精品解析：湖南省张家界市民族中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

湖南师大附中张家界市民族中学九年级第一次月考数学 分值：120 时量：120分钟 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，则此斜坡的水平距离AC为（　　） A. 75m B. 50m C. 30m D. 12m 【答案】A 【解析】 【分析】根据坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比列式计算即可． 【详解】解：∵斜坡AB的坡度i＝1：2.5， ∴BC：AC＝1：2.5， ∵BC＝30m， ∴AC＝30×2.5＝75m， 故选A． 【点睛】本题主要考查了坡度的定义，解题的关键在于能够熟练掌握坡度的定义. 2. 已知，则锐角α的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．根据特殊角的三角函数值，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3. 在锐角中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数，非负数的性质，三角形内角和等知识，根据非负数的性质、特殊角三角函数求得是解题的关键；由非负数的性质及特殊角三角函数求得，再由三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4. 在Rt△ABC中，有下列情况，则直角三角形可解的是（　　） A. 已知BC＝6，∠C＝90° B. 已知∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝5 C. 已知∠C＝90°，∠A＝∠B D. 已知∠C＝∠B＝45° 【答案】B 【解析】 【分析】根据解直角三角形需要满足的条件，逐一判断即可得出结论． 【详解】解：∵选项C、D缺少边的条件，A缺少锐角的条件， ∴不能解直角三角形， 选项B中，由∠A的正弦可求出AB，再根据直角三角形的性质可求出∠B，然后由勾股定理或∠A的正切函数可求出AC． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握求解直角三角形的条件是解决本题的关键． 5. 下列函数中属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义．根据形如的函数叫作二次函数可得答案． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、当时，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项符合题意； D、分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 6. 由二次函数，可知（ ） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其最小值为1 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】先确定顶点及对称轴，结合抛物线的开口方向逐一判断． 本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：因为是抛物线的顶点式，顶点坐标为， A．∵，∴图象的开口向上，故此选项错误； B、对称轴为直线，故此选项错误； C、∵二次函数顶点坐标为，∴其最小值为1, 故此选项正确； D、∵，且对称轴为直线，∴当时，y随x增大而减小，故此选项错误． 故选：C． 7. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 最大值 C. 与x轴只有一个交点 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数与系数的关系，根据二次函数的性质求解判断即可． 【详解】， 直线是抛物线的对称轴， 故A选项说法正确； 当时，抛物线有最大值， 故B选项说法正确； 令，， 抛物线与x轴有两个交点， 故C选项说法错误； 当时，随的增大而增大， 故D选项说法正确， 故选：C． 8. 若将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移规律，根据抛物线的平移规律进行作答即可．抛物线的平移规律：上加、下减、左加、右减． 【详解】解：因为先向左平移3个单位，再向下平移2个单位， 所以， 故选：D． 9. 若方程 ax2+bx+c=0 的两个根是﹣3 和 1，那么二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的对称轴是直线（ ） A. x=﹣3 B. x=﹣2 C. x=﹣1 D. x=1 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：先根据题意得出抛物线与x轴的交点坐标，再由两点坐标关于抛物线的对称轴对称即可得出结论． 解：∵方程ax2+bx+c=0的两个根是−3和1， ∴二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点分别为(−3,0),(1,0). ∵此两点关于对称轴对称， ∴对称轴是直线x==−1. 故选C. 10. 如图二次函数的图象，与x轴交于、点，下列说法中：①；②方程的根是③；④当时，y随x的增大而增大．正确的说法有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握由二次函数的图象确定二次函数中的符号是解题的关键．根据二次函数的图象确定二次函数中的符号，由与x轴的交点，确定方程的根，以及观察图象确定函数的增减性，再逐项分析即可． 【详解】①由二次函数的图象开口向上，可知， 与轴交于负半轴， ， ，故①正确； ②二次函数的图象，与x轴交于、点， 方程的根是；故②正确 ③二次函数的图象，与x轴交于， 由图象可知，当时，故③错误； ④观察图象可知，对称轴为， 在对称轴右侧，y随x的增大而增大， 即当时，y随x的增大而增大． 所以正确的有①②④3个． 故选：C． 二、填空题（24分） 11. 已知锐角满足，则______． 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查正弦余弦关系．根据题意利用正弦余弦等值则角度互余，即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴，即：， 故答案为：35． 12. 已知，则锐角______ 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了根据三角函数值求角的度数．根据特殊角的三角函数值，，且为锐角，因此． 【详解】解：∵，且是锐角， ∴． 故答案为：． 13. 若二次函数有最小值，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质和定义．根据二次函数的性质和定义，即可求出m的值． 【详解】解：由是二次函数，且函数有最小值， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：． 14. 抛物线的对称轴为直线_______． 【答案】 【解析】 【详解】此题考查了二次函数的对称轴，把二次函数配方成顶点式， 依据题意，由抛物线为，从而可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵抛物线为， ∴对称轴是直线． 故答案为：． 15. 在的网格中，每格小正方形的边长都是1，若的三个顶点都在相应格点上，则的值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】如图，作，垂足为D，结合网格利用勾股定理求出，最后根据代入计算即可． 【详解】解：如图，作，垂足为D， 由图可知， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、锐角三角函数，解题的关键是找到直角三角形． 16. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是______； 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式之间的关系，先由对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴由函数图象可知，当时，x的取值范围是， 故答案为：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点C，这条抛物线的对称轴与x轴交于点D，以为边作菱形，若菱形的顶点A，B在这条抛物线上，则菱形的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，菱形的性质，勾股定理等等，先求出，再求出对称轴为直线，则，即可得到，再由菱形的性质得到，则点A､B关于直线对称，可得，再利用勾股定理求出的长即可利用菱形面积计算公式求出答案． 【详解】解：设抛物线的对称轴交于点E，如解图， 当时，，解得， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ， ∵四边形为菱形， ， ∴点A､B关于直线对称， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴菱形的面积为， 故答案为：． 18. 已知抛物线顶点为点，与y轴交于点B，在抛物线上有一点P，使的面积为8，则点P的坐标是______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，关键是根据面积求坐标．先求直线解析式为，再在轴上点左边取一点，使的面积为8，得，过作的平行线交抛物线于，此时的面积为8，联立直线和抛物线，即可求出的坐标． 【详解】解：在二次函数中，顶点坐标为，令，得， ， 设直线解析式为，将代入得， ，解得， 直线解析式为， 在轴上点左边取一点，使的面积为8， 过作的平行线交抛物线于，此时的面积为8， 设直线的解析式为，将代入得： ，解得， 的解析式为， 解得的坐标为或． 故答案为：或． 三、解答题 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值的相关运算，熟记各角的值是解题的关键． （1）将特殊角的三角函数值代入原式即可求解． （2）将特殊角的三角函数值代入原式即可求解． 【小问1详解】 解：原式， ， ； 【小问2详解】 解：原式， ， ， 20. 已知二次函数． （1）求二次函数的最小值； （2）求抛物线与x轴的交点． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数化为顶点式，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）先利用配方法得出顶点式，再利用二次函数性质求解； （2）令，构建方程求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 当时，函数有最小值，为； 【小问2详解】 解：在二次函数中，令，得， 解得：，， 抛物线与x轴的交点坐标为． 21. 在平面直角坐标系中，抛物线经过和两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的对称轴和顶点坐标． 【答案】（1） （2）对称轴为直线，顶点为 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及顶点坐标和对称轴，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）配方成即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过和两点， ， 解得：， ∴解析式为：； 【小问2详解】 解：， ∴对称轴为直线，顶点为． 22. 用长为的篱笆围成一个长方形的生物园，一面靠墙（为宽）． （1）写出长方形的面积与宽之间的函数解析式； （2）当x为何值时，长方形的面积最大？最大面积为多少？ 【答案】（1） （2）当时，长方形面积最大，面积最大为． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用能力，根据题意列出解析式是基础，配方是关键． （1）首先表示出长方形的长，根据长方形面积=长×宽列出函数关系式； （2）将函数关系式配方成二次函数顶点式，即可知其最大值． 【小问1详解】 解：当长方形的宽时，其长， 故长方形的面积， 即； 【小问2详解】 解： 当时，取得最大值，最大值为32， 答：当时，长方形面积最大，面积最大为． 23. 如图，一枚运载火箭从地面A处发射．当火箭到达B点时，从位于地面D处的雷达站测得BD的距离是4km，仰角为30°；当火箭到达C点时，测得仰角为45°，这时，C点距离雷达站D有多远（结果保留根号）？ 【答案】C点距离雷达站D是km． 【解析】 【分析】先通过cos∠BDA求出AD的长,再通过cos∠CDA求出CD的长即可． 【详解】在Rt△ABD中,cos∠BDA＝, ∴AD＝4×＝ (km)； 在Rt△ACD中,cos∠CDA＝, ∴CD＝＝ (km)． ∴C点距离雷达站D是km． 【点睛】本题考查解直角三角形和三角函数应用,关键在于通过图象结合． 24. 如图，A，B两城市相距，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段），经测量．森林保护中心在城市的北偏东和城市的北偏西的方向上．已知森林保护区的范围在以点为圆心，为半径的圆形区域内，请问：计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区？请说明理由．（参考数据） 【答案】 解：如图，过点P作，E是垂足． 则线段的长，就是点P到直线的距离， 根据题意，，， 则在和中， ， ， 而， 即， ∴， ∵，即保护区中心到公路的距离大于半径100千米， ∴公路不会穿越保护区． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键． 过点P作，E是垂足．与都可以根据三角函数用表示出来．根据的长，得到一个关于的方程，解出的长．从而判断出这条路会不会穿越保护区． 【详解】略 25. 某商品售价为每件60元，每周可卖出300件，调研发现，每涨价1元，每周少卖10件，已知商品的进价为每件40元，设每件商品涨价 元，利润 y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）x为多少时利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）为5时，利润最大，最大利润为6250元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数性质的应用， (1)每件涨价元，所售件数是件，每件的利润是元，根据利润=每件的利润×所售的件数，即可列出函数解析式； (2)根据函数的性质求解即可； 熟练掌握二次函数的性质是解决此题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得：所售件数是件，每件的利润是元， ∴y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由（1）得，， ， 当时，有最大值，最大值为：6250， 答：为5时，利润最大，最大利润为6250元． 26. 如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，且，抛物线图象经过，，三点． （1）求A，C两点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求P点坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等，其中（3）用函数关系表示，是本题解题的关键． （1），即可求解； （2）设抛物线的表达式为：，把点C的坐标代入即可求解； （3）先求直线解析式，然后求出，设，则可求，然后根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵点B的坐标为， ∴， 故点、的坐标分别为、； 【小问2详解】 解：抛物线的表达式为：， 即，解得：， 故抛物线的表达式为：； 【小问3详解】 解：直线过点，设其函数表达式为：， 将点坐标代入上式并解得：， 故直线的表达式为：， 过点作轴的平行线交于点， ， ， 轴， ， 设点， 则点， ， ， 有最大值，当时，其最大值为， 此时点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南师大附中张家界市民族中学九年级第一次月考数学 分值：120 时量：120分钟 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，则此斜坡的水平距离AC为（　　） A. 75m B. 50m C. 30m D. 12m 2. 已知，则锐角α的度数是（　　） A. B. C. D. 3. 在锐角中，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在Rt△ABC中，有下列情况，则直角三角形可解的是（　　） A. 已知BC＝6，∠C＝90° B. 已知∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝5 C. 已知∠C＝90°，∠A＝∠B D. 已知∠C＝∠B＝45° 5. 下列函数中属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 由二次函数，可知（ ） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其最小值为1 D. 当时，随的增大而增大 7. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 最大值 C. 与x轴只有一个交点 D. 当时，随的增大而增大 8. 若将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 9. 若方程 ax2+bx+c=0 的两个根是﹣3 和 1，那么二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的对称轴是直线（ ） A. x=﹣3 B. x=﹣2 C. x=﹣1 D. x=1 10. 如图二次函数的图象，与x轴交于、点，下列说法中：①；②方程的根是③；④当时，y随x的增大而增大．正确的说法有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（24分） 11. 已知锐角满足，则______． 12. 已知，则锐角______ 13. 若二次函数有最小值，则______． 14. 抛物线的对称轴为直线_______． 15. 在的网格中，每格小正方形的边长都是1，若的三个顶点都在相应格点上，则的值为_________． 16. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是______； 17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点C，这条抛物线的对称轴与x轴交于点D，以为边作菱形，若菱形的顶点A，B在这条抛物线上，则菱形的面积为___________． 18. 已知抛物线顶点为点，与y轴交于点B，在抛物线上有一点P，使的面积为8，则点P的坐标是______． 三、解答题 19. 计算： （1）； （2）． 20. 已知二次函数． （1）求二次函数的最小值； （2）求抛物线与x轴的交点． 21. 在平面直角坐标系中，抛物线经过和两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的对称轴和顶点坐标． 22. 用长为的篱笆围成一个长方形的生物园，一面靠墙（为宽）． （1）写出长方形的面积与宽之间的函数解析式； （2）当x为何值时，长方形的面积最大？最大面积为多少？ 23. 如图，一枚运载火箭从地面A处发射．当火箭到达B点时，从位于地面D处的雷达站测得BD的距离是4km，仰角为30°；当火箭到达C点时，测得仰角为45°，这时，C点距离雷达站D有多远（结果保留根号）？ 24. 如图，A，B两城市相距，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段），经测量．森林保护中心在城市的北偏东和城市的北偏西的方向上．已知森林保护区的范围在以点为圆心，为半径的圆形区域内，请问：计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区？请说明理由．（参考数据） 25. 某商品售价为每件60元，每周可卖出300件，调研发现，每涨价1元，每周少卖10件，已知商品的进价为每件40元，设每件商品涨价 元，利润 y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）x为多少时利润最大？最大利润是多少元？ 26. 如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，且，抛物线图象经过，，三点． （1）求A，C两点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求P点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $