专题07 平行线的证明（考题猜想，易错必刷45题5种题型专项训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（北师大版）

专题07平行线的证明（易错必刷45题5种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 平行线的判定 · 平行线的性质 · 平行线的判定与性质 · 三角形内角和定理 · 三角形的外角性质 一．平行线的判定（共2小题） 1．如图，下列条件：①∠1＝∠2，②∠3+∠4＝180°，③∠5+∠6＝180°，④∠2＝∠3，⑤∠7＝∠2+∠3，⑥∠7+∠4﹣∠1＝180°中能判断直线a∥b的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．如图，下列条件：①∠1＝∠3；②∠2+∠4＝180°；③∠4＝∠5； ④∠2＝∠3；⑤∠6＝∠2+∠3，其中能判断直线l1∥l2的有（　　） A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个 二．平行线的性质（共26小题） 3．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是（　　） A．42°、138° B．都是10° C．42°、138°或10°、10° D．以上都不对 4．如图，AB∥CD，有图中α，β，γ三角之间的关系是（　　） A．α+β+γ＝180° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝180° D．α+β+γ＝360° 5．如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 6．如果∠A和∠B的两边分别平行，那么∠A和∠B的关系是（　　） A．相等 B．互余或互补 C．互补 D．相等或互补 7．如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE＝32°，则∠GHC等于（　　） A．112° B．110° C．108° D．106° 8．如图，AB∥DE，那么∠BCD＝（　　） A．180°+∠1﹣∠2 B．∠1+∠2 C．∠2﹣∠1 D．180°+∠2﹣2∠1 9．某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示：已知AB∥CD，∠BAE＝87°，∠DCE＝121°，则∠E的度数是（　　） A．28° B．34° C．46° D．56° 10．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角∠A＝130°，第二次拐角∠B＝150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C为（　　） A．170° B．160° C．150° D．140° 11．如图，直尺经过一副三角尺中的一块三角板DCB的顶点B，若∠C＝30°，∠ABC＝20°，则∠DEF度数为（　　） A．25° B．40° C．50° D．80° 12．如图1的长方形纸带中∠DEF＝25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE度数是（　　） A．105° B．120° C．130° D．145° 13．如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝33°，则∠E＝　 　． 14．将一条两边互相平行的纸带沿EF折叠，如图（1），AD∥BC，ED'∥FC'，设∠AED'＝x° （1）∠EFB＝　 　．（用含x的代数式表示） （2）若将图1继续沿BF折叠成图（2），∠EFC″＝　 　．（用含x的代数式表示）． 15．如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝　 　度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝　 　度． 16．如图，AB∥CD，BF、DF分别平分∠ABE和∠CDE，BF∥DE，∠F与∠ABE互补，则∠F的度数为 　 　°． 17．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，此时∠ODE＝∠ADC，且反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是 　 　． 18．裁剪师傅将一块长方形布料ABCD沿着AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，若∠BAF＝50°，则∠AEF＝　 　°． 19．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG． （1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数； （2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数； （3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数． 20．如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP＝x°． （1）如图1，若DE∥OB． ①∠DEO的度数是　 　°，当DP⊥OE时，x＝　 　； ②若∠EDF＝∠EFD，求x的值； （2）如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由． 21．已知直线AB∥CD． （1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为　 　； （2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE，直线MB、ND交于点F，则＝　 　． 22．如图①，直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，点P在直线EF上，连接PA、PB． 猜想：如图①，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，则∠APB的大小为 　 　度． 探究：如图①，若点P在线段CD上，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系． 拓展：如图②，若点P在射线CE上或在射线DF上时，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系． 23．已知：如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD平分∠ACM，CE⊥CD． （1）若∠O＝50°，求∠BCD的度数； （2）求证：CE平分∠OCA； （3）当∠O为多少度时，CA分∠OCD成1：2两部分，并说明理由． 24．【探究】 （1）如图1，∠ADC＝120°，∠BCD＝130°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝　 　°； （2）如图2，∠ADC＝α，∠BCD＝β，且α+β＞180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝　 　；（用α、β表示） （3）如图3，∠ADC＝α，∠BCD＝β，当∠DAB和∠CBE的平分线AG、BH平行时，α、β应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论． 【挑战】 如果将（2）中的条件α+β＞180°改为α+β＜180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，你又可以找到怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论． 25．如图，已知AM∥BN，∠A＝80°，点P是射线AM上动点（与A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D． （1）求∠CBD的度数； （2）当点P运动时，那么∠APB：∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律； （3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数． 26．如图1，AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B，过B作BD⊥AM． （1）求证：∠ABD＝∠C； （2）如图2，在（1）问的条件下，分别作∠ABD、∠DBC的平分线交DM于E、F，若∠BFC＝1.5∠ABF，∠FCB＝2.5∠BCN， ①求证：∠ABF＝∠AFB； ②求∠CBE的度数． 27．如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点， （1）若∠1与∠2都是锐角，如图甲，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系； （2）若把一块三角尺（∠A＝30°，∠C＝90°）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数； （3）将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，求的值． 28．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度数． 小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC． （1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为 　 　度；（直接写出答案） （2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α，β之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α，β之间的数量关系． 三．平行线的判定与性质（共5小题） 29．将一副三角板按如图放置，则下列结论：①如果∠2＝30°，则有AC∥DE；②∠BAE+∠CAD＝180°；③如果BC∥AD，则有∠2＝30°；④如果∠CAD＝150°，必有∠4＝∠C；正确的有（　　） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 30．如图1，E点在BC上，∠A＝∠D，∠ACB+∠BED＝180°． （1）求证：AB∥CD； （2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数． （3）在（1）的结论下，保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 31．阅读下列材料： 已知：如图1，直线AB∥CD，点E是AB、CD之间的一点，连接BE、DE得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D．小冰是这样做的：证明：过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B．∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED＝∠D．∴∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．图1即∠BED＝∠B+∠D． 请利用材料中的结论，完成下面的问题： 已知：直线AB∥CD，直线MN分别与AB、CD交于点E、F． （1）如图2，∠BEF和∠EFD的平分线交于点G．猜想∠G的度数，并证明你的猜想； （2）如图3，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1＝∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2．求证：∠FG1E+∠G2＝180°． 32．如图1，G，E是直线AB上两点，点G在点E左侧，过点G的直线GP与过点E的直线EP交于点P．直线PE交直线CD于点H，满足点E在线段PH上，∠PGB+∠P＝∠PHD． （1）求证：AB∥CD； （2）如图2，点Q在直线AB，CD之间，PH平分∠QHD，GF平分∠PGB，点F，G，Q在同一直线上，且2∠Q+∠P＝120°，求∠QHD的度数； （3）在（2）的条件下，若点M是直线PG上一点，直线MH交直线AB于点N，点N在点B左侧，请直接写出∠MNB和∠PHM的数量关系．（题中所有角都是大于0°且小于180°的角） 33．如图甲所示，已知点E在直线AB上，点F，G在直线CD上，且∠EFG＝∠FEG，EF平分∠AEG． （1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由． （2）如图乙所示，H是AB上点E右侧一动点，∠EGH的平分线GQ交FE的延长线于点Q，设∠Q＝α，∠EHG＝β ①若∠HEG＝40°，∠QGH＝20°，求∠Q的度数． ②判断：点H在运动过程中，α和β的数量关系是否发生变化？若不变，求出α和β的数量关系；若变化，请说明理由． 四．三角形内角和定理（共4小题） 34．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD+∠ACD＝（　　） A．75° B．80° C．85° D．90° 35．如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C，则∠C的度数是（　　） A．30° B．45° C．55° D．60° 36．如图所示，将△ABC沿着DE折叠，使点A与点N重合，若∠A＝65°，则∠1+∠2＝（　　） A．25° B．65° C．115° D．130° 37．如图，在第1个△ABA1中，∠B＝40°，∠BAA1＝∠BA1A，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得在第2个△A1CA2中，∠A1CA2＝∠A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得在第3个△A2DA3中，∠A2DA3＝∠A2A3D；…，按此做法进行下去，第3个三角形中以A3为顶点的内角的度数为 　 　；第n个三角形中以An为顶点的底角的度数为 　 　． 五．三角形的外角性质（共8小题） 38．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝50°，∠D＝10°，则∠P的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 39．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④ 40．如图所示，∠A＝50°，∠B＝20°，∠D＝30°，则∠BCD的度数为（　　） A．80° B．100° C．120° D．140° 41．如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠BDC＝∠BAC；③∠ADC＝90°﹣∠ABD；④BD平分∠ADC． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 42．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线．如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 43．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝　 　°． 44．已知：如图①，BP、CP分别平分△ABC的外角∠CBD、∠BCE，BQ、CQ分别平分∠PBC、∠PCB，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线． （1）当∠BAC＝40°时，∠BPC＝　 　，∠BQC＝　 　； （2）当BM∥CN时，求∠BAC的度数； （3）如图②，当∠BAC＝120°时，BM、CN所在直线交于点O，直接写出∠BOC的度数． 45．在锐角△ABC中，点D是∠ABC、∠ACB的平分线的交点． （1）如图1，点E是△ABC外角∠MBC、∠NCB的三等分线的交点，且∠EBC＝∠MBC，∠ECB＝∠NCB，若∠BAC＝60°，则∠BDC＝　 　°，∠BEC＝　 　°； （2）如图2，锐角△ABC的外角∠ACG的平分线与BD的延长线交于点F，在△DCF中，如果有一个角是另一个角的4倍，试求出∠BAC的度数． $$ 专题07平行线的证明（易错必刷45题5种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 平行线的判定 · 平行线的性质 · 平行线的判定与性质 · 三角形内角和定理 · 三角形的外角性质 一．平行线的判定（共2小题） 1．如图，下列条件：①∠1＝∠2，②∠3+∠4＝180°，③∠5+∠6＝180°，④∠2＝∠3，⑤∠7＝∠2+∠3，⑥∠7+∠4﹣∠1＝180°中能判断直线a∥b的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【解答】解：①由∠1＝∠2，可得a∥b； ②由∠3+∠4＝180°，可得a∥b； ③由∠5+∠6＝180°，∠3+∠6＝180°，可得∠5＝∠3，即可得到a∥b； ④由∠2＝∠3，不能得到a∥b； ⑤由∠7＝∠2+∠3，∠7＝∠1+∠3可得∠1＝∠2，即可得到a∥b； ⑥由∠7+∠4﹣∠1＝180°，∠7﹣∠1＝∠3，可得∠3+∠4＝180°，即可得到a∥b； 故选：C． 2．如图，下列条件：①∠1＝∠3；②∠2+∠4＝180°；③∠4＝∠5； ④∠2＝∠3；⑤∠6＝∠2+∠3，其中能判断直线l1∥l2的有（　　） A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个 【答案】B 【解答】解：①∵∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本小题正确； ②∵∠2+∠4＝180°，∴l1∥l2，故本小题正确； ③∵∠4＝∠5，∴l1∥l2，故本小题正确； ④∵∠2＝∠3不能判定l1∥l2，故本小题错误； ⑤∵∠6＝∠2+∠3，∴l1∥l2，故本小题正确． 故选：B． 二．平行线的性质（共26小题） 3．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是（　　） A．42°、138° B．都是10° C．42°、138°或10°、10° D．以上都不对 【答案】C 【解答】解：如图1，∵AB∥EF， ∴∠3＝∠2， ∵BC∥DE， ∴∠3＝∠1， ∴∠1＝∠2． 如图2，∵AB∥EF， ∴∠3+∠2＝180°， ∵BC∥DE， ∴∠3＝∠1， ∴∠1+∠2＝180° ∴如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 设另一个角为x，则这一个角为4x﹣30°， （1）两个角相等，则x＝4x﹣30°， 解得x＝10°， 4x﹣30°＝4×10°﹣30°＝10°； （2）两个角互补，则x+（4x﹣30°）＝180°， 解得x＝42°， 4x﹣30°＝4×42°﹣30°＝138°． 所以这两个角是42°、138°或10°、10°． 故选：C． 4．如图，AB∥CD，有图中α，β，γ三角之间的关系是（　　） A．α+β+γ＝180° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝180° D．α+β+γ＝360° 【答案】C 【解答】解：如图，延长AE交直线CD于F， ∵AB∥CD， ∴∠α+∠AFD＝180°， ∵∠AFD＝∠β﹣∠γ， ∴∠α+∠β﹣∠γ＝180°， 故选：C． 5．如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【解答】解：（1）如图，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β， ∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C， ∴∠AE1C＝β﹣α． （2）如图，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β， ∴∠AE2C＝α+β． （3）如图，由AB∥CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β， ∵∠BAE3＝∠BOE3+∠AE3C， ∴∠AE3C＝α﹣β． （4）如图，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°， ∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β． ∴∠AEC的度数可能为β﹣α，α+β，α﹣β，360°﹣α﹣β． （5）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC＝α﹣β或β﹣α． 故选：D． 6．如果∠A和∠B的两边分别平行，那么∠A和∠B的关系是（　　） A．相等 B．互余或互补 C．互补 D．相等或互补 【答案】D 【解答】解：如图知∠A和∠B的关系是相等或互补． 故选：D． 7．如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE＝32°，则∠GHC等于（　　） A．112° B．110° C．108° D．106° 【答案】D 【解答】解：∵∠AGE＝32°，∠AGD＝180°， ∴∠DGE＝148°， 由折叠可得，∠DGH＝∠DGE＝74°， ∵AD∥BC， ∴∠GHC＝180°﹣∠DGH＝106°， 故选：D． 8．如图，AB∥DE，那么∠BCD＝（　　） A．180°+∠1﹣∠2 B．∠1+∠2 C．∠2﹣∠1 D．180°+∠2﹣2∠1 【答案】A 【解答】解：过点C作CF∥AB，如图： ∵AB∥DE， ∴AB∥DE∥CF， ∴∠BCF＝∠1①，∠2+∠DCF＝180°②， ∴①+②得，∠BCF+∠DCF+∠2＝∠1+180°，即∠BCD＝180°+∠1﹣∠2． 故选：A． 9．某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示：已知AB∥CD，∠BAE＝87°，∠DCE＝121°，则∠E的度数是（　　） A．28° B．34° C．46° D．56° 【答案】B 【解答】解：如图，延长DC交AE于F， ∵AB∥CD，∠BAE＝87°， ∴∠CFE＝87°， 又∵∠DCE＝121°， ∴∠E＝∠DCE﹣∠CFE＝121°﹣87°＝34°， 故选：B． 10．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角∠A＝130°，第二次拐角∠B＝150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C为（　　） A．170° B．160° C．150° D．140° 【答案】B 【解答】解：如图，过点B作BD∥AE， 由已知可得：AE∥CF， ∴AE∥BD∥CF， ∴∠ABD＝∠A＝130°，∠DBC+∠C＝180°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝150°﹣130°＝20°， ∴∠C＝180°﹣∠DBC＝180°﹣20°＝160°． 故选：B． 11．如图，直尺经过一副三角尺中的一块三角板DCB的顶点B，若∠C＝30°，∠ABC＝20°，则∠DEF度数为（　　） A．25° B．40° C．50° D．80° 【答案】C 【解答】解：∵∠C＝30°，∠ABC＝20°， ∴∠BAD＝∠C+∠ABC＝50°， ∵EF∥AB， ∴∠DEF＝∠BAD＝50°， 故选：C． 12．如图1的长方形纸带中∠DEF＝25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE度数是（　　） A．105° B．120° C．130° D．145° 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD为长方形， ∴AD∥BC， ∴∠BFE＝∠DEF＝25°． 由翻折的性质可知： 图2中，∠EFC＝180°﹣∠BFE＝155°，∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝130°， 图3中，∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝105°． 故选：A． 13．如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝33°，则∠E＝　82°　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，过F作FH∥AB， ∵AB∥CD， ∴FH∥AB∥CD， ∵∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F， ∴可设∠ABF＝∠EBF＝α＝∠BFH，∠DCG＝∠ECG＝β＝∠CFH， ∴∠ECF＝180°﹣β，∠BFC＝∠BFH﹣∠CFH＝α﹣β， ∴四边形BFCE中，∠E+∠BFC＝360°﹣α﹣（180°﹣β）＝180°﹣（α﹣β）＝180°﹣∠BFC， 即∠E+2∠BFC＝180°，① 又∵∠E﹣∠BFC＝33°， ∴∠BFC＝∠E﹣33°，② ∴由①②可得，∠E+2（∠E﹣33°）＝180°， 解得∠E＝82°， 故答案为：82°． 14．将一条两边互相平行的纸带沿EF折叠，如图（1），AD∥BC，ED'∥FC'，设∠AED'＝x° （1）∠EFB＝　90°﹣x°　．（用含x的代数式表示） （2）若将图1继续沿BF折叠成图（2），∠EFC″＝　﹣90°　．（用含x的代数式表示）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1所示： ∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFB，∠AEH+∠EHB＝180°， 又∵∠DEF＝∠D'EF， ∴∠D'EF＝∠EFB， 又∵∠EHB＝∠D'EF+∠EFB， ∴∠EFB＝∠EHB， 又∵∠AED'＝x°， ∴∠EHB＝180°﹣x° ∴∠EFB＝＝90°﹣x° （2）如图2所示： ∵∠EFB+∠EFC'＝180°， ∴∠EFC'＝180°﹣（90°﹣°）＝90°+， 又∵∠EFC'＝2∠EFB+∠EFC''， ∴∠EFC''＝∠EFC'﹣2∠EFB ＝90°+﹣2（90°﹣°） ＝， 故答案为． 15．如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝　（x+y）　度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝　（）n﹣1（x+y）　度． 【答案】（1）（x+y）；（2）（）n﹣1（x+y）． 【解答】解：（1）如图，分别过点P1、P2作直线MN∥AB，GH∥AB， ∴∠P1EB＝∠MP1E＝x°． 又∵AB∥CD， ∴MN∥CD． ∴∠P1FD＝∠FP1M＝y°． ∴∠EP1F＝∠EP1M+∠FP1M＝x°+y°． （2）∵P2E平分∠BEP1，P2F平分∠DFP1， ∴＝． ． 以此类推：，，...，． 故答案为：（x+y），（）n﹣1（x+y）． 16．如图，AB∥CD，BF、DF分别平分∠ABE和∠CDE，BF∥DE，∠F与∠ABE互补，则∠F的度数为 　36　°． 【答案】36． 【解答】解：延长FB交CD于点G，如图： ∵BF，DF分别平分∠ABE和∠CDE， ∴∠1＝∠2，∠FBA＝∠FBE， ∵AB∥CD， ∴∠FBA＝∠3， ∵BF∥DE，∠F与∠ABE互补， ∴∠3＝∠EDC＝2∠2，∠F＝∠1，∠F+∠ABE＝180°， 设∠F＝x°，则∠1＝∠2＝x°，∠3＝2x°，∠ABE＝4x°， ∴x+4x＝180， 解得，x＝36， 即∠F的度数为36°． 故答案为：36． 17．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，此时∠ODE＝∠ADC，且反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是 　74°　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：过点D作DF⊥AO交OB于点F． ∵入射角等于反射角， ∴∠1＝∠3， ∵CD∥OB， ∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）； ∴∠2＝∠3（等量代换）； 在Rt△DOF中，∠ODF＝90°，∠AOB＝37°， ∴∠2＝90°﹣37°＝53°； ∴在△DEF中，∠DEB＝180°﹣2∠2＝74°． 故答案为：74°． 18．裁剪师傅将一块长方形布料ABCD沿着AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，若∠BAF＝50°，则∠AEF＝　70　°． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵∠BAF＝50°，∠BAD＝90°， ∴∠FAD＝40°， 由折叠的性质知，∠DAE＝∠EAF＝∠FAD＝20°，∠AFE＝∠D＝90°， ∴Rt△AEF中，∠AEF＝90°﹣20°＝70°， 故答案为：70． 19．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG． （1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数； （2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数； （3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1，过G作GH∥AB， ∵AB∥CD， ∴GH∥AB∥CD， ∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN， ∵MG⊥NG， ∴∠MGN＝∠MGH+∠NGH＝∠AMG+∠CNG＝90°； （2）如图2，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α， ∵GK∥AB，AB∥CD， ∴GK∥CD， ∴∠KGN＝∠GND＝α， ∵GK∥AB，∠BMG＝30°， ∴∠MGK＝∠BMG＝30°， ∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP， ∴∠GMP＝∠BMG＝30°， ∴∠BMP＝60°， ∵PQ∥AB， ∴∠MPQ＝∠BMP＝60°， ∵ND平分∠GNP， ∴∠DNP＝∠GND＝α， ∵AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠QPN＝∠DNP＝α， ∴∠MGN＝30°+α，∠MPN＝60°﹣α， ∴∠MGN+∠MPN＝30°+α+60°﹣α＝90°； （3）如图3，过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF＝x，∠GND＝y， ∵AB，FG交于M，MF平分∠AME， ∴∠FME＝∠FMA＝∠BMG＝x， ∴∠AME＝2x， ∵GK∥AB， ∴∠MGK＝∠BMG＝x， ∵ET∥AB， ∴∠TEM＝∠EMA＝2x， ∵CD∥AB∥KG， ∴GK∥CD， ∴∠KGN＝∠GND＝y， ∴∠MGN＝x+y， ∵∠CND＝180°，NE平分∠CNG， ∴∠CNG＝180°﹣y，∠CNE＝∠CNG＝90°﹣y， ∵ET∥AB∥CD， ∴ET∥CD， ∴∠TEN＝∠CNE＝90°﹣y， ∴∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°﹣y﹣2x，∠MGN＝x+y， ∵2∠MEN+∠G＝105°， ∴2（90°﹣y﹣2x）+x+y＝105°， ∴x＝25°， ∴∠AME＝2x＝50°． 20．如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP＝x°． （1）如图1，若DE∥OB． ①∠DEO的度数是　20　°，当DP⊥OE时，x＝　70　； ②若∠EDF＝∠EFD，求x的值； （2）如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）①∵∠AOB＝40°，OC平分∠AOB， ∴∠BOE＝20°， ∵DE∥OB， ∴∠DEO＝∠BOE＝20°； ∵∠DOE＝∠DEO＝20°， ∴DO＝DE，∠ODE＝140°， 当DP⊥OE时，∠ODP＝∠ODE＝70°， 即x＝70， 故答案为：20，70； ②∵∠DEO＝20°，∠EDF＝∠EFD， ∴∠EDF＝80°， 又∵∠ODE＝140°， ∴∠ODP＝140°﹣80°＝60°， ∴x＝60； （2）存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF． 分两种情况： ①如图2，若DP在DE左侧， ∵DE⊥OA， ∴∠EDF＝90°﹣x°， ∵∠AOC＝20°， ∴∠EFD＝20°+x°， 当∠EFD＝4∠EDF时，20°+x°＝4（90°﹣x°）， 解得x＝68； ②如图3，若DP在DE右侧， ∵∠EDF＝x°﹣90°，∠EFD＝180°﹣20°﹣x°＝160°﹣x°， ∴当∠EFD＝4∠EDF时，160°﹣x°＝4（x°﹣90°）， 解得x＝104； 综上所述，当x＝68或104时，∠EFD＝4∠EDF． 21．已知直线AB∥CD． （1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为　∠E＝∠END﹣∠BME　； （2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE，直线MB、ND交于点F，则＝　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1，∵AB∥CD， ∴∠END＝∠EFB， ∵∠EFB是△MEF的外角， ∴∠E＝∠EFB﹣∠BME＝∠END﹣∠BME， 故答案为：∠E＝∠END﹣∠BME； （2）如图2，∵AB∥CD， ∴∠CNP＝∠NGB， ∵∠NPM是△GPM的外角， ∴∠NPM＝∠NGB+∠PMA＝∠CNP+∠PMA， ∵MQ平分∠BME，PN平分∠CNE， ∴∠CNE＝2∠CNP，∠FME＝2∠BMQ＝2∠PMA， ∵AB∥CD， ∴∠MFE＝∠CNE＝2∠CNP， ∵△EFM中，∠E+∠FME+∠MFE＝180°， ∴∠E+2∠PMA+2∠CNP＝180°， 即∠E+2（∠PMA+∠CNP）＝180°， ∴∠E+2∠NPM＝180°； （3）如图3，延长AB交DE于G，延长CD交BF于H， ∵AB∥CD， ∴∠CDG＝∠AGE， ∵∠ABE是△BEG的外角， ∴∠E＝∠ABE﹣∠AGE＝∠ABE﹣∠CDE，① ∵∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE， ∴∠ABM＝∠ABE＝∠CHB，∠CDN＝∠CDE＝∠FDH， ∵∠CHB是△DFH的外角， ∴∠F＝∠CHB﹣∠FDH＝∠ABE﹣∠CDE＝（∠ABE﹣∠CDE），② 由①代入②，可得∠F＝∠E， 即． 故答案为：． 22．如图①，直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，点P在直线EF上，连接PA、PB． 猜想：如图①，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，则∠APB的大小为 　55　度． 探究：如图①，若点P在线段CD上，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系． 拓展：如图②，若点P在射线CE上或在射线DF上时，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：猜想：如图①，过点P作PG∥l1， ∵l1∥l2， ∴l1∥l2∥PG， ∴∠APG＝∠PAC＝15°，∠BPG＝∠PBD＝40°， ∴∠APB＝∠APG+∠BPG＝∠PAC+∠PBD＝15°+40°＝55°， ∴∠APB的大小为55度， 故答案为：55； 探究：如图①，∠PAC＝∠APB﹣∠PBD，理由如下： ∵l1∥l2∥PG， ∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD， ∴∠APB＝∠APG+∠BPG＝∠PAC+∠PBD， ∴∠PAC＝∠APB﹣∠PBD； 拓展：∠PAC＝∠PBD﹣∠APB或∠PAC＝∠APB+∠PBD，理由如下： 如图，当点P在射线CE上时， 过点P作PG∥l1， ∴l1∥l2∥PG， ∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD， ∴∠PAC＝∠APG＝∠BPG﹣∠APB， ∴∠PAC＝∠PBD﹣∠APB； 当点P在射线DF上时， 过点P作PG∥l1， ∴l1∥l2∥PG， ∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD， ∴∠PAC＝∠APG＝∠APB+∠BPG， ∴∠PAC＝∠APB+∠PBD， 综上所述：当点P在射线CE上或在射线DF上时，∠PAC＝∠PBD﹣∠APB或∠PAC＝∠APB+∠PBD． 23．已知：如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD平分∠ACM，CE⊥CD． （1）若∠O＝50°，求∠BCD的度数； （2）求证：CE平分∠OCA； （3）当∠O为多少度时，CA分∠OCD成1：2两部分，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵AB∥ON ∴∠O＝∠MCB（两直线平行，同位角相等） ∵∠O＝50° ∴∠MCB＝50° ∵∠ACM+∠MCB＝180°（平角定义） ∴∠ACM＝180°﹣50°＝130° 又∵CD平分∠ACM ∴∠DCM＝65°（角平分线定义） ∴∠BCD＝∠DCM+∠MCB＝65°+50°＝115° （2）证明：∵CE⊥CD ∴∠DCE＝90° ∴∠ACE+∠DCA＝90° 又∵∠MCO＝180°（平角定义） ∴∠ECO+∠DCM＝90° ∵∠DCA＝∠DCM ∴∠ACE＝∠ECO（等角的余角相等） 即CE平分∠OCA （3）结论：当∠O＝36°或90°时，CA分∠OCD成1：2两部分 ①当∠O＝36°时 ∵AB∥ON ∴∠ACO＝∠O＝36° ∴∠ACM＝144° 又∵CD平分∠ACM ∴∠ACD＝72° ∴∠ACO＝∠ACD 即CA分∠OCD成1：2两部分 ②当∠O＝90°时 ∵AB∥ON ∴∠ACO＝∠O＝90° ∴∠ACM＝90° 又∵CD平分∠ACM ∴∠ACD＝45° ∴∠ACD＝∠ACO 即CA分∠OCD成1：2两部分 24．【探究】 （1）如图1，∠ADC＝120°，∠BCD＝130°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝　35　°； （2）如图2，∠ADC＝α，∠BCD＝β，且α+β＞180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝　　；（用α、β表示） （3）如图3，∠ADC＝α，∠BCD＝β，当∠DAB和∠CBE的平分线AG、BH平行时，α、β应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论． 【挑战】 如果将（2）中的条件α+β＞180°改为α+β＜180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，你又可以找到怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论． 【答案】（1）35°； （2）； （3）α+β＝180°，证明过程看解答过程； 挑战：∠AFB＝90°﹣，证明过程看解答过程． 【解答】解：（1）如图1． ∵BF平分∠CBE，AF平分∠DAB， ∴∠FBE＝∠CBE，∠FAB＝∠DAB． ∵∠D+∠DCB+∠DAB+∠ABC＝360°， ∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB ＝360°﹣120°﹣130°＝110°． 又∵∠F+∠FAB＝∠FBE， ∴∠F＝∠FBE﹣∠FAB＝ ＝ ＝． （2）如图2． 由（1）得：∠AFB＝，∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB． ∴∠AFB＝＝． （3）若AG∥BH，则α+β＝180°． 证明：如图3． 若AG∥BH，则∠GAB＝∠HBE． ∵AG平分∠DAB，BH平分∠CBE， ∴∠DAB＝2∠GAB，∠CBE＝2∠HBE． ∴∠DAB＝∠CBE． ∴AD∥BC． ∴∠DAB+∠DCB＝α+β＝180°． 挑战：如图4． ∵AM平分∠DAB，BN平分∠CBE， ∴∠BAM＝，． ∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠BCD＝360°， ∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣BCD＝360°﹣α﹣β． ∴∠DAB+180°﹣∠CBE＝360°﹣α﹣β． ∴∠DAB﹣∠CBE＝180°﹣α﹣β． ∵∠ABF与∠NBE是对顶角， ∴∠ABF＝∠NBE． 又∵∠F+∠ABF＝∠MAB， ∴∠F＝∠MAB﹣∠ABF． ∴∠F＝ ＝ ＝90°﹣． 25．如图，已知AM∥BN，∠A＝80°，点P是射线AM上动点（与A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D． （1）求∠CBD的度数； （2）当点P运动时，那么∠APB：∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律； （3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵AM∥BN， ∴∠ABN+∠A＝180°， ∴∠ABN＝180°﹣80°＝100°， ∴∠ABP+∠PBN＝100°， ∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN， ∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP， ∴2∠CBP+2∠DBP＝100°， ∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝50°； （2）不变，∠APB：∠ADB＝2：1． ∵AM∥BN， ∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN， ∵BD平分∠PBN， ∴∠PBN＝2∠DBN， ∴∠APB：∠ADB＝2：1； （3）∵AM∥BN， ∴∠ACB＝∠CBN， 当∠ACB＝∠ABD时，则有∠CBN＝∠ABD， ∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN， ∴∠ABC＝∠DBN， 由（1）可知∠ABN＝100°，∠CBD＝50°， ∴∠ABC+∠DBN＝50°， ∴∠ABC＝25°． 26．如图1，AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B，过B作BD⊥AM． （1）求证：∠ABD＝∠C； （2）如图2，在（1）问的条件下，分别作∠ABD、∠DBC的平分线交DM于E、F，若∠BFC＝1.5∠ABF，∠FCB＝2.5∠BCN， ①求证：∠ABF＝∠AFB； ②求∠CBE的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1，过B作BG∥CN， ∴∠C＝∠CBG ∵AB⊥BC， ∴∠CBG＝90°﹣∠ABG， ∴∠C＝90°﹣∠ABG， ∵BG∥CN，AM∥CN， ∴AM∥BG， ∴∠DBG＝90°＝∠D， ∴∠ABD＝90°﹣∠ABG， ∴∠ABD＝∠C； （2）①如图2，设∠DBE＝∠EBA＝x，则∠BCN＝2x，∠FCB＝5x， 设∠ABF＝y，则∠BFC＝1.5y， ∵BF平分∠DBC， ∴∠FBC＝∠DBF＝2x+y， ∵∠AFB+∠BCN＝∠FBC， ∴∠AFB+2x＝2x+y， ∴∠AFB＝y＝∠ABF； ②∵∠CBA＝90°，AF∥CN， ∴∠ABG+∠CBG＝90°，∠BCN+∠AFB+∠BFC+∠BCF＝180°， ∴， ∴， ∴∠CBE＝3x+2y＝3×15°+2×30°＝105°． 27．如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点， （1）若∠1与∠2都是锐角，如图甲，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系； （2）若把一块三角尺（∠A＝30°，∠C＝90°）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数； （3）将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，求的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∠C＝∠1+∠2． 理由：如图，过C作CD∥PQ， ∵PQ∥MN， ∴PQ∥CD∥MN， ∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD， ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠1+∠2． （2）∵∠AEN＝∠A＝30°， ∴∠MEC＝30°， 由（1）可得，∠C＝∠MEC+∠PDC＝90°， ∴∠PDC＝90°﹣∠MEC＝60°， ∴∠BDF＝∠PDC＝60°； （3）设∠CEG＝∠CEM＝x，则∠GEN＝180°﹣2x， 由（1）可得，∠C＝∠CEM+∠CDP， ∴∠CDP＝90°﹣∠CEM＝90°﹣x， ∴∠BDF＝90°﹣x， ∴＝＝2． 28．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度数． 小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC． （1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为 　110　度；（直接写出答案） （2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α，β之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α，β之间的数量关系． 【答案】（1）110； （2）∠APC＝α+β，理由见解答过程； （3）当P在BD延长线上时，∠CPA＝α﹣β；当P在DB延长线上时，∠CPA＝β﹣α． 【解答】（1）解：过点P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴PE∥AB∥CD， ∴∠PAB+∠APE＝180°，∠PCD+∠CPE＝180°， ∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°， ∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°， ∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°． 故答案为：110． （2）∠APC＝α+β， 理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE∥CD， ∴α＝∠APE，β＝∠CPE， ∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝α+β； （3）如图所示，当P在BD延长线上时， ∠CPA＝α﹣β； 如图所示，当P在DB延长线上时， ∠CPA＝β﹣α． 三．平行线的判定与性质（共5小题） 29．将一副三角板按如图放置，则下列结论：①如果∠2＝30°，则有AC∥DE；②∠BAE+∠CAD＝180°；③如果BC∥AD，则有∠2＝30°；④如果∠CAD＝150°，必有∠4＝∠C；正确的有（　　） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【解答】解：∵∠2＝30°， ∴∠1＝60°， 又∵∠E＝60°， ∴∠1＝∠E， ∴AC∥DE，故①正确； ∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°， 即∠BAE+∠CAD＝∠1+∠2+∠2+∠3＝90°+90°＝180°，故②正确； ∵BC∥AD， ∴∠1+∠2+∠3+∠C＝180°， 又∵∠C＝45°，∠1+∠2＝90°， ∴∠3＝45°， ∴∠2＝90°﹣45°＝45°，故③错误； ∵∠D＝30°，∠CAD＝150°， ∴∠CAD+∠D＝180°， ∴AC∥DE， ∴∠4＝∠C，故④正确． 故选：A． 30．如图1，E点在BC上，∠A＝∠D，∠ACB+∠BED＝180°． （1）求证：AB∥CD； （2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数． （3）在（1）的结论下，保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 【答案】（1）证明过程请看解答； （2）100°； （3）40°． 【解答】（1）证明：如图1，延长DE交AB于点F， ∵∠ACB+∠BED＝180°，∠CED+∠BED＝180°， ∴∠ACB＝∠CED， ∴AC∥DF， ∴∠A＝∠DFB， ∵∠A＝∠D， ∴∠DFB＝∠D， ∴AB∥CD； （2）如图2，作EM∥CD，HN∥CD， ∵AB∥CD， ∴AB∥EM∥HN∥CD， ∴∠1+∠EDF＝180°，∠MEB＝∠ABE， ∵BG平分∠ABE， ∴∠ABG＝ABE， ∵AB∥HN， ∴∠2＝∠ABG， ∵CF∥HN， ∴∠2+∠β＝∠3， ∴ABE+∠β＝∠3， ∵DH平分∠EDF， ∴∠3＝EDF， ∴ABE+∠β＝EDF， ∴∠β＝（∠EDF﹣∠ABE）， ∴∠EDF﹣∠ABE＝2∠β， 设∠DEB＝∠α， ∵∠α＝∠1+∠MEB＝180°﹣∠EDF+∠ABE＝180°﹣（∠EDF﹣∠ABE）＝180°﹣2∠β， ∵∠DEB比∠DHB大60°， ∴∠α﹣60°＝∠β， ∴∠α＝180°﹣2（∠α﹣60°） 解得∠α＝100° ∴∠DEB的度数为100°； （3）∠PBM的度数不变，理由如下： 如图3，过点E作ES∥CD，设直线DF和直线BP相交于点G， ∵BM平分∠EBK，DN平分∠CDE， ∴∠EBM＝∠MBK＝EBK， ∠CDN＝∠EDN＝CDE， ∵ES∥CD，AB∥CD， ∴ES∥AB∥CD， ∴∠DES＝∠CDE， ∠BES＝∠ABE＝180°﹣∠EBK， ∠G＝∠PBK， 由（2）可知：∠DEB＝100°， ∴∠CDE+180°﹣∠EBK＝100°， ∴∠EBK﹣∠CDE＝80°， ∵BP∥DN， ∴∠CDN＝∠G， ∴∠PBK＝∠G＝∠CDN＝CDE， ∴∠PBM＝∠MBK﹣∠PBK ＝∠EBK﹣CDE ＝（∠EBK﹣∠CDE） ＝80° ＝40°． 31．阅读下列材料： 已知：如图1，直线AB∥CD，点E是AB、CD之间的一点，连接BE、DE得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D．小冰是这样做的：证明：过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B．∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED＝∠D．∴∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．图1即∠BED＝∠B+∠D． 请利用材料中的结论，完成下面的问题： 已知：直线AB∥CD，直线MN分别与AB、CD交于点E、F． （1）如图2，∠BEF和∠EFD的平分线交于点G．猜想∠G的度数，并证明你的猜想； （2）如图3，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1＝∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2．求证：∠FG1E+∠G2＝180°． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图2所示，猜想：∠EGF＝90°； 证明：由材料中的结论得∠EGF＝∠BEG+∠GFD， ∵EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD， ∴∠BEF＝2∠BEG，∠EFD＝2∠GFD， ∵BE∥CF， ∴∠BEF+∠EFD＝180°， ∴2∠BEG+2∠GFD＝180°， ∴∠BEG+∠GFD＝90°， ∵∠EGF＝∠BEG+∠GFD， ∴∠EGF＝90°； （2）证明：如图3，过点G1作G1H∥AB， ∵AB∥CD，∴G1H∥CD， 由结论可得∠G2＝∠1+∠3，∠EG1F＝∠BEG1+∠G1FD， ∴∠3＝∠G2FD， ∵FG2平分∠EFD， ∴∠4＝∠G2FD， ∵∠1＝∠2， ∴∠G2＝∠2+∠4， ∵∠EG1F＝∠BEG1+∠G1FD， ∴∠EG1F+∠G2＝∠2+∠4+∠BEG1+∠G1FD＝∠BEF+∠EFD， ∵AB∥CD， ∴∠BEF+∠EFD＝180°， ∴∠EG1F+∠G2＝180°． 32．如图1，G，E是直线AB上两点，点G在点E左侧，过点G的直线GP与过点E的直线EP交于点P．直线PE交直线CD于点H，满足点E在线段PH上，∠PGB+∠P＝∠PHD． （1）求证：AB∥CD； （2）如图2，点Q在直线AB，CD之间，PH平分∠QHD，GF平分∠PGB，点F，G，Q在同一直线上，且2∠Q+∠P＝120°，求∠QHD的度数； （3）在（2）的条件下，若点M是直线PG上一点，直线MH交直线AB于点N，点N在点B左侧，请直接写出∠MNB和∠PHM的数量关系．（题中所有角都是大于0°且小于180°的角） 【答案】（1）证明过程详见解答部分； （2）160°； （3）点N在点B左侧，∠MNB和∠PHM的数量关系是∠MNB+∠PHM＝100°或∠MNB+∠PHM＝280°或∠MNB﹣∠PHM＝80°或∠MNB+∠PHM＝80°． 【解答】（1）证明：∵∠PGB+∠P＝∠PHD，∠PGB+∠P＝∠PEB， ∴∠PEB＝∠PHD， ∴AB∥CD； （2）解：过点Q作QK∥AB，如图， 则∠GQK＝∠EGF， 由（1）知：AB∥CD， ∴QK∥CD， ∴∠HQK＝∠CHQ， ∴∠GQH＝∠GQK+∠HQK ＝∠EGF+∠CHQ， ∵GF平分∠PGB， ∴∠PGB＝2∠EGF＝2∠GQK， ∵PH平分∠QHD， ∴∠QHD＝2∠PHD， ∵∠PGB+∠P＝∠PHD， ∴∠QHD＝2∠PHD＝2∠PGB+2∠P＝4∠GQK+2∠P， ∵2∠GQH+∠P＝120°， ∴2∠GQK+2∠HQK+∠P＝120°， ∴2∠GQK+∠P＝120°﹣2∠HQK＝120°﹣2∠QHC， ∴∠QHD＝4∠GQK+2∠P＝2（120°﹣2∠QHC）＝240°﹣4∠QHC， ∵∠QHC＝180°﹣∠QHD， ∴∠QHD＝240°﹣4（180°﹣∠QHD）， 解得∠QHD＝160°； 即∠QHD的度数为160°； （3）在（2）的条件下，若点M是直线PG上一点，直线MH交直线AB于点N，点N在点B左侧，∠MNB和∠PHM的数量关系是∠MNB+∠PHM＝100°或∠MNB﹣∠PHM＝80°或∠MNB+∠PHM＝80°，理由如下： 在（2）的条件下，∠PHD＝∠QHD＝80°， 若点M在PG的延长线上， 或 ∵AB∥CD， ∴∠HEN＝∠PHD＝80°，∠HEN＝∠CHP＝100°， ∵∠MNB+∠PHM+∠HEN＝180°， ∴∠MNB+∠PHM＝180°﹣∠HEN＝100°或∠MNB+∠PHM＝∠CHN+∠PHM＝180°+∠CHP＝280°． 若点M在PG上， ∵AB∥CD， ∴∠HEN＝∠PHD＝80°， ∵∠MNB＝∠PHM+∠HEN， ∴∠MNB﹣∠PHM＝∠HEN＝80°； 若点M在GP的延长线上， ∵AB∥CD， ∴∠HEN+∠PHD＝180°， ∴∠HEN＝180°﹣∠PHD＝100°， ∵∠HME+∠PHM+∠HEN＝180°，∠MNB＝∠HNE， ∴∠MNB+∠PHM＝180°﹣∠HEN＝80°． 综上所述，点N在点B左侧，∠MNB和∠PHM的数量关系是∠MNB+∠PHM＝100°或∠MNB+∠PHM＝280°或∠MNB﹣∠PHM＝80°或∠MNB+∠PHM＝80°． 33．如图甲所示，已知点E在直线AB上，点F，G在直线CD上，且∠EFG＝∠FEG，EF平分∠AEG． （1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由． （2）如图乙所示，H是AB上点E右侧一动点，∠EGH的平分线GQ交FE的延长线于点Q，设∠Q＝α，∠EHG＝β ①若∠HEG＝40°，∠QGH＝20°，求∠Q的度数． ②判断：点H在运动过程中，α和β的数量关系是否发生变化？若不变，求出α和β的数量关系；若变化，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）直线AB与直线CD平行，理由： ∵EF平分∠AEG， ∴∠AEF＝∠GEF， 又∵∠EFG＝∠FEG， ∴∠AEF＝∠GFE， ∴AB∥CD； （2）①∵∠HEG＝40°， ∴∠FEG＝（180°﹣40°）＝70°， 又∵QG平分∠EGH， ∴∠QGH＝∠QGE＝20°， ∴∠Q＝∠FEG﹣∠EGQ＝70°﹣20°＝50°； ②点H在运动过程中，α和β的数量关系不发生变化， ∵∠FEG是△EGQ的外角，∠AEG是△EGH的外角， ∴∠Q＝∠FEG﹣∠EGQ，∠EHG＝∠AEG﹣∠EGH， 又∵FE平分∠AEG，GQ平分∠EGH， ∴∠FEG＝∠AEG，∠EGQ＝∠EGH， ∴∠Q＝∠FEG﹣∠EGQ ＝（∠AEG﹣∠EGH） ＝∠EHG， 即α＝β． 四．三角形内角和定理（共4小题） 34．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD+∠ACD＝（　　） A．75° B．80° C．85° D．90° 【答案】A 【解答】解：∵AD是BC边上的高，∠ABC＝60°， ∴∠BAD＝30°， ∵∠BAC＝50°，AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝25°， ∴∠DAE＝30°﹣25°＝5°， ∵△ABC中，∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝70°， ∴∠EAD+∠ACD＝5°+70°＝75°， 故选：A． 35．如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C，则∠C的度数是（　　） A．30° B．45° C．55° D．60° 【答案】B 【解答】解：根据三角形的外角性质，可得∠ABN＝∠AOB+∠BAO， ∵BE平分∠NBA，AC平分∠BAO， ∴∠ABE＝∠ABN，∠BAC＝∠BAO， ∴∠C＝∠ABE﹣∠BAC＝（∠AOB+∠BAO）﹣∠BAO＝∠AOB， ∵∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动， ∴∠AOB＝90°， ∴∠C＝×90°＝45°． 故选：B． 36．如图所示，将△ABC沿着DE折叠，使点A与点N重合，若∠A＝65°，则∠1+∠2＝（　　） A．25° B．65° C．115° D．130° 【答案】D 【解答】解：∵△NDE是△ADE翻折变换而成， ∴∠AED＝∠NED，∠ADE＝∠NDE，∠A＝∠N＝65°， ∴∠AED+∠ADE＝∠NED+∠NDE＝180°﹣65°＝115°， ∴∠1+∠2＝360°﹣2×115°＝130°． 故选：D． 37．如图，在第1个△ABA1中，∠B＝40°，∠BAA1＝∠BA1A，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得在第2个△A1CA2中，∠A1CA2＝∠A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得在第3个△A2DA3中，∠A2DA3＝∠A2A3D；…，按此做法进行下去，第3个三角形中以A3为顶点的内角的度数为 　17.5°　；第n个三角形中以An为顶点的底角的度数为 　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵在△ABA1中，∠B＝40°，AB＝A1B， ∴∠BA1A＝（180°﹣∠B）＝（180°﹣40°）＝70°， ∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角， ∴∠CA2A1＝∠BA1A＝×70°＝35°； 同理可得，∠DA3A2＝×70°＝17.5°，∠EA4A3＝×70°， 以此类推，第n个三角形的以An为顶点的底角的度数＝． 故答案为：17.5°，． 五．三角形的外角性质（共8小题） 38．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝50°，∠D＝10°，则∠P的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】B 【解答】解：延长DC，与AB交于点E． ∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝50°， ∴∠ACD＝∠A+∠AEC＝50°+∠AEC． ∵∠AEC是△BDE的外角， ∴∠AEC＝∠ABD+∠D＝∠ABD+10°， ∴∠ACD＝50°+∠AEC＝50°+∠ABD+10°， 整理得∠ACD﹣∠ABD＝60°． 设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC， ∴∠P+∠ACD＝∠A+∠ABD， 即∠P＝50°﹣（∠ACD﹣∠ABD）＝20°． 故选：B． 39．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④ 【答案】C 【解答】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC， ∴∠DCE＝∠ACD，∠DBE＝∠ABC， 又∵∠DCE是△BCE的外角， ∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE， ＝（∠ACD﹣∠ABC） ＝∠1，故①正确； ∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB） ＝180°﹣（∠ABC+∠ACB） ＝180°﹣（180°﹣∠1） ＝90°+∠1，故②、③错误； ∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD， ∴∠ACO＝∠ACB，∠ACE＝ACD， ∴∠OCE＝（∠ACB+∠ACD）＝×180°＝90°， ∵∠BOC是△COE的外角， ∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正确； 故选：C． 40．如图所示，∠A＝50°，∠B＝20°，∠D＝30°，则∠BCD的度数为（　　） A．80° B．100° C．120° D．140° 【答案】B 【解答】解：如图所示，延长BC交AD于点E， ∵∠A＝50°，∠B＝20°， ∴∠CED＝∠A+∠B＝50°+20°＝70°， ∴∠BCD＝∠CED+∠D＝70°+30°＝100°． 故选：B． 41．如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论： ①AD∥BC；②∠BDC＝∠BAC；③∠ADC＝90°﹣∠ABD；④BD平分∠ADC． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：∵AD平分∠EAC， ∴∠EAC＝2∠EAD， ∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB， ∴∠EAD＝∠ABC， ∴AD∥BC，即①正确； ∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACF ∴∠DCF＝∠ACF，∠DBC＝∠ABC， ∵∠DCF是△BCD的外角， ∴∠BDC＝∠DCF﹣∠DBC＝∠ACF﹣∠ABC＝（∠ACF﹣∠ABC）＝∠BAC，即②正确； ∵AD平分∠EAC，CD平分∠ACF， ∴∠DAC＝∠EAC，∠DCA＝∠ACF， ∵∠EAC＝∠ACB+∠ABC，∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠ACD） ＝180°﹣（∠EAC+∠ACF） ＝180°﹣（∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC） ＝180°﹣（180°+∠ABC） ＝90°﹣∠ABC ＝90°﹣∠ABD，即③正确； ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠ADB＝∠DBC＝∠ABC，而∠BDC＝∠BAC≠∠ACB， ∴∠ADB≠∠CDB，即④错误； ∴正确的有3个， 故选：C． 42．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线．如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 【答案】B 【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线， ∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°， ∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°， ∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°， ∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°， ∵∠PBC＝20°， ∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°， 故选：B． 43．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝　30　°． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线， ∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°， ∵∠PCM是△BCP的外角， ∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°， 故答案为：30°． 44．已知：如图①，BP、CP分别平分△ABC的外角∠CBD、∠BCE，BQ、CQ分别平分∠PBC、∠PCB，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线． （1）当∠BAC＝40°时，∠BPC＝　70°　，∠BQC＝　125°　； （2）当BM∥CN时，求∠BAC的度数； （3）如图②，当∠BAC＝120°时，BM、CN所在直线交于点O，直接写出∠BOC的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC， ∴∠DBC+∠BCE＝180°+∠A＝220°， ∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线， ∴∠CBP+∠BCP＝（∠DBC+∠BCE）＝110°， ∴∠BPC＝180°﹣110°＝70°， ∵BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线， ∴∠QBC＝∠PBC，∠QCB＝∠PCB， ∴∠QBC+∠QCB＝55°， ∴∠BQC＝180°﹣55°＝125°； 故答案为：70°，125°； （2）∵BM∥CN， ∴∠MBC+∠NCB＝180°， ∵BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线， ∴（∠DBC+∠BCE）＝180°， 即（180°+∠BAC）＝180°， 解得∠BAC＝60°； （3）∵∠BAC＝120°， ∴∠MBC+∠NCB＝（∠DBC+∠BCE）＝（180°+α）＝225°， ∴∠BOC＝225°﹣180°＝45°． 45．在锐角△ABC中，点D是∠ABC、∠ACB的平分线的交点． （1）如图1，点E是△ABC外角∠MBC、∠NCB的三等分线的交点，且∠EBC＝∠MBC，∠ECB＝∠NCB，若∠BAC＝60°，则∠BDC＝　120　°，∠BEC＝　100　°； （2）如图2，锐角△ABC的外角∠ACG的平分线与BD的延长线交于点F，在△DCF中，如果有一个角是另一个角的4倍，试求出∠BAC的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵∠BAC＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝120°， 又∵点D是∠ABC、∠ACB的平分线的交点， ∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB， ∴△BCD中，∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣60°＝120°； ∵∠EBC＝∠MBC，∠ECB＝∠NCB， ∴∠EBC+∠ECB＝（∠MBC+∠NCB）＝（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）＝（360°﹣120°）＝80°， ∴△BCE中，∠E＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣80°＝100°； 故答案为：120，100； （2）由（1）可得，∠BDC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A， ∴∠FDC＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A， ∵∠FCG是△BCF的外角，∠ACG是△ABC的外角， ∴∠F＝∠FCG﹣∠FBC，∠A＝∠ACG﹣∠ABC， 又∵BF平分∠ABC，FC平分∠ACG， ∴∠FBC＝∠ABC，∠FCG＝∠ACG， ∴∠F＝∠FCG﹣∠FBC＝∠ACG﹣∠ABC＝（∠ACG﹣∠ABC）＝∠A， ∵DC平分∠ACB，FC平分∠ACG， ∴∠DCF＝∠ACD+∠ACF＝∠BCG＝90°， 在△DCF中，如果有一个角是另一个角的4倍，则 ①当∠FDC＝4∠F时，90°﹣∠A＝4×∠A， 解得∠A＝36°； ②当∠F＝4∠FDC时，∠A＝4×（90°﹣∠A）， 解得∠A＝144°（不合题意）； ③当∠DCF＝4∠FDC时，90°＝4×（90°﹣∠A）， 解得∠A＝135°（不合题意）； ④当∠DCF＝4∠F时，90°＝4×∠A， 解得∠A＝45°； 综上所述，锐角△ABC中∠BAC的度数为36°或45°． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/12/28 0:21:11；用户：乐乐；邮箱：lhqfhf@163.com；学号：11297611 $$