2024年九年级中考数学二轮复习 函数大招13：一次函数与平行四边形存在性问题

大招13：一次函数与平行四边形 存在性问题 ·大招总结 问题：是否存在一点D，使得A、B、C、D是平行四边形？ 如图，已知平行四边形ABCD，连结AC，BD交于点O。设顶点坐标为 ，则有： ①中点法 证明：平行四边形对角线互相垂直且平分， 当AC和BD为对角线时，结果可简记为：A+C=B+D（各个点对应的横纵坐标相加） ②平移法 原理：A到B的路径与D到C的路径相同，C到B的路径与D到A的路径相同。 基础知识 动点是在平面中，横纵坐标都不确定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有一些动点在坐标轴或者直线或者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点”。 找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有2个未知量，究其原因，在于平行四边形两大性质： （1）对边平行且相等； 学科网（北京）股份有限公司 （2）对角线互相平分。 但此两个性质统一成一个等式：两个等式只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未知量。 两大题型 题型1：三定一动 如图，分别过A，B，C三个定点做对边的平行线，三条所作直线的交点P即为所求动点。 题型2：两定两动 （1）如图①，若AB为平行四边形的边，平移AB，确定另外两点位置。 （2）如图②，若AB为平行四边形的对角线，取AB中点，作过中点的直线确定另外两点的位置。 学科网（北京）股份有限公司 求点的坐标的常用方法 1、平移法：如图，由点B平移到点A的规律即可得到点C平移到的规律。（点C到点同理） 2、中点法：设平行四边形ABCD的顶点坐标分别为A( C ，则，即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等。 经典例题1 如图，A(1,1),，B（3,2），C（2,3），在坐标系内确定一点D，使得A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形。 学科网（北京）股份有限公司 经典例题2 如图，已知点A（1,2），B（4,4）点C、D分别在x轴、y轴上，且以A、B、C，D 为顶点的四边形是平行四边形，求点C、D的坐标。 经典例题3 已知：直线与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段AO上，将ΔABO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处。 （1）OC的长度为多少？ （2）点E、F是直线BC上的两点，若ΔAEF 是以EF为斜边的等腰直角三角形，则点F的坐标是多少？ （3）取AB中点M，若点P在y轴上，点Q在直线AB上，存在以C、M、P、Q为顶点的边形为平行边形，求点Q的坐标。 学科网（北京）股份有限公司 经典例题4 如图，已知直线y=kx+b经过A（6,0）、B（0,3）两点． （1）求直线y=kx+b的解析式； （2）若C是线段OA上一点，将线段CB绕点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D 恰好落在直线AB上。 ①求点C和点D的坐标； ②若点P在y轴上，Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q坐标，否则说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 经典例题5 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1,0），将x轴绕点A顺时针旋转60°交y轴于点B，再将点B绕点A顺时针旋转90°得到点C。 （1）求直线BC的解析式； （2）若点Q为平面直角坐标系中一点，且满足四边形ABCQ为平行四边形，求点Q的坐标； （3）在直线BC和y轴上，是否分别存在点M和点N，使得以点M，N，A，C 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大招13：一次函数与平行四边形 存在性问题 ·大招总结 问题：是否存在一点D，使得A、B、C、D是平行四边形？ 如图，已知平行四边形ABCD，连结AC，BD交于点O。设顶点坐标为 ，则有： ①中点法 证明：平行四边形对角线互相垂直且平分， 当AC和BD为对角线时，结果可简记为：A+C=B+D（各个点对应的横纵坐标相加） ②平移法 原理：A到B的路径与D到C的路径相同，C到B的路径与D到A的路径相同。 基础知识 动点是在平面中，横纵坐标都不确定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有一些动点在坐标轴或者直线或者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点”。 找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有2个未知量，究其原因，在于平行四边形两大性质： （1）对边平行且相等； 学科网（北京）股份有限公司 （2）对角线互相平分。 但此两个性质统一成一个等式：两个等式只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未知量。 两大题型 题型1：三定一动 如图，分别过A，B，C三个定点做对边的平行线，三条所作直线的交点P即为所求动点。 题型2：两定两动 （1）如图①，若AB为平行四边形的边，平移AB，确定另外两点位置。 （2）如图②，若AB为平行四边形的对角线，取AB中点，作过中点的直线确定另外两点的位置。 学科网（北京）股份有限公司 求点的坐标的常用方法 1、平移法：如图，由点B平移到点A的规律即可得到点C平移到的规律。（点C到点同理） 2、中点法：设平行四边形ABCD的顶点坐标分别为A( C ，则，即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等。 经典例题1 如图，A(1,1),，B（3,2），C（2,3），在坐标系内确定一点D，使得A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形。 解：设点D坐标为（m，n）， 又A(1,1), B(3,2), C(2,3), 分类讨论： （1）AB为对角线时 可得，此时D（2,0） （2）AC为对角线时 可得，此时D（0,2） （3）BC为对角线时 可得 此时D（4,4） 综上所述，D点的坐标为 （2,0）或（0,2）或（4,4）。 经典例题2 如图，已知点A（1,2），B（4,4）点C、D分别在x轴、y轴上，且以A、B、C，D 为顶点的四边形是平行四边形，求点C、D的坐标。 解：设点C(m,0), D(0,n)分类讨论； （1） AB为对角线时得 得C（5，0),D(0,,6) （2） AC为对角线时得得C（3,0）D(0,-2) （3） BC为对角线时 综上所述，0),2) 学科网（北京）股份有限公司 经典例题3 已知：直线与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段AO上，将ΔABO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处。 （1）OC的长度为多少？ （2）点E、F是直线BC上的两点，若ΔAEF 是以EF为斜边的等腰直角三角形，则点F的坐标是多少？ （3）取AB中点M，若点P在y轴上，点Q在直线AB上，存在以C、M、P、Q为顶点的边形为平行边形，求点Q的坐标。 解：（1）对于直线，令x=0，则y=12, 令y=0, 则x=-16, ∴B (0,12),A(-16,0) ∴OB=12,OA=16, 由勾股定理得AB=20,，将ΔABO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处。∴OC=CD, OB=BD=12,∴AD=8. 设OC=CD=m, 则AC=16-m,在RtΔACD中，由勾股定理得 解得m=6, ∴OC=6, 故答案为：6。 （2）由B(0,12),C（-6,0）得，直线BC的解析式为y=2x+12, 设E(a,2a+12) F(b,2b+12) 过A点作y轴的平行线，交过点F与x轴的平行线交于点M，交过点E与轴的平行线于点N， ΔAEF是等腰直角三角形 ∴AE=AF, , ∴∠MAF=∠AEN, 、 ∴ΔNAE≅ΔMFA(AAS),∴NE=MA,AN=MF, ∴a+16=2b+12,-2a-12=b+16 ∴a=-12,b=-4 ∴E(-12,-12),F(-4,4), 当点E、F交换时，F(-12,-12), 综上：F（-4,4）或（-12，-12）。 (3)A(-16,0),B(0,12), ∴AB的中点M（-8,6） 设P（0，m），Q(n, 1 当CM为对角线时，解得此时 ②当CP为对角线时， 解得 此时 ③当PM为对角线时， 同理可得 综上所述Q点坐标为（-14, 37或(2,或（- 学科网（北京）股份有限公司 经典例题4 如图，已知直线y=kx+b经过A（6,0）、B（0,3）两点． （1）求直线y=kx+b的解析式； （2）若C是线段OA上一点，将线段CB绕点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D 恰好落在直线AB上。 ①求点C和点D的坐标； ②若点P在y轴上，Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q坐标，否则说明理由。 解（1）将A（6,0），B（0,3）带λy=kx+b得: 解得. ∴直线AB的表达式为 （2）①过点D作DE┴x于点E， 易证ΔBOC≅ΔCED ∴OC=DE,BO=CE=3 设OC=DE=m,则点D的坐标为(m+3,,m) ∵点D在直线AB上， ∴m=1∴C(1,0),D(4,1) 295 （3）设点Q的坐标为(n, 分两种情况如图所示： ①当CD为边时，得 0-n＝4-1或n-0=4-1, ∴n=-3或n=3．点Q的坐标为（3 ∴点Q＇的坐标为 ②当CD为对角线时，得n+0=1+4- ∴n=5, 综上所述，Q的坐标为（3 1 或（5， 学科网（北京）股份有限公司 经典例题5 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1,0），将x轴绕点A顺时针旋转60°交y轴于点B，再将点B绕点A顺时针旋转90°得到点C。 （1）求直线BC的解析式； （2）若点Q为平面直角坐标系中一点，且满足四边形ABCQ为平行四边形，求点Q的坐标； （3）在直线BC和y轴上，是否分别存在点M和点N，使得以点M，N，A，C 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由。 解：（1）由三垂直模型 易得 （2）设Q(x,y) 四边形ABCQ为平行四边形AC、BQ为对角线得: （3）设M，N（0，n） 分情况讨论： ①当AC为对角线时， 得∴ 2 当AM为对角线时， 得M ③当AN为对角线时， 得 ∴ 综上所述，M的坐标为 M或 学科网（北京）股份有限公司 $$