专题 第2章简单事件的概率章末重点题型复习（专项训练）数学浙教版九年级上册

（（浙教版）九年级上册 第2章：简单事件的概率章末重点题型复习 题型一 判断事件的类型 1．（2023秋•鼓楼区校级期末）下列事件为必然事件的是（　　） A．购买二张彩票，一定中奖 B．打开电视，正在播放极限挑战 C．抛掷一枚硬币，正面向上 D．任意一个五边形的外角和等于360° 2．（2023秋•皇姑区校级月考）下列事件中，是确定事件的是（　　） A．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是黑球 B．掷一枚硬币，正面朝上 C．任意买一张电影票座位是在第一排 D．汽车经过红绿灯路口时前方正好是绿灯 3．（2023春•龙岗区校级期中）将2个红球、3个白球、2个黑球放入一个不透明袋子里，从中摸出6个球，恰好红球、白球、黑球都摸到，这个事件是（　　） A．不太可能事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．必然事件 4．（2023秋•上城区校级月考）以下说法中正确的是（　　） A．在同一年出生的400人中至少有两个人的生日相同 B．游戏的中奖率是1%，买100 张奖券，一定会中奖 C．一副扑克牌随意抽取一张是红桃K，这是必然事件 D．“实数a＜0，则2a＜0”是随机事件 5．（2023春•宝安区校级期末）下列事件： （1）阴天会下雨； （2）随机掷一枚均匀的硬币，正面朝上； （3）12名同学中有两人的出生月份相同； （4）2021年奥运会在东京举行， 其中不确定事件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 可能性的大小 1．（2024秋•秦皇岛期中）把分别标着7，4，4，5，4，1，7，5这些数的八张卡片打乱后反扣在桌子上，从中任意摸一张，摸到可能性最大的数是（　　） A．1 B．4 C．5 D．7 2．（2024秋•四平期末）一个袋子里有7个红球、4个黄球和1个绿球．从中任意摸出1个球，摸出的球（　　） A．一定是绿球 B．一定是黄球 C．一定是红球 D．红球的可能性大 3．（2024•乌当区一模）元宵节是中国的传统节日之一．元宵节主要有元宵灯节、吃汤圆、吃元宵、猜灯谜等一系列传统民俗活动．丽丽家的一口锅里煮了外表一样的汤圆，其中7个是花生馅的，5个是黑芝麻馅的，8个是豆沙馅的，小文随意捞起一个，捞到可能性最大的汤圆是（　　） A．花生馅汤圆 B．黑芝麻馅汤圆 C．豆沙馅汤圆 D．无法确定 4．（2024秋•义乌市校级期中）一个不透明的盒子中装有1个黄球，2个黑球，3个白球，4个红球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则摸到球的颜色可能性最大的是（　　） A．黄色 B．黑色 C．白色 D．红色 5．（2024秋•蓬江区校级月考）下列事件中发生的可能性为0的是（　　） A．抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上 B．今天黄冈市最高气温为 88℃ C．路边抛掷一石头，石头终将落地（空中无任何遮拦） D．不透明袋子中放了大小相同的乒乓球和金属球，从中去摸取出乒乓球 题型三 概率公式的计算 1．（2024秋•丰泽区校级月考）数学老师要在班上开展项目式学习，他将全班同学分成7个学习小组并采用随机抽签方法确定一个小组进行展示活动，则第4个小组被抽到的概率是（　　） A． B． C． D． 2．（2023•北京）先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（　　） A． B． C． D． 3．（2024•广东）长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是（　　） A． B． C． D． 4．（2024秋•开州区月考）初三（1）班周同学拿了A，B，C，D四把钥匙去开教室门，只有A能开门，任意取出一把钥匙能够一次打开教室门的概率是（　　） A． B． C．1 D． 5．（2024秋•杏花岭区校级月考）山西是戏剧大省，典型剧种以晋剧、蒲剧、北路梆子和上党梆子为代表，被称为“四大梆子”．在“戏曲文化进校园”活动中，某班开展戏剧知识宣讲，每个小组可随机选择“四大梆子”中的两个剧种进行宣讲，则甲小组选到蒲剧的概率为（　　） A． B． C． D． 题型四 已知概率求数量 1．（2023秋•罗湖区期中）在一个不透明的布袋中，有大小、形状完全相同，颜色不同的15个球，从中摸出红球的概率为，则袋中红球的个数为（　　） A．2 B．5 C．10 D．12 2．（2024•长清区二模）一个袋子中装有4个黑球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，则白球的个数n为 　 　． 3．（2023秋•临江市期末）在一个不透明的袋子中，有若干个红球和白球，它们除颜色外完全相同，其中红球有12个，且从中摸出白球的概率为，则袋子中白球的个数为 　 　． 4．（2024•历下区二模）在一个不透明的口袋中，装有2个红球和若干个黄球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球是黄球的概率为，则口袋中黄球有 　 　个． 5．（2024秋•花溪区校级期中）一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球，其中5个黄球，8个黑球，7个红球． （1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率； （2）现从袋中取出若干个黑球，搅匀后，使从袋中摸出一个球是黑球的概率是，求从袋中取出黑球的个数． 题型五 列举法或树状图法求概率（卡片问题） 1．（2024•东城区校级模拟）有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4随机抽取1张后，放回并混合在一起，再随机抽取1张，则第二次取出的数字是第一次取出数字的整数倍的概率是（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•长安区期中）甲乙两个不透明的袋子中分别装有除标记数字外完全相同的卡片，甲袋内装有4张卡片分别标记数字1、2、3、4，乙袋内装有3张卡片分别标记数字2、3、4．小红从两袋中各取出一张卡片，其数字和大于6的概率为（　　） A． B． C． D． 3．（2024•河南）豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（　　） A． B． C． D． 4．（2024•苏州）一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀． （1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为 　 　； （2）若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 5．（2024秋•弥勒市校级期中）如图，有背面完全相同，正面分别是黑桃2、黑桃3、方块4的三张扑克牌，一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3，4．张铭和李灵利用扑克牌与小球做游戏，将三张扑克牌背面朝上洗匀，张铭从中抽取一张，记下牌面数字为x；李灵从口袋中随机摸出一个小球y． （1）请用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果； （2）若x，y都是方程x2﹣5x+6＝0的解，则张铭获胜；若x，y都不是方程x2﹣5x+6＝0的解，则李灵获胜．他们谁获胜的概率大？请说明理由． 题型六 列举法或树状图法求概率（摸球问题） 1．（2023秋•清远期末）有两个不透明的口袋，甲袋中有3个球，分别标有数字0，2，5；乙袋中有3个球，分别标有数字1，3，4．这6个球除所标数字以外其他都一样．从甲、乙两袋中各随机摸出1个球，摸出的两个球上数字之和是6的概率是（　　） A． B． C． D． 2．将分别标有“中”“国”“全”“面”“小”“康”汉字的六个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，然后放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字是“小”和“康”的概率是（　　） A． B． C． D． 3．（2023•顺义区二模）不透明的袋子中有四个完全相同的小球，上面分别写着数字1，2，3，4．随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，记录其数字，则两次记录的数字不相同的概率是 　 　． 4．（2024秋•北碚区校级期中）甲、乙两个不透明的盒子中，分别装有除颜色外完全相同的小球，甲盒中装有1个红球、2个白球，乙盒中装有2个红球、1个白球，从甲、乙两盒中各取一个球，则两球颜色相同的概率为 　 ． 5．（2024秋•东城区校级期中）一个不透明的布袋里装有3个球，其中1个红球，2个白球，它们除触色外其余都相同． （1）摸出1个球是白球的概率是 　 ； （2）摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球．求两次找出的球恰好颜色不同的概率（要求画树状图或列表）． 题型七 列举法或树状图法求概率（转盘问题） 1．（2024秋•盐湖区期中）某商场促销的方案是：在本商场一次性购物超过n元，就可以参加转转盘抽取稷山四宝的活动，转盘如图所示（一个可以自由转动的转盘被分成面积相等的4个扇形，在4个扇形上分别写有：麻花1小袋、饼子1小袋、鸡蛋5个、红枣1小袋的文字）．每个参与者转动转盘两次，当两次指针都指向同一物品时，就领取指针指向的物品，当两次指针指向的物品不一样时，则不领取任何物品（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）．问一个有幸参加转转盘的购物者能领取到红枣1小袋的概率是（　　） A． B． C． D． B． 2．（2023•惠济区校级开学）如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、绿、蓝四种颜色，固定指针，自由动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，不计，重转）的颜色，则两指针指向的颜色能配成紫色（红色和蓝色在一起配成紫色）的概率是（　　） A． B． C． D． 3．（2023•历下区三模）某商户开展抽奖活动，如图所示的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形．每个扇形上都标有数字，当满足抽奖条件的某个客户同时自由转动两个转盘．则转盘停止后，指针都落在偶数上（指针落在线上时，重新转动转盘）的概率是（　　） A． B． C． D． 4．（2024秋•连州市期中）如图是两个各自分割均匀的转盘，同时转动两个转盘，转盘停止时（若指针恰好停在分割线上，则重转一次，直到指针指向某一个区域为止），两个指针所指区域的数字之和为奇数的概率是 　 ． 5．（2024•玉田县二模）数学活动让数学学习更加有趣．在一次数学课上老师设计了一个“配色”游戏，如图所示的是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°． （1）转动B盘，则指针指向蓝色扇形区域的概率为 　 　； （2）若同时转动A盘和B盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么转出的两种颜色就可以配成紫色．（若指针指向扇形的分界线，则需要重新转动）请通过列表或画树状图的方法，求出配成紫色的概率． 题型八 列举法或树状图法求概率（电路问题） 1．（2023秋•渭滨区月考）如图所示的电路中，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，能让灯泡L2发光的概率是（　　） A． B． C． D． 2．（2024•绵阳）如图，电路上有S1，S2，S3，S4四个断开的开关和一个正常的小灯泡L，将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•中山区校级月考）如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，任意闭合A、B、C、D中的两个开关，如果能将灯泡与电源形成一个闭合电路，则小灯泡发光，请问“任意闭合两个开关使小灯泡发光”的概率为 　 ． 4．（2024秋•光明区校级月考）如图，这是某电路的示意图，随机闭合开关S1，S2，S3，中的任意2个，能同时使2盏小灯泡发光的概率是 　 　． 5．（2023秋•南昌期末）如图，某同学学习物理《电流和电路》后设计了如图所示的电路图，其中S1、S2、S3、S4分别表示四个可开闭的开关，“⊗”表示小灯泡，“”表示电源．电源、小灯泡、开关和线路都能正常工作，当闭合开关S1、S2、S3中任意一个，再闭合开关S4时，小灯泡发光，按要求完成下列问题： （1）当开关S1闭合时，再随机闭合开关S2或S3或S4其中一个，小灯泡发光的概率为 　 　； （2）当随机闭合开关S1、S2、S3、S4中的两个，请用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率． 题型九 列举法或树状图法求概率（数字问题） 1．用分别写有数字4，5，6的三张卡片任意摆出一个三位数，这个三位数是奇数的概率是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•新城区校级月考）点P的坐标是（m，n），从﹣3，﹣2，0，2，4这五个数中任取一个数作为m的值，再从余下的四个数中任取一个数作为n的值，则点P（m，n）在平面直角坐标系中第二象限内的概率是（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•沈北新区期末）在桌面上放有四张背面完全一样的卡片，卡片正面分别标有数字﹣2，0，﹣1，4．把四张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是 　 　． 4．（2024秋•萧山区月考）从﹣2，0，1三个数中随机抽取一个数记为a，不放回，再抽取一个数记为b，则抽出的数（a，b）是二次函数y＝x2﹣2图象上的点的概率为 　． 5．（2024秋•衡阳县期中）（1）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0，若x1，x2是原方程的两根，且，求m的值． （2）从1，2，3，4中任取一个数记为b，再从余下的三个数中，任取一个数记为c，求关于x的方程x2+bx+c＝0有实数根的概率． 题型十 列举法或树状图法求概率（实际问题） 1．（2024秋•温州期末）从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（　　） A． B． C． D． 2．（2023•振兴区校级二模）如图A是某公园的进口，B，C，D是三个不同的出口，小明从A处进入公园，那么从B，C，D三个出口中恰好在C出口出来的概率为（　　） A． B． C． D． 3．（2023•濮阳二模）一次圆桌会议设有4个座位，主持人坐在了如图所示的座位上，嘉宾甲、乙、丁3人等可能地坐到①、②、③中的3个座位上．嘉宾甲与乙相邻而坐的概率是 　 　． 4．（2024秋•麒麟区校级期中）在“双减”政策下，学校将课后服务作为学生核心素养培养的重要阵地，聚力打造高品质和高成效的服务课程，助力学生全面健康成长．某校确立了三种服务课程，分别为A：科技，B：运动，C：艺术（每人限报一个）．若该校小陆和小明两名同学各随机选择一个课程． （1）请用列表或画树状图的方法求出所有可能出现的结果； （2）求小陆和小明选择同一个课程的概率． 5．（2024秋•四平期末）早茶作为广东餐饮文化的重要组成部分，以其小吃精美、种类繁多、口味独特、价格实惠而闻名．张帆在广州旅游期间，决定在“A．虾饺，B．干蒸烧卖，C．艇仔粥，D．蜜汁叉烧包”四种茶点中选择喜欢的进行品尝．（选到每种茶点的可能性相同） （1）如果只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是 　 　； （2）如果选择两种茶点品尝，请用画树状图或列表的方法求张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”的概率． 题型十一 几何概率 1．（2024•武汉模拟）如图所示，正六边形ABCDEF，任意选择其中三个顶点作为三角形的三个顶点，所得到的三角形恰好是等腰三角形的概率是（　　） A． B． C． D． 2．（2024•东营）如图，四边形ABCD是平行四边形，从①AC＝BD，②AC⊥BD，③AB＝BC，这三个条件中任意选取两个，能使▱ABCD是正方形的概率为（　　） A． B． C． D． 3．（2023•蜀山区二模）▱ABCD的对角线AC、BD相交于O，给出四个条件①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③OA＝OB，④AC⊥BD．从所给的四个条件中任意选择两个，能判定▱ABCD是正方形的概率是（　　） A． B． C． D． 4．（2023秋•丛台区校级期末）如图，一只蚂蚁在地板上自由爬行，并随机停在某块方砖上，那么蚂蚁最终停留在三角形区域上的概率是（　　） A． B． C． D． 5．向如图所示的等边三角形区域内扔沙包（区域中每个小等边三角形除颜色外完全相同），沙包随机落在某个等边三角形内． （1）扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是 　 　； （2）要使沙包落在图中阴影区域的概率为，还要涂黑几个小等边三角形？请说明理由． 题型十二 用频率估计概率 1．（2024秋•顺德区校级期中）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（　　） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，随机出的是“剪刀” B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数 C．袋子中有1个红球和2个黄球，除颜色外均相同，从中任取一球是黄球 D．洗匀后的1张红桃，2张黑桃牌，从中随机抽取一张牌是黑桃 2．（2024•东莞市模拟）广东的气候适合很多花卉的生长，某大型花卉研究中心为了测试某种花的种子在一定条件下的发芽率，做了大量的种子发芽实验，得到如下的统计数据： 实验种子数量n/颗 100 200 500 1000 2000 5000 发芽种子数量m/颗 93 188 473 954 1906 4748 种子发芽的频率（精确到0.001） 0.930 0.940 0.946 0.954 0.953 0.950 则任取一粒种子，估计它能发芽的概率为（　　）（结果精确到0.01） A．0.93 B．0.94 C．0.95 D．0.96 3．（2023秋•上城区期末）某商场进行抽奖活动，每名顾客购物满100元可以获得一次抽奖机会．抽奖箱中只有两种卡片：“中奖”和“谢谢惠顾”（两种卡片形状大小相同、质地均匀）．下表是活动进行中的一组统计数据： 抽奖次数n 100 150 200 800 1000 抽到“中奖”卡片的次数m 38 56 69 258 299 中奖的频率 0.38 0.373 0.345 0.323 0.299 根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是（　　） A．0.40 B．0.35 C．0.30 D．0.25 4．（2023秋•清远期末）青田林业局考查一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（　　） A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80 5．（2024秋•临汾月考）如图1，长为10cm，宽为8cm的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了计算机模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数（点在界线上不计入试验结果），得到如下数据： 由此可估计不规则图案的面积大约为（　　） A．32cm2 B．24cm2 C．16cm2 D．8cm2 6．（2024秋•大田县期中）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.61 0.59 0.60 0.601 （1）表中的a＝ 　 　，b＝ 　 　； （2）“摸到白球的”的概率的估计值是 　 　；（精确到0.1） （3）若袋中有18个白球，计算袋中（除白球外）其它颜色的球的个数． 题型十三 游戏的公平性问题 1．（2024•江西模拟）小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜． （1）小明赢的事件是 　 　．（选填：必然，随机或不可能．） （2）这个游戏对双方公平吗？通过画树状图或列表的方式说说你的理由． 2．（2024春•汝州市期末）如图，一个可以自由转动的转盘，转盘分成十个大小相同的扇形，分别标有数字1﹣10，指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．小明和小杰用这个转盘进行猜数游戏，游戏规则为：如果指针所指的数字大于6，那么小明获胜，如果指针所指的数字小于6，那么小杰获胜． （1）上述游戏规则公平吗？请你说说理由； （2）为了能使游戏更为公平，请你设计一种对小明、小杰都公平的游戏规则，并说说你的设计依据． 3．（2024春•焦作期末）如图，有一个可以自由转动的转盘，被均匀分成5等份，分别标上1，2，3，4，5五个数字，甲、乙两人玩一个游戏，其规则如下：任意转动转盘一次，转盘停止后指针指向某个数字所在的区域，如果该区域所标的数字是偶数，则甲胜；如果该区域所标的数字是奇数，则乙胜． （1）转出的数字为3的概率是 　 　． （2）转出的数字不大于3的概率是 　 　． （3）你认为这样的游戏规则对甲、乙两人是否公平？为什么？ 4．（2024春•驿城区期末）如图，现有一个转盘被平均分成六等份，分别标有数字1，2，3.4，5，6，自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字． （1）转出的数字小于7是　 　（从“不确定事件”“必然事件”“不可能事件”中选一个填入），P（转出的数字大于5）＝　 ． （2）现有两张分别写有数字3和5的卡片，自由转动转盘，当转盘停止时，转出的数字与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．则P（三条线段能构成三角形） （3）小明和小亮一起做游戏，转出的数字是2的倍数，小明获胜，转出的数字是3的倍数，小亮获胜，这个游戏对双方公平吗？说明理由． 5．（2023•灞桥区校级开学）现有电影票一张，明明和磊磊打算通过玩掷骰子的游戏决定谁拥有，游戏规则是：在一枚质地均匀的正方体骰子的每个面上分别标上数字1、2、3、4、5、6．明明和磊磊各掷一次骰子，若两次朝上的点数之和是3的倍数，则明明获胜，电影票归明明所有；否则磊磊获胜，电影票归磊磊所有． （1）明明掷一次骰子，使得向上一面的点数为3的倍数的概率是 　 　． （2）这个游戏公平吗？请用列表或树状图的方法说明理由． 题型十四 概率与统计知识的综合应用 1．（2024秋•温州期末）为了了解学生对围棋、象棋、军棋、跳棋、五子棋五项活动的喜爱情况，学校随机调查了一些学生，已知每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题． （1）本次被调查的学生有　 　名，请补全条形统计图． （2）求扇形统计图中“五子棋”对应的扇形的圆心角度数． （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生围棋比赛，请用列表法或画树状图法求甲同学和乙同学同时被选中的概率． 2．（2024•长丰县模拟）某校举行体能测试，测试后，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图． 请你根据统计图信息，解答下列问题． （1）参加体能测试的学生共有 　 名；在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角的度数为 　 　；图中m的值为 　 　． （2）补全条形统计图． （3）等级为D的学生中有4名来自九年级（1）班，这4名学生中有两名是女生．李老师准备从这4名学生中随机选出2名学生，请用画树状图或列表的方法求出所选的学生恰好是一男一女的概率． 3．（2024•南沙区二模）为打造书香文化，培养阅读习惯，某中学计划在各班建设图书角，并开展主题为“我最喜欢阅读的书篇”的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分同学进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据图中信息，请回答下列问题： （1）填空：参与本次问卷调查活动的学生人数是 　 　； （2）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 4．（2024•龙岗区三模）2024年4月23日，深圳发布今年首个暴雨红色预警信号．深圳市气象台专家介绍，暴雨红色预警是降水的最高级别预警，指3小时内降雨量将达到100毫米以上，或者已达100毫米以上且降雨可能持续．某校在学生中作了一次对“暴雨红色预警信号”知晓程度的抽样调查，调查结果分为四类：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了两幅不完整的统计图．根据信息图回答下列问题： （1）本次调查的人数为 　 　． （2）将条形统计图补充完整． （3）2024年4月低，深圳发生多轮大暴雨，造成较重洪涝灾害．为了做好防汛救灾工作，某社区特招募志愿工作者，小智和小明积极报名参加，根据社区安排，志愿者被随机分到A组（信息登记），B组（物资发放），C组（垃圾清运）的其中一组，请用列表或画树状图的方法，求出小智和小明被分配到同一组的概率． 5．（2024•深圳三模）为了增强学生体质，某校在每周二、周四的课后延时服务时段开设了五类拓展课程：A篮球，B足球，C乒乓球，D踢毽子，E健美操．为了解学生对这些课程的喜爱情况，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图的信息回答下列问题． （1）本次抽取调查的学生共有 　 人； （2）请补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，A篮球类所对应的圆心角为 　 　； （4）八（1）班有甲、乙、丙、丁四位同学参加了乒乓球课程，为参加学校组织的乒乓球比赛，班主任从四人中随机抽取两人代表班级出战．利用画树状图或列表的方法求出甲和乙至少有一人被选上的概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ （（浙教版）九年级上册 第2章：简单事件的概率章末重点题型复习 题型一 判断事件的类型 1．（2023秋•鼓楼区校级期末）下列事件为必然事件的是（　　） A．购买二张彩票，一定中奖 B．打开电视，正在播放极限挑战 C．抛掷一枚硬币，正面向上 D．任意一个五边形的外角和等于360° 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【解答】解：A、购买二张彩票，一定中奖，是随机事件，不符合题意； B、打开电视，正在播放极限挑战，是随机事件，不符合题意； C、抛掷一枚硬币，正面向上，是随机事件，不符合题意； D、任意一个五边形的外角和等于360°，是必然事件，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 2．（2023秋•皇姑区校级月考）下列事件中，是确定事件的是（　　） A．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是黑球 B．掷一枚硬币，正面朝上 C．任意买一张电影票座位是在第一排 D．汽车经过红绿灯路口时前方正好是绿灯 【分析】根据确定事件和随机事件的定义对各选项逐一分析即可． 【解答】解：A、从一个只有白球的盒子里摸出一个球是黑球，为确定事件，故符合题意； B、掷一枚硬币，正面朝上，即随机事件，故不符合题意； C、任意买一张电影票座位是在第一排，即随机事件，故不符合题意； D、汽车经过红绿灯路口时前方正好是绿灯，随机事件，故不符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查了确定事件和随机事件的定义，解决本题的关键是要明确事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件． 3．（2023春•龙岗区校级期中）将2个红球、3个白球、2个黑球放入一个不透明袋子里，从中摸出6个球，恰好红球、白球、黑球都摸到，这个事件是（　　） A．不太可能事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．必然事件 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【解答】解：由题意可知，从中摸出6个球，红球、白球、黑球都可以摸到， ∴这个事件是必然事件， 故选：D． 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 4．（2023秋•上城区校级月考）以下说法中正确的是（　　） A．在同一年出生的400人中至少有两个人的生日相同 B．游戏的中奖率是1%，买100 张奖券，一定会中奖 C．一副扑克牌随意抽取一张是红桃K，这是必然事件 D．“实数a＜0，则2a＜0”是随机事件 【分析】根据概率的意义以及随机事件和必然事件的定义对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A、在同一年出生的400人中至少有两人的生日相同，故本选项符合题意； B、一个游戏的中奖率是1%，只能说买100张奖券，有1%的中奖机会，故本选项不符合题意； C、从一副完整的扑克牌中随机抽取一张牌恰好是红桃K，这是随机事件，故本选项不符合题意； D、“实数a＜0，则2a＜0”是必然事件，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了概率的意义，理解概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小． 5．（2023春•宝安区校级期末）下列事件： （1）阴天会下雨； （2）随机掷一枚均匀的硬币，正面朝上； （3）12名同学中有两人的出生月份相同； （4）2021年奥运会在东京举行， 其中不确定事件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答． 【解答】解：（1）阴天会下雨，是随机事件，属于不确定事件； （2）随机掷一枚均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，属于不确定事件； （3）12名同学中有两人的出生月份相同，是随机事件，属于不确定事件； （4）2021年奥运会在东京举行，是必然事件，属于确定事件， 上列事件，其中不确定事件有3个， 故选：C． 【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 题型二 可能性的大小 1．（2024秋•秦皇岛期中）把分别标着7，4，4，5，4，1，7，5这些数的八张卡片打乱后反扣在桌子上，从中任意摸一张，摸到可能性最大的数是（　　） A．1 B．4 C．5 D．7 【分析】根据卡片数最多的数字即为摸到可能性最大的数可得答案． 【解答】解：∵一共有8张卡片，其中写有4的卡片最多， ∴摸到可能性最大的数是4， 故选：B． 【点评】本题主要考查了可能性的大小，熟知根据卡片数最多的数字即为摸到可能性最大的数是解题的关键． 2．（2024秋•四平期末）一个袋子里有7个红球、4个黄球和1个绿球．从中任意摸出1个球，摸出的球（　　） A．一定是绿球 B．一定是黄球 C．一定是红球 D．红球的可能性大 【分析】先分别求出摸出三种球的概率，再比较大小求解． 【解答】解：摸出红球的概率为：，摸出黄球的概率为：，摸出绿球的概率为：， ∵， 故选：D． 【点评】本题考查了可能性的大小，会求简单事件的概率是解题的关键． 3．（2024•乌当区一模）元宵节是中国的传统节日之一．元宵节主要有元宵灯节、吃汤圆、吃元宵、猜灯谜等一系列传统民俗活动．丽丽家的一口锅里煮了外表一样的汤圆，其中7个是花生馅的，5个是黑芝麻馅的，8个是豆沙馅的，小文随意捞起一个，捞到可能性最大的汤圆是（　　） A．花生馅汤圆 B．黑芝麻馅汤圆 C．豆沙馅汤圆 D．无法确定 【分析】找到个数最多的即可求得捞到可能性最大的汤圆． 【解答】解：∵在一口锅里有外表一样的汤圆，其中7个是花生馅的，5个是黑芝麻馅的，8个是豆沙馅的． ∴小文随意捞起一个，捞到可能性最大的汤圆是豆沙馅汤圆． 故选：C． 【点评】本题考查了可能性的大小，关键是熟练掌握可能性大小的方法． 4．（2024秋•义乌市校级期中）一个不透明的盒子中装有1个黄球，2个黑球，3个白球，4个红球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则摸到球的颜色可能性最大的是（　　） A．黄色 B．黑色 C．白色 D．红色 【分析】首先判断出每种颜色的球的数量的多少，然后判断出摸出的可能性的大小即可． 【解答】解：∵盒子中球的总个数为1+2+3+4＝10，且红球个数最多， ∴摸到红球的可能性最大， 故选：D． 【点评】本题主要考查可能性的大小，根据各种球数量的多少，直接判断可能性的大小，哪种颜色的球越多，摸出的可能性就越大． 5．（2024秋•蓬江区校级月考）下列事件中发生的可能性为0的是（　　） A．抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上 B．今天黄冈市最高气温为 88℃ C．路边抛掷一石头，石头终将落地（空中无任何遮拦） D．不透明袋子中放了大小相同的乒乓球和金属球，从中去摸取出乒乓球 【分析】根据事件发生的可能性既不是0，也不是100%的事件就是可能发生也可能不发生的事件，即不确定事件，从而得出答案． 【解答】解：A、抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上，是随机事件； B、今天黄冈市最高气温为88℃是不可能事件，可能性为0； C、路边抛掷一石头，石头终将落地（空中无任何遮拦）是必然事件，可能性为1； D、不透明袋子中放了大小相同的乒乓球和金属球，从中去摸取出乒乓球是随机事件； 故选：B． 【点评】此题考查了可能性的大小，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；如果A为不确定事件，那么0＜P（A）＜1． 题型三 概率公式的计算 1．（2024秋•丰泽区校级月考）数学老师要在班上开展项目式学习，他将全班同学分成7个学习小组并采用随机抽签方法确定一个小组进行展示活动，则第4个小组被抽到的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据概率是所求情况数与总情况数之比，可得答案． 【解答】解：根据题意可知，将全班同学分成7个学习小组，随机抽取一个小组，共有7种等可能结果，抽到第4个小组的有1种结果， 所以概率为． 故选：C． 【点评】本题考查了概率，掌握概率的定义是关键． 2．（2023•北京）先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据概率的意义，即可解答． 【解答】解：先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，总共有四种等可能结果，分别是：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是， 故选：A． 【点评】本题考查了概率的意义，本题考查了概率的意义是解题的关键． 3．（2024•广东）长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用概率公式可得答案． 【解答】解：∵共有四种区域文化， ∴随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是． 故选：A． 【点评】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键． 4．（2024秋•开州区月考）初三（1）班周同学拿了A，B，C，D四把钥匙去开教室门，只有A能开门，任意取出一把钥匙能够一次打开教室门的概率是（　　） A． B． C．1 D． 【分析】概率＝所求情况数与总情况数之比． 【解答】解：∵共有4个可能的结果，一次打开教室门的结果有1个， ∴P（一次性打开）， 故选：D． 【点评】本题考查概率公式，解题的关键是了解概率的求法，难度不大． 5．（2024秋•杏花岭区校级月考）山西是戏剧大省，典型剧种以晋剧、蒲剧、北路梆子和上党梆子为代表，被称为“四大梆子”．在“戏曲文化进校园”活动中，某班开展戏剧知识宣讲，每个小组可随机选择“四大梆子”中的两个剧种进行宣讲，则甲小组选到蒲剧的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意，先列举出一共有多少种情况，然后再找到选到蒲剧多少种情况，用除法即可得到答案． 【解答】解：随机选择两个剧种共有6种， 选到蒲剧有3种， ∴选到蒲剧的概率为：3÷6， 故选：A． 【点评】本题考查了概率公式，解题的关键是是明确题意，列举符合条件的所有情况． 题型四 已知概率求数量 1．（2023秋•罗湖区期中）在一个不透明的布袋中，有大小、形状完全相同，颜色不同的15个球，从中摸出红球的概率为，则袋中红球的个数为（　　） A．2 B．5 C．10 D．12 【分析】设袋中有红球x个，根据概率公式结合摸出红球的概率为，列出方程，解方程即可． 【解答】解：设袋中有红球x个， 由题意得：， 解得：x＝5， 即袋中红球的个数为5， 故选：B． 【点评】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 2．（2024•长清区二模）一个袋子中装有4个黑球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，则白球的个数n为 　 　． 【分析】根据白球概率求出黑球概率，黑球共有4个，就可以求出球的总数，再减去黑球个数即可解答． 【解答】解：∵摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为， ∴摸到黑球的概率为， ∵袋子中有4个黑球和n个白球， ∴由简单概率公式可得，解得n＝6， ∴白球有6个， 故答案为：6． 【点评】本题考查利用概率求个数，熟练掌握简单概率公式是解决问题的关键． 3．（2023秋•临江市期末）在一个不透明的袋子中，有若干个红球和白球，它们除颜色外完全相同，其中红球有12个，且从中摸出白球的概率为，则袋子中白球的个数为 　 　． 【分析】设袋子中白球有x个，利用概率公式求得出方程，解此方程即可求得答案． 【解答】解：设该袋子中白球的个数为x个， 依题意，得：， 解得：x＝24， 经检验：x＝24是分式方程的解， 答：袋子中白球的个数为24个． 【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 4．（2024•历下区二模）在一个不透明的口袋中，装有2个红球和若干个黄球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球是黄球的概率为，则口袋中黄球有 　 　个． 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【解答】解：设有黄球x个， 根据题意得：， 解得：x＝6， 经检验x＝6是原方程的解， ∴口袋中黄球有6个． 故答案为：6． 【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）． 5．（2024秋•花溪区校级期中）一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球，其中5个黄球，8个黑球，7个红球． （1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率； （2）现从袋中取出若干个黑球，搅匀后，使从袋中摸出一个球是黑球的概率是，求从袋中取出黑球的个数． 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先设从袋中取出x个黑球，根据概率公式计算出答案． 【解答】解：（1）∵一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球，其中5个黄球，8个黑球，7个红球， ∴从袋中摸出一个球是黄球的概率为：； （2）设从袋中取出x个黑球， 根据题意得：， 解得：x＝2， 经检验，x＝2是原分式方程的解， 所以从袋中取出黑球的个数为2个． 【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 题型五 列举法或树状图法求概率（卡片问题） 1．（2024•东城区校级模拟）有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4随机抽取1张后，放回并混合在一起，再随机抽取1张，则第二次取出的数字是第一次取出数字的整数倍的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】先画树状图得到所有等可能的结果，再找出符合题意的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【解答】解：画树状图如图： 共有16种等可能的结果，其中第二次取出的数字是第一次取出数字的整数倍的有8种， ∴第二次取出的数字是第一次取出数字的整数倍的概率为， 故选：D． 【点评】本题考查列表法或画树状图法求概率，掌握概率公式是解题的关键． 2．（2024秋•长安区期中）甲乙两个不透明的袋子中分别装有除标记数字外完全相同的卡片，甲袋内装有4张卡片分别标记数字1、2、3、4，乙袋内装有3张卡片分别标记数字2、3、4．小红从两袋中各取出一张卡片，其数字和大于6的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】先画树状图展示所有12种等可能结果，再两次摸出的数字和大于6的为4种的概率结果数，然后根据概率公式计算． 【解答】解：画树状图如下： 共有12种等可能结果，其中其数字和大于6的为3种， 所以其数字和大于6的概率． 故选：C． 【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 3．（2024•河南）豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图得到所有的等可能的结果数．根据题意，利用树状图法将所有结果都列举出来，然后根据概率公式计算解决即可． 【详解】解：把3张卡片分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有3种， ∴两次抽取的卡片图案相同的概率为． 故选：D． 【点评】本题考查列表法与树状图法和概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 4．（2024•苏州）一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀． （1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为 　 　； （2）若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）∵一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节， ∴从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的结果有2种， ∴抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率为． 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比． 5．（2024秋•弥勒市校级期中）如图，有背面完全相同，正面分别是黑桃2、黑桃3、方块4的三张扑克牌，一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3，4．张铭和李灵利用扑克牌与小球做游戏，将三张扑克牌背面朝上洗匀，张铭从中抽取一张，记下牌面数字为x；李灵从口袋中随机摸出一个小球y． （1）请用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果； （2）若x，y都是方程x2﹣5x+6＝0的解，则张铭获胜；若x，y都不是方程x2﹣5x+6＝0的解，则李灵获胜．他们谁获胜的概率大？请说明理由． 【分析】（1）根据题意列出表格，得出所有可能出现的结果即可； （2）根据概率公式分别求出张铭获胜和李灵获胜，再比较即可； 【解答】解：（1）列表如下： x 2 3 4 1 （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，2） （2，3） （2，4） 3 （3，2） （3，3） （3，4） 4 （4，2） （4，3） （4，4） 由上表可知，共有12种等可能出现的结果； （2）x2﹣5x+6＝0， 解得：x1＝2，x2＝3， 由表格可知x，y都是方程的解的有（2，3），（3，2），（2，2），（3，3），共4种结果，都不是方程的解的有（1，4），（4，4）两种结果； ∴，， ∴张铭获胜的概率大． 【点评】本题考查了列表法、一元二次方程的解以及概率公式．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 题型六 列举法或树状图法求概率（摸球问题） 1．（2023秋•清远期末）有两个不透明的口袋，甲袋中有3个球，分别标有数字0，2，5；乙袋中有3个球，分别标有数字1，3，4．这6个球除所标数字以外其他都一样．从甲、乙两袋中各随机摸出1个球，摸出的两个球上数字之和是6的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及摸出的两个球上数字之和是6的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：列表如下： 1 3 4 0 （0，1） （0，3） （0，4） 2 （2，1） （2，3） （2，4） 5 （5，1） （5，3） （5，4） 共有9种等可能的结果，其中摸出的两个球上数字之和是6的结果有：（2，4），（5，1），共2种， ∴摸出的两个球上数字之和是6的概率为． 故选：B． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 2．将分别标有“中”“国”“全”“面”“小”“康”汉字的六个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，然后放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字是“小”和“康”的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸出的球上的汉字是“小”和“康”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：列表如下： 中 国 全 面 小 康 中 （中，中） （中，国） （中，全） （中，面） （中，小） （中，康） 国 （国，中） （国，国） （国，全） （国，面） （国，小） （国，康） 全 （全，中） （全，国） （全，全） （全，面） （全，小） （全，康） 面 （面，中） （面，国） （面，全） （面，面） （面，小） （面，康） 小 （小，中） （小，国） （小，全） （小，面） （小，小） （小，康） 康 （康，中） （康，国） （康，全） （康，面） （康，小） （康，康） 共有36种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字是“小”和“康”的结果有：（小，康），（康，小），共2种， ∴两次摸出的球上的汉字是“小”和“康”的概率是． 故选：D． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 3．（2023•顺义区二模）不透明的袋子中有四个完全相同的小球，上面分别写着数字1，2，3，4．随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，记录其数字，则两次记录的数字不相同的概率是 　 　． 【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，其中两次记录的数字不相同的结果有12种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中两次记录的数字不相同的结果有12种， ∴两次记录的数字不相同的概率是， 故答案为：． 【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 4．（2024秋•北碚区校级期中）甲、乙两个不透明的盒子中，分别装有除颜色外完全相同的小球，甲盒中装有1个红球、2个白球，乙盒中装有2个红球、1个白球，从甲、乙两盒中各取一个球，则两球颜色相同的概率为 　 ． 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两球颜色相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：列表如下： 红 白 白 红 （红，红） （红，白） （红，白） 红 （红，红） （红，白） （红，白） 白 （白，红） （白，白） （白，白） 共有9种等可能的结果，其中两球颜色相同的结果有4种， ∴两球颜色相同的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 5．（2024秋•东城区校级期中）一个不透明的布袋里装有3个球，其中1个红球，2个白球，它们除触色外其余都相同． （1）摸出1个球是白球的概率是 　 ； （2）摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球．求两次找出的球恰好颜色不同的概率（要求画树状图或列表）． 【分析】（1）根据概率公式即可得到结论； （2）先画树状图展示所有9种等可能结果，再两次找出的球恰好颜不同的概率结果数，然后根据概率公式计算． 【解答】解：（1）从中任意摸出一个球，摸出白球的概率， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有9种等可能结果，其中两次找出的球恰好颜不同的为5种， 所以两次摸出的球恰好颜色相同的概率． 【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 题型七 列举法或树状图法求概率（转盘问题） 1．（2024秋•盐湖区期中）某商场促销的方案是：在本商场一次性购物超过n元，就可以参加转转盘抽取稷山四宝的活动，转盘如图所示（一个可以自由转动的转盘被分成面积相等的4个扇形，在4个扇形上分别写有：麻花1小袋、饼子1小袋、鸡蛋5个、红枣1小袋的文字）．每个参与者转动转盘两次，当两次指针都指向同一物品时，就领取指针指向的物品，当两次指针指向的物品不一样时，则不领取任何物品（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）．问一个有幸参加转转盘的购物者能领取到红枣1小袋的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】先列表得到所有等可能性的结果数，再找到符合情况的结果数，再利用概率公式解题即可． 【解答】解：令A为麻花1小袋，B为饼子1小袋，C为鸡蛋5个，D为红枣1小袋， 列表如下： A B C D A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D） 由表知，一共有16种等可能性的结果，其中符合条件的只有1种， ∴购物者能领取到红枣1小袋的概率是为． 故选：D． 【点评】本题考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，解题的关键是列表得出所有等可能结果数． 2．（2023•惠济区校级开学）如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、绿、蓝四种颜色，固定指针，自由动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，不计，重转）的颜色，则两指针指向的颜色能配成紫色（红色和蓝色在一起配成紫色）的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两指针指向的颜色能配成紫色的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：列表如下： 红 黄 绿 蓝 红 （红，红） （红，黄） （红，绿） （红，蓝） 黄 （黄，红） （黄，黄） （黄，绿） （黄，蓝） 绿 （绿，红） （绿，黄） （绿，绿） （绿，蓝） 蓝 （蓝，红） （蓝，黄） （蓝，绿） （蓝，蓝） 共有16种等可能的结果，其中两指针指向的颜色能配成紫色的结果有：（红，蓝），（蓝，红），共2种， ∴两指针指向的颜色能配成紫色的概率为． 故选：B． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 3．（2023•历下区三模）某商户开展抽奖活动，如图所示的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形．每个扇形上都标有数字，当满足抽奖条件的某个客户同时自由转动两个转盘．则转盘停止后，指针都落在偶数上（指针落在线上时，重新转动转盘）的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用列表法，列出表格指出所有的等可能性，利用计算概率的公式即可得出结论． 【解答】解：∵两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，自由转动两个转盘， ∴指针落在每个数字上的可能性是相同的． 依据题意列树状图如下： ∵从图中可以看出共有20中等可能，其中指针都落在偶数上的可能有4种， ∴指针都落在奇数上的概率是：， 故选：B． 【点评】本题主要考查了用列表法或树状图求事件的概率．选择合适的方法正确找出所有的等可能是解题的关键． 4．（2024秋•连州市期中）如图是两个各自分割均匀的转盘，同时转动两个转盘，转盘停止时（若指针恰好停在分割线上，则重转一次，直到指针指向某一个区域为止），两个指针所指区域的数字之和为奇数的概率是 　 ． 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两个指针所指区域的数字之和为奇数的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：列表如下： 1 2 3 4 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） 共有12种等可能的结果，其中两个指针所指区域的数字之和为奇数的结果有：（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，1），（4，3），共6种， ∴两个指针所指区域的数字之和为奇数的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 5．（2024•玉田县二模）数学活动让数学学习更加有趣．在一次数学课上老师设计了一个“配色”游戏，如图所示的是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°． （1）转动B盘，则指针指向蓝色扇形区域的概率为 　 　； （2）若同时转动A盘和B盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么转出的两种颜色就可以配成紫色．（若指针指向扇形的分界线，则需要重新转动）请通过列表或画树状图的方法，求出配成紫色的概率． 【分析】（1）由题意知，B盘中红色扇形区域所占的圆心角为360°﹣120°＝240°，相当于2个蓝色部分．转动B盘，共有3种等可能的结果，其中指针指向蓝色扇形区域的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）∵B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°， ∴B盘中红色扇形区域所占的圆心角为360°﹣120°＝240°，相当于2个蓝色部分， ∴指针指向蓝色扇形区域的概率为． 故答案为：． （2）列表如下： 蓝 红 红 蓝 （蓝，蓝） （蓝，红） （蓝，红） 黄 （黄，蓝） （黄，红） （黄，红） 红 （红，蓝） （红，红） （红，红） 共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色的结果有（蓝，红），（蓝，红），（红，蓝），共3种， ∴同时转动A盘和B盘，配成紫色的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 题型八 列举法或树状图法求概率（电路问题） 1．（2023秋•渭滨区月考）如图所示的电路中，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，能让灯泡L2发光的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】由电路图可知，闭合开关S1和S3能让灯泡L2发光．列表可得出所有等可能的结果数以及能让灯泡L2发光的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：由电路图可知，闭合开关S1和S3能让灯泡L2发光． 列表如下： S1 S2 S3 S1 （S1，S2） （S1，S3） S2 （S2，S1） （S2，S3） S3 （S3，S1） （S3，S2） 共有6种等可能的结果，其中能让灯泡L2发光的结果有：（S1，S3），（S3，S1），共2种， ∴能让灯泡L2发光的概率是． 故选：D． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 2．（2024•绵阳）如图，电路上有S1，S2，S3，S4四个断开的开关和一个正常的小灯泡L，将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】由题意可得出所有等可能的结果数以及能让灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：将这些开关随机闭合至少两个，所有等可能的结果有：（S1，S2），（S1，S3），（S1，S4），（S2，S3），（S2，S4），（S3，S4），（S1，S2，S3），（S1，S2，S4），（S1，S3，S4），（S2，S3，S4），（S1，S2，S3，S4），共11种， 其中能让灯泡发光的结果有：（S1，S3），（S1，S4），（S2，S3），（S2，S4），（S1，S2，S3），（S1，S2，S4），（S1，S3，S4），（S2，S3，S4），（S1，S2，S3，S4），共9种， ∴将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为． 故选：D． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 3．（2024秋•中山区校级月考）如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，任意闭合A、B、C、D中的两个开关，如果能将灯泡与电源形成一个闭合电路，则小灯泡发光，请问“任意闭合两个开关使小灯泡发光”的概率为 　 ． 【分析】根据题意，可以画出相应的树状图，然后求出相应的概率即可． 【解答】解：树状图如下所示， 由上可得，一共有12种等可能性，其中“任意闭合两个开关使小灯泡发光”的可能性有4种， ∴“任意闭合两个开关使小灯泡发光”的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率． 4．（2024秋•光明区校级月考）如图，这是某电路的示意图，随机闭合开关S1，S2，S3，中的任意2个，能同时使2盏小灯泡发光的概率是 　 　． 【分析】画树状图可得出所有等可能的结果数以及能同时使2盏小灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：由图可知，闭合开关S1和S2可以使小灯泡L1和L2发光，闭合开关S1和S3可以使小灯泡L1和L3发光． 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中能同时使2盏小灯泡发光的结果有：（S1，S2），（S1，S3），（S2，S1），（S3，S1），共4种， ∴能同时使2盏小灯泡发光的概率是． 故答案为：． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 5．（2023秋•南昌期末）如图，某同学学习物理《电流和电路》后设计了如图所示的电路图，其中S1、S2、S3、S4分别表示四个可开闭的开关，“⊗”表示小灯泡，“”表示电源．电源、小灯泡、开关和线路都能正常工作，当闭合开关S1、S2、S3中任意一个，再闭合开关S4时，小灯泡发光，按要求完成下列问题： （1）当开关S1闭合时，再随机闭合开关S2或S3或S4其中一个，小灯泡发光的概率为 　 　； （2）当随机闭合开关S1、S2、S3、S4中的两个，请用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率． 【分析】（1）根据概率公式直接填空即可； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出小灯泡发光的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：（1）当开关S1闭合时，再随机闭合开关S2或S3或S4其中一个，三种情况中小灯泡会发光的只有闭合开关S4一种情况，故小灯泡发光的概率为， 故答案为：； （2）画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有6种， ∴小灯泡发光的概率为． 【点评】本题主要考查概率的求法．是跨学科综合题，综合物理学中电学知识，结合电路图，正确判断出灯泡发光的条件，掌握根据题意正确画出树状图或列表法以及概率的计算方法是解题的关键． 题型九 列举法或树状图法求概率（数字问题） 1．用分别写有数字4，5，6的三张卡片任意摆出一个三位数，这个三位数是奇数的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】画树状图可得出所有等可能的结果数以及这个三位数是奇数的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：列表如下： 共有6种等可能的结果，其中这个三位数是奇数的结果有：465，645，共2种， ∴这个三位数是奇数的概率是． 故选：C． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 2．（2023秋•新城区校级月考）点P的坐标是（m，n），从﹣3，﹣2，0，2，4这五个数中任取一个数作为m的值，再从余下的四个数中任取一个数作为n的值，则点P（m，n）在平面直角坐标系中第二象限内的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】画树状图得出所有等可能的结果数，以及点P（m，n）在平面直角坐标系中第二象限内的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：画树状图如下： 共有20种等可能的结果，其中点P（m，n）在平面直角坐标系中第二象限内的结果有：（﹣3，2），（﹣3，4），（﹣2，2），（﹣2，4），共4种， ∴点P（m，n）在平面直角坐标系中第二象限内的概率为． 故选：A． 【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 3．（2024秋•沈北新区期末）在桌面上放有四张背面完全一样的卡片，卡片正面分别标有数字﹣2，0，﹣1，4．把四张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是 　 　． 【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，两次抽取卡片上的数字之积为负数的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：画树状图如图： 共有16种等可能的结果，两次抽取卡片上的数字之积为负数的结果有3种， ∴两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率为， 故答案为：． 【点评】本题考查列表法与树状图法，概率公式，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．解答本题的关键是熟练掌握概率的求法：概率＝所求情况数与总情况数之比． 4．（2024秋•萧山区月考）从﹣2，0，1三个数中随机抽取一个数记为a，不放回，再抽取一个数记为b，则抽出的数（a，b）是二次函数y＝x2﹣2图象上的点的概率为 　． 【分析】首先根据列表法可得共有6种等可能的结果，分别验证是否在二次函数图象上，即可获得答案． 【解答】解：根据题意，从﹣2，0，1三个数中随机抽取一个数记为a，不放回，再抽取一个数记为b，所有均可能出现的结果如下： 共有6种等可能的结果， 将x＝﹣2代入二次函数y＝x2﹣2x﹣2，可得y＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）﹣2＝6， 所以点（﹣2，0），（﹣2，1）均不在该二次函数图象上； 将x＝0代入二次函数y＝x2﹣2x﹣2，可得y＝02﹣2×0﹣2＝﹣2， 所以点（0，﹣2）在函数图象上，而点（0，1）不在该二次函数图象上； 将x＝1代入二次函数y＝x2﹣2x﹣2，可得y＝12﹣2×1﹣2＝﹣3， 所以点（1，﹣2），（1，0）均不在该二次函数图象上， 综上所述，抽出的数对（a，b）是二次函数y＝x2﹣2x﹣2图象上的点的结果有1种， 因此抽出的数（a，b）是二次函数y＝x2﹣2x﹣2图象上的点的概率为P． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了列举法求概率、二次函数图象上点的坐标特征等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 5．（2024秋•衡阳县期中）（1）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0，若x1，x2是原方程的两根，且，求m的值． （2）从1，2，3，4中任取一个数记为b，再从余下的三个数中，任取一个数记为c，求关于x的方程x2+bx+c＝0有实数根的概率． 【分析】（1）根据根与系数的关系求得x1+x2＝﹣（m+3），x1•x2＝m+1；然后由已知条件可以求得，从而列出关于m的方程，通过解该方程即可求得m的值； （2）画树状图，共有12种等可能结果，其中能使关于x的方程x2+bx+c＝0有实数根的有6种结果，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0，x1，x2是原方程的两根， ∴x1+x2＝﹣（m+3），x1•x2＝m+1． ∵， ∴， ∴[﹣（m+3）]2﹣4（m+1）＝8， ∴m2+2m﹣3＝0， 解得：m1＝﹣3，m2＝1； （2）画树状图如下： 共有12种等可能结果，其中能使关于x的方程x2+bx+c＝0有实数根的有6种结果， ∴关于x的方程x2+bx+c＝0有实数根的概率为：． 【点评】本题考查了列表法与树状图法，根的判别式，根与系数的关系，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握解一元二次方程及概率的求法． 题型十 列举法或树状图法求概率（实际问题） 1．（2024秋•温州期末）从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意画树状图，再利用概率公式，即可得到答案． 【解答】解：从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学的情况作树状图如下： ∴一共有12种情况，被抽到的2名同学都是男生的情况有6种， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，熟练掌握概率公式是解题关键． 2．（2023•振兴区校级二模）如图A是某公园的进口，B，C，D是三个不同的出口，小明从A处进入公园，那么从B，C，D三个出口中恰好在C出口出来的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】列出所有等可能结果，从所有结果中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：从A口进入，出口有B、C、D三种情况，其中从C口出的只有1种结果， ∴从B、C、D三个出口中恰好在C出口出来的概率为， 故选：B． 【点评】本题考查了概率公式，找到所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率． 3．（2023•濮阳二模）一次圆桌会议设有4个座位，主持人坐在了如图所示的座位上，嘉宾甲、乙、丁3人等可能地坐到①、②、③中的3个座位上．嘉宾甲与乙相邻而坐的概率是 　 　． 【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，甲与乙相邻而坐的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中甲与乙相邻而坐的结果有4种， ∴嘉宾甲与乙相邻而坐的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 4．（2024秋•麒麟区校级期中）在“双减”政策下，学校将课后服务作为学生核心素养培养的重要阵地，聚力打造高品质和高成效的服务课程，助力学生全面健康成长．某校确立了三种服务课程，分别为A：科技，B：运动，C：艺术（每人限报一个）．若该校小陆和小明两名同学各随机选择一个课程． （1）请用列表或画树状图的方法求出所有可能出现的结果； （2）求小陆和小明选择同一个课程的概率． 【分析】（1）根据题意画出树状图即可； （2）由（1）得共有9种等可能出现的结果，其中小陆和小明选同一个课程的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）画树状图如下： 由图可得共有9种等可能出现的结果； （2）由（1）可得小陆和小明选同一个课程的结果有3种， ∴小陆和小明选同一个课程的概率为 ． 【点评】本题考查了画树状图以及根据树状图和概率公式求概率，掌握画树状图的方法以及概率公式是解答本题的关键． 5．（2024秋•四平期末）早茶作为广东餐饮文化的重要组成部分，以其小吃精美、种类繁多、口味独特、价格实惠而闻名．张帆在广州旅游期间，决定在“A．虾饺，B．干蒸烧卖，C．艇仔粥，D．蜜汁叉烧包”四种茶点中选择喜欢的进行品尝．（选到每种茶点的可能性相同） （1）如果只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是 　 　； （2）如果选择两种茶点品尝，请用画树状图或列表的方法求张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”的概率． 【分析】（1）根据题意即可求解； （2）画出树状图，确定可能出现的所有结果以及满足条件的结果数，即可求解． 【解答】解：（1）∵共有四种茶点， ∴如果只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是：， 故答案为：； （2）画树状图如图所示： 由树状图知，共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相等，其中选到“虾饺”和“艇仔粥”的结果有2种， ∴P（张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”）． 【点评】本题考查了概率的应用，掌握概率的计算公式以及树状图或列表法是解题关键． 题型十一 几何概率 1．（2024•武汉模拟）如图所示，正六边形ABCDEF，任意选择其中三个顶点作为三角形的三个顶点，所得到的三角形恰好是等腰三角形的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】画出图形，求出三角形的个数和等腰三角形的个数，即可得到结论． 【解答】解：如图，正六边形ABCDEF，任意选择其中三个顶点作为三角形的三个顶点，所得到的三角形的个数有20，恰好是等腰三角形的有8个， 故所得到的三角形恰好是等腰三角形的概率是， 故选D． 【点评】本题考查了概率公式，正确地求得三角形和等腰三角形的个数是解题的关键． 2．（2024•东营）如图，四边形ABCD是平行四边形，从①AC＝BD，②AC⊥BD，③AB＝BC，这三个条件中任意选取两个，能使▱ABCD是正方形的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及能使▱ABCD是正方形的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：由题意知，能使▱ABCD是正方形的有①②，①③． 列表如下： ① ② ③ ① （①，②） （①，③） ② （②，①） （②，③） ③ （③，①） （③，②） 共有6种等可能的结果，其中能使▱ABCD是正方形的结果有：（①，②），（①，③），（②，①），（③，①），共4种， ∴能使▱ABCD是正方形的概率为． 故选：A． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式、平行四边形的性质、正方形的判定，熟练掌握列表法与树状图法、概率公式、正方形的判定是解答本题的关键． 3．（2023•蜀山区二模）▱ABCD的对角线AC、BD相交于O，给出四个条件①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③OA＝OB，④AC⊥BD．从所给的四个条件中任意选择两个，能判定▱ABCD是正方形的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】先罗列出所有等可能结果，并从中找到使▱ABCD是正方形的结果数，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：画树状图得： 由树状图知，共有12种等可能结果，其中能判定▱ABCD是正方形的有①②、②①、①③、③①、②④、④②、③④、④③这8种结果， ∴能判定▱ABCD是正方形的概率是， 故选：D． 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率及正方形的判定．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 4．（2023秋•丛台区校级期末）如图，一只蚂蚁在地板上自由爬行，并随机停在某块方砖上，那么蚂蚁最终停留在三角形区域上的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】用黑砖的面积除以总面积即可得出答案． 【解答】解：由图知，若设方砖的边长为a， 则地板的总面积为5a×4a＝20a2，黑砖的面积为20a2（3a×3a+2a×4a+a×5a）＝9a2， ∴小球最终停留在黑砖上的概率是， 故选：D． 【点评】本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等． 5．向如图所示的等边三角形区域内扔沙包（区域中每个小等边三角形除颜色外完全相同），沙包随机落在某个等边三角形内． （1）扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是 　 　； （2）要使沙包落在图中阴影区域的概率为，还要涂黑几个小等边三角形？请说明理由． 【分析】（1）由图中共有16个等边三角形，其中阴影部分的三角形有6个，利用概率公式计算可得； （2）要使沙包落在图中阴影区域的概率为，所以图形中阴影部分的小等边三角形要达到8个，据此可得． 【解答】解：（1）图中共有16个等边三角形，其中阴影部分的三角形有6个， ∴扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是， 故答案为：； （2）涂黑2个； ∵图形中有16个小等边三角形，要使沙包落在图中阴影区域的概率为， ∴所以图形中阴影部分的小等边三角形要达到8个，已经涂黑了6个， ∴还需要涂黑2个； 如图所示： 【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 题型十二 用频率估计概率 1．（2024秋•顺德区校级期中）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（　　） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，随机出的是“剪刀” B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数 C．袋子中有1个红球和2个黄球，除颜色外均相同，从中任取一球是黄球 D．洗匀后的1张红桃，2张黑桃牌，从中随机抽取一张牌是黑桃 【分析】利用折线统计图可得出试验的频率在0.5左右，求出各选项的频率，即可得到答案． 【解答】解：A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小时随机出的是“剪刀”的频率是，故选项不符合题意； B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数的频率是，故选项符合题意； C．袋子中有1个红球和2个黄球，除颜色外均相同，从中任取一球是黄球的频率是，故选项不符合题意； D．洗匀后的1张红桃，2张黑桃牌，从中随机抽取一张牌是黑桃的频率是，故选项不符合题意． 故选：B． 【点评】此题考查了频率，熟练掌握频率的求法是解题的关键． 2．（2024•东莞市模拟）广东的气候适合很多花卉的生长，某大型花卉研究中心为了测试某种花的种子在一定条件下的发芽率，做了大量的种子发芽实验，得到如下的统计数据： 实验种子数量n/颗 100 200 500 1000 2000 5000 发芽种子数量m/颗 93 188 473 954 1906 4748 种子发芽的频率（精确到0.001） 0.930 0.940 0.946 0.954 0.953 0.950 则任取一粒种子，估计它能发芽的概率为（　　）（结果精确到0.01） A．0.93 B．0.94 C．0.95 D．0.96 【分析】在大量重复试验下，利用频率估计概率即可解答． 【解答】解：由表格可得：随着实验种子数量的增加，其发芽的频率稳定在0.95左右，即估计它能发芽的概率为0.95， 故选：C． 【点评】本题考查利用频率估计概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 3．（2023秋•上城区期末）某商场进行抽奖活动，每名顾客购物满100元可以获得一次抽奖机会．抽奖箱中只有两种卡片：“中奖”和“谢谢惠顾”（两种卡片形状大小相同、质地均匀）．下表是活动进行中的一组统计数据： 抽奖次数n 100 150 200 800 1000 抽到“中奖”卡片的次数m 38 56 69 258 299 中奖的频率 0.38 0.373 0.345 0.323 0.299 根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是（　　） A．0.40 B．0.35 C．0.30 D．0.25 【分析】利用频率估计概率求解即可． 【解答】解：根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是0.30， 故选：C． 【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 4．（2023秋•清远期末）青田林业局考查一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（　　） A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80 【分析】由图可知，成活概率在0.9上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值为0.9． 【解答】解：这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值约是0.9． 故选：B． 【点评】本题考查了利用频率估计概率．由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等．用到的知识点为：总体数目＝部分数目÷相应频率．部分的具体数目＝总体数目×相应频率． 5．（2024秋•临汾月考）如图1，长为10cm，宽为8cm的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了计算机模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数（点在界线上不计入试验结果），得到如下数据： 由此可估计不规则图案的面积大约为（　　） A．32cm2 B．24cm2 C．16cm2 D．8cm2 【分析】根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在0.3，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为0.3，即可求得不规则图案的面积． 【解答】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在0.3， ∴不规则图案的面积大约为0.3， 设不规则图案的面积为x cm2，则， 解得x＝24， 故选：B． 【点评】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，解题的关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于0.3附近，由此得实验的频率，并把它作为概率． 6．（2024秋•大田县期中）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.61 0.59 0.60 0.601 （1）表中的a＝ 　 　，b＝ 　 　； （2）“摸到白球的”的概率的估计值是 　 　；（精确到0.1） （3）若袋中有18个白球，计算袋中（除白球外）其它颜色的球的个数． 【分析】（1）利用频率＝频数÷样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数． 【解答】解：（1）依题意得：， 解得：b＝122， 故答案为：0.58，122； （2）根据题意，概率的估计值为0.6， 故答案为：0.6； （3）摸到白球的概率为0.6，设其它颜色的球的个数为x个， 依题意得：， 解得x＝12， 答：袋中（除白球外）其它颜色的球的个数为12个． 【点评】本题考查了利用频率估计概率，解答本题的关键要明确：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 题型十三 游戏的公平性问题 1．（2024•江西模拟）小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜． （1）小明赢的事件是 　 　．（选填：必然，随机或不可能．） （2）这个游戏对双方公平吗？通过画树状图或列表的方式说说你的理由． 【分析】（1）共有9种等可能的结果数，其中两次数字之和为奇数的结果数5，两次数字之和为偶数的结果数为4，所以小明胜的概率，即可求解； （2）先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次数字之和为奇数的结果数和两次数字之和为偶数的结果数，再利用概率公式计算出小明胜的概率和小亮胜的概率，然后通过比较概率大小判断这个游戏对双方是否公平． 【解答】解：（1）共有9种等可能的结果数，其中两次数字之和为奇数的结果数5，两次数字之和为偶数的结果数为4， 所以小明胜的概率， 故小明赢的事件是随机事件， 故答案为：随机； （2）这个游戏对双方不公平．理由如下： 画树状图为： 共有9种等可能的结果数，其中两次数字之和为奇数的结果数5，两次数字之和为偶数的结果数为4， 所以小明胜的概率，小亮胜的概率， 而， 所以这个游戏对双方不公平． 【点评】本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． 2．（2024春•汝州市期末）如图，一个可以自由转动的转盘，转盘分成十个大小相同的扇形，分别标有数字1﹣10，指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．小明和小杰用这个转盘进行猜数游戏，游戏规则为：如果指针所指的数字大于6，那么小明获胜，如果指针所指的数字小于6，那么小杰获胜． （1）上述游戏规则公平吗？请你说说理由； （2）为了能使游戏更为公平，请你设计一种对小明、小杰都公平的游戏规则，并说说你的设计依据． 【分析】（1）分别求出小明和小杰获胜的概率，再比较大小即可作出判断； （2）设计出小明和小杰获胜的概率相同的事件即可， 【解答】解：（1）上述游戏规则不公平． 理由如下： ∵一共有10种可能，指针所指的数字大于6有4种可能，指针所指的数字小于6有5种可能， ∴小明获胜的概率为：，小杰获胜的概率为：， ∵， ∴上述游戏规则不公平； （2）规则：如果指针所指的数字不小于6，那么小明获胜，如果指针所指的数字小于6，那么小杰获胜．（答案不唯一） 依据：∵一共有10种可能，指针所指的数字不小于6有5种可能，指针所指的数字小于6有5种可能， ∴小明获胜的概率为：，小杰获胜的概率为：， ∵小明获胜的概率＝小杰获胜的概率， ∴上述游戏规则公平． 【点评】本题考查游戏公平性问题，能利用概率的大小关系判断游戏的公平性是解题的关键． 3．（2024春•焦作期末）如图，有一个可以自由转动的转盘，被均匀分成5等份，分别标上1，2，3，4，5五个数字，甲、乙两人玩一个游戏，其规则如下：任意转动转盘一次，转盘停止后指针指向某个数字所在的区域，如果该区域所标的数字是偶数，则甲胜；如果该区域所标的数字是奇数，则乙胜． （1）转出的数字为3的概率是 　 　． （2）转出的数字不大于3的概率是 　 　． （3）你认为这样的游戏规则对甲、乙两人是否公平？为什么？ 【分析】（1）根据概率公式计算即可； （2）用不大于3的数字个数除以数字总数即可得到答案； （3）分别求出甲、乙获胜的概率即可得到结论． 【解答】解：（1）∵一共有5个数字，每个数字被转出的概率相同， ∴转出的数字为3的概率是， 故答案为：； （2）∵一共有5个数字，数字不大于3 的有3个， ∴转出的数字不大于3 的概率是， 故答案为：； （3）这样的游戏规则对甲、乙两人不公平，理由如下： ∵一共有5个数字，其中奇数有3个，偶数有2个，且每个数字被转出的概率相同， ∴任意转动转盘一次，转出奇数的概率为，转出偶数的概率为， ∴， ∴乙获胜的概率大， ∴这样的游戏规则对甲、乙两人不公平． 【点评】本题主要考查了游戏公平性，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法． 4．（2024春•驿城区期末）如图，现有一个转盘被平均分成六等份，分别标有数字1，2，3.4，5，6，自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字． （1）转出的数字小于7是　 　（从“不确定事件”“必然事件”“不可能事件”中选一个填入），P（转出的数字大于5）＝　 ． （2）现有两张分别写有数字3和5的卡片，自由转动转盘，当转盘停止时，转出的数字与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．则P（三条线段能构成三角形） （3）小明和小亮一起做游戏，转出的数字是2的倍数，小明获胜，转出的数字是3的倍数，小亮获胜，这个游戏对双方公平吗？说明理由． 【分析】（1）根据判断事件发生的可能性大小进行判断即可； （2）设这三条线段能构成三角形的边长为x，根据三角形的三边关系可得2＜x＜8，从而可得x可以取值为3、4、5、6，再利用概率公式求解即可； （3）分别计算出小明和小亮的获胜概率，即可判断， 【解答】解：（1）转到数字小于7是必然事件， 等可能结果为6种，其中大于5的结果有1种，， 故答案为：必然事件； （2）设这三条线段能构成三角形的边长为x， 则2＜x＜8， ∵x为转盘中的数字， ∴x可以取值为3、4、5、6， ∴这三条线段能构成三角形的概率是； （3）2的倍数为：2、4、6，转出的数字是2的倍数的概率为：， 3的倍数为：3、6，转出的数字是3的倍数的概率为：， 小明获胜的概率高，这个游戏对双方不公平． 【点评】本题考查了判断事件发生的可能性的大小，概率公式，三角形三边关系，解题的关键是：熟练掌握相关知识． 5．（2023•灞桥区校级开学）现有电影票一张，明明和磊磊打算通过玩掷骰子的游戏决定谁拥有，游戏规则是：在一枚质地均匀的正方体骰子的每个面上分别标上数字1、2、3、4、5、6．明明和磊磊各掷一次骰子，若两次朝上的点数之和是3的倍数，则明明获胜，电影票归明明所有；否则磊磊获胜，电影票归磊磊所有． （1）明明掷一次骰子，使得向上一面的点数为3的倍数的概率是 　 　． （2）这个游戏公平吗？请用列表或树状图的方法说明理由． 【分析】（1）根据概率公式直接求出即可； （2）用列举法或画树状图法分别求出明明获胜和磊磊获胜的概率，若概率相等则公平，否则不公平． 【解答】解：（1）∵掷一次骰子有6种等可能的结果，其中向上一面的点数为3的倍数有2种可能的结果， ∴P（向上一面的点数为3的倍数）， 故答案为：； （2）不公平，理由如下： 列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 一共有36种等可能的结果，其中两次朝上的点数之和是3的倍数有12种可能的结果， ∴P（明明获胜）， P（磊磊获胜）， ∵P（明明获胜）≠P（磊磊获胜）， ∴这个游戏不公平． 【点评】本题考查列表法和画树状图法求等可能事件的概率，以及游戏的公平性，掌握列表法和画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键． 题型十四 概率与统计知识的综合应用 1．（2024秋•温州期末）为了了解学生对围棋、象棋、军棋、跳棋、五子棋五项活动的喜爱情况，学校随机调查了一些学生，已知每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题． （1）本次被调查的学生有　 　名，请补全条形统计图． （2）求扇形统计图中“五子棋”对应的扇形的圆心角度数． （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生围棋比赛，请用列表法或画树状图法求甲同学和乙同学同时被选中的概率． 【分析】（1）用选择“围棋”的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数；求出选择“象棋”的人数，再补全条形统计图即可． （2）用选择“五子棋”的人数除以本次被调查的学生总人数再乘以360°即可． （3）画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）调查的学生人数为30÷30%＝100（名）． “象棋”的人数为100﹣30﹣20﹣10﹣5＝35（名）． 补全条形统计图如下： 故答案为：100； （2）“五子棋”对应的扇形的圆心角度数为． 故答案为：18°． （3）画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种， ∴甲和乙同学同时被选中的概率为． 【点评】本题主要考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率． 2．（2024•长丰县模拟）某校举行体能测试，测试后，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图． 请你根据统计图信息，解答下列问题． （1）参加体能测试的学生共有 　 名；在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角的度数为 　 　；图中m的值为 　 　． （2）补全条形统计图． （3）等级为D的学生中有4名来自九年级（1）班，这4名学生中有两名是女生．李老师准备从这4名学生中随机选出2名学生，请用画树状图或列表的方法求出所选的学生恰好是一男一女的概率． 【分析】（1）用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得参加体能测试的学生人数；用360°乘以D等级的学生人数所占的百分比，即可得出答案；求出扇形统计图中C的百分比，即可得m的值． （2）求出等级B的人数，补全条形统计图即可． （3）画树状图得出所有等可能的结果数以及所选的学生恰好是一男一女的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）参加体能测试的学生共有30÷15%＝200（名）． 在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角的度数为360°72°． ∵m%100%＝40%， ∴m＝40． 故答案为：200；72°；40． （2）等级B的人数为200﹣（30+80+40）＝50（人）． 补全条形统计图如图所示． （3）将2名男生分别记为A，B，两名女生分别记为C，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中所选的学生恰好是一男一女的结果有：AC，AD，BC，BD，CA，CB，DA，DB，共8种， ∴所选的学生恰好是一男一女的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． 3．（2024•南沙区二模）为打造书香文化，培养阅读习惯，某中学计划在各班建设图书角，并开展主题为“我最喜欢阅读的书篇”的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分同学进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据图中信息，请回答下列问题： （1）填空：参与本次问卷调查活动的学生人数是 　 　； （2）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 【分析】（1）用条形统计图中E的人数除以扇形统计图中E的百分比可得参与本次问卷调查活动的学生人数． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）参与本次问卷调查活动的学生人数是4÷8%＝50（人）． 故答案为：50人． （2）列表如下： B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，B） （B，C） （B，D） C （C，B） （C，C） （C，D） 共有9种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有：（B，B），（C，C），共2种， ∴甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． 4．（2024•龙岗区三模）2024年4月23日，深圳发布今年首个暴雨红色预警信号．深圳市气象台专家介绍，暴雨红色预警是降水的最高级别预警，指3小时内降雨量将达到100毫米以上，或者已达100毫米以上且降雨可能持续．某校在学生中作了一次对“暴雨红色预警信号”知晓程度的抽样调查，调查结果分为四类：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了两幅不完整的统计图．根据信息图回答下列问题： （1）本次调查的人数为 　 　． （2）将条形统计图补充完整． （3）2024年4月低，深圳发生多轮大暴雨，造成较重洪涝灾害．为了做好防汛救灾工作，某社区特招募志愿工作者，小智和小明积极报名参加，根据社区安排，志愿者被随机分到A组（信息登记），B组（物资发放），C组（垃圾清运）的其中一组，请用列表或画树状图的方法，求出小智和小明被分配到同一组的概率． 【分析】（1）用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得本次调查的人数． （2）求出B类、C类的人数，补全条形统计图即可． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及小智和小明被分配到同一组的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）本次调查的人数为80÷40%＝200（人）． 故答案为：200人． （2）C类的人数为200×20%＝40（人）， B类的人数为200﹣80﹣40﹣50＝30（人）． 补全条形统计图如图所示． （3）列表如下： A B C A （A，A） （A，B） （A，C） B （B，A） （B，B） （B，C） C （C，A） （C，B） （C，C） 共有9种等可能的结果，其中小智和小明被分配到同一组的结果有3种， ∴小智和小明被分配到同一组的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． 5．（2024•深圳三模）为了增强学生体质，某校在每周二、周四的课后延时服务时段开设了五类拓展课程：A篮球，B足球，C乒乓球，D踢毽子，E健美操．为了解学生对这些课程的喜爱情况，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图的信息回答下列问题． （1）本次抽取调查的学生共有 　 人； （2）请补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，A篮球类所对应的圆心角为 　 　； （4）八（1）班有甲、乙、丙、丁四位同学参加了乒乓球课程，为参加学校组织的乒乓球比赛，班主任从四人中随机抽取两人代表班级出战．利用画树状图或列表的方法求出甲和乙至少有一人被选上的概率． 【分析】（1）用条形统计图中B的人数除以扇形统计图中B的百分比可得本次抽取调查的学生人数． （2）求出D课程的人数，补全条形统计图即可． （3）用360°乘以本次调查中选择A的学生人数所占的百分比，即可得出答案． （4）画树状图可得出所有等可能的结果数以及甲和乙至少有一人被选上的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）本次抽取调查的学生共有20÷16%＝125（人）． 故答案为：125． （2）D课程的人数为125﹣25﹣20﹣40﹣15＝25（人）． 补全条形统计图如图1所示． （3）在扇形统计图中，A篮球类所对应的圆心角为360°72°． 故答案为：72°． （4）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中甲和乙至少有一人被选上的结果有：甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丁甲，丁乙，共10种， ∴甲和乙至少有一人被选上的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$