精品解析：辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高一上学期第二次统练数学试题

高一数学统练二 一、单选题 1. 已知a＞0，将表示成有理指数幂，其结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据根式与分数指数幂的关系结合指数幂运算法则化简即可得答案. 【详解】. 故选：C. 2. 关于x的方程有负根的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合指数函数的性质，要使关于x的方程有负根，可得，解出，再根据充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】当时，， 要使关于x的方程有负根， 则，即，即， 即，解得， 分析选项有真包含于， 所以关于x的方程有负根的一个充分不必要条件是. 故选：A. 3. 设函数且的图象经过第二、三、四象限，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数性质可确定单调性，进而得到，由此可得，解不等式可求得结果. 【详解】的图象经过第二、三、四象限， ，解得：，在上单调递减， 则由得：，即， ，解得：， 实数的取值范围为. 故选：B. 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对数函数的性质以及复合函数单调性逐项判断即可； 【详解】对于B、D，因为在其定义域上为单调增函数， 由复合函数的单调性可得在和上单调递减，故B、D错误； 对于C，由对数函数的性质，当时，，故C错误； 故选：A. 5. 下列三个数：，，，大小顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数、对数的知识确定正确答案. 【详解】， ，，所以， 所以， ， 所以. 故选：C 6. 已知是上的增函数，那么a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分段函数单调性，结合对数函数单调性列式求解即得. 【详解】是R上的增函数， 则，解得， 所以的取值范围为. 故选：A. 7. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复合函数的性质，可得内函数的值域，再分类讨论，当时利用二次函数的图像与性质进行求解即可. 【详解】当时，，由有解，可得函数的值域为，因此满足题意； 当时，要使函数的值域为， 则，解得或， 所以. 故选：D. 8. 设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 在上是减函数 D. 方程仅有个实数解 【答案】C 【解析】 【分析】根据与的奇偶性可判断函数的对称性与周期性，从而作出函数图像，数形结合判断各选项. 【详解】为奇函数，即，关于点对称， 又为偶函数，即，关于直线对称， 所以，即， 所以， 即函数的最小正周期为， A选项：，A选项正确； B选项：，所以为奇函数，B选项正确； C选项：由当时，，所以，所以在上单调递增，C选项错误； D选项：由，得 作出函数及图像如图所示， 由已知函数的值域为，且， 当时，，函数与无公共点， 当时，由图像可知函数与函数有个公共点， 即有个解，D选项正确； 故选：C. 二、多选题 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由知，利用完全平方公式求解A、B、D，利用求解C. 【详解】因为，所以， 对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，因为，所以，故D错误. 故选：ABC. 10. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，则下列说法正确的是（ ） A. 地震释放的能量为焦耳时，地震里氏震级为七级 B. 八级地震释放的能量为七级地震释放的能量的倍 C. 八级地震释放的能量为六级地震释放的能量的2000倍 D. 记地震里氏震级为（，2，…，9），地震释放的能量为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系可得答案. 【详解】A因地震释放的能量为，则，故A正确； B八级地震释放的能量满足， 七级地震释放的能量满足， 则八级地震释放的能量为七级地震释放的能量的倍，故B正确； C六级地震释放的能量满足， 则八级地震释放的能量为六级地震释放能量的倍，故C错误； D.，则，则，故D正确. 故选：ABD 11. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 函数的值域为 B. 函数的图象关于点成中心对称图形 C. 的解集为 D. 若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有个交点，记为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，分析函数的值域可得A错误，设，分析为奇函数，可得的对称中心， 可得B正确，由的对称性可得，结合函数的单调性即可判断C正确，由、 的对称性可得两个函数的交点也关于对称，进而分析可得D正确． 【详解】对于A，函数，由于，则，则， 即函数的值域为，A错误； 对于B，设， 则， 其定义域为，有，则为奇函数， 故的对称中心为，B正确； 对于C，的对称中心为，即， 故可得， 由于函数单调递增且恒为正，故在上单调递减， 故，解得，故C正确， 对于D，函数满足为奇函数，且的对称中心为， 而的对称中心为， 则与函数的图象的个交点也关于对称， 则，， 则，D正确． 故选：BCD． 三、填空题. 12. 不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】结合函数与的图象，即可解出不等式. 【详解】若，解得或， 画出与的图象，如图： 由图可知，的解集为. 故答案为：. 13. 利用，求有________位数. 【答案】963 【解析】 【分析】根据对数的运算可得，即可得答案. 【详解】，而． ， 的位数就是． 故答案为：963 14. 甲说：在上单调递减，乙说：存在实数x使得在成立，若甲、乙两人至少有一人说的话是对的，则a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数型函数单调性求得甲正确时；分离参数求解，，结合函数单调性可得乙正确时；即可求解甲乙均错误时的范围，求解补集即可得解. 【详解】若甲对，由于在上单调递减， 则在上单调递减，且在上恒成立， 则，解得； 若乙对，由，， 可得，， 因为在内单调递减，在,内单调递增， 且，可知在内的最大值为， 可得，解得； 若甲、乙均不对，则，解得， 若甲、乙两人至少有一人说的话是对的，则的取值范围 故答案为：． 三、解答题 15. 已知函数满足，其中，且. （1）求的解析式； （2）若，求函数的定义域； （3）讨论的值域. 【答案】（1），且 （2） （3）当时，的值域为；当时，的值域为. 【解析】 【分析】（1）利用配凑法即可求解； （2）根据指数函数的单调性即可求解不等式得解； （3）对分类讨论，即可结合二次函数以及指数函数的性质求解. 【小问1详解】 由， ，（且）. 【小问2详解】 当时，，则， ，则，即， 解得， 所以函数的定义域为. 【小问3详解】 ，又， 当时，在R上单调递增，所以，故值域为； 当时，在R上单调递减，所以，故值域为. 综上，当时，的值域为；当时，的值域为. 16. 已知函数. （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）判断在上的单调性，并证明你的判断； （3）对任意，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）偶函数，理由见解析 （2）单调递减，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）借助奇、偶函数的定义判断即可得； （2）由符合函数的性质可直接判断，借助函数单调性的定义即可证明； （3）结合函数的单调性与奇偶性计算即可得. 【小问1详解】 函数为偶函数，理由如下： 由题意得，， 函数的定义域为，关于原点对称， 又为偶函数； 【小问2详解】 函数在上单调递减，证明如下： 取，且， ， ， 函数在上单调递减； 【小问3详解】 由题意得， 当时，则， 当时，则， （当且仅当时等号成立），； 综上，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学统练二 一、单选题 1. 已知a＞0，将表示成有理指数幂，其结果是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的方程有负根的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 3. 设函数且的图象经过第二、三、四象限，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 5. 下列三个数：，，，大小顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是上的增函数，那么a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 在上是减函数 D. 方程仅有个实数解 二、多选题 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，则下列说法正确的是（ ） A. 地震释放的能量为焦耳时，地震里氏震级为七级 B. 八级地震释放的能量为七级地震释放的能量的倍 C. 八级地震释放的能量为六级地震释放的能量的2000倍 D. 记地震里氏震级为（，2，…，9），地震释放的能量为，则 11. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 函数的值域为 B. 函数的图象关于点成中心对称图形 C. 的解集为 D. 若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有个交点，记为，则 三、填空题. 12. 不等式的解集为________. 13. 利用，求有________位数. 14. 甲说：在上单调递减，乙说：存在实数x使得在成立，若甲、乙两人至少有一人说的话是对的，则a的取值范围是________. 三、解答题 15. 已知函数满足，其中，且. （1）求的解析式； （2）若，求函数的定义域； （3）讨论的值域. 16. 已知函数. （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）判断在上的单调性，并证明你的判断； （3）对任意，若恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $