专题 第2章有理数的运算章末重点题型复习（专项训练）数学浙教版2024七年级上册

（浙教版）七年级上册 第2章：有理数的运算章末重点题型复习 题型一 有理数的加减法 1．把算式：（﹣5）﹣（﹣4）+（﹣7）﹣（﹣2）写成省略括号的形式，结果正确的是（　　） A．﹣5﹣4+7﹣2 B．5+4﹣7﹣2 C．﹣5+4﹣7+2 D．﹣5+4+7﹣2 2．（2024•伊通县一模）长春市2月18日至2月21日天气预报的最高气温与最低气温如表： 日期 2月18日 2月19日 2月20日 2月21日 最高气温/℃ 8 ﹣4 ﹣10 ﹣7 最低气温/℃ ﹣6 ﹣16 ﹣16 ﹣15 其中温差最大的日期是（　　） A．2月18日 B．2月19日 C．2月20日 D．2月21日 3．（2024秋•顺德区校级月考）已知|x|＝2，|y|＝3，且x﹣y＞0，则x+y的值为（　　） A．﹣5 B．﹣5或﹣1 C．﹣1 D．以上都不对 4．已知|a|＝1，|b|＝6，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为 　 　． 5．九宫格是一款数学游戏，起源于河图洛书，河图与洛书是我国古代流传下来的两幅神秘图案，历来被认为是河洛文化的滥觞，中华文明的源头，被誉为“宇宙魔方”．将九个数分别填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．若a，b，c，d，e分别表示其中的一个数，则a+b+c﹣d﹣e的值为 　 　． a b 0 ﹣2 3 c d e 1 6．计算下列各题： （1）5.6﹣（﹣3.2）； （2）（﹣1.24）﹣（+4.76）； （3）； （4）； （5）（﹣1.2）﹣[（﹣1）﹣（+0.3）]． 题型二 有理数的乘除法 1．下列互为倒数的是（　　） A．﹣3和 B．﹣2和2 C．3和 D．﹣2和 2．下列运算，结果正确的是（　　） A．﹣7÷7＝1 B． C．﹣36÷（﹣9）＝4 D． 3．（2023秋•望城区期末）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论错误的是（　　） A．a+b＜0 B．a﹣2b＜0 C．a＜|b| D． 4．（2023秋•蒙城县校级月考）计算． （1）（﹣8.46）×2.5×（﹣4）； （2）（﹣0.75）． 5．（2024秋•南关区校级期中）计算： （1） （2） 6．（2024秋•鼓楼区校级月考）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ 答：我列的算式是 　 　，乘积的最大值为 　 　． （2）从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字的积最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我列的算式是 　 　，乘积的最小值为 　 ． （3）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的商最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我列的算式是 　 　，商的最小值为 　 　． 题型三 有理数的简便计算 1．在简便运算时，把变形成最合适的形式是（　　） A．24×（﹣100） B．24×（﹣100） C．24×（﹣99） D．24×（﹣99） 2．若（﹣2022）×63＝p，则（﹣2022）×62的值可表示为（　　） A．p﹣1 B．p+2022 C．p﹣2022 D．p+1 3．利用有理数的加法运算律计算，使运算简便． （1）（﹣248）+433+（﹣752）+（﹣433）； （2）（﹣0.8）+1.2+（﹣0.7）+（﹣2.1）+0.8+3.5． 4．计算：． 小敏的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） ＝﹣5+6（第三步） ＝1（第四步） 根据小敏的计算过程，回答下列问题： （1）小敏在进行第二步计算时，运用了加法的 　 律、　 　律； （2）请指出她从第 　 　步开始出现错误； （3）请你写出正确的解题过程． 5．简便计算： （1）﹣1.25×（﹣5）×3×（﹣8）； （2）（）×（﹣12）； （3）（﹣19）． （4）（﹣48）×0.125+48 题型四 有理数的乘方 1．（2023秋•环翠区期末）下列各组数中互为相反数的是（　　） A．﹣2024与﹣|﹣2024| B．﹣110与（﹣1）9 C．（﹣2）3与（﹣3）2 D．a与﹣a 2．（2023秋•献县期末）在有理数﹣12，|﹣1|，，（﹣1）2021，﹣（﹣1）中，等于1的相反数的数有（　　） A．3个 B．2个 C．4个 D．5个 3．（2023春•香坊区校级期中）下列各对数中，不相等的一对数是（　　） A．（﹣3）3与﹣33 B．|﹣33|与|33| C．（﹣3）4与﹣34 D．（﹣3）2与32 4．（2024春•浦东新区校级期中）下列各数中，数值相等的是（　　） A．23和32 B．（﹣3）4和﹣34 C．（﹣4）3和﹣43 D．|﹣2|7和（﹣2）7 5．（2023秋•怀仁市校级期末）设a是任意有理数，下列说法正确的是（　　） A．（a+1）2的值总是正的 B．a2+1的值总是正的 C．﹣（a+1）2的值总是负的 D．a2+1的值中，最大值是1 题型五 利用有理数的乘方解决实际问题 1．兰州牛肉面制作技艺是国家级非物质文化遗产，为了更好的弘扬优秀的传统文化，2024年秋季学期开始以来，兰州市部分中小学将兰州牛肉面纳入课程教学范畴，在每周的劳动教育课程中开展．制作时，拉面师傅，将一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条截成了许多细细的面条，如图所示．请问这样第（　　）次捏合后可拉出128根面条． A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2023秋•高明区期末）把一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折6次后得到（　　）条折痕． A．14 B．31 C．63 D．127 3．（2023秋•东港市期中）1m长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，截完第7次后，截去的木棒总长度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 4．（2023秋•嵊州市期末）将一张长方形的纸按如图对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，第一次对折后可得到1条折痕（图中虚线），第二次对折后可得到3条折痕，第三次对折后得到7条折痕，那么第7次对折后得到的折痕共有 　 　条． 5．（2023秋•天府新区期末）《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第6天截取后木棍剩余的长度是 　 　． 题型六 有理数的混合运算 1．（2023秋•万州区期末）计算：﹣22+（﹣2）3﹣（﹣2）4的值为（　　） A．4 B．﹣12 C．﹣18 D．﹣28 2．（2023秋•仁化县期末）下列计算错误的是（　　） A．4÷（）＝4×（﹣2）＝﹣8 B．（﹣2）×（﹣3）＝2×3＝6 C．﹣（﹣32）＝﹣（﹣9）＝9 D．﹣3﹣5＝﹣3+（+5）＝2 3．给出下列算式：①﹣1﹣1＝0；②3﹣|﹣5|＝﹣2；③（﹣3）2＝﹣6；④12；⑤1515．其中正确的算式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2023•馆陶县二模）淇淇在计算：时，步骤如下： 解：原式＝﹣2022﹣（﹣6）+66① ＝﹣2022+6+12﹣18………………………② ＝﹣2048…………………………………③ （1）淇淇的计算过程中开始出现错误的步骤是 　 　；（填序号） （2）请给出正确的解题过程． 5．（2024春•东坡区期末）（1）计算：． （2）计算：． 6．（2024春•南岗区校级月考）计算： （1）﹣4.2+5.7﹣8.4+10； （2）； （3）﹣22×5﹣（﹣2）3÷4； （4）（﹣10）3+[（﹣4）2﹣（1﹣3）2×2]． 题型七 乘方与相反数、倒数、绝对值等的综合 1．（2024秋•南关区校级期中）已知对|x|＝5，|y|＝3，且xy＞0，则x﹣y的值等于（　　） A．2或﹣2 B．8或﹣8 C．2或8 D．﹣2或﹣8 2．（2023秋•北京期中）若|x|＝4，，且xy＜0，则的值等于（　　） A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4 3．（2023秋•岚山区期末）若|a+3|+|b﹣2|＝0，则（a+b）2023＝　 ． 4．（2023秋•静海区校级月考）（1）若|a|＝3，|b|＝4，求a+b的值； （2）已知|x|＝2，|y|＝4，且x＞y，求x﹣y的值． 5．若|﹣a|＝|﹣3|，b2＝16，且ab＞0，求a+b的值． 6． （2023秋•西峰区期末）已知|m|＝1，a和b互为倒数，c和d互为相反数，求（﹣ab）2024+50（c+d）﹣m的值． 题型八 科学记数法 1．（2023秋•利辛县校级期末）据中国银行研究院发布的《2024年经济金融展望报告》显示，2023年中国经济呈现出明显的M形增长态势．其中四季度增长预期为5.6%，整体年度增长率达到5.3%，预示着国内生产总值（GDP）有望攀升至126.7万亿元人民币．将126.7万亿用科学记数法表示为（　　） A．12.67×1013 B．1.267×1013 C．0.1267×1014 D．1.267×1014 2．（2023秋•金乡县期末）2022年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器成功“刹车”被火星“捕获”，在制动捕获过程中，探测器距离地球的距离为1920000000公里，数字192000000用科学记数法表示为（　　） A．19.2×107 B．19.2×108 C．1.92×108 D．1.92×109 3．（2023秋•平定县期末）我国自主研发的人工智能“绝艺”获得全球前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，它们决定着人工智能深度学习的质理和速度，其中一个大数据中心能存储580亿本书籍，数据580亿用科学记数法表示为（　　） A．5.8×109 B．5.8×1010 C．58×109 D．0.58×1010 4．（2023秋•岱岳区期末）2023年末，泰安市常住人口540.1万人，常住人口城镇化率为65.45%，540.1万人用科学记数法表示为 　 人． 5．（2023秋•亭湖区校级期末）2022年全年国内生产总值约为1200000亿元，数据1200000用科学记数法可以表示为 　 　． 题型九 近似数 1．（2024•碑林区校级开学）下列各数精确到0.01的是（　　） A．0.6925≈0.693 B．8.029≈8.0 C．4.1974≈4.20 D．2.536≈2.53 2．（2024•新都区校级开学）一个整数，四舍五入到万位，约是50000，这个数最小是（　　） A．50001 B．44445 C．44999 D．45000 3．（2024•晋江市开学）一个整数精确到万位是30万，这个数精确前可能是（　　） A．294999 B．295786 C．305997 D．309111 4．（2023秋•河北期末）据人民网消息，2023年端午假期，我国国内旅游出游约1.06亿人次，同比增长32.3%．其中近似数“1.06亿”精确到的数位是（　　） A．百分位 B．十分位 C．千万位 D．百万位 5．（2023秋•岷县期中）近似数3.20×105的精确度说法正确的是（　　） A．精确到百分位 B．精确到十分位 C．精确到千位 D．精确到万位 6．（2023秋•官渡区期中）在学校组织的一次体检中，昆昆同学的体重近似为45.5kg，则他的实际体重应该在下列哪个范围内（　　） A．45.45＜n＜45.55 B．45.45≤n≤45.55 C．45.45＜n≤45.55 D．45.45≤n＜45.55 题型十 有理数的实际应用 1．（2023秋•秀峰区校级月考）根据市场情况，某公司决定用一周时间大量收购小麦．计划收购48000千克，公司将工作人员分为6个收购小组，每组收购任务是8000千克．一周后，6个小组完成的情况分别为：8200千克，7800千克，9000千克，7200千克，8200千克，8000千克． （1）通过计算说明6个小组完成的总数量是否达到计划数量？ （2）若每小组一周后均各奖500元，超额完成的每100千克再奖10元，少完成每100千克从奖金中扣8元，本次收购后，该公司要支付多少奖金？ 2．司机小王沿东西大街跑出租车，约定向东为正，向西为负，某天自A地出发到收工时，行走记录为（单位：千米）：+8、﹣9、+7、﹣12、+5、﹣10、+17、﹣13． 回答下列问题： （1）收工时小王在A地的哪边？距A地多少千米？ （2）若每千米耗油0.2升，问从A地出发到收工时，共耗油多少升？ （3）在工作过程中，小王最远离A地多远？在A地哪边？ 3．（2023秋•建安区校级月考）井冈山是红色革命旅游圣地，据统计2020年9月30日到井冈山旅游的人数为1万人，十一黄金周期间（共8天），井冈山每天旅游人数的变化情况如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 人数变化（万人） +1.5 +0.7 +0.4 ﹣0.4 ﹣0.6 +0.2 （1）请判断十一黄金周期间游客人数最多和最少的各是哪一天？它们相差多少万人？ （2）求十一黄金周期间去井冈山旅游的总人数． 4．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定每天送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于50单的部分记为“﹣”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） ﹣3 +4 ﹣5 +14 ﹣8 +6 +12 （1）该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多多少单？ （2）求该外卖小哥这一周一共送餐多少单？ （3）若每送一单能获得4.2元的酬劳，请计算外卖小哥这一周的收入． 5．最近几年时间，我国的新能源汽车产销量大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） ﹣8 ﹣10 ﹣14 0 +24 +31 +35 （1）这7天里路程最多的一天比最少的一多走 　 　km． （2）请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ （3）已知新能源汽车每行驶100km耗电量为15度，每度电为0.4元，请计算小明家这7天的行驶费用是多少钱？ 6．（2023秋•市中区月考）某洗衣粉厂上月生产了30000袋，每袋标准重量450克，质量检测部门从中抽出了20袋进行检测，记超过或不足标准重量的部分为“+”和“﹣”，记录如下： 超过或不足（克） ﹣6 ﹣3 ﹣2 0 +1 +4 +5 袋数 1 1 1 6 5 2 4 （1）通过计算估计本厂上月生产的洗衣粉平均每袋多少克？ （2）若超过或不足大于5克时为不合格，求这20袋洗衣粉的合格率； （3）厂家规定不合格产品不能出厂销售，若每袋洗衣粉的定价为2.30元，试估计本厂上月生产的洗衣粉销售的总金额为多少元？ 题型十一 有理数的规律探究问题 1．（2024秋•龙华区校级月考）下面一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，第2024个数应是（　　） A．22023 B．22024 C．22023﹣1 D．22024﹣1 2．（2024秋•济阳区校级月考）a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的“哈利数”是，﹣2的“哈利数”是，已知a1＝3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4是a3的“哈利数”，……，依此类推，则a2023＝（　　） A．3 B．﹣2 C． D． 3．（2024秋•志丹县月考）一列数a1，a2，a3，…an，其中a1＝﹣1，，，…，，则a1+a2+a3+⋯+a2024的值是（　　） A．﹣1 B． C．1010 D． 4．（2024秋•渝中区校级月考）杨辉三角是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示是一种变异的“杨辉三角”，按箭头方向依次记为：a1＝1，a2＝4，a3＝3，a4＝8，a5＝7，a6＝16，a7＝15⋯，则a2026+a2027等于（　　） A．21014﹣1 B．21014+1 C．21015﹣1 D．21015+1 5．（2024秋•吴江区校级月考）观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…，31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，…，根据上述算式中的规律，211+311的末位数字是（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 题型十二 有理数乘除法规律探究题 1．观察下列各式： … （1）猜想　 　； （2）根据上面的规律，解答下列问题： ①（1）×（1）×（1）×…×（1）×（1）×（1） ②将2016减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，以此类推，直到最后减去余下的，最后结果是多少？ 2．阅读与思考： 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 同学们学过有理数减法可以转化为有理数加法来运算，有理数除法可以转化为有理数乘法来运算．其实这种转化的数学方法，在学习数学时会经常用到，通过转化我们可以把一个复杂问题转化为一个简单问题来解决． 例如：计算． 此题我们按照常规的运算方法计算比较复杂．但如果采用下面的方法把乘法转化为减法后计算就变得非常简单． 分析方法：因为1，，，，所以，将以上4个等式两边分别相加即可得到结果，解法如下： （1）+（）+（）+（）＝11． 任务： （1）猜想并写出：　　 ；（n为正整数） （2）①应用上面的方法计算：⋯． ②直接写出下列式子的计算结果：⋯　 　． （3）类比应用上面的方法探究并计算：⋯． 3．观察下列各式： ，； ，； ，； 解答下列各题： （1）尝试并计算：； （2）尝试并计算：； （3）； （4）尝试并计算：． 题型十三 含乘方运算的探究规律题 1．观察下面三行数： ﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…； ① 0，6，﹣6，18，﹣30，66，…； ② ，﹣1，2，﹣4，8，﹣16，…； ③ （1）请直接写出第①行数的第100项：　 　，第n项：　 　； （2）第②行数的第2012项： ； （3）第③行数与第①行数有什么关系？ （4）取每行数第10个数，计算这三个数的和． 2．观察下列运算过程： S＝1+3+32+33+…+32016+32017，① ①×3，得3S＝3+32+33+…+32017+32018，② ②﹣①，得2S＝32018﹣1，S． 用上面的方法计算：1+5+52+53+…+52017． 3．已知13＝112×22，13+23＝922×32，13+23+33＝3632×42，…，按照这个规律完成下列问题： （1）13+23+33+43+53＝　 　　 2×　 　2． （2）猜想：13+23+33+…+n3＝　 　． （3）利用（2）中的结论计算：（写出计算过程）113+123+133+143+153+163+…+393+403． 题型十四 有理数的材料阅读问题 1．阅读下面解题过程： 计算：5÷（22）÷6 解：5÷（22）×6 ＝5÷（）×6…① ＝5÷（﹣25）…② ③ 回答： （1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第　 步，错因是　 　，第二处是　 　，错因是　 　． （2）正确结果应是　 　． 2．（2023秋•淮南期中）阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） ＝（﹣15）÷（﹣25）（第二步） （第三步） （1）上面解题过程有两处错误： 第一处是第 　 　步，错误原因是 　 　； 第二处是第 　 步，错误原因是 　 　； （2）请写出正确的结果 　 　． 3．数学雷老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算：． 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法； 请仿照上面的方法计算： （1）； （2）． 4．请你先认真阅读材料： 计算 解：原式的倒数是（）÷（） ＝（）×（﹣30） （﹣30）（﹣30）（﹣30）（﹣30） ＝﹣20﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（﹣12） ＝﹣20+3﹣5+12 ＝﹣10 故原式等于 再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：． 题型十五 有理数的程序图运算题 1．（2023秋•潮州期末）如图是一个计算程序，若输入a的值为﹣1，则输出的结果b为（　　） A．﹣5 B．﹣6 C．5 D．6 2．按图中程序运算，如果输出的结果为4，则输入的数据不可能是（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．2 3．（2023秋•隆昌市校级期末）根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为 　 　． 4．（2023秋•宿城区期末）如图是一个计算程序，若输入的值为1，则输出的值应为 　 　． 5．如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为﹣2时，最后输出的结果y是　 　． 题型十六 有理数的的新定义运算问题 1．（2023秋•山亭区期末）用“※”定义一种新运算：对于任何有理数a和b，规定a※b＝ab+b2．如1※2＝1×2+22＝6，则﹣4※2的值为（　　） A．﹣4 B．8 C．4 D．﹣8 2．（2024秋•洪山区校级月考）形如的式子叫做二阶行列式，其运算法则用公式表示为，依此法则计算的结果为（　　） A．17 B．﹣17 C．1 D．﹣1 3．（2023秋•开江县校级期末）规定：对任意有理数对【a，b】，都有【a，b】＝a2+2b+1．例如：有理数对【﹣5，﹣2】＝（﹣5）2+2×（﹣2）+1＝22．若有理数对【﹣2，1】＝n，则有理数对【n，﹣1】＝ 　 　． 4．（2024秋•涧西区期中）在有理数的原有运算法则中我们定义一个新运算“※”如下：a≤b时，a※b＝a2；a＞b时，a※b＝b．则当c＝﹣4时，代数式（﹣3※c）×（﹣5※c）的值为 　 　． 5．（2023秋•保定期末）规定一种新运算，如果ac＝b，那么a※b＝c．例如：因为23＝8，所以2※8＝3．根据上述运算填空： （1）　 　． （2）　 　． 6．若a，b为有理数，我们定义新运算“※”使得a※b＝a2﹣ab，如（﹣2）※3＝（﹣2）2﹣（﹣2）×3＝10． （1）求3※（﹣4）的值； （2）求（﹣2）※（5※4）的值． 7．【概念学习】 规定：若求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣4）÷（﹣4）÷（﹣4）÷（﹣4）等．类比有理数的乘方，我们把 2÷2÷2 记作 22，读作“2的圈3次方”，（﹣4）÷（﹣4）÷（﹣4）÷（﹣4）记作 （4）④，读作“﹣4的圈4次方”．一般的，我们把记作a①，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果2③＝　 　，（﹣4）④＝　 　，　 ． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式： 3⑤＝　 　，（﹣5）⑧＝　 ，⑩＝　 ． （3）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式是 　 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ （浙教版）七年级上册 第2章：有理数的运算章末重点题型复习 题型一 有理数的加减法 1．把算式：（﹣5）﹣（﹣4）+（﹣7）﹣（﹣2）写成省略括号的形式，结果正确的是（　　） A．﹣5﹣4+7﹣2 B．5+4﹣7﹣2 C．﹣5+4﹣7+2 D．﹣5+4+7﹣2 【分析】先将原式统一成加法，然后写成省略加号的形式即可． 【解答】解：（﹣5）﹣（﹣4）+（﹣7）﹣（﹣2）＝﹣5+4﹣7+2， 故选：C． 【点评】本题考查有理数的加减运算，熟练掌握省略加号的方法是解题的关键． 2．（2024•伊通县一模）长春市2月18日至2月21日天气预报的最高气温与最低气温如表： 日期 2月18日 2月19日 2月20日 2月21日 最高气温/℃ 8 ﹣4 ﹣10 ﹣7 最低气温/℃ ﹣6 ﹣16 ﹣16 ﹣15 其中温差最大的日期是（　　） A．2月18日 B．2月19日 C．2月20日 D．2月21日 【分析】温差为最高气温减去最低气温，然后比较即可得出答案． 【解答】解：2月18日的温差为：8﹣（﹣6）＝8+6＝14（°C）； 2月19日的温差为：﹣4﹣（﹣16）＝﹣4+16＝12（°C）； 2月20日的温差为：﹣10﹣（﹣16）＝﹣10+16＝6（°C）； 2月21日的温差为：﹣7﹣（﹣15）＝﹣7+15＝8（°C）； ∵14＞12＞8＞6， ∴温差最大的是2月18日， 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的减法，熟练掌握有理数的减法法则是解题的关键． 3．（2024秋•顺德区校级月考）已知|x|＝2，|y|＝3，且x﹣y＞0，则x+y的值为（　　） A．﹣5 B．﹣5或﹣1 C．﹣1 D．以上都不对 【分析】根据绝对值的性质得到x＝±2，y＝±3，然后结合x﹣y＞0得到x＝2，y＝﹣3或x＝﹣2，y＝﹣3，然后分情况代入x+y求解即可． 【解答】解：根据题意可知，|x|＝2，|y|＝3， ∴x＝±2，y＝±3， ∵x﹣y＞0， 故x＞y， ∴x＝2，y＝﹣3或x＝﹣2，y＝﹣3， 当x＝2，y＝﹣3时， x+y＝2+（﹣3）＝2﹣3＝﹣1； x＝﹣2，y＝﹣3时， x+y＝﹣2+（﹣3）＝﹣2﹣3＝﹣5． 综上可得x+y的值为﹣1或﹣5． 故选：B． 【点评】此题考查了有理数的加法和减法、绝对值，掌握有理数的加减法运算法则是关键． 4．已知|a|＝1，|b|＝6，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为 　 　． 【分析】根据绝对值的意义求出a，b的值，再根据|a+b|＝a+b进一步确定a、b的值，然后代入a﹣b计算即可． 【解答】解：∵|a|＝1，|b|＝6， ∴a＝±1，b＝±6， ∵|a+b|＝a+b， ∴a+b≥0， ∴a＝1，b＝6或a＝﹣1，b＝6， 当a＝1，b＝6时，a﹣b＝1﹣6＝﹣5； 当a＝﹣1，b＝6时，a﹣b＝﹣1﹣6＝﹣7； 综上，a﹣b的值为﹣5或﹣7， 故答案为：﹣5或﹣7． 【点评】本题考查了绝对值的性质，有理数的加减法，熟知：一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数，绝对值等于一个正数的数有2个，它们是互为相反数的关系． 5．九宫格是一款数学游戏，起源于河图洛书，河图与洛书是我国古代流传下来的两幅神秘图案，历来被认为是河洛文化的滥觞，中华文明的源头，被誉为“宇宙魔方”．将九个数分别填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．若a，b，c，d，e分别表示其中的一个数，则a+b+c﹣d﹣e的值为 　 　． a b 0 ﹣2 3 c d e 1 【分析】先根据题意列方程组，求得a，b，c，d，e的值，然后代入式子计算即可． 【解答】解：由题意解答：a+3+1＝a﹣2+d，即d＝6； ∴a+3+1＝d+3＝9，即：a+3+1＝9，解得：a＝5； a+b+0＝9，即5+b+0＝9，解得：b＝4； 1+c+0＝9，解得：c＝8； d+e+1＝9，即6+e+1＝9，解得：e＝2； 所以a+b+c﹣d﹣e＝5+4+8﹣6﹣2＝9． 故答案为：9． 【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合运算的法则是解题的关键． 6．计算下列各题： （1）5.6﹣（﹣3.2）； （2）（﹣1.24）﹣（+4.76）； （3）； （4）； （5）（﹣1.2）﹣[（﹣1）﹣（+0.3）]． 【分析】（1）根据有理数的减法运算法则进行计算； （2）根据有理数的减法运算法则进行计算； （3）先算小括号里面的，然后再算括号外面的； （4）将减法统一成加法，然后使用加法交换律和加法结合律进行简便计算； （5）先算小括号里面的，然后再算括号外面的． 【解答】解：（1）原式＝5.6+3.2 ＝8.8； （2）原式＝（﹣1.24）+（﹣4.76） ＝﹣6； （3）原式（﹣2） （） ＝2； （4）原式＝1+（﹣1）（） ＝[1+（﹣1）]+（） ＝0+（） ； （5）原式＝﹣1.2﹣[（﹣1）+（﹣0.3）] ＝﹣1.2﹣（﹣1.3） ＝﹣1.2+1.3 ＝0.1． 【点评】本题考查有理数的加减运算，掌握有理数加减运算法则（同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．异号两数相加，绝对值相等时，和为零；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同零相加仍得这个数．减去一个数，等于加上这个数的相反数）是解题关键． 题型二 有理数的乘除法 1．下列互为倒数的是（　　） A．﹣3和 B．﹣2和2 C．3和 D．﹣2和 【分析】根据互为倒数的意义，找出乘积为1的两个数即可． 【解答】解：A．因为，所以﹣3和是互为倒数，因此选项符合题意； B．因为﹣2×2＝﹣4，所以﹣2与2不是互为倒数，因此选项不符合题意； C．因为，所以3和不是互为倒数，因此选项不符合题意； D．因为，所以﹣2和不是互为倒数，因此选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了倒数，解题的关键是理解互为倒数的意义是正确判断的前提，掌握“乘积为1的两个数互为倒数”． 2．下列运算，结果正确的是（　　） A．﹣7÷7＝1 B． C．﹣36÷（﹣9）＝4 D． 【分析】根据有理数的两个除法法则进行计算即可作出判断． 【解答】解：A、﹣7÷7＝﹣1≠1，故计算错误； B、，故计算错误； C、﹣36÷（﹣9）＝4，故计算正确； D、，故计算错误； 故选：C． 【点评】本题考查有理数的除法运算，熟悉两个除法法则是关键． 3．（2023秋•望城区期末）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论错误的是（　　） A．a+b＜0 B．a﹣2b＜0 C．a＜|b| D． 【分析】先根据数轴分析出b＜﹣1＜0＜a＜1，再根据选项进行逐项判断即可． 【解答】解：由数轴可知， b＜﹣1＜0＜a＜1，|b|＞|a|，故C项正确； 又可知a+b＜0，0，故A与D正确； a是正数，b是负数，则a﹣2b＞0，故选项B错误． 故选：B． 【点评】本题考查有理数的除法、数轴、绝对值和有理数的加法，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 4．（2023秋•蒙城县校级月考）计算． （1）（﹣8.46）×2.5×（﹣4）； （2）（﹣0.75）． 【分析】（1）根据有理数的乘法法则计算即可； （2）根据有理数的除法法则计算即可． 【解答】解：（1）（﹣8.46）×2.5×（﹣4） ＝8.46×2.5×4 ＝8.46×（2.5×4） ＝8.46×10 ＝84.6； （2）（﹣0.75） ＝0.75 ． 【点评】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握有理数的乘除法法则是解题的关键． 5．（2024秋•南关区校级期中）计算： （1） （2） 【分析】（1）根据有理数的乘除混合运算法则求解即可； （2）根据有理数的乘除混合运算法则求解即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 6．（2024秋•鼓楼区校级月考）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ 答：我列的算式是 　 　，乘积的最大值为 　 　． （2）从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字的积最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我列的算式是 　 　，乘积的最小值为 　 ． （3）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的商最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我列的算式是 　 　，商的最小值为 　 　． 【分析】（1）根据绝对值最大的两个有理数的乘积为最大即可得出答案； （2）根据有理数的乘法运算的法则即可得出答案； （3）根据有理数除法的运算法则即可得出答案． 【解答】解：∵﹣8＜﹣5＜0＜+3＜+4，|﹣8|＞|﹣5|＞|+4|＞|+3|＞0， （1）当抽取﹣8，﹣5两张卡片时，这两张卡片上数字的乘积最大，最大值是40， 所列的算式是：（﹣8）×（﹣5），乘积的最大值为40， 故答案为：（﹣8）×（﹣5）；40； （2）当抽取﹣8，+4，+3三张卡片时，这三张卡片上数字的乘积最小，最大值是﹣96， 所列的算式是：（﹣8）×（+4）×（+3），乘积的最小值为﹣96， 故答案为：（﹣8）×（+4）×（+3）；﹣96； （3）当抽取﹣8，+4两张卡片时，商最小，最小值是， 所列的算式是：（﹣8）÷（+3），乘积的最小值为， 故答案为：（﹣8）÷（+3）；． 【点评】此题主要考查了有理数的乘除法运算，熟练掌握有理数的运算法则是解决问题的关键． 题型三 有理数的简便计算 1．在简便运算时，把变形成最合适的形式是（　　） A．24×（﹣100） B．24×（﹣100） C．24×（﹣99） D．24×（﹣99） 【分析】根据有理数的乘法分配律即可得出答案． 【解答】解：∵﹣100（﹣100）， ∴根据有理数的乘法分配律，把变形成最合适的形式为24×（﹣100）＝ ﹣24×100+24，可以简便运算． 故选：A． 【点评】本题考查有理数的乘法，正确掌握运算法则是解题的关键． 2．若（﹣2022）×63＝p，则（﹣2022）×62的值可表示为（　　） A．p﹣1 B．p+2022 C．p﹣2022 D．p+1 【分析】根据乘法分配律将（﹣2022）×63进行变形，从而分析求解． 【解答】解：（﹣2022）×63 ＝（﹣2022）×（62+1） ＝（﹣2022）×62+（﹣2022）×1 ＝（﹣2022）×62﹣2022， 又∵（﹣2022）×63＝p， ∴（﹣2022）×62﹣2022＝p， ∴（﹣2022）×62＝p+2022， 故选：B． 【点评】本题考查有理数的乘法运算，掌握乘法分配律（a+b）c=ac+bc是解题关键． 3．利用有理数的加法运算律计算，使运算简便． （1）（﹣248）+433+（﹣752）+（﹣433）； （2）（﹣0.8）+1.2+（﹣0.7）+（﹣2.1）+0.8+3.5． 【分析】（1）把互为相反数的数和相加为整数的分别结合相加，便可得出结果； （2）把互为相反数的数结合相加，同号的结合相加，便可求得结果． 【解答】解：（1）（﹣248）+433+（﹣752）+（﹣433） ＝[（﹣248）+（﹣752）]+[（﹣433）+433] ＝﹣1000； （2）（﹣0.8）+1.2+（﹣0.7）+（﹣2.1）+0.8+3.5 ＝[（﹣0.8）+0.8]+（1.2+3.5）+[（﹣0.7）+（﹣2.1）] ＝0+4.7+（﹣2.8） ＝1.9． 【点评】考查了有理数加法，解题关键是综合应用加法交换律和结合律，简化计算． 4．计算：． 小敏的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） ＝﹣5+6（第三步） ＝1（第四步） 根据小敏的计算过程，回答下列问题： （1）小敏在进行第二步计算时，运用了加法的 　 律、　 　律； （2）请指出她从第 　 　步开始出现错误； （3）请你写出正确的解题过程． 【分析】（1）利用有理数的加法的交换律、结合律解答，即可求解； （2）根据有理数加法法则解答，即可求解； （3）利用有理数的加法的交换律、结合律解答，即可求解． 【解答】解：（1）根据题意可知，小敏在进行第二步计算时，运用了加法的交换律、结合律． 故答案为：交换；结合； （2）小敏在计算过程中，从第三步开始出现错误． 故答案为：三； （3） ＝﹣6+6 ＝0． 【点评】本题主要查了有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合运算法则是关键． 5．简便计算： （1）﹣1.25×（﹣5）×3×（﹣8）； （2）（）×（﹣12）； （3）（﹣19）． （4）（﹣48）×0.125+48 【分析】（1）利用乘法的分配律先提取48，再进行计算即可得出答案； （2）运用乘法分配律进行计算即可． （3）根据乘法分配律逆用简便计算． （4）根据乘法分配律逆用简便计算． 【解答】解：（1）﹣1.25×（﹣5）×3×（﹣8） ＝[﹣1.25×（﹣8）]×（﹣5×3） ＝10×（﹣15） ＝﹣150； （2）（）×（﹣12） 121212 ＝﹣5﹣8+9 ＝﹣4； （3）（﹣19） ＝（）×19 19 ＝9． （4）（﹣48）×0.125+48 ＝48×（） ＝0； 【点评】考查了有理数的混合运算，进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 题型四 有理数的乘方 1．（2023秋•环翠区期末）下列各组数中互为相反数的是（　　） A．﹣2024与﹣|﹣2024| B．﹣110与（﹣1）9 C．（﹣2）3与（﹣3）2 D．a与﹣a 【分析】根据绝对值，乘方运算，相反数的概念，逐一判断各选项，可得到结果． 【解答】解：A．﹣|﹣2024|＝﹣2024，故﹣2024与﹣|﹣2024|不是互为相反数，该选项不符合题意； B．﹣110＝﹣1，（﹣1）9＝﹣1，故﹣110与（﹣1）9不是互为相反数，该选项不符合题意； C．（﹣2）3＝﹣8，（﹣3）2＝9，故（﹣2）3与（﹣3）2不是互为相反数，该选项不符合题意； D．a与﹣a是互为相反数，该选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了相反数的概念，涉及到绝对值，乘方运算，熟练掌握相关运算法则，以及相反数的概念是解题的关键． 2．（2023秋•献县期末）在有理数﹣12，|﹣1|，，（﹣1）2021，﹣（﹣1）中，等于1的相反数的数有（　　） A．3个 B．2个 C．4个 D．5个 【分析】根据有理数的乘方、绝对值化简解答即可． 【解答】解：﹣12＝﹣1，|﹣1|＝1，1，（﹣1）2021＝﹣1，﹣（﹣1）＝1， 故选：A． 【点评】此题考查有理数的乘方，关键是根据有理数的乘方、绝对值化简解答． 3．（2023春•香坊区校级期中）下列各对数中，不相等的一对数是（　　） A．（﹣3）3与﹣33 B．|﹣33|与|33| C．（﹣3）4与﹣34 D．（﹣3）2与32 【分析】根据乘方的法则及绝对值的性质计算． 【解答】解：A、（﹣3）3＝﹣27，﹣33＝﹣27，∴不符合题意； B、|﹣33|＝27，|33|＝27，∴不符合题意； C、（﹣3）4＝81，﹣34＝﹣81，∴符合题意； D、（﹣3）2＝9，32＝9，∴不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查有理数乘方，掌握乘方的法则及绝对值的性质是解题关键． 4．（2024春•浦东新区校级期中）下列各数中，数值相等的是（　　） A．23和32 B．（﹣3）4和﹣34 C．（﹣4）3和﹣43 D．|﹣2|7和（﹣2）7 【分析】根据有理数的乘方法则和有理数的乘法法则逐项计算排查即可解答． 【解答】解：A、23＝8，32＝9，二者数值不相等，不符合题意； B、（﹣3）4＝81，﹣34＝﹣81，二者数值不相等，不符合题意； C、（﹣4）3＝﹣64，﹣43＝﹣64，二者数值相等，符合题意； D、|﹣2|7＝128和（﹣2）7＝﹣128，二者数值不相等，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了有理数的乘法和有理数的乘方，正确掌握有理数的乘方法则和有理数的乘法法则是解题的关键． 5．（2023秋•怀仁市校级期末）设a是任意有理数，下列说法正确的是（　　） A．（a+1）2的值总是正的 B．a2+1的值总是正的 C．﹣（a+1）2的值总是负的 D．a2+1的值中，最大值是1 【分析】根据偶次方的非负性，即a2≥0进行判断即可． 【解答】解：（a+1）2≥0，A错误； a2+1＞0，B正确； ﹣（a+1）2，≤0，C错误； a2+1的值中，最小值是1，D错误， 故选：B． 【点评】本题考查的是偶次方的非负性，掌握a2≥0是解题的关键． 题型五 利用有理数的乘方解决实际问题 1．兰州牛肉面制作技艺是国家级非物质文化遗产，为了更好的弘扬优秀的传统文化，2024年秋季学期开始以来，兰州市部分中小学将兰州牛肉面纳入课程教学范畴，在每周的劳动教育课程中开展．制作时，拉面师傅，将一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条截成了许多细细的面条，如图所示．请问这样第（　　）次捏合后可拉出128根面条． A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】根据题意可知，第一次捏合后可拉出21根面条，第二次捏合后可拉出22根面条，第三次捏合后可拉出23根面条，以此类推，即可得出答案． 【解答】解：第一次捏合后可拉出21根面条， 第二次捏合后可拉出22根面条， 第三次捏合后可拉出23根面条， ……， 第n次捏合可拉出2n根面条， ∴2n＝128＝27， ∴需要捏合7次，可拉出128根面条． 故选：C． 【点评】本题考查了乘方的应用，掌握有理数的乘方运算法则，读懂题意，找出规律是解题的关键． 2．（2023秋•高明区期末）把一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折6次后得到（　　）条折痕． A．14 B．31 C．63 D．127 【分析】对前三次对折分析不难发现每对折1次把纸分成的部分是上一次的2倍，折痕比所分成的部分数少1，求出第4次的折痕即可，再根据对折规律求出对折n次得到的部分数，然后减1即可得到折痕条数． 【解答】解：由图可知，第1次对折，把纸分成2部分，1条折痕， 第2次对折，把纸分成4部分，3条折痕， 第3次对折，把纸分成8部分，7条折痕， 所以，第4次对折，把纸分成16部分，15条折痕， …， 以此类推，第n次对折，把纸分成2n部分，2n﹣1条折痕． 当n＝6时，26﹣1＝63， 故选：C． 【点评】本题是对图形变化规律的考查，观察得到对折得到的部分数与折痕的关系是解题的关键． 3．（2023秋•东港市期中）1m长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，截完第7次后，截去的木棒总长度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【分析】根据有理数的乘方解决此题． 【解答】解：第一次截去一半，剩余的木棒的长度为1； 第二次截去剩下部分的一半，剩余的木棒的长度为1； 第三次截去剩下部分的一半，剩余的木棒的长度为1； … 以此类推，截完第七次，剩余的木棒的长度为． ∴截完第7次后，截去的木棒总长度为1（米）． 故选：D． 【点评】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方是解决本题的关键． 4．（2023秋•嵊州市期末）将一张长方形的纸按如图对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，第一次对折后可得到1条折痕（图中虚线），第二次对折后可得到3条折痕，第三次对折后得到7条折痕，那么第7次对折后得到的折痕共有 　 　条． 【分析】根据前三次对折结果对第n次对折后得到的折痕条数进行猜想、归纳． 【解答】解：∵第一次对折后可得到的折痕条数为：1＝21﹣1； 第二次对折后可得到的折痕条数为：3＝22﹣1； 第三次对折后可得到的折痕条数为：7＝23﹣1； 第n次对折后可得到的折痕条数为：2n﹣1； ……， ∴第7次对折后可得到的折痕条数为：27﹣1＝128﹣1＝127， 故答案为：127． 【点评】此题考查了图案规律问题的解决能力，关键是能准确猜想、归纳出第n次对折后可得到的折痕条数的规律． 5．（2023秋•天府新区期末）《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第6天截取后木棍剩余的长度是 　 　． 【分析】先分别求出第一、二、三天截取后木棍剩余的长度，从而找出规律，按照此规律进行解答即可． 【解答】解：由题意可知：第一天截取后木棍剩余长度为：1； 第二天截取后木棍剩余长度为：； 第三天截取后木棍剩余长度为：； …， n天截取后木棍剩余长度为：， ∴第6天截取后木棍剩余长度为：， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了有理数的乘方，解题关键是理解题意，找出数式规律． 题型六 有理数的混合运算 1．（2023秋•万州区期末）计算：﹣22+（﹣2）3﹣（﹣2）4的值为（　　） A．4 B．﹣12 C．﹣18 D．﹣28 【分析】原式先算乘方，再算加减即可得到结果． 【解答】解：原式＝﹣4+（﹣8）﹣16 ＝﹣4﹣8﹣16 ＝﹣12﹣16 ＝﹣28． 故选：D． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，其运算顺序为：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次进行． 2．（2023秋•仁化县期末）下列计算错误的是（　　） A．4÷（）＝4×（﹣2）＝﹣8 B．（﹣2）×（﹣3）＝2×3＝6 C．﹣（﹣32）＝﹣（﹣9）＝9 D．﹣3﹣5＝﹣3+（+5）＝2 【分析】各项计算得到结果，即可作出判断． 【解答】解：A、原式＝4×（﹣2）＝﹣8，不符合题意； B、原式＝6，不符合题意； C、原式＝﹣（﹣9）＝9，不符合题意； D、原式＝﹣8，符合题意， 故选：D． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．给出下列算式：①﹣1﹣1＝0；②3﹣|﹣5|＝﹣2；③（﹣3）2＝﹣6；④12；⑤1515．其中正确的算式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】用有理数的运算逐个判断即可． 【解答】解：①﹣1﹣1＝﹣2，故不正确； ②3﹣|﹣5|＝3﹣5＝﹣2，故正确； ③（﹣3）2＝9，故不正确； ④4÷（）＝4×（﹣3）＝﹣12，故正确； ⑤15÷（﹣5）×（）＝﹣3×（），故不正确； ∴正确的有②④， 故选：B． 【点评】本题考查有理数的运算，解题的关键是掌握有理数的加减、乘除、乘方运算的法则． 4．（2023•馆陶县二模）淇淇在计算：时，步骤如下： 解：原式＝﹣2022﹣（﹣6）+66① ＝﹣2022+6+12﹣18………………………② ＝﹣2048…………………………………③ （1）淇淇的计算过程中开始出现错误的步骤是 　 　；（填序号） （2）请给出正确的解题过程． 【分析】（1）根据幂的运算即可判断； （2）按照有理数的运算法则，先计算括号内的，再计算括号外的，利用幂运算的性质即可求解． 【解答】解：（1）∵（﹣1）2022＝1，（﹣2）3＝﹣8，6÷（）＝636， ∴原式＝1﹣（﹣8）+6， ∴开始出现错误的步骤是①， 故答案为：①； （2）原式＝1﹣（﹣8）+6 ＝1+8+6×6 ＝1+8+36 ＝45． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算法则，注意运算顺序． 5．（2024春•东坡区期末）（1）计算：． （2）计算：． 【分析】（1）把除法变乘法后用乘法分配律进行求解即可； （2）根据有理数混合运算的顺序和法则进行计算即可． 【解答】解：（1）原式 ＝27+20﹣21 ＝26； （2）原式 ． 【点评】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． 6．（2024春•南岗区校级月考）计算： （1）﹣4.2+5.7﹣8.4+10； （2）； （3）﹣22×5﹣（﹣2）3÷4； （4）（﹣10）3+[（﹣4）2﹣（1﹣3）2×2]． 【分析】（1）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （2）根据有理数的混合运算法则求解即可； （3）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减； （4）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 【解答】解：（1）﹣4.2+5.7﹣8.4+10 ＝1.5+1.6 ＝3.1； （2） ； （3）﹣22×5﹣（﹣2）3÷4 ＝﹣4×5﹣（﹣8）÷4 ＝﹣20﹣（﹣2） ＝﹣18； （4）（﹣10）3+[（﹣4）2﹣（1﹣3）2×2] ＝﹣1000+（16﹣4×2） ＝﹣1000+8 ＝﹣992． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 题型七 乘方与相反数、倒数、绝对值等的综合 1．（2024秋•南关区校级期中）已知对|x|＝5，|y|＝3，且xy＞0，则x﹣y的值等于（　　） A．2或﹣2 B．8或﹣8 C．2或8 D．﹣2或﹣8 【分析】结合有理数乘法的符号法则，同号为正，确定x，y的值，再进行加法运算即可． 【解答】解：∵|x|＝5，|y|＝3， ∴x＝±5，y＝±3， ∵xy＞0， ∴x，y同号， 则x＝5，y＝3或x＝﹣5，y＝﹣3， 当x＝5，y＝3时， x﹣y＝5﹣3＝2； 当x＝﹣5，y＝﹣3时， x﹣y＝﹣5﹣（﹣3）＝﹣2； 故选：A． 【点评】本题考查有理数的运算，绝对值的意义，根据绝对值的意义，结合已知条件求得x，y的值是解题的关键． 2．（2023秋•北京期中）若|x|＝4，，且xy＜0，则的值等于（　　） A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4 【分析】利用绝对值的意义，以及xy＜0，求出x与y的值，即可求出所求式子的值． 【解答】解：根据题意得：x＝±4，y＝±， ∵xy＜0， ∴x＝4，y；x＝﹣4，y， 则8． 故选：B． 【点评】此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．（2023秋•岚山区期末）若|a+3|+|b﹣2|＝0，则（a+b）2023＝　 ． 【分析】根据非负数的性质求出a，b，再代入代数式求值即可． 【解答】解：∵|a+3|+|b﹣2|＝0， ∴a+3＝0，b﹣2＝0， 解得a＝﹣3，b＝2， ∴（a+b）2023＝（﹣1）2023＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了非负数的性质：绝对值，掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0是解题的关键． 4．（2023秋•静海区校级月考）（1）若|a|＝3，|b|＝4，求a+b的值； （2）已知|x|＝2，|y|＝4，且x＞y，求x﹣y的值． 【分析】（1）利用绝对值定义求出a，b的值，然后代入即可求值； （2）利用绝对值定义求出x，y的值，然后根据x＞y，代入即可求值． 【解答】解：（1）∵|a|＝3，|b|＝4， ∴a＝±3，b＝±4， 当a＝3，b＝4时，a+b＝3+4＝7， 当a＝3，b＝﹣4时，a+b＝3+（﹣4）＝﹣1， 当a＝﹣3，b＝4时，a+b＝﹣3+4＝1， 当a＝﹣3，b＝﹣4时，a+b＝﹣3+（﹣4）＝﹣7， ∴a+b的值为±1或±7， （2）∵|x|＝2，|y|＝4， ∴x＝±2，y＝±4， ∵x＞y， ∴当x＝2，y＝﹣4时，x﹣y＝2﹣（﹣4）＝6， 当x＝﹣2，y＝﹣4时，x﹣y＝﹣2﹣（﹣4）＝2， ∴x﹣y的值为2或6． 【点评】此题考查了绝对值和有理数的加减，解题的关键是正确理解绝对值的意义，熟练掌握有理数的加减法法则． 5．若|﹣a|＝|﹣3|，b2＝16，且ab＞0，求a+b的值． 【分析】先计算乘方和绝对值，得到a＝±3，b＝±4，再由ab＞0得到a＝﹣3，b＝﹣4或a＝3，b＝4，据此代值计算即可． 【解答】解：∵|﹣a|＝|﹣3|，b2＝16， ∴a＝±3，b＝±4， ∵ab＞0， ∴a、b同号． ∴a＝﹣3，b＝﹣4或a＝3，b＝4， 当a＝﹣3，b＝﹣4时， a+b＝﹣3+（﹣4）＝﹣7 当a＝3，b＝4时， a+b＝3+4＝7， ∴a+b的值为±7． 【点评】本题主要考查了有理数的乘方的逆运算，绝对值，有理数的加法计算，正确确定a，b的值是关键． 6．（2023秋•西峰区期末）已知|m|＝1，a和b互为倒数，c和d互为相反数，求（﹣ab）2024+50（c+d）﹣m的值． 【分析】根据倒数的定义可得ab＝1，根据相反数的定义可得c+d＝0，根据绝对值的定义可得m＝±1，代入求值即可． 【解答】解：由题意知，ab＝1，c+d＝0，m＝±1， 当m＝1时， 原式＝（﹣1）2024+50×0﹣1＝1+0﹣1＝0； 当m＝﹣1时， 原式＝（﹣1）2024+50×0﹣（﹣1）＝1+0+1＝2； 综上可知，（﹣ab）2024+50（c+d）﹣m的值为0或2． 【点评】本题考查了倒数、相反数、绝对值的意义，代数式求值，熟练掌握以上知识点是关键． 题型八 科学记数法 1．（2023秋•利辛县校级期末）据中国银行研究院发布的《2024年经济金融展望报告》显示，2023年中国经济呈现出明显的M形增长态势．其中四季度增长预期为5.6%，整体年度增长率达到5.3%，预示着国内生产总值（GDP）有望攀升至126.7万亿元人民币．将126.7万亿用科学记数法表示为（　　） A．12.67×1013 B．1.267×1013 C．0.1267×1014 D．1.267×1014 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：126.7万亿＝126700000000000＝1.267×1014． 故选：D． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2．（2023秋•金乡县期末）2022年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器成功“刹车”被火星“捕获”，在制动捕获过程中，探测器距离地球的距离为1920000000公里，数字192000000用科学记数法表示为（　　） A．19.2×107 B．19.2×108 C．1.92×108 D．1.92×109 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：192000000＝1.92×108． 故选：C． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．（2023秋•平定县期末）我国自主研发的人工智能“绝艺”获得全球前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，它们决定着人工智能深度学习的质理和速度，其中一个大数据中心能存储580亿本书籍，数据580亿用科学记数法表示为（　　） A．5.8×109 B．5.8×1010 C．58×109 D．0.58×1010 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：580亿＝58000000000＝5.8×1010． 故选：B． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4．（2023秋•岱岳区期末）2023年末，泰安市常住人口540.1万人，常住人口城镇化率为65.45%，540.1万人用科学记数法表示为 　 人． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：540.1万＝5401000＝5.401×106． 故答案为：5.401×106． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 5．（2023秋•亭湖区校级期末）2022年全年国内生产总值约为1200000亿元，数据1200000用科学记数法可以表示为 　 　． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：1200000＝1.2×106． 故答案为：1.2×106． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 题型九 近似数 1．（2024•碑林区校级开学）下列各数精确到0.01的是（　　） A．0.6925≈0.693 B．8.029≈8.0 C．4.1974≈4.20 D．2.536≈2.53 【分析】精确到0.01，即保留小数点后面第二位，然后利用“四舍五入”法解答，所以只要看选项中保留的小数是不是二位数即可． 【解答】解：A、0.6925≈0.693，保留到小数点后面第三位，即精确到千分位，不符合题意； B、8.029≈8.0，保留到小数点后面第一位，即精确到十分位，不符合题意； C、4.1974≈4.20，保留到小数点后面第二位，即精确到百分位，符合题意； D、2.536≈2.54，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】此题主要考查小数的近似数取值，关键要看清精确到的位数． 2．（2024•新都区校级开学）一个整数，四舍五入到万位，约是50000，这个数最小是（　　） A．50001 B．44445 C．44999 D．45000 【分析】一个整数，四舍五入到万位，约是50000，是把千位上的进行四舍五入得到，这个数万位如果是4，千位必须是大于或等于5的数，其中5最小，其余位是0这个数最小． 【解答】解：一个整数，四舍五入到万位，约是50000，这个数最小是45000． 故选：D． 【点评】本题考查的是近似数和有效数字，解题的关键是掌握四舍五入的规则． 3．（2024•晋江市开学）一个整数精确到万位是30万，这个数精确前可能是（　　） A．294999 B．295786 C．305997 D．309111 【分析】省略“万”后面的尾数求它的近似数，要把万位的下一位千位上的数进行四舍五入，再在数的后面带上“万”字，把各数保留用“万”作单位的数，再进行选择． 【解答】解：294999≈29万； 295786≈30万； 305997≈31万； 309111≈31万． 故选：B． 【点评】本题考查的是近似数和有效数字，用“四舍五入”法改写成用“万”作单位的数，万的下一位（千位）是小于5的数舍去，大于或等于5的向前进一位． 4．（2023秋•河北期末）据人民网消息，2023年端午假期，我国国内旅游出游约1.06亿人次，同比增长32.3%．其中近似数“1.06亿”精确到的数位是（　　） A．百分位 B．十分位 C．千万位 D．百万位 【分析】近似数“1.06亿”中的6在0.01亿位上，即近似数精确度百万位． 【解答】解：近似数“1.06亿”精确到的数位是百万位． 故选：D． 【点评】本题考查了近似数：“精确度”是近似数的常用表现形式． 5．（2023秋•岷县期中）近似数3.20×105的精确度说法正确的是（　　） A．精确到百分位 B．精确到十分位 C．精确到千位 D．精确到万位 【分析】近似数3.20×105中的3表示三十万，应是十万位，3.20的最后一位应是千位，因而这个数精确到千位数． 【解答】解：近似数3.20×105精确到千位， 故选：C． 【点评】本题主要考查近似数和有效数字，对于用科学记表示的数，有效数字的计算方法，与精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错． 6．（2023秋•官渡区期中）在学校组织的一次体检中，昆昆同学的体重近似为45.5kg，则他的实际体重应该在下列哪个范围内（　　） A．45.45＜n＜45.55 B．45.45≤n≤45.55 C．45.45＜n≤45.55 D．45.45≤n＜45.55 【分析】根据近似数的精确度分别进行判断，即可得出答案． 【解答】解：体重近似为45.5kg，他的实际体重应该在45.45≤n＜45.55． 故选：D． 【点评】此题考查了近似数与有效数字，从一个数的左边第一个非零数字起，到精确到的数位止，所有数字都是这个数的有效数字．精确到哪一位，应看有效数字的最后一位在哪一位． 题型十 有理数的实际应用 1．（2023秋•秀峰区校级月考）根据市场情况，某公司决定用一周时间大量收购小麦．计划收购48000千克，公司将工作人员分为6个收购小组，每组收购任务是8000千克．一周后，6个小组完成的情况分别为：8200千克，7800千克，9000千克，7200千克，8200千克，8000千克． （1）通过计算说明6个小组完成的总数量是否达到计划数量？ （2）若每小组一周后均各奖500元，超额完成的每100千克再奖10元，少完成每100千克从奖金中扣8元，本次收购后，该公司要支付多少奖金？ 【分析】（1）根据以8000kg为标准，超过标准记为正，低于标准记为负，可得每组的完成情况，根据有理数的加法，可得答案； （2）根据超额的奖金单价乘以超额的数量，可得超额奖金，根据有理数的加减法，可得答案． 【解答】解：（1）以8000kg为标准，六个小组的完成情况200kg，﹣200kg，1000kg，﹣800kg，200kg，0kg， 200+（﹣200）+1000+（﹣800）+200+0＝400（kg）， 答：6个小组完成的总量达到了计划的数量； （2）由题意得500×6+10×（2+10+2）﹣8×（2+8）＝3060（元）． 答：该公司将要支付3060元奖金． 【点评】本题考查了正数和负数，利用了有理数的加法运算． 2．司机小王沿东西大街跑出租车，约定向东为正，向西为负，某天自A地出发到收工时，行走记录为（单位：千米）：+8、﹣9、+7、﹣12、+5、﹣10、+17、﹣13． 回答下列问题： （1）收工时小王在A地的哪边？距A地多少千米？ （2）若每千米耗油0.2升，问从A地出发到收工时，共耗油多少升？ （3）在工作过程中，小王最远离A地多远？在A地哪边？ 【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案； （2）根据单位耗油量乘以行驶路程，可得耗油量； （3）根据有理数的加法，可得每次与A地的距离，根据有理数的大小比较，可得答案． 【解答】解：（1）8+（﹣9）+7+（﹣12）+5+（﹣10）+17+（﹣13）＝﹣7（千米）， 答：收工时小王在A地的西边，距A地7千米； （2）0.2×（8+|﹣9|+7+|﹣12|+5+|﹣10|+17+|﹣13|）＝0.2×81＝16.2（升）， 答：从A地出发到收工时，共耗油16.2升； （3）第一次距A地8千米，第二次距A地|8+（﹣9）+＝|﹣1+＝1千米，第三次距A地﹣1+7＝6千米，第四次距A地6+（﹣12）＝﹣6千米，第五次距A地﹣6+5＝﹣1千米，第六次距A地|﹣1+（﹣10）|＝11千米，第七次距A地﹣11+17＝6千米，第八次距A地6+（﹣13）＝﹣7千米， 由11＞7＞6＞3＞1， 在工作过程中，小王最远离A地11千米，在A地的西边． 【点评】本题考查了正负数，单位耗油量乘以行驶路程是解题关键，注意与A地的距离是点与A地的绝对值． 3．（2023秋•建安区校级月考）井冈山是红色革命旅游圣地，据统计2020年9月30日到井冈山旅游的人数为1万人，十一黄金周期间（共8天），井冈山每天旅游人数的变化情况如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 人数变化（万人） +1.5 +0.7 +0.4 ﹣0.4 ﹣0.6 +0.2 （1）请判断十一黄金周期间游客人数最多和最少的各是哪一天？它们相差多少万人？ （2）求十一黄金周期间去井冈山旅游的总人数． 【分析】（1）求出十一黄金周期间每天的游客数量进行比较； （2）每天的游客数量进行求和即可． 【解答】解：（1）∵1+1.5＝2.5（万人）， 2.5+0.7＝3.2（万人）， 3.2+0.4＝3.6（万人）， 3.6﹣0.4＝3.2（万人）， 3.2﹣0.6＝2.6（万人）， 2.6+0.2＝2.8（万人）， 又∵2.5＜2.6＜2.8＜3.2＜3.6， 且3.6﹣2.5＝1.1（万人）， ∴十一黄金周期间游客人数最多是10月3日，最少的是10月1日；它们相差1.1万人， 答：十一黄金周期间游客人数最多是10月3日，最少的是10月1日；它们相差1.1万人； （2）2.5+3.2+3.6+3.2+2.6+2.8 ＝17.9（万人）， 答：十一黄金周期间去井冈山旅游的总人数是17.9万人． 【点评】此题考查了有理数的正负数概念、运算、比较等知识解决实际问题的能力，关键是能利用正负数的概念，准确列出算式并计算、比较． 4．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定每天送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于50单的部分记为“﹣”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） ﹣3 +4 ﹣5 +14 ﹣8 +6 +12 （1）该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多多少单？ （2）求该外卖小哥这一周一共送餐多少单？ （3）若每送一单能获得4.2元的酬劳，请计算外卖小哥这一周的收入． 【分析】（1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可． 【解答】解：（1）14﹣（﹣8）＝14+8＝22（单）， 答：该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多22单； （2）50×7+（﹣3+4﹣5+14﹣8+6+12） ＝350+20 ＝370（单）， 答：该外卖小哥这一周一共送餐370单； （3）由（2）可知，他一周共送外卖370单， 所以370×4.2＝1554（元）， 答：外卖小哥这一周的收入为1554元． 【点评】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 5．最近几年时间，我国的新能源汽车产销量大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） ﹣8 ﹣10 ﹣14 0 +24 +31 +35 （1）这7天里路程最多的一天比最少的一多走 　 　km． （2）请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ （3）已知新能源汽车每行驶100km耗电量为15度，每度电为0.4元，请计算小明家这7天的行驶费用是多少钱？ 【分析】（1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （3）结合（2）中所求列式计算即可． 【解答】解：（1）35﹣（﹣14）＝35+14＝49（km）， 即这7天里路程最多的一天比最少的一多走49km， 故答案为：49； （2）50×7+（﹣8﹣10﹣14+0+24+31+35） ＝350+58 ＝408（千米）， 即小明家的新能源汽车这七天一共行驶了408千米； （3）408÷100×15×0.4＝24.48（元）， 即小明家这7天的行驶费用是24.48元． 【点评】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 6．（2023秋•市中区月考）某洗衣粉厂上月生产了30000袋，每袋标准重量450克，质量检测部门从中抽出了20袋进行检测，记超过或不足标准重量的部分为“+”和“﹣”，记录如下： 超过或不足（克） ﹣6 ﹣3 ﹣2 0 +1 +4 +5 袋数 1 1 1 6 5 2 4 （1）通过计算估计本厂上月生产的洗衣粉平均每袋多少克？ （2）若超过或不足大于5克时为不合格，求这20袋洗衣粉的合格率； （3）厂家规定不合格产品不能出厂销售，若每袋洗衣粉的定价为2.30元，试估计本厂上月生产的洗衣粉销售的总金额为多少元？ 【分析】（1）根据超过或不足的部分分别用正、负数来表示，可得每袋的质量，根据有理数的加法，可得总质量，再根据总质量除以袋数可得平均质量； （2）根据合格率＝合格瓶数÷总瓶数来解答； （3）算出符合销售的袋数，再进一步求得销售的总金额即可． 【解答】解：（1）450+（﹣6×1﹣3×1﹣2×1+0×6+1×5+4×2+4×5）÷20 ＝450+1.1 ＝451.1（克）． 答：上月生产的洗衣粉平均每袋451.1克． （2）19÷20×100%＝95%， 答：这20瓶洗衣液的合格率为95%． （3）2.3×（30000﹣30000） ＝2.3×28500 ＝65550（元）． 答：本厂上月生产的洗衣粉销售的总金额为65550元． 【点评】本题考查了正数和负数，理解题意，正确利用正负数的加减法列式是解题关键． 题型十一 有理数的规律探究问题 1．（2024秋•龙华区校级月考）下面一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，第2024个数应是（　　） A．22023 B．22024 C．22023﹣1 D．22024﹣1 【分析】根据所给数列，发现后一个数总是前一个数的2倍，据此可解决问题． 【解答】解：由题知，因为1＝20，2＝21，4＝22，8＝23，16＝24，…， 所以第n个数可表示为：2n﹣1（n为正整数）． 当n＝2024时， 2n﹣1＝22023， 即第2024个数是22023． 故选：A． 【点评】本题考查数字变化的规律，能根据所给数列发现第n个数可表示为2n﹣1（n为正整数）是解题的关键． 2．（2024秋•济阳区校级月考）a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的“哈利数”是，﹣2的“哈利数”是，已知a1＝3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4是a3的“哈利数”，……，依此类推，则a2023＝（　　） A．3 B．﹣2 C． D． 【分析】分别求出数列的前5个数，得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得答案， 【解答】解：根据题意有， a1＝3， ， ， ， ， ……， 该数列每4个数为1周期循环， 2023÷4＝505⋯3， a2023＝a3． 故选：C． 【点评】本题考查了数字的规律变化，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键． 3．（2024秋•志丹县月考）一列数a1，a2，a3，…an，其中a1＝﹣1，，，…，，则a1+a2+a3+⋯+a2024的值是（　　） A．﹣1 B． C．1010 D． 【分析】先算出前几个的值，找到规律，再求解． 【解答】解：∵a1＝﹣1， ∴， ， ，…， ∴这列数按照：﹣1，，2，依次循环出现， ∵， ∵2024÷3＝674……2， ∴a2023＝﹣1，， ∴， 故选：D． 【点评】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键． 4．（2024秋•渝中区校级月考）杨辉三角是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示是一种变异的“杨辉三角”，按箭头方向依次记为：a1＝1，a2＝4，a3＝3，a4＝8，a5＝7，a6＝16，a7＝15⋯，则a2026+a2027等于（　　） A．21014﹣1 B．21014+1 C．21015﹣1 D．21015+1 【分析】根据图中的数据，可以发现数字的变化特点，从而可以计算出a2026+a2027的值． 【解答】解：由条件可知：当n为偶数时，an＝20.5n+1，当n为奇数时，， ∴a2026+a2027 ＝21014+21014﹣1 ＝21014×2﹣1 ＝21015﹣1， 故选：C． 【点评】本题考查数字的变化规律，发现规律是关键． 5．（2024秋•吴江区校级月考）观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…，31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，…，根据上述算式中的规律，211+311的末位数字是（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 【分析】通过观察所给的数的尾数，找到21，22，23⋯2n这一列数的其结果的末位数字每4次运算尾数2、4、8、6循环出现，31，32，33⋯3n这一列数的其结果的末位数字每4次运算尾数3、9、7、1循环出现，据此规律求解即可． 【解答】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256， ......， 以此类推末位数字每4次运算尾数2、4、8、6循环出现， ∵11÷4＝2…3， ∴211的末位数字与23＝8的尾数相同为8， ∵31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561， ......， 以此类推，末位数字每4次运算尾数3、9、7、1循环出现， ∵11÷4＝2…3 ∴311的末位数字与33＝27的尾数相同为7， ∵8+7＝15， ∴211+311的末位数字是5． 故选：B． 【点评】本题考查数字的变化规律，发现规律是关键． 题型十二 有理数乘除法规律探究题 1．观察下列各式： … （1）猜想　 　； （2）根据上面的规律，解答下列问题： ①（1）×（1）×（1）×…×（1）×（1）×（1） ②将2016减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，以此类推，直到最后减去余下的，最后结果是多少？ 【分析】（1）根据所给各式发现规律，结果的分子为第1个分数的分子，分母为最后1个分数的分母； （2）原式括号中变形计算后，约分即可得到结果； （3）根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【解答】解：（1）∵ … ∴ 故答案为：； （2）①原式（）×（）×…×（）×（） ； ②由题意得，2016×（1）×（1）×…×（1）＝2016 ＝1． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．阅读与思考： 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 同学们学过有理数减法可以转化为有理数加法来运算，有理数除法可以转化为有理数乘法来运算．其实这种转化的数学方法，在学习数学时会经常用到，通过转化我们可以把一个复杂问题转化为一个简单问题来解决． 例如：计算． 此题我们按照常规的运算方法计算比较复杂．但如果采用下面的方法把乘法转化为减法后计算就变得非常简单． 分析方法：因为1，，，，所以，将以上4个等式两边分别相加即可得到结果，解法如下： （1）+（）+（）+（）＝11． 任务： （1）猜想并写出：　　 ；（n为正整数） （2）①应用上面的方法计算：⋯． ②直接写出下列式子的计算结果：⋯　 　． （3）类比应用上面的方法探究并计算：⋯． 【分析】（1）根据题干给出的规律直接判断即可； （2）与（1）一样得到1，然后进行合并； （3）把原式变形为（2）中的形式得到[（1）+（）+（）+…+（）]，然后利用（2）中的方法计算． 【解答】解：（1）通过观察可得：； （2））①⋯ ＝1••• ＝1 ． ②根据规律可得：原式＝1． 故答案为：1． （3）原式[（1）+（）+（）+…+（）]（1）． 【点评】本题考查有理数的混合运算，正确记忆先算乘方，再算乘除，然后进行加减运算有括号先算括号是解题关键． 3．观察下列各式： ，； ，； ，； 解答下列各题： （1）尝试并计算：； （2）尝试并计算：； （3）； （4）尝试并计算：． 【分析】（1）利用计算的规律，直接拆分计算即可； （2）利用计算的规律，直接拆分计算即可； （3）先去绝对值，再抵消法计算即可求解； （4）利用计算的规律，两次拆分计算即可． 【解答】解：（1） ＝1 ＝1 ； （2） （1） （1） ； （3） ＝1 ＝1 ； （4） （） （） ． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 题型十三 含乘方运算的探究规律题 1．观察下面三行数： ﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…； ① 0，6，﹣6，18，﹣30，66，…； ② ，﹣1，2，﹣4，8，﹣16，…； ③ （1）请直接写出第①行数的第100项：　 　，第n项：　 　； （2）第②行数的第2012项： ； （3）第③行数与第①行数有什么关系？ （4）取每行数第10个数，计算这三个数的和． 【分析】（1）根据观察，可发现规律：第n个数是（﹣1）n•2n； （2）第①行的每一项都加2，可得第②行； （3）第①行的每一项都乘以（），可得第③行； （4）根据每行的规律，可得第10个数，根据有理数的加法，可得答案． 【解答】解：（1）请直接写出第①行数的第100项：200，第n项：（﹣1）n•2n； （2）第②行数的第2012项是（﹣1）2012×22012+2＝22012+2 （3）第一行的每一项都乘以（）等于第三行的项； （4）取每行数第10个数，计算这三个数的和 [（﹣1）10×210]+[（﹣1）10×210+2]+[（﹣1）10×210×（）] ＝1024+1026﹣256 ＝1794． 故答案为：2100，（﹣1）n•2n；22012+2． 【点评】本题考查了规律型，观察发现每行的规律是解题关键，利用（﹣1）的乘方得出每项的符号是解（1）的关键． 2．观察下列运算过程： S＝1+3+32+33+…+32016+32017，① ①×3，得3S＝3+32+33+…+32017+32018，② ②﹣①，得2S＝32018﹣1，S． 用上面的方法计算：1+5+52+53+…+52017． 【分析】仿照题目中的例子，可以设S＝1+5+52+53+…+52017，然后得到5S，再作差，整理即可得到所求式子的值． 【解答】解：设S＝1+5+52+53+…+52017， 则5S＝5+52+53+…+52018， 5S﹣S＝52018﹣1， 4S＝52018﹣1， 则S， 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 3．已知13＝112×22，13+23＝922×32，13+23+33＝3632×42，…，按照这个规律完成下列问题： （1）13+23+33+43+53＝　 　　 2×　 　2． （2）猜想：13+23+33+…+n3＝　 　． （3）利用（2）中的结论计算：（写出计算过程）113+123+133+143+153+163+…+393+403． 【分析】（1）根据题目提供的三个算式利用类比法可以得到13+23+33+43+53的结果； （2）根据上面的四个算式总结得到规律13+23+33+…+n3n2×（n+1）2； （3）113+123+313+143+153+163+…+393+403转化为13+23+33+…+393+403﹣（13+23+33+…+103）后利用总结的规律即可求得答案． 【解答】解：（1）13+23+33+43+53＝22552×62 （2）猜想：13+23+33+…+n3n2×（n+1）2 （3）利用（2）中的结论计算： 113+123+133+143+153+163+…+393+403． 解：原式＝13+23+33+…+393+403﹣（13+23+33+…+103） 402×412102×112 ＝672400﹣3025 ＝669375 【点评】本题考查了数字的变化类问题，仔细的观察题目提供的算式并找到规律是解决此题的关键． 题型十四 有理数的材料阅读问题 1．阅读下面解题过程： 计算：5÷（22）÷6 解：5÷（22）×6 ＝5÷（）×6…① ＝5÷（﹣25）…② ③ 回答： （1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第　 步，错因是　 　，第二处是　 　，错因是　 　． （2）正确结果应是　 　． 【分析】（1）根据除以一个数相当于乘以这个数的倒数和同级运算应从左到右的顺序依次进行计算，即可得出答案； （2）根据有理数的乘除法则进行计算即可． 【解答】解：（1）第一处是第①步，错因是除以一个数相当于乘以这个数的倒数，第二处是②，错因是同级运算应从左到右的顺序依次进行计算； 故答案为：①，除以一个数相当于乘以这个数的倒数；②，同级运算应从左到右的顺序依次进行计算； （2）5÷（22）÷6 ＝5÷（） ＝5×（） ． 故答案为：． 【点评】此题考查了有理数的乘除法，掌握有理数的乘除法则是本题的关键，是一道基础题． 2．（2023秋•淮南期中）阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） ＝（﹣15）÷（﹣25）（第二步） （第三步） （1）上面解题过程有两处错误： 第一处是第 　 　步，错误原因是 　 　； 第二处是第 　 步，错误原因是 　 　； （2）请写出正确的结果 　 　． 【分析】根据有理数的乘除运算法则即可求出答案． 【解答】解：（1）第一处是第二步，错误原因是没有按同级运算从左至右运算． 第二处是第三步，错误原因是符号弄错． （2）原式＝﹣15÷（）×6 ＝156 ． 故答案为：（1）二，没有按同级运算从左至右运算．二，符号弄错． （2）． 【点评】本题考查有理数的乘除运算，解题的关键是熟练运用有理数的乘除运算法则，本题属于基础题型． 3．数学雷老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算：． 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法； 请仿照上面的方法计算： （1）； （2）． 【分析】根据题意给出的运算方法以及有理数的加减运算法则即可求出答案． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ＝1+（﹣1） ＝0． 【点评】本题考查有理数的加法运算，解题的关键是正确理解题意给出的运算方法． 4．请你先认真阅读材料： 计算 解：原式的倒数是（）÷（） ＝（）×（﹣30） （﹣30）（﹣30）（﹣30）（﹣30） ＝﹣20﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（﹣12） ＝﹣20+3﹣5+12 ＝﹣10 故原式等于 再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：． 【分析】首先看懂例题的做法，先计算出的倒数（）÷（）的结果，再算出原式结果即可． 【解答】解：原式的倒数是： （）÷（） ＝（）×（﹣42） ＝﹣（42424242） ＝﹣（7﹣9+28﹣12） ＝﹣14， 故原式． 【点评】此题主要考查了有理数的除法，看懂例题的解法是解决问题的关键． 题型十五 有理数的程序图运算题 1．（2023秋•潮州期末）如图是一个计算程序，若输入a的值为﹣1，则输出的结果b为（　　） A．﹣5 B．﹣6 C．5 D．6 【分析】把a的值代入计算程序中计算即可得到结果． 【解答】解：把a＝﹣1代入得： [（﹣1）2﹣（﹣2）]×（﹣3）+4 ＝（1+2）×（﹣3）+4 ＝3×（﹣3）+4 ＝﹣9+4 ＝﹣5， 故选：A． 【点评】此题考查了有理数的混合运算和代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．按图中程序运算，如果输出的结果为4，则输入的数据不可能是（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．2 【分析】把各选项中的数值代入按运算规则运算即可． 【解答】解：A．依题意有﹣1+4﹣（﹣3）﹣5＝1＜2， 1+4﹣（﹣3）﹣5＝3＞2，输出； B．依题意有﹣2+4﹣（﹣3）﹣5＝0＜2， 0+4﹣（﹣3）﹣5＝2； 2+4﹣（﹣3）﹣5＝4＞2，输出； C．依题意有0+4﹣（﹣3）﹣5＝2， 2+4﹣（﹣3）﹣5＝4＞2，输出； D.2+4﹣（﹣3）﹣5＝4＞2，输出； 故选：A． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握图中程序运算是解本题的关键． 3．（2023秋•隆昌市校级期末）根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为 　 　． 【分析】根据程序的计算顺序将x的值代入就可以计算出y的值．如果计算的结果＜0则需要把结果再次代入关系式求值，直到算出的值＞0为止，即可得出y的值． 【解答】解：依据题中的计算程序列出算式：12×3﹣5＝﹣2＜0， ∴应该按照计算程序继续计算，（﹣2）2×3﹣5＝7， ∴y＝7． 故答案为：7． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序． 4．（2023秋•宿城区期末）如图是一个计算程序，若输入的值为1，则输出的值应为 　 　． 【分析】把1代入计算程序中计算即可得到结果． 【解答】解：把1代入得：12×2﹣4＝1×2﹣4＝2﹣4＝﹣2＜0， 把﹣2代入得：（﹣2）2×2﹣4＝4×2﹣4＝8﹣4＝4＞0， 故输出的值应为4． 故答案为：4． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握计算程序和运算法则是解本题的关键． 5．如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为﹣2时，最后输出的结果y是　 　． 【分析】根据题中的程序流程图，将x＝﹣2代入计算得到结果为1，将x＝1代入计算得到结果大于1，即可得到最后输出的结果． 【解答】解：把x＝﹣2代入可得：， 再把x＝1代入可得：， 所以y， 故答案为： 【点评】此题考查了代数式求值，弄清题中的程序流程是解本题的关键． 题型十六 有理数的的新定义运算问题 1．（2023秋•山亭区期末）用“※”定义一种新运算：对于任何有理数a和b，规定a※b＝ab+b2．如1※2＝1×2+22＝6，则﹣4※2的值为（　　） A．﹣4 B．8 C．4 D．﹣8 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【解答】解：根据题中的新定义得： ﹣4※2 ＝﹣4×2+22 ＝﹣8+4 ＝﹣4． 故选：A． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 2．（2024秋•洪山区校级月考）形如的式子叫做二阶行列式，其运算法则用公式表示为，依此法则计算的结果为（　　） A．17 B．﹣17 C．1 D．﹣1 【分析】根据新定义可得，据此计算求解即可． 【解答】解：∵， ∴ ＝2×4﹣1×（﹣9） ＝8+9 ＝17， 故选：A． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 3．（2023秋•开江县校级期末）规定：对任意有理数对【a，b】，都有【a，b】＝a2+2b+1．例如：有理数对【﹣5，﹣2】＝（﹣5）2+2×（﹣2）+1＝22．若有理数对【﹣2，1】＝n，则有理数对【n，﹣1】＝ 　 　． 【分析】根据规定列式计算出n的值，然后再根据规定列式计算即可求得【n，﹣1】的值． 【解答】解：【﹣2，1】 ＝（﹣2）2+2×1+1 ＝4+2+1 ＝7， 即n＝7， 则【n，﹣1】 ＝【7，﹣1】 ＝72+2×（﹣1）+1 ＝49﹣2+1 ＝48， 故答案为：48． 【点评】本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 4．（2024秋•涧西区期中）在有理数的原有运算法则中我们定义一个新运算“※”如下：a≤b时，a※b＝a2；a＞b时，a※b＝b．则当c＝﹣4时，代数式（﹣3※c）×（﹣5※c）的值为 　 　． 【分析】先根据已知条件中的新定义，分别求出（﹣3※c）和（﹣5※c）的值，再进行计算即可． 【解答】解：∵c＝﹣4，a≤b时，a※b＝a2；a＞b时，a※b＝b， ∴（﹣3※c）×（﹣5※c） ＝（﹣3※﹣4）×（﹣5※﹣4） ＝﹣4×（﹣5）2 ＝﹣4×25 ＝﹣100， 故答案为：﹣100． 【点评】本题主要考查了代数式求值，解题关键是理解新定义的含义，正确列出算式． 5．（2023秋•保定期末）规定一种新运算，如果ac＝b，那么a※b＝c．例如：因为23＝8，所以2※8＝3．根据上述运算填空： （1）　 　． （2）　 　． 【分析】（1）根据题目中的定义，可以计算出所求式子的值； （2）根据题目中的定义，可以计算出所求式子的值． 【解答】解：（1）∵2﹣2， ∴2， 故答案为：﹣2； （2）∵2﹣2，43＝64， ∴ ＝﹣2+3 ＝1， 故答案为：1 【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 6．若a，b为有理数，我们定义新运算“※”使得a※b＝a2﹣ab，如（﹣2）※3＝（﹣2）2﹣（﹣2）×3＝10． （1）求3※（﹣4）的值； （2）求（﹣2）※（5※4）的值． 【分析】（1）根据a※b＝a2﹣ab，可以求得所求式子的值； （2）根据a※b＝a2﹣ab，可以求得所求式子的值． 【解答】解：（1）∵a※b＝a2﹣ab， ∴3※（﹣4） ＝32﹣3×（﹣4） ＝9﹣3×（﹣4） ＝9+12 ＝21； （2）（﹣2）※（5※4） ＝（﹣2）※（52﹣5×4） ＝（﹣2）※（25﹣20） ＝（﹣2）※5 ＝（﹣2）2﹣（﹣2）×5 ＝4+10 ＝14． 【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 7．【概念学习】 规定：若求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣4）÷（﹣4）÷（﹣4）÷（﹣4）等．类比有理数的乘方，我们把 2÷2÷2 记作 22，读作“2的圈3次方”，（﹣4）÷（﹣4）÷（﹣4）÷（﹣4）记作 （4）④，读作“﹣4的圈4次方”．一般的，我们把记作a①，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果2③＝　 　，（﹣4）④＝　 　，　 ． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式： 3⑤＝　 　，（﹣5）⑧＝　 ，⑩＝　 ． （3）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式是 　 ． 【分析】依据题意，由a的圈n次方的意义：一般的，我们把（a≠0）记作aⓝ，进而逐个进行计算可以得解． 【解答】解：（1）2③＝2÷2÷2；（﹣4）④＝（﹣4）÷（﹣4）÷（﹣4）÷（﹣4）；（）÷（）÷（）÷（）＝4． 故答案为：；；4． （2）3⑤＝3÷3÷3÷3÷3；（﹣5）⑧＝（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）；⑩＝（）÷（）÷（）÷（）÷（）÷（）÷（）（﹣2）8． 故答案为：；；（﹣2）8． （3）由题意，根据（2）中规律可得，aⓝ． 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的混合运算、正数和负数、新定义，解答本题的关键是明确题意，会用新定义解答本题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$