2024年九年级中考数学复习函数大招11：一次函数与三角形折叠问题

大招11：一次函数与三角形折叠问题 经典例题1 如图，直线AB与x轴交于点A（3,0），与y轴交于点B（0，-3），D为线段AB 上一动点（D点不与A、B重合），沿OD折叠，点A恰好落在ΔABO的边上，则D点坐标是（ ) 经典例题2 如图，一次函数的图像与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，点D，E分别在线段AB、AO上，连接DE将ΔADE沿DE折叠，点A的对应点C恰好在y轴上，且CD平分∠BCE，则点D的坐标是（ ） 经典例题3 如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点，若将ΔABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B＇处，则点M的坐标为( ) 经典例题4 如图，已知与x轴、y轴分别相交于点A、点B，若将ΔAOB折叠，使点A与点B重合，折痕CD与x轴交于点C，与AB交点D。 （1）点B的坐标是（ ）；点A的坐标是（ )。 （2）求直线BC的解析式； （3）在直线BC上是否存在一点P，使得ΔABP的面积与ΔABO的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 经典例题5 如图，已知直线与 轴、y轴分别相交于点A、点B，∠BAO＝30°，若将ΔAOB沿直线CD折叠，使点A与点B重合，折痕CD与x轴交于点C，与AB交于点D。 （1）求k的值； （2）在直线BC上是否存在一点P，使得ΔABP的面积与ΔABO的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 经典例题6 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（3,0），点B（0,4），点D在y轴的负半轴上。若将ΔDAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处。 （1）直接写出结果：线段AB的长为（ ），点C的坐标为（ ); （2）求直线CD的函数表达式； 学科网（北京）股份有限公司 （3）点 P 在直线CD上，使得求点P的坐标. 经典例题7 如图，直线y=-x+8与x轴、y轴分别相交于点A，B，设M是OB上一点，若将ΔABM沿AM折叠，使点B恰好落在x轴上的点B＇处，求： （1）点B＇的坐标； （2）直线AM所对应的函数关系式。 学科网（北京）股份有限公司 经典例题8 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将ΔDAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处。 （1）求AB的长； （2）求点C和点D的坐标； （3）y轴上是否存在一点P，使得 ？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大招11：一次函数与三角形折叠问题 经典例题1 如图，直线AB与x轴交于点A（3,0），与y轴交于点B（0，-3），D为线段AB 上一动点（D点不与A、B重合），沿OD折叠，点A恰好落在ΔABO的边上，则D点坐标是（ ) 解：∵A(3,0), 设点A关于OD的对称点为点A＇，根据题意，需要分两种情况： 1 当A＇落O边AB上BO 如图， 由折叠可知， ∴ 过点D作DE⊥x轴于点E, ∴ 点D在第四象限，∴D() 2 当A＇落在边OB上时，此时点A＇在y轴上，如图， 由折叠可知 过点D作DE⊥z 轴于点E，∴ ，设AE=m 则 解得 ，点D在第四象 限， ∴ D 故答案为：或（ 经典例题2 如图，一次函数的图像与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，点D，E分别在线段AB、AO上，连接DE将ΔADE沿DE折叠，点A的对应点C恰好在y轴上，且CD平分∠BCE，则点D的坐标是（ ） 解：如图，过点D作DM⊥x轴于点M， DN⊥y轴于点N， ∵CD平分∠BCE ∴∠BCD=∠ECD 又∵DE将ΔADE沿DE折叠， ∴AD=CD,∠DAE=∠ECD, ∴∠BCD=∠DAE 又∵ ∴ΔDNC≅ΔDMA ∴DM=DN 即：D点得横纵坐标相等， 设D(a,a) ∵点D在线段AB上， 解得： ∴ 经典例题3 如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点，若将ΔABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B＇处，则点M的坐标为( 0,3 ) 解：当x=0时， y=8 当y=0时, x=6, ∴点B（0,8），OB=8 点A（6,0），OA=6 ∴ 根据折叠的性质可知： ∴AM平分∠BAO, 设OM=m 则BM=8-m, ∵AM平分∠BAO, ，即 得m=3 ∴M的坐标为（0,3） 经典例题4 如图，已知与x轴、y轴分别相交于点A、点B，若将ΔAOB折叠，使点A与点B重合，折痕CD与x轴交于点C，与AB交点D。 （1）点B的坐标是（ ）；点A的坐标是（ )。 （2）求直线BC的解析式； （3）在直线BC上是否存在一点P，使得ΔABP的面积与ΔABO的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 解：(1)令y=0，则x=4; 令x=0 则y=2, 故点A的坐标为（4,0），点B的坐标为(0,2). 故答案为：(4,0),(0,2). （2）设OC=x, ∵直线CD垂直平分线段AB， ∴AC=CB=4-x, ∵ ∴ 解得 ∴ 设直线BC的解析式为y=kx+b, 则 解得 ∴直线BC的解析式为 解：过点0作OP／／AB交直线BC于P ∵OP//AB, ∵直线AB的解析式为 ∴直线OP的解析式为 由 解得 ∴P 根据对称性可知，经过点0＇（0,4）与直线AB 平行的直线与直线BC的交点P＇，也满足条件，已知 设P＇（m，n），则有 综上所述，满足条件的点P的坐标为,或 ) 。 学科网（北京）股份有限公司 经典例题5 如图，已知直线与 轴、y轴分别相交于点A、点B，∠BAO＝30°，若将ΔAOB沿直线CD折叠，使点A与点B重合，折痕CD与x轴交于点C，与AB交于点D。 （1）求k的值； （2）在直线BC上是否存在一点P，使得ΔABP的面积与ΔABO的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 解：（1）把中， ∴B(0, 在RtΔAOB中， ∴∴ ∴A(6,0) 把A（6,0）代入中，得 （2）存在．由折叠的性质可知，CB=CA. 由（1）知 设OC=x 则CB=CA=6-x 在RtΔBOC中解得x=2 ∴C(2,0) 设直线BC的解析式为y=mx+n 把，C（2,0）代入y=mx+n中， 得 解得 ∴ 设 ∴ 当点P在点C下方时，如图1 ∵OA=6, OC=2, ∴AC=OA-OC=4 ∴a=3 当点P在点B上方时，如图2 ∴ 综上所述，点P的坐标为（3，-3）或 经典例题6 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（3,0），点B（0,4），点D在y轴的负半轴上。若将ΔDAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处。 （1） 直接写出结果：线段AB的长为（ 5 ），点C的坐标为（ 8,0 ); （2） 求直线CD的函数表达式 （3）点 P 在直线CD上，使得求点P的坐标. 解：(1)5,(8,0). （2）设OD=m 由折叠，可知BD=CD=4+m. 在RtΔOCD中，即解得m=6.所以点D(0,-6). 设直线CD的函数表达式为y=kx+b. 将点C，D的坐标分别代入，得 解得所以直线CD的函数表达式为 （3）由题意，得 4=6. 设ΔACP中边AC上的高为h， 则 因为 所以点P的纵坐标为当时，解得 当时，解得 所以点P的坐标为或 学科网（北京）股份有限公司 经典例题7 如图，直线y=-x+8与x轴、y轴分别相交于点A，B，设M是OB上一点，若将ΔABM沿AM折叠，使点B恰好落在x轴上的点B＇处，求： （1）点B＇的坐标； （2）直线AM所对应的函数关系式。 解（1）（8-8,0） (2) 学科网（北京）股份有限公司 经典例题8 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将ΔDAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处。 （1）求AB的长； （2）求点C和点D的坐标； （3）y轴上是否存在一点P，使得 ？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 解：令x=0,- 得y=4, ∴B(0,4) ∴OB=4, 令x=0 得： 解得： x=3- ∴A(3,0), ∴OA=3. 在RtΔOAB中， (2)∵AC=AB=5, ∴OC=OA+AC=3+5=8, ∴C(8,0)D 设OD=x, 则CD=DB=x+4. 在RtΔOCD中，，即，解得：x=6, ∴D(0,-6). （3）存在， ∵点P在y轴上，BP OA=48，得BP=32 点P的坐标为（0,36）或（0，-28） 学科网（北京）股份有限公司 $$