精品解析：重庆市巴蜀中学校2024-2025学年九年级上学期数学第三次月考复习试卷

初2025届（九上）12月月考复习试题卷 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 3的相反数为（　　） A. ﹣3 B. ﹣ C. D. 3 2. 每年三月最后一个星期六的“地球一小时”活动是世界自然基金会应对全球气候变化所提出的全球性节能活动，以下与环保有关的图标中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，已知直线，直线与直线分别交于点，交直线于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 估计的值应在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 6. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（    ） A. B. C. D. 7. 参加足球友谊赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛了21场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　　） A. B. C. D. 8. 下列图形都是由同样大小的△按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有6个△，第②个图形中一共有13个△，第③个图形中一共有22个△，…… ，按此规律排列，则第⑧个图形中△的个数为（ ） A. 97 B. 95 C. 87 D. 85 9. 如图，在正方形中，点为正方形内部一点，连接、，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点落在的延长线上，的延长线交于点，连接交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 对于代数式、，定义新运算♣，则下列说法正确的个数为（ ） ①若♣，则或1； ②若♣，则的值为3或； ③若方程的解为、，则♣的值为； ④若关于的方程♣有两个不相等的实数解，则． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 11 计算：______． 12. 关于的一元二次方程有实数根，则满足_________． 13. 如图，随机闭合4个开关，，，中的两个开关，能使小灯泡L发光的概率是______． 14. 如图，在矩形中，是边中点，连接交对角线于点，若，，则的长为 ______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象刚好经过平行四边形的顶点和边的中点，连接，若，则____________. 16. 若关于x的一元一次不等式组有且仅有3个偶数解，且关于y的分式方程解为非负数，则所有满足条件的整数m的值之和是_____． 17. 如图，为的外接圆，弦，垂足为E，直径交于点G，连接．若，，则点O到的距离为______，的值为______． 18. 若一个四位数的千位数字比百位数字大1，十位数字比个位数字大2，则称这个四位数是“惊蛰数”，若其千位数字比百位数字大2，十位数字比个位数字大4，则称这个四位数是“谷雨数”，如3220是“惊蛰数”，6495是“谷雨数”，最小的“谷雨数”是_____________；若、分别是“惊蛰数”、“谷雨数”，且它们的个位数字均为2，、各数位上的数字之和分别记为和，若能被10整除．则当取得最小值时的值是_____________． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每小题10分，共78分） 19. 计算 （1）； （2） 20. 百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取对B款聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 87 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，_________，________； （2）根据以上数据，你认哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有240人对A款聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意共有多少人？ 21. 某数学兴趣小组同学发现，任意一个（三边均不相等），以一边的端点B为顶点在三角形外作角，使其等于这条边另一端点C为顶点的三角形的内角，射线与这条边上的中线的延长线相交于一点E，则以A、B、C、E四个点为顶点的四边形是平行四边形．如图，在中，点D为边上的中点，连接． （1）尺规作图：在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，连接，求证：四边形是平行四边形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵点D为边上的中点， ∴ __________， 在和中， ∴______， ∴_______， ∵ ∴__________． ∴四边形是平行四边形． 小组进一步研究发现，作了上述的相等角之后，当三角形有两边相等时，必然会形成一个特殊的四边形，请根据这个发现完成以下命题： 以等腰三角形底边的一个端点为顶点向外作角，使其等于底角，且与底边上中线的延长线相交于一点，则以该点和三角形的三个顶点为顶点的特殊四边形 ________． 22. 中华民族的传统节日一端午节将至，甲、乙两家公司为员工购买咸粽和甜粽两种口味的粽子礼盒作为节日福利． （1）已知一盒咸粽比一盒甜粽贵元，甲公司工会统计得出，喜爱咸粽的员工人数是喜爱甜粽的员工人数的倍，甲公司的采购根据员工的口味喜好分别花费元、元 购买咸粽和甜粽，求一盒咸粽和一盒甜粽的价格各为多少元? （2）乙公司由于订购较晚，在（1）的基础上，一盒咸粽和一盒甜粽的价格分别上涨、，乙公司预算不超过元为名员工购买粽子礼盒，则乙公司最多购买多少盒咸粽? 23. 小王在学习中遇到了这样一个问题：如图1，在菱形中，对角线，，点P是线段上的动点，E是的中点，连接，当是等腰三角形时，求线段的长度．小王分析发现，此问题可以用函数思想解决，于是尝试结合学习函数的经验探究此问题．请将下面的探究过程补充完整：根据点P任上的不同位置，画出相应的图形，测量线段的长度，得到下表的几组对应值． 0 1 2 3 4 5 6 7 8 （1）m的值是_________，的值是_________； （2）将线段的长度作为自变量的长度都是关于x的函数，分别记为，并在平面直角坐标系中画出了的函数图象，如图2所示，请在同一平面直角坐标系中描点，并画出的函数图象．求出，的表达式． （3）根据图象，在点P从A移动到C的过程中，当是等腰三角形时，的长为________．（结果精确到，误差不超过） 24. 重庆南川金佛山因其优美的自然风光、独特的地形地貌吸引了众多游客．甲乙两名游客选择两种不同的方式游览景区，如图，甲从山脚处乘坐缆车到达景点处，同时乙开车从山脚处前行到达处，此时遇一斜坡，坡度，沿着斜坡前行到达停车场处，停车后，再跑步到达景点处（汽车行驶在平路和上坡的速度相等，停车时间忽略不计）．甲在处观测景点的仰角为，乙在处观测景点的仰角为． （1）求景点的高度；（结果精确到） （2）甲乘坐缆车的速度为，乙的车速为，乙的跑步速度为，谁先到达景点？ （参考数据：，，，，） 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，，与轴交于点，连接、． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点是直线上一动点，点是直线下方抛物线上的一动点，过点作，过点作交轴于点，当取得最大值时，求的最小值； （3）如图2，在（2）的条件下，连接交于点，点为原抛物线的顶点，连接，将原抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，在新抛物线上存在一点，使＝，写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 26. 在等腰中，，点在延长线上，以为边，在上方作任意，连接交于点． （1）如图1，若，点为中点，，，求长； （2）如图2，点在的延长线上，连接，若，，，求证：； （3）如图3，，，点是平面内直线下方一动点，始终满足．点为直线上一点，连接，满足，延长至点，使得．点为直线上一点，连接，将沿翻折至所在平面内得到，连接、，当最小时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初2025届（九上）12月月考复习试题卷 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 3的相反数为（　　） A. ﹣3 B. ﹣ C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数计算即可． 【详解】解：3的相反数是﹣3． 故选：A． 【点睛】此题考查求一个数的相反数，解题关键在于掌握相反数的概念． 2. 每年三月最后一个星期六的“地球一小时”活动是世界自然基金会应对全球气候变化所提出的全球性节能活动，以下与环保有关的图标中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行分析即可． 【详解】解：选项B、C、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项A的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3. 已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可求出答案． 【详解】解：A、∵，根据不等式两边同时减去一个数，不等号方向不变可知：，故选项不成立，不符合题意； B、∵，根据不等式两边同时乘以一个负数，不等号方向改变可知：，故选项成立，符合题意； C、∵，当时，根据不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向不变可知：，故选项不成立，不符合题意； D、∵，根据不等式两边同时除以一个正数，不等号方向不变可知：，故选项不成立，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 4. 如图，已知直线，直线与直线分别交于点，交直线于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂直的定义，直角三角形的性质，平行线的性质，由垂直可得，即得，再根据平行线的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 5. 估计的值应在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查估算无理数的大小，二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算的方法以及算术平方根的定义是正确解答的关键． 利用二次根式混合运算方法先进行化简，再根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 详解】解：原式 即 ， 故选：B 6. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，由题意得，，则和的相似比为，再结合相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵， ， 和是以点O为位似中心的位似图形， ∴． 故选：D． 7. 参加足球友谊赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛了21场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛21场，可列出方程． 【详解】解：设有x个队参赛，则 故选B 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，找准等量关系列一元二次方程是解题的关键． 8. 下列图形都是由同样大小的△按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有6个△，第②个图形中一共有13个△，第③个图形中一共有22个△，…… ，按此规律排列，则第⑧个图形中△的个数为（ ） A. 97 B. 95 C. 87 D. 85 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了探究图形变化规律，找出图形变化的个数变化规律是解题的关键．写出各图形中三角形的个数和，然后根据变化规律写出第个图形中的个数，再取进行计算即可得解． 【详解】解：第①个图形中三角形有：（个）， 第②个图形中三角形有：（个）， 第③个图形中三角形有：（个）， ， 依此类推，第个图形中三角形有（个）， 所以，第⑧个图形中圆和正三角形个数一共是： （个）． 故选：A． 9. 如图，在正方形中，点为正方形内部一点，连接、，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点落在的延长线上，的延长线交于点，连接交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，过点作，交的延长线于点，先证明，得到，进而推出为直角三角形，利用，得到，设，进而得到，求出，证明，求出的长，再证明，得到，即可． 【详解】解：连接，过点作，交的延长线于点， ∵正方形， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是添加辅助线构造全等和相似三角形． 10. 对于代数式、，定义新运算♣，则下列说法正确的个数为（ ） ①若♣，则或1； ②若♣，则值为3或； ③若方程的解为、，则♣的值为； ④若关于的方程♣有两个不相等的实数解，则． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据新定义的运算法则，将♣1化为一个关于x的一元二次方程求解，即可判断①；根据新定义得♣，则得出或，代入，即可判断②；根据一元二次方程根与系数的关系得出，则，求出，即可判断③；根据新定义和绝对值可得，根据一元二次方程的判别式，即可判断④． 【详解】解：①♣，解得：或1； 故①正确，符合题意； ②♣，整理得：， ∴， ∴或， ∴或， 故②正确，符合题意； ③♣， ∵方程的解为、， ∴， ∴，则 当时，♣， 当时，♣， ∴♣的值为或， 故③不正确，不符合题意； ④∵♣， ∴， 当时，整理得：， ∴，解得：； 当时，整理得：， ∴，解得：； ∴， 故④不正确，不符合题意； 综上：正确的有①②，共2个； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，一元二次方程根于系数的关系，一元二次方程根的判别式，解题的关键是正确理解题意，明确新定义的运算顺序和运算法则，掌握一元二次方程根与系数关系：；当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 11. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数，负指数幂的运算，掌握特殊角的三角函数，负指数幂的计算，实数的混合运算法则是解题的关键． 分别算出余弦，正切，负指数幂的结果，再根据实数的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为： ． 12. 关于的一元二次方程有实数根，则满足_________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，解题的关键是掌握相关知识.根据题意得：，且，即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，且， 解得：，且， 故答案为：，且． 13. 如图，随机闭合4个开关，，，中的两个开关，能使小灯泡L发光的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用画树状图或列表的方法，得出所有可能出现的结果数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中能使小灯泡L发光的结果有：，共8种， ∴能使小灯泡L发光的概率为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，解题的关键是罗列出所有等可能的情况，做到不重复，不遗漏． 14. 如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，利用矩形的性质和勾股定理可得，进而得，再由得到，即可得，进而可求出的长，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形，， ∴，，， ∵是边的中点， ∴， 在中，，， ∴ 在中，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象刚好经过平行四边形的顶点和边的中点，连接，若，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】连接，作轴于，轴于，由是边的中点，，即可求得，设，，则，，根据，即可得到，解得． 【详解】解：连接，作轴于，轴于， 反比例函数的图象刚好经过平行四边形的顶点和边的中点，， ， ， 设，，则，， ，，，， ， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，明确是解题的关键． 16. 若关于x的一元一次不等式组有且仅有3个偶数解，且关于y的分式方程解为非负数，则所有满足条件的整数m的值之和是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程，先解已知条件中的不等式组，再根据不等式组有且仅有个偶数解，求出的取值范围，然后解已知条件中的分式方程，根据方程解为非负数，求出的值，最后求出同时满足已知条件的的值，求出它们的和即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：， 关于x的一元一次不等式组有且仅有3个偶数解， ∴这3个偶数解为， ， ， 的整数值为6，7，8，9，10，11 解方程， 方程两边同时乘得：， ， ， ∵关于y的分式方程的解为非负数， ，即且即， 且， 综上，m的取值为， ∴符合题意的m的值为8，9，10， 则所有满足条件的整数m的值之和是； 故答案为：27. 17. 如图，为的外接圆，弦，垂足为E，直径交于点G，连接．若，，则点O到的距离为______，的值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，并延长交于点P，则垂直平分，在中，根据勾股定理可得，设半径为r，则，在中，根据勾股定理可得；根据圆周角定理以及等腰三角形的性质可得，从而得到，进而得到四边形是平行四边形，继而得到，然后根据，可得，自跟进，可得，即可求解． 【详解】解：连接，并延长交于点P，则垂直平分， ∵， ∴， 在中，， ∴， 设的半径为r，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 即点O到的距离为； ∵是直径， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； 【点睛】本题主要考查了三角形外接圆和外心、平行四边形的判定、平行线分线段成比例、圆周角定理等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键． 18. 若一个四位数的千位数字比百位数字大1，十位数字比个位数字大2，则称这个四位数是“惊蛰数”，若其千位数字比百位数字大2，十位数字比个位数字大4，则称这个四位数是“谷雨数”，如3220是“惊蛰数”，6495是“谷雨数”，最小的“谷雨数”是_____________；若、分别是“惊蛰数”、“谷雨数”，且它们的个位数字均为2，、各数位上的数字之和分别记为和，若能被10整除．则当取得最小值时的值是_____________． 【答案】 ①. 2040 ②. 【解析】 【分析】本题考查了对题干“谷雨数”与“惊蛰数”概念的理解，以及用代数式表示数字，根据未知数的范围推算最小值，根据题意即可得出最小的“谷雨数”；设“惊蛰数”千位、百位、十位、个位上的数字依次为：，，4，2；“谷雨数”千位、百位、十位、个位上的数字依次为：，，6，2，再结合a，b取值范围和能被10整除，即可得出a，b取值情况，分别计算不同情况下的值，再进行比较，即可解题． 【详解】解：根据题意，最小的“谷雨数”，若千位数字最小，则应为2，百位数字为0，此时十位数字最小为4，个位数字最小为0，则最小的“谷雨数”是2040； 设“惊蛰数”千位、百位、十位、个位上的数字依次为：，，4，2； “谷雨数”千位、百位、十位、个位上的数字依次为：，，6，2， 则， ； ， ； 则， ， ， ， 能被10整除， 为整数， 即是的因数， 由题意可知，，（千位上最大的数字是9）， 当取得最小值时，也就是说最小， ， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 即当时，有，时，最小值为； 当时，有，时，最小值为； 当时，有，时，最小值为； 当时，有，时，最小值为； 当时，，此时只有，满足，有； ∵， 故当，时，有最小值，此时的值为：． 故答案为：． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每小题10分，共78分） 19. 计算 （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法与分式的混合运算； （1）根据单项式乘以单项式，多项式乘以多项式进行计算即可求解； （2）根据分式的混合运算进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 20. 百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取对B款聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 87 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，_________，________； （2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有240人对A款聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 【答案】（1）15；88.5；98 （2）A款，因A款中位数88.5大于B款的87，所以A款好 （3）69人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键； （1）用1分别减去其他三个等级所占百分比可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，根据众数的定义可得c的值； （2）通过比较A，B款的评分统计表的数据解答即可； （3）由A、B两款的不满意的人数之和即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：“满意”所占百分比为， ∴“比较满意”所占百分比为， ∴； ∵A款的评分非常满意有个，“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； ∴把A款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89， ∴， 在B款的评分数据中，96出现的次数最多， ∴； 故答案为： ； 【小问2详解】 解：A款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 因为两款的评分数据的平均数都是88，但A款评分数据的中位数比B款高，所以A款聊天机器人更受用户喜爱． 【小问3详解】 解：B款中“不满意”的有3人，所占百分比为， 估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有（人）． 21. 某数学兴趣小组同学发现，任意一个（三边均不相等），以一边的端点B为顶点在三角形外作角，使其等于这条边另一端点C为顶点的三角形的内角，射线与这条边上的中线的延长线相交于一点E，则以A、B、C、E四个点为顶点的四边形是平行四边形．如图，在中，点D为边上的中点，连接． （1）尺规作图：在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，连接，求证：四边形是平行四边形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵点D为边上的中点， ∴ __________， 在和中， ∴______， ∴_______， ∵ ∴__________． ∴四边形是平行四边形． 小组进一步研究发现，作了上述的相等角之后，当三角形有两边相等时，必然会形成一个特殊的四边形，请根据这个发现完成以下命题： 以等腰三角形底边的一个端点为顶点向外作角，使其等于底角，且与底边上中线的延长线相交于一点，则以该点和三角形的三个顶点为顶点的特殊四边形 ________． 【答案】（1）见详解 （2）；；；；菱形 【解析】 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的尺规作图方法作图即可； （2）证明，得到，再证明，从而得到四边形为平行四边形；当时，四边形是菱形． 【小问1详解】 解：射线为所求，如图， 【小问2详解】 证明：点是的中点， ， 在和中， ， ∴， ， ， 四边形为平行四边形； 以等腰三角形底边的一个端点为顶点向外作角，使其等于底角，且与底边上中线的延长线相交于一点，则以该点和三角形的三个顶点为顶点的特殊四边形是菱形． 理由：，四边形为平行四边形， 四边形是菱形． 故答案为：，，，，菱形． 【点睛】本题考查尺规作图——作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定，关键是掌握作一个角等于已知角的方法． 22. 中华民族的传统节日一端午节将至，甲、乙两家公司为员工购买咸粽和甜粽两种口味的粽子礼盒作为节日福利． （1）已知一盒咸粽比一盒甜粽贵元，甲公司工会统计得出，喜爱咸粽的员工人数是喜爱甜粽的员工人数的倍，甲公司的采购根据员工的口味喜好分别花费元、元 购买咸粽和甜粽，求一盒咸粽和一盒甜粽的价格各为多少元? （2）乙公司由于订购较晚，在（1）的基础上，一盒咸粽和一盒甜粽的价格分别上涨、，乙公司预算不超过元为名员工购买粽子礼盒，则乙公司最多购买多少盒咸粽? 【答案】（1）一盒咸粽的价格为元，一盒甜粽的价格为元 （2）乙公司最多购买盒咸粽 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，解题的关键是根据题意列出等量关系． （1）设一盒甜粽的价格为元，则一盒咸粽的价格为元，根据“爱咸粽的员工人数是喜爱甜粽的员工人数的倍”，列出分式方程即可求解； （2）设乙公司购买盒咸粽，则购买盒甜粽，根据题意列出不等式即可求解． 【小问1详解】 解：设一盒甜粽的价格为元，则一盒咸粽的价格为元， 解得：， 经检验， 是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：一盒咸粽的价格为元，则一盒甜粽的价格为元； 【小问2详解】 设乙公司购买盒咸粽，则购买盒甜粽， 根据题意得：， 解得：， 答：乙公司最多购买盒咸粽． 23. 小王在学习中遇到了这样一个问题：如图1，在菱形中，对角线，，点P是线段上的动点，E是的中点，连接，当是等腰三角形时，求线段的长度．小王分析发现，此问题可以用函数思想解决，于是尝试结合学习函数的经验探究此问题．请将下面的探究过程补充完整：根据点P任上的不同位置，画出相应的图形，测量线段的长度，得到下表的几组对应值． 0 1 2 3 4 5 6 7 8 （1）m的值是_________，的值是_________； （2）将线段的长度作为自变量的长度都是关于x的函数，分别记为，并在平面直角坐标系中画出了的函数图象，如图2所示，请在同一平面直角坐标系中描点，并画出的函数图象．求出，的表达式． （3）根据图象，在点P从A移动到C的过程中，当是等腰三角形时，的长为________．（结果精确到，误差不超过） 【答案】（1）； （2）图见详解；； （3）或 【解析】 【分析】（1）设与交点为，根据菱形的性质可得，，勾股定理得到的值，当时，点与对角线和的交点重合，为直角三角形，为的中点，得到，即；再观察表格可得和的规律，即可得值． （2）以表中每一对，和，的值作为点的坐标，在同一平面直角坐标系中描点，而后用平滑是曲线顺次连接各点，得到，函数的图象；过点作的垂线，垂足为，先证明，可得，，即，，根据勾股定理可得 （3）根据题意当是等腰三角形时，需分以下两种情况进行讨论：①当时．点和点重合，或点和点重合，根据直角三角形斜边上的中线性质，即可求得即②当时，由（2）可令，解得，故线段的长度约为或． 【小问1详解】 解：设与交点为， ∵在菱形中，对角线，， ∴， ∴． 当时，点与对角线和的交点重合， ∴此时为直角三角形． ∵为的中点， ∴， 即； 观察表格可得，当时，； 当和时，； 当和时，； 当和时，； 综上可得，当和时，的值相等，即； 故答案为，； 【小问2详解】 解：画出的，的函数图象如解图所示． 过点作的垂线，垂足为，如图： ∵， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， 即，， ∵， ∴， ∴ 【小问3详解】 解：由题意，可知当是等腰三角形时，需分以下两种情况进行讨论： ①当时，则点和点重合，或点和点重合， ∴， 观察图象，可知或（舍去）． ②当时，由（2）可得， 即 解得 ∴的长约为（或观察图象可得）， 综上，线段的长度约为或 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，菱形的性质和判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，等腰三角形，图象法表格法表示函数，熟练掌握以上知识是解题的关键． 24. 重庆南川金佛山因其优美的自然风光、独特的地形地貌吸引了众多游客．甲乙两名游客选择两种不同的方式游览景区，如图，甲从山脚处乘坐缆车到达景点处，同时乙开车从山脚处前行到达处，此时遇一斜坡，坡度，沿着斜坡前行到达停车场处，停车后，再跑步到达景点处（汽车行驶在平路和上坡的速度相等，停车时间忽略不计）．甲在处观测景点的仰角为，乙在处观测景点的仰角为． （1）求景点的高度；（结果精确到） （2）甲乘坐缆车速度为，乙的车速为，乙的跑步速度为，谁先到达景点？ （参考数据：，，，，） 【答案】（1）； （2）乙先到达景点． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定及性质，平行线的性质，解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）过点作，于，，延长交于点，在中，由，得，，进而得，，再证明，得， ，，设，进而，在中，由，构造方程求解即可； （2）利用解直角三角形分别求出及，进而求得甲、乙的运动时间，从而比较即可得解． 【小问1详解】 解：如图，过点作，于，，延长交于点， ∵在中，由， ∴，， ∴，， ∵为的边上的高， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ∴，，设， ∴， 在中，，即， 解得，经检验是原方程的解， ∴； 【小问2详解】 解：由（）得，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴乙先到达景点． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，，与轴交于点，连接、． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点是直线上一动点，点是直线下方抛物线上的一动点，过点作，过点作交轴于点，当取得最大值时，求的最小值； （3）如图2，在（2）的条件下，连接交于点，点为原抛物线的顶点，连接，将原抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，在新抛物线上存在一点，使＝，写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2） （3）1、、，过程见解析 【解析】 【分析】（1）结合待定系数法代入点坐标，解方程组即可得到答案； （2）作，由，，可知道，，由，不妨设，那么，，所以，当与相切时，取最大值，联立与，时可算得的表达式，点的坐标，进而得出当在上时，，即可计算出的最小值； （3）先计算点坐标，点坐标以及的顶点坐标，计算出的长度，推出将原抛物线沿射线方向平移个单位时，即是将原抛物线沿水平方向向左移动了2个单位，向下移动了个单位，从而得到的表达式，作轴交于点，证明是线段的垂直平分线，然后根据垂直平分线的性质，推出，结合，，推出，①当点在直线上时，联立直线和抛物线，解得横坐标，②作的垂直平分线交于,作交于点，那么，，先通过求得点坐标，然后求出直线的表达式，然后求出的表达式，最后联立直线和计算出的横坐标． 小问1详解】 过， ， 【小问2详解】 作于点，如图所示 ， ， 将代入， 不妨设，那么 设直线为，代入， 直线为 设直线为 当与只有一个公共点时，取最大值， 联立与， ，可化简为 当时，即，直线与相切 那么直线为 当代入，解得， 将代入，得到 点坐标为 当代入，那么 点坐标为 ∴取得最大值6时，点点坐标为； 如图所示，过点作轴于点， ∵， ∴ 当在上时， ∴的最小值为， ∵点坐标为； ∴ ∴最小值为 【小问3详解】 将代入，记得， ， ， ， ，是该抛物线的顶点 点坐标为 作交于点 ， 那么当原抛物线沿射线方向平移个单位时， 即是将原抛物线沿水平方向向左移动了个单位，向下移动了个单位， ， 新抛物线 作轴交于点，连接， 点坐标为 是线段的垂直平分线 ， ， ， ， ，即 设直线为，代入， 直线为 ①当点在直线上时，联立直线和抛物线 ，整理得 当点在直线上，横坐标为1； ②作的垂直平分线交于,连接，作交于点 那么， 不妨设 ，， 点坐标为 设直线为，代入， 直线为 设直线的表达式为，代入点 直线的表达式为 联立直线和抛物线 解得， 此时点的横坐标是或 综上所述，点横坐标可以是1，，． 故答案为：1或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合，包括待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的平移，一元二次方程根与判别式的关系，垂直平分线的性质，一次函数的平移，三角形外角的性质，平行线的性质，解直角三角形，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点，根据题意作出合适的辅助线是解题的关键． 26. 在等腰中，，点在延长线上，以为边，在上方作任意，连接交于点． （1）如图1，若，点为中点，，，求的长； （2）如图2，点在的延长线上，连接，若，，，求证：； （3）如图3，，，点是平面内直线下方一动点，始终满足．点为直线上一点，连接，满足，延长至点，使得．点为直线上一点，连接，将沿翻折至所在平面内得到，连接、，当最小时，直接写出的面积． 【答案】（1） （2）证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）先证得，从而得出，从而得出，进而得出结果． （2）在上截取，可证得，从而得出，从而得出，从而得出，进而得出，从而，进而得出． （3）点在过点且与垂直的射线上运动，作的外接圆，可得出点在上运动，作，截取，可得出点在以为圆心，为半径的圆上运动，作交于，则最小，作于，可求得和的长，进而得出和的长，从而得出的长，进而得出及的长，进而得出的长，进一步得出和的长，进一步得出结果． 【小问1详解】 解：， ，， 又点为中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：在上截取，如图， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图： ∵沿翻折至所在平面内得到， ∴， ∴点在过点且与垂直的射线上运动， 作的外接圆， ∵，， ∴点在上运动， 作，截取， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， 作交于， 则最小， 作于， ∴， ∴， 设交于，交于，作于，作于，作于， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，确定圆的条件，解直角三角形等知识，解决问题的关键是较强的计算能力． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $