精品解析：山东省淄博市高青县2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024—2025学年度第一学期期中复习测试题 九年级数学 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分） 1. 若反比例函数在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的几何体是由六个完全相同的小正方体组成的，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. ∠BAC放在正方形网格纸的位置如图，则tan∠BAC的值为（　　） A. B. C. D. 4. 若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为(　　) A. k＞﹣1 B. k≥﹣1 C. k＞﹣1且k≠0 D. k≥﹣1且k≠0 5. 如图，点是反比例函数的图像上的一点，过点作轴，垂足为点，为轴上一点，连接，，若的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，M是直角边上一点，于点N，，，求的值为（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数在的范围内有最小值为，则c的值（　　） A. 3或 B. C. 或1 D. 3 8. 物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图①所示．经测试，发现电流（单位：）随着电阻（单位：）的变化而变化，并结合数据描点、连线，画成如图②所示的函数图象．若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的（ ） A. 最大电流是 B. 最大电流是 C. 最小电流是 D. 最小电流是 9. 如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得的仰角为，则电子厂的高度为（ ）（参考数据：，，） A. B. C. D. 10. 函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ） ①；②；③；④将图象向上平移个单位后与直线有个交点 A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ②③ 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 11. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的值为______________． 12. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是______； 13. 如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处测得∠ACB＝15°，他沿CB方向走了20米，到达D处，测得∠ADB＝30°，则计算出树的高度是__________米． 14. 如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞．门洞内的地面宽度为，两侧距地面高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为，则这个门洞内部顶端离地面的距离为_______________． 15. 如图，反比例函数的图象与的两边、分别交于点、，已知轴，点A在y轴上，点C在x轴上，F为的中点，则___________． 三、解答题（共8小题，共90分．请写出必要的解答过程．） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 反比例函数与一次函数的图象都过(m，2)． (1)求A点坐标； (2)求反比例函数解析式． 18. 已知抛物线． （1）求证：不论为何实数，这个抛物线与轴总有两个交点； （2）如果有一交点坐标为，求的值． 19. 如图某中学依山而建，校门A处有一坡度的斜坡，长度为13米，在坡顶B处看教学楼的楼顶C的仰角是，离B点4米远的E处有一个花台，在E处看楼顶C的仰角是的延长线交校门处的水平面于点D． （1）求坡顶B的高度； （2）求楼顶C的高度． 20. 如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升25，加热到100时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． （1）将水从加热到需要_____； （2）在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； （3）加热一次，水温不低于的时间有多长？ 21. 为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围住（如图）．若设绿化带的边长为，绿化带的面积为， （1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？最大为多少？ 22. 如图，一次函数的图像交反比例函数图像于两点． （1）求的值． （2）点是轴上一点，且，求点的坐标． （3）请你根据图像直接写出不等式的解集． 23. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）若点P为线段上的一点（不与B、C重合），轴，且交抛物线于点M，交x轴于点N，当线段的长度最大时，求点M的坐标； （3）在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上有一点Q，使得为直角三角形，直接写出点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期中复习测试题 九年级数学 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分） 1. 若反比例函数在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，k＞0时，在每个象限内y随x增大而减小列不等式求解． 【详解】解：∵反比例函数在每个象限内的函数值y随x增大而减小， ∴k-1＞0， 解得k＞1． 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题关键是熟练掌握反比例函数中k的正负对函数增减性的影响． 2. 如图所示的几何体是由六个完全相同的小正方体组成的，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体和简单组合体的三视图，关键是掌握几何体的三视图及空间想象能力．细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可． 【详解】解：从左边看去，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形， 故选：C． 3. ∠BAC放在正方形网格纸的位置如图，则tan∠BAC的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接CD，再利用勾股定理分别计算出AD、AC、BD的长，然后再根据勾股定理逆定理证明∠ADC=90°，再利用三角函数定义可得答案． 【详解】连接CD，如图： ，CD=，AC= ∵，∴∠ADC=90°，∴tan∠BAC==． 故选D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，以及锐角三角函数定义，关键是证明∠ADC=90°． 4. 若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为(　　) A. k＞﹣1 B. k≥﹣1 C. k＞﹣1且k≠0 D. k≥﹣1且k≠0 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，得出b2﹣4ac＞0，进而求出k的取值范围． 【详解】∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0， ∴k＞﹣1， ∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数， ∴k≠0， 则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0， 故选C. 【点睛】本题考查了二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断，熟练掌握抛物线与x轴交点的个数与b2-4ac的关系是解题的关键.注意二次项系数不等于0. 5. 如图，点是反比例函数的图像上的一点，过点作轴，垂足为点，为轴上一点，连接，，若的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由三角形面积求反比例函数的，数形结合是解决问题的关键． 根据题意，设，再结合的面积为，列方程求解即可得到答案． 【详解】解：点是反比例函数的图像上的一点， 设， 的面积为， ， 即， 故选：D． 6. 如图，在中，，M是直角边上一点，于点N，，，求的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性质，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：，， ， 设 故选：D． 7. 二次函数在的范围内有最小值为，则c的值（　　） A. 3或 B. C. 或1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】把二次函数解析式化为顶点式可得二次函数图象的对称轴为直线，从而得到当时，二次函数取最小值，最小值为，从而得到，即可求解． 【详解】解： ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∵， ∴二次函数的图象开口向下， ∵，且， ∴当时，二次函数取最小值，最小值为， ∵在的范围内有最小值为， ∴， 解得：或3． 故选：A 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质的知识点，解答本题的关键是求出二次函数的对称轴，本题比较简单． 8. 物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图①所示．经测试，发现电流（单位：）随着电阻（单位：）的变化而变化，并结合数据描点、连线，画成如图②所示的函数图象．若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的（ ） A. 最大电流是 B. 最大电流是 C. 最小电流是 D. 最小电流是 【答案】A 【解析】 【分析】可设，将点代入函数解析式，即可求得的值，再代入求的值，最后根据增减性判断最值． 【详解】解：由图象可知，符合反比例函数， 设函数解析式为， 将点代入得， 解得：， ∴该函数解析式为． 若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的最大电流是． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的解析式，解题关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出关系式． 9. 如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得的仰角为，则电子厂的高度为（ ）（参考数据：，，） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了与仰角有关的解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，先证明四边形、、是矩形，再设，表示，然后在以及运用线段和差关系，即，再求出，即可作答． 【详解】解：如图：延长交于一点， ∵ ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是矩形 同理得四边形是矩形 依题意，得， ∴， ∴ ∴设，则 在 ∴ 即 在 ∴ 即 ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：A 10. 函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ） ①；②；③；④将图象向上平移个单位后与直线有个交点 A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象判断出对称轴的位置，再利用二次函数的对称轴公式，即可得到，故①正确；由图象可判断二次函数与轴的交点为，即，故②错误；根据图象判断，，结合，可知，故③正确；求出原二次函数的表达式，即可判断函数顶点的坐标，可以得到将图象向上平移个单位后，函数顶点的坐标为，继而得出直线与平移后的函数图像有个交点，故④正确． 【详解】解：∵由图象可知二次函数与轴的交点为和， ∴二次函数的对称轴为， ∴， ∴，故①正确； ∵由图象可知二次函数与轴的交点为， ∴二次函数与轴的交点为， ∴，故②错误； ∵由图象可知二次函数的开口向上，对称轴在轴的右侧， ∴，， 又∵， ∴，故③正确； ∵将点和代入， ∴，解得， ∴二次函数的表达式为：， ∵当时，， ∴图象上当时，函数顶点的坐标为， ∴将图象向上平移个单位后，函数顶点的坐标为，如图所示： ∴此时，直线与函数图像有个交点，故④正确， 综上：正确的有①③④， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式、系数与图象的关系、待定系数法求二次函数的表达式等是解答本题的关键． 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 11. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意易得，然后再利用反比例函数的意义可进行求解问题． 【详解】解：把点代入反比例函数得：， ∴，解得：， 故答案为-2． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 12. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是______； 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式之间的关系，先由对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴由函数图象可知，当时，x的取值范围是， 故答案为：． 13. 如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处测得∠ACB＝15°，他沿CB方向走了20米，到达D处，测得∠ADB＝30°，则计算出树的高度是__________米． 【答案】10 【解析】 【详解】解： ∴∠ACB=∠CAD， ∴AD=CD=20， 又 ∴树的高度为10米. 故答案为：10. 14. 如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞．门洞内的地面宽度为，两侧距地面高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为，则这个门洞内部顶端离地面的距离为_______________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次函数的简单应用.建立直角坐标系，得到二次函数，门洞高度即为二次函数的顶点的纵坐标. 【详解】解：如图，以地面为x轴，门洞中点为O点，画出y轴，建立直角坐标系， 由题意可知各点坐标为，，， 设抛物线解析式为把B、D两点代入解析式， ∴， 解得：， ∴解析式为， 则顶点， 所以这个门洞内部顶端离地面的距离为， 故答案为：. 15. 如图，反比例函数的图象与的两边、分别交于点、，已知轴，点A在y轴上，点C在x轴上，F为的中点，则___________． 【答案】10 【解析】 【分析】过点F作轴于点D，过点B作轴于点G，可得，再由轴，，可得，即，从而求得，再根据反比例函数解析式求得，即可求得结果． 【详解】解：过点F作轴于点D，过点B作轴于点G， ∵轴，轴， ∴， 又∵F为的中点，， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查三角形的中位线的性质、用待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 三、解答题（共8小题，共90分．请写出必要的解答过程．） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算； （1）先代入特殊角的三角函数值，再计算即可； （2）先代入特殊角的三角函数值，再计算即可； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 反比例函数与一次函数的图象都过(m，2)． (1)求A点坐标； (2)求反比例函数解析式． 【答案】(1)点A的坐标为（3，2）；(2)反比例函数解析式为． 【解析】 【分析】（1）把点A（m，2）代入一次函数y=2x-4求出m的值即可得出A点的坐标； （2）再把点A的坐标代入反比例函数求出k的值，即可解析式． 【详解】解：（1）将点(m，2)．代入， 得：， 解得：， ∴点A的坐标为（3，2）； （2）将点A（3，2）代入得：， ∴反比例函数解析式为． 【点睛】本题考查的是一次函数及反比例函数图象上点的坐标特点，解答此题的关键是熟知函数图象的交点坐标即为函数解析式组成的方程组的解． 18. 已知抛物线． （1）求证：不论为何实数，这个抛物线与轴总有两个交点； （2）如果有一交点坐标为，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴不论为何实数，这个抛物线与轴总有两个交点； （2） 【解析】 【分析】（1）证明判别式即可判断； （2）把代入即可求得的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 把代入抛物线得：， 解得：． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，以及抛物线与轴的交点，当时，函数图像与轴有个交点，当时函数图像与轴只有个交点,即顶点在轴上，当时函数图像与轴没有交点． 19. 如图某中学依山而建，校门A处有一坡度的斜坡，长度为13米，在坡顶B处看教学楼的楼顶C的仰角是，离B点4米远的E处有一个花台，在E处看楼顶C的仰角是的延长线交校门处的水平面于点D． （1）求坡顶B的高度； （2）求楼顶C的高度． 【答案】（1）5米； （2）米． 【解析】 【分析】（1）过B作于M，由坡度设，由勾股定理即可求解； （2）在中，利用正切三角函数可分别表示，由此建立方程可求得，进而可求得的长． 【小问1详解】 解：过B作于M，如图， ∵斜坡的坡度为， ∴设， 由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， 即坡顶B的高度为5米； 【小问2详解】 解：由题意知：，且， 在中，，即； 在中，，即； ∴， 解得：， ∴； ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴米． 【点睛】本题考查了与俯角、坡度有关的解直角三角形，分别求得并建立方程是解题的关键． 20. 如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升25，加热到100时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． （1）将水从加热到需要_____； （2）在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； （3）加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】解题关键是掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题． （1）根据题意列式计算即可； （2）设，结合（1）中可得点在反比例函数的图象上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式； （3）根据加热过程中水温不低于的时间降温过程中水温不低于的时间即为加热一次水温不低于的时间，进行分析求解，即可解题． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数， 设， 由（1）知，过点， ， 水温关于通电时间的函数表达式为； 【小问3详解】 解：由题意得，， 当时，，解得， 又， 加热一次，水温不低于的时间为． 21. 为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围住（如图）．若设绿化带的边长为，绿化带的面积为， （1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？最大为多少？ 【答案】（1） （2）当时，满足条件的绿化带面积最大，最大值为200平方米 【解析】 【分析】该题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，掌握二次函数的性质． （1）由矩形的性质结合的长度可得出的长度，再根据矩形的面积公式即可找出y与x之间的函数关系式以及的取值范围． （2）把（1）的函数关系式用配方法化简求得的最大值即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 因为墙长25米，故自变量的取值范围是； 【小问2详解】 解：， ， ∴当时，有最大值200平方米， 即当时，满足条件的绿化带面积最大，最大值为200平方米． 22. 如图，一次函数的图像交反比例函数图像于两点． （1）求的值． （2）点是轴上一点，且，求点的坐标． （3）请你根据图像直接写出不等式的解集． 【答案】（1）；（2）或；（3）或． 【解析】 【分析】（1）代入即可求出点n，即可求出反比例函数计算型，把代入反比例函数解析式即可求出m； （2）先求出直线解析式，进而求出△AOB面积，设点E坐标为，得到，求p的值，即可求出点E坐标； （2）根据不等式得直线位于反比例函数图形的上方，即可结合图像写出x的取值范围． 【详解】（1）把点代入中，得：， ∴反比例函数的解析式为， 将点代入得， ； （2）把代入得得 ，解得， ∴直线的解析式为， 设直线与轴交点为， 令， ， ，如图， 的坐标为． ， 设点的坐标为， ， ， 解得：， 点坐标为或； （3）由不等式得直线位于反比例函数图形的上方， ∴不等式的解集为或． 【点睛】本题为反比例函数与一次函数综合练习，综合性较强，理解函数图像上点的坐标的特点，函数解析式与图像的关系是解题关键． 23. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）若点P为线段上的一点（不与B、C重合），轴，且交抛物线于点M，交x轴于点N，当线段的长度最大时，求点M的坐标； （3）在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上有一点Q，使得为直角三角形，直接写出点Q的坐标． 【答案】（1），， （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）在抛物线解析式中，令可求得点坐标，令则可求得、的坐标； （2）由、的坐标可求得直线的解析式为，设点的坐标，则可表示出点坐标，从而可用表示出的长，再利用二次函数的性质求得线段的长度最大时的值，可求得点坐标； （3）由（2）可知点坐标，设点坐标为，则可用分别表示出、及，分点为直角顶点、点为直角顶点和点为直角顶点三种情况，分别根据勾股定理可得到关于的方程，可求出的值，可求得点坐标． 【小问1详解】 解：对于，令，则， ， 令，则， 解得：，， ，； 【小问2详解】 解：设的表达式为，则， 解得， 直线的表达式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， ， ∴时，最大， 此时点坐标； 【小问3详解】 解：， 抛物线的对称轴为直线， 设， ∵，， ，， ， 为直角三角形， 分点为直角顶点、点为直角顶点和点为直角顶点三种情况， ①当点为直角顶点时，则有 即， 解得：， 此时点坐标为， ②当点为直角顶点时，则有， 即， 解得：，， 此时点坐标为或， ③当点为直角顶点时，则有， 即， 解得：， 此时点坐标为， 综上所述，点坐标为或或或． 【点睛】此题是二次函数综合应用题，主要考查了待定系数法函数与坐标轴的交点、三角形的面积、二次函数的性质、勾股定理、方程思想以及分类讨论思想等知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $