精品解析：江苏省淮安市开明集团2024-2025学年上学期12月八校联考九年级数学试卷

数学二 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. B. C. 2024 D. 2. 祖国江山美丽如画，川西风光多姿多彩．据四川省某州相关部门通报，“五一”期间，全国各地众多游客前往旅游，共接待游客约1665000人次．将1665000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 由4个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点A，B，C在上，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 某小组名学生的中考体育分数单位（分）如下：，，，，，，，，则该组数据的众数、中位数分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（ ） A. 8 B. 16 C. 12 D. 24 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 因式分解： =__________． 10. 正十边形一个外角的度数是________． 11. 方程的解为___________． 12. 若圆锥的母线长为4，底面半径为3，则该圆锥的侧面积是______． 13. 若是一元二次方程一个根，则代数式的值是___________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线交反比例函数的图像于两点，轴于点，的面积为6，则的值为______． 15. 小郑在一次拼图游戏中，发现了一个很神奇的现象： （1）他先用图形①②③④拼出矩形，接着拿出图形⑤． （2）通过平移的方法，用①②③④⑤拼出了矩形． 已知，图形④的面积为15，则增加的图形⑤的面积为：___________． 16. 如图，在中，，，，，，则__________． 三、解答题（共11小题，102分） 17. 计算： （1）计算：． （2）化简： 18. 解不等式：． 去分母，得． （1）“去分母”这一步的变形依据是_______（填“A”或“B”）． A．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． B．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （2）请完成上述解不等式的余下步骤． 19. 如图，在中，点E，F分别边和上，连接，若．求证：四边形为平行四边形． 20. 某市某校组织本校学生参加“市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的学生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了部分参加志愿者服务的学生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据统计图信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生共有______人，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角的度数； （3）该校共有2000名学生，若有的学生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的学生人数． 21. 随着盐城交通的快速发展，城乡居民出行更加便捷.如图，从甲镇到乙镇有乡村公路和省级公路两条路线；从乙镇到盐城南洋国际机场，有省级公路、高速公路和城市高架三条路线.小华驾车从甲镇到盐城南洋国际机场接人（不考虑其他因素）. （1）从甲镇到乙镇，小华所选路线是乡村公路A的概率为_________． （2）用列表或画树状图的方法，求小华两段路程都选省级公路的概率． 22. 《孙子算经》中有过样一道题，原文如下： “今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？” 大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问城中有多少户人家？请解答上述问题. 23. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：） 24. 如图，在中，，点在上，以为圆心，为半径的半圆分别交，于点，且点是弧的中点． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 25. 国庆期间某旅游点一家商铺销售一批成本为每件50元的商品，规定销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，若销售量y（件）与销售单价x（元）的关系是一次函数（如图）． （1）请直接写出y关于x的函数表达式_________． （2）设该商铺销售这批商品获得的总利润（总利润总销售额总成本）为w元，当销售单价为多少元时，可获得的总利润最大？最大总利润是多少元？ 26. 【材料阅读】 材料一：在平面直角坐标系中，对两点和，定义两点间距离：． 材料二：数学课上，李老师提出如下问题：如图1，在中，，，求的最小值．经过思考后，小明提出了自己的想法：延长到点D，使得，则，连接…． 【概念理解】 （1）①已知点，则______． ②函数的图象如图2所示，点B在图象上，，点B的坐标是_______． （2）材料二中，的最小值为______． 【新知应用】结合材料一和材料二，完成下列问题： （3）如图3，在平面直角坐标系中，已知菱形，若点M在菱形边上，且．请利用无刻度直尺和圆规在图中作出满足条件的点M．（不写作法，保留作图痕迹） （4）如图4，已知点，点，直线经过点M，原点关于直线的对称点为，直接写出取值范围． 27. 如图：已知抛物线：，平移后的抛物线经过点和点．设点P为抛物线上一动点，横坐标为m． （1）抛物线的表达式为________． （2）若，为点P在上的对应点，过点P作x轴的垂线与交于点Q． ①当时，求m的值． ②当四边形中有一组对边平行时，求m的值． （3）点A在原抛物线的对应点为，过点A和作直线，过点P作x轴的垂线与直线交于点E，点P关于y轴的对称点为，以和为邻边作矩形，若抛物线在矩形内（包含边界）的最高点和最低点的差为2，直接写出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学二 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. B. C. 2024 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相反数，掌握相反数的定义是解答本题的关键．根据“仅仅只有符号不同的两个数互为相反数”的概念即可求解． 【详解】解：的相反数是， 故选：D． 2. 祖国江山美丽如画，川西风光多姿多彩．据四川省某州相关部门通报，“五一”期间，全国各地众多游客前往旅游，共接待游客约1665000人次．将1665000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意的形式，以及指数的确定方法．根据，即得解． 【详解】解： ， 将1665000用科学记数法表示应为． 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方，同底数幂的除法依次对各选项逐一分析判断即可．解题的关键是掌握整式运算的相关法则． 【详解】解：A．，不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：C． 4. 由4个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图．根据从前往后看,看到的图形就是主视图即可得到答案． 【详解】解：该几何体从前往后看，其主视图是 故选：B． 5. 如图，点A，B，C在上，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理解答即可. 【详解】解：∵， ∴； 故选：C. 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半是解题关键. 6. 某小组名学生的中考体育分数单位（分）如下：，，，，，，，，则该组数据的众数、中位数分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 先将数据按照从小到大重新排列，再根据众数和中位数的定义求解可得． 【详解】解：将这组数据排列为，，，，，，，， 所以这组数据的众数为，中位数为， 故选：． 7. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键． 8. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（ ） A. 8 B. 16 C. 12 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，含的直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识， 由作图知平分，则可求，利用含的直角三角形的性质得出，利用等角对等边得出，进而得出，然后利用面积公式即可求解． 【详解】解： ∵， ∴， 由作图知：平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又的面积为8， ∴的面积是， 故选B． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 因式分解： =__________． 【答案】（x+4）（x-4） 【解析】 【分析】 【详解】x2-16=(x+4)(x-4)， 故答案为：(x+4)(x-4) 10. 正十边形一个外角的度数是________． 【答案】##36度 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角．根据正n多边形的外角公式求解即可． 【详解】解：正十边形的一个外角的大小是， 故答案为：． 11. 方程的解为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式的解法步骤是解答的关键，注意结果要检验．先去分母化为整式方程，进而解整式方程即可求得方程的解． 【详解】解：去分母，得， 移项、合并同类项，得， 经检验，是原分式方程的解， 故答案为：． 12. 若圆锥的母线长为4，底面半径为3，则该圆锥的侧面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式：，进行计算即可． 【详解】解：∵圆锥的母线长为4，底面半径为3， ∴圆锥的侧面积是； 故答案为∶． 13. 若是一元二次方程一个根，则代数式的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、整体代入法求代数式的值．首先根据是一元二次方程一个根，可得，然后用整体代入法代入代数式求值即可． 【详解】解：是一元二次方程一个根， ， ， ． 故答案为： ． 14. 如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线交反比例函数的图像于两点，轴于点，的面积为6，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据反比例函数与正比例函数的图像特征，可知两点关于原点对称，从而得到的面积等于的面积，然后由反比例函数的比例系数的几何意义，即可求出的值． 【详解】解：∵经过原点的直线与反比例函数相交于两点， ∴两点关于原点对称， ∴， ∴， ∵的面积为6， ∴， 又∵是反比例函数图像上的点，且轴于点， ∴，解得， ∵该反比例函数图像在二、四象限， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了比例函数的比例系数的几何意义、反比例函数与一次函数的交点问题，明确反比例函数的比例系数的几何意义是解题的关键． 15. 小郑在一次拼图游戏中，发现了一个很神奇的现象： （1）他先用图形①②③④拼出矩形，接着拿出图形⑤． （2）通过平移的方法，用①②③④⑤拼出了矩形． 已知，图形④的面积为15，则增加的图形⑤的面积为：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，整式除法的应用，正确理解题意，理清图1和图2中线段的关系式解题的关键．如图1，先利用平行线分线段成比例定理求出，可设，则，图2所示，，，则，再由图形⑤与图形④同宽，即可求出图形⑤的面积． 【详解】解：如图1所示，由题意得， ∴， ∴设， ∴， ∴如图2所示，，， ∴， ∵图形⑤与图形④同宽，图形④的面积为15， ∴图形⑤与图形④的宽为：， ∴图形⑤的面积为， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．作，使，连接，作并交的延长线于点，证明，，，进而求出，得到，利用勾股定理求出，，求出，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：作，使，连接，作并交的延长线于点， 则是等腰直角三角形， ∴，，， ∵为边上的高线，即， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共11小题，102分） 17. 计算： （1）计算：． （2）化简： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，含特殊角的三角函数值的实数的混合运算及二次根式的运算，掌握运算法则与运算顺序是解本题的关键； （1）先计算负整数指数幂，化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，零次幂，再合并即可； （2）先计算括号内的分式加法运算，再计算除法运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解不等式：． 去分母，得． （1）“去分母”这一步的变形依据是_______（填“A”或“B”）． A．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． B．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （2）请完成上述解不等式的余下步骤． 【答案】（1）A （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式、不等式的性质，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键． （1）根据题干的解题过程，去分母这步骤，是不等式两边同时乘上，据此作答即可； （2）先去括号，再移项，合并同类项，系数化1，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，去分母这步骤，是不等式两边同时乘上， 故答案为：A． 【小问2详解】 解：依题意，去括号得， 移项得， 合并同类项，得， 系数化1，得． 19. 如图，在中，点E，F分别边和上，连接，若．求证：四边形为平行四边形． 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ，，，， ，， ，， ， ，即， 在和中 ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定性质，三角形全等的判定与性质，．由平行四边形性质得，，，证明，，进而推出，证明，得，进而可得，又因为，即可求证． 【详解】略 20. 某市某校组织本校学生参加“市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的学生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了部分参加志愿者服务的学生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据统计图信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生共有______人，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角的度数； （3）该校共有2000名学生，若有的学生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的学生人数． 【答案】（1）200， 补图如下： （2） （3）360人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体等，解题的关键是： （1）利用“整理卫生”的人数除以所占百分比求出调查的总人数，然后总人数减去其余各组人数，求出“文明宣传”的人数，然后补图即可； （2）用乘以“敬老服务”所占百分比即可； （3）用乘以“文明宣传”所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：本次调查的学生共有人， “文明宣传”的人数有人， 故答案为：200； 【小问2详解】 解：， ∴“敬老服务”对应的圆心角的度数是， 【小问3详解】 解：， ∴估计参加“文明宣传”项目的学生人数为360人． 21. 随着盐城交通的快速发展，城乡居民出行更加便捷.如图，从甲镇到乙镇有乡村公路和省级公路两条路线；从乙镇到盐城南洋国际机场，有省级公路、高速公路和城市高架三条路线.小华驾车从甲镇到盐城南洋国际机场接人（不考虑其他因素）. （1）从甲镇到乙镇，小华所选路线是乡村公路A的概率为_________． （2）用列表或画树状图的方法，求小华两段路程都选省级公路的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式计算即可； （2）列表表示出所有的可能性，再根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 从甲镇到乙镇，小华所选路线是乡村公路A的概率为， 故答案为：． 【小问2详解】 列表如下： C D E A AC AD AE B BC BD BE 共有6种等可能的结果，其中两段路程都选省级公路只有，共1种， ∴小华两段路程都选省级公路的概率． 【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． 22. 《孙子算经》中有过样一道题，原文如下： “今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？” 大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问城中有多少户人家？请解答上述问题. 【答案】城中有75户人家. 【解析】 【详解】【分析】设城中有x户人家，根据今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，可得方程x+x=100，解方程即可得. 【详解】设城中有x户人家，由题意得 x+x=100， 解得x=75， 答：城中有75户人家. 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出等量关系列方程进行求解是关键. 23. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：） 【答案】米 【解析】 【分析】过点作于点，于点，则四边形是矩形，在中，求得，进而求得，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，于点，则四边形是矩形， 依题意， ，（米） 在中，（米），（米），则（米） ∵（米） ∴（米） ∵， ∴（米） ∴（米）． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 24. 如图，在中，，点在上，以为圆心，为半径的半圆分别交，于点，且点是弧的中点． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】（1） 连接、， ， ， ， ， ， 点是弧的中点， ， ， ， 为半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接、，证出，即可得出结论； （2）根据，分别求出和即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， 为等腰直角三角形， 设，则， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定定理、扇形的面积、等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握切线的判定定理． 25. 国庆期间某旅游点一家商铺销售一批成本为每件50元的商品，规定销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，若销售量y（件）与销售单价x（元）的关系是一次函数（如图）． （1）请直接写出y关于x的函数表达式_________． （2）设该商铺销售这批商品获得的总利润（总利润总销售额总成本）为w元，当销售单价为多少元时，可获得的总利润最大？最大总利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当销售单价为70元时，可获得的总利润最大；最大总利润是6000元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用以及一次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）直接利用待定系数法求一次函数解析式得出即可； （2）利用总利润总销售额总成本，进而得出w与x的函数关系式，进而得出最值． 【小问1详解】 解：设y与x的函数关系式为：， ∵函数图象经过点和， ∴， 解得：． 故y与x之间的函数关系式为：； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意可得出： ， 自变量取值范围：． ，． 函数图象开口向下，对称轴是直线． ，此时随的增大而增大， 当时，； 故当销售单价为70元时，可获得的总利润最大；最大总利润是6000元． 26. 【材料阅读】 材料一：在平面直角坐标系中，对两点和，定义两点间距离：． 材料二：数学课上，李老师提出如下问题：如图1，在中，，，求的最小值．经过思考后，小明提出了自己的想法：延长到点D，使得，则，连接…． 【概念理解】 （1）①已知点，则______． ②函数的图象如图2所示，点B在图象上，，点B的坐标是_______． （2）材料二中，的最小值为______． 【新知应用】结合材料一和材料二，完成下列问题： （3）如图3，在平面直角坐标系中，已知菱形，若点M在菱形边上，且．请利用无刻度直尺和圆规在图中作出满足条件的点M．（不写作法，保留作图痕迹） （4）如图4，已知点，点，直线经过点M，原点关于直线的对称点为，直接写出取值范围． 【答案】（1）①3；②或；（2）；（3）作图见解析；（4） 【解析】 【分析】（1）①由定义即可求解；②由题意可设，则由定义得到，再解方程即可； （2）当时，最小，，解即可； （3）过点B作轴，垂足为点，在点右侧轴上截取，连接并延长与菱形边的交点即为点，则，过点作轴于点，则为等腰直角三角形，故，进而证明，，即可得出； （4）由对称得：，则，取的中点，则，则，确定点轨迹为以为直径的圆，圆心记作，显然，在轴上取点，使得，过点作轴于点，则为等腰直角三角形，故，那么当与相切于左侧时，最大，即最大，即最大，过作轴于，再利用勾股定理以及解直角三角形即可求解，则，而当点与点重合时，最小，过点作交延长线于点， 在中，由勾股定理得：，那么，则此时，故，则，即可求出取值范围． 【详解】解：（1）①由题意得， 故答案为：3； ②由题意可设， ∵， ∴， ∴， 解得：或， 经检验，均是方程的解， ∴或， 故答案为：或； （2）当时，最小，如图： ∵， ∴， ∴在中，， 故答案为：； （3）如图，点M即为所求： 过点B作轴，垂足为点，在点右侧轴上截取，连接并延长与菱形边的交点即为点， ∵， ∴， 过点作轴于点，则为等腰直角三角形， ∴， ∵， 而 ∴； （4）由对称得：， 即为中点， ∴， 取的中点，则， ∵，， ∴， ∵， ∴点轨迹为以为直径的圆，圆心记作， ∵， 则， 在轴上取点，使得，过点作轴于点， 则为等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴当与相切于左侧时，最大，即最大，即最大，如图： 过作轴于，如图： ∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， ∴在等腰中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当点与点重合时，最小，过点作交延长线于点，如图： ∵，， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， ∴此时， ∴，则， 所以． 【点睛】本题考查了新定义，涉及解直角三角形，圆的切线的性质，两点间距离公式，垂线段最短，反比例函数的图象与性质等知识点，难度较大，正确理解题意，进行转化是解题的关键． 27. 如图：已知抛物线：，平移后的抛物线经过点和点．设点P为抛物线上一动点，横坐标为m． （1）抛物线的表达式为________． （2）若，为点P在上的对应点，过点P作x轴的垂线与交于点Q． ①当时，求m的值． ②当四边形中有一组对边平行时，求m的值． （3）点A在原抛物线的对应点为，过点A和作直线，过点P作x轴的垂线与直线交于点E，点P关于y轴的对称点为，以和为邻边作矩形，若抛物线在矩形内（包含边界）的最高点和最低点的差为2，直接写出m的值． 【答案】（1） （2）①；② （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质可设抛物线的表达式为，由抛物线经过点和点，可得，将点代入，建立方程求解即可； （2）由（1）可得抛物线向右平移2个单位，再向下平移2个单位后，得到抛物线，根据题意得，则，，①根据，即可求出m的值；②分，两种情况讨论，利用点坐标的特征建立方程求解即可； （3）同理（2）可得，求出直线的解析式为，进而求出，作矩形，由题意得时，点重合，不能构成矩形，时，点重合，不能构成矩形，则时，当与抛物线有两个交点时，设抛物线对称轴左侧交于点N，可得抛物线在矩形内，点P的为最高点，点N为最低点，进而得解；当与抛物线只有一个交点或没有交点时，可得抛物线在矩形内，点P的为最高点，抛物线的顶点为最低点，进而得解；同理时，画出示意图，即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意：设抛物线的表达式为， ∵抛物线经过点和点， ∴， 将点代入， 则 解得： ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 由（1）可得抛物线向右平移2个单位，再向下平移2个单位后，得到抛物线， 则，， ①∵， ∴点在点的上方， ∴，即， ∴； ②当时， ∵轴， ∴轴， ∵， ∴， ∴； 当时，过点作于点G，设与x轴交于点E，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：或（舍去）； 当时，点重合，不能构成四边形， 综上，当四边形中有一组对边平行时，m的值为； 【小问3详解】 解：同理（2）得， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 如图，作矩形， 时，点重合，不能构成矩形，时，点重合，不能构成矩形， 当时， 当与抛物线有两个交点时，设抛物线对称轴左侧交于点N时， ∵点P关于y轴的对称点为， ∴轴， 则抛物线在矩形内，点P的为最高点，点N为最低点， ∴点N的纵坐标为， ∴，即， ∴或（舍去）； 如图，当与抛物线只有一个交点或没有交点时， 则抛物线在矩形内，点P的为最高点，抛物线的顶点为最低点， ∵抛物线：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴，即， ∴（舍去）或（舍去）； 当时， 如图，当与抛物线有两个交点时，设与抛物线的左交点为N，与抛物线的左交点为Q， 则抛物线在矩形内，点N的为最高点，点Q为最低点， ∵点N的纵坐标为，点Q的纵坐标为， ∴，即， ∴或（舍去）； 当时， 如图，当与抛物线有交点时，设设与抛物线的交点为N， 同理，，即， ∴（舍去）或（舍去）； 如图，当与抛物线有交点时，设设与抛物线的交点为N， ∵，点与点P关于y轴对称， ∴， ∴， 则抛物线在矩形内，点N的为最高点，点P为最低点， ∴，即， ∴； 如图，当时，抛物线在矩形内没有图像， 综上，m的值为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用．涉及待定系数法求解析式，矩形的性质，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，理解题意，结合函数图象，综合运用这些知识点是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $