江苏省徐州市第三中学2024～2025学年高二上学期期末复习综合练数学试题

徐州三中2024~2025学年度高二上学期期末复习综合练 数学试题 1.已知圆，过圆 C 外一点 P 作两条夹角为的直线分别与圆 C 相交，当所得的弦长均为 2 时， A． 2 B． C． 4 D． 【答案】B 【解析】【分析】先确定圆心，然后由条件可知到两直线的距离，设到其中一条直线的投影为，由条件可知，最后利用即得结果. 【详解】圆的方程化为标准方程即为，所以圆心，且半径. 而一条直线被圆所截得的弦长为2，意味着圆心到该直线的距离. 记到其中一条直线的投影为，则，，所以. 故选：B. 2.双曲线的右焦点为 F，B 为其左支上一点，线段 BF 与双曲线的一条渐近线相交于点 A，且，（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为 A． B． 2 C． D． 【答案】C 【解析】【分析】根据向量运算可推导知，为中点，利用点到直线距离公式可得，结合双曲线定义可用表示出，在中，利用勾股定理可构造齐次方程求得，由可求得离心率. 【详解】，； ，为线段的中点， 设双曲线的左焦点为， 分别为中点，，； 设，由双曲线定义知：， 点到渐近线的距离，即， ，则， 在中，由勾股定理得：，解得：， 双曲线离心率. 故选：C. 【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种： （1）根据已知条件，求解得到的值或取值范围，由求得结果； （2）根据已知的等量关系或不等关系，构造关于的齐次方程或齐次不等式，配凑出离心率，从而得到结果. 3.已知，为椭圆的两个焦点，P、Q 为 C 上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 A． 10 B． 8 C． 24 D． 【答案】B 【解析】【分析】由题目条件得到四边形为矩形，即，由勾股定理和椭圆定义得到方程组，求出，得到答案. 【详解】椭圆中，， 因为、为C上关于坐标原点对称的两点，所以， 又，故四边形为平行四边形， 又，故四边形为矩形，即， 由勾股定理得①， 由椭圆定义得②， 式子②平方得， 结合①得， 故四边形的面积为. 故选：B 4.已知是正项等比数列，，，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【分析】由等比数列的通项公式与求解公式求解即可 【详解】因为是正项等比数列，， 所以， 所以首项， 显然数列也是等比数列， 其首项为，公比， 于是， 故选：C. 5.若直线与圆交于 M，N 两点，且 M，N 关于直线对称，则实数的值为 A． 1 B． 2 C． 3 D． 0 【答案】A 【解析】【分析】由圆的方程得出圆心坐标，根据圆的对称性可知直线通过圆心，得出，再由直线与直线相互垂直，得出，代入求解即可. 【详解】，方程一定表示圆； 则圆心坐标为，根据圆的对称性可知，直线通过圆心， 则， M、N两点关于直线对称 直线与直线相互垂直，， 所以， 故选：A. 6.在空间直角坐标系中，点关于平面 xOz 的对称点为 B，则 A． B． 10 C． D． 12 【答案】D 【解析】【分析】由题意，根据点关于平面的对称点，求得的坐标，利用向量的数量积的坐标运算，即求解. 【详解】由题意，空间直角坐标系中，点关于平面的对称点， 所以，则，故选D. 【点睛】本题主要考查了空间直角坐标系的应用，以及空间向量的数量积的坐标运算，其中解答中熟记空间向量数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 7.如图，在正方体中，点 E 是线段（含端点）上的动点，则下列结论错误的是 A． 存在点 E，使 B． 异面直线与 AD 所成的角最小值为 C． 无论点 E 在线段的什么位置，都有 D． 无论点 E 在线段的什么位置，都有平面 【答案】B 【解析】【分析】当点与点重合时，有，即可判断A选项；建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，设，进而得，，在根据异面直线夹角的向量求解方法求解即可判断B选项；结合B选项讨论，证明即可判断C选项；证明平面平面，再结合面面平行到线面平行可判断D选项. 【详解】解：对于A，当点与点重合时，，，所以，即，故A正确； 对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则， 设，则，， 所以，，当且仅当，即点是线段中点时，等号成立， 所以异面直线与所成的角的余弦值， 所以的最小值小于，故B不正确； 对于C，结合B选项的讨论，，，则，所以，故C正确； 对于D，在正方体中，有， 因为平面，平面 所以，平面，平面， 因为，平面， 所以平面平面 因为平面，所以，故D正确. 故选：B    8.等比数列的各项均为正数，且，.设，则数列的前 n 项和 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【分析】设等比数列的公比为，则，根据已知条件求出、的值，可得出的通项公式，再利用裂项相消法可求得. 【详解】设等比数列的公比为，则，则， 所以，所以，因为，可得， 所以， 所以， 所以，， 即数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 所以， 因此. 故选：B. 9.下列说法正确的是 A． 过点且在 x、y 轴截距相等的直线方程为 B． 过点且垂直于直线的直线方程为 C． 过两圆及的交点的直线的方程是 D． 直线与曲线有两个不同的交点，则实数 k 的取值范围是 【答案】BC 【解析】【分析】求出直线的方程，可判断A选项；利用两直线垂直求出直线的方程，可判断B选项；求出相交弦所在直线的方程，可判断C选项；利用直线与圆的位置关系以及数形结合思想求出的取值范围，可判断D选项. 【详解】对于A选项，当直线过原点时，设直线的方程为，则有，此时所求直线方程为， 若直线不过原点，设所求直线方程为，则，此时所求直线方程为， 所以，过点且在、轴截距相等的直线方程为或，A错； 对于B选项，直线的斜率为， 所以，过点且垂直于直线的直线方程为，即，B对； 对于C选项，圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， ，，故两圆相交， 将两圆方程作差得， 所以，过两圆及的交点的直线的方程是，C对； 对于D选项，由可得，得， 所以曲线表示圆的上半圆， 直线表示过点且斜率为的直线，如下图所示： 当直线与半圆相切且切点位于第二象限时， 则，解得； 当直线过点时，则，解得. 由图可知，直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是，D错. 故选：BC. 10.已知，分别是双曲线的左、右焦点，经过点且倾斜角为钝角的直线 l 与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点，点 P 为 C 上第二象限内一点，则 A． 若双曲线 E 与 C 有相同的渐近线，且 E 的焦距为 8，则 E 的方程为 B． 若，则的最小值是 C． 若内切圆的半径为 1，则点 P 的坐标为 D． 若线段 AB 的中垂线过点，则直线 l 的斜率为 【答案】BCD 【解析】【分析】根据共渐近线设双曲线方程，结合双曲线得性质即可得双曲线方程，从而判断A；根据双曲线的定义转换可得的最小值，从而判断B；设内切圆圆心为，直线与圆的切点分别为，根据双曲线的定义结合与三角形内切圆的几何性质，即可得点的坐标，从而判断C；根据线段垂直平分线结合点差法确定直线与垂线斜率关系，并检验直线是否符合即可确定直线斜率，从而判断D. 【详解】对于A，依题意设双曲线（且），即， 又的焦距为8，所以，，所以的方程为或，故A错误； 对于B，因为，所以， ，当且仅当三点共线时等号成立，故B正确； 对于C，设内切圆圆心为，直线与圆的切点分别为．      则，，，所以， ，解得，， 连接，则内切圆半径，，，， 所以轴，点在第二象限，坐标为，故C正确； 对于D，设的中点为，两渐近线可写成，设，， 则，且，作差可得， 整理得，即（*）， 在中，，则， 故，即， 将此式代入（*）得，，解得，由直线的倾斜角为钝角知，则，故D正确． 故选：BCD． 11.如图，在棱长为 2 的正方体中，点 O 为线段 BD 的中点，且点 P 满足，则下列说法正确的是 A． 若，，则平面 B． 若，，则平面 C． 若，则 P 到平面的距离为 D． 若，时，直线 DP 与平面所成角为，则 【答案】ABD 【解析】【分析】根据各项参数确定的位置，分别应用线面平行的判定定理判断A；线面垂直的判定定理判断B；由到平面的距离，即为到平面的距离的一半，几何法求点面距离判断C；应用向量法求线面角，进而求范围判断D. 【详解】A：，即重合，故即为，又，即， 由面，面，则面，对；     B：，易知为的中点，此时，且 所以，故，即，    根据正方体的结构特征，易得， 若为的中点，则，又，则， 显然面，面，则， 由且在面内，则面，面，则， 所以，又都在面内，则面，对； C：，即是面的中心， 易知到平面的距离，即为到平面的距离的一半， 根据正方体的结构特征，为正四面体，且棱长为， 所以到平面的距离， 所以到平面的距离为，错； D：，则在线段上运动，如图构建空间直角坐标系，    所以，且，故， 令面的一个法向量为，且， 所以，令，则， 故，令，则， 所以，， 故，对. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：根据各项参数值确定对应点的位置为关键. 12.已知抛物线的焦点为 F，准线为 l，经过点 F 且斜率为的直线与抛物线交于点 M（M 在 x 轴上方），过 M 作，垂足为 N，则 M 到直线 NF 的距离为_________________. 【答案】 【解析】【分析】分析可知是等边三角形，求出该三角形的边长，即可求解. 【详解】设直线交轴于点，因为直线的斜率为，则该直线的倾斜角为，    由抛物线的定义可得，易知轴，则，， 所以是等边三角形， 则，所以， 因此，点到直线的距离为. 故答案为： 13.2015 年 7 月 31 日，国际奥委会正式确定 2022 年冬奥会的举办权为北京——张家口.小明为了去现场观看 2022 年的冬奥会，他打算自 2016 年起，每年的 1 月 1 日都到某银行存入 1 000 元的一年期定期存款，若该银行的年利率为，且年利率保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期.那么 2017 年 1 月 1 日，小明去银行继续存款 1 000 元后，他的账户中一共有______________元存款；到 2022 年 1 月 1 日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则小明一共约可取回______________元.（参考数据：，，） 【答案】(1)2 025 (2)6 560 【解析】【分析】根据题意，结合通项公式和等比数列的求和公式，准确计算，即可求解. 【详解】由题意，小明每年的1月1日都到某银行存入元的一年期定期存款，且银行的年利率为，且年利率保持不变，2017年1月1日，小明去银行继续存款元后， 他的账户中一共有元， 到2022年1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出， 则共取回 元. 故答案为：；. 14.在矩形 ABCD 中，，，沿对角线 AC 将矩形折成一个大小为的二面角，若，则此时点 B 与点 D 之间的距离是_________________． 【答案】 【解析】【分析】根据二面角、空间向量运算等知识来求得点与点之间的距离. 【详解】分别作，，垂足为，，则 由已知可得，，，．因为， 则，所以. 故答案为：    【点睛】方法点睛： 空间折叠与二面角的利用：通过将矩形沿对角线折叠，构造出了二面角，并利用垂线的位置关系，结合向量法来求解距离，这是一种有效的空间几何求解方法. 15.如图，在三棱锥中，是等腰直角三角形，O 是斜边 AC 的中点，且，．    （1）证明：平面 ABC； （2）若点 E 在棱 BC 上，当二面角的大小为时，求 BE. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得及，则可得为等边三角形，利用等边三角形的性质结合勾股定理可得，再利用线面垂直判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系后，可计算出平面与平面的法向量，结合二面角的大小为，借助空间向量夹角公式计算即可得. 【详解】（1）由，是斜边的中点， 故，，， 则，故为等边三角形， 故，且， 又，故有，故， 又，、平面，故平面； （2）由（1）可知，、、两两垂直， 故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则、、、、， 则、、， 设，， 则， 设平面的法向量为， 则有， 令，则有，， 即平面的法向量可为， 由轴平面，故平面的法向量可为， 则， 化简得，故或， 又，故，即.    16.已知椭圆的右焦点为，离心率，A，B 是椭圆上的动点. （1）求椭圆标准方程； （2）若直线 OA 与 OB 的斜率乘积，动点 P 满足，（其中实数为常数）.问是否存在两个定点，，使得？若存在，求，的坐标及的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2），； 【解析】【分析】（1）由题设可知：，可求，再由可求. （2）只需判断点的轨迹为椭圆，且有，设，，，则由，可得，，由点在椭圆上， 可得，，再由，可得，整理可得，再由椭圆的定义可求，进而得出. 【详解】（1）由题设可知：，解得，又，， 椭圆标准方程为. （2）设，，， 则由，得，， 点在椭圆上， ，， 故 ， 由题设条件可知， 因此， ， 即， 点是椭圆上的点， 设该椭圆的左、右焦点为、， 则由椭圆的定义， ， 又， 因此两焦点的坐标为，. 17.如图，在直四棱柱中，底面四边形 ABCD 为菱形，，点 E，F 分别为棱 AB，上的点，       （1）若，且平面平面，求实数的值； （2）若 F 是的中点，平面与平面 BDF 的夹角的余弦值为，求的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】【分析】（1）法一，四边形ABCD为菱形，，取AB的中点，容易证得，进而证明平面和平面平面，从而求出实数的值；法二，在上取一点G，使，证明，进而证明平面和平面平面，从而求出实数的值； （2）法一，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，进而平面与平面夹角的余弦值，即可求出的值； 法二，以底面菱形的中心为坐标原点，建立空间直角坐标系，容易证得向量夹角余弦的绝对值等于平面与平面夹角的余弦值，即可求出的值. 【详解】（1）方法一：如图1，取AB的中点，连接， 因为四边形ABCD是菱形，且， 所以是等边三角形，所以. 因为平面ABCD，平面ABCD，所以. 因为，平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以平面平面， 所以E点和点重合. 所以，即，即. 方法二：如图2，在上取一点G，使，连接EG，. 显然四边形为平行四边形，得到，且， 同时，且， 有，且， 四边形为平行四边形， 则平面平面，且. 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 所以. 又平面平面，平面平面，平面. 所以平面. 又平面，所以. 又因为四边形是菱形，且， 所以是等边三角形， 所以，即.    （2）方法一：以E为AB的中点. 以点为原点，分别以为轴，建立如图3所示的空间直角坐标系 不妨设，，则，，，，，，所以，，，. 设平面的法向量为， 则即 令，则，，所以平面的一个法向量为， 设平面BDF的法向量为， 则即 令，则，，所以平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为，则 令，解得或，所以或. 所以或. 方法二：连接AC，与BD相交于点O，连接与相交于点， 连接，OF，. 由题意得，，平面ABCD. 以点为原点，分别以为轴，建立如图4所示的空间直角坐标系， 不妨设，， 则，， 所以，. 易知，，， 所以向量夹角余弦的绝对值等于平面与平面夹角的余弦值， 所以. 所以. 解得或，所以或. 所以或. 18.已知数列的前 n 项和为，，． （1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前 n 项和； （3）若对任意恒成立．求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析，； （2）； （3）. 【解析】【分析】（1）根据题设递推关系有，结合等差数列定义判断证明，进而写出通项公式； （2）应用错位相减法及等比数列前n项和公式求； （3）将问题化为恒成立，作差法判断右侧的最小值，即可得参数范围. 【详解】（1）由，则，又， 所以数列是首项、公差均为的等差数列，则， 所以. （2）由，则， 所以， 所以. （3）由（1）（2），则，整理得恒成立， 令，则， 当时，当时，当时， 所以，即的最小值为， 综上，. 19.已知椭圆 C：的左、右焦点分别为，，离心率为，为 C 上一点，过点且与 y 轴不垂直的直线 l 与 C 交于 A，B 两点． （1）求 C 的方程； （2）在平面内是否存在定点 Q，使得为定值？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在； 【解析】【分析】（1）由题意可得，解方程组即可求出结果； （2）设l的方程为，与椭圆的方程联立，结合韦达定理表示出，然后根据题意可得，，，进而可求出结果. 【详解】（1）设C的半焦距为，由题意得，解得， 所以C的方程为． （2）假设存在定点，使得为定值，设，． 由（1）知，因为l不垂直于y轴，故设l的方程为， 联立，得，消去x并化简，得． 则，且，， ，， 所以 ． 所以， 所以，，， 所以，，． 所以存在，使得为定值． 【点睛】求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 徐州三中2024~2025学年度高二上学期期末复习综合练 数学试题 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知圆，过圆 C 外一点 P 作两条夹角为的直线分别与圆 C 相交，当所得的弦长均为 2 时， A． 2 B． C． 4 D． 2.双曲线的右焦点为 F，B 为其左支上一点，线段 BF 与双曲线的一条渐近线相交于点 A，且，（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为 A． B． 2 C． D． 3.已知，为椭圆的两个焦点，P、Q 为 C 上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 A． 10 B． 8 C． 24 D． 4.已知是正项等比数列，，，则 A． B． C． D． 5.若直线与圆交于 M，N 两点，且 M，N 关于直线对称，则实数的值为 A． 1 B． 2 C． 3 D． 0 6.在空间直角坐标系中，点关于平面 xOz 的对称点为 B，则 A． B． 10 C． D． 12 7.如图，在正方体中，点 E 是线段（含端点）上的动点，则下列结论错误的是 A． 存在点 E，使 B． 异面直线与 AD 所成的角最小值为 C． 无论点 E 在线段的什么位置，都有 D． 无论点 E 在线段的什么位置，都有平面 8.等比数列的各项均为正数，且，.设，则数列的前 n 项和 A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.下列说法正确的是 A． 过点且在 x、y 轴截距相等的直线方程为 B． 过点且垂直于直线的直线方程为 C． 过两圆及的交点的直线的方程是 D． 直线与曲线有两个不同的交点，则实数 k 的取值范围是 10.已知，分别是双曲线的左、右焦点，经过点且倾斜角为钝角的直线 l 与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点，点 P 为 C 上第二象限内一点，则 A． 若双曲线 E 与 C 有相同的渐近线，且 E 的焦距为 8，则 E 的方程为 B． 若，则的最小值是 C． 若内切圆的半径为 1，则点 P 的坐标为 D． 若线段 AB 的中垂线过点，则直线 l 的斜率为 11.如图，在棱长为 2 的正方体中，点 O 为线段 BD 的中点，且点 P 满足，则下列说法正确的是 A． 若，，则平面 B． 若，，则平面 C． 若，则 P 到平面的距离为 D． 若，时，直线 DP 与平面所成角为，则 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知抛物线的焦点为 F，准线为 l，经过点 F 且斜率为的直线与抛物线交于点 M（M 在 x 轴上方），过 M 作，垂足为 N，则 M 到直线 NF 的距离为_________________. 13.2015 年 7 月 31 日，国际奥委会正式确定 2022 年冬奥会的举办权为北京——张家口.小明为了去现场观看 2022 年的冬奥会，他打算自 2016 年起，每年的 1 月 1 日都到某银行存入 1 000 元的一年期定期存款，若该银行的年利率为，且年利率保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期.那么 2017 年 1 月 1 日，小明去银行继续存款 1 000 元后，他的账户中一共有______________元存款；到 2022 年 1 月 1 日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则小明一共约可取回______________元.（参考数据：，，） 14..在矩形 ABCD 中，，，沿对角线 AC 将矩形折成一个大小为的二面角，若，则此时点 B 与点 D 之间的距离是_________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.如图，在三棱锥中，是等腰直角三角形，O 是斜边 AC 的中点，且，．    （1）证明：平面 ABC； （2）若点 E 在棱 BC 上，当二面角的大小为时，求 BE. 16.已知椭圆的右焦点为，离心率，A，B 是椭圆上的动点. （1）求椭圆标准方程； （2）若直线 OA 与 OB 的斜率乘积，动点 P 满足，（其中实数为常数）.问是否存在两个定点，，使得？若存在，求，的坐标及的值；若不存在，说明理由. 17.如图，在直四棱柱中，底面四边形 ABCD 为菱形，，点 E，F 分别为棱 AB，上的点，       （1）若，且平面平面，求实数的值； （2）若 F 是的中点，平面与平面 BDF 的夹角的余弦值为，求的值. 18.已知数列的前 n 项和为，，． （1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前 n 项和； （3）若对任意恒成立．求实数的取值范围． 19.已知椭圆 C：的左、右焦点分别为，，离心率为，为 C 上一点，过点且与 y 轴不垂直的直线 l 与 C 交于 A，B 两点． （1）求 C 的方程； （2）在平面内是否存在定点 Q，使得为定值？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$