2024年九年级中考数学复习函数大招12：一次函数与三角形存在性问题

大招12：一次函数与三角形存在性问题 ·一次函数与等腰三角形存在性问题 解题思路：当等腰三角形中哪两条边相等不明确时，需要分类讨论，可依据哪个点是顶角顶点进行分类。 已知线段AB，在直线｜上找一点P，使得ΔABP为等腰三角形。 经典例题1 直线y=x-1与两坐标轴分别交于A、B两点，点C在坐标轴上，若ΔABC为等腰三角形，则满足条件的点C最多有多少个？ 经典例题2 如图，一次函数y=kx+1的图形经过点A（1,2），且与x轴相交于点B，若点P是y轴上一点，且满足ΔAPB是等腰三角形，则点P的坐标可以是（ ） 学科网（北京）股份有限公司 经典例题3 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x-1的图像分别交x轴、y轴于点A 和B。已知点C的坐标为（-3,0），若点P是x轴上的一个动点。 （1）A的坐标是（ ），B的坐标是（ ）； （2）过点P作y轴的平行线交AB于点M，交BC于点N，当点P恰好是MN的中点时，求出P点坐标； （3）若以点B、P、C为顶点的ΔBPC为等腰三角形时，请求出所有符合条件的P点坐标。 经典例题4 直线y=kx-8.与x轴、y轴分别交于B、C两点，且 （1）求OB的长和k的值； 学科网（北京）股份有限公司 （2）若点A是第一象限内直线y=kx-8上的一个动点，当它运动到什么位置时，△AOB的面积是12？ （3）在（2）成立的情况下，y轴上是否存在点P，使ΔPOA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。（写过程） ·一次函数与直角三角形存在性问题 解题思路：当直角顶点不明确时，需分类讨论 几何法：两线一圆 已知线段AB，在x轴上找点C，是三角形ABC为直角三角形， 1 分别过点A、B做线段AB的垂线，找点 ②以线段AB为直径做圆，利用直径所对圆周角为90°，找点 学科网（北京）股份有限公司 技巧： 我们要想求C点的坐标，最常用的方式就是构造三垂直全等或者相似模型 构造三垂直步骤： ①过直角顶点做一条水平或竖直的直线 ②过另外两端点向该直接做垂线，即可得三垂直相似 代数法： 1、采用勾股定理 设点C的坐标为(m,n),，求出AB，AC，BC的长度，分类讨论： ① ② ③ 求出点C（m，n） 学科网（北京）股份有限公司 2、K值法 两直线垂直，K的乘积＝-1，可求出直线解析式，该直线与动点所在直线的交点即为所求。（注意此法为高中的知识，但是在初中经常用到，我们要知悉） ·技法大招总结 几何法：（1）“两线一圆”做出点 （2）构造三垂直模型，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数 代数法： （1） 勾股定理： 1）表示A，B，C坐标； 2）表示线段AB，AC，BC； 3）分类讨论 4）带入列方程，求解 1 当C为直角时： 2 当B为直角时： ③当A为直角时： （2）K值法： （1）求出AB的解析式，得到,、 （2）利用 求出· （3）带入A点坐标求出AC解析式； （4）当y=0时，带入方程，求解。 经典例题5 已知点A（4,3）点B（0，-5），点C在x轴上，且如图ΔABC是直角三角形，求点C的坐标。 学科网（北京）股份有限公司 经典例题6 如图1，在平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，直线AB： 与直线AC：y=kx+9交于点A(2,n)，与x轴分别交于点B(-6,0）和点C。点D为线段BC上一动点，将ΔABD沿直线AD翻折得到ΔADE，线段AE交x轴于点F。 （1）直线AC的函数表达式； （2）当点D在线段BO上，点E落在y轴上时，求点E的坐标； （3）若ΔDEF为直角三角形，求点D的坐标。 图1 经典例题7 如图，已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y=kx+b的图象经过点 学科网（北京）股份有限公司 89 B（0，-1），与x轴以及y=x+的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为（1，n）。 （1）则k＝（ ) ,b=( ), n=( ); （2）关于x，y的二元一次方程组的解为（); （3）求四边形AOCD的面积： （4）在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形，请求出点P的坐标。 一次函数与等腰直角三角形存在性问题 解题思路：等腰三角形的存在性问题中，这类题型的关键是构造三垂直（K 型）全等。 “K型全等”图及变形 类型：1、两定一动 2、两动一定 学科网（北京）股份有限公司 经典例题8 如图，在平面直角坐标系中，A（2,0），B（0,4）在一象限内是否存在点C，使ΔABC是等腰直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由。 经典例题9 如图，直线y=3x+4与y轴交于点A，点P是直线x=6上的一个动点，点Q是直线y=3x+4上的一个动点，且点Q在第一象限，若ΔAP为等腰直角三角形，求点Q的坐标。 学科网（北京）股份有限公司 经典例题10 如图，平面直角坐标系中，直线AB：交y轴于点A（0,1），交x轴于点B。直线x＝1交AB于点D，交x轴于点E，P是直线x=上一动点，且在点D的上方，设P（1，n）． （1）求直线AB的解析式； （2）当时，在第一象限内找一点C，使ΔBCP为等腰直角三角形，求点C 的坐标。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大招12：一次函数与三角形存在性问题 ·一次函数与等腰三角形存在性问题 解题思路：当等腰三角形中哪两条边相等不明确时，需要分类讨论，可依据哪个点是顶角顶点进行分类。 已知线段AB，在直线｜上找一点P，使得ΔABP为等腰三角形。 经典例题1 直线y=x-1与两坐标轴分别交于A、B两点，点C在坐标轴上，若ΔABC为等腰三角形，则满足条件的点C最多有多少个？ 解：直线y=x-1与y轴的交点为A（0，-1），与x轴的交点为B（1,0）， ①以AB为底，C在原点 ②以AB为腰，且A为顶点，C点有3种可能位置； ③以AB为腰，且B为顶点，C点有3种可能位置；所以满足条件的点C最多有7个。 由题意知A（1,0），B(0,-1) 则 AB=BC时, AB=AC时 AC=BC时. 经典例题2 如图，一次函数y=kx+1的图形经过点A（1,2），且与x轴相交于点B，若点P是y轴上一点，且满足ΔAPB是等腰三角形，则点P的坐标可以是（ ） ∵一次函数y=x+b的图象过点A(1,2), ∴2=k+1, 解得k=12=k+1, ∴一次函数的解析式为：y=x+1, ∴B(-1,0). 当AB=AP时， ∵ ∴ 当AP=BP时, ∵∴ 当PA=PB时，此时P不存在 综上所述，P点坐标为： 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 经典例题3 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x-1的图像分别交x轴、y轴于点A 和B。已知点C的坐标为（-3,0），若点P是x轴上的一个动点。 （1）A的坐标是（ ），B的坐标是（ ）； （2）过点P作y轴的平行线交AB于点M，交BC于点N，当点P恰好是MN的中点时，求出P点坐标； （3）若以点B、P、C为顶点的ΔBPC为等腰三角形时，请求出所有符合条件的P点坐标。 解：（1）一次函数y＝-2x-1的图象分别交x轴、y 轴于点A和B， 令y=0 即 -2x-1=0, 解得令x=0，即y=-1, 0),B(0,-1), 故答案为： 0), (0,-1) （2）设直线BC的解析式y＝kx＋b， 将B(0,-1), C(-3,0)代入y=kx+b 解得 ∴直线BC的函数解析式 设点P（m，0），则点M(m,-2m-1)，点 依题意可得PM=PN, ∴ 解得： 、 ∴P 0) （3）设P（x，0），而B（0，-1) C(-3,0) 1,=10 当PC=PB时, 有 解得： ⋅0) 当PB=BC, 有 解得：x=±3,x=-3不合题意舍去， ∴P (3,0), 当PC=BC时, 有 解得： 或 ∴，0）或P0) 综上所述： 0）或P（3,0）或 0）或P 0). 经典例题4 直线y=kx-8.与x轴、y轴分别交于B、C两点，且 （1）求OB的长和k的值； （2）若点A是第一象限内直线y=kx-8上的一个动点，当它运动到什么位置时，△AOB的面积是12？ （3）在（2）成立的情况下，y轴上是否存在点P，使ΔPOA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。（写过程） 解：（1）针对于直线y=kx-8, 令x=0，则y=-8, ∴OC=8, , ∴OB=6, ∴点B（6,0）, 将点B的坐标代入直线y=kx-8中，得0=6k-8, （2）由（1）知， ∴直线BC的解析式为 ∴设点A（a， , ∵ΔAOB的面积为12， ∴ ∴ ∴a=9, ∴A(9,4)、 即点A运动到（9,4）的位置时，ΔAOB的面积为12; （3）由（2）知，A（9,4）、∴ ∵ΔPOA为等腰三角形， ∴②当（OA=PA时，点A在OP的垂直平分线上， ∴P(0,8) , ②当OP=OA时， ∴ ∴P (0,或(0,, ③当OP=PA时，设点P(0,p) 、 ∴ ∴ ∴ ∴ P（ 0. 即点P的坐标为（0,8）或（0,97）或（0，-或（0， 学科网（北京）股份有限公司 ·一次函数与直角三角形存在性问题 解题思路：当直角顶点不明确时，需分类讨论 几何法：两线一圆 已知线段AB，在x轴上找点C，是三角形ABC为直角三角形， 1 分别过点A、B做线段AB的垂线，找点 2 以线段AB为直径做圆，利用直径所对圆周角为90°，找点 技巧： 我们要想求C点的坐标，最常用的方式就是构造三垂直全等或者相似模型 构造三垂直步骤： ①过直角顶点做一条水平或竖直的直线 ②过另外两端点向该直接做垂线，即可得三垂直相似 代数法： 学科网（北京）股份有限公司 1、采用勾股定理 设点C的坐标为(m,n),，求出AB，AC，BC的长度，分类讨论： ① ② ③ 求出点C（m，n） 2、K值法 两直线垂直，K的乘积＝-1，可求出直线解析式，该直线与动点所在直线的交点即为所求。（注意此法为高中的知识，但是在初中经常用到，我们要知悉） ·技法大招总结 几何法：（1）“两线一圆”做出点 （2）构造三垂直模型，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数 代数法： （1） 勾股定理： 1）表示A，B，C坐标； 2）表示线段AB，AC，BC； 3）分类讨论 4）带入列方程，求解 1 当C为直角时： 2 当B为直角时： ③当A为直角时： （2）K值法： （1）求出AB的解析式，得到,、 （2）利用 求出· （3）带入A点坐标求出AC解析式； （4）当y=0时，带入方程，求解。 学科网（北京）股份有限公司 经典例题5 已知点A（4,3）点B（0，-5），点C在x轴上，且如图ΔABC是直角三角形，求点C的坐标。 (-10,0)或(10,0)或或0) 经典例题6 如图1，在平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，直线AB： 与直线AC：y=kx+9交于点A(2,n)，与x轴分别交于点B(-6,0）和点C。点D为线段BC上一动点，将ΔABD沿直线AD翻折得到ΔADE，线段AE交x轴于点F。 （1）直线AC的函数表达式； （2）当点D在线段BO上，点E落在y轴上时，求点E的坐标； （3）若ΔDEF为直角三角形，求点D的坐标。 图1 解：（1）将B(-6,0)代入直线AB：解得 ∴直线AB的解析式为 将点A的坐标代入，得n=6, ∴.A(2,6) 将点A的坐标代入直线AC:y=kx+9中, 解得 ∴直线AC的解析式为： （2）过点A作AM┴x轴于M，AN┴y轴于N，则 AM=6,AN=2, 由折叠得AB=AE, ∴ ∴ 解得、 又E在y轴负半轴， （3）分两种情况： ①当时，如图，由折叠得 , ∴过A作AG┴x轴于G， ∴AG=DG=6, ∵OG=2, ∴D(-4,0); 1 当时，如图， 由折叠得BD=DE ∴EF=10-6=4, 由A、B两点坐标可得：BF=2-(-6)=8, 设DF=m, 则BD=8-m, ∴DE=8-m, ∴ 解得m=3, ∴OD=DF-OF=3-2=1, ∴D(-1,0), 综上，D(-1,0)或D(-4,0). 学科网（北京）股份有限公司 经典例题7 如图，已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y=kx+b的图象经过点B（0，-1），与x轴以及y=x+的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为（1，n）。 （1）则k＝（ 3 ) ,b=( -1 ), n=( 2 ); （2）关于x，y的二元一次方程组的解为（ ); （3）求四边形AOCD的面积： （4）在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形，请求出点P的坐标。 解（1）3，-1, 2 （2）：∵一次函数y=x+1与y=3x-1交于D（1,2） ∴由图像得：得解为故答案为： （3）∵一次函数y=3x-1的图像与X轴交于点C； ∴ （4）如图所示，设P(p,0), 分两种情况考虑： ①当P＇D┴DC时，P＇ ∴ (7,0)。 ②当DP┴CP时，由D横坐标为1，得到P 横坐标为1， ∵P在X轴上，∴P的坐标为（1,0）， 综上，P的坐标为（1,0）或（7,0）。 学科网（北京）股份有限公司 89 一次函数与等腰直角三角形存在性问题 解题思路：等腰三角形的存在性问题中，这类题型的关键是构造三垂直（K 型）全等。 “K型全等”图及变形 类型：1、两定一动 2、两动一定 经典例题8 如图，在平面直角坐标系中，A（2,0），B（0,4）在一象限内是否存在点C，使ΔABC是等腰直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由。 解：分三种情况 （1）如图，当BC┴BA时，过C作CN┴y轴于N， 根据三垂直模型，易得ΔBCN＝ΔABO， ∴CN=OB=4,BN=OA=2,∴ON=2+4=6 ∴C的坐标为（4,6） （2）如图，当AC┴BA时，过C作CN┴x轴于N， 根据三垂直模型，易得ΔBOA≌ΔACM， 同理可得C的坐标为（6,2） 3）如图，当AC┴BC时， 过C作CN┴x轴于N， CH┴y轴于H，根据三垂直模型， 易得ΔBHC≌ΔACN, ∴CN=CH, 设C(x,x), 由勾股定理得， 解得x=3, ∴C的坐标为（3,3） 综上所述： M的坐标为（4,6），（6,2），（3,3） 学科网（北京）股份有限公司 经典例题9 如图，直线y=3x+4与y轴交于点A，点P是直线x=6上的一个动点，点Q是直线y=3x+4上的一个动点，且点Q在第一象限，若ΔAP为等腰直角三角形，求点Q的坐标。 解： (2,10), ,(3,13) 分析：分情况讨论，结合三垂直全等模型 学科网（北京）股份有限公司 经典例题10 如图，平面直角坐标系中，直线AB：交y轴于点A（0,1），交x轴于点B。直线x＝1交AB于点D，交x轴于点E，P是直线x=上一动点，且在点D的上方，设P（1，n）． （1）求直线AB的解析式； （2）当时，在第一象限内找一点C，使ΔBCP为等腰直角三角形，求点C 的坐标。 解（1） （2）（5,2）或（3,4）或（3,2） 学科网（北京）股份有限公司 $$