清单03 轴对称和中心对称综合题清单（6个题型46题）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（冀教版）

清单03 轴对称和中心对称综合题清单 一、折叠问题中的角度计算 1．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）如图，将一张三角形纸片折叠，使点A落在的处，折痕为，若，，，那么下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．根据三角形的外角得：，，代入已知可得结论． 【详解】解：如图，设交于． 由折叠得：， ，， ，，， ， 故选：D 2．（2024·河北石家庄·一模）如图，在三角形纸片中，，，点D是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点B落在点处，当时，则（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】此题重点考查垂直的定义、轴对称的性质、三角形内角和定理、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地求出的度数是解题的关键． 分两种情况讨论，一是，且点与点在直线的异侧，由折叠得，则，求得，则；二是，且点与点在直线的同侧，则，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，，且点与点在直线的异侧， 由折叠得， ，且， ， ， ， ； 如图2，，且点与点在直线的同侧， ∵，且， ， ， ， 综上所述，或，       故选A 3．（18-19八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，将纸片沿折叠，点A落在点F处，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是翻折的性质及三角形内角和定理，由折叠得，再利用三角形内角和是求解是解答此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠可知，，， ∴， ∴． 故选：C． 4．（22-23八年级上·河北邢台·阶段练习）有一道题目：“如图，在中，，将沿折叠，使得点落在边上的点处，若，且中有两个内角相等，求的度数．”嘉嘉的答案是，淇淇说：“嘉嘉考虑的不全面，还应该有另外一个值．”下列判断正确的是（　　） A．淇淇说的不对，就是 B．淇淇说得对，且的另一个值是 C．淇淇说得对，且的另一个值是 D．两人都不对，应有三个不同值 【答案】B 【分析】由轴对称的性质得到，分两种情况，应用三角形内角和定理，平角定义列出关于的方程，求出即可解决问题． 【详解】解：， ， 关于对称， ， 令，则， ， ， ， 中有两个内角相等，只有， 当时， ， ， ； 当时， ， ， ， 或． 故选：B． 【点睛】本题考查角的计算以及轴对称的性质，关键是要分两种情况讨论，应用轴对称的性质列出关于方程． 5．（23-24七年级下·河北保定·期末）题目：“如图，在中，，M、N分别是边上的点，将沿折叠得到．若与的边平行，求的度数． ”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（   ） A．只有甲答案对 B．乙、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙、丙答案合在一起才完整 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及折叠的性质，分和两种情况求解即可，正确处理的位置是解答本题的关键． 【详解】解：当时，如图1中， ， ， ， ， 由折叠得，； 当时，如图2， ， 由折叠得，， 的度数为或， 故甲、乙答案合在一起才完整， 故选：C． 6．（23-24七年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，有一个长方形纸条，点，是线段上的两个动点，且点始终在点左侧，在上有一点，连接、，以，为折痕翻折纸条，使点、点、点、点分别落在点、点、点、点上．如下结论： 结论一：当时，； 结论二：当时，． 下列判断正确的是（    ） A．只有结论一正确 B．只有结论二正确 C．结论一和结论二都正确 D．结论一和结论二都不正确 【答案】A 【分析】本题考查折叠的性质，角的和与差．直接由折叠的性质可得出；分类讨论：①当在右侧时，结合题意可求出．再根据分别平分，即可求出；②当在左侧时，结合题意可得，即可求出，进而可求出． 【详解】（1）根据折叠可知：平分， ∴． 故结论一正确； 分类讨论：①当在右侧时， ∵， ∴． ∵分别平分， ∴ ． ②当在左侧时， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上可知，的度数为或． 故结论二不正确； 故选：A． 7．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）已知长方形纸片，点E在边上，点F，G在边上，连接．将对折．点B落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕． （1）如图1，若点F与点G重合，则的度数是 ； （2）如图2，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠问题，角平分线的性质，角的和差等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线的定义，平角的定义，角的和差定义计算即可； （2）根据或，求出即可解决问题． 【详解】解：（1）∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 8．（23-24七年级下·河北廊坊·阶段练习）如图1，有一条长方形纸带． （1）将纸带沿折叠，如图2所示，则的度数为 ，的度数为 ； （2）将图中的纸带再沿折叠，如图所示，则的度数为 ． 【答案】 ； ； ． 【分析】（）由折叠可知：，，再根据两直线平行，内错角相等即可求解； （）由折叠性质可知，，再根据角度和差即可求解； 本题考查了折叠的性质和平行线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（）如图， 由折叠可知：，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：，； （）如图， 由折叠性质可知，， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·河北衡水·期中）（1）如图1是一个长方形纸片，将纸片沿，折叠，点A的对应点为，点D的对应点为，且点在线段上．若，则 （2）如图2所示的是一个长方形纸片沿其上一条线折叠后的图形，已知，则 （3）如图3将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若，则 【答案】 /70度 /30度 /40度 【分析】本题主要考查折叠的性质及邻补角，熟练掌握折叠的性质及邻补角是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据邻补角可进行求解； （2）由题意易得，然后根据邻补角可进行求解； （3）由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：（1）由折叠的性质可知：， ∵， ∴， ∴； 故答案为； （2）由折叠的性质可知：， ∴， ∴； 故答案为； （3）由折叠的性质可知：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 二、线段最值问题 10．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，点M是上一点，，，，若点和点M关于对称，点和点M关于对称． 则点，之间的距离最小值是（    ） A．6 B．2.4 C．4.8 D．4 【答案】C 【分析】本题考查成轴对称的性质，垂线段最短．连接，根据对称性得到，，三点共线，进而得到，根据垂线段最短，得到时，最小，利用等积法进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点和点M关于对称，点和点M关于对称， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴， ∴当最小时，最小， ∵点M是上一点， ∴时，最小， 此时：， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选C． 11．（21-22八年级下·辽宁本溪·期中）如图，在中，，，，，平分交于点，、分别是，上的动点，则的最小值为（　　）    A． B．5 C．3 D． 【答案】D 【分析】利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则的最小值即为点到的垂线段长度． 【详解】解：在上取一点，使，如图，   ，， ， ， ， 则最小值是垂直时，的长度， ∵， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，解题的关键是根据角平分线构造全等以及线段和差极值问题． 12．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，直线m是中边的垂直平分线，P是直线m上的一动点，则的周长的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，两点间线段最短原理，熟练掌握线段最短原理是解题的关键．根据直线m是中边的垂直平分线，得到点B与点C关于直线m对称，故当点P位于直线m与的交点处时，取得最小值，此时的周长的最小值为，代入计算即可． 【详解】解∶ 因为直线m是中边的垂直平分线， 所以点B与点C关于直线m对称， 故当点P位于直线m与的交点处时，取得最小值， 所以的周长的最小值为， 因为， 所以的周长的最小值为． 故答案为：4． 13．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，，，将沿射线折叠，使点与边上的点重合． （1）线段的长是 ； （2）若点是射线上一动点，则周长的最小值是 ． 【答案】 8 24 【分析】本题主要考查了的折叠的性质、两点之间线段最短，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键． （1）由折叠的性质可得，再由进行计算即可得到答案； （2）设与的交点为点，连接，由折叠的性质可得：，，，再根据两点之间线段最短可得当点与点重合时，取最小值，最小值为，由此即可得到答案． 【详解】解：（1）由折叠的性质可得：， ， 故答案为：8； （2）如图，设与的交点为点，连接， 由折叠的性质可得：，，， 由（1）得：， 的周长， 要是的周长最小，只需最小， 由两点之间线段最短可知，当点与点重合时，取最小值，最小值为， 的周长， 故答案为：24． 14．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，牧马人从地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到处，要求指出最短路径． 同学甲：牧马人从地出发，把马牵到草地与河边的交汇处点，牧马又饮马，然后回到处． 同学乙：作点关于直线对称的点，再作点关于直线对称的点，连接交直线于点，交直线于点，则路径为最短路径． 你认为哪位同学指出的最短路径正确？画出图形，并说明理由． 【答案】同学乙指出的最短路径正确，见解析 【分析】本题主要考查对称线段的性质，轴对称的性质，轴对称−最短路线问题等知识点的理解和掌握，能正确画图和根据画图条件进行推理是解此题的关键．作出点A的关于草地的对称点，点B的关于河岸的对称点，连接两个对称点，交于草地于点Q，交河边于点P，连接，，即可得到结论 【详解】解：同学乙指出的最短路径正确． 理由：如图，在直线上任意选一点，在直线上任意选一点，连接，，，． 由轴对称性质，易得，． ， ， 当共线时， ∵ 是最短路径． 15．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三顶点都在格点上，位置如图．请完成下列问题： (1)画出关于y轴的对称图形（注意标出对应点字母）；并分别写出点、点、点的坐标； (2)求的面积； (3)在轴上找一点，使最小．在图中画出点，并写出点的坐标．（保留作图痕迹，不写作法，写出结论） 【答案】(1)图见解析，，，， (2) (3)图见解析， 【分析】本题考查作图——轴对称变换，轴对称——最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案； （2）利用割补法求三角形的面积即可； （3）取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图1，即为所求． ，，； （2）； （3）如图2，取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接， 此时，为最小值， 此时点． 16．（22-23七年级下·河北张家口·期末）如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C、M、N都在格点上．    (1)画出关于直线对称的； (2)在直线上找点P使最小，在图形上画出点P的位置； (3)在直线上找点Q使最大，直接写出这个最大值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)作图见解析；最大值为3 【分析】（1）利用网格特点，先画出A、B、C关于直线的对称点、、，再顺次连接即可； （2）作点C关于的对称点D，连接交于一点，该点即为点P； （3）由于，则，而由三角形的三边关系可得，当Q、、B三点共线时取等号，从而可得答案． 【详解】（1）解：即为所求作的三角形，如图所示：    （2）解：如图，作点C关于的对称点D，连接交于一点，该点即为所求作的点P；    ∵点C与D关于的对称， ∴， ∴， ∵，只有当点P、B、D三点共线时等号成立， ∴当点P、B、D三点共线时，最小，即最小； （3）解：先作出A关于直线的对称点，连接并延长交于一点，该点即为点Q，如图所示：    ∵， ∴， 根据三角形的三边关系可得，当Q、、B三点共线时取等号， ∴的最大值为． 【点睛】本题主要考查了作图—轴对称变换、轴对称的性质和三角形的三边关系，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键． 17．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）已知点P在内．    (1)如图①，点P关于射线的对称点分别是G、H，连接． ①若，则是什么特殊三角形？为什么？ ②若，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图②，若， A、B分别是射线上的点，于点B，点P、Q分别为上的两个定点，且，，在上有一动点E，试求的最小值． 【答案】(1)①是等边三角形，理由见解析；②，理由见解析 (2)的最小值为5． 【分析】（1）①由轴对称的性质可得，，．根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可得出是等边三角形；②当时，，G、O、H在同一直线上，由此可得与的数量关系； （2）过Q作的对称点，连接，交于点E，连接，则的最小值为，由已知条件可得，易得，，由此可得是等边三角形，即可得的长，即的最小值． 【详解】（1）解：①是等边三角形， ∵点P关于对称的点为G， ∴，， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． ②， 当时，， ∴G、O、H在同一直线上，． ∵， ∴； （2）解：过Q作的对称点，连接，交于点E，连接，    ∴ 最小值为． ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵点Q与关于对称， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即的最小值为5． 【点睛】本题主要考查了轴对称--最短路线问题，轴对称的性质和等边三角形的判定和性质．熟练掌握轴对称的性质及等边三角形的判定和性质，熟悉“将军饮马”模型是解题的关键． 三、尺规作图的识别与应用 18．（2024·广东深圳·中考真题）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．只有① 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是理解作法、掌握角平分线的定义．利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．在图①中，利用基本作图可判断平分；在图③中，利用作法得，  可证明，有，可得，进一步证明，得，继而可证明，得，得到是的平分线；在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线． 【详解】在图①中，利用基本作图可判断平分； 在图③中，利用作法得，    在和中， ， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； 在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线． 则①③可得出射线平分． 故选：B． 19．（2024·河北石家庄·二模）如图1，用尺规作图的方法“过直线外一点作直线的平行线”，现有如图2中的甲、乙两种方法，下列说法正确的是（    ） A．甲错乙对 B．甲对乙错 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 【答案】C 【分析】利用基本作图，平行线的判定定理，等腰三角形的性质；利用同位角相等，两直线平行可判断甲学作法正确；利用等腰三角形的性质和角平分线的定义可判断乙同学的作法正确． 【详解】解：利用平行线的判定方法可判断甲同学的作图正确． 根据作图可得，则 利用等腰三角形的性质和角平分线的定义可判断乙同学的作图正确； ∵ ∴， ∵是角平分线， ∴ 又∵ ∴ ∴ 故选：C． 20．（24-25八年级上·河北保定·期中）数学老师提出问题：已知线段，，利用尺规作图作，使线段，分别为三角形的一条直角边和斜边．小明所作的图如图所示，下列作图步骤中，小明的作图顺序是（   ） ①以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点； ②画直线； ③分别以点，为圆心，大于线段的长为半径画弧，交于点； ④以点为圆心，线段的长为半径画弧，交直线于点，连接； ⑤画射线，并在上截取线段 A．⑤①③②④ B．⑤④③②① C．⑤③②①④ D．⑤①④③② 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图——复杂作图、线段垂直平分线的性质等，掌握基本作图的方法是解题的关键．根据尺规作直角三角形的方法进行判断即可． 【详解】解：小明的作图顺序是⑤①③②④， 故选：A． 21．（22-23九年级下·河北衡水·期中）如图，在中，，为上一点（不与点，重合）．在上找一点，在上找一点，使得与全等，以下是甲，乙两位同学的作法．    甲 乙 连接，作线段的垂直平分线，分别交，于，两点，则，两点即为所求．      过点作，交于点，过点作，交于点，则，两点即为所求．    对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（    ） A．两人都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．两人都错误 【答案】A 【分析】通过全等三角形的判定对甲、乙两人的作法逐个求解即可． 【详解】解：甲：由题意可得：垂直平分 ∴， 又∵ ∴，即甲作法正确； 乙：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴，即乙作法正确； 故选：A． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 22．（22-23九年级下·湖北随州·阶段练习）观察下列尺规作图的痕迹，其中，能够说明的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据每个选项图中的作图痕迹判断，再根据三边关系进行判断即可． 【详解】A、根据作图，可得，故， 该项错误，不符合题意； B、根据作图，可得是的平分线，无法判定，该项错误，不符合题意； C、根据作图，可得是的平分线，无法判定，该项错误，不符合题意； D 、根据作图，可得是， ∵ ∴， 该项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了基本作图，三角形中的不等关系，熟练掌握同一个三角形中，两边之和大于第三边是解题的关键． 23．（2024·河北沧州·三模）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，．分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，交于内一点．连结并延长，交于点．连结，． 强强得出的结论是：当时，； 晴晴得出的结论是：当时，； 琪琪得出的结论是：当时，． 根据这三个人的结论，判断下面说法正确的是（    ） A．只有强强和琪琪得出的结论都对 B．只有强强和晴晴得出的结论都对 C．只有晴晴和琪琪得出的结论都对 D．这三个人得出的结论都对 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线作图，角平分线性质，全等三角形判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．根据题意可知是三角形的角平分线，再结合选项所给的条件逐项判断即可． 【详解】解：由作图过程可知，平分， ， ，， ， 故强强得出的结论是正确的，符合题意； ， ， ， ， 故晴晴得出的结论是正确的，符合题意； 而当时，得不到． 故琪琪得出的结论是错误的，不符合题意； 综上所述，只有强强和晴晴得出的结论都对． 故选：B． 24．（2023·河北沧州·模拟预测）某数学兴趣小组，在学习了角平分线的作法后，又探究出下面两种方案，则正确的方案（    ） 方案I 方案II ①分别在射线上截取，（点C，E不重合）； ②分别作线段的垂直平分线，交点为P； ③作射线即为的平分线．          ①分别在射线上截取，（点C，E不重合）； ②连接，交点为P； ③作射线即为的平分线．      A．方案I可行、II不可行 B．方案I不可行：II可行 C．方案I，II都可行 D．方案I，II都不可 【答案】C 【分析】对于方案I，根据线段垂直平分线的性质得，，则证明得到，所以平分；于是可判断I方案正确； 对于方案II：先证明得到，再证明得到，然后证明得到，于是可判断II方案正确． 【详解】解：对于方案I： 根据线段垂直平分线的性质得，， ， ， ， 即平分；所以I方案正确； 对于方案II： ，， ， ， ，， ， ， ， ， 即平分；所以II方案正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和全等三角形的判定与性质． 25．（23-24八年级下·河北保定·期中）对于题目“作的平分线”给出如下两种方案． 方案1： 以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于C，D两点，分别以点C，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，即为所求． 方案2：   以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于C，D两点，过C，D两点按如图所示的方式分别作的垂线和的垂线，与交于点P，作射线，即为所求． 关于这两个方案，下列说法正确的是（   ） A．只有方案1可行 B．只有方案2可行 C．两个方案都可行 D．两个方案都不可行 【答案】C 【分析】本题主要考查了尺规作图，三角形全等的判定和性质，解题的关键是掌握尺规作图的方法和步骤，全等三角形对应角相等． 根据方案1作图可知，用证明，即可求证平分；根据方案2作图可知，，即可用证明，即可求证平分． 【详解】解：方案1： 连接， 由作图可知：， ∵， ∴， ∴，即平分； 方案2：由作图可知：， ∵分别为的垂线， ∴， ∵， ∴， ∴，即平分； 综上：方案1、方案2均正确， 故选：C． 26．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点M，N； ②再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点O； ③作射线，交于点E． 已知，，则的面积为（    ） A．5 B．7 C．9 D．14 【答案】B 【分析】此题考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质得到点E到和的距离相等，点E到的距离等于的长度，利用三角形面积公式即可得到答案． 【详解】解：由基本作图得到平分B， ∴点E到和的距离相等， ∴点到的距离等于的长度，即点到的距离为， ∴． 故选：B． 27．（23-24七年级下·河北保定·期末）下面是嘉淇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务． 执“规”“矩”等分已知角《伏羲女娲图》中女娲执规，伏羲执矩，规与矩中间的图案是太阳，象征天地秩序，我是数学爱好者，在我的眼里“规”是圆规，“矩”是直角工具“”，“太阳”是被等分的角．要研究等分角，可以先从研究平分一个已知角开始．怎样借助圆规和直角工具作一个角的平分线呢？ 办法1 ①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点； ②分别以为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点； ③作射线． 射线即为的平分线． 办法2 ①两个“矩”如图放置，顶点重合于，一边重合于直线； ②以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点； ③使点在射线上，点在射线上，调整“矩”直至直线经过点． 射线即为的平分线． 经过测量，上述两种办法得到的与相等，验证平分成立．要想作为一般性方法，仅验证成立是不行的，还需要推理论证． 任务： (1)嘉淇的“办法1”可由作法判断，因为全等三角形的对应角相等，所以，即平分．请直接写出判断的依据是________； (2)请说明嘉淇的办法2的合理性． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了作图—应用与设计作图、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想． （1）利用证明即可得解； （2）证明，得出，即可得解． 【详解】（1）解：在和中， ， ∴， 故答案为： （2）解：由题意，得，， ∴     ∴， 即平分．   28．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，根据作图痕迹，解决下列问题： (1)_______； (2)若平分，，，求的面积 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了尺规作图垂直平分线和角平分线性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键； （1）根据尺规作图垂直平分线得垂直，即可得答案； （2）作垂线，根据角平分线的点到角两边距离相等，得的高，根据面积公式即可解答； 【详解】（1）由作图痕迹可知，， ， （2）故答案为： 过点D作， ， 平分，，， ， ， 29．（23-24八年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线，交于点，交于点，连接，若，，，则的周长为 ．    【答案】22 【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线，则可得，进而可得的周长为，即可得出答案．熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 【详解】解：由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线， ， 的周长为． 故答案为：22． 四、图形折叠的其它应用 30．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）在一次数学实践课上，老师拿出一张三角形纸片，他问学生：通过一次折叠，一定能折出三角形的中线、高线、角平分线中的哪些线？班里四个同学给出不同答案：小高说：高线和中线；小雪说：中线和角平分线；小琪说：高线和角平分线；小嘉说：高线、中线和角平分线都可以．他们答案正确的是（    ） A．小高 B．小雪 C．小琪 D．小嘉 【答案】C 【分析】本题考查三角形中的折叠问题，先折叠再根据三角形角平分线、中线、高线定义判断即可得到答案． 【详解】解：如图， 过折叠三角形纸片，使与重合，此时折痕即是过点的角平分线，经过了一次折叠； 先折出中点，再过中点和折叠三角形纸片，折痕即是过点的中线，经过了两次折叠； 过折叠三角形纸片，使在折痕两侧的部分在同一直线上，此时折痕即是过点的高线，经过了一次折叠； ∴通过一次折叠，一定能折出三角形的角平分线、高线，故小琪的说法正确， 故选：C． 31．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）如图，在中，，，是边上的一个动点，连接，将沿着翻折，得到．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：当为的平分线时，； 结论Ⅱ：当的三边与的三边中有一组边平行时，的度数为或 A．只有Ⅰ正确 B．只有Ⅱ正确 C．Ⅰ、Ⅱ都不正确 D．Ⅰ、Ⅱ都正确 【答案】A 【分析】此题主要考查翻折问题，平行线的性质，三角形的内角和定理，分类讨论是解题的关键．根据折叠的性质及角平分线的定义判断结论Ⅰ，分二种情况：当时和，结合折叠的性质分别计算可判定结论Ⅱ求解． 【详解】解：∵为的平分线， ∴， ∵将沿着翻折，得到， ∴， ∴、、三点共线， ∵ ∴故结论Ⅰ正确； 当时，如图，    由折叠可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，如图，      由折叠可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为 故结论Ⅱ错误； 故选：． 32．（15-16九年级下·河北秦皇岛·期中）如图，在长方形纸片ABCD中，AB=12，BC=6，点E，F分别在AB、CD上．将长方形纸片沿EF折叠，使点A，D分别落在长方形ABCD外部点，处，则阴影部分图形的周长为 ． 【答案】36 【分析】根据折叠的性质，得=AE， =AD，=DF，则阴影部分的周长即为矩形的周长． 【详解】解：根据折叠的性质，得=AE， =AD，=DF． 阴影部分图形的周长= + +EB+ +FC+BC， =AD+(AE+EB)+(DF+FC)+BC， =AD+AB+DC+BC， =2BC+2AB， =2(BC+AB)， =2(6+12)， =36． 故答案为：36． 【点睛】本题主要考查了翻折变换，长方形的性质，关键是要能够根据折叠的性质得到对应的线段相等，从而求得阴影部分的周长． 33．（23-24七年级上·河北唐山·期中）如图，在一条直线上，从左到右依次有点、、，其中，．以这条直线为基础建立数轴，设点、、所表示数的和是．    （1）如果规定向右为正方向，以1为单位长度建立数轴： ①若以为原点，则点表示的数是__________，点表示的数为__________，__________；若以为原点，则点表示的数是__________，点表示的数为__________，此时__________． ②若改变原点的位置，使原点在点的右边，且，求的值； 发现： 观察值的变化规律发现原点每向右移动1，值__________（增大或减小）__________． （2）若点表示的数是，则点表示的数是__________，若折叠数轴，使点与点重合，则折点表示的数是__________． 【答案】（1）①2，，，，，；②，减小，3；（2）5，2 【分析】（1）①由题意知，，若以为原点，根据点表示的数是，点表示的数为，，计算求解即可；若以为原点，根据点表示的数是，点表示的数为，此时，计算求解即可；②由题意，根据点表示的数是，点表示的数是，点表示的数为，，计算求解即可；发现：当原点每向右移动1时，，则点表示的数是，点表示的数是，点表示的数为，即，由，进行作答即可； （2）若点表示的数是，则点表示的数是，若折叠数轴，使点与点重合，则折点表示的数是，计算求解即可． 【详解】（1）①解：由题意知，， 若以为原点，则点表示的数是，点表示的数为， ；若以为原点，则点表示的数是，点表示的数为，此时， 故答案为：2，，，，，； ②解：∵原点在点的右边，且， ∴点表示的数是，点表示的数是，点表示的数为， ∴， ∴的值为； 发现： 当原点每向右移动1时，， ∴点表示的数是，点表示的数是，点表示的数为， ∴， ∵， ∴原点每向右移动1，值减小3， 故答案为：减小；3； （2）解：若点表示的数是，则点表示的数是，若折叠数轴，使点与点重合，则折点表示的数是， 故答案为：5，2． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，在数轴上表示有理数，折叠的性质，有理数的加减运算．根据数轴上两点之间的距离正确求出数轴上的点是解题的关键． 34．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，点A到点B的距离记为，我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．其中b是最大的负整数，a，c满足与互为相反数． (1) 　，　，　； (2)以某点D为折点，将此数轴向右对折，若点A在点C的右边，且，则D表示的数是　； (3)若点A以每秒2个单位长度的速度向右运动t秒时，．求出t的值． 【答案】(1)，， (2)2 (3)秒或秒 【分析】（1）根据最大的负整数是，绝对值和偶次方具有非负性可求解； （2）先求出对折后点A表示的数为7，设点D肯示的数为x，由折叠可得：，求解即可； （3）分三种情况：①当点A在点B左侧时，②当点A在点B点C之间时，③当点A在点C右侧时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵a，c满足与互为相反数， ∴，， ∴，， ∵b是最大的负整数， ∴； 故答案为：，，； （2）解：∵，， ∴对叠后点A表示的数为， 设点D表示的数为x，由折叠可得： ， 解得：， ∴D表示的数是2； （3）解：分三种情况：①当点A在点B左侧时，则 ， 解得：； ②当点A在点B点C之间时，则 解得：， ③当点A在点C右侧时，∵， ∴此情况不存在， 综上，当，t秒的值为秒或秒． 【点睛】本题考查数轴，非负数的性质，一元一次方程的应用，折叠的性质，根据非负数性质求出点A、B、C表示的数和根据折叠的性质、列出方程是解题的关键． 五、线段垂直平分线的性质和判定 35．（2023·河北石家庄·三模）对于直线L和直线L外的一点O，按下列步骤完成了尺规作图：（1）在直线L的另一侧取点M；（2）以O为圆心，为半径作弧与L交于A，B两点；（3）分别以A，B为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点C；（4）过点O和C作直线m．问题：“在直线m上任取一点P（点P不在L上），连接，，过点A作直线n与直线垂直，设是，直线n与所夹的锐角是，求x与y的数量关系．”下面是三个同学的答案，甲：，乙：，丙：． 对于三人的答案，下列结论正确的是（   ）    A．只有甲的答案正确 B．甲和乙的答案合在一起才正确 C．甲和丙的答案合在一起才正确 D．甲乙丙的答案合在一起才正确 【答案】D 【分析】分四种情况讨论：当为锐角时，当为钝角时，当为直角时，当时，分别画出图形，求出x与y的关系，即可得出答案． 【详解】解：当为锐角时，如图所示：    ∵， ∴， ∴， 即； 当为钝角时，如图所示：    ∵， ∴， ∵为的外角， ∴， ∴， 即； 当为直角时，如图所示：    此时直线n与重合， ∴此时直线n与所夹的角为， 即或； 当时，如图所示：    ， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； 综上分析可知，或或，则甲乙丙的答案合在一起才正确，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了尺规作垂线，三角形内角和定理的应用，三角形外角是性质，解题的关键是理解题意，注意分类讨论． 36．（23-24八年级上·河北衡水·阶段练习）如图，在中，，分别作边的垂直平分线，垂足分别是．甲、乙、丙的结论如下，下列判断正确的是（　　） 甲：； 乙：点在线段的垂直平分线上； 丙：直线上到点的距离之和最小的点是点 A．甲、乙、丙都正确 B．只有甲、乙正确 C．只有甲、丙正确 D．只有乙、丙正确 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、三角形三边关系，由三角形内角和定理得出，由线段垂直平分线的性质可得，，从而得出，，进而得出，即可判断甲；由线段垂直平分线的性质得出，即可判断乙；由线段垂直平分线的性质结合三角形三边关系即可判断丙；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， ， 垂直平分，垂直平分， ，， ，， ， ，故甲说法正确； 如图，连接、、， ， 垂直平分，垂直平分， ，， ， 点在线段的垂直平分线上，故乙说法正确； 垂直平分， ， ， 如图，在上任意取一点， ， 垂直平分， ， ， 直线上到点的距离之和最小的点是点，故丙说法正确； 综上所述，说法正确的有：甲、乙、丙， 故选：A． 37．（17-18八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且． (1)若，求的度数： (2)若周长，求长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形外角性质的应用，主要考查学生综合运行性质进行推理和计算的能力，题目比较好，难度适中． （1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出，求出和，即可得出答案； （2）根据三角形的周长，结合线段之间数量关系，推出，进而计算即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ， ∵， ； （2）解：周长，， ， ∵， ∴，即， ． 38．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）如图，在中，E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D，连接． (1)求证：； (2)若的周长为18，的周长为6． ①求的长； ②若的面积为12，求点到的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)①6；②4 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）①先根据三角形的周长公式可得，再根据的周长为18可得，然后根据求解即可得； ②先根据全等三角形的性质可得的面积与的面积相等，再利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：①∵的周长为6， ∴， ∵， ∴，即， ∵的周长为18， ∴， ∴， 又∵， ∴； ②如图，过点作于点， 由上可知，，， ∴的面积与的面积相等，即为12， ∴，即， ∴， 所以点到的距离为4． 六、角平分线的性质定理的应用 39．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，点在的平分线上，点分别在上，且． (1)求证：； (2)延长，分别交于点，连接，若平分，回答下列问题． ①试说明平分； ②若，，求点P到射线的距离． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②点P到射线的距离为2． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和判定，线段垂直平分线的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）利用证明，即可证明； （2）①过点作的垂线，垂足分别为，利用角平分线的性质求得，即可证明平分； ②先证明是线段的垂直平分线，利用三角形的面积公式求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵点在的平分线上， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：①过点作的垂线，垂足分别为， ∵点在的平分线上， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分； ②由（1）得， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴点恰好是与的交点， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即点P到射线的距离为2． 40．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图1，图2，在中，，D为的平分线上一点． (1)如图1，当点D在线段上时，平分，分别交，于点E，F，求的度数； (2)如图2，当点D在的外部时，过点D作，交于点M，，交的延长线于点N，且． ①连接，．求证：点D在的垂直平分线上； ②若，，则______． 【答案】(1) (2)①见解析；②2 【分析】（1）根据直角三角形性质得，根据角平分线定义得，根据三角形外角性质得； （2）①连接，根据角平分线性质得，结合，，得，得，即得点D在线段的垂直平分线上；②求出，根据，得，得， 得，得，即得． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； （2）①证明：连接， ∵平分，于M，于N， ∴， 又， ∴， ∴， ∴点D在线段的垂直平分线上； ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了三角形角平分线．添加辅助线，熟练掌握直角三角形的性质，三角形外角性质，角平分线定义和性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线判定，是解题的关键． 41．（24-25八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在中，，于点，于点，，，，动点以的速度从点向点运动，同时动点以的速度从点向点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为． (1)求； (2)求证：在运动过程中，无论取何值，都有； (3)请直接写出___________时，与全等？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、三角形的面积计算． （1）根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式求出； （2）分别用t表示出和，即可证明； （3）分点在线段上、点在线段上两种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【详解】（1）解：，，， ， ， （2）证明：由题意得，，， 则， ， ， ； （3）解：， ， 当点在线段上时， ， 时，，即， 解得，不合题意， 当点在线段上、在上时， ， 时，，即， 解得，， 当点在线段上、在上时， ， 时，，即， 解得，， 则当或时，与全等． 42．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，平分，平分，与交于点O． (1)如图1，若，直接写出的大小为__________； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，若，，则__________． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用三角形内角和及角平分线的定义求出即可； （2）过点O作，，，证明，得到，，，得到，，即可得到结论， （3）在上截取，，连接，，作，，由，平分，平分，得到，，由，得到，设，，由，，得到，，，，进而得到，，根据角平分线的性质定理，得到 ，由，，得到，根据即可求解， 本题考查了，角平分线的性质定理，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：等高三角形的面积比等于底边之比． 【详解】（1）解：在中，， ∵平分，平分， ∴， ∴， 在中，， （2）解：过点O作，，，垂足分别为，，， 在中，， ∵平分，平分， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在四边形中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分，平分，，，， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵，，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， （3）解：在上截取，连接，，过点作于，于， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴设，， ∵，，， ∴， ∴，， 同理可证，，，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 43．（23-24八年级上·河北承德·期中）在中，D是边上的点(点D不与点B，C重合)，连接． (1)如图1，当D是边的中点时，___________． (2)如图2，当是的平分线时，若，， ___________． (3)如图3，平分，延长到，使得，连接，如果，，，那么的面积是多少？ 【答案】(1)1 (2)2 (3)15 【分析】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键． （1）过作于，根据三角形面积公式求出即可； （2）过作于，于，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出即可； （3）根据已知和（1）（2）的结论求出和的面积，即可求出答案． 【详解】（1）解：过作于，如图， 点是边上的中点， ， （2）解：过作于，于， 为的角平分线， ， ∵，， ； （3）解：， 由（1）知：， ， ， ，，平分， 由（2）知：， ， ． 44．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图所示，直线交轴于点，交轴于点，且、满足． (1)如图1，若的坐标为，且于点，交于点，试求点的坐标； (2)如图2，连接，求证； (3)如图3，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【答案】(1) (2)详见解析 (3)不发生改变，等于4 【分析】此题考查了图形与坐标、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理等知识． （1）求出，，则．证明；则，的坐标为，则，得到，即可得到答案； （2）过分别作于点，作于点．证明，则．根据角平分线的判定得到平分，即可得到； （3）连接．证明，则，得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 则． ∵，则，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴； ∴， ∵的坐标为， ∴， ∴， ∴的坐标为； （2）过分别作于点，作于点． ∴， ∵， ∴，， 在和中，， ∴， ∴． ∵，， ∴平分， ∴， （3）的值不发生改变，等于4． 理由如下：如图：连接． ∵，，为的中点， ∴，，， ∴，， ∴． ∵即， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 45．（21-22八年级上·河北承德·期末）定理的回顾与应用： (1)填空：角平分线的性质定理：角平分线上的点到 　 　． 符号语言：∵如图1，为上的平分线，且 　 　，∴　 　． (2)解答： 已知：如图2，，为的平分线，以点为顶点的与角的两边相交于点、 ，且．求证：． (3)作图：根据以上种情况，再次寻找其它情况，点 P为的平分线上的点，请你用尺规作图3，分别在角的两边上找点、，使得（要求保留作图痕迹，不写作法） (4)思考：如图4，为的平分线，以点为顶点的与角的两边相交于点、，当与有怎样的数量关系时，．（只写数量关系，不必证明） 【答案】(1)角两边的距离相等；， (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据角平分线性质，写出结果； （2）作于，作于，证明，从而得出结论； （3）作射线，交于，作，反向延长，交于； （4）当和互补时，． 【详解】（1）解：定理直接得出结果： 角两边的距离相等；，； （2）证明：证明：如图1， 作于，作于， ， 平分， ， 在四边形中，，， ， ， ， ， ， （ASA） ； （3）证明：如图2， 作射线，交于，作，反向延长，交于， 则；, （4）解：如图3， 当和互补时，，理由如下： 作于，作于， ， 平分， ， 在四边形中，， ， ， ， ， ， (ASA) ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，角平分线的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 46．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）在中，，．若点D在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点D在的外部时，过点D作于E，作交的延长线于F，且． ①求证：点D在的垂直平分线上； ②________； (2)如图2，当点D在线段上时，若，平分，交于点E，交与点F，过点F作，交于点G． ①________； ②若，，求的长度； (3)如图3，过点A的直线，若，，点D到三边所在直线的距离相等，则点D到直线l的距离是________． 【答案】(1)①见解析；②1 (2)①；② (3)2或6． 【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练使用各性质定理是解决问题的关键． （1）①点D在的平分线所在的直线上, 过点D作于E，作交的延长线于F，得出，借助，得到，即可证明点D在的垂直平分线上； ②通过证出，从而有，即可得出； （2）①先利用角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求得，即可求解； ②延长交于H，证明，得到，再由，即可求解； （3）分2种情况讨论，分别画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可． 【详解】（1）①证明：连接， ∵点D在的平分线所在的直线上, 过点D作于E，作交的延长线于F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点D在的垂直平分线上； ②由①知：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1； （2）①∵平分，平分，， ∴，即， ∴， ∵，即， ∴； 故答案为：； ②延长交于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）当点D在内部时，如图： ∵， ∴， ∴， 点D到直线l的距离是； 当点D在的下方时，如图： 设点D到三边的距离为x， 由题意得：， ∴， ∴， 点D到直线l的距离是； 综上，点D到直线l的距离是2或6． 故答案为：2或6． 试卷第2页，共66页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 轴对称和中心对称综合题清单 一、折叠问题中的角度计算 1．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）如图，将一张三角形纸片折叠，使点A落在的处，折痕为，若，，，那么下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河北石家庄·一模）如图，在三角形纸片中，，，点D是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点B落在点处，当时，则（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或    3．（18-19八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，将纸片沿折叠，点A落在点F处，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级上·河北邢台·阶段练习）有一道题目：“如图，在中，，将沿折叠，使得点落在边上的点处，若，且中有两个内角相等，求的度数．”嘉嘉的答案是，淇淇说：“嘉嘉考虑的不全面，还应该有另外一个值．”下列判断正确的是（　　） A．淇淇说的不对，就是 B．淇淇说得对，且的另一个值是 C．淇淇说得对，且的另一个值是 D．两人都不对，应有三个不同值 5．（23-24七年级下·河北保定·期末）题目：“如图，在中，，M、N分别是边上的点，将沿折叠得到．若与的边平行，求的度数． ”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（   ） A．只有甲答案对 B．乙、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙、丙答案合在一起才完整 6．（23-24七年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，有一个长方形纸条，点，是线段上的两个动点，且点始终在点左侧，在上有一点，连接、，以，为折痕翻折纸条，使点、点、点、点分别落在点、点、点、点上．如下结论： 结论一：当时，； 结论二：当时，． 下列判断正确的是（    ） A．只有结论一正确 B．只有结论二正确 C．结论一和结论二都正确 D．结论一和结论二都不正确 7．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）已知长方形纸片，点E在边上，点F，G在边上，连接．将对折．点B落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕． （1）如图1，若点F与点G重合，则的度数是 ； （2）如图2，若，则 ． 8．（23-24七年级下·河北廊坊·阶段练习）如图1，有一条长方形纸带． （1）将纸带沿折叠，如图2所示，则的度数为 ，的度数为 ； （2）将图中的纸带再沿折叠，如图所示，则的度数为 ． 9．（24-25七年级上·河北衡水·期中）（1）如图1是一个长方形纸片，将纸片沿，折叠，点A的对应点为，点D的对应点为，且点在线段上．若，则 （2）如图2所示的是一个长方形纸片沿其上一条线折叠后的图形，已知，则 （3）如图3将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若，则 二、线段最值问题 10．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，点M是上一点，，，，若点和点M关于对称，点和点M关于对称． 则点，之间的距离最小值是（    ） A．6 B．2.4 C．4.8 D．4 11．（21-22八年级下·辽宁本溪·期中）如图，在中，，，，，平分交于点，、分别是，上的动点，则的最小值为（　　）    A． B．5 C．3 D． 12．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，直线m是中边的垂直平分线，P是直线m上的一动点，则的周长的最小值为 ． 13．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，，，将沿射线折叠，使点与边上的点重合． （1）线段的长是 ； （2）若点是射线上一动点，则周长的最小值是 ． 14．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，牧马人从地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到处，要求指出最短路径． 同学甲：牧马人从地出发，把马牵到草地与河边的交汇处点，牧马又饮马，然后回到处． 同学乙：作点关于直线对称的点，再作点关于直线对称的点，连接交直线于点，交直线于点，则路径为最短路径． 你认为哪位同学指出的最短路径正确？画出图形，并说明理由． 15．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三顶点都在格点上，位置如图．请完成下列问题： (1)画出关于y轴的对称图形（注意标出对应点字母）；并分别写出点、点、点的坐标； (2)求的面积； (3)在轴上找一点，使最小．在图中画出点，并写出点的坐标．（保留作图痕迹，不写作法，写出结论） 16．（22-23七年级下·河北张家口·期末）如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C、M、N都在格点上．    (1)画出关于直线对称的； (2)在直线上找点P使最小，在图形上画出点P的位置； (3)在直线上找点Q使最大，直接写出这个最大值． 17．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）已知点P在内．    (1)如图①，点P关于射线的对称点分别是G、H，连接． ①若，则是什么特殊三角形？为什么？ ②若，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图②，若， A、B分别是射线上的点，于点B，点P、Q分别为上的两个定点，且，，在上有一动点E，试求的最小值． 三、尺规作图的识别与应用 18．（2024·广东深圳·中考真题）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．只有① 19．（2024·河北石家庄·二模）如图1，用尺规作图的方法“过直线外一点作直线的平行线”，现有如图2中的甲、乙两种方法，下列说法正确的是（    ） A．甲错乙对 B．甲对乙错 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 20．（24-25八年级上·河北保定·期中）数学老师提出问题：已知线段，，利用尺规作图作，使线段，分别为三角形的一条直角边和斜边．小明所作的图如图所示，下列作图步骤中，小明的作图顺序是（   ） ①以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点； ②画直线； ③分别以点，为圆心，大于线段的长为半径画弧，交于点； ④以点为圆心，线段的长为半径画弧，交直线于点，连接； ⑤画射线，并在上截取线段 A．⑤①③②④ B．⑤④③②① C．⑤③②①④ D．⑤①④③② 21．（22-23九年级下·河北衡水·期中）如图，在中，，为上一点（不与点，重合）．在上找一点，在上找一点，使得与全等，以下是甲，乙两位同学的作法．    甲 乙 连接，作线段的垂直平分线，分别交，于，两点，则，两点即为所求．      过点作，交于点，过点作，交于点，则，两点即为所求．    对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（    ） A．两人都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．两人都错误 22．（22-23九年级下·湖北随州·阶段练习）观察下列尺规作图的痕迹，其中，能够说明的是（    ） A． B． C． D． 23．（2024·河北沧州·三模）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，．分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，交于内一点．连结并延长，交于点．连结，． 强强得出的结论是：当时，； 晴晴得出的结论是：当时，； 琪琪得出的结论是：当时，． 根据这三个人的结论，判断下面说法正确的是（    ） A．只有强强和琪琪得出的结论都对 B．只有强强和晴晴得出的结论都对 C．只有晴晴和琪琪得出的结论都对 D．这三个人得出的结论都对 24．（2023·河北沧州·模拟预测）某数学兴趣小组，在学习了角平分线的作法后，又探究出下面两种方案，则正确的方案（    ） 方案I 方案II ①分别在射线上截取，（点C，E不重合）； ②分别作线段的垂直平分线，交点为P； ③作射线即为的平分线．          ①分别在射线上截取，（点C，E不重合）； ②连接，交点为P； ③作射线即为的平分线．      A．方案I可行、II不可行 B．方案I不可行：II可行 C．方案I，II都可行 D．方案I，II都不可 25．（23-24八年级下·河北保定·期中）对于题目“作的平分线”给出如下两种方案． 方案1： 以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于C，D两点，分别以点C，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，即为所求． 方案2：   以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于C，D两点，过C，D两点按如图所示的方式分别作的垂线和的垂线，与交于点P，作射线，即为所求． 关于这两个方案，下列说法正确的是（   ） A．只有方案1可行 B．只有方案2可行 C．两个方案都可行 D．两个方案都不可行 26．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点M，N； ②再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点O； ③作射线，交于点E． 已知，，则的面积为（    ） A．5 B．7 C．9 D．14 27．（23-24七年级下·河北保定·期末）下面是嘉淇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务． 执“规”“矩”等分已知角《伏羲女娲图》中女娲执规，伏羲执矩，规与矩中间的图案是太阳，象征天地秩序，我是数学爱好者，在我的眼里“规”是圆规，“矩”是直角工具“”，“太阳”是被等分的角．要研究等分角，可以先从研究平分一个已知角开始．怎样借助圆规和直角工具作一个角的平分线呢？ 办法1 ①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点； ②分别以为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点； ③作射线． 射线即为的平分线． 办法2 ①两个“矩”如图放置，顶点重合于，一边重合于直线； ②以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点； ③使点在射线上，点在射线上，调整“矩”直至直线经过点． 射线即为的平分线． 经过测量，上述两种办法得到的与相等，验证平分成立．要想作为一般性方法，仅验证成立是不行的，还需要推理论证． 任务： (1)嘉淇的“办法1”可由作法判断，因为全等三角形的对应角相等，所以，即平分．请直接写出判断的依据是________； (2)请说明嘉淇的办法2的合理性． 28．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，根据作图痕迹，解决下列问题： (1)_______； (2)若平分，，，求的面积 29．（23-24八年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线，交于点，交于点，连接，若，，，则的周长为 ．    四、图形折叠的其它应用 30．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）在一次数学实践课上，老师拿出一张三角形纸片，他问学生：通过一次折叠，一定能折出三角形的中线、高线、角平分线中的哪些线？班里四个同学给出不同答案：小高说：高线和中线；小雪说：中线和角平分线；小琪说：高线和角平分线；小嘉说：高线、中线和角平分线都可以．他们答案正确的是（    ） A．小高 B．小雪 C．小琪 D．小嘉 31．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）如图，在中，，，是边上的一个动点，连接，将沿着翻折，得到．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：当为的平分线时，； 结论Ⅱ：当的三边与的三边中有一组边平行时，的度数为或 A．只有Ⅰ正确 B．只有Ⅱ正确 C．Ⅰ、Ⅱ都不正确 D．Ⅰ、Ⅱ都正确 32．（15-16九年级下·河北秦皇岛·期中）如图，在长方形纸片ABCD中，AB=12，BC=6，点E，F分别在AB、CD上．将长方形纸片沿EF折叠，使点A，D分别落在长方形ABCD外部点，处，则阴影部分图形的周长为 ． 33．（23-24七年级上·河北唐山·期中）如图，在一条直线上，从左到右依次有点、、，其中，．以这条直线为基础建立数轴，设点、、所表示数的和是．    （1）如果规定向右为正方向，以1为单位长度建立数轴： ①若以为原点，则点表示的数是__________，点表示的数为__________，__________；若以为原点，则点表示的数是__________，点表示的数为__________，此时__________． ②若改变原点的位置，使原点在点的右边，且，求的值； 发现： 观察值的变化规律发现原点每向右移动1，值__________（增大或减小）__________． （2）若点表示的数是，则点表示的数是__________，若折叠数轴，使点与点重合，则折点表示的数是__________． 34．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，点A到点B的距离记为，我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．其中b是最大的负整数，a，c满足与互为相反数． (1) 　，　，　； (2)以某点D为折点，将此数轴向右对折，若点A在点C的右边，且，则D表示的数是　； (3)若点A以每秒2个单位长度的速度向右运动t秒时，．求出t的值． 五、线段垂直平分线的性质和判定 35．（2023·河北石家庄·三模）对于直线L和直线L外的一点O，按下列步骤完成了尺规作图：（1）在直线L的另一侧取点M；（2）以O为圆心，为半径作弧与L交于A，B两点；（3）分别以A，B为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点C；（4）过点O和C作直线m．问题：“在直线m上任取一点P（点P不在L上），连接，，过点A作直线n与直线垂直，设是，直线n与所夹的锐角是，求x与y的数量关系．”下面是三个同学的答案，甲：，乙：，丙：． 对于三人的答案，下列结论正确的是（   ）    A．只有甲的答案正确 B．甲和乙的答案合在一起才正确 C．甲和丙的答案合在一起才正确 D．甲乙丙的答案合在一起才正确 36．（23-24八年级上·河北衡水·阶段练习）如图，在中，，分别作边的垂直平分线，垂足分别是．甲、乙、丙的结论如下，下列判断正确的是（　　） 甲：； 乙：点在线段的垂直平分线上； 丙：直线上到点的距离之和最小的点是点 A．甲、乙、丙都正确 B．只有甲、乙正确 C．只有甲、丙正确 D．只有乙、丙正确 37．（17-18八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且． (1)若，求的度数： (2)若周长，求长． 38．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）如图，在中，E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D，连接． (1)求证：； (2)若的周长为18，的周长为6． ①求的长； ②若的面积为12，求点到的距离． 六、角平分线的性质定理的应用 39．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，点在的平分线上，点分别在上，且． (1)求证：； (2)延长，分别交于点，连接，若平分，回答下列问题． ①试说明平分； ②若，，求点P到射线的距离． 40．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图1，图2，在中，，D为的平分线上一点． (1)如图1，当点D在线段上时，平分，分别交，于点E，F，求的度数； (2)如图2，当点D在的外部时，过点D作，交于点M，，交的延长线于点N，且． ①连接，．求证：点D在的垂直平分线上； ②若，，则______． 41．（24-25八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在中，，于点，于点，，，，动点以的速度从点向点运动，同时动点以的速度从点向点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为． (1)求； (2)求证：在运动过程中，无论取何值，都有； (3)请直接写出___________时，与全等？ 42．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，平分，平分，与交于点O． (1)如图1，若，直接写出的大小为__________； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，若，，则__________． 43．（23-24八年级上·河北承德·期中）在中，D是边上的点(点D不与点B，C重合)，连接． (1)如图1，当D是边的中点时，___________． (2)如图2，当是的平分线时，若，， ___________． (3)如图3，平分，延长到，使得，连接，如果，，，那么的面积是多少？ 44．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图所示，直线交轴于点，交轴于点，且、满足． (1)如图1，若的坐标为，且于点，交于点，试求点的坐标； (2)如图2，连接，求证； (3)如图3，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 45．（21-22八年级上·河北承德·期末）定理的回顾与应用： (1)填空：角平分线的性质定理：角平分线上的点到 　 　． 符号语言：∵如图1，为上的平分线，且 　 　，∴　 　． (2)解答： 已知：如图2，，为的平分线，以点为顶点的与角的两边相交于点、 ，且．求证：． (3)作图：根据以上种情况，再次寻找其它情况，点 P为的平分线上的点，请你用尺规作图3，分别在角的两边上找点、，使得（要求保留作图痕迹，不写作法） (4)思考：如图4，为的平分线，以点为顶点的与角的两边相交于点、，当与有怎样的数量关系时，．（只写数量关系，不必证明） 46．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）在中，，．若点D在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点D在的外部时，过点D作于E，作交的延长线于F，且． ①求证：点D在的垂直平分线上； ②________； (2)如图2，当点D在线段上时，若，平分，交于点E，交与点F，过点F作，交于点G． ①________； ②若，，求的长度； (3)如图3，过点A的直线，若，，点D到三边所在直线的距离相等，则点D到直线l的距离是________． 试卷第20页，共21页 试卷第21页，共21页 学科网（北京）股份有限公司 $$