第4章 一元二次方程 单元监测-2024-2025学年青岛版九年级数学上册

第4章一元二次方程 数 学 答 案 1.【答案】 2.【答案】 3.【答案】 4.【答案】 5.【答案】  6.【答案】 7.【答案】 8.【答案】 9.【答案】 10.【答案】  11.【答案】 12.【答案】 13.【答案】 14.【答案】 15.【答案】 16.【答案】  17.【答案】解： 解得：，； ， ，  ，  ， 解得：，   ； 解得：   ；    ， 解得：   ．  18.【答案】【小题】 方程有两个不相等的实数根，且，即且，解得且 【小题】 由根与系数的关系可得，由题意可得，即，解得，经检验，，都是原分式方程的解由可知且，．   19.【答案】【小题】 由题意，得，且，解得． 【小题】 把代入， 得， ， 或， ，．   20.【答案】【小题】 由题意，得，且，解得，且 【小题】 取满足中条件的最小整数， ，此时方程为． 方程的两根为和， ，，，， ，， ， ．   21. 【答案】解：设，则， 整理，得 ， 解得，， 当即时，解得：； 当即时，解得：； 综上所述，原方程的解为，，，； 22. 23. 24. 设，则， 整理，得 ， 解得，舍去， 故．  22.【答案】二  23.【答案】解：由题知，万元． 答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为万元． 设该商店去年、月份营业额的月增长率为， 依题意得， 解得，不合题意，舍去， 答：该商店去年、月份营业额的月增长率为．  数学答案 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章一元二次方程 数 学 问 卷 数学问卷共4页。选择题30分，非选择题90分，满分120分。考试用时120分钟。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在下列方程中，一元二次方程的个数是(    ) ；；； ；；． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2.一元二次方程的根的情况是(    ) A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 3.已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是(    ) A. B. C. D. 4.下列关于的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是(    ) A. B. C. D. 5.方程的解是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 6.一元二次方程的二次项系数和常数项分别是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 7.若是方程的一个根，则的值和方程的另一个根分别是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 8.若是方程的一个根，则的值为(    )A. B. C. D. 9.某机械厂七月份生产零件万个，第三季度生产零件万个设该厂八、九月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是(    ) A. B. C. D. 10.欧几里得的原本中记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取，则该方程的一个正根是(    ) A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.若实数、分别满足，，且，则的值为          ． 12.若是方程的根，则          ． 13.关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为          ． 14.已知关于的方程有两个实数根，，若，满足，则的值为          ． 15.已知关于的一元二次方程，若方程的两根均为等腰的边长，且的周长为，则的值为          ． 16.如果方程可以配方成，那么          ． 三、计算题：本大题共1小题，共16分。 17.解方程： ； ；配方法 ； ． 四、解答题：本题共6小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.本小题分 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 求实数的取值范围． 设方程两个实数根分别为，，且满足，求的值． 19.本小题分 已知关于的一元二次方程的常数项为． 求的值 求此时一元二次方程的解． 20.本小题分 已知关于的一元二次方程． 若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围 当取满足中条件的最小整数时，设方程的两根为和，求代数式的值． 21.本小题分 阅读下面的材料： 解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，则，原方程可化为：，解得，，当时，，，当时，，原方程有四个根是：，，，，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． 解方程：； 已知实数，满足，试求的值． 22.本小题分 下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题． 解一元二次方程： 解：原方程可以化为：第一步 两边同时除以得：第二步 系数化为，得：第三步 任务： 小明的解法是不正确的，他从第______步开始出现了错误； 请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程． 23.本小题分 去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为万元，第七天的营业额是前六天总营业额的． 求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额； 去年，该商店月份的营业额为万元，、月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与月份的营业额相等．求该商店去年、月份营业额的月增长率． 数 学 问 卷 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$数 学 问 卷 1 / 4 第 4 章一元二次方程 数 学 问 卷 数学问卷共 4页。选择题 30分，非选择题 90 分，满分 120 分。考试用时 120 分钟。 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在下列方程中，一元二次方程的个数是( ) ①� = �2 + 2� + 1；②��2 + �� + � = 0；③(� − 2)(� + 5) = �2 − 1； ④3�2 − 5� = 0；⑤3� 2 + 7 = 0；⑥�2 = 0． A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 2.一元二次方程 7�2 − 3� − 1 = 0 的根的情况是( ) A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 3.已知� =− 1 是一元二次方程�2 + �� + � = 0 的一个根，则代数式� − �的值是( ) A. 1 B. −1 C. 2 D. −2 4.下列关于�的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( ) A. �2 + 3 = 0 B. 2�2 + 3� + 2 = 0C. �2 − 2� + 1 = 0 D. 3�2 + 5� − 8 = 0 5.方程(� − 5)2 = 5 − �的解是( ) A. �1 = 4，�2 = 5 B. �1 = 5，�2 = 6 C. �1 = 0，�2 = 5 D. �1 = 4，�2 = 6 6.一元二次方程 2�2 = � − 3 的二次项系数和常数项分别是( ) A. 2，−1 B. 2，3 C. −1，3 D. −1，2 7.若 2 是方程�2 − � = 0 的一个根，则�的值和方程的另一个根分别是( ) A. 4，−2 B. 2， 2 C. −4，−2 D. −2，− 2 8.若� = 2 是方程 3�2 − 7 = �2的一个根，则�的值为( )A. 5 B. ±5 C. 5 D. ± 5 9.某机械厂七月份生产零件 100 万个，第三季度生产零件 392 万个.设该厂八、九月份平均每月的增长率为�，那么 �满足的方程是( ) A. 100(1 + �)2 = 392B. 100 + 100(1 + �)2 = 392 C. 100 + 100(1 + �) + 100(1 + 2�) = 392D. 100 + 100(1 + �) + 100(1 + �)2 = 392 10.欧几里得的《原本》中记载，形如�2 + 2�� = �2的方程的图解法是：画�� △ ���，使∠��� = 90∘，�� = �，�� = �，再在斜边��上截取�� = �，则该方程的一个正根是( ) A. ��的长 B. ��的长 C. ��的长 D. ��的长 数 学 问 卷 2 / 4 二、填空题：本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分。 11.若实数�、�分别满足�2 − 4� + 3 = 0，�2 − 4� + 3 = 0，且� ≠ �，则1�+ 1 �的值为 ． 12.若� = 1 是方程�2 − 2� + � = 0 的根，则� = ． 13.关于�的一元二次方程�2 + (�2 − 2�)� + � − 1 = 0 的两个实数根互为相反数，则�的值为 ． 14.已知关于�的方程�2 + (2� − 1)� + �2 − 1 = 0 有两个实数根�1，�2，若�1，�2满足�1�2 + �1 + �2 = 3，则�的值 为 ． 15.已知关于�的一元二次方程�2 − (� + 1)� + � = 0，若方程的两根均为等腰△ ���的边长，且△ ���的周长为 5， 则�的值为 ． 16.如果方程�2 + 4� + � = 0 可以配方成(� + �)2 = 3，那么(� − �)2020 = ． 三、计算题：本大题共 1小题，共 16 分。 17.解方程： (1)(� − 2)2 = 16； (2)�2 − 6� − 8 = 0；(配方法) (3)2�2 − � − 1 = 0； (4)(2� + 1)2 = (� − 1)2． 四、解答题：本题共 6 小题，共 56 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.(本小题 8 分) 已知关于�的一元二次方程��2 + � − 3 = 0 有两个不相等的实数根． (1)求实数�的取值范围． (2)设方程两个实数根分别为�1，�2，且满足(�1 + �2)2 + �1 ⋅ �2 = 4，求�的值． 数 学 问 卷 3 / 4 19.(本小题 8 分) 已知关于�的一元二次方程(� − 1)�2 + 5� + �2 − 3� + 2 = 0 的常数项为 0． (1)求�的值; (2)求此时一元二次方程的解． 20.(本小题 10 分) 已知关于�的一元二次方程��2 + (1 − 2�)� + � − 2 = 0． (1)若方程有两个不相等的实数根，求�的取值范围; (2)当�取满足(1)中条件的最小整数时，设方程的两根为�和�，求代数式�3 + �2 + � + 201 的值． 21.(本小题 10 分) 阅读下面的材料： 解方程�4 − 7�2 + 12 = 0 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设�2 = �，则�4 = �2，∴ 原方程可化为：�2 − 7� + 12 = 0，解得�1 = 3，�2 = 4，当� = 3 时，�2 = 3，� =± 3，当� = 4 时，�2 = 4，� =± 2. ∴ 原方程有四个根是：�1 = 3，�2 =− 3，�3 = 2，�4 =− 2，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数 学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． (1)解方程：(�2 + �)2 − 5(�2 + �) + 4 = 0； (2)已知实数�，�满足(�2 + �2)2 − 3(�2 + �2) − 10 = 0，试求�2 + �2的值． 数 学 问 卷 4 / 4 22.(本小题 10 分) 下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题． 解一元二次方程：6�2 − 2� = 1 − 3� 解：原方程可以化为：2�(3� − 1) =− (3� − 1)第一步 两边同时除以(3� − 1)得：2� =− 1 第二步 系数化为 1，得：� =− 12第三步 任务： (1)小明的解法是不正确的，他从第______步开始出现了错误； (2)请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程． 23.(本小题 10 分) 去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为 450 万元，第七天的营业额是前六天总营业额 的 12％． (1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额； (2)去年，该商店 7 月份的营业额为 350 万元，8、9 月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业 额与 9 月份的营业额相等．求该商店去年 8、9 月份营业额的月增长率． 第4章一元二次方程 数学答案 1.【答案】C2.【答案】C3.【答案】A4.【答案】D5.【答案】A 6.【答案】B7.【答案】A8.【答案】D9.【答案】D10.【答案】A 11.【答案】号12.【答案】113.【答案】014.【答案】-115.【答案】216.【答案】1 17.【答案】解：(1)(x-2)2=16 x-2=士4 解得：x1=6,x2=-2; (2)x2-6x-8=0, x2-6x+9=17, (x-3)2=17, x-3=±√17， 解得：x1=3+√17，x2=3-√17； (3)2x2-x-1=0 (2x+1)(-1)=0 解得：=- x2=1; (4)(2x+1)2=(x-1)2 2x+1=±(x-1), 解得：x1=-2x2=0. 18.【答案】【小题1】 方程有两个不相等的实数根，△>0且k≠0，即12-4×(-3)>0且k≠0，解得k>- 且k*0 【小题2】 由根与系数的关系可得x1+x2=-名1x2=-爱由题意可得(-)2-是=4，即42+ 3k-1=0,解得k1=寻k2=-1经检验，k1=k2=-1都是原分式方程的解由(1)可 知k>-且k≠0，k= 数学答案1/3 19.【答案】【小题1】 由题意，得m2-3m+2-0,且m-1≠0，解得m=2. 【小题2】 把m=2代入(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0, 得x2+5x=0, x(x+5)=0, x=0或x+5=0, x1=0,x2=-5. 20.【答案】【小题1】 由题意，得A=(1-2)2-4k(k-2)>0,且k≠0，解得k>-且k≠0， 【小题2】 k取满足(1)中条件的最小整数， k=1,此时方程为x2-x-1=0. ~方程的两根为a和β， ∴a+B=1,aB=-1,a2-a-1=0,B2-B-1=0, ∴2=a+1,B2=B+1, cr3=a2,a=(a+1)·a=2+a=a+1+a=2a+1, ∴a3+B2+B+201=2a+1+B+1+B+201=2(a+)+203=2×1+203=205. 数学答案2/3 21.【答案】解：(1)设y=x2+x,则y2-5y+4=0, 整理，得 y-1)y-4)=0, 解得y1=1,y2=4, 当x2+x=1即x2+x-1=0时，解得：x=1±5 2 当x2+x=4即x2+x-4=0时，解得：x=1卫 2 2,x2=1-5 综上所述，原方程的解为x1=5,】 2,x3=1+W7 2，4=1-7 2 22. 23. 24. (2)设x=a2+b2,则x2-3x-10=0, 整理，得 (x-5)(x+2)=0, 解得x1=5,x2=-2(舍去)， 故a2+b2=5. 22.【答案】二 23.【答案】解：(1)由题知，450+450×12%=504（万元）： 答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元. (2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x, 依题意得350(1+x)2=504, 解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意，舍去)， 答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20% 数学答案3/3