预习07 向量数量积的坐标运算（六大考点）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（人教B版2019）

预习07 向量数量积的坐标运算 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握平面向量的数量积的坐标表示，掌握用坐标进行两个向量的模的计算，掌握用坐标判定或证明两个向量的垂直。 2．掌握两点间的距离公式、两个向量的夹角公式的坐标表示 知识点一、平面向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量, （1）数量积:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即 （2）向量垂直: 知识点二、平面向量的模与夹角的坐标表示 （1）向量的模:设,则 （2）两点间的距离公式:若,则 （3）向量的夹角公式:设两非零向量,a与b的夹角为θ,则 考点一：向量数量积坐标运算 例1．已知向量，，则 . 变式1-1．已知向量，若，则（    ） A． B．2 C．2或 D．2或 变式1-2．已知正方形的边长是4，是的中点，满足，则（    ） A．10 B．20 C．22 D．25 变式1-3．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D在线段BC上，且，E为线段AD上一点，若△ABE与△ACD的面积相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 考点二：向量垂直的坐标运算 例2．已知向量，，，若，则实数的值为（    ） A．7 B． C．2 D． 变式2-1．设向量，，若，则 . 变式2-2．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 变式2-3．已知，，若，则（    ） A．2 B． C． D． 考点三：向量夹角的坐标运算 例3．已知向量且，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 变式3-1．已知向量 与向量 夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． 且 C． D． 且 变式3-2．已知，且． (1)求的值； (2)求向量与向量夹角的余弦值． 变式3-3．在平面四边形中，，，，若，则 ；若为线段上一动点，当取得最小值时，则 . 考点四：向量模的坐标运算 例4．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 变式4-1．已知，，则（   ） A． B．2 C． D．10 变式4-2．设平面向量，若，则等于（   ） A． B． C．20 D． 变式4-3．已知向量，，若，则（    ） A． B．2 C．5 D． 考点五：投影向量的坐标运算 例5．已知平面向量，，则在上的投影向量为（   ）． A． B． C． D． 变式5-1．已知向量，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 变式5-2．已知非零向量，，若向量在方向上的投影向量为，则（   ） A． B． C．2 D．4 变式5-3．已知向量，向量在上的投影向量的坐标为，则 . 考点六：向量数量积的最值范围 例6．如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值为 ． 变式6-1．在边长为4的正方形ABCD中，M是BC的中点，E在线段AB上运动，则的取值范围 . 变式6-2．如图，在梯形中，，且，若是线段上的动点，且，则的取值范围为 .    变式6-3．如图，已知AB是圆的直径，是圆上一点，，点是线段BC上的动点，且的面积记为，圆的面积记为，当取得最大值时，（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．已知向量，，若向量且，则（    ） A． B． C． D．4 2．已知向量，且向量与的夹角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知平面向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．在边长为2的正方形中，为的中点，点在线段上运动，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．已知向量，，且，若，则（    ） A． B． C． D． 8．已知向量，，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若向量，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D．与的夹角为 10．已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 11．已知向量，则向量在向量的方向上的投影向量为 .（结果用坐标表示） 三、填空题 12．已知向量，，，若，则的值为 . 四、解答题 13．已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求实数的值； (3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 14．设，，，为平面内的四点，已知，，. (1)若四边形为平行四边形，求点的坐标； (2)若，，三点共线，，求点的坐标. 15．在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． (1)求的值； (2)若为线段上任意一点，求的取值范围． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习07 向量数量积的坐标运算 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握平面向量的数量积的坐标表示，掌握用坐标进行两个向量的模的计算，掌握用坐标判定或证明两个向量的垂直。 2．掌握两点间的距离公式、两个向量的夹角公式的坐标表示 知识点一、平面向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量, （1）数量积:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即 （2）向量垂直: 知识点二、平面向量的模与夹角的坐标表示 （1）向量的模:设,则 （2）两点间的距离公式:若,则 （3）向量的夹角公式:设两非零向量,a与b的夹角为θ,则 考点一：向量数量积坐标运算 例1．已知向量，，则 . 【答案】 【详解】由题意可得：， 所以， 故答案为： 变式1-1．已知向量，若，则（    ） A． B．2 C．2或 D．2或 【答案】C 【详解】，解得：或. 故选：C. 变式1-2．已知正方形的边长是4，是的中点，满足，则（    ） A．10 B．20 C．22 D．25 【答案】B 【详解】 以为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，则，， 则，，所以． 故选：B． 变式1-3．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D在线段BC上，且，E为线段AD上一点，若△ABE与△ACD的面积相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在线段上，且， . 又为线段上一点，若与的面积相等， ，为的中点. 如图，建立平面直角坐标系，则，，，，， ，， . 故选：D. 考点二：向量垂直的坐标运算 例2．已知向量，，，若，则实数的值为（    ） A．7 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以， 由，得， 则，解得. 故选：B. 变式2-1．设向量，，若，则 . 【答案】 【详解】由可得，又因为，， 所以，解得：. 故答案为： 变式2-2．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， 解得：. 故选：D. 变式2-3．已知，，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】， 因为， 所以，解得， 故选：C 考点三：向量夹角的坐标运算 例3．已知向量且，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 又，所以， 则，解得，则， 所以， 又，所以. 故选：B. 变式3-1．已知向量 与向量 夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． 且 C． D． 且 【答案】B 【详解】若，的夹角为钝角， 则，且与不共线， 即，且， 解得且． 故选：B． 变式3-2．已知，且． (1)求的值； (2)求向量与向量夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以． 因为，所以，所以． （2）由（1）知，又，所以， 设与的夹角为，则． 变式3-3．在平面四边形中，，，，若，则 ；若为线段上一动点，当取得最小值时，则 . 【答案】 【详解】因为平面四边形中，，，， 所以是边长为2的等边三角形， 在，，所以， 因为，又， 所以，所以在，同理可得在上， 且分别是的四等分点， 如图建立平面坐标系，    则， 所以， 再设，则， ， 显然时，取得最小，此时， 所以.    故答案为：；. 【点睛】方法点晴：利用平面几何知识求得图形的数量关系，通过建立坐标系，利用向量的坐标运算简化求解的运算量. 考点四：向量模的坐标运算 例4．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，所以， 则，解得， 因为，所以． 故选：B. 变式4-1．已知，，则（   ） A． B．2 C． D．10 【答案】A 【详解】因为，， 所以，所以. 故选：A 变式4-2．设平面向量，若，则等于（   ） A． B． C．20 D． 【答案】D 【详解】由， 可得：，即， 所以， 故选：D 变式4-3．已知向量，，若，则（    ） A． B．2 C．5 D． 【答案】C 【详解】解：因为向量，， 所以． 因为， 所以， 解得， 所以， 所以． 故选：C． 考点五：投影向量的坐标运算 例5．已知平面向量，，则在上的投影向量为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，， 所以在上的投影向量为． 故选：B. 变式5-1．已知向量，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为向量，， 则在上的投影向量为. 故选：A 变式5-2．已知非零向量，，若向量在方向上的投影向量为，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】向量在方向上的投影向量为， 所以，解得. 故选：A. 变式5-3．已知向量，向量在上的投影向量的坐标为，则 . 【答案】 【详解】由，得， 则向量在上的投影向量为， 则，所以. 故答案为：. 考点六：向量数量积的最值范围 例6．如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：在正方形中，建立如图所示坐标系， 由正方形边长为3且， 可得， 设，，则， 则， 故， 故当时，取得最小值为． 故答案为：． 变式6-1．在边长为4的正方形ABCD中，M是BC的中点，E在线段AB上运动，则的取值范围 . 【答案】[8，24] 【详解】以A为坐标原点，分别以AB，AD为x轴，y轴，建立直角坐标系， 则，设， 则， 因为，所以， . 故答案为：. 变式6-2．如图，在梯形中，，且，若是线段上的动点，且，则的取值范围为 .    【答案】 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， ， ，则，设， 则（其中）， ， ，    所以，当时，取得最小值，当时取得最大值21. 故答案为：． 变式6-3．如图，已知AB是圆的直径，是圆上一点，，点是线段BC上的动点，且的面积记为，圆的面积记为，当取得最大值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知：，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 不妨设，则， 可知直线对应的一次函数解析式为，可设， 可得， 则，且， 因为开口向上，对称轴为， 且，可知当时，即点与点重合时，取到最大值， 此时，且，所以. 故选：A. 一、单选题 1．已知向量，，若向量且，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【详解】由题知，又因为，所以，解得， 所以，所以． 故选：A． 2．已知向量，且向量与的夹角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则， 由平面向量数量积的定义可得， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故选：C. 3．已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若，则，解得． ∵与的夹角为锐角，∴． 又，与的夹角为锐角， ∴，即，解得． 又∵，∴． 故选：B 4．已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，， 因为，所以，即， 故选：B． 5．已知平面向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若与的夹角为钝角，则且与不共线， 可得，解得且， 因为是的真子集， 所以“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选：B. 6．在边长为2的正方形中，为的中点，点在线段上运动，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，设，表达出，求出取值范围. 【详解】以A为坐标原点，分别以AB，AD为x轴，y轴，建立直角坐标系， 则，设， 则， 因为，所以， . 故选：B 7．已知向量，，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知， 因为，所以，即， 因为，所以． 故选：B. 8．已知向量，，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，所以四边形为直角梯形. ，，，则面积， 故选：B. 二、多选题 9．若向量，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D．与的夹角为 【答案】AD 【详解】A，由题，， 所以，故A错误； B，又，故B正确； C，，所以在上的投影向量为，故C正确； D，因为， 又，所以，故D错误. 故选：AD. 10．已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】A，由题知，则，A正确； B，，因为，所以向量与不平行，B错误； C，，，，C正确； D，，，所以，D正确. 故选：ACD 11．已知向量，则向量在向量的方向上的投影向量为 .（结果用坐标表示） 【答案】 【详解】向量在向量方向上的投影向量为：. 又，，则. 故答案为：. 三、填空题 12．已知向量，，，若，则的值为 . 【答案】 【详解】由题设，又， 所以，则. 故答案为： 四、解答题 13．已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求实数的值； (3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)且 【详解】（1）因为向量，且， 所以，解得， 所以. （2）因为，且， 所以，解得. （3）因为与的夹角是钝角， 则且与不共线， 即且， 所以且. 14．设，，，为平面内的四点，已知，，. (1)若四边形为平行四边形，求点的坐标； (2)若，，三点共线，，求点的坐标. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，，，所以， 因为四边形为平行四边形，所以， 设，所以， 所以，所以 （2）因为，，三点共线，， 所以设， 又，所以，所以， 又 所以. 15．在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． (1)求的值； (2)若为线段上任意一点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、、， 因为，，， 所以，所以，所以点， 设，则，， 因为，所以，解得， 所以，，则． （2）解：由（1）知，，设，其中， 则， 所以， 因为，故当时，取得最大值， 当时，取得最小值， 故的取值范围为． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$