5.4.2.4正、余弦函数的对称性及求参 四维限时练-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.4.2.4正、余弦函数的对称性及求参--四维限时练--解析版 1、 单选题 1．曲线的一条对称轴的方程可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由余弦型函数的对称轴方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】令，得， 当时，对称轴方程为， 所以曲线的一条对称轴的方程可以为． 故选：B 2.已知函数的最小正周期为，则的图象（    ） A．关于点对称 B．关于对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】D 【分析】根据周期求出，代入，计算检验即可判断各选项. 【详解】因为函数的最小正周期为， 所以， 因为，所以AC错误； ，所以B错误，D正确. 故选：D 3．函数对任意x都有，则等于（    ） A．或2 B．或0 C．2或0 D．0 【答案】A 【分析】由确定为对称轴，即可求解. 【详解】因为函数对任意x都有， 可知该函数图象关于直线对称， 又因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以或2. 故选：A． 4.已知函数，则“函数的图象关于原点对称”是“”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由的图象关于原点对称，可求得，再利用充分必要条件的概念判断即可. 【详解】的图象关于原点对称，为奇函数， 因为为的真子集， “函数的图象关于原点对称”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5．设函数（）在区间上恰好有3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出函数的对称轴方程，根据题意列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】由函数（）， 令，即， 因为（）在区间上恰好有3条对称轴， 显然当时，为内最左侧的对称轴， 故，解得， 即的取值范围是， 故选：C 6．已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分析可知，，结合余弦函数的对称性分析求解. 【详解】因为，且， 则，即， 同理可得，， 又因为，，则，， 因为，结合余弦函数的图象可知关于直线对称， 则，所以. 故选：A. 7.已知函数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据题意可知为的对称中心，结合余弦函数对称性分析求解. 【详解】因为，可知为的对称中心， 则，可得， 解得， 且，可知：当时，取到最小值. 故选：D. 8.已知函数（），若在区间内有且仅有3个零点和3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用整体换元法，结合余弦函数的性质即可求解. 【详解】函数． 当时，令，则， 若在有且仅有3个零点和3条对称轴， 则在有且仅有3个零点和3条对称轴， 则，解得. 故选：A．      2、 多选题 9．已知函数，下列四个结论中正确的有（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于点对称 D．函数在上单调递增 【答案】ABD 【分析】根据三角函数的最小正周期、对称性、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】的最小正周期，A选项正确. ，所以B选项正确. ， 所以的图象关于点对称，所以C选项错误. ， 所以函数在上单调递增，所以D选项正确. 故选：ABD 10．设函数的图象关于直线对称，它的最小正周期是，则以下结论正确的是（    ） A．的图象过点 B．在上是减函数 C．的最大值与的取值有关 D．的一个对称中心是 【答案】ACD 【分析】根据函数的最小正周期求出，再根据函数的对称性求出，即可得到函数解析式，再根据余弦函数的性质一一分析即可. 【详解】函数的最小正周期是，，， 又的图象关于直线对称，，， 又，，， ，图象过，故A正确； 的正负未知，故无法确定的单调性，故B错误； 显然的最大值与的取值有关，故C正确； ，是的一个对称中心，故D正确． 故选：ACD 11.已知函数在区间上有且仅有个对称中心，则下列正确的是（    ） A．的值可能是 B．的最小正周期可能是 C．在区间上单调递减 D．图象的对称轴可能是 【答案】ABC 【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断AD选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项；利用正弦型函数的周期公式可判断B选项. 【详解】因为函数在区间上有且仅有个对称中心， 且当时，， 所以，，解得，A对； 因为，则函数的最小正周期为，且，B对； 当时，， 因为，则， 所以，函数在区间上单调递减，C对； ，所以，图象的对称轴不可能是，D错. 故选：ABC. 3、 填空题 12．已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，若在上是增函数，则正数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据正弦型函数对称轴与周期的关系，结合正弦型函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为， 所以，解得，即， 因为在上是增函数，则， 所以函数的增区间包含， 令，得， 所以，所以故的取值范围为. 故答案为： 13.已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】结合余弦函数的性质可得，进而求解即可. 【详解】函数在上有且仅有2个零点， 由，，得， 所以，即， 所以的取值范围为. 故答案为：. 14．若存在实数a使得方程在上有两个不相等的实数根，则 ． 【答案】0 【分析】由函数的图象在上关于直线对称，可知，则可求出答案. 【详解】由函数在上的图象关于直线对称， 得与的图象的两交点必关于直线对称， 所以，即， 所以． 故答案为：0. 4、 解答题 15.求函数的对称轴、对称中心． 【答案】对称轴为，，对称中心为， 【分析】直接利用三角函数的性质计算即可. 【详解】易知， 令，， 得，， 所以函数的对称轴为，， 对称中心的横坐标满足，， 即，． 所以函数的对称中心为，. 16．已知函数（）的图像关于点中心对称． (1)求的值； (2)当时，求函数的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值为1，最小值为． 【分析】（1）根据余弦函数的对称中心可列出相应等式，可得，结合，即得答案； （2）根据，确定，结合余弦函数的性质，即可求得答案. 【详解】（1）因为函数的对称中心为，， ∴，，∴，， 由于，∴． （2）由（1）知， ∵当时，， ∴，∴， ∴当时，函数的最大值为1，最小值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.4.2.4正、余弦函数的对称性及求参--四维限时练--原卷版 (考察范围： 求对称中心和对称轴，依据对称中心和对称轴求参数及其它性质问题) 【1】知识总览（1-2分钟，快速阅读，重点查看不熟悉的知识点） 函数 y＝sin x y＝cos x 图象 对称轴 x＝kπ＋，k∈Z x＝kπ，k∈Z 对称中心 (kπ，0)(k∈Z) （kπ＋，0）(k∈Z) ******************************************************************************* 【2】限时练习（约40分钟，全心投入，旨在检测自己的学习效果） 1、 单选题 1．曲线的一条对称轴的方程可以为（   ） A． B． C． D． 2.已知函数的最小正周期为，则的图象（    ） A．关于点对称 B．关于对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 3．函数对任意x都有，则等于（    ） A．或2 B．或0 C．2或0 D．0 4.已知函数，则“函数的图象关于原点对称”是“”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．设函数（）在区间上恰好有3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 7.已知函数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8.已知函数（），若在区间内有且仅有3个零点和3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2、 多选题 9．已知函数，下列四个结论中正确的有（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于点对称 D．函数在上单调递增 10．设函数的图象关于直线对称，它的最小正周期是，则以下结论正确的是（    ） A．的图象过点 B．在上是减函数 C．的最大值与的取值有关 D．的一个对称中心是 11.已知函数在区间上有且仅有个对称中心，则下列正确的是（    ） A．的值可能是 B．的最小正周期可能是 C．在区间上单调递减 D．图象的对称轴可能是 3、 填空题 12．已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，若在上是增函数，则正数m的取值范围是 . 13.已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为 ． 14．若存在实数a使得方程在上有两个不相等的实数根，则 ． 4、 解答题 15.求函数的对称轴、对称中心． 16．已知函数（）的图像关于点中心对称． (1)求的值； (2)当时，求函数的最大值和最小值． 【3】核对简略答案（5-10分钟，筛选需要仔细研究的题目），详解请看解析版！ 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D A B C A D A ABD ACD ABC 12.【答案】 13.【答案】 14.【答案】0 15.【答案】对称轴为，，对称中心为， 16.【答案】(1) (2)最大值为1，最小值为． ******************************************************************************* 【4】反思总结（3-5分钟，重在做好错因分析和查漏补缺，但不一定都写出来） 解题点睛:对称中心就是使得成立的点，对称轴就是使得成立的直线 个人感悟： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$