2024年九年级中考数学复习函数大招15：一次函数与菱形存在性问题

大招15：一次函数与菱形存在性问题 大招总结 菱形的判定定理：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 基于此判定可以提供两个思路： 思路1：【先平行四边形，再菱形】 ①两定两动 ②一定三动 两类问题均可解决。 （对角和相等，先满足平行四边形） （两点间距离公式AB=AD，一组邻边相等，即为菱形） 思路2：【先等腰三角形，再菱形】 ·利用几何法或代数法，求得半动点的坐标；主要解决两定两动（1个全动点，1个半动点）。 ·连接菱形任意3个顶点，均构成等腰三角形 当题目中出现两个定点，一个全动点，一个半动点时，可先利用“两圆一线”（即等腰三角形存在性问题）先确定半动点，再利用平移法或中点坐标法确定全动点。 如图，A，B是平面直角坐标系中两个定点，点C在x轴上，D是平面内一动点，在平面内找一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为菱形？ 学科网（北京）股份有限公司 ①、以点A为圆心，AB长为半径画圆交x轴于， 利用前面讲过的方法可得坐标和坐标，再利用平移法或中点法即得D坐标。 ②、以点B为圆心，BA长为半径画圆交x轴于 利用前面讲过的方法可得坐标和坐标，再利用平移法或中点法即得D坐标。< ③、作AB垂直平分线交x轴于 利用前面讲过的方法可得坐标，再利用平移法或中点法即得D坐标。 经典例题1 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），点C在 学科网（北京）股份有限公司 x轴上，点D在平面中，且以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求出所有符合条件的点D的坐标。 解：①以AB为边时，以A为圆心，AB为半径作圆与x轴交于 易得（1-2，0） 此时（4-2，2） （1+2，0） 此时（4+2，2） ②以AB为边时，以B为圆心，AB为半径作圆与x轴交于两点 易得 此时 0), 此时 ③当AB为对角线时， 作AB的中垂线交x轴于得 综上所述，D点的坐标为（4-2，2） 或（4+2，2）或（-2，-2） 或（3，-2） 或，4) 经典例题2 如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=10,边OA=6,把矩形OABC 沿直线DE对折使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D、F、E，点M在y轴上，以M、D、F、N为顶点的四边形是萎形，满足条件的点N有（ A ） A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 经典例题3 如图，直线DE：y=-x+2, 其中D（-2,4），E为直线与y轴的交点。若点P为y轴上一点，在坐标平面内是否存在点Q，使以点D，E，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。 存在；点Q的坐标为： 学科网（北京）股份有限公司 109 经典例题4 如图，在平面直角标系xOy中，直线与直线CD:y=kx-2相交于点M（4，a），分别交标轴于点A，B，C，D． （1）求直线CD的解析表达式； （2）直线AB上有一点F，在平面直角坐标系内找一点N，使得以BF为一边，以点B，D，F，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点N的坐标。 解：（1）将点M的坐标代入 解得：a=1, ∴点M（4,1）。 将点M（4,1）代入y=kx-2 得 4k-2=1, 解得 (2)∵直线AB:∴x=0, y=3, ∴B(0,3), ∴BD=5, （2）设点F的坐标为，点N (a,b), 由（1）知，点B、D的坐标分别为（0,3）、 （0，-2），则BD=5。 当BD是边时，如图所示，四边形BDNF（或四边形BDNF）为菱形。 则BD=BF,，即2, 解得 则点F的坐标为或 点N在点F的正下方5个单位， 则点或 当BD是对角线时，如图所示，则BD的中点 即为NF的中点，且FN┴BD。300 ∵B(0,3),D(0,-2), ∴BD的中点坐标为（0， ∵FN┴BD, 解得m=5，即F (5, 由对称性可得N（-5， 综上，点N的坐标为或 或(-5, 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大招15：一次函数与菱形存在性问题 大招总结 菱形的判定定理：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 基于此判定可以提供两个思路： 思路1：【先平行四边形，再菱形】 ①两定两动 ②一定三动 两类问题均可解决。 （对角和相等，先满足平行四边形） （两点间距离公式AB=AD，一组邻边相等，即为菱形） 思路2：【先等腰三角形，再菱形】 ·利用几何法或代数法，求得半动点的坐标；主要解决两定两动（1个全动点，1个半动点）。 ·连接菱形任意3个顶点，均构成等腰三角形 当题目中出现两个定点，一个全动点，一个半动点时，可先利用“两圆一线”（即等腰三角形存在性问题）先确定半动点，再利用平移法或中点坐标法确定全动点。 如图，A，B是平面直角坐标系中两个定点，点C在x轴上，D是平面内一动点，在平面内找一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为菱形？ 学科网（北京）股份有限公司 ①、以点A为圆心，AB长为半径画圆交x轴于， 利用前面讲过的方法可得坐标和坐标，再利用平移法或中点法即得D坐标。 ②、以点B为圆心，BA长为半径画圆交x轴于 利用前面讲过的方法可得坐标和坐标，再利用平移法或中点法即得D坐标。< ③、作AB垂直平分线交x轴于 利用前面讲过的方法可得坐标，再利用平移法或中点法即得D坐标。 经典例题1 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），点C在 学科网（北京）股份有限公司 x轴上，点D在平面中，且以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求出所有符合条件的点D的坐标。 经典例题2 如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=10,边OA=6,把矩形OABC 沿直线DE对折使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D、F、E，点M在y轴上，以M、D、F、N为顶点的四边形是萎形，满足条件的点N有（ ） A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 经典例题3 如图，直线DE：y=-x+2, 其中D（-2,4），E为直线与y轴的交点。若点P为y轴 学科网（北京）股份有限公司 109 上一点，在坐标平面内是否存在点Q，使以点D，E，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。 经典例题4 如图，在平面直角标系xOy中，直线与直线CD:y=kx-2相交于点M（4，a），分别交标轴于点A，B，C，D． （1）求直线CD的解析表达式； （2）直线AB上有一点F，在平面直角坐标系内找一点N，使得以BF为一边，以点B，D，F，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点N的坐标。 学科网（北京）股份有限公司 $$