专题05 椭圆性质及离心率归类（13大巩固提升练+能力提升练+高考真题练）-【寒假分层作业】2025年高二数学寒假培优练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题05椭圆性质及离心率归类 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 题型一：椭圆第一定义 题型二：椭圆第三定义 题型三：焦点三角形 题型四：离心率 题型五：通径型求离心率 题型六：第一定义型求离心率 题型七：焦点三角形顶角型求离心率 题型八：第三定义与中点弦型求离心率 题型九：焦点三角形双角度求离心率 题型十：焦点三角形双余弦定理型求离心率 题型十一：焦点弦定比分点型求离心率 题型十二：椭圆与圆 题型十三：综合法求离心率 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 高考真题练 巩固提升练 题型01 椭圆第一定义 ⭐技巧积累与运用 椭圆的定义需要强调的 1.轨迹在平面内，如果是空间中，则得到的是椭球； 2.定义中的常数（距离之和）要大于，否则轨迹不是椭圆． 3.椭圆的标准方程，焦点一定在坐标轴上，且两个焦点连线的中点一定是原 点，至于焦点在哪个坐标轴上，需要比较中的大小． 1．点P是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆方程求出，由椭圆的定义可求出，然后利用等面积法可求出P点的纵坐标. 【详解】由，得， 所以， 所以， 设的内切圆半径为， 因为 所以，得. 故选：B 2．下列是真命题的是（    ） A．已知定点，则满足的点的轨迹为椭圆 B．已知定点，则满足的点的轨迹为线段 C．到定点距离相等的点的轨迹为椭圆 D．若点到定点的距离的和等于点到定点的距离的和，则点的轨迹为椭圆 【答案】BD 【分析】根据椭圆定义可依次判断各个选项. 【详解】对于A，，根据椭圆定义，点的轨迹不存在，故A错误； 对于B，点的轨迹为线段，故B正确； 对于C，到定点距离相等的点的轨迹为线段的垂直平分线，故错误； 对于D，到定点的距离的和为， 所以点的轨迹为椭圆，故D正确． 故选：BD. 3．已知为椭圆上一点，，分别为上动点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义及圆的性质求解即得. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 由在椭圆上，得，解得，， 则椭圆的焦点，， 因此， 当且仅当分别为线段的延长线与圆的交点， 所以的最大值为. 故答案为： 题型02 椭圆第三定义 ⭐技巧积累与运用 椭圆 1.A,B是椭圆C:+＝1 (a>0，b>0)上两点，M为A,B中点，则（可用点差法快速证明） 结论拓展 已知直线：与椭圆相交于，两点，为的中点，为坐标原点，则. 如果是焦点在y轴上，则是 1．已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为1的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，利用点差法可得的关系，从而可求得，即可的解. 【详解】设，则， 由已知有，， 作差得， 则， 所以，解得， 则的方程为. 故选：D． 2．直角坐标系中椭圆的中心为原点，焦点在坐标轴上，点，均在椭圆上，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．直线：与椭圆相交 C．椭圆的短轴长为2 D．椭圆上两点中点坐标为，则直线的斜率 【答案】BCD 【分析】A选项，利用待定系数法求椭圆方程，然后求离心率；B选项，根据直线恒过定点，点在椭圆内得到直线与椭圆相交；C选项，根据椭圆方程求短轴长；D选项，利用点差法求斜率. 【详解】设椭圆方程为，，且， 则，解得， 所以椭圆方程为， 所以，，，，故A错； 直线的方程可整理为，令，解得， 所以直线恒过定点， 因为，所以点在椭圆内， 所以直线与椭圆相交，故B正确； ，所以短轴长为2，故C正确； 设，，则，， 两式相减得， 因为中点为，所以，， 所以，整理得，故D正确. 故选：BCD. 3．若椭圆的中心在原点，焦点在轴，一个焦点为，直线与椭圆相交所得弦的中点坐标为，则这个椭圆的方程为 . 【答案】 【分析】设椭圆的方程为，联立方程组，得到，根据题意，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】因为椭圆的一个焦点为，可得，则， 可设椭圆的方程为， 设直线与椭圆相交所得弦的端点为， 因为相交所得弦的中点坐标为，所以， 联立方程组，整理得， 易得，则，可得，解得， 所以椭圆的方程为. 故答案为：. 题型03焦点三角形 ⭐技巧积累与运用 1. 第一定义的理解基础实质是焦点三角形。 2. 焦点三角形的外在表现形式大多是求离心率. 3. 适当的引入焦半径知识： ； 4. 焦点三角形的面积公式：. 1．已知曲线的方程为：，点，的坐标分别为，，过点的直线交曲线于，两点，且，，三点不共线，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设曲线上任意一点为，由题知关于的方程满足椭圆的定义，得到曲线的轨迹是椭圆，再根据椭圆的定义得到，两点到焦点的距离之和为，进而求出三角形的周长. 【详解】， ， 设曲线上任意一点为， ，，则， 则， 曲线的轨迹是以，为焦点且长轴长为的椭圆， ，在椭圆上， ，， 所以的周长为. 故选：D. 2．已知椭圆，A，B为左右两个顶点，，为左右两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，则（    ）． A． B．的范围是 C．若直线l过点与椭圆交于M，N，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据斜率公式即可化简求解A； 根据椭圆定义，结合二次函数的性质即可求解B； 根据点到直线的距离公式即可求解C； 根据向量的模长公式，结合余弦定理即可求解D. 【详解】对于A，设，则， 故A正确， 对于B，由于又，即， 所以， 故当时，取最大值9，当或时，取最小值6，故B错误， 对于C，设方程为，所以，其中为到直线的距离，故C正确， 对于D，由余弦定理可得, 因此， 又， ，故， 故选：ACD 3．已知椭圆的左，右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线与椭圆交于两点，分别交轴于两点，的周长为6，过作外角平分线的垂线与直线交于点，则 . 【答案】/ 【分析】根据椭圆的定义可得的周长为4a，结合的周长可求出a的值，再根据外角平分线性质求出，由勾股定理即可求得答案. 【详解】由题意知过点且垂直于轴的直线与椭圆交于两点， 则, 故的周长为， 由于，且O是的中点，O在上，则为的中位线， 则的周长为周长的一半，而的周长为6， 即，则椭圆方程为， 则, 设外角平分线为，又过作外角平分线的垂线与直线交于点， 故，则， 故， 故答案为： 题型04 离心率 ⭐技巧积累与运用 椭圆离心率： 1.e＝＝ e∈(0,1) 2.椭圆扁平程度：因为e＝＝＝＝，所以e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆 1．椭圆的离心率（）大小决定该椭圆的圆扁程度（离心率趋于0椭圆越圆，离心率越趋于1椭圆越扁），则四个椭圆的形状中，最接近于圆的椭圆是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出各选项中椭圆的离心率即可判断得解. 【详解】椭圆的离心率，椭圆的离心率， 椭圆的离心率，椭圆的离心率， 显然，所以最接近于圆的椭圆是，B正确. 故选：B 2．下列结论正确的是（    ） A．平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆. B．椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆. C．方程（，，）表示的曲线是椭圆. D．（）与（）的焦距相同. 【答案】CD 【分析】根据椭圆的标准方程、定义、性质即可得到答案. 【详解】对A，要使“平面内与两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆”， 还需要这个常数大于两个定点的距离，所以A错误. 对B，离心率越小，这时就越接近于，椭圆就越圆，故B错误； 对C，方程（，，）可化为， 且由，，有或，即是焦点在轴或焦点在轴的椭圆的标准方程， 故方程（，，）表示的曲线是椭圆，选项C正确； 对D，由题意得两个椭圆的焦距均为，故D正确； 故选：CD. 3.若椭圆的方程为，半焦距为，则焦距与长轴长的比叫作椭圆的离心率，记为. （1） ； （2）趋向于1时，椭圆越 ；趋向于0时，椭圆越 ； 【答案】 扁 圆 【分析】略 【详解】略 题型05 通径型求离心率 ⭐技巧积累与运用 椭圆通径： 通径：|AC|＝ (椭圆、双曲线通用)； 1．过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义、离心率的公式以及正弦定理求得正确答案. 【详解】依题意，轴，， 所以. 故选：A 2．已知椭圆，直线与椭圆交于两点，过作轴的垂线，垂足为，直线交椭圆于另一点，则下列说法正确的是（    ） A．若为椭圆的一个焦点，则的周长为 B．若，则的面积为 C．直线的斜率为 D． 【答案】BCD 【分析】根据椭圆对称性取左焦点，，进而得，再计算周长判断A；联立方程解坐标，求面积判断B；设，则，再求斜率判断C；设，再根据，得，进而判断D. 【详解】对于，如图，由对称性，不妨设为椭圆的左焦点，则，故易得，则，则，过点作的垂线，垂足为，连接，由于，故四边形是平行四边形，所以，所以的周长为，故错误； 对于，由解得，不妨设，，则，所以，故B正确； 对于C，设，则，所以，，故C正确； 对于，设，则， 又点和点在椭圆上，①，②，①一②得， 因为，则，得，所以，故D正确. 故选：BCD. 3．已知椭圆的左顶点为，左焦点为F，过作轴的垂线在轴上方交椭圆于点B，若直线的斜率为，则该椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】 根据椭圆的性质，结合直线的斜率求解即可； 【详解】   由题意知，， 令，解得：，所以， ， 结合椭圆的性质，， 代入得：， 两边同时除以得：， 又因为， 解得：. 故答案为：. 题型06 第一定义型求离心率 ⭐技巧积累与运用 第一定义思维 1.椭圆第一定义： 2.一般情况下，见到与一个焦点有关的长度，则利用第一定义转化为与另一个焦点的距离。 1．已知为坐标原点，是椭圆上位于轴上方的点，为右焦点.延长、交椭圆于、两点，，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设椭圆的左焦点为，连接、、，推导出四边形为矩形，设，在中，利用勾股定理可解得，然后在中，利用勾股定理可求得椭圆的离心率的值. 【详解】解：如图，设椭圆的左焦点为，连接、、， 由题意可知，、关于原点对称，且为的中点， 所以四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为矩形. 因为，设，， 则，， 所以，， 在中，，即， 解得，或（舍去），所以，，， 在中，由勾股定理可得，即， 整理可得，解得. 故选：C. 2．已知，，，是坐标平面上的两个动点，为正常数，设满足的点的轨迹为曲线，满足的点的轨迹为曲线，则（    ） A．关于轴、轴均对称 B．当点不在轴上时， C．当时，点的纵坐标的最大值大于1 D．当，有公共点时， 【答案】ACD 【分析】对于A，写出轨迹方程，将，代入即可判断，对于B，由三角形两边之差小于第三边即可判断，对于C，通过即可判断，对于D，联立方程，得到，结合椭圆范围可判断. 【详解】设，由，得， 将代入得到， 将将代入得到， 所以关于轴、轴均对称，A正确； 当不在轴上时，与不共线，可以作为一个三角形的三个顶点， 所以，B错误； 当时，， 当时，可得：， 解得：，此时， 即，故当时，点的纵坐标的最大值大于1，C正确； 由，得为椭圆，易得方程为， 所以，代入， 得， 所以，因为，所以， 解得：或舍去，D正确； 故选：ACD 【点睛】方法点睛：曲线关于轴、轴的对称对称性问题，可将，代入曲线方程，是否满足即可判断. 3．已知椭圆的左顶点和上顶点分别为，.左、右焦点分别是，，在线段上有且只有一个点满足，则椭圆的离心率的平方为 . 【答案】 【分析】根据点的轨迹，结合直线与圆相切，利用点到直线的距离公式，即可列方程求解． 【详解】由于 由直线的方程为，整理得， 由于，则在以为直径的圆上，故 由于在线段上有且只有一个点满足，故直线与圆相切， 可得，两边平方，整理得， 两边同时除以，由，， ，又椭圆的离心率，． 椭圆的离心率的平方， 故答案为： 题型07 焦点三角形顶角型求离心率 ⭐技巧积累与运用 椭圆焦点三角形性质： 焦点△F1AF2周长C△F1AF2＝2a＋2c、 面积S△F1AF2＝b2·tan ； 1．已知椭圆的左右焦点分别为为坐标原点，A为椭圆上一点，，连接轴于M点，若，则该椭圆的离心率为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设AF1＝m，AF2＝n．如图所示，Rt△AF1F2∽Rt△OMF2，可得．可得m+n＝2a，m2+n2＝4c2，n＝3m．化简解出即可得出． 【详解】设AF1＝m，AF2＝n． 如图所示，由题意可得：Rt△AF1F2∽Rt△OMF2， ∴． 则m+n＝2a，m2+n2＝4c2，n＝3m． 化为：m2，n2＝9m2＝6b2． ∴6b2＝4c2． ∴c2， 化为：． 故选D． 【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 2．已知椭圆：，是该椭圆在第一象限内的点，，分别为椭圆的左右焦点，的角平分线交轴于点，且满足，则该椭圆的离心率可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】利用角平分线定理，结合椭圆的定义可求得，再利用余弦定理结合三角函数的有界性列不等式求出离心率的范围，进而可得结果, 【详解】，可得，所以， 是的平分线，， 又，， ， ，可得， 故都有可能， 故选：BCD. 【点睛】求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的方程或不等式，从而求出的值或范围. 3．已知是双曲线：的右焦点，点在上，为坐标原点，若，，则的离心率为 . 【答案】 【分析】设P的坐标，求出，的坐标，由∠POF＝，所以cos∠POF＝＝＝，求出P的横坐标，代入x02+y02＝4b2进而求出纵坐标，再将P坐标代入双曲线的方程可得a，b的关系，由a，b，c之间的关系求出离心率. 【详解】解：设P（x0，y0）由题意可得x0＞0，设y0＞0， ＝（x0，y0），由题意|OP|＝2b，可得x02+y02＝4b2，＝（c，0）， 由∠POF＝，所以cos∠POF＝＝＝，可得x0＝b， y02＝3b2，y0＞0，将P点的坐标代入双曲线的方程可得：﹣3＝1，所以b2＝4a2， 所以双曲线的离心率e＝＝＝， 故答案为：. 【点睛】本题考查双曲线的性质，及数量积的应用，属于中档题. 题型08 第三定义与中点弦型求离心率 ⭐技巧积累与运用 第三定义，又叫中点弦定理 1.AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则. 2.AB是椭圆的关于原点对称的两点，P椭圆上异于A、B的任一点，若斜率存在， 1．设分别为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在点P，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意设坐标，根据结合椭圆方程求出，代入离心率公式求解即可. 【详解】设，，，则、， 所以，因为，所以， 由点P在椭圆上可得，则， 解得，所以， 故选：C. 2．已知椭圆的左右焦点分别为，左右顶点分别为，点是椭圆上的一个动点（异于两点），且直线的斜率均存在，则（    ） A．当的最大角为时，椭圆的离心率为 B．当时，的面积为 C．直线的斜率之积一定大于直线的斜率之积 D． 【答案】ABD 【分析】对于A，由顶点与角的关系直接判断即可；对于B，利用等体积法求得，从而得解；对于C，直接求出，，利用作差法即可判断；对于D，直接求出，从而得以判断. 【详解】对于A，当取最大时，顶点为上下顶点， 此时，故A正确； 对于B，当时， 由，得， 所以的面积为，又， 所以点的纵坐标为，则的面积为，故B正确； 对于C，设，又， 则，， 所以， 而与的大小不定，故上式正负不定，故C错误； 对于D，因为， 所以，又， 所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题B选项解决的关键是利用椭圆的定义与勾股定理求得，从而利用面积相等得到，由此得解. 3．设椭圆与直线相交于，两点，若在椭圆上存在点，使得直线，的斜率之积为，则椭圆的离心率为 ． 【答案】 【分析】本题可以先将三点坐标设出，然后写出直线的斜率，再利用直线的斜率之积为求出它们之间的关系，最后再利用两点在圆上解得，两式联立，得出结果． 【详解】椭圆的焦点在轴上，设， 则直线，的斜率分别为， 因为直线的斜率之积为，所以，即， 因为是椭圆上的点，所以 ， 两式相减可得，所以，所以， 所以椭圆的离心率． 【点睛】本题主要考查椭圆的相关性质，在解决椭圆与直线相交问题时，可以根据题目所给直线方程设出点的坐标，这样能大大减轻计算量． 题型09 焦点三角形双角度型求离心率 ⭐技巧积累与运用 设椭圆（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有 1．已知椭圆的左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得、，再由正弦定理以及椭圆的定义，可算得与的关系，进而求出椭圆的离心率. 【详解】 由题意，， ， ， 由正弦定理得，又， 所以，，又， 可得，所以椭圆的离心率. 故选：B. 2．设P为椭圆上一点，且，其中为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用正弦定理，求得与的关系，进而求得椭圆的离心率，得到答案. 【详解】设， 在中，由正弦定理得， 可得， 又由，所以， 所以 . 故选：B. 3．椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率________ 【答案】 【分析】根据角度关系可知且，利用椭圆定义表示出，根据勾股定理建立的齐次方程，解方程求得离心率. 【详解】由，得：且 由椭圆定义知： 又，即： 整理得：，解得： 本题正确结果： 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，涉及到椭圆定义的应用，关键是能够利用勾股定理构造出关于的齐次方程，从而求得离心率. 题型10焦点三角形双余弦定理型求离心率 ⭐技巧积累与运用 双三角形双余弦定理，常见的一般模型如下图： 可分别在俩三角形中各自用余弦定理，联立解离心率 1．已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定在上，设，由椭圆的定义用表示出，由余弦定理确定的关系，然后在中用余弦定理求得关系，得离心率． 【详解】点关于的角平分线的对称点N必在上，因此共线，， ，设，则，，， 又，∴， 中，由余弦定理得：， ∴，化简得， ∴，， 中，， 由余弦定理得，解得， 故选：B．    2．已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的对称性质和椭圆的性质得，再结合题设得，进而求出，再结合椭圆的定义以及余弦定理即可求解. 【详解】由题意可知，， 且，， 所以，    因为，所以， 所以即， 又，所以， 所以由余弦定理得， 整理得，所以即. 故选：B. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键1是抓住角平分线的对称性之和椭圆的几何性质求出，关键2是利用和的关系求出，再在中结合余弦定理即可求解. 3．已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为，，的平分线与轴交于点，过点作直线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则面积为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】作出辅助线，由三线合一得到，为的中位线，，设，由椭圆定义得到，根据得到方程，求出，由余弦定理得到，进而得到其正弦值，利用三角形面积公式得到答案. 【详解】如图所示，延长，交的延长线于点， 因为为的平分线，⊥，由三线合一得为等腰三角形， 即，为的中点， 因为为的中点，所以为的中位线， 故，设， 由椭圆定义知，， 由得，解得， 故，， 在中，由余弦定理得 ， 故， 故. 故选：C 题型11 焦点弦定比分点型求离心率 ⭐技巧积累与运用 椭圆焦点弦定比分点，有以下结论： 过圆锥曲线的焦点F的弦AB与对称轴（椭圆是长轴）的夹角为 ．焦点弦直线斜率 若直线斜率为k， 1．已知是椭圆的左，右焦点，A，B是椭圆C上的两点．若，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，结合题意可得，根据椭圆定义整理可得，根据向量关系可得∥，且，同理结合椭圆定义可得，进而可求离心率. 【详解】由题意可知：， 设，    因为，则，可得， 由椭圆定义可知：，即， 整理可得； 又因为，则∥，且， 则，可得， 由椭圆定义可知：，即， 整理可得； 即，可得， 所以椭圆C的离心率. 故选：B. 【点睛】方法点睛：椭圆的离心率(离心率范围)的求法 求椭圆的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值． 2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B在C上，且满足，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点M，由已知可得四边形为平行四边形，则，利用数量积运算可得，再结合椭圆的定义及余弦定理求得a，c的关系即可得解. 【详解】如图，由，得，取的中点M， 则四边形为平行四边形，， 于是， 则，解得，， 由椭圆定义知，又，， 由，得，即， 在和中，余弦定理得：， 即，整理得， 所以C的离心率为. 故选：B 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法： ①定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率； ②齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解； ③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率. 3．设椭圆的两个焦点是，过点的直线与交于点，若，且，则椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，结合椭圆定义依次得的表达式，进一步分别在中运用由两次余弦定理，结合离心率公式即可求解. 【详解】不妨设椭圆的标准方程为， 因为，所以， 又，所以，， 所以， 如图所示，由余弦定理知：， 整理得，又， 解得：离心率. 故选：B. 【点睛】关键点睛：画出图形，通过椭圆定义把各边长度求出来，由此即可顺利得解. 题型12 椭圆与圆 ⭐技巧积累与运用 以椭圆两个焦点为直径端点的圆，简称为“焦点圆”： 1.如果c<b，则该圆内含与椭圆；如果c=b，则该圆“内切”椭圆于短轴端点；如果c>b，则该圆与椭圆有、四个交点。 2.可以借助焦点三角形（直角）来解决，也可以通过圆的方程与椭圆方程联立解交点坐标 1．过椭圆上的点M作圆的两条切线，切点分别为P，Q.若直线PQ在轴、轴上的截距分别为，若，则椭圆离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出相关点的坐标，借助垂直关系的坐标表示求出直线方程，进而求出，再代入已知并求出离心率. 【详解】设，则， 令坐标原点为，，由切圆于， 得，则，于是， 同理，因此直线的方程为，， 因此，即， 所以椭圆离心率. 故选：A 2．已知椭圆左右焦点分别为，，若椭圆上一点满足轴，且与圆相切，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意作出椭圆图象，结合图象可知，根据相似三角形的对应边成比例，即可求出椭圆的离心率. 【详解】如图，设直线与圆相切于点，连接， 则， 椭圆的左右焦点分别为，， 轴，，， ，轴，， ，即，解得， 故选：A. 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，椭圆的定义、椭圆的简单几何性质以及椭圆离心率的求解，考查运算求解能力，属于基础题. 3．已知椭圆左右焦点分别为，，若椭圆上一点满足轴，且与圆相切，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】切点为，由通径长得，由椭圆定义得，，，这样可得出，即得的等式，从而可求得离心率． 【详解】如图，设直线与圆相切于点，连接， 则， 椭圆的左右焦点分别为，， 轴，，， ，轴，， ，即，解得， 故选：A. 【点睛】本题考查求椭圆的离心率，关键是列出关于的等式（齐次式）．本题结合通径长，椭圆的定义，圆的切线的性质得出所要求的等式，从而得解． 【点睛】易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点. 题型13综合法求离心率 1．已知椭圆的右焦点和坐标原点是某正方形的两个顶点，若该正方形至少有一个顶点在椭圆上，则椭圆的离心率不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，如图所示，椭圆有，，三种情况，不妨设，再分别计算可得. 【详解】解：如图所示，椭圆有，，三种情况，不妨设，则， ①对于，点在椭圆上，则，解得，由题知，所以，则，所以，故成立； ②对于，点在椭圆上，，，所以，故成立； ③对于，点在椭圆上，，解得又，所以，，故成立； 故选： 【点睛】本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质，考查分类讨论思想，属于中档题. 2．已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对变形得到，进而得到以，结合椭圆定义可求出，，，由余弦定理求解关系式，求出离心率. 【详解】因为，所以， 如图，在上取一点M，使得，连接，则， 则点I为AM上靠近点M的三等分点，所以， 所以， 设，则， 由椭圆定义可知：，即，所以， 所以，， 故点A与上顶点重合， 在中，由余弦定理得： ， 在中，， 解得：， 所以椭圆离心率为.    故选：A 【点睛】对于求解圆锥曲线离心率问题，要结合题目中的条件，直接求出离心率或求出的齐次方程，解出离心率，本题的难点在于如何将进行转化，需要作出辅助线，结合内心的性质得到三角形三边关系，求出离心率. 3．椭圆E：，过E外一点P作E两条切线PA，PB，，记P的轨迹为T，圆C：，记T与C的交点为，当的最大值m最大时，，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，设出切线方程并与椭圆方程联立求出轨迹T的方程，再探求取最大值的情况求解作答. 【详解】设，过点的椭圆的切线的斜率都存在时， 设切线方程为，其中分别为的斜率， 由消去y得：， 则，即有，又， 于是，显然，是这个方程的二根， 有，令直线的倾斜角分别为，有， 又， 即，即有， ，整理得， 而当时，或，此时有或， 即，满足， 因此点P的轨迹T的方程为， 由与联立，整理得： ， 于是当时，有最大值，因此， 整理得，解得，则半焦距， 所以E的离心率. 故选：B 能力培优 1．已知点是椭圆的上顶点，分别是椭圆左右焦点，直线将三角形分割为面积相等两部分，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，,，，先求出直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为，由，可得点M在射线上．再求出直线y＝ax+b（a＞0）和的交点N的坐标，分三种情况讨论：①若点M和点重合，求得；②若点M在点O和点之间，求得；③若点M在点的左侧，求得．求并集即可得b的取值范围． 【详解】解：因为点是椭圆的上顶点，分别是椭圆左右焦点， 所以，，从而有， 所以,，， 由题意，三角形的面积为1， 设直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为，由直线y＝ax+b（a＞0）将三角形分割为面积相等的两部分，可得，所以，故点M在射线上． 设直线y＝ax+b和的交点为N，则由可得点N的坐标为． ①若点M和点重合，如图：    则点N为线段的中点，故N， 把、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b． ②若点M在点O和点之间，如图：    此时，点N在点和点之间， 由题意可得三角形的面积等于，即， 即，可得a，求得， 故有． ③若点M在点的左侧，    则，由点M的横坐标，求得b＞a． 设直线y＝ax+b和的交点为P，则由求得点P的坐标为， 此时，由题意可得，三角形APN的面积等于，即， 即，化简可得． 由于此时b＞a＞0，所以 ． 两边开方可得 ，所以，化简可得， 故有． 综上，b的取值范围应是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是，由题意分析得直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点M在射线上，然后分三种情况进行讨论：①若点M和点重合；②若点M在点O和点之间；③若点M在点的左侧． 2．已知椭圆与双曲线有公共焦点，为右焦点，为坐标原点，双曲线的一条渐近线与椭圆在第一象限交于点，且满足，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设椭圆的左焦点为，求出，利用椭圆的定义求出，然后在、求出，可得出的值，由此可得出椭圆的离心率的值. 【详解】因为椭圆与双曲线有公共焦点，设， 则, 则，直线的方程为，即， 点到直线的距离为， 设椭圆的左焦点为，连接，则， 在中，， 在中，由余弦定理可得, 所以，，解得，因此，椭圆的离心率为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 3．已知A，B两点的坐标分别为，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，点M形成的轨迹内有一点P，设某条弦过点P且以P为中点，那么这条弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，求出点的轨迹方程，设过点的直线与椭圆交于，，求出所以直线的斜率，求出直线的方程. 【详解】设，则， 所以点的轨迹方程为， 设过点的直线与椭圆交于，， 所以，所以， 因为为中点，所以，， 所以， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为， 即. 故选：B. 4．已知椭圆的左、右焦点分别为，点都在椭圆上，若，且，则椭圆的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线，直线代入椭圆方程，消元后得一元二次方程，计算出两根和与积，再由题设条件，求出，和，代入中，利用韦达定理代入，化简即得， ，由的齐次不等式，即可求得离心率的取值范围. 【详解】依题意知，， 如图，由，可知三点共线，三点共线. 设，，，直线，直线, 由消去，可得， 则，同理可得，显然，，， 由代入坐标可得：，即得， 同理由可得，，由，可得， 同理，，故 （*）， 又点在椭圆上，则有，则（*）式可化成： ，解得，故得， 又，故的离心率的取值范围为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求椭圆离心率（或范围）的方法有三： （1）根据已知条件列方程组，解出的值，直接利用离心率公式求解即可； （2）根据已知条件得到一个关于（或）的齐次方程（或不等式），然后转化为关于离心率的方程（或不等式）求解； （3）因为离心率是比值，故有时也可以利用特殊值法，例如令，求出相应的值，进而求出离心率. 5．已知是椭圆上的动点：若动点到定点的距离的最小值为1，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，整理得，根据二次函数分析可得，进而求出离心率得取值范围. 【详解】由题意可设：， 则 令，则， 当，则， 可知的图象开口向上，对称轴为， 当，即时，可知在上的最小值为， 则，整理得，解得，不合题意： 当，即时，可知在内的最小值为，符合题意； 综上所述：.可得椭圆的离心率. 故选：C. 6．数学试题）椭圆的两个焦点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．过点的直线与椭圆交于两点，则的周长为8 B．若直线与恒有公共点，则的取值范围为 C．若为上一点，，则的最小值为 D．若上存在点，使得，则的取值范围为 【答案】CD 【分析】对于A：根据椭圆的定义结合焦点所在的位置分析判断；对于B：因为直线过定点，可知定点在椭圆内或椭圆上，列式求解即可；对于C：设，根据两点间距离公式结合二次函数分析求解；对于D：分析可知当位于短轴顶点时，最大，此时，分类讨论焦点所在位置分析求解. 【详解】对于选项A：由椭圆定义可得的周长为 ， 但焦点不一定在轴上，故A错误； 对于选项B：因为直线过定点，则，即， 又因为，且，所以的取值范围为，故B错误； 对于选项C：若，即椭圆， 设，可得， 当时，，故C正确； 对于选项D：若，则， 当位于短轴顶点时，最大，此时， 可知，即， 当时，由，解得； 当时，由，解得； 综上所述：的取值范围为，故D正确； 故选：CD． 【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法 （1）数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解； （2）构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解； （3）构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域． 7．已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们在第一象限的交点，设，、分别为椭圆和双曲线的离心率，则以下结论正确的是（    ）    A． B．当时， C．若，则 D．的面积为 【答案】BD 【分析】由椭圆和双曲线有相同的焦点可判断A选项；由椭圆和双曲线的定义、余弦定理化简可判断B选项；在等式两边同时除以，可判断C选项；利用海伦秦九韶公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为椭圆和双曲线有相同的焦点，所以，，A错； 对于B选项，由椭圆的定义， 由双曲线的定义，所以有，， 因为，， 由余弦定理可得， 整理得，所以，，整理可得，B对； 对于C选项，因为，等式两边同时除以可得，C错； 对于D选项，的半周长为， 由海伦秦九韶公式可得 ，D对. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 8．设是椭圆的两个焦点，为上一点.若为坐标原点，，且的面积等于8，则 ，a的取值范围为 . 【答案】 【分析】取的中点，连接，则，进而可得，根据三角形的面积求出，再利用勾股定理即可求出之间的关系，即可求出；根据，可得的最大值要大于等于，再根据椭圆的性质求出的范围，即可得解. 【详解】取的中点，连接，则， 因为为的中点，所以，， 则，所以， 由，得， 即，所以， 即，； 因为为上一点，且， 则的最大值要大于等于， 且当取最大值时，点位于椭圆的上下顶点， 设椭圆的上顶点为， 当，所以， 则，所以， 所以，所以， 即. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 9．已知椭圆的左､右焦点分别为，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，且的最小值为，则椭圆的离心率是 . 【答案】/ 【分析】根据切线长计算可得的最小值为，再由焦半径公式可得，整理成关于的齐次方程可得结果. 【详解】如下图所示： 易知， 又的最小值为可得的最小值为， 根据焦半径公式可得的最小值为，即可知, 所以，又，所以， 整理可得，即， 可得，即，解得. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用焦半径公式以及切线长公式得出相应等量关系，构造方程即可得出离心率. 高考真题 1．（2023·全国·高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可解出； 方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出． 【详解】方法一：因为，所以， 从而，所以． 故选：B. 方法二： 因为，所以，由椭圆方程可知，， 所以，又，平方得： ，所以． 故选：B. 2．（2023·全国·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可得到点的坐标，从而得出的值； 方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出； 方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，即可根据中线定理求出． 【详解】方法一：设，所以， 由，解得：， 由椭圆方程可知，， 所以，，解得：， 即，因此． 故选：B． 方法二：因为①，， 即②，联立①②， 解得：， 而，所以， 即． 故选：B． 方法三：因为①，， 即②，联立①②，解得：， 由中线定理可知，，易知，解得：． 故选：B． 【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大． 3．（2023·全国·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答. 【详解】由，得，因此，而，所以. 故选：A 4．（2004·安徽·高考真题）已知为椭圆的焦点，M为椭圆上一点，垂直于x轴，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在直角中，由得到的等量关系，结合计算即可得到离心率. 【详解】由已知，得，则, 又在椭圆中通径的长度为，， 故, 即, 解得 故选：C 5．（2022·全国·高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解. 【详解】[方法一]：设而不求 设，则 则由得：， 由，得， 所以，即， 所以椭圆的离心率，故选A. [方法二]：第三定义 设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知： 故， 由椭圆第三定义得：， 故 所以椭圆的离心率，故选A. 6．（2022·全国·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ． 【答案】13 【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为. 【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：， 判别式， ∴， ∴ ， 得， ∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为. 故答案为：13. 7．（2021·浙江·高考真题）已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是 ，椭圆的离心率是 . 【答案】 【分析】不妨假设，根据图形可知，，再根据同角三角函数基本关系即可求出；再根据椭圆的定义求出，即可求得离心率． 【详解】 如图所示：不妨假设，设切点为， ， 所以, 由，所以，， 于是，即，所以． 故答案为：；． 8．（2024·全国·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05椭圆性质及离心率归类 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 题型一：椭圆第一定义 题型二：椭圆第三定义 题型三：焦点三角形 题型四：离心率 题型五：通径型求离心率 题型六：第一定义型求离心率 题型七：焦点三角形顶角型求离心率 题型八：第三定义与中点弦型求离心率 题型九：焦点三角形双角度求离心率 题型十：焦点三角形双余弦定理型求离心率 题型十一：焦点弦定比分点型求离心率 题型十二：椭圆与圆 题型十三：综合法求离心率 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 高考真题练 巩固提升练 题型01 椭圆第一定义 ⭐技巧积累与运用 椭圆的定义需要强调的 1.轨迹在平面内，如果是空间中，则得到的是椭球； 2.定义中的常数（距离之和）要大于，否则轨迹不是椭圆． 3.椭圆的标准方程，焦点一定在坐标轴上，且两个焦点连线的中点一定是原 点，至于焦点在哪个坐标轴上，需要比较中的大小． 1．点P是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 2．下列是真命题的是（    ） A．已知定点，则满足的点的轨迹为椭圆 B．已知定点，则满足的点的轨迹为线段 C．到定点距离相等的点的轨迹为椭圆 D．若点到定点的距离的和等于点到定点的距离的和，则点的轨迹为椭圆 3．已知为椭圆上一点，，分别为上动点，则的最大值为 ． 题型02 椭圆第三定义 ⭐技巧积累与运用 椭圆 1.A,B是椭圆C:+＝1 (a>0，b>0)上两点，M为A,B中点，则（可用点差法快速证明） 结论拓展 已知直线：与椭圆相交于，两点，为的中点，为坐标原点，则. 如果是焦点在y轴上，则是 1．已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为1的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 2．直角坐标系中椭圆的中心为原点，焦点在坐标轴上，点，均在椭圆上，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．直线：与椭圆相交 C．椭圆的短轴长为2 D．椭圆上两点中点坐标为，则直线的斜率 3．若椭圆的中心在原点，焦点在轴，一个焦点为，直线与椭圆相交所得弦的中点坐标为，则这个椭圆的方程为 . 题型03焦点三角形 ⭐技巧积累与运用 1. 第一定义的理解基础实质是焦点三角形。 2. 焦点三角形的外在表现形式大多是求离心率. 3. 适当的引入焦半径知识： ； 4. 焦点三角形的面积公式：. 1．已知曲线的方程为：，点，的坐标分别为，，过点的直线交曲线于，两点，且，，三点不共线，则的周长为（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆，A，B为左右两个顶点，，为左右两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，则（    ）． A． B．的范围是 C．若直线l过点与椭圆交于M，N，则 D．若，则 3．已知椭圆的左，右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线与椭圆交于两点，分别交轴于两点，的周长为6，过作外角平分线的垂线与直线交于点，则 . 题型04 离心率 ⭐技巧积累与运用 椭圆离心率： 1.e＝＝ e∈(0,1) 2.椭圆扁平程度：因为e＝＝＝＝，所以e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆 1．椭圆的离心率（）大小决定该椭圆的圆扁程度（离心率趋于0椭圆越圆，离心率越趋于1椭圆越扁），则四个椭圆的形状中，最接近于圆的椭圆是（   ） A． B． C． D． 2．下列结论正确的是（    ） A．平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆. B．椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆. C．方程（，，）表示的曲线是椭圆. D．（）与（）的焦距相同. 3.若椭圆的方程为，半焦距为，则焦距与长轴长的比叫作椭圆的离心率，记为. （1） ； （2）趋向于1时，椭圆越 ；趋向于0时，椭圆越 ； 题型05 通径型求离心率 ⭐技巧积累与运用 椭圆通径： 通径：|AC|＝ (椭圆、双曲线通用)； 1．过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆，直线与椭圆交于两点，过作轴的垂线，垂足为，直线交椭圆于另一点，则下列说法正确的是（    ） A．若为椭圆的一个焦点，则的周长为 B．若，则的面积为 C．直线的斜率为 D． 3．已知椭圆的左顶点为，左焦点为F，过作轴的垂线在轴上方交椭圆于点B，若直线的斜率为，则该椭圆的离心率为 . 题型06 第一定义型求离心率 ⭐技巧积累与运用 第一定义思维 1.椭圆第一定义： 2.一般情况下，见到与一个焦点有关的长度，则利用第一定义转化为与另一个焦点的距离。 1．已知为坐标原点，是椭圆上位于轴上方的点，为右焦点.延长、交椭圆于、两点，，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，是坐标平面上的两个动点，为正常数，设满足的点的轨迹为曲线，满足的点的轨迹为曲线，则（    ） A．关于轴、轴均对称 B．当点不在轴上时， C．当时，点的纵坐标的最大值大于1 D．当，有公共点时， 3．已知椭圆的左顶点和上顶点分别为，.左、右焦点分别是，，在线段上有且只有一个点满足，则椭圆的离心率的平方为 . 题型07 焦点三角形顶角型求离心率 ⭐技巧积累与运用 椭圆焦点三角形性质： 焦点△F1AF2周长C△F1AF2＝2a＋2c、 面积S△F1AF2＝b2·tan ； 1．已知椭圆的左右焦点分别为为坐标原点，A为椭圆上一点，，连接轴于M点，若，则该椭圆的离心率为 A． B． C． D． 2．已知椭圆：，是该椭圆在第一象限内的点，，分别为椭圆的左右焦点，的角平分线交轴于点，且满足，则该椭圆的离心率可能是（    ） A． B． C． D． 3．已知是双曲线：的右焦点，点在上，为坐标原点，若，，则的离心率为 . 题型08 第三定义与中点弦型求离心率 ⭐技巧积累与运用 第三定义，又叫中点弦定理 1.AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则. 2.AB是椭圆的关于原点对称的两点，P椭圆上异于A、B的任一点，若斜率存在， 1．设分别为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在点P，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的左右焦点分别为，左右顶点分别为，点是椭圆上的一个动点（异于两点），且直线的斜率均存在，则（    ） A．当的最大角为时，椭圆的离心率为 B．当时，的面积为 C．直线的斜率之积一定大于直线的斜率之积 D． 3．设椭圆与直线相交于，两点，若在椭圆上存在点，使得直线，的斜率之积为，则椭圆的离心率为 ． 题型09 焦点三角形双角度型求离心率 ⭐技巧积累与运用 设椭圆（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有 1．已知椭圆的左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．设P为椭圆上一点，且，其中为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e的值等于（    ） A． B． C． D． 3．椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率________ 题型10焦点三角形双余弦定理型求离心率 ⭐技巧积累与运用 双三角形双余弦定理，常见的一般模型如下图： 可分别在俩三角形中各自用余弦定理，联立解离心率 1．已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为，，的平分线与轴交于点，过点作直线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则面积为（    ） A． B． C． D．3 题型11 焦点弦定比分点型求离心率 ⭐技巧积累与运用 椭圆焦点弦定比分点，有以下结论： 过圆锥曲线的焦点F的弦AB与对称轴（椭圆是长轴）的夹角为 ．焦点弦直线斜率 若直线斜率为k， 1．已知是椭圆的左，右焦点，A，B是椭圆C上的两点．若，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B在C上，且满足，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．设椭圆的两个焦点是，过点的直线与交于点，若，且，则椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 题型12 椭圆与圆 ⭐技巧积累与运用 以椭圆两个焦点为直径端点的圆，简称为“焦点圆”： 1.如果c<b，则该圆内含与椭圆；如果c=b，则该圆“内切”椭圆于短轴端点；如果c>b，则该圆与椭圆有、四个交点。 2.可以借助焦点三角形（直角）来解决，也可以通过圆的方程与椭圆方程联立解交点坐标 1．过椭圆上的点M作圆的两条切线，切点分别为P，Q.若直线PQ在轴、轴上的截距分别为，若，则椭圆离心率为（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆左右焦点分别为，，若椭圆上一点满足轴，且与圆相切，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆左右焦点分别为，，若椭圆上一点满足轴，且与圆相切，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型13综合法求离心率 1．已知椭圆的右焦点和坐标原点是某正方形的两个顶点，若该正方形至少有一个顶点在椭圆上，则椭圆的离心率不可能为（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 3．椭圆E：，过E外一点P作E两条切线PA，PB，，记P的轨迹为T，圆C：，记T与C的交点为，当的最大值m最大时，，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 能力培优 1．已知点是椭圆的上顶点，分别是椭圆左右焦点，直线将三角形分割为面积相等两部分，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆与双曲线有公共焦点，为右焦点，为坐标原点，双曲线的一条渐近线与椭圆在第一象限交于点，且满足，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．已知A，B两点的坐标分别为，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，点M形成的轨迹内有一点P，设某条弦过点P且以P为中点，那么这条弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的左、右焦点分别为，点都在椭圆上，若，且，则椭圆的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．已知是椭圆上的动点：若动点到定点的距离的最小值为1，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．数学试题）椭圆的两个焦点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．过点的直线与椭圆交于两点，则的周长为8 B．若直线与恒有公共点，则的取值范围为 C．若为上一点，，则的最小值为 D．若上存在点，使得，则的取值范围为 7．已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们在第一象限的交点，设，、分别为椭圆和双曲线的离心率，则以下结论正确的是（    ）    A． B．当时， C．若，则 D．的面积为 8．设是椭圆的两个焦点，为上一点.若为坐标原点，，且的面积等于8，则 ，a的取值范围为 . 9．已知椭圆的左､右焦点分别为，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，且的最小值为，则椭圆的离心率是 . 高考真题 1．（2023·全国·高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 2．（2023·全国·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2004·安徽·高考真题）已知为椭圆的焦点，M为椭圆上一点，垂直于x轴，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（2022·全国·高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（2022·全国·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ． 7．（2021·浙江·高考真题）已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是 ，椭圆的离心率是 . 8．（2024·全国·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$