复习专题04 指数与指数函数8题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 复习专题04 指数与指数函数8题型分类 1．根式 (1)a的n次方根的定义:一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*． (2)根式:式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 2．根式的性质 (1)＝0(n∈N*，且n>1)． (2) ()n＝a(a≥0，n∈N*，且n>1)． (3) ＝a(n为大于1的奇数)． (4) ＝|a|＝(n为大于1的偶数)． 3．分数指数幂 (1)正分数指数幂：＝(a>0,m,n∈N*,且n>1)． (2)负分数指数幂：＝(a>0,m,n∈N*,且n>1)． 4．有理数指数幂 (1) aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2) (ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3) (ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 5．指数函数 (1)一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数． (2)其中x是自变量，函数的定义域是R． 6．指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性 质 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 7．比较大小的方法 (1)同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断． (2)底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断． (3)底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断． 8．指数不等式的解法 (1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解． (2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解． (3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解． （一） 1．n次方根 (1)当n为偶数，且a≥0时，为非负实数． (2)当n为奇数时，的符号与a的符号一致． 2．根式与分数指数幂的互化 (1)根指数化为分数指数的分母，被开方数的指数化为分数指数的分子． (2)在具体计算时，如果底数相同，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． 3．条件求值 (1)求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法． (2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式． 题型1：根式与指数幂 1-1．（2024高一上·陕西汉中·期末）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数幂的计算公式及根式与分数指数幂的互化计算即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 1-2．（2024高一上·陕西咸阳·期末）化简的结果为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数幂的运算性质进行求解即可. 【详解】， 故选：A 1-3．（2024高一上·江苏南京·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据式子结构，对所求式子平方后即可求解. 【详解】由，可得. 故选：B. 1-4．（2024高一上·甘肃白银·期末）下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分数指数幂的运算法则计算可得； 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：D 1-5．（2024高一上·北京丰台·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂的性质计算可得. 【详解】解：对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：D 1-6．（2024高一上·甘肃临夏·期末）计算： (1)； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据乘法公式及幂的运算法则计算可得； （2）根据指数和对数的关系、换底公式及对数的运算法则计算可得. 【详解】（1） （2）因为，所以，， 所以，， 所以，解得. （二） 1．指数函数的判断 (1)底数的值是否符合要求． (2) ax前的系数是否为1． (3)指数是否符合要求． 2．指数函数的解析式 (1)观察出函数是指数增长型还是指数衰减型． (2)用待定系数法设出函数解析式，再代入已知条件求解． 题型2：指数函数的概念 2-1．（2024高一上·天津河西·期末）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 【答案】D 【分析】由指数函数的定义可得且，，解方程验证可得． 【详解】解：因为函数是指数函数， 且，， 由解得或， ， 故选：D. 2-2．（2024高二下·四川雅安·期末）设函数，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的分段函数求出的值，列出关于a的方程即可得解. 【详解】依题意，，则， 于是得，解得或(不符合题意，舍去)， 所以. 故选：A 2-3．（2024高一上·山东潍坊·期末）已知点在指数函数的图像上，则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【解析】根据点在指数函数的图像上求出解析式,再求出反函数,继而求解即可. 【详解】设,因为点在指数函数的图像上. 故.所以.故.故. 故选：C 【点睛】本题主要考查了指数与对数函数的函数求值与反函数的求解等.属于基础题型. 2-4．（2024高一上·江苏宿迁·期末）定义在上的奇函数，当时，，当时， ． 【答案】 【分析】先根据奇函数性质求a，然后设，利用奇函数定义和已知条件求解可得. 【详解】因为函数为奇函数，所以，解得. 设，则，所以， 又为奇函数，所以， 即当时，. 故答案为： 2-5．（2024高一上·上海·期末）若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则函数在R上的解析式为= ． 【答案】 【解析】设，则，得到，再根据函数是定义在R上的奇函数求解. 【详解】设，则， 所以， 又因为函数是定义在R上的奇函数， 所以， 又， 所以=， 故答案为： （三） 指数函数的定义域、值域的求解 (1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是y＝ax型还是y＝af(x)型，前者的定义域是R，后者的定义域与f(x)的定义域一致，而求y＝型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组)． (2)求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性． 题型3：指数函数的定义域与值域 3-1．（2024高一上·安徽·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性及二次根式的意义可求得原函数的定义域. 【详解】对于函数，有，可得，解得， 因此，函数的定义域为. 故选：A. 3-2．（2024高一上·广东湛江·期末）已知函数且的定义域和值域都是，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】由函数解析式知，需对分类讨论，根据函数的单调性列出等式求解. 【详解】当时，单调递增，有，无解； 当时，单调递减，有， 解得； 所以； 故选：B. 3-3．（2024高一上·新疆乌鲁木齐·期末）若函数是R上的奇函数，当时，，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合指数函数性质可得时，的取值范围，再根据奇函数的对称性求得时的取值范围，即可得答案. 【详解】由题意知当时，，且在上单调递减， 由于函数是R上的奇函数，则， 根据奇函数图象关于原点对称可知，当时，，且在上单调递减， 故， 故选：A 3-4．（2024高一上·天津滨海新·期中）函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，求出的值域，再根据指数函数单调性求值域. 【详解】令， 则， 所以 又在上单调递增， 所以 即 故选：B. 33-5．（2024高一上·湖北武汉·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的值域为 B．在上为减函数 C．的值域为 D．在上为增函数 【答案】C 【分析】由函数定义域求函数值域即可得A，C选项，根据复合函数增减性质可以判断BD. 【详解】，， 由函数在上单调递增，所以，又，所以的值域为， 故C正确，A错误， 令，由在单调递增，函数在上单调递增， 所以在单调递增，由在单调递减，函数在上单调递增， 所以在单调递减，故B，D错误， 故选：C. 3-6．（2024高一上·安徽亳州·期末）函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数单调性即可得出答案。 【详解】因为在上单调递减，所以在上的值域为. 故选：C 3-7．（2024高二下·重庆·阶段练习）若“，”为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为命题的否定为真命题，再分离参数，设新函数求出其最大值即可得到答案. 【详解】由题意得该命题的否定为真命题， 即“，”为真命题， 即， 令，因为，则， 则存在，使得成立， 令，令，则（负舍）， 则根据对勾函数的性质知在上单调递减，在上单调递增， 且，，则，则. 故选：C. （四） 函数图象问题 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 题型4：指数函数的图象 4-1．（2024高一上·新疆·期末）函数（且）的图像过定点，则定点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据且恒成立可解决此题． 【详解】由函数（且） 令，即， 可得， 所以函数的图象恒过定点． 故选：A． 4-2．（2024高一上·四川凉山·期末）函数有两个不同的零点，则（且）的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数有两个不同的零点，求出的范围，再根据函数的图象是由函数的图象向下平移个单位得到的，作出函数的大致图象，即可得解. 【详解】因为函数有两个不同的零点， 所以，解得或， 则在函数中， 函数的图象是由函数的图象向下平移个单位得到的， 作出函数的大致图象，如图所示， 所以（且）的图象可能为B选项. 故选：B. 4-3．（2024高一上·江苏无锡·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断的奇偶性，排除B；再由得，排除C，再取特殊点法推得在上并不单调递增，从而排除D；再分析A中的图像性质，满足的性质，从而得解. 【详解】因为，所以的定义域为，关于原点对称， 又因为， 所以函数是奇函数， 所以的图象关于原点对称，故B错误； 当时，因为，所以，故C错误； 因为，， 又，所以，则， 所以，即， 所以在上并不单调递增，故D错误； 由于排除了选项BCD，而且选项A中的图像满足上述的性质，故A正确. 故选：A. 4-4．（2024高一上·江西萍乡·期末）函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性结合选项逐一检验，得出答案． 【详解】函数定义域为 是奇函数，排除选项A和C 又，排除选项D 故选：B 4-5．（2024高二下·浙江·期末）已知函数，则其图象一定不过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】计算出，，，判断出图象过第一，第四，第三象限，得到答案. 【详解】因为，取，得，所以在第一象限有图象， 取，得，所以在第四象限有图象， 取，得，所以在第三象限有图象． 由排除法知图象不过第二象限． 故选：B． 4-6．（2024高一上·安徽·期末）函数在上的大致图象为（    ） A．    B．    C．    D．    【答案】D 【分析】根据给定函数的奇偶性，结合即可判断得解. 【详解】依题意，，因此函数是偶函数，其图象关于y轴对称，排除AB； 又，选项C不满足，D符合题意. 故选：D 4-7．（2024高一上·广西河池·期末）已知指数函数的图象经过点，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合指数函数定义求出即可计算得解. 【详解】由指数函数的图象经过点，得，解得， 所以. 故选：A 4-8．（2024·陕西·模拟预测）已知且，，当时均有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意只需对一切恒成立，作出与的图象，数形结合即可求解． 【详解】只需对一切恒成立，作出与的图象如下： 由图象可得：当时，，解得. 当时，，解得 故选：C （五） 比较大小的方法 (1)同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断． (2)底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断． (3)底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断． 题型5：比较大小 5-1．（2024高一上·云南曲靖·期末）设，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数和幂函数的性质求解即可. 【详解】设， 则由指数函数在上单调递减， 得， 设，则幂函数在上单调递增， 得， 所以. 故选：B 5-2．（24-25高一上·安徽马鞍山·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可判断，根据，即可求解. 【详解】由于，， 故， 又，故， 故选：B 5-3．（2024高二下·陕西榆林·期末）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式的性质可判断A；利用基本不等式判断B；利用函数的单调性判定C、D. 【详解】对于A，因为，所以，A错误； 对于B，因为，所以， 由基本不等式，得，当且仅当，即时，等号成立， 而，所以，B正确； 对于C，因为函数在和上为减函数， 而无法判断范围，所以无法确定与的大小关系，C错误； 对于D，函数在上为增函数， 因为，所以，D错误. 故选：B 5-4．（2024高二下·贵州毕节·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数、幂函数的性质比较大小即得. 【详解】依题意，结合对应幂、指数函数单调性，知，所以. 故选：A （六） 1．指数不等式的求解 (1)先化为同底指数式． (2)再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解． 2．函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性 (1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成． (2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性． 题型6：简单的指数不等式的解法 6-1．（2024高一上·内蒙古乌兰察布·期末）若，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数是减函数，且， 所以，解得， 即实数a的取值范围是. 故选：D. 6-2．（2024高一上·江苏无锡·期末）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】结合换元法及指数函数单调性求解. 【详解】令，则可得， 由指数函数单调性可得. 故答案为：. 6-3．（2024高一上·上海徐汇·期末）已知是定义在上的函数且图像关于y轴对称，在区间上是严格增函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由题意可知的图像关于对称，且在上严格递减，在上是严格递增，所以与对称轴距离小的函数值小，依题意列出不等式求解. 【详解】因为的图像关于轴对称，所以的图像关于对称， 又在区间上是严格增函数， 所以在上严格递减， 由得， 所以，解得，所以原不等式的解集为． 故答案为： 题型7：判断复合型指数函数的单调性及求参数 7-1．（2024·湖南邵阳·三模）“”是“函数（且）在上单调递减”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论的单调性，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若，则的图象为： 可知在上单调递增； 若，则的图象为： 可知在上单调递减； 综上所述：“”是“函数（且）在上单调递减”的充要条件. 故选：C． 7-2．（2024高一上·四川凉山·期末）已知函数，则该函数的单调递减区间为 ． 【答案】 【分析】根据复合函数的单调性的性质进行求解即可. 【详解】指数函数是实数集上的单调增函数， 因为，所以该二次函数的对称轴为， 所以该二次函数单调递减区间是， 因此根据复合函数的单调性可得函数的单调递减区间是. 故答案为： 7-3．（2024高一上·广东·期末）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】利用换元法，结合复合函数单调性的关系进行转化求解即可. 【详解】设，则， 对称轴为，当，即， 即，即时，为减函数， 函数为增函数， 则为减函数， 即函数单调减区间为； 当，即， 即，即时，为减函数， 函数为减函数， 则为增函数， 即函数单调增区间为. 故答案为： 7-4．（2024高一下·广东河源·期中）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数的单调性，结合二次函数的单调性列式求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故选：D. 7-5．（24-25高一上·浙江·期中）已知，存在实数且，对于上任意不相同的，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将问题转化为分段函数的单调性问题，然后根据各段函数的单调性以及分段点处函数值大小关系得到的不等关系，再由题意可分析出的取值范围. 【详解】对于上任意不相同的，都有， 即对于上任意不相同的，都有， 所以是上的增函数，且， 所以，所以， 故由题意可知，存在使得， 所以，且最小值无限逼近， 所以， 故选：A. 7-6．（2024·吉林·一模）若函数是上的单调函数，则实数取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数以及一次函数的单调性，结合分段函数单调性即可分类求解. 【详解】①函数单调性递增， 则满足，即 ， 解得. ②若函数单调性递减， 则满足即，此时无解. 综上实数取值范围为：. 故选：D. 题型8：指数函数的综合类型问题 8-1．（2024高一上·上海松江·期末）设，函数. (1)若，求证：函数是奇函数； (2)若，请判断函数的单调性，并用定义证明. 【答案】(1)证明见解析； (2)上的增函数，证明见解析. 【分析】（1）利用奇函数的定义可证得结论成立； （2）任取，且，作差，因式分解并判断差值的符号，由此可证得函数为上的增函数. 【详解】（1）当时，函数的定义域为， 由于， 所以函数是奇函数. （2）当时，函数为上的增函数. 当时，， 任取，且，则 ， 由，得，则，即， 所以函数为上的增函数. 8-2．（2024高一上·江苏盐城·期末）已知函数为奇函数． (1)求的值 (2)解不等式 (3)求的值域． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用奇函数的定义待定系数法计算即可； （2）结合（1），解不等式即可； （3）转换自变量与因变量，利用表示，结合指数函数的性质解不等式即可. 【详解】（1）由题意可得：， 所以， 因为，所以． （2）不等式等价于，则，化简得， 所以，所以， 所以不等式的解集为． （3）令，则，整理得， 即， 又，所以，解之得：或， 所以的值域为. 8-3．（2024高一上·重庆北碚·期末）已知为奇函数． (1)求a的值； (2)若对恒成立，求实数k的取值范围； (3)设，若，总，使得成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据得到，再验证得到答案. （2）变换，构造新函数，根据函数的单调性计算最值得到答案. （3）根据函数单调性计算，考虑和两种情况，根据值域的包含关系计算得到答案. 【详解】（1）的定义域为，且为奇函数，则，从而， ，，故函数为奇函数，满足； （2），得在上恒成立， 设，令，， ，函数单调递增，，故； （3）当时，,函数单调递增，故， 当时，，故，由题意， ①当，，有， 则，得； ②当时，，有， 则，解得； 综上所述：或. 一、单选题 1．（2024高一上·黑龙江鸡西·期末）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数单调性以及中间量即可比较大小. 【详解】，，， 所以， 故选：B. 2．（2024高一上·广东珠海·期末）设，，，则a，b，c的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数与对数函数的性质，分别求得的取值范围，即可求解. 【详解】由对数函数的性质，可得， ，即， 又由指数函数的性质，可得，所以. 故选：A. 3．（2024高一上·江苏连云港·期末）设a为实数，若关于x的方程有实数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】参变分离，换元后得到（），要想方程有实数解只需与有交点，根据单调性求出，从而得到，求出a的取值范围. 【详解】因为，所以， 令（），则（）， 要想方程有实数解只需与有交点即可； 设，当时，单调递增，所以， 即时，解得：， 故a的取值范围是为：. 故选：C. 4．（2024高一上·吉林四平·期末）已知（且），若有最小值，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分情况讨论和两种情况时，函数在每段解析式的单调性与最值情况，即可求解 【详解】由题意分情况讨论： ①当时， 当时，单调递增，此时； 当时， 单调递减； ，单调递增， 故时，的最小值为， 故若有最小值，则； ② 当时， 当时，单调递减，此时； 当时，单调递增，此时， 故若有最小值，则，解得， 综上实数的取值范围是 故选：B 5．（2024高一上·江苏徐州·期末）化简：（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数幂的运算性质即可得出. 【详解】. 故选：A. 6．（2024高一上·河南新乡·期末）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性，结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为，，， 所以． 故选：B. 7．（2024高一上·江苏盐城·期末）若实数x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得，然后构造函数，，再通过判断函数的单调性可得，然后逐个分析判断即可. 【详解】因为，所以， 令，则， 因为和在上均为增函数，所以在上为增函数， 所以， 对于AB，因为，所以，所以，所以A正确，B错误， 对于CD，因为，所以，所以当时，，当时，，当时，，所以CD错误， 故选：A 8．（2024高一上·河南焦作·期末）若函数且满足对任意，都有成立，则的值可以是（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据条件先分析出的单调性，然后列出关于的不等式组，由此求解出结果. 【详解】因为对任意，都有成立， 所以在上单调递增， 所以，解得， 故选：D. 9．（2024高一上·甘肃白银·期末）下列结论中，正确的是（    ） A．函数是指数函数 B．函数的值域是 C．若，则 D．函数的图象必过定点 【答案】B 【分析】对A根据指数函数定义判断；对B根据二次函数值域判断；对C根据指数函数的单调性判断；对D根据指数函数恒过定点判断. 【详解】选项A. 根据指数函数的定义，可得不是指数函数，故A 不正确. 选项B. 当时，，故B正确. 选项C. 当时，函数单调递减，由，则，故C不正确. 选项D. 由，可得的图象恒过点，故D不正确. 故选：B 10．（2024高一下·陕西宝鸡·阶段练习）已知函数,若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出的图象，得到，问题转化为，换元后进行求解，得到答案. 【详解】作出的图象，如图所示：      由，可得， 则， 令， 则， 故． 故选：D． 11．（2024高一上·江苏宿迁·期末）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足．若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用方程组法求出、的解析式，再判断的单调性，则问题转化为恒成立，参变分离求出，即可得解. 【详解】因为，分别是定义在上的偶函数和奇函数， 所以，， 因为，① 所以， 所以，② ①②得，， 因为在定义域上单调递增，在定义域上单调递减， 所以在上单调递增，又， 若恒成立，则恒成立， 所以恒成立， 所以恒成立， 所以只需， 因为，，所以（当且仅当，即时取等号）， 所以（当且仅当时，取等号）， 所以， 所以的取值范围为. 故选：B． 12．（2024高一上·山东济宁·期末）函数的部分图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过计算函数的特殊值，利用排除法确定正确选项. 【详解】函数，当，，排除AB选项； 当，；当，；当，，只有D选项符合. 故选：D 二、多选题 13．（2024高一上·山东滨州·期末）已知函数，其中且，则下列结论正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数的图象过定点 C．函数在其定义域上有解 D．当时，函数在其定义域上为单调递增函数 【答案】ACD 【分析】对选项A，利用奇函数的定义即可判断A正确，对选项B，根据即可判断B错误，对选项C，令求解即可判断C正确，对选项D，根据指数函数单调性即可判断D正确. 【详解】函数， 对选项A，，定义域为R，， 所以函数是奇函数，故A正确. 对选项B，，故B错误. 对选项C，，定义域为R，令，解得， 故C正确. 对选项D，当时，，所以和在R上为增函数， 所以函数在R上为单调递增函数，故D正确. 故选：ACD 14．（2024高一下·浙江杭州·期末）已知函数，则（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称 C．函数的值域为 D．函数是减函数 【答案】AC 【分析】求函数的奇偶性可判断AB；分离参数可得，根据指数函数的值域可判断C；根据单调性的定义可判断D. 【详解】的定义域为，，则， 所以为奇函数，的图象关于原点对称,A正确，B错误； ，因为,所以,， 所以,故的值域为,C正确； 设,则 , 因为，所以， 所以,即， 所以函数是增函数，故D错误， 故选:AC. 15．（2024高一上·江西南昌·期末）若m，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据函数单调性可得m,n关系，特值法判断A选项，基本不等式求出B,C ,D选项. 【详解】， 单调递减，， 当时满足，A选项错误； ，B正确； ，C正确； ，D选项正确. 故选：BCD. 16．（2024高一上·山西运城·期末）已知函数（，为自然对数的底数），则（    ） A．函数至多有个零点 B．当时，，总有成立 C．函数至少有个零点 D．当时，方程有个不同实数根 【答案】ABCD 【分析】分别解方程、，取，可判断A选项；利用分段函数的单调性可判断B选项；对实数的取值进行分类讨论，确定函数在不同的取值下，的零点个数，可判断C选项；当时，解方程，可判断D选项. 【详解】对于A选项，令可得，由得，可得. 故当时，函数有两个零点，所以，函数至多有个零点，A对； 对于B选项，当时，函数在上单调递增， 函数在上单调递增，且， 所以，故当时，函数在上为增函数， 故当时，，不妨设，则，则，B对； 对于C选项，当时，函数在上无零点，在上有唯一零点； 当时，函数有两个零点； 当时，函数在上有唯一零点，在上无零点， 综上所述，函数至少有一个零点，C对； 对于D选项，当时，. 令，则方程为. 当时，由可得，解得； 当时，由可得，解得. 当时，由可得，即，解得， 由可得，即，解得； 当时，由可得，即，该方程无解， 由可得，解得. 综上所述，方程的解集为， 所以，当时，方程有个不同实数根，D对. 故选：ABCD. 17．（2024高一上·山东潍坊·期末）若函数且在上为单调函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D．2 【答案】ABD 【分析】根据指数函数与一次函数的性质得到不等式组，需注意断点处函数值的大小关系； 【详解】因为函数（且）在上为单调函数， 所以或，解得或， 所以满足条件的有ABD. 故选：ABD 三、填空题 18．（2024高一下·河南洛阳·期末）已知函数，则使得成立的的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用奇偶性、单调性定义判断的奇偶性和上的单调性，再根据奇偶和单调性求不等式解集即可. 【详解】由且， 所以为偶函数， 若时，， 而， 所以，故在上递增，则上递减， 要使成立，即，可得. 故答案为： 19．（2024高一上·上海松江·期末）已知函数，对于任意的，都存在，使得成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据求出，进而得到，即，由函数单调性得到，由题干条件得到，列出不等式组，求出答案. 【详解】，故， 故，解得：， 即， 因为，所以， 要想保证对于任意的，都存在，使得成立， 需要满足， 所以，解得：， 故. 故答案为： 20．（2024高三·江苏·专题练习）设，则大小关系是 . 【答案】 【分析】抓住同底与同指构造函数，利用单调性比较大小. 【详解】因为在单调增， 所以，即， 因为在单调减， 所以，即 综上，. 故答案为：. 21．（2024高一上·安徽滁州·期末）不等式的解集为 ． 【答案】， 【分析】首先由指数函数性质化简不等式，然后移项、通分，利用分类讨论法解不等式． 【详解】不等式可化为，因为函数为增函数， 所以，移项、通分整理为， 此不等式等价于或 解得或． 所以原不等式的解集为，． 故答案为：，． 22．（2024高一上·四川眉山·期末）已知为偶函数，为奇函数，且满足：．若对任意的都有不等式成立，则实数的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】由为偶函数，为奇函数，构造方程组，分别解出和的解析式，代入不等式中，利用换元法求出函数的最值，可得实数的范围． 【详解】为偶函数，为奇函数，，即 又，解得， 时，等价于， 化简得，， 令，则，在上单调递增， 当时， 则实数的最大值为 故答案为： 23．（2024高一上·贵州黔东南·期末）设函数（为常数），若对，恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】对，恒成立，分离参数可得，求出的最小值即可得解. 【详解】若对，恒成立，即， 所以， 设，令， 则， 当时，， 所以． 故答案为：． 四、解答题 24．（2024高一上·辽宁朝阳·期末）已知指数函数的图象过点． (1)求的解析式； (2)若函数，且在区间上有两个零点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设（，且），根据函数过点，代入求出参数的值，即可得解； （2）首先求出的解析式，令， ，令，，则问题转化为在上有两个零点，根据二次函数根的分布得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）由题意，设（，且）， ∵的图象过点， ∴，解得， 故函数的解析式． （2）∵， ∴， 令，因为，所以， ∴，， 函数在上有两个零点，等价于在上有两个零点， 则，即，解得， 故实数的取值范围为． 25．（2024高一下·贵州毕节·期末）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性并证明； (3)求证：. 【答案】(1) (2)为偶函数，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由可求出函数的定义域； （2）根据函数奇偶性的定义证明即可； （2）根据偶函数的性质和指数函数的性质证明. 【详解】（1）由，解得 所以函数的定义域为. （2）为偶函数，证明如下： （） 因为 所以为偶函数. （3）证明：因为， 所以当时，， 所以 当时，由为偶函数，所以， 综上，. 26．（2024高一下·福建福州·期末）已知定义在R上的奇函数和偶函数满足. (1)求函数的值域； (2)若存在，使得不等式成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇偶性列方程组求函数解析式，应用反函数及指数函数性质求值域； （2）根据函数不等式能成立，参变分离将问题化为在上能成立，研究右侧最大值，即可得范围. 【详解】（1）依题意知，对有， 联立，解得，， ，解得，则， 故函数的值域为. （2）依题意，存在，使得不等式成立， 设，，则，， 故存在，使得不等式成立， 设，只需 ， 不妨设任意，且， ，即， 在上单调递减，同理可证在上单调递增， 又，故的最大值是， ，即实数a的取值范围是. 27．（2024高一上·吉林·期末）已知函数（为常数且）的图象经过点 (1)试求的值； (2)若不等式在时恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据题中条件，列出方程组，解出即可；（2）不等式参变分离后可化为，求得的最小值为2，即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）由于函数图像经过， 所以，解得， 故的值为，的值为 （2）原不等式为， 即在时恒成立， 而在时单调递减， 故在时，有最小值为2， 故． 所以实数的取值范围是． 28．（2024高一上·广东广州·期末）已知函数. (1)判断并用定义法证明函数的单调性； (2)是否存在实数使函数为奇函数？ 【答案】(1)增函数，证明见解析 (2)存在实数，使函数为奇函数 【分析】（1）利用函数单调性的定义，结合作差法即可得解； （2）利用函数奇偶性的性质即可得解. 【详解】（1）函数的定义域为，而为增函数， 则为减函数，故是增函数. 证明如下：任取，且， 则 因为，所以，则,， 所以，即， 所以在上为增函数. （2）假设存在实数a，使为奇函数，则， 所以，解得， 当时，，其定义域为， 所以，则为奇函数， 故存在实数，满足题意. 29．（2024高一上·福建福州·期末）定义在上的函数满足，当时，有. (1)求在 上的解析式； (2)判断在上的单调性并用定义证明. 【答案】(1) (2)在上是增函数，证明见解析 【分析】（1）根据奇函数的定义求出和的解析式，可得在 上的解析式； （2）根据单调性的定义结合指数函数单调性分析证明. 【详解】（1）因为，且时，， 设，则， 所以， 在中，令，则，解得， 综上所述：当时，. （2）在上是增函数，证明如下： 因为， 设，则，可得，， 可得， 即，所以在上是增函数. 30．（2024高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求的值； (2)已知，当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意结合一元二次不等式对应一元二次方程及二次函数可知和都是方程的根，列出方程组即可解出的值； （2）先根据题干条件将 整理得，令，转化为，再根据题意令，则，求出的最小值即可. 【详解】（1）根据题意可得和都是方程的根且， 所以，解得或（舍去）， 所以的值为，的值为. （2）因为，所以， 所以即， 整理得， 令，则上式可化为，即， 又因为当时，恒成立， 所以当时，恒成立， 令，则， 因为， 所以当，即时，，所以， 又因为，所以. 所以实数的取值范围为. 31．（2024高一上·山西朔州·期中）已知函数. (1)若为奇函数，证明：； (2)讨论的单调性. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据奇函数的定义证明即可； （2）根据单调性的定义证明的单调性. 【详解】（1）证明：的定义域为， 对，都有， 又为奇函数，则必有， 即， 整理可得， 因为，所以，命题得证． （2）设，，且， ， 易知，，又在上为增函数，，可得， 当时，，为增函数； 当时，，为常函数无单调性； 当时，，为减函数． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 复习专题04 指数与指数函数8题型分类 1．根式 (1)a的n次方根的定义:一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*． (2)根式:式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 2．根式的性质 (1)＝0(n∈N*，且n>1)． (2) ()n＝a(a≥0，n∈N*，且n>1)． (3) ＝a(n为大于1的奇数)． (4) ＝|a|＝(n为大于1的偶数)． 3．分数指数幂 (1)正分数指数幂：＝(a>0,m,n∈N*,且n>1)． (2)负分数指数幂：＝(a>0,m,n∈N*,且n>1)． 4．有理数指数幂 (1) aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2) (ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3) (ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 5．指数函数 (1)一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数． (2)其中x是自变量，函数的定义域是R． 6．指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性 质 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 7．比较大小的方法 (1)同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断． (2)底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断． (3)底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断． 8．指数不等式的解法 (1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解． (2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解． (3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解． （一） 1．n次方根 (1)当n为偶数，且a≥0时，为非负实数． (2)当n为奇数时，的符号与a的符号一致． 2．根式与分数指数幂的互化 (1)根指数化为分数指数的分母，被开方数的指数化为分数指数的分子． (2)在具体计算时，如果底数相同，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． 3．条件求值 (1)求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法． (2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式． 题型1：根式与指数幂 1-1．（2024高一上·陕西汉中·期末）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 1-2．（2024高一上·陕西咸阳·期末）化简的结果为（    ） A．5 B． C． D． 1-3．（2024高一上·江苏南京·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 1-4．（2024高一上·甘肃白银·期末）下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 1-5．（2024高一上·北京丰台·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 1-6．（2024高一上·甘肃临夏·期末）计算： (1)； (2)若，且，求的值． （二） 1．指数函数的判断 (1)底数的值是否符合要求． (2) ax前的系数是否为1． (3)指数是否符合要求． 2．指数函数的解析式 (1)观察出函数是指数增长型还是指数衰减型． (2)用待定系数法设出函数解析式，再代入已知条件求解． 题型2：指数函数的概念 2-1．（2024高一上·天津河西·期末）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 2-2．（2024高二下·四川雅安·期末）设函数，若，则（    ） A．2 B． C． D． 2-3．（2024高一上·山东潍坊·期末）已知点在指数函数的图像上，则（    ） A． B． C．3 D．4 2-4．（2024高一上·江苏宿迁·期末）定义在上的奇函数，当时，，当时， ． 2-5．（2024高一上·上海·期末）若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则函数在R上的解析式为= ． （三） 指数函数的定义域、值域的求解 (1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是y＝ax型还是y＝af(x)型，前者的定义域是R，后者的定义域与f(x)的定义域一致，而求y＝型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组)． (2)求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性． 题型3：指数函数的定义域与值域 3-1．（2024高一上·安徽·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3-2．（2024高一上·广东湛江·期末）已知函数且的定义域和值域都是，则（    ） A． B． C． D．或 3-3．（2024高一上·新疆乌鲁木齐·期末）若函数是R上的奇函数，当时，，则的值域为（    ） A． B． C． D． 3-4．（2024高一上·天津滨海新·期中）函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 33-5．（2024高一上·湖北武汉·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的值域为 B．在上为减函数 C．的值域为 D．在上为增函数 3-6．（2024高一上·安徽亳州·期末）函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 3-7．（2024高二下·重庆·阶段练习）若“，”为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． （四） 函数图象问题 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 题型4：指数函数的图象 4-1．（2024高一上·新疆·期末）函数（且）的图像过定点，则定点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4-2．（2024高一上·四川凉山·期末）函数有两个不同的零点，则（且）的图象可能为（    ） A． B． C． D． 4-3．（2024高一上·江苏无锡·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 4-4．（2024高一上·江西萍乡·期末）函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 4-5．（2024高二下·浙江·期末）已知函数，则其图象一定不过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4-6．（2024高一上·安徽·期末）函数在上的大致图象为（    ） A．    B．    C．    D．    4-7．（2024高一上·广西河池·期末）已知指数函数的图象经过点，则（    ） A． B． C．2 D．4 4-8．（2024·陕西·模拟预测）已知且，，当时均有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （五） 比较大小的方法 (1)同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断． (2)底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断． (3)底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断． 题型5：比较大小 5-1．（2024高一上·云南曲靖·期末）设，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 5-2．（24-25高一上·安徽马鞍山·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 5-3．（2024高二下·陕西榆林·期末）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 5-4．（2024高二下·贵州毕节·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． （六） 1．指数不等式的求解 (1)先化为同底指数式． (2)再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解． 2．函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性 (1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成． (2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性． 题型6：简单的指数不等式的解法 6-1．（2024高一上·内蒙古乌兰察布·期末）若，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 6-2．（2024高一上·江苏无锡·期末）不等式的解集是 ． 6-3．（2024高一上·上海徐汇·期末）已知是定义在上的函数且图像关于y轴对称，在区间上是严格增函数，则不等式的解集为 ． 题型7：判断复合型指数函数的单调性及求参数 7-1．（2024·湖南邵阳·三模）“”是“函数（且）在上单调递减”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7-2．（2024高一上·四川凉山·期末）已知函数，则该函数的单调递减区间为 ． 7-3．（2024高一上·广东·期末）函数的单调递增区间为 . 7-4．（2024高一下·广东河源·期中）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7-5．（24-25高一上·浙江·期中）已知，存在实数且，对于上任意不相同的，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7-6．（2024·吉林·一模）若函数是上的单调函数，则实数取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型8：指数函数的综合类型问题 8-1．（2024高一上·上海松江·期末）设，函数. (1)若，求证：函数是奇函数； (2)若，请判断函数的单调性，并用定义证明. 8-2．（2024高一上·江苏盐城·期末）已知函数为奇函数． (1)求的值 (2)解不等式 (3)求的值域． 8-3．（2024高一上·重庆北碚·期末）已知为奇函数． (1)求a的值； (2)若对恒成立，求实数k的取值范围； (3)设，若，总，使得成立，求实数m的取值范围． 一、单选题 1．（2024高一上·黑龙江鸡西·期末）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一上·广东珠海·期末）设，，，则a，b，c的大小关系是（　　） A． B． C． D． 3．（2024高一上·江苏连云港·期末）设a为实数，若关于x的方程有实数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024高一上·吉林四平·期末）已知（且），若有最小值，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．（2024高一上·江苏徐州·期末）化简：（    ） A．1 B． C． D． 6．（2024高一上·河南新乡·期末）设，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024高一上·江苏盐城·期末）若实数x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024高一上·河南焦作·期末）若函数且满足对任意，都有成立，则的值可以是（    ） A． B． C． D．2 9．（2024高一上·甘肃白银·期末）下列结论中，正确的是（    ） A．函数是指数函数 B．函数的值域是 C．若，则 D．函数的图象必过定点 10．（2024高一下·陕西宝鸡·阶段练习）已知函数,若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（2024高一上·江苏宿迁·期末）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足．若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（2024高一上·山东济宁·期末）函数的部分图象大致是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 13．（2024高一上·山东滨州·期末）已知函数，其中且，则下列结论正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数的图象过定点 C．函数在其定义域上有解 D．当时，函数在其定义域上为单调递增函数 14．（2024高一下·浙江杭州·期末）已知函数，则（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称 C．函数的值域为 D．函数是减函数 15．（2024高一上·江西南昌·期末）若m，，，则（    ） A． B． C． D． 16．（2024高一上·山西运城·期末）已知函数（，为自然对数的底数），则（    ） A．函数至多有个零点 B．当时，，总有成立 C．函数至少有个零点 D．当时，方程有个不同实数根 17．（2024高一上·山东潍坊·期末）若函数且在上为单调函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D．2 三、填空题 18．（2024高一下·河南洛阳·期末）已知函数，则使得成立的的取值范围是 . 19．（2024高一上·上海松江·期末）已知函数，对于任意的，都存在，使得成立，则实数的取值范围为 . 20．（2024高三·江苏·专题练习）设，则大小关系是 . 21．（2024高一上·安徽滁州·期末）不等式的解集为 ． 22．（2024高一上·四川眉山·期末）已知为偶函数，为奇函数，且满足：．若对任意的都有不等式成立，则实数的最大值为 ． 23．（2024高一上·贵州黔东南·期末）设函数（为常数），若对，恒成立，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 24．（2024高一上·辽宁朝阳·期末）已知指数函数的图象过点． (1)求的解析式； (2)若函数，且在区间上有两个零点，求m的取值范围． 25．（2024高一下·贵州毕节·期末）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性并证明； (3)求证：. 26．（2024高一下·福建福州·期末）已知定义在R上的奇函数和偶函数满足. (1)求函数的值域； (2)若存在，使得不等式成立，求实数a的取值范围. 27．（2024高一上·吉林·期末）已知函数（为常数且）的图象经过点 (1)试求的值； (2)若不等式在时恒成立，求实数的取值范围． 28．（2024高一上·广东广州·期末）已知函数. (1)判断并用定义法证明函数的单调性； (2)是否存在实数使函数为奇函数？ 29．（2024高一上·福建福州·期末）定义在上的函数满足，当时，有. (1)求在 上的解析式； (2)判断在上的单调性并用定义证明. 30．（2024高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求的值； (2)已知，当时，恒成立，求实数的取值范围. 31．（2024高一上·山西朔州·期中）已知函数. (1)若为奇函数，证明：； (2)讨论的单调性. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$