精品解析：四川省江油市太白中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试卷

四川省江油市太白中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试卷 命题人：吴仕勇 审题人：刘沁 应得分：_________实得分：_________分差：_________ 一、单选题（5分/题 共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解一元二次不等式解集，再利用交集定义计算即可. 【详解】由， 所以， 故选：B. 2. ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由比例性质得出，再由复数除法得结论． 【详解】由得，， 所以， 故选：A． 3. 已知向量，若，则（ ） A. 1或 B. 或 C. 或2 D. 或1 【答案】D 【解析】 【分析】由向量点的坐标先求出.和的坐标，再由两垂直向量数量积为0建立等式，从而求得参数的值. 【详解】， ∵， ∴，即 ∴ ∴或. 故选：D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由商数关系、正弦差角公式可得，再由角的范围及平方关系得，结合余弦差角公式得，即可得答案. 【详解】由题设，又， 所以，又，则，故， 所以， 综上，. 故选：B 5. 如图，平行四边形ABCD中，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取中点，证得是平行四边形，从而有，再得出，然后由向量的线性运算法则求解． 【详解】取中点，连接， 因为是平行四边形，是中点， 则且，所以是平行四边形， 所以， 又，则， ， 所以. 故选：C． 6. 如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩余部分，则该几何体的表面积为（ ） A. 24－3π B. 24－π C. 24＋π D. 24＋5π 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何体结构特征，利用球、正方体和圆的面积公式可得. 【详解】由题意知，该几何体是从棱长为2的正方体中截去以正方体某个顶点为球心，2为半径的球后的剩余部分， 其表面积等于正方体表面积减去三个半径为2的圆，再加上2为半径的球面， 则. 故选：B 7. 已知，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为对数函数、均为上的增函数， 则，即. 故选：B. 8. 已知函数，若，且仅有1个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意在R上单调递增，得，再由零点个数，结合导数研究与交点情况求参数范围. 【详解】由题设在R上单调递增， 由对数函数性质知，且，可得，所以， 其中在处的切线方程为，即，且， 所以与在上无交点， 所以与有且仅有一个交点， 由仅有1个零点，只需在处的斜率， 而，即，可得，则， 综上，. 故选：C 【点睛】关键点点睛：首先由分段函数单调性得，再应用导数研究不同区间上与交点情况求参. 二、多选题（6分/题 共18分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 已知非零向量，则“”是“”的必要不充分条件 B. 已知x，y是实数，则“”的一个必要不充分条件是“” C. 命题“”的否定为“” D. 若命题“”是真命题，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A由数量积运算性质可判断选项正误；B利用指数函数，对数函数性质可判断选项正误；C由全称量词命题否定的概念可判断选项正误；D转化为，即可判断选项正误. 【详解】A选项，与垂直或， ，则由得不到， 由可得到，故“”是“”的必要不充分条件，A正确； B选项，，. 则由可得到，由得不到， 则是的一个充分不必要条件，不是必要不充分条件，B错误； C选项，由全称量词命题否定概念可知”的否定为，C正确； D选项，，由题，则，D正确. 故选：ACD 10. 如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 直线与平面所成的角等于 B. 四棱锥的体积为 C. 两条异面直线和所成的角为 D. 二面角的平面角的余弦值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据线面角的定义及求法即可判断A；由平面即可求出四棱锥的体积判断B；由异面直线所成角的定义及求法即可判断C；由平面角的定义及余弦定理即可判断D． 【详解】如图， 取的中点，连接，则， 而平面，平面， 得，平面 则平面， 所以是直线与平面所成的角为，故A正确； 点到平面的距离为的长度为， 则，故B正确； 易证，所以异面直线和所成的角为或其补角， 因为为等边三角形，所以两条异面直线和所成的角为，故C正确； 连接，由，所以， 又，所以为二面角的平面角， 易求得， 又，， 由余弦定理可得，故D错误． 故选：ABC． 11. 已知函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则对任意的都有 B. 若的图象关于直线对称，则 C. 若在上单调递增，则的取值范围是 D. 若方程在上恰有两个不同的实数解，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】由函数图象所过点求出，由周期判断A，由对称性判断B，由单调性判断C，由正弦函数的图象与性质判断D． 【详解】因为函数的图象经过点， 所以，而，所以，即， 选项A，，的最小正周期是，A正确； 选项B，的图象关于直线对称，则，（因为），B错； 选项C，时，，则， ，解得，C正确； 选项D，时，，方程在上恰有两个不同的实数解， 即方程在上恰有两个不同的实数解，则， 解得，D正确． 故选：ACD． 三、填空题（5分/题 共15分） 12. 已知为等差数列，为其前项和.若，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件求出公差，再由等差数列的求和公式可得答案. 【详解】设为公差，由，得， 解得，则. 故答案为：. 13. 阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯､牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），在该图形中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，则该圆柱的体积与它的外接球的体积之比为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，由题意可知圆柱的高为，再根据圆柱的底面与外接球的关系，可利用勾股定理即可求出圆柱外接球半径，由两几何体的体积公式求出各自的体积，由此即可求出比值. 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆柱的内切球的半径为，∴圆柱的高为，∴圆柱的体积为，又圆柱的外接球球心为上下底面圆心连线的中点，∴圆柱的外接球半径，∴圆柱的外接球体积为，故. 故答案为：. 14. 已知函数，曲线在不同的三点处的切线斜率均为3，则实数的取值范围是________. 【答案】. 【解析】 【分析】根据切线斜率与导数的关系，结合函数与方程的关系，利用数形结合的思想，由函数交点个数，可得答案. 【详解】因为函数图象在不同的三点处的切线斜率均为3， 所以有三个不同的根，即有三个不同的根， 转化为函数图象和函数图象有三个不同的交点， 下面分析函数图象，， 令，解得或， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 当时，，且；当时，. 函数图象如图所示 结合图象可知，的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15. 在中，角的对边分别为，且. （1）求角的大小; （2）若的面积为，求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得，应用正弦和差角公式求角的大小； （2）由三角形面积公式可得，结合已知得，最后应用余弦定理求边长. 【小问1详解】 由题设，故， 所以，则， 又，可得. 【小问2详解】 由（1）及题设，有， 又，则. 16. 已知函数. （1）当时，求的图象在点处的切线方程； （2）若，时，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由导数的几何意义代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，求导可得，然后分与讨论，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 ，， ，， 所以的图象在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 ，则， 当时，，即在上单调递增. 当时，，与题意不符. 当时，，，在上单调递增； ，，在上单调递减. 当时，取得最大值，且为. 由题意可得，解得. 即实数的取值范围为. 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为等边三角形. 为中点. （1）求证：平面； （2）求证：； （3）若平面平面，求证：平面平面. 【答案】（1） 取的中点，连接， 因为为中点，所以且， 又，， 所以，， 故四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以 平面； （2） 取AD的中点M，连结PM，MB. 因为三角形PAD为等边三角形，所以PM⊥AD. 在直角梯形ABCD中，，且AD=2BC， 所以DM=BC，且，所以四边形BCDM是平行四边形. 因为，所以四边形BCDM是矩形，所以BM⊥AD. 因为，PM平面PBM，BM平面PBM， 所以AD⊥平面PBM，而平面PBM，所以AD⊥PB. 因为，所以PB⊥BC. （3） 连接AN，因为三角形PAD为等边三角形，所以AN⊥PD. 因为平面PAD⊥平面PCD，且平面平面PCD，平面PAD， 所以AN⊥平面PCD， 因为平面PCD， 所以AN⊥CD. 在直角梯形ABCD中，AD⊥CD，，且AN平面PAD，平面PAD， 所以CD⊥平面PAD. 因为CD平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD. 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形为平行四边形，故，得到线面平行； （2）作出辅助线，得到PM⊥AD，BM⊥AD，从而得到线面垂直，得到AD⊥PB，结合，证明出结论； （3）连接AN，因为三角形PAD为等边三角形，所以AN⊥PD，由面面垂直得到线面垂直，故AN⊥CD，证明出CD⊥平面PAD，从而面面垂直. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明：如图，在梯形ABCD中，连接DE，因为E是BC的中点，所以， 又，所以， 又因为，所以四边形是平行四边形， 因为，所以四边形是菱形，从而， 沿着AE翻折成后，有 又平面，所以平面， 由题意，易知，所以四边形是平行四边形， 故，所以平面. （2） （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形是菱形，，得到，证明出平面，再证明出四边形是平行四边形，故，所以平面； （2）证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法向量，利用面面角的余弦向量公式求出平面与平面夹角余弦值； （3）假设线段上存在点，使得平面，作出辅助线，得到四点共面，四边形为平行四边形，所以，所以是的中点，求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，则有， 由（1）知，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，所以为等边三角形，同理也为等边三角形， 则， 设平面的一个法向量为， 则， 令得，故， 又平面的一个法向量为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为； 【小问3详解】 假设线段上存在点，使得平面， 过点作交于，连接，如图所示： 所以，所以四点共面， 又因为平面，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以是的中点， 故在线段上存在点，使得平面，且. 19. 设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，令，数列的前项和为. （1）求的和公比; （2）求; （3）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）4 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，前项和为，由题意，化简可得值； （2）由（1）得，用错位相减法求和； （3）设，，按的奇偶性分类求解可得参数范围． 【小问1详解】 设等差数列的公差为，前项和为，则， 所以， 因为是“和等比数列”，所以，即，对任意恒成立， 所以，解得， 所以的和公比为4； 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 所以， 相减得， 所以； 【小问3详解】 设， ， ，是递增数列， 不等式对任意的恒成立，即不等式对任意的恒成立， 当为奇数时，，则， 当为偶数时，，则， 综上，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省江油市太白中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试卷 命题人：吴仕勇 审题人：刘沁 应得分：_________实得分：_________分差：_________ 一、单选题（5分/题 共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. ，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. 1或 B. 或 C. 或2 D. 或1 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，平行四边形ABCD中，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩余部分，则该几何体的表面积为（ ） A. 24－3π B. 24－π C. 24＋π D. 24＋5π 7. 已知，，，则有（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，且仅有1个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（6分/题 共18分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 已知非零向量，则“”是“”的必要不充分条件 B. 已知x，y是实数，则“”的一个必要不充分条件是“” C. 命题“”的否定为“” D. 若命题“”是真命题，则实数的取值范围是 10. 如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 直线与平面所成的角等于 B. 四棱锥的体积为 C. 两条异面直线和所成的角为 D. 二面角的平面角的余弦值为 11. 已知函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则对任意的都有 B. 若的图象关于直线对称，则 C. 若在上单调递增，则的取值范围是 D. 若方程在上恰有两个不同的实数解，则的取值范围是 三、填空题（5分/题 共15分） 12. 已知为等差数列，为其前项和.若，则___________. 13. 阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯､牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），在该图形中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，则该圆柱的体积与它的外接球的体积之比为___________. 14. 已知函数，曲线在不同的三点处的切线斜率均为3，则实数的取值范围是________. 四、解答题 15. 在中，角的对边分别为，且. （1）求角的大小; （2）若的面积为，求. 16. 已知函数. （1）当时，求的图象在点处的切线方程； （2）若，时，求实数a的取值范围. 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为等边三角形. 为中点. （1）求证：平面； （2）求证：； （3）若平面平面，求证：平面平面. 18. 如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19. 设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，令，数列的前项和为. （1）求的和公比; （2）求; （3）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $