轴，轴上，点A的坐标为，点的坐标为，点为射线上一动点，点关于直线的对称点为点，当为直角三角形时，的长为 ． 【14-2】（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在中，，D为边上的动点，点D从点C出发，沿边往点A运动，当运动到点A时停止．已知点D运动的速度为每秒2个单位长度，设点 D 运动的时间为，当是直角三角形时，t的值为 ． 【考点15】最值问题 【15-1】（23-24八年级上·江苏常州·期末）如图，在 中， ，，则．请在这一结论的基础上继续思考：若是的中点，P为边上一动点，则的最小值为 【15-2】（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在四边形中，于点O，，，点P为线段上的一个动点． （1）的长是 ； （2）过点P分别作于点M，作 于点H．连接，在点P的运动过程中，的最小值为 ． 【考点16】规律问题 【16-1】（23-24八年级上·广西贵港·期末）如图，已知，在射线上分别取点，使，连接，在上分别取点，使，连接，按此规律下去，记，，，则 ．    【16-2】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为 ． 【16-2】（23-24八年级下·山东临沂·期中）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点为顶点作正方形，正方形，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，，，则顶点的坐标为 ． 【考点17】不等式（组）参数问题 【17-1】（23-24八年级下·河南南阳·期末）已知关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是 ． 【17-2】（2021·湖北襄阳·一模）已知不等式组有解但没有整数解，则的取值范围为 ． 【考点18】几何图形探究性问题 【18-1】（24-25八年级上·江西赣州·期中）【课题学习】 三角形是平面几何最基本的图形之一，构造全等三角形是几何学中的重要问题．一些较复杂的问题，只要依据条件构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了． 【初步感知】 （1）如图1，在中，，点在边上，，若在上取一点，使得．写出图中一对全等的三角形是___________． 【深入探究】 （2）如图2，在中，，点、的坐标分别是、，边交轴于点，若，求的值； 【拓展探索】 （3）如图3，在和中，，，射线交线段于点，求证：点为线段的中点． 【18-2】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）著名的赵爽弦图(如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为)，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． 【结论探究】 (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点，，在同一条直线上，并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 (3)中，，，，，垂足为，请直接写出的值． 【考点19】平面直角坐系中探究性问题 【19-1】（23-24八年级上·河南郑州·期末）【问题呈现】 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边三角形，点为轴正半轴上一动点，连接，以线段为边在第四象限内作等边三角形，连接并延长，交轴于点． 【问题提出】 （1）在此过程中，线段与有何数量关系？并证明你的结论； 【尝试探究】 （2）在点的运动过程中，的度数是否会发生变化？如果不变，请求出的度数；如果改变，请说明理由； 【拓展延伸】 （3）当点运动到什么位置时，以为顶点的三角形是等腰三角形？ 【19-2】（23-24八年级上·云南昆明·阶段练习）【问题解决】 已知中，三点都在直线1上，且有．如图①，当时，线段的数量关系为：    【类比探究】 （1）如图②，在（1）的条件下，当时，线段的数量关系是'否变化，若不变，请证明：若变化，写出它们的关系式； 【拓展应用】 （2）如图③，，点的坐标为，点的坐标为，请求出点的坐标． 【考点20】一次函数与几何问题探究题 【20-1】（24-25八年级上·河南郑州·期中）我们将等腰直角三角板放在平面直角坐标系中进行探究： (1)操作思考：如图，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点在原点，若顶点恰好落在点处，则点的坐标为________； (2)类比探究：如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，过点作线段且，直线交轴于点，求出的坐标及直线对应的函数表达式； (3)拓展应用：如图，为坐标原点，的坐标为，的坐标为，过点作直线轴，已知点是直线上的一点，点在直线上运动，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【20-2】（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）阅读：将一个量用两种方法分别计算一次，由结果相同构造等式解决问题，这种思维方法称为“算两次”原理．在学习第一章探索勾股定理时，我们就是“用不同的方式表示同一图形的面积”探究出了勾股定理．这种方法又称为等面积法． 【问题探究】小明所在的学习小组尝试了用等面积法解决下面的问题： 如图1，在等腰中，，，是线段上任意一点，过点作，垂足分别为，．求的值．他们用两种方法表示出的面积：    作于点，则． 连接，则 ． 请你帮助该小组的同学算出 ． 【学以致用】 如图2，直线与轴交于点，且经过点，已知点的坐标为 ．    （1）求直线的解析式； （2）在直线上有一动点，且点到直线的距离为，请利用以上所学的知识求点的坐标． 【拓展延伸】 如图3，若点是第一象限内一点，且点到三边所在直线的距离相等，请求出点的坐标．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$