精品解析：湖北省十堰市郧阳区第二中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题

2024-2025年度上学期高三12月 上学期迎一诊模拟测试试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出不等式的解集，再利用交集的运算法则求解. 【详解】由已知得，， 即 故选：. 2. 甲、乙、丙三人进入某比赛的决赛，若该比赛的冠军只有1人，则“甲是冠军”是“乙不是冠军”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义直接判断即得. 【详解】若甲是冠军，则乙不是冠军；若乙不是冠军，则甲是冠军或丙是冠军， 所以“甲是冠军”是“乙不是冠军”的充分不必要条件. 故选：B 3. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数、和的单调性可依次得、和，进而得解. 【详解】因为是上的增函数， 所以，即， 又因为是增函数，所以， 又是上的增函数， 所以，即， 综上所述，a，b，c的大小关系为. 故选：A. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】使用和（差）角的余弦公式与切割化弦方法，转化为的运算即可求解 【详解】解：因为，， 所以 解得， 所以. 故选：A 5. 设均为非零向量，且，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量垂直可求得，利用向量夹角公式可求得结果. 【详解】由得：，， ，又，. 故选：C. 6. 已知曲线，在点处的切线与直线垂直，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数求出曲线在点处的切线斜率，再根据两条互相垂直的直线斜率之积等于算出即可. 【详解】，则， 则，曲线在点处的切线与直线垂直， 所以，解得. 故选：C 7. 已知函数在上单调递减，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数在每一段递减，且在分段处函数值的大小关系符合单调递减列出不等式求解. 【详解】在上单调递减， 所以 ， 解得 ，即， 所以则a的取值范围为， 故选： . 8. 已知长方体，是棱的中点，平面将长方体分割成两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可知平面将长方体分割成的体积较小部分为三棱台，利用台体体积公式计算即可得出答. 【详解】取的中点为，连接，如下图所示： 由长方体性质可得，因此平面即为平面， 根据长方体性质，由相似比可知交于同一点， 所以长方体被平面割成的体积较小部分为三棱台， 设长方体的各棱长为，因此长方体的体积为； 再由棱台体积公式可得 ， 可得较大部分的体积为； 因此体积较小部分与体积较大部分的体积之比为. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 在复平面内对应的点位于第一象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的乘除运算化简复数，依据复数的相关概念依次判断各个选项. 【详解】因为， 所以，所以，故A正确，B错误； 因为，所以，故C正确. 因为，所以在复平面内对应的点为，位于第一象限，故D正确． 故选：ACD. 10. 已知实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为9 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据对数的性质及运算法则得到，再利用基本不等式即可验证各选项是否正确. 【详解】由对数的性质及运算法则可知：，且， 所以：. 对于选项A：由，得：， 所以， 当，即时，取“”，所以选项A正确； 对于选项B：，所以， 当，即时取“”，所以的最大值为，所以选项B错误； 对于选项C：因为， 由选项B的解题中可知：，所以， 所以，所以选项C正确； 对于选项D：因为 ，即 当，即时，取“”， 所以，故选项D正确. 故选A,C,D. 11. 已知定义在上的函数满足，且函数为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的一个周期是4 B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 的图象关于点中心对称 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：根据周期性的定义分析判断；对于BC：根据题意结合奇偶性的定义分析判断；对于D：根据偶函数的定值结合周期性分析判断. 【详解】对于A：由知， 所以是周期为4的周期函数，故A正确； 对于BC：因为，所以， 由为奇函数，得， 即，所以的图象关于点中心对称． 则，因此，即， 且的定义域为，故是偶函数，不一定是奇函数，故B错误，C正确； 对于D：因为是偶函数，即图象的一个对称轴是， 且是周期为4的周期函数，所以的图象对称轴是，不一定关于点对称，故D错误， 故选：AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式的展开式，写出通项，结合题意确定值即可求解. 【详解】由题意得：， 令，则，解得. 故答案为： 13. 表示不超过的最大整数，比如，，...，已知等差数列的通项公式，其前项和为，则使成立的最大整数为________. 【答案】63 【解析】 【分析】运用公式先求出，再进行适当放缩，取整，求和，解不等式即可. 【详解】， ， ，， 即， ，时，； 时，. 故的最大值为63. 故答案为：63. 14. 将六名志愿者分配到四个场所做志愿活动，其中场所至少分配两名志愿者，其他三个场所各至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有__________种．（用数字作答） 【答案】660 【解析】 【分析】根据题意，分情况讨论每个场所分配人数即可求解. 【详解】第一类：A场所2人，B，C，D其中一场所2人，共有种； 第二类：A场所3人，，C，D每个场所1人，共有种； 则不同的分配方案共有种． 故答案为：660. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且 （1）求角的大小； （2）设是边AC上一点，BD为角平分线且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和诱导公式化简已知式可得，分类讨论和即可得出答案； （2）由角平分线定理可得，再由正弦定理可得，结合同角三角函数的基本关系可求出的值. 【小问1详解】 因为，在中，， 所以 在中，由正弦定理得： 又，，所以，即， 又，所以，所以， 所以，因为，所以，即. 【小问2详解】 因为，是角平分线，即， 因为，所以， 由正弦定理可知，所以， 所以，整理可得， 即，又因为，且， 即，解得. 16. 如图，三棱锥中，底面ABC，且，，D为PC的中点，G在线段PB上，且． （1）证明：； （2）若BG的中点为H，求平面ADG与平面ADH夹角的余弦值． 【答案】（1）证明:由于平面ABC，并且平面ABC， 因此， 由于，且，平面PAC，并且， 因此平面PAC， 又由于平面PAC，因此， 由于，且D为PC的中点， 因此， 又由于，且，平面PBC， 因此平面PBC， 由于平面PBC，因此． （2）． 【解析】 【分析】（1）先证平面PBC，再根据线面垂直的定义证明线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，用空间向量求面面角的大小． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 根据题意可知，以点A为原点，以过点A且平行于BC的直线为x轴，AC，AP所在的直线分别为y轴和z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 可得，，，，， 所以， 由于G在线段PB上，令，且， 那么， 由于，所以，解得， 因此，， 所以，，， 设平面ADH的法向量为，那么， 令，则，，所以， 设平面ADG的法向量为，那么， 令，则，，因此， 设平面ADG与平面ADH的夹角为， 所以， 故平面ADG与平面ADH夹角的余弦值为． 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，，证明：； （3）若，恒有，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）证明：， 时，是递增函数，因此，， 又，所以，在上递减， ， 因为，所以， 从而； （3）． 【解析】 【分析】（1）直接求出导函数，计算和，由点斜式得直线方程并整理为一般式； （2）在题设条件下证明，是减函数，，再证明即得证； （3）时，由说明递减，不等式不可能恒成立，时，由（2）得出时，，的大于1的根记为（是地，），证明时，，时，，由确定的单调性，，时，由完成证明，时，由确定．综合后得出结论． 【小问1详解】 时，， ， ，又， 所以切线方程为，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，， 当时，，在上是减函数， 当时，，因此不可能恒成立， 时，由得， 记，， 则有两个实根，一根小于1，一根大于1， 大于1的根为，易知它是关于的减函数， 注意到在上是增函数，且， 即时，，时，， 所以时，，递减，时，，递增， 所以， 时，，此时， 记，在上递减，在上递增，且， 因此 当时，，， 当时，，， 综上，时，恒成立 所以的取值范围是． 【点睛】难点点睛：本题考查用导数求切线方程，研究不等式恒成立问题，难度较大．第（3）小题的求解，一般由完成，但本题中，难点一是确定函数值是何时取得的，结合（2）的求解，得出时，，难点二是在分类讨论和的结论时需要用两种不同的思路，时，最小值作为的函数是递增的，得出，然后由的单调性得证，时，先由的单调性得出． 18. 2023年第31届大学生夏季运动会在成都举行，中国运动员在赛场上挑战自我，突破极限，以拼搏的姿态，展竞技之美，攀体育高峰．最终，中国代表团以103枚金牌､40枚银牌､35枚铜牌，总计178放奖牌的成绩，位列金牌榜和奖牌榜双第一，引发了大学生积极进行体育锻炼的热情．已知甲､乙两名大学生每天上午､下午都进行体育锻炼，近50天选择体育锻炼项目情况统计如下： 体育锻炼目的情况 （上午，下午） （足球，足球） （足球，羽毛球） （羽毛球，足球） （羽毛球，羽毛球） 甲 20天 10天 乙 10天 10天 5天 25天 假设甲､乙上午､下午选择锻炼的项目相互独立，用频率估计概率． （1）已知甲上午选择足球的条件下，下午仍选择足球的概率为，请将表格内容补充完整；（写出计算过程） （2）记为甲､乙在一天中选择体育锻炼项目的个数差，求的分布列和数学期望； （3）在（1）的前提下，已知在这50天中上午室外温度在20度以下的概率为，并且当上午的室外温度低于20度时，甲去打羽毛球的概率为，若已知某天上午甲去打羽毛球，求这一天上午室外温度在20度以下的概率． 【答案】（1）的分布列为 （2）的分布列为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件概率的计算公式得到甲一天中假炼情况为（足球，羽毛球）的天数，从而可补充表格内容. （2）先用古典概型计算公式分别计算甲、乙上午、下午选择同一种球和两种球的概率，再确定的取值，根据每个值对应的含义，求得每个值对应的概率，即可得分布列，进而求得期望； （3）利用条件概率的计算公式即可求解. 【小问1详解】 设事件C为“甲上午选择足球”，事件为“甲下午选择足球”， 设甲一天中假炼情况为（足球，羽毛球）的天数为， 则，解得， 所以甲一天中锻炼情况为（羽毛球，足球）的天数为． 体育锻炼项目的情况（上午，下午） （足球，足球） （足球，羽毛球） （羽毛球，足球） （羽毛球，羽毛球） 甲 20天 15天 5天 10天 10天 10天 5天 25天 【小问2详解】由题意知，甲上午､下午选择同一种球的概率为，选择两种球的概率为； 乙上午､下午选择同一种球的概率为，选择两种球的概率为． 记为甲､乙在一天中选择体育锻炼项目的个数差，则的所有可能取值为， ． ， ， 所以的分布列为 所以． 【小问3详解】 记事件为“上午室外温度在20度以下”，事件为“甲上午打羽毛球”， 由题意知， . 故若某天上午甲去打羽毛球，则这一天上午室外温度在20度以下的概率为． 【点睛】本题考查概率与分布列问题，从素养上体现对学生的逻辑推理､数学建模素养的考查，考查学生的运算求解能力． 19. 已知抛物线，过点的直线与交于两点，当直线与轴垂直时，（其中为坐标原点）. （1）求的准线方程； （2）若点在第一象限，直线的倾斜角为锐角，过点作的切线与轴交于点，连接交于另一点为，直线与轴交于点，求与面积之比的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入抛物线，结合为等腰直角三角形求参数，即可得抛物线方程，进而写出准线方程； （2）设，直线，联立抛物线求坐标，导数几何意义求直线方程，依次求出坐标，进而求与面积，利用基本不等式求面积比最值. 【小问1详解】 将代入，则， 由，故为等腰直角三角形，故，即， 所以，故准线方程为. 【小问2详解】 设，直线，联立抛物线得， 所以，则，故， 由，则，故，直线， 令，则，故， 设直线，联立抛物线得， 所以，则，故， 综上，直线，令，则，故， 由直线的倾斜角为锐角，故，则，， 所以，令，则， 则，仅当，即时等号成立， 所以与面积之比的最大值. 【点睛】关键点点睛：第二问，设及直线方程并联立抛物线依次求出坐标，注意参数范围，最后应用换元、基本不等式求面积比最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025年度上学期高三12月 上学期迎一诊模拟测试试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 甲、乙、丙三人进入某比赛的决赛，若该比赛的冠军只有1人，则“甲是冠军”是“乙不是冠军”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 设均为非零向量，且，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 已知曲线，在点处的切线与直线垂直，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 7. 已知函数在上单调递减，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知长方体，是棱的中点，平面将长方体分割成两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 在复平面内对应的点位于第一象限 10. 已知实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为9 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 已知定义在上的函数满足，且函数为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的一个周期是4 B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 的图象关于点中心对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为，则________. 13. 表示不超过的最大整数，比如，，...，已知等差数列的通项公式，其前项和为，则使成立的最大整数为________. 14. 将六名志愿者分配到四个场所做志愿活动，其中场所至少分配两名志愿者，其他三个场所各至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有__________种．（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且 （1）求角的大小； （2）设是边AC上一点，BD为角平分线且，求的值. 16. 如图，三棱锥中，底面ABC，且，，D为PC的中点，G在线段PB上，且． （1）证明：； （2）若BG的中点为H，求平面ADG与平面ADH夹角的余弦值． 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，，证明：； （3）若，恒有，求实数的取值范围. 18. 2023年第31届大学生夏季运动会在成都举行，中国运动员在赛场上挑战自我，突破极限，以拼搏的姿态，展竞技之美，攀体育高峰．最终，中国代表团以103枚金牌､40枚银牌､35枚铜牌，总计178放奖牌的成绩，位列金牌榜和奖牌榜双第一，引发了大学生积极进行体育锻炼的热情．已知甲､乙两名大学生每天上午､下午都进行体育锻炼，近50天选择体育锻炼项目情况统计如下： 体育锻炼目的情况 （上午，下午） （足球，足球） （足球，羽毛球） （羽毛球，足球） （羽毛球，羽毛球） 甲 20天 10天 乙 10天 10天 5天 25天 假设甲､乙上午､下午选择锻炼的项目相互独立，用频率估计概率． （1）已知甲上午选择足球的条件下，下午仍选择足球的概率为，请将表格内容补充完整；（写出计算过程） （2）记为甲､乙在一天中选择体育锻炼项目的个数差，求的分布列和数学期望； （3）在（1）的前提下，已知在这50天中上午室外温度在20度以下的概率为，并且当上午的室外温度低于20度时，甲去打羽毛球的概率为，若已知某天上午甲去打羽毛球，求这一天上午室外温度在20度以下的概率． 19. 已知抛物线，过点的直线与交于两点，当直线与轴垂直时，（其中为坐标原点）. （1）求的准线方程； （2）若点在第一象限，直线的倾斜角为锐角，过点作的切线与轴交于点，连接交于另一点为，直线与轴交于点，求与面积之比的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $