复习专题03 函数的概念与性质14题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 复习专题03 函数的概念与性质14题型分类 1．函数 (1)函数的定义域：x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域． (2)函数的值域：与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． (3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． (4)同一个函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 2．分段函数 (1)如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应关系，则称其为分段函数． (2)分段函数表示同一个函数． (3)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 3．函数的增减性 条件 设f(x)的定义域为I，区间D⊆I： 如果∀x1，x2∈D，当x1＜x2时 f(x1)＜f(x2) f(x1)＞f(x2) 结论 f(x)是增函数 f(x)是减函数 图示 4．函数的最值 最大值 最小值 条件 f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有 f(x)≤M f(x)≥M ∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M是f(x)的最大值 M是f(x)的最小值 几何意义 f(x)最高点的纵坐标 f(x)最低点的纵坐标 5．函数的奇偶性 (1)偶函数：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． (3)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． (4)偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点中心对称． 6．幂函数 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 7．幂函数的图象 8．幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定义域 R R R [0,＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0,＋∞) R [0,＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 [0,＋∞)上增 (－∞,0]上减 增 增 (0,＋∞)上减 (－∞,0)上减 9．函数模型 (1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)． (2)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (3)分段函数模型． (4)幂函数模型：y＝axn＋b(a≠0)． （一） 1．判断函数相等的方法 (1)先看定义域，若定义域不同，则不相等． (2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同． 2．函数定义域的求解 (1)若fx是分式，则应考虑使分母不为零． (2)若fx是偶次根式，则被开方数大于或等于零． (3)若fx是由几个式子构成的，则定义域是几个部分定义域的交集． (4)若fx是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义． 3．函数值域的求解 (1)配方法． (2)分离变量法． (3)单调性法． (4)图象法． (5)换元法． (6)不等式法． 题型1：同一函数 1-1．（2024高一上·安徽·期末）中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】利用同一函数的定义，逐项分析判断即得. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数定义域不同，A不是； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域 为或，两个函数定义域不同，B不是； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，且， 两个函数定义域相同，对应法则也相同，C是； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数定义域不同，D不是. 故选：C 1-2．（2024高一上·北京东城·期末）下列函数中，与是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义域与对应关系逐项判断即可得答案. 【详解】函数的定义域为， 对于A，函数的定义域为，且对应关系与函数相同，故A正确； 对于B，函数的定义域为，但是，对应关系与函数不相同，故B错误； 对于C，函数的定义域为，定义域不同，则不是同一函数，故C错误； 对于D，函数的定义域为，且，则对应关系与函数不相同，故D错误. 故选：A. 1-3．（2024高一上·北京·期末）下列函数，是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据函数相等的定义逐项分析判断. 【详解】对于选项A：的定义域为，的定义域为， 定义域不相同，所以不是同一个函数，故A错误； 对于选项B：、的定义域均为， 但，所以不是同一个函数，故B错误； 对于选项C：与的定义域均为， 且，所以是同一个函数，故C正确； 对于选项D：因为的定义域为，的定义域为， 定义域不相同，所以不是同一个函数，故D错误； 故选：C. 题型2：函数的定义域 2-1．（24-25高一上·江苏南通·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抽象函数的定义域求解即可. 【详解】函数的定义域为，故， 若函数有意义，则，解得. 则函数的定义域为. 故选：B 2-2．（2024高一上·山东·期中）函数的定义域为，函数，则的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，再由抽象函数求定义域的法则可得，解不等式即可得出答案. 【详解】函数的定义域为， 所以， 所以需满足， 解得且. 故选：C. 2-3．（2024高一下·广西崇左·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算具体函数定义域列不等式组计算求解. 【详解】由题意可得，解得或. 故选：D. 2-4．（2024高一下·广东湛江·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式、分式以及零次方成立的条件分析求解. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域是. 故选：C. 2-5．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由求解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以 ，解得且 ， 所以函数的定义域是， 故选：B 2-6．（2024高一上·浙江·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件列出不等式组，解出即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，解得或， 故函数的定义域为， 故选：A. 题型3：函数的值域 3-1．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知是单调递增的一次函数，满足，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法求得，换元令，结合二次函数求值域. 【详解】设， 则， 可得，解得，即， 令，则， 可得， 因为的图象开口向上，对称轴为， 可得在上单调递增，且当时，， 可得，即函数的值域为. 故选：B. 3-2．（24-25高一上·重庆·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数、分式型函数等单调性及基本不等式求各函数在给定区间上的值域. 【详解】A：在上递减，在上递增，值域为，错； B：在上递增，值域为，错； C：在取等号，结合对勾函数性质知，在上的值域为，错； D：在上递增，故值域为，对. 故选：D 3-3．（2024高一上·江苏苏州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，，可得，利用函数单调性求值域. 【详解】令，，则， 所以函数，函数在上单调递增， 时，有最小值， 所以函数的值域为. 故选：C 3-4．（2024高二下·重庆·期末）设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合表示不超过的最大整数，利用函数的值域求法求解. 【详解】解：， 因为， 所以，， 则， 当时，； 当时，； 当时，； 所以函数的值域是， 故答案为：D （二） 1．函数解析式的求解 (1)待定系数法：若已知fx的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可． (2)换元法：设t＝gx，解出x，代入fgx，求ft的解析式即可． (3)配凑法：对fgx的解析式进行配凑变形，使它能用gx表示出来，再用x代替两边所有的“gx”即可． (4)方程组法或消元法：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解． 2．分段函数 若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫分段函数． 题型4：函数的表示法 4-1．（24-25高一上·浙江·期中）已知是二次函数，且对于任意的实数、，函数满足函数方程，如果.下列选项错误的是（   ） A． B．在上单调递增 C．为偶函数 D．为偶函数 【答案】B 【分析】对于A，利用特殊值法，整理题目中等式，可得答案；对于B，利用待定系数法，根据等式求得函数解析式，结合二次函数的单调性，可得答案；对于C、D，整理对应函数解析式，根据二次函数的对称性，结合偶函数的性质，可得答案. 【详解】对于A，由，令， 则，解得，故A正确； 对于B，由，令， 则，化简可得， 设二次函数，则， 化简可得，可得，所以， 由，解得，所以， 由函数，则其对称轴为直线， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，故B错误； 对于C，由B可知，则其对称轴为， 所以函数是偶函数，故C正确； 对于D，由B可知， 则其对称轴为，所以函数为偶函数，故D正确. 故选：B. 4-2．（24-25高一上·四川·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法求解即可. 【详解】令，则， 可得， 所以. 故选：B. 4-3.．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，，解方程即可. 【详解】因①， 用代替①中的得：②， 则得：，解得. 故选：D. 4-4．（2024高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过化简即可得出函数的解析式. 【详解】因为，∴， 故选：A. 4-5．（2024高一上·内蒙古赤峰·期中）若函数，满足，且，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据方程组法求解函数的解析式，代入求出，，再利用求出，从而得解. 【详解】因为，所以， 联立可得，所以，， 因为，所以，则， 所以. 故选：C. 题型5：分段函数 5-1．（2024·四川德阳·一模）函数单调递增，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质及函数的单调性，列出不等式组求解即可. 【详解】解：因为当时，单调递增； 当时，单调递增； 又因为单调递增，且， 所以， 解得. 故选：C. 5-2．（2024·四川巴中·模拟预测）设函数；若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出函数图象，判断函数单调性，结合解一元二次不等式，即得答案. 【详解】作出函数的图象，如图：    可知函数在R上为单调递增函数， 故由可得，即， 解得或， 即实数a的取值范围是, 故选：A 5-3．（2024高一下·贵州毕节·期末）已知函数，若，则的值为（    ） A． B．或2 C．或2 D．或 【答案】C 【分析】分与两段讨论，分别建立方程求解即可. 【详解】①当时，由，解得， 其中不满足题意，故； ②当时，由，解得，满足，故； 综上所述，则的值为或. 故选：C. 5-4．（2024高一上·山东·期中）已知函数是上的单调增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由分段函数两段都递增，且在分界处函数值左侧不比右侧大可得参数范围. 【详解】因为函数在上是单调增函数，且. 所以 解得 故选：D. （三） 1．函数单调区间的求解 (1)利用基本初等函数的单调性，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解． (2)利用函数的图象． 2．函数单调性的证明 (1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2． (2)作差变形：作差fx1－fx2，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子． (3)定号：确定fx1－fx2的符号． (4)结论：根据fx1－fx2的符号及定义判断单调性． 3．函数单调性的应用 (1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围． (2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的． 4．函数的最值与单调性 (1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)． (2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个． (3)定号：确定fx1－fx2的符号． (4)结论：根据fx1－fx2的符号及定义判断单调性． 题型6：求函数单调区间 6-1．（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化函数为分段函数，再结合二次函数单调性求出单调递增区间. 【详解】函数， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故选：A 6-2．（24-25高三上·宁夏中卫·期中）已知函数，则（   ） A．图象关于原点对称，且在上是增函数 B．图象关于对称，且在上是增函数 C．图象关于y轴对称，且在上是减函数 D．图象关于对称，且在上是减函数 【答案】B 【分析】运用分离常数法得，利用图象平移可得的图象，继而即可求解. 【详解】， 函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位， 再上上平移1个单位得到的， 所以的图象关于点对称，且在上是增函数.    故选：. 6-3．（2024高二下·陕西宝鸡·期末）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出定义域，再利用二次函数单调性判断出结果. 【详解】函数的定义域需要满足，解得定义域为， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 故选：D. 题型7：根据函数单调性求参数 7-1．（2024高一上·云南楚雄·期末）已知函数在上具有单调性，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二次函数对称轴及单调性列出不等式来求解即可. 【详解】易知的对称轴为直线，因为在上具有单调性，所以或，解得或． 故选:C 7-2．（2024高一上·海南海口·阶段练习）若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形换元得到，，考虑，和三种情况，结合对勾函数性质得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】， 令，故，， 当，即时，在上单调递增，满足要求， 当，即时，在上单调递增，满足要求， 当，即时，由对勾函数性质得到在上单调递增， 故，解得， 综上，实数的取值范围是. 故选：C 7-3．（2024高一上·广东珠海·阶段练习）若函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分段函数单调性，结合各区间函数的性质列不等式组求参数范围. 【详解】要使在上单调递增， 故在上递增，在上递增，且， 所以. 故选：C 7-4．（2024高一上·浙江杭州·阶段练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，则在上单调递增且恒大于，从而得到，解得即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 令， 则在上单调递增且恒大于， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C （四） 由函数奇偶性求解析式 (1) “求谁设谁”，既在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用fx的奇偶性写出－fx或f－x，从而解出fx． (4)若函数fx的定义域内含0且为奇函数，则必有f0＝0． 题型8：根据函数奇偶性求解析式或参数 8-1．（2024高一上·山东·阶段练习）已知是奇函数，则 ． 【答案】 【分析】根据条件得到，由此化简计算得到的值. 【详解】因为为奇函数，所以，所以， 所以， 化简可得，所以， 故答案为：. 8-2．（2024高一上·湖北恩施·阶段练习）函数是定义在上的奇函数，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到对任意的实数恒成立，得到方程，对任意实数恒成立，转化为对任意实数恒成立，进而求得的值. 【详解】由函数是定义在上的奇函数， 则对任意的实数恒成立， 即，对任意实数恒成立， 可得对任意实数恒成立，可得，即 经验证，此时为上的奇函数，满足题意． 故答案为：． 8-3．（2024高一上·重庆·期中）若函数是定义在上的偶函数，则 【答案】1 【分析】利用偶函数的定义及性质，求出值即可. 【详解】函数是定义在上的偶函数，则，解得，经验证符合题意， 所以. 故答案为：1 8-4．（2024高一上·江苏苏州·阶段练习）是定义在R上的奇函数，当时，，则的表达式为 ． 【答案】 【分析】当时，，由函数为奇函数，求出时函数解析式即可. 【详解】是定义在R上的奇函数，当时，， 则时，，， 所以. 故答案为：. 题型9：函数奇偶性的应用 9-1．（2024·海南·模拟预测）已知函数是上的偶函数，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据偶函数的定义，结合特值法可解. 【详解】是偶函数，则，且，代入计算得到. 故选：A. 9-2．（2024·广东惠州·模拟预测）已知在R上的奇函数，当时，，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】利用函数奇偶性，由内向外求值即可. 【详解】由题意，所以. 故选：D 9-3．（24-25高三上·陕西咸阳·开学考试）已知函数在区间的最大值是M，最小值是m，则的值等于 ． 【答案】 【分析】可设，判断出是奇函数，从而得出的最大值和最小值的和为0，即可求出的值，然后求解． 【详解】函数， 设，，，则是奇函数， 的最大值和最小值互为相反数，且的最大值为，最小值为， ． ． 故答案为： （五） 1．函数的单调性 (1)当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么f（x）在区间D上是增函数． (2)当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么f（x）在区间D上是减函数． 2．函数的奇偶性 (1)奇函数：如果函数定义域包括原点，运用f（0）＝0解相关的未知量，若定义域不包括原点，运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数． (2)偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解． (3)对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反． 题型10：单调性+奇偶性解不等式 10-1．（2024高一上·安徽·阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解法1：根据题意，利用对数的运算性质，把不等式化简为，令，结合一元二次不等式的解法，即可求解； 解法2：根据题意，得到，设，得到为偶函数，求得关于对称，且在上单调递增，把不等式转化为，即可求解. 【详解】解法1：由函数， 则不等式，即为， 可得，即， 令，则，即， 解得，即，解得， 所以不等式的解集为. 解法2：由函数， 可得， 设，则， 所以函数为偶函数，即为偶函数， 可得关于对称，且在上单调递增， 所以不等式，即为， 可得，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C. 10-2．（2024高一上·河南郑州·期中）定义在上的偶函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据函数的单调性和奇偶性的综合运用求出和的解，再分解为或，两种情况分别求解即可. 【详解】因为定义在上的偶函数在区间上单调递减， 所以在上单调增， 又， 所以可化为 可得，解得：或， 同理可得的解：， 由可得或， 解得：或， 则不等式的解集为， 故选：A. 10-3．（2024高一上·河南商丘·期中）已知是定义域为的偶函数，且当时，单调递减，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数性质得，然后利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为为上的偶函数，，所以， 又当时，单调递减，所以当时，单调递增， 又，所以，即，解得或. 故选：B. 10-4．（2024·四川资阳·二模）若定义在R上的偶函数在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数的性质，结合不等式特征构造新函数，利用新函数的单调性和奇偶性进行求解即可. 【详解】由，可得. 令，因为是偶函数，且在上单调递增，所以也是偶函数，且在上单调递增，从而，解得或. 故选：A 题型11：单调性+奇偶性+周期性+对称性 11-1．（2024·广东河源·模拟预测）已知定义在上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据奇函数性质、对称性求得、、，进而有，再确定的周期，利用周期性求函数值的和. 【详解】由为奇函数，知的图象关于点对称，则， 由，得． 由的图象关于直线对称，则的图象关于直线对称， 所以，， 综上，， 由上，，得， 所以，则4为的一个周期， 所以. 故选：C 【点睛】关键点点睛：根据函数的奇偶性、对称性求函数值，并确定周期为关键. 11-2．（2024·河北·模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，，则一定正确的是（    ） A．的周期为2 B．图象关于直线对称 C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性、对称性及周期性对选项逐一分析即可. 【详解】为奇函数，得， 即，则为奇函数，故C错误； 且图象关于点中心对称，故B错误； 可知，函数周期为4，故A错误； ，又图象关于点中心对称，知， 所以，得关于点对称， 则关于点对称，所以为奇函数，故D正确. 故选：D. 11-3．（2024·辽宁本溪·一模）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（   ） A． B．为奇函数 C．在上是减函数 D．方程仅有个实数解 【答案】C 【分析】根据与的奇偶性可判断函数的对称性与周期性，从而作出函数图像，数形结合判断各选项. 【详解】为奇函数，即，关于点对称， 又为偶函数，即，关于直线对称， 所以，即， 所以， 即函数的最小正周期为， A选项：，A选项正确； B选项：，所以为奇函数，B选项正确； C选项：由当时，，所以，所以在上单调递增，C选项错误； D选项：由，得 作出函数及图像如图所示，    由已知函数的值域为，且， 当时，，函数与无公共点， 当时，由图像可知函数与函数有个公共点， 即有个解，D选项正确； 故选：C. 题型12：抽象函数问题 12-1．（2024高一上·江苏宿迁·期中）已知函数为上的增函数，对于任意，都有，且当时，. (1)求； (2)证明函数是奇函数； (3)解关于的不等式， 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据抽象函数关系式采用赋值法求解的值； （2）根据奇函数的定义验证即可； （3）根据知己确定函数的单调性，将不等式转化为含参一元不等式，分类讨论解不等式即可得结论. 【详解】（1）对于任意，都有. 令得即 （2）函数定义在上， 由（1）并令得，即 所以函数是奇函数 （3）原不等式即， 由（2）是奇函数及对，都有， 得即， 任取、，且， 则， 由，．， ，即， 从而在上是增函数； 所以，即， 当时不等式即，解集为， 当时，方程的两根为或， ①当时，，所求不等式的解集为； ②当时，，所求不等式的解集为； ③当时，，所求不等式的解集为； 综上，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为. 12-2．（2024高一上·湖北孝感·期中）已知函数对任意实数都有，并且当时. (1)判断的奇偶性； (2)求证：是上的减函数： (3)，求关于的不等式的解集. 【答案】(1)奇函数 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据题设条件，利用特殊值法、奇偶性的定义分析运算即可得解； （2）根据题设条件，利用单调性的定义分析运算即可得证； （3）根据题设条件将不等式转化为一元二次不等式，分类讨论计算即可得解. 【详解】（1）取，则，∴． 取，则， 即对任意恒成立， ∴为奇函数． （2）任取，且， 则，， ∴， 又为奇函数，则， ∴，即， ∴是上的减函数. （3）为奇函数，则， 不等式可化为 ， 即， ∵是上的减函数，∴， 即，即， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 12-3．（2024高一·全国·课后作业）若函数对任意，恒有成立，且． (1)求证：是奇函数； (2)求的值； (3)若时，，试求在上的最大值和最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3)最大值为2，最小值为 【分析】（1）赋值法得到，再由得到，得到函数为奇函数； （2）赋值法求出，利用（1）中的函数奇偶性求出，再用赋值法求出； （3）先证明出函数的单调性，结合（2）中结论得到答案. 【详解】（1）定义域为，令，得，再令，得， 所以，故是奇函数； （2）因为，故令得，即， 又是奇函数，所以， 令得， 令得 故； （3）不妨设， 中，令得， ， 因为，又时，， 所以，即， 所以在R上单调递减， 故． 12-4．（2024高一上·山东·阶段练习）已知定义在上的函数满足，当时，，且． (1)求； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)判断在上的单调性，并说明理由． 【答案】(1)； (2)奇函数；理由见详解 (3)单调递减，理由见详解 【分析】（1）利用赋值法即可求得；（2）利用赋值构造或代换得到与关系，进而判断函数奇偶性；（3）赋值构造出表达式，再运用定义证明函数单调性. 【详解】（1）令，，可得， 解得； 令，，可得，解得. （2）为奇函数，理由如下： ， 而， 得 故在上是奇函数 （3）当时，，所以当，则，得， 又在上是奇函数，所以当，则， 设，则，所以，，故 ， 在上单调递减. 【点睛】方法点睛：抽象函数求解证明时，一般是通过赋值法，即在已知等式中让自变量取特殊值求得一些特殊的函数值，解题时注意所要求函数值的变量值与已知的量之间的关系，通过赋值还能得出函数的奇偶性、周期性、单调性． （六） 1．幂函数 (1)幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，图象都过点(1,1)． (2)单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减． (3)复合函数的单调性：“同增异减”． (4)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键． 2．含“f”的函数不等式的求解 (1)先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))的形式． (2)再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))． 题型13：幂函数 13-1．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法求出函数解析式，利用函数单调性即可解不等式. 【详解】为幂函数，可设， 由于函数的图象过点，故，所以，即， 所以函数在R上单调递增， 由可得，解得，即的取值范围为. 故选：D. 13-2．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知幂函数为偶函数，则（   ） A．或2 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义和性质即可求解. 【详解】因为幂函数为偶函数， 所以且为偶数， 所以. 故选：. 13-3．（24-25高一上·天津滨海新·期中）函数 是幂函数，且在 上是减函数，则实数m为（   ） A．1 B．- 1 C．2 D．- 1或2 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义列方程，再根据幂函数的单调性判断即可. 【详解】由函数是幂函数， 得，解得或2． 当时，函数为，且在区间上单调递减，满足题意； 当时，函数为，且在上单调递增，不符合题意． 故选：B. 13-4．（2024高一下·广东深圳·期末）已知幂函数，则“”是“在上单调递增”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据幂函数单调性和充要条件的判定即可得到答案. 【详解】当“ ”时，根据幂函数性质知在上单调递增，则充分性成立； 反之，若“在上单调递增”则“”，必要性也成立， 故“”是“在上单调递增”的充分必要条件， 故选：C. 13-5．（2024高一上·吉林延边·期末）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义与奇偶性求出的值，可得出函数的解析式，再利用二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，从而得解. 【详解】因为幂函数是上的偶函数， 则，解得或， 当时，，该函数是定义域为的奇函数，不合乎题意； 当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意. 所以，则，其对称轴方程为， 因为在区间上单调递减，则，解得. 故选：C． （七） 函数应用问题 (1)阅读理解、整理数据：通过分析快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等． (2)建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记函数的定义域． (3)求解函数模型：研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值． (4)回答实际问题结果：将函数问题的结论还原成实际问题，结果明确表述出来． 题型14：函数的应用 14-1．（2024高一上·江西·阶段练习）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（    ） A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒 【答案】A 【分析】利用配方法，求二次函数最大值及相应值即可. 【详解】由题意，， 则当时，即烟花达到最高点，爆裂的时刻是第秒. 故选：A. 14-2．（2024高一上·湖南益阳·期末）某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），每件商品售价为元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用（万元）表示，用表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（    ） A．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 B．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 C．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 D．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 【答案】D 【分析】求出的表达式，利用二次函数的基本性质可求得的最大值及其对应的的值，求出的表达式，利用基本不等式可求得的最大值及其对应的的值，即可出结论. 【详解】由题意可得， 故当时，取得最大值， ， 当且仅当时，等号成立， 因此，当生产万件时，当月能获得最大总利润万元， 当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元. 故选：D. 14-3．（2024高三上·北京西城·期末）“空气质量指数（）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为（    ） A．5小时 B．6小时 C．7小时 D．8小时 【答案】C 【分析】当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动,即时适合开展户外活动,根据分段函数的解析式,分情况讨论求出不等式解集,再求出区间长度即可. 【详解】解:由题知,当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动, 即当小于等于200时,适宜开展户外活动, 即, 因为, 所以当时, 只需, 解得:, 当时, 只需, 解得:, 综上: 适宜开展户外活动的时间段为, 共计7个小时. 故选:C 一、单选题 1．（2024·海南海口·模拟预测）函数的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】B 【分析】将绝对值函数转化成分段函数，由二次函数的性质即可求 【详解】， 则由二次函数的性质知，当时，的单调递减区间为； 当，的单调递减区间为， 故的单调递减区间是和. 故选：B 2．（2024高一上·福建三明·期中）函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数型复合函数的单调性求解. 【详解】设， 因为函数在区间上单调递减， 所以根据复合函数的单调性可得， 函数在区间上单调递减， 所以，解得， 故选：C. 3．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）函数在上单调递减，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性可得的单调性，从而可求得t的取值范围. 【详解】因为函数在上单调递增，所以根据复合函数的单调性可得函数在上单调递减，则，解得. 故选：A 4．（2024·湖北·二模）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由题设条件证明，再验证时条件满足即可. 【详解】若在上单调递增， 则必然在处有定义，所以，即； 若，则当时，所以在上有定义， 再由知在上单调递增，所以在上单调递增. 故选：C. 5．（2024·宁夏吴忠·一模）已知函数是偶函数，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】由偶函数定义可得，计算即可得解. 【详解】由题意可得，即， 整理得， 即恒成立，即. 故选：A. 6．（2024·陕西宝鸡·三模）已知函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性即可求值． 【详解】解：由于为偶函数，则恒成立， 则，则有， 可得， 经验证满足恒成立． 故选：B． 7．（2024·新疆·模拟预测）函数的部分图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断函数的奇偶性，再根据图像趋势即可判断. 【详解】函数定义域为，且， 所以图像关于原点对称，排除A、C；当从正向无限趋近于0时， 也正向无限趋近于零；所以排除D； 故选：B. 8．（2024·海南·模拟预测）函数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】分别利用函数的定义域、奇偶性与特殊值的正负排除不符合要求的选项即可得. 【详解】由定义域为，故可排除C； 又， 故为奇函数，故可排除D； 由，故可排除B； 故选：A. 9．（2024·四川·一模）函数，的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，得到为奇函数，从而可排除选项A和B，再结合与在上的正负值，即可求解. 【详解】因为定义域关于原点对称，又， 即为奇函数，所以选项A和B错误， 又当时，，当时，，此时， 又易知当时，，所以时，，结合图象可知选项C错误，选项D正确， 故选：D. 10．（2024·山西·三模）设函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】函数的定义域为， 且，所以为偶函数， 当时，因为与在上单调递增， 所以在上单调递增， 则在上单调递减，不等式， 即，等价于，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：C 11．（2024·陕西·一模）已知定义在上的函数，满足，且．若，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件可得在上单调递减，且为奇函数，将化为，再利用函数的单调性可求得结果. 【详解】因为定义在上的函数，满足， 所以在上单调递减， 因为，所以， 因为，所以， 由，得， 所以． 因为在上单调递减， 所以，得， 故选：A． 12．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模），用表示中的较小者，记为，设函数，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性的性质判断函数的单调性，结合题中函数的定义，利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为函数都是实数集上的增函数，所以在上为增函数， 所以当时，，所以当1时，成立. 同时因为当时，，所以当时，恒成立， 即当时，，即.设， 则， 当且仅当时取等号，即当时取等号，所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解函数的性质，运用基本不等式进行求解. 13．（2024·甘肃庆阳·一模）已知函数的定义域为R，，，则下列结论错误的是（    ） A． B．是奇函数 C． D．的图象关于点对称 【答案】D 【分析】利用赋值法可得，即可判断A，利用，即可根据奇函数的定义判断B，利用可判断的图象关于点对称，即可判断D，结合奇函数的性质，即可求解C. 【详解】取，则，即，得，故A正确； 取，则，得，故是奇函数，B正确； 对任意的都有，可得， 因此的图象关于点对称，故D错误； 由于且是奇函数，得，即， 因此，C正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛： 由得到，即可判断对称，利用，即可利用递推法求解. 14．（2024·广东韶关·一模）已知函数在上是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由表达式可知当时，是单调减函数，故在上单调递减，则需要时，单调递减，且在断开位置处也要满足减函数的定义. 【详解】因为时，是单调减函数， 又因为在上单调，所以，故时，单调递诚， 则只需满足，解得， 故选：B. 15．（浙江省宁波中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】首先判断函数的奇偶性，即可判断A、B，再根据时函数值的特征排除C. 【详解】函数的定义域为，且， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B； 又当时，故排除C. 故选：D 16．（2024·陕西·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【分析】根据题意，求得且，结合函数的周期性，即可求解. 【详解】因为且，可得， 由，可得， 所以函数的一个周期为，则. 故选：B. 17．（2024·广东惠州·模拟预测）函数，若有，则（    ） A．8 B．5 C．0 D．4 【答案】A 【分析】根据题意，利用图象变换求得函数的图象关于对称，进而得到，即可求解. 【详解】由函数，可得， 所以为奇函数，其图象关于原点对称， 根据函数的图象变换，可得函数的图象关于对称， 因为，所以且，解得. 故选：A. 18．（2024·新疆·二模）若函数的图象关于点对称，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据函数的对称中心求参. 【详解】关于对称, 则. 故选：D. 19．（2024·西藏·模拟预测）若函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形得到，从而得到为奇函数，其他选项不合要求. 【详解】因为， 所以， 由于定义域为， 又， 故为奇函数，故为奇函数， 其他选项均不合要求. 故选：C． 20．（2024·海南·模拟预测）若函数的图象关于点对称，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象的对称问题，得到为奇函数，再根据奇函数的含义得到的值，即可求得结果. 【详解】因为的图象关于点对称， 所以函数为奇函数， 则，即，且为奇函数， 所以，得， 所以， 故选：A. 21．（2024·四川南充·一模）定义在R上的函数的图象关于点对称，且满足，，当时，都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的图象关于点对称可得到，进而求得，，反复利用，适当赋值，再结合条件当时，都有即可求解. 【详解】因为函数的图象关于点对称， 所以，令，则，又，所以， 由， 令，则， 令，则， 令，则， 令，则， 令，则， 同理，令，由，则，即， 由， 令，则， 令，则， 令，则， 令，则， 因为当时，都有， 而， 则，， 所以. 故选：D. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用，结合赋值法，采用两边夹逼的方法，求出结果. 22．（2024·河南·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，，当时，，则（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，推得，得到是周期为4的函数，结合时，函数的解析式，求得的值，进而求得的值，得到答案. 【详解】因为是定义在上的偶函数，， 可得，即， 所以函数是以4为周期的周期函数， 可得， 又因为当时，， 可得，所以. 故选：C. 23．（2024·安徽·一模）定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的周期为2 B．函数的图象关于对称 C．函数为偶函数 D．函数的图象关于对称 【答案】C 【分析】根据已知及偶函数判断周期判断A,再结合周期判断对称性判断B,C,D. 【详解】由题意可知，，则函数的周期为4．A选项错误； 又，即函数的图象关于对称，也关于对称， 则的图象不关于对称，B错误； 若关于对称，已知图象关于对称，则函数周期为2矛盾， D错误． 对于C，为偶函数，则，可知，故C正确． 故选：C. 二、多选题 24．（2024·四川德阳·一模）定义在R上的函数满足，则下列结论正确的有（   ） A． B．为奇函数 C．6是的一个周期 D． 【答案】ACD 【分析】利用赋值法求解逐项判断即可. 【详解】该函数满足且， 对于A，令，可得，解得，故A正确； 对于B，令，，所以，所以为偶函数，故B错误； 对于C，令，， 可得，令，可得， 将两式相加得：，所以， 所以，所以， 因此，6是的一个周期，故C正确； 对于D，令，，，所以， 所以， 因为，， 因为，令，，所以， 令，，所以， 令，，所以， 令，，所以， 由于6是的一个周期， 所以， 所以，故D正确； 故选：ACD 25．（2024·湖南衡阳·一模），，非常数函数都有，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，是偶函数 C．若，则 D．的值不可能是 【答案】ABC 【分析】对于A，只需赋值推理即得；对于B，先推得，再分别赋值和，推得，用替换，推得即可；对于C，结合条件，赋值，推得为偶函数，继续分别赋值和，推出，即可验证得到结论；对于D，构造函数，验证符合①式后，即可判断. 【详解】由条件①， 对于A，取，有即（*）， 若，则为常数，与题意矛盾，即，故A正确； 对于B，由A项已得，代入（*），可得， 在①式中，取，有②， 再取，有，可得， 则有或.因 ，故， 代入②式，可得，用替换，即得， 故为偶函数，即B正确； 对于C，若，在①式中取， 可得则有，由B项知为偶函数， 在①式中，取，有，即③， 再取，有即， 用替换，即得④， 由③④，易得， 即， 由上已得，，，， 依次代入，可得，，故C正确； 对于D，取， 因， 而，即符合①式， 此时，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】思路点睛：本题主要考查抽象函数的性质探究，属于难题.解题思路上，一般应从抽象函数的等式入手，结合选项启发，对其中的未知量进行针对性赋值，使其往选项要求的方向发展，进行判断、验证，有时还需构造符合题意的函数解析式，判断排除选项. 26．（2024·全国·模拟预测）已知定义域为的函数，对任意，都有，且，则（    ） A． B．为偶函数 C．为奇函数 D． 【答案】BCD 【分析】利用赋值法计算可得，即A错误；令可得满足偶函数定义，即B正确；取可得，可得为奇函数，即C正确；利用奇函数性质可得，可得D正确. 【详解】令，得，又，所以，故A错误； 令得，，所以，故为偶函数，故B正确； 令，得，所以， 又，所以， 而的定义域是全体实数，所以为奇函数，故C正确； 由C可得，也即，所以，所以，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：在求解抽象函数问题时，经常利用赋值法求出函数值，再根据函数的奇偶性进行周期、对称性等性质的判断. 27．（2024·吉林长春·模拟预测）设，定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C．为偶函数 D． 【答案】ABD 【分析】对于A，令，又，即可求得；对于B，令，再由，即可推得；对于C，令，可得，从而为奇函数；对于D，可推得，即的周期为，则. 【详解】对于A，令，得， 因为，所以，故A正确； 对于B，令，代入可得， 因为，所以， 从而，故B正确； 对于C，令，代入得， 又因为对，恒成立且不恒为0， 所以，从而为奇函数， 又不恒等于0，故C错误； 对于D，因为， 所以， 所以为的周期， 所以，故D正确． 故选：ABD． 28．（2024·山东·模拟预测）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则（    ） A． B．为偶函数 C． D．若，则x的取值范围为 【答案】BC 【分析】用赋值法先令求得，再令即可求得判断A；然后令可判断奇偶性判断B；任取，则，由可得单调性判断C；利用奇偶性与单调性解不等式判断D. 【详解】对于A，在中， 令得，因此， 再令得，则，故A错； 对于B，令得， 所以，是偶函数，故B正确； 对于C，设，则，， 所以，在上是增函数， 从而，故C正确； 对于D，是偶函数，则，又在上是增函数，所以，解得且，故D错误. 故选：BC. 29．（2024·吉林长春·一模）定义在的函数满足，且当时，，则（    ） A．是奇函数 B．在上单调递增 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据奇偶性的定义分析判断A，根据函数单调性的定义分析判断B，利用赋值法分析判断C，根据选项C及函数单调性判断D. 【详解】对于A，令，可得，再令，可得，且函数定义域为，所以函数为奇函数，故A正确； 对B，令，则，，可得，所以， 由函数性质可得，即，所以在上单调递增，故B正确； 对于C，令，可得，所以，即，故C正确； 对D，因为函数为增函数，所以，由C可知，故D错误. 故选：ABC 30．（2024·浙江·模拟预测）已知函数为偶函数，对，，且，若，则以下结论正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】首先由抽象函数判断函数的对称性，并根据条件，采用赋值法，判断AB选项，再利用赋值，判断函数的周期性，再由对称性和周期性判断D. 【详解】由题意可知，，即函数关于对称， 所以， 中，令，得， 又，所以，故A正确； 令，得，即，得， 而，故B错误； 由已知得，则， 得，那么， 所以函数是周期为6的函数，故，故C正确； 函数关于对称，所以，函数的周期为6，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断函数的对称性，以及利用赋值法判断函数值，以及周期性. 三、填空题 31．（2024高一·全国·专题练习）函数的单调递增区间是 ． 【答案】 【分析】作出函数的图象，根据图象即可求出结果. 【详解】函数， 由，解得或， 函数的图象如图所示， 由图可知，函数的单调递增区间为. 故答案为：. 32．（2024·吉林长春·一模）函数的单调增区间为 ． 【答案】 【分析】根据复合函数的单调性即得. 【详解】函数的定义域是， 在定义域内函数的单调增区间是， 而函数的单调增区间就是在定义域内函数的增区间， 所以函数的单调增区间为. 故答案为：. 33．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，得到，联立方程组，求得，结合题意转化为成立，构造，得到在单调递增，利用二次函数的性质，分类讨论，即可求解. 【详解】因为是奇函数，是偶函数，满足， 可得， 联立方程组，解得， 又因为对任意的，都有成立， 所以，所以成立， 构造， 所以由上述过程可得在单调递增， (i)若，则对称轴，解得； (ii) 若，在单调递增，满足题意； (iii) 若，则对称轴恒成立； 综上可得，，即实数的取值范围为. 故答案为：. 34．（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ． 【答案】 【分析】由奇函数的性质即可求解，注意当时要单调独验证. 【详解】解：当，又因为为上的奇函数， 所以，解得， 又，所以当． 故答案为：. 35．（2024·湖北武汉·二模）已知函数，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由，根据奇偶性、单调性定义及复合函数单调性判断性质，再由性质得即可求范围. 【详解】由题设，定义域为， ，即为偶函数， 在上，令，且， 则， 由，故，即函数在上递增， 而在定义域上递增，故在上递增， 所以，可得， 故，可得. 故答案为： 36．（2024·河北·三模）对，都有恒成立，那么的取值范围是 . 【答案】 【分析】先利用分离常数法求出，然后求出最值，再根据恒成立条件即可得 【详解】由题意可知，恒成立， 当时，恒成立， 当时，， 而，当且仅当时，等号成立，所以； 综上所述：. 故答案为： 37．（2024·山东·一模）已知且，若函数在上具有单调性，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用分段函数的单调性，结合指数函数单调性，按单调递减和单调递增分类列式求解. 【详解】函数在上单调， 当在上单调递减时，，解得； 当在上单调递增时，，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 38．（2024·吉林·模拟预测）已知函数，，则实数a的值为 . 【答案】 【分析】根据分段函数的定义计算函数值后，解方程可得． 【详解】，所以，所以，解得. 故答案为： 39．（2024·河南周口·模拟预测）已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，，则的解集为 ．（用区间表示） 【答案】 【分析】根据题意，得到的图象关于对称，且在上单调递减，结合，得到，结合图象，即可求得不等式的解集. 【详解】由函数是定义在R上的偶函数，可得函数的图象关于对称， 又由函数在上单调递增，可得函数在上单调递减， 因为，可得， 所以，当时，；当时，；当时，， 对于不等式，如图所示，    当时，可得，解得； 当时，可得，解得， 综上可得，不等式的解集为. 故答案为：. 40．（2024·天津河西·模拟预测）已知函数的定义域均为，且．若的图象关于直线对称，，则 . 【答案】 【分析】根据，得到，根据的图象关于直线对称得到，然后通过替换得到为周期为4 的周期函数，最后通过赋值和周期性求函数值即可. 【详解】由得， 由得， 令得， 因为的图象关于直线对称，所以， 由得， 由得， 则，， 所以，为周期为4 的周期函数，， 在中，令得，则， 在中，令得，则， 令得，则，， . 故答案为：. 41．（2024·山西临汾·三模）已知函数的定义域为，且，，则 ． 【答案】 【分析】令求，令求，令得，通过迭代求周期，然后可解. 【详解】令，则， 因为，所以， 令，则，得， 令，则，即， 所以， 所以 所以，所以，即， 是以6为周期的周期函数， 所以， 故答案为：. 42．（2024·全国·模拟预测）已知函数，其中表示中最大的数．若，则 ；若对恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意先求出，则.然后分类讨论，解出对恒成立时的取值范围即可. 【详解】由已知，若，则. 当时，，当时，， 因为对恒成立，所以当时，恒成立， 即恒成立，若，则当时，，矛盾，当时， 可得恒成立，所以，所以的取值范围是. 故答案为：；. 43．（2024·河北保定·二模）已知函数的定义域，对任意，恒有，且当时，恒成立，，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据条件，构造，利用的奇偶性和单调性，将问题转化成求解，即可求出结果. 【详解】由，得， 设，则，取，得， 取，得；取，得， 所以是偶函数，所以， 因为当时，，两边同时乘以， 得，两边同时除以，得， 即，即，所以在上单调递减. 由，得，由，得， 所以可化为， 即，所以，解得或， 所以不等式的解集为， 故答案为：. 四、解答题 44．（2024·山西·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且. (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用偶函数性质以及函数值可得，再由偶函数定义可得其解析式； （2）将不等式恒成立转化为求恒成立问题，由基本不等式计算可得的取值范围. 【详解】（1）因为是偶函数，所以， 解得， 当时，可得，所以， 所以函数的解析式为 （2）由（1）知，当时，， 因为在上恒成立， 所以， 又因为， 当且仅当时，即时等号成立， 所以，即的取值范围是. 45．（2024·江苏南通·一模）已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)若对任意，，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2). 【分析】（1）利用奇偶性定义证明判断即可； （2）根据对数复合函数单调性确定在上最小值，把问题化为在上恒成立，即可求结果. 【详解】（1）为奇函数，证明如下： 由解析式易知，函数定义域为， 而，故为奇函数. （2）由在上为减函数，而在定义域上为增函数， 所以在上为减函数，故， 要使任意，，不等式恒成立， 只需在上恒成立，即在上恒成立， 由开口向上，则， 综上，. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 复习专题03 函数的概念与性质14题型分类 1．函数 (1)函数的定义域：x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域． (2)函数的值域：与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． (3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． (4)同一个函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 2．分段函数 (1)如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应关系，则称其为分段函数． (2)分段函数表示同一个函数． (3)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 3．函数的增减性 条件 设f(x)的定义域为I，区间D⊆I： 如果∀x1，x2∈D，当x1＜x2时 f(x1)＜f(x2) f(x1)＞f(x2) 结论 f(x)是增函数 f(x)是减函数 图示 4．函数的最值 最大值 最小值 条件 f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有 f(x)≤M f(x)≥M ∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M是f(x)的最大值 M是f(x)的最小值 几何意义 f(x)最高点的纵坐标 f(x)最低点的纵坐标 5．函数的奇偶性 (1)偶函数：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． (3)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． (4)偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点中心对称． 6．幂函数 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 7．幂函数的图象 8．幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定义域 R R R [0,＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0,＋∞) R [0,＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 [0,＋∞)上增 (－∞,0]上减 增 增 (0,＋∞)上减 (－∞,0)上减 9．函数模型 (1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)． (2)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (3)分段函数模型． (4)幂函数模型：y＝axn＋b(a≠0)． （一） 1．判断函数相等的方法 (1)先看定义域，若定义域不同，则不相等． (2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同． 2．函数定义域的求解 (1)若fx是分式，则应考虑使分母不为零． (2)若fx是偶次根式，则被开方数大于或等于零． (3)若fx是由几个式子构成的，则定义域是几个部分定义域的交集． (4)若fx是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义． 3．函数值域的求解 (1)配方法． (2)分离变量法． (3)单调性法． (4)图象法． (5)换元法． (6)不等式法． 题型1：同一函数 1-1．（2024高一上·安徽·期末）中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 1-2．（2024高一上·北京东城·期末）下列函数中，与是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 1-3．（2024高一上·北京·期末）下列函数，是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型2：函数的定义域 2-1．（24-25高一上·江苏南通·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2-2．（2024高一上·山东·期中）函数的定义域为，函数，则的定义域为（　　） A． B． C． D． 2-3．（2024高一下·广西崇左·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2-4．（2024高一下·广东湛江·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2-5．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2-6．（2024高一上·浙江·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型3：函数的值域 3-1．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知是单调递增的一次函数，满足，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 3-2．（24-25高一上·重庆·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 3-3．（2024高一上·江苏苏州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3-4．（2024高二下·重庆·期末）设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． （二） 1．函数解析式的求解 (1)待定系数法：若已知fx的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可． (2)换元法：设t＝gx，解出x，代入fgx，求ft的解析式即可． (3)配凑法：对fgx的解析式进行配凑变形，使它能用gx表示出来，再用x代替两边所有的“gx”即可． (4)方程组法或消元法：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解． 2．分段函数 若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫分段函数． 题型4：函数的表示法 4-1．（24-25高一上·浙江·期中）已知是二次函数，且对于任意的实数、，函数满足函数方程，如果.下列选项错误的是（   ） A． B．在上单调递增 C．为偶函数 D．为偶函数 4-2．（24-25高一上·四川·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 4-3.．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数满足，则（     ） A． B． C． D． 4-4．（2024高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 4-5．（2024高一上·内蒙古赤峰·期中）若函数，满足，且，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 题型5：分段函数 5-1．（2024·四川德阳·一模）函数单调递增，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5-2．（2024·四川巴中·模拟预测）设函数；若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5-3．（2024高一下·贵州毕节·期末）已知函数，若，则的值为（    ） A． B．或2 C．或2 D．或 5-4．（2024高一上·山东·期中）已知函数是上的单调增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （三） 1．函数单调区间的求解 (1)利用基本初等函数的单调性，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解． (2)利用函数的图象． 2．函数单调性的证明 (1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2． (2)作差变形：作差fx1－fx2，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子． (3)定号：确定fx1－fx2的符号． (4)结论：根据fx1－fx2的符号及定义判断单调性． 3．函数单调性的应用 (1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围． (2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的． 4．函数的最值与单调性 (1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)． (2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个． (3)定号：确定fx1－fx2的符号． (4)结论：根据fx1－fx2的符号及定义判断单调性． 题型6：求函数单调区间 6-1．（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 6-2．（24-25高三上·宁夏中卫·期中）已知函数，则（   ） A．图象关于原点对称，且在上是增函数 B．图象关于对称，且在上是增函数 C．图象关于y轴对称，且在上是减函数 D．图象关于对称，且在上是减函数 6-3．（2024高二下·陕西宝鸡·期末）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 题型7：根据函数单调性求参数 7-1．（2024高一上·云南楚雄·期末）已知函数在上具有单调性，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7-2．（2024高一上·海南海口·阶段练习）若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7-3．（2024高一上·广东珠海·阶段练习）若函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7-4．（2024高一上·浙江杭州·阶段练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． （四） 由函数奇偶性求解析式 (1) “求谁设谁”，既在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用fx的奇偶性写出－fx或f－x，从而解出fx． (4)若函数fx的定义域内含0且为奇函数，则必有f0＝0． 题型8：根据函数奇偶性求解析式或参数 8-1．（2024高一上·山东·阶段练习）已知是奇函数，则 ． 8-2．（2024高一上·湖北恩施·阶段练习）函数是定义在上的奇函数，则 ． 8-3．（2024高一上·重庆·期中）若函数是定义在上的偶函数，则 8-4．（2024高一上·江苏苏州·阶段练习）是定义在R上的奇函数，当时，，则的表达式为 ． 题型9：函数奇偶性的应用 9-1．（2024·海南·模拟预测）已知函数是上的偶函数，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 9-2．（2024·广东惠州·模拟预测）已知在R上的奇函数，当时，，则（    ） A．2 B． C．1 D． 9-3．（24-25高三上·陕西咸阳·开学考试）已知函数在区间的最大值是M，最小值是m，则的值等于 ． （五） 1．函数的单调性 (1)当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么f（x）在区间D上是增函数． (2)当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么f（x）在区间D上是减函数． 2．函数的奇偶性 (1)奇函数：如果函数定义域包括原点，运用f（0）＝0解相关的未知量，若定义域不包括原点，运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数． (2)偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解． (3)对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反． 题型10：单调性+奇偶性解不等式 10-1．（2024高一上·安徽·阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 10-2．（2024高一上·河南郑州·期中）定义在上的偶函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 10-3．（2024高一上·河南商丘·期中）已知是定义域为的偶函数，且当时，单调递减，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10-4．（2024·四川资阳·二模）若定义在R上的偶函数在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型11：单调性+奇偶性+周期性+对称性 11-1．（2024·广东河源·模拟预测）已知定义在上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 11-2．（2024·河北·模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，，则一定正确的是（    ） A．的周期为2 B．图象关于直线对称 C．为偶函数 D．为奇函数 11-3．（2024·辽宁本溪·一模）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（   ） A． B．为奇函数 C．在上是减函数 D．方程仅有个实数解 题型12：抽象函数问题 12-1．（2024高一上·江苏宿迁·期中）已知函数为上的增函数，对于任意，都有，且当时，. (1)求； (2)证明函数是奇函数； (3)解关于的不等式， 12-2．（2024高一上·湖北孝感·期中）已知函数对任意实数都有，并且当时. (1)判断的奇偶性； (2)求证：是上的减函数： (3)，求关于的不等式的解集. 12-3．（2024高一·全国·课后作业）若函数对任意，恒有成立，且． (1)求证：是奇函数； (2)求的值； (3)若时，，试求在上的最大值和最小值． 12-4．（2024高一上·山东·阶段练习）已知定义在上的函数满足，当时，，且． (1)求； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)判断在上的单调性，并说明理由． （六） 1．幂函数 (1)幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，图象都过点(1,1)． (2)单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减． (3)复合函数的单调性：“同增异减”． (4)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键． 2．含“f”的函数不等式的求解 (1)先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))的形式． (2)再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))． 题型13：幂函数 13-1．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 13-2．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知幂函数为偶函数，则（   ） A．或2 B．2 C． D．1 13-3．（24-25高一上·天津滨海新·期中）函数 是幂函数，且在 上是减函数，则实数m为（   ） A．1 B．- 1 C．2 D．- 1或2 13-4．（2024高一下·广东深圳·期末）已知幂函数，则“”是“在上单调递增”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 13-5．（2024高一上·吉林延边·期末）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． （七） 函数应用问题 (1)阅读理解、整理数据：通过分析快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等． (2)建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记函数的定义域． (3)求解函数模型：研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值． (4)回答实际问题结果：将函数问题的结论还原成实际问题，结果明确表述出来． 题型14：函数的应用 14-1．（2024高一上·江西·阶段练习）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（    ） A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒 14-2．（2024高一上·湖南益阳·期末）某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），每件商品售价为元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用（万元）表示，用表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（    ） A．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 B．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 C．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 D．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 14-3．（2024高三上·北京西城·期末）“空气质量指数（）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为（    ） A．5小时 B．6小时 C．7小时 D．8小时 一、单选题 1．（2024·海南海口·模拟预测）函数的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 2．（2024高一上·福建三明·期中）函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）函数在上单调递减，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·湖北·二模）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·宁夏吴忠·一模）已知函数是偶函数，则（   ） A． B． C．0 D．1 6．（2024·陕西宝鸡·三模）已知函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D．1 7．（2024·新疆·模拟预测）函数的部分图象大致为（   ） A． B． C． D． 8．（2024·海南·模拟预测）函数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   9．（2024·四川·一模）函数，的图象大致为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·山西·三模）设函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 11．（2024·陕西·一模）已知定义在上的函数，满足，且．若，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模），用表示中的较小者，记为，设函数，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．（2024·甘肃庆阳·一模）已知函数的定义域为R，，，则下列结论错误的是（    ） A． B．是奇函数 C． D．的图象关于点对称 14．（2024·广东韶关·一模）已知函数在上是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（浙江省宁波中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   16．（2024·陕西·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C．4 D．2 17．（2024·广东惠州·模拟预测）函数，若有，则（    ） A．8 B．5 C．0 D．4 18．（2024·新疆·二模）若函数的图象关于点对称，则（    ） A． B． C．1 D．2 19．（2024·西藏·模拟预测）若函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 20．（2024·海南·模拟预测）若函数的图象关于点对称，且，则（    ） A． B． C． D． 21．（2024·四川南充·一模）定义在R上的函数的图象关于点对称，且满足，，当时，都有，则（    ） A． B． C． D． 22．（2024·河南·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，，当时，，则（    ） A． B．0 C． D． 23．（2024·安徽·一模）定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的周期为2 B．函数的图象关于对称 C．函数为偶函数 D．函数的图象关于对称 二、多选题 24．（2024·四川德阳·一模）定义在R上的函数满足，则下列结论正确的有（   ） A． B．为奇函数 C．6是的一个周期 D． 25．（2024·湖南衡阳·一模），，非常数函数都有，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，是偶函数 C．若，则 D．的值不可能是 26．（2024·全国·模拟预测）已知定义域为的函数，对任意，都有，且，则（    ） A． B．为偶函数 C．为奇函数 D． 27．（2024·吉林长春·模拟预测）设，定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C．为偶函数 D． 28．（2024·山东·模拟预测）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则（    ） A． B．为偶函数 C． D．若，则x的取值范围为 29．（2024·吉林长春·一模）定义在的函数满足，且当时，，则（    ） A．是奇函数 B．在上单调递增 C． D． 30．（2024·浙江·模拟预测）已知函数为偶函数，对，，且，若，则以下结论正确的为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 31．（2024高一·全国·专题练习）函数的单调递增区间是 ． 32．（2024·吉林长春·一模）函数的单调增区间为 ． 33．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是 . 34．（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ． 35．（2024·湖北武汉·二模）已知函数，若，则实数的取值范围为 ． 36．（2024·河北·三模）对，都有恒成立，那么的取值范围是 . 37．（2024·山东·一模）已知且，若函数在上具有单调性，则实数的取值范围是 ． 38．（2024·吉林·模拟预测）已知函数，，则实数a的值为 . 39．（2024·河南周口·模拟预测）已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，，则的解集为 ．（用区间表示） 40．（2024·天津河西·模拟预测）已知函数的定义域均为，且．若的图象关于直线对称，，则 . 41．（2024·山西临汾·三模）已知函数的定义域为，且，，则 ． 42．（2024·全国·模拟预测）已知函数，其中表示中最大的数．若，则 ；若对恒成立，则的取值范围是 ． 43．（2024·河北保定·二模）已知函数的定义域，对任意，恒有，且当时，恒成立，，则不等式的解集为 . 四、解答题 44．（2024·山西·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且. (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 45．（2024·江苏南通·一模）已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)若对任意，，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$