精品解析：山东省泰安市宁阳县第十二中学（五四制）2024-2025学年九年级上学期第二次月考数学试题

九上数学 检测题 （时间：120分钟；满分：150分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分．每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确答案的字母代号选出填入下面答题栏的对应位置） 1. 如图所示，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 的值等于（ ） A. B. C. D. 1 3. 如图，在中，弦，相交于点P，，，那么度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是反比例函数的图象，点是反比例函数图象上任意一点，过点作轴于点，连接，则的面积是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 5. 抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，市政府准备修建一座高米的过街天桥，已知天桥的坡面与地面的夹角的余弦值为，则坡面的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别旋转两个转盘，若其中一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色即可配成紫色．那么可配成紫色的概率是（　　） A. B. C. D. 8. 若点在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 10. 已知在同一直角坐标系中，二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，点B、E是以为直径的半圆O的三等分点，弧的长为，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 12. 二次函数的图象经过点，，与轴的负半轴相交，且交点在的上方，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．只要求填写最后结果） 13. 点，在抛物线上，则________．（填“”，“”或“”） 14. 小亮、小莹、大刚三位同学随机地站成一排合影留念，小亮恰好站在中间的概率是_____． 15. 泰安某公园内有一塔亭，某课外实践小组为测量该塔亭的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，．已知测角仪的高度为，则该塔亭的高度为______．（保留根号） 16. 把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，∠CAB=60°，若量出AD=6cm，则圆形螺母的外直径是___． 17. 如图，已知在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，点在轴的负半轴上，，以为边向上作正方形．若图象经过点的反比例函数的表达式是，则图象经过点的反比例函数的表达式是______． 18. 已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图像沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是______． 三、解答题（本大题共7个小题，满分78分．解答应写出计算过程、文字说明或推演步骤） 19. 计算： （1）； （2） 20. 为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD=2米），背水坡DE的坡度i=1：1（即DB：EB=1：1），如图所示，已知AE=4米，∠EAC=130°，求水坝原来的高度BC．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2） 21. 某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元．则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元? （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元?根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元? 22. 如图，在中，，以为直径的交于点P，点Q是线段的中点，连接并延长交的延长线于点D． （1）求证：直线是的切线； （2）若， ①求的半径的长； ②求的长． 23. 如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数（x>0）的图象交于P（n，2），与轴交于A（﹣4，0），与y轴交于C，PB⊥轴于点B，且AC=BC． （1）求一次函数、反比例函数的解析式； （2）反比例函数图象有一点D，使得以B、C、P、D为顶点的四边形是菱形，求出点D的坐标． 24. 已知直线与轴、轴分别相交于A、B两点，抛物线经过、两点，点在线段上，从点出发，向点以每秒1个单位的速度匀速运动；同时点在线段上，从点出发，向点以每秒个单位的速度匀速运动，连接，设运动时间为秒． （1）求抛物线关系式； （2）当为何值时，为直角三角形． 25. 如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，连接AC、BC． （1）求抛物线的表达式； （2）将沿AC所在直线折叠，得到，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标．并求出四边形OADC的面积； （3）点P是抛物线上的一动点，当时，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九上数学 检测题 （时间：120分钟；满分：150分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分．每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确答案的字母代号选出填入下面答题栏的对应位置） 1. 如图所示，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从上面看，看到的图形是一个长方形，靠近中间有一个直径与长方形宽相等的圆，即看到的图形如下： 故选：C． 2. 的值等于（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，直接根据特殊角的三角函数值得出答案． 【详解】解：， 故选：D． 3. 如图，在中，弦，相交于点P，，，那么度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握并灵活运用圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理求出的度数，再由三角形外角的性质求出的度数即可． 【详解】解：， ， ， ． 故选：D． 4. 如图是反比例函数的图象，点是反比例函数图象上任意一点，过点作轴于点，连接，则的面积是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，即k的绝对值，等于的面积的2倍，数形结合比较直观．由反比例函数的几何意义可知，，也就是的面积的2倍是2，求出的面积是1． 【详解】解：∵， ∴，， ∵A为反比例函数图象上一点， ∴， ∴， 故选：B． 5. 抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数平移．根据题意利用“左加右减，上加下减”即可得到本题答案． 【详解】解：∵向右平移2个单位，再向下平移3个单位， ∴，即：， 故选：D． 6. 如图，市政府准备修建一座高米的过街天桥，已知天桥的坡面与地面的夹角的余弦值为，则坡面的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形．根据题意利用余弦三角函数列式即可求出本题答案． 【详解】解：∵天桥的坡面与地面的夹角的余弦值为， ∴， ∴， ∵米， ∴， 解得：， 故选：A． 7. 用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别旋转两个转盘，若其中一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色即可配成紫色．那么可配成紫色的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将第一个转盘中的红色划分为圆心角为120度的两部分，将第二个转盘中的蓝色划分为圆心角为120度的两部分，可列树状图表示出所有等可能结果，再求概率即可. 【详解】解：如图， 根据题意画树状图如下： 由树状图可知共有9种等可能结果，其中能配成紫色的有5种结果， 那么可配成紫色的概率是； 故选：C． 【点睛】本题考查了随机事件的概率，灵活的利用树状图或列表法求概率是解题的关键. 8. 若点在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征，同学们应重点掌握．关键是根据反比例函数的增减性解题．先根据函数解析式中的比例系数确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答． 【详解】解：反比例函数中，， 此函数图象在一、三象限， ， 点、在第三象限， 函数图象在第三象限内为减函数， ， ， 在第一象限， ， 、、的大小关系是， 故选：B． 9. 如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】分析：连接OP．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到OP=AB，当OP最短时，AB最短．连接OM交⊙M于点P，则此时OP最短，且OP=OM－PM，计算即可得到结论． 详解：连接OP． ∵PA⊥PB，OA=OB，∴OP=AB，当OP最短时，AB最短． 连接OM交⊙M于点P，则此时OP最短，且OP=OM－PM==3，∴AB的最小值为2OP=6．故选C． 点睛：本题考查了直角三角形斜边上中线的性质以及两点间的距离公式．解题的关键是利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半把AB的长转化为2OP． 10. 已知在同一直角坐标系中，二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象，反比例函数图象，二次函数图象的综合．根据反比例函数的函数图象在一、三象限，得到，根二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，得到，，则，由此即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的函数图象在一、三象限， ∴， ∵二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧， ∴，， ∴， ∴， ∴一次函数经过一、三、四象限， 故选：C． 11. 如图，点B、E是以为直径的半圆O的三等分点，弧的长为，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求扇形的面积，勾股定理，求弧长，直角三角形的性质，余弦函数．先连接，设半径为R，根据“弧，弦，圆心角的关系”得，可得，再根据弧长公式求出即，接下来根据特殊角的三角函数值求出，再解直角三角形求出，，即可求出，最后根据得出阴影部分的面积． 【详解】解：连接，设半径为R， ∵点B,E是半的三等分点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得即． ∵是的直径， ∴， ∴， 在中，， ∴, 根据勾股定理，得， ∴． ∵和的面积相等， ∴． 故选：A． 12. 二次函数的图象经过点，，与轴的负半轴相交，且交点在的上方，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象及性质．根据题意逐一对选项进行分析即可，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵图象经过点，，与轴的负半轴相交， ∴，①正确； ∵图象经过点，， ∴，解得：， ∴②正确； 当时，得， ∵， ∴， ∴③正确； 把代入中得：，即， ∴， ∴④不正确； 故选：C． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．只要求填写最后结果） 13. 点，在抛物线上，则________．（填“”，“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】将A，B两点代入抛物线，求出对应的y值即可． 【详解】当时，； 当时，； ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，掌握知识点是解题关键． 14. 小亮、小莹、大刚三位同学随机地站成一排合影留念，小亮恰好站在中间的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用列表法展示所以6种等可能的结果，其中小亮恰好站在中间的占2种，然后根据概率定义求解． 【详解】列表如下： ， 共有6种等可能的结果，其中小亮恰好站在中间的占2种， 所以小亮恰好站在中间的概率为＝， 故答案为：. 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：先利用列举法或树形图法不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率． 15. 泰安某公园内有一塔亭，某课外实践小组为测量该塔亭的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，．已知测角仪的高度为，则该塔亭的高度为______．（保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形实际应用．根据题意可知，利用正弦函数值即可求出，继而求得本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵的高度为， ∴（m）， 故答案为：． 16. 把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，∠CAB=60°，若量出AD=6cm，则圆形螺母的外直径是___． 【答案】12 【解析】 【分析】设圆形螺母的圆心为O，连接OD、OE、OA，如图，根据切线的性质得到AO为∠DAB的角平分线，OD⊥AC，OE⊥AB，又因为∠CAB=60°，以此得到∠OAE=∠OAD=∠DAB=60°，根据三角函数定义求出OD的长，从而的出直径即可. 【详解】 如图，设圆形螺母圆心为O，与AB相切于E，连接OD．OE、OA， ∵AD、AB分别是圆O的切线 ∴AO为∠DAB的角平分线，OD⊥AC，OE⊥AB 又∵∠CAB=60° ∴∠OAE=∠OAD=∠DAB=60° 在Rt△AOD中，∠OAD=60°，AD=6cm ∴tan∠OAD=tan60°= 即 ∴OD= ∴圆形螺母直径为. 【点睛】本题主要考查了直线与圆相切的性质以及三角函数的运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 17. 如图，已知在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，点在轴的负半轴上，，以为边向上作正方形．若图象经过点的反比例函数的表达式是，则图象经过点的反比例函数的表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数几何结合问题，全等三角形判定及性质，解直角三角形．根据题意过点作轴，轴，轴，证明，再利用三角函数值即可得到本题答案． 【详解】解：过点作轴，轴，轴， ， ∵正方形， ∴， ∴，， ∴， 同理， ∵， ∴设则， ∴，， ∴， ∴点C坐标为：，点D坐标为：， ∵图象经过点的反比例函数的表达式是， ∴，解得：， ∴点D坐标为：， ∴图象经过点的反比例函数的表达式是：， 故答案为：． 18. 已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图像沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】求出二次函数与x轴相交于，先求出当经过点时m的值，再求出 与只有一个交点时m的值，即可解答． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∴二次函数与x轴相交于， 当经过点时，如图： 把代入得：， 解得：， ∵将二次函数在轴上方的图像沿轴翻折到轴下方， ∴当时，， 当与只有一个交点时，方程有两个相等的实数根， 整理得：， 则，解得：， ∴的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数交点问题，解题的关键是掌握根据图象求一元二次方程解的方法． 三、解答题（本大题共7个小题，满分78分．解答应写出计算过程、文字说明或推演步骤） 19. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先计算相反数、零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先计算绝对值，特殊角的三角函数值，二次根式，乘方，负整数指数幂，再计算加减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 20. 为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD=2米），背水坡DE的坡度i=1：1（即DB：EB=1：1），如图所示，已知AE=4米，∠EAC=130°，求水坝原来的高度BC．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2） 【答案】水坝原来的高度为12米 【解析】 【详解】试题分析：设BC=x米，用x表示出AB的长，利用坡度的定义得到BD=BE，进而列出x的方程，求出x的值即可． 试题解析：设BC=x米， 在Rt△ABC中，∠CAB=180°﹣∠EAC=50°，AB=≈=， 在Rt△EBD中， ∵i=DB：EB=1：1，∴BD=BE，∴CD+BC=AE+AB， 即2+x=4+，解得x=12，即BC=12， 答：水坝原来的高度为12米．. 考点：解直角三角形的应用，坡度. 21. 某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元．则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元? （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元?根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元? 【答案】(1) y=－10x2＋110x＋2 100(0＜x≤15且x为整数); (2) 每件55元或56元时，最大月利润为2 400元; (3)当时，， 解得：，， ∴当时，， 当时，， ∴当售价定为每件51元或60元，每个月的利润为2200元，当售价不低于51元不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元． 【解析】 【详解】（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件,得 （0＜x≤15且x为整数）； （2）把进行配方即可求出最大值，即最大利润. （3）当时，，解得：,． 当时，，当时，． 当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元． （1）（且为整数）； （2）． ∵a=-10＜0， ∴当x=5.5时,y有最大值2402.5． ∵0＜x≤15且x为整数， ∴当x=5时，50+x=55，y=2400（元），当x=6时，50+6=56，y=2400（元） ∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元． （3）略 22. 如图，在中，，以为直径的交于点P，点Q是线段的中点，连接并延长交的延长线于点D． （1）求证：直线是的切线； （2）若， ①求的半径的长； ②求的长． 【答案】（1） 证明：连接 是的直径， ，则， 又是的中点， ． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴直线是的切线； （2）①，② 【解析】 【分析】（1）根据题意连接，利用角度的转化即可得到本题答案； （2）①根据勾股定理及三角函数可以求出；②连接，利用勾股定理求出，再判定，即可得到本题答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①在中， ∵， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴的半径长为； ②在中， ∴， 连接， ， ∵是的中点，是的中点， ∴，，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查相似三角形判定及性质，勾股定理，切线的判定，三角函数的计算，掌握圆的基础知识是解题的关键． 23. 如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数（x>0）的图象交于P（n，2），与轴交于A（﹣4，0），与y轴交于C，PB⊥轴于点B，且AC=BC． （1）求一次函数、反比例函数的解析式； （2）反比例函数图象有一点D，使得以B、C、P、D为顶点的四边形是菱形，求出点D的坐标． 【答案】（1）y=x+1，y= ；（2）（8，1）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）先根据题意得出P点坐标，再将A、P两点的坐标代入y=kx+b求出kb的值，故可得出一次函数的解析式，把点P（4，2）代入反比例函数y=即可得出m的值，进而得出结论； （2）根据PB为菱形的对角线与PC为菱形的对角线两种情况进行讨论即可． 试题解析：（1）∵AC=BC，CO⊥AB，A（-4，0）， ∴O为AB的中点，即OA=OB=4， ∴P（4，2），B（4，0）， 将A（-4，0）与P（4，2）代入y=kx+b得： ， 解得：k=，b=1， ∴一次函数解析式为y=x+1， 将P（4，2）代入反比例解析式得：m=8，即反比例解析式为y=． （2）如图所示， 当PB为菱形的对角线时， ∵四边形BCPD为菱形， ∴PB垂直且平分CD， ∵PB⊥x轴，P（4，2）， ∴点D（8，1）． 当PC为菱形的对角线时，PB∥CD， 此时点D在y轴上，不可能在反比例函数的图象上，故此种情形不存在． 综上所述，点D（8，1）． 考点：反比例函数综合题． 24. 已知直线与轴、轴分别相交于A、B两点，抛物线经过、两点，点在线段上，从点出发，向点以每秒1个单位的速度匀速运动；同时点在线段上，从点出发，向点以每秒个单位的速度匀速运动，连接，设运动时间为秒． （1）求抛物线关系式； （2）当为何值时，为直角三角形． 【答案】（1） （2）当或时，为直角三角形； 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求解二次函数解析式，解直角三角形，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）先求出一次函数与坐标轴的交点坐标，再待定系数法即可求出； （2）分情况讨论，利用余弦值即可求出本题答案． 【小问1详解】 解：根据题意得：将代入得，， ∴， 将代入得，， ∴， 将代入抛物线得：， 解得：， 抛物线关系式：； 【小问2详解】 解：由题得：， ∴， 若为直角三角形，要分两种情况： ①当时， 是一、三象限的角平分线， 而由沿轴向上平移3个单位得到的， ，则， ∴，即：，解得：， ②当时，则， ∴，即：，解得：， 综上所述：当或时，为直角三角形． 25. 如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，连接AC、BC． （1）求抛物线的表达式； （2）将沿AC所在直线折叠，得到，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标．并求出四边形OADC的面积； （3）点P是抛物线上的一动点，当时，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求抛物线解析式即可； （2）先利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，再根据折叠的性质得出点B、C、D三点共线，继而通过证明，利用相似三角形的性质即可得出点D的坐标，根据四边形OADC的面积进行求解即可； （3）分两种情况讨论：当点P在x轴上方时，当点P在x轴下方时，分别求解即可． 【小问1详解】 将，，代入抛物线，得 ，解得， 所以，抛物线的表达式为； 【小问2详解】 如图，过点D作DE⊥x轴于E， ， ∵，，， ， ， 为直角三角形且， 将沿AC所在直线折叠，得到，点B的对应点为D， 此时，点B、C、D三点共线，BC=DC，， ， ， ， ， ， ∴四边形OADC的面积 ； 【小问3详解】 当点P在x轴上方时， ∵， ∴轴， 点P的纵坐标为4，即， 解得或0（舍去） ； 当点P在x轴下方时，设直线CP交x轴于F， ∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ， ， ∴设直线CF的解析式为， 即，解得， ∴直线CF的解析式为， 令，解得或0（舍去）， 当时， ； 综上，或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题目，涉及待定系数法求二次函数解析式，勾股定理的逆定理，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，求一次函数的解析式，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握知识点并能够灵活运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $